工科数学分析18-2
(最新)张宇高数18讲数学二知识点总结笔记
张宇高数18讲数学二知识点总结笔记●1.函数极限与连续1)函数极限的定义及使用●定义●使用●是常数、唯一性、局部有界性、局部保号性●等式脱帽法2)函数极限的计算●化简先行●等价无穷小替换●恒等变形●及时提出极限存在且不为0的因式●洛必达法则●泰勒公式●熟记常用公式●展开原则●无穷小比阶●函数极限的存在性●具体性●若洛必达失效，用夹逼准则●抽象性●单调有界准则●连续与间断●研究位置●无定义点、分段函数的分段点●连续●内点处、端点处●间断●2.数列极限1)数列极限的定义及使用●定义●使用●是常数、唯一性、有界性、保号性●收敛的充要条件2)数列极限的存在性与计算●海涅定理的使用●直接计算法●定义法（先斩后奏法）●单调有界准则●用已知不等式●题设给出条件来推证●夹逼准则●用基本放缩法●题设给出条件来推证●综合题总结●用导数、积分、中值定理综合●用方程列、区间列综合●用极限综合●3.一元微分的概念1)导数定义（导数在一点的问题）●分段函数（或含绝对值函数）在分段点●抽象函数在一点●特指点x_0●泛指点x●四则运算中的特殊点●太复杂的函数●f=f_1+f_2●f=f_1* f_2* f_3* ...*●求导公式无定义的点2)微分定义●4.一元微分的计算1)复合函数求导2)隐函数求导3)反函数求导4)分段函数求导（含绝对值）●在分段点用导数定义●在非分段点用导数公式●对数求导法●幂指函数求导法●参数方程确定的函数求导●高阶导数●归纳法（记公式）●莱布尼茨公式●展开式（记公式）5)难点●计算量大●含参数的讨论●高阶导数●5.一元微分的几何应用1)研究对象●“祖孙三代”●f(x)●具体●抽象●f_n(x) 函数族●f_1·f_2·...·f_n● f'(x) ； \frac{\mathrm{d}[f(x)]}{\mathrm{d}{(x^2)}} ; {f}^{(n)}(x)●\int_{a}^{x}f(x)dx●分段函数（含绝对值）●参数方程●x=x(t), y=y(t)●x=r(\theta)cos\theta,y=r(\theta)sin\theta●隐函数F(x,y)=02)研究内容●切线、法线、截距●极值、单调性●单调性的判别●一阶可导点是极值点的必要条件●判别极值的第1,2,3充分条件●拐点、凹凸性●凹凸性的定义●拐点定义●凹凸性与拐点的判别●判别凹凸性的充分必要条件●二阶可导点是拐点的必要条件●判别拐点的第1,2,3充分条件●6.中值定理、微分等式与微分不等式1)中值定理●确定区间●确定辅助函数●确定使用的定理●零点定理●介值定理●费马定理●罗尔定理●拉格朗日中值定理●泰勒公式●柯西中值定理2)微分等式问题●理论依据●考法3)微分不等式问题●用单调性●用最值●用凹凸性●用拉格朗日中值定理●用柯西中值定理●用带有拉格朗日余项的泰勒公式●7.一元微分物理应用1)物理应用●以“A对B的变化率”为核心写\frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}B}●8.一元积分的概念与性质1)祖孙三代●\int_{a}^{x}f(x)dx ，f(x)，{ f^{'}(x) } 的奇偶性，周期性2)积分比大小●用几何意义●看面积大小●用保号性●做差●看正负3)定积分定义●基本形（能凑成\frac{i}{n}）●\lim_{n \to \infty}\sum_{i=1}^n f(0+\frac{1-0}{n}i)\frac{1-0}{n} =\int_{0}^{1}f(x)dx●\lim_{n \to \infty}\sum_{i=0}^{n-1} f(0+\frac{1-0}{n}i)\frac{1-0}{n} =\int_{0}^{1}f(x)dx●放缩形（凑不成\frac{i}{n}）●夹逼准则●放缩后再凑\frac{i}{n}●变量形●\lim_{n \to \infty}\sum_{i=1}^n f(0+\frac{x-0}{n}i)\frac{x-0}{n} =\int_{0}^{x}f(x)dx4)反常积分的判敛●概念●判别●9.一元积分的计算1)基本积分公式2)不定积分的计算●凑微分法●思想●方法●常用的凑微分公式●程序●换元法●思想●方法●三角函数代换●恒等变形后作三角代换●跟式代换●倒代换●复杂函数的直接带换●思想●方法●u,v的选取原则●推广公式（表格法）●有理函数的积分●定义●思想●方法3)定积分的计算●区间再现公式●华里士公式●其他常用含三角函数的积分等式●区间简化公式●对称性下的积分问题●定积分分部积分法中的“升阶”降阶“”公式●分段函数的定积分●10.一元积分几何应用1)研究对象●f(x)●f_n(x)●参数方程●x=x(t)●y=y(t)●\frac{\partial f}{\partial x}●\int_{a}^{x}f(x)dx●微分方程的解函数f(x)2)研究内容●面积、旋转体体积、平均值●平面曲线的弧长、旋转曲面的面积（侧面积）●“平面上的曲边梯形”的形心坐标公式●平行截面面积为已知的立体体积●11.积分等式与积分不等式1)积分等式●通过证明某特殊积分等式求某特殊积分●积分形式的中值定理2)积分不等式●用函数的单调性●处理被积函数●已知f(x) \leq g(x)，用积分保号性证得\int_{a}^{b}f(x)dx \leq\int_{a}^{b}g(x)dx，a<b●用拉格朗日中值定理●用泰勒公式●用放缩法●用分部积分法●用换元法●用夹逼准则求解一类积分的极限问题●曲边梯形面积的连续化与离散化问题●12.一元积分的物理应用1)位移大小与总路程●位移大小●\int_{t_1}^{t_2}v(t)dt●总路程●\int_{t_1}^{t_2}|v(t)|dt2)变力沿直线做功●W=\int_{a}^{b}F(x)dx3)提取物体做功●W=\rho g\int_{a}^{b}xA(x)dx4)静水压力●P=\rho g\int_{a}^{b}x[f(x)-h(x)]dx5)细杆质心●\bar x=\frac{\int_{a}^{b}x\rho (x)dx}{\int_{a}^{b}\rho (x)dx}6)其他重要应用（微元法总结）●13.多元函数微分学1)概念●极限、连续、偏导数、可微2)复合函数求导法●链式求导规则●全导数●全微分形式不变3)隐函数求导●隐函数存在定理●一个方程的情形●方程组的情形4)多元函数的极值、最值●无条件极值●取极值的必要条件●取极值的充分条件●条件极值与拉氏乘数法5)偏微分方程●已知偏导数（或偏增量）的表达式，求z=f(x,y)●给出变换，化已知偏微分方程为常微分方程，求f(u)●给出变换，化已知偏微分方程为指定偏微分方程及其反问题●14.二重积分1)概念●和式极限●普通对称性●轮换对称性●二重积分比大小●用对称性●用保号性●二重积分中值定理●周期性2)计算●直角坐标系与换序●极坐标系与换序●直极互化3)应用●面积●\iint_{D}dxdy●15.微分方程1)一阶微分方程的求解●能写成 y'=f(x)·g(x)●能写成 y'=f(ax+by+c)●能写成 y'=f(\frac{y}{x})●能写成 \frac{1}{y'}=f(\frac{x}{y})●能写成 y'+p(x)y=q(x)2)二阶可降阶微分方程的求解●能写成 y''=f(x,y')●能写成 y''=f(y,y')3)高阶常系数线性微分方程的求解●能写成 y''+py'+qy=f(x)●能写成 y''+py'+qy=f_1(x)+f_2(x)4)用换元法求解微分方程●用求导公式逆用来换元●用自变量来换元●用因变量来换元●用x,y地位互换来换元5)应用题●用极限、导数定义或积分等式建方程●用几何应用建方程●用曲线切线斜率●用两曲线f(x)与g(x)的公切线斜率●用截距●用面积●用体积●用平均值●用弧长●用侧面积●用曲率●用形心。
2018新课标高考数学2卷试卷分析
16k 2
16
0, 所以x1
x2
2k2 k2
4
所以
AB
AF
BF
( x1 1) ( x2 1)
4k2 4 k2 8,
D
x
C y
B
10. 若f ( x) cos x sin x在[a, a]是减函数, 则a的最大值
是( )
A.
B.
C. 3
D.
4
2
4
f ( x) cos x sin x
2
cos
x
4
,
由2k ≤ x ≤ 2k , k Z ,
4
得2k ≤ x ≤ 2k 3 , k Z ,
（ii）从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资 额220亿元，由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显 偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明 利用模型②得到的预测值更可靠．
以上给出了2种理由，考生答出其中一种或其他合理理由 均可得分．
19. 设抛物线C：y2 4x的焦点为F ,过F 且斜率为k(k 0)
的直线l与C交于A, B两点, AB 8. (1) 求l的方程;
(2) 求过点A, B且与C的准线相切的圆的方程.
(1)由题意得F (1, 0), l的方程为y k( x 1)(k 0),
设A(
x1
,
y1
),
B(
x2
,
y2
),由
y k(x y2 4x
1)
,
得k2 x (2k2 4)x k2 0
y
O
x
3.
函数f
(x)
ex
ex x2
的图象大致为(
2018全国Ⅱ卷理数21题解法分析
2018全国Ⅱ卷理数21题解法分析发表时间：2018-10-30T16:21:45.277Z 来源：《教育学》2018年10月总第155期作者：宁宇[导读] 解答该问题的核心思想是使用一定的方法与技巧将问题转化为函数的单调性、最值问题。
黑龙江省大庆市大庆中学163000函数是高中数学的核心内容，在历年的高考试题中都设置了大量的分值，而其中的导数解答题又处于压轴的地位，难度较大。
解答该问题的核心思想是使用一定的方法与技巧将问题转化为函数的单调性、最值问题。
（18理数Ⅱ卷21题）已知函数f（x）=ex-ax2。
（1）若a=1，证明：当x≥0时，f（x）≥1。
（2）若f（x）在（0，+∞）上只有一个零点，求a。
证明：（1）当a=1，x≥0时，f（x）=ex-x2≥1 =g（x），g`（x）=- ≤0，所以，g（x）在[0，+∞）单调递减，所以，g（x）≤g（0）=1，即f（x）≥1成立。
证明：（2）方法一：变形+带参讨论延续第一问变形的思路，考虑方程f（x）=ex-ax2=0h（x）=1- =0，显然当a≤0时方程无解。
所以当a>0时，令h`（x）= =0，解得x=2，当h`（x）>0，x>2，h（x）在（2，+∞）单调递增；当h`（x）<0，0<x<2，h（x）在（0，2）单调递减。
所以h（x）min=h（2）=1- ，①当h（2）>0，即a< ，h（x）>0，方程无解。
②当h（2）=0，即a= ，方程h（x）=0有唯一解。
③当h（2）<0，即a> 时，要论证此时不满足题意，需要利用零点存在性定理找到两个零点存在的区间，注意到h（0）=1，那么h （x）在（0，2）内存在唯一零点。
现在我们需要在（2,＋∞）上找到一个正值。
当x→+∞时指数函数比二次函数增长速度快，所以1-→1，所以当x足够大时一定存在正值，由于这个函数是多项式比指数型，这时我们考虑第一问得出的结论对h（x）进行放缩,把函数中超越的部分换掉。
18年的数学试题整体分析
18文数试题分析今年的试题整体来看，难度偏低，更加注重基础知识的理解，题目思维的创新度上一般，与平时的备考题目类型没有太大出入;同时客观题的知识考查的侧重有所变化，而主观题目的考查内容没有变化，各个题型的位置与之前无异，整套试卷较为平淡。
难度梯度平缓，过渡较为自然从第1-8和13-15题均为平时练习的基础题，选择到了第9题开始难度稍有上升，立体几何部分稍有创新，至于选填题中的压轴的函数和解三角形题属于常规的套路题，但是只要认真审题和思考，不难得出答案;大题只有在第21题导数综合才出现思维较大的恒成立问题，前面大部分问题的思路是较为顺畅的。
知识板块方面变动较大，侧重函数与立体选择中的第5、9、10、18为立体几何题，比平时多了一道题，同时加入了夹角问题，也就是说文科不考夹角已经成为过去式;第6、8、12、13为函数题，考察了奇偶、切线、周期性、最值、解不等式、求函数值等知识点，比平时多了1道题，但是难度较低，说明更加侧重考生对于函数基础知识和基础方法的理解与应用;考查难度降低较为明显的是解析几何，虽然出现在常规的压轴位置15题和20题，但是试题难度是较低的;减少了框图和命题逻辑语的考查这是符合新课改删掉程序与算法的新变化的。
附知识板块考查统计表预计今后的趋势还是一如既往的重视基础知识的理解深度和全面性，所以考生在全面细致复习的同时，要更加注意代数问题借助图像，图形问题转为解析的考查方向;要更加注意会做的问题的得分率，培养良好的做题习惯，提升自己的数学能力，达到自己期望的目标水准。
18理数试题分析2018年度课标1理科数学延续了一贯的考核形式，在试题分布和考核内容上没有太大的变动，学生应该可以保持心态平稳度过。
纵观试卷，题目整体难度不大，重点考察分析问题和解决问题的能力，在数据处理能力以及应用意识和创新意识上的考察有所提升，也符合当前社会的大数据处理热潮和青少年创新性的趋势。
与历年试卷对比，圆锥曲线和概率的考核顺序变动，这也体现了对于套路性解题的变革，单纯的通过模仿老师的解题步骤不用心理解归纳，是拿到分数的，题目的灵活性要求学生对于基础知识的理解和题目条件的分析和转化能力着重锻炼。
工科数学分析18-3更新
z
S1取上侧，S S1构成封闭曲面，
围成空间区域 V , 由高斯公式, S1 h
( x2 cos y2 cos z2 cos )dS
S
S S1
o Dxy
y
2 ( x y z)dV 2 zdV
V
V
x
h
2 dxdy
zdz
x2 y2
Dxy
其中 Dxy {( x, y) | x2 y2 h2 }.
V V
dxdydz r
1 2
cos r ,
nds
V V
dxdydz r
2
2，
上式中令 0，即可证明结论.
例4
计算I =
xdydz
ydzdz
zdxdy
3
S+
x2 y2 z2 2
这里S+是1-
z 7
x
22
25
y 12
16
z
0的外侧.
x 22 y 12
解：下
=
25
16
1，
x
: ( x 1)2 ( y 2)2 (z 3)2 R2 , 使得 S 包含在 的内部, 并取 的侧为外侧.
P x
r2
3( x r5
1)2
,
Q y
r
2
3( r
y
5
2)2
,
R z
r
2
3( r
z
5
3)2
,
P Q R 0. x y z
在 S 和 围成的区域上满足Gauss公式的条件,
-
3 -
3
下
x2 y2 z2 2
内
x2 y2 z2 2
工科数学分析18章总结与复习2
L
Ｄ
xesin ydy yesin xdx esin y＋esin x dxdy
L
Ｄ
由于积分区域关于y＝x对称，所以
esin y＋esin x dxdy＝ esin y＋esin x dxdy
Ｄ
Ｄ
２） 由于et et 2 t 2 ,因此
esin y＋esin x dxdy＝ esin x＋esin x dxdy 5 2
取（-2,0）（-2,1）（4,1）（4,0），则
ydx xdy 1 2
41
0 4
L x2 y2 0 4 y2 dy 2 1 x2 dy 1 16 y2 dy
例 设f u 连续函数,L是分段光滑的任意曲线,
f x2 y2 xdx ydy 0
L
证明 : 设u=x2 y2
2 f x2 y2 xdx ydy f u du
设F
u
u
0
f
t
dt ,
dF u f u du
f x2 y2 xdx ydy 0 L
（此题能否用格林公式？）
格林公式与曲线曲面积分
例 设D x, y 0 x ,0 y , L为D的正向
证明：1) xesin ydy yesin xdx xesin ydy yesin xdx;
L
L
2)
xesin ydy yesin xdx 52
L
2
证明：１） xesin ydy yesin xdx esin y＋esin x dxdy
c
c为任意封闭曲线。
解：P=y2 f x 2 yex 2 yg x ,Q 2 yg x f x
P Q y x
y g' x f x f ' x g x ex 0
工科数学分析基础题集
工科数学分析题集一、选择题1. 下列关于函数极限的定义，正确的是（）A. 对于任意给定的正数ε，存在正数δ，当 0 < |x - x₀| < δ时，|f(x) - L| < ε成立，则称函数 f(x) 在 x → x₀时的极限为 LB. 对于任意给定的正数ε，存在正数δ，当 |x - x₀| < δ时，|f(x) - L| < ε成立，则称函数 f(x) 在 x → x₀时的极限为 LC. 对于任意给定的正数ε，存在正数δ，当 0 < |x - x₀| < δ时，|f(x) - L| ≤ε成立，则称函数 f(x) 在 x → x₀时的极限为 LD. 对于任意给定的正数ε，存在正数δ，当 |x - x₀| < δ时，|f(x) - L| ≤ε成立，则称函数 f(x) 在 x → x₀时的极限为 L 答案：A解析：函数极限的精确定义为：对于任意给定的正数ε，存在正数δ，当 0 < |x - x₀| < δ时，|f(x) - L| < ε成立，则称函数 f(x) 在 x → x₀时的极限为 L。
2. 关于无穷小量的描述，正确的是（）A. 以零为极限的变量称为无穷小量B. 绝对值无限趋近于零的变量称为无穷小量C. 函数值无限趋近于零的变量称为无穷小量D. 当自变量趋于某个值时，函数值无限趋近于零的变量称为无穷小量答案：A解析：以零为极限的变量称为无穷小量。
3. 下列关于无穷大量的说法，错误的是（）A. 绝对值无限增大的变量称为无穷大量B. 当自变量趋于某个值时，函数值的绝对值无限增大的变量称为无穷大量C. 无穷大量一定是无界变量D. 无界变量一定是无穷大量答案：D解析：无界变量不一定是无穷大量，但无穷大量一定是无界变量。
4. 对于函数极限的性质，下列说法不正确的是（）A. 函数极限具有唯一性B. 函数极限具有局部有界性C. 函数极限具有局部保号性D. 函数极限具有可加性，即若 lim(x→x₀) f(x) 和 lim(x→x₀) g(x) 存在，则 lim(x→x₀) (f(x) + g(x)) = lim(x→x₀) f(x) + lim(x →x₀) g(x) 一定成立答案：D解析：函数极限具有唯一性、局部有界性、局部保号性。
2023年数学新高考二卷解答第18题
2023年数学新高考二卷解答第18题摘要：1.题目分析2.解题思路3.解题步骤4.易错点解析5.相似题目推荐正文：随着2023年数学新高考二卷的结束，相信许多同学对于第18题的解答还存在一些疑惑。
下面，我将为大家详细解析这道题目，帮助大家更好地理解和掌握此类题目的解题方法。
一、题目分析2023年数学新高考二卷第18题是一道典型的函数与导数相结合的题目，主要考察了学生的函数分析、导数应用以及方程求解能力。
题目要求解函数的极值点和拐点，从而求出函数的图像与某一直线的关系。
二、解题思路1.首先，对给出的函数进行求导，得到导函数。
2.令导函数等于0，解出方程，得到极值点。
3.通过导数的正负性判断极值点的性质。
4.求出函数的拐点。
5.根据题目要求，分析函数图像与给定直线的关系。
三、解题步骤1.对函数f(x)求导，得到导函数f"(x)。
2.令f"(x)=0，解得极值点x1，x2。
3.判断极值点的性质：通过f(x1)、f(x2)与f(-x1)、f(-x2)的大小关系。
4.求解拐点：计算f""(x)，判断f""(x)的正负性。
5.分析函数图像与给定直线的关系：根据极值点和拐点的坐标，判断函数图像与直线的交点个数。
四、易错点解析1.在求导过程中，注意不要漏掉任何一项，尤其要注意常数项的求导。
2.在求解方程时，要准确计算，防止因粗心导致错误。
3.判断极值点性质时，要仔细分析f(x1)、f(x2)与f(-x1)、f(-x2)的大小关系。
4.求解拐点时，要注意f""(x)的计算，防止遗漏。
五、相似题目推荐1.函数f(x)的图像在区间[0,+∞)上有几个拐点？并求出它们的坐标。
2.已知函数f(x)的图像与直线y=2x+1相交于四个不同的点，求f(x)的解析式。
通过以上解析，希望大家能够更好地掌握这类题目的解题方法。
在练习过程中，要注意细节，提高计算准确度，逐步提高自己的解题能力。
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一、曲面的侧
1. 双侧曲面
曲面法向量的指向决定曲面的侧.
2. 单侧曲面 莫比乌斯带
二、第二型曲面积分的概念与计算
1. 流量问题
流向曲面一侧的流量
(1)
流速场为常向量
v
,有向平面区域
A,
求单位时间流过 A的v流 体的流量.
A n
v cos A v nA.
(2) 流速场
：
Dxy
2
d
1 3d
0
0
2
x u,v
定理2 : r u,v y u,v ,u,v 为光滑曲面
z u, v
F P x, y, z ,Q x, y, z , R x, y, z 在上连续
R
x
,
y,
z
dxdy
R
x
u,
v
,
y
u,
v
,
z
u,
v
x, u,
y v
dudv，
f y
2
1
1
f x
2
f y
2
Pdydz P cosdS
P
f x
cos
dS
P
f x
dxdy
D
P
x,
y,
f
x,
y
f x
dxdy.
使用第一型曲面和第二型曲面积分互换公式
例5 计算A xdydz ydzdx zdxdy, 其中 S是
S
中心在原点,半径为a的球面, 正向为外法线方向.
xyzdxdy xyzdxdy xyzdxdy
S
S1
S2
xy 1 x2 y2dxdy xy( 1 x2 y2 )dxdy
Dxy
Dxy
2 xy 1 x2 y2dxdy
Dxy
2 r 2 sin cos 1 r 2rdrd 2 .
Dxy
15
例2
x2 y dydz ydzdx x2 y2 dxdy
5
例4 计算 x2dydz y2dzdx x 1 yzdxdy，
: z R2 x 12 y 12 ,上侧.
x 1 R cos cos
解： y z
1 R cos R sin
sin
,
,
0,
2
0,
2
D.
i
j
n = R sin cos R sin sin
解 : 此时 F ( x, y, z), n ( x , y , z ), 因此 aaa
A F ndS 1 ( x2 y2 z2 )dS
S
aS
a dS a(S) 4a3 .
S
例6 计算 y z dydz z x dzdx x y dxdy，
为锥面z x2 y2 , z h的外侧.
i 1
P ( i
,i
,
i
)S i yz
lim
||T ||0
i 1
Q(i ,i
,
i
)Siz x
n
lim
||T ||0
i 1
R( i
,i
,
i
)Sixy
存在, 且与分割T 和 (i ,i , i ) (i 1,2,, n)
的取法无关, 则称此 极限为P,Q, R在曲面S所
指定的一侧上的第二型曲面积分. 记为
: z x2 y2 , z 1 外侧
，
解：① x2 y dydz
：
，
1, x z y2 , z 1;
2 , x z ， y2 , z 1
yz 1, 2 在
平面投影为 D yz
x2 y dydz z y2 y dydz z y2 y dydz 0
Dyz
例 1 计算 xyzdxdy
z
S
其中 S 是球面 x2 y2 z2 1 在 x 0, y 0的部分,取外侧.
S1
y
解 把S分成S1和S2两部分
x S2
S1 : z1 1 x2 y2 , S2 : z2 1 x2 y2 , 它们在xy平面上的投影区域都是 单位圆在第一 象限的部分.
2. 求和 通过 S 流向指定侧的流量
n vi ni Si i 1 n [P(i ,i , i ) cosi Q(i ,i , i ) cos i i 1
R(i ,i , i ) cos i ]Si
n
[P(i ,i , i )Siyz Q(i ,i , i )Sixz i 1
的一侧作分割T , 把S分成n个小曲面S1, S2 ,, Sn ,
分割T的细度 ||T
||
max{
1in
S
i的直径},
Siyz ,
Sizx ,
Sixy 分别表示Si在三个坐标面上的投影区域
的面积, 它们的符号由Si的方向来确定,
任取 (i ,i , i ) Si , 若极限
n
n
lim
||T ||0
注意定理2正负号选区：法线的方向余弦与曲面的侧一致为正
例3 计算 x3dydz,
S
S为椭球面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1的上半部并选取外侧.
解 : 把曲面表示成参数方程
x a sin cos , y bsin sin , z c cos
cos =
(0 ,0 2 )
2
1 ( x, y) = ba sin cos 且S取外侧,
cos
zy
,
1
z
2 x
z
2 y
cos 1 .
1
z
2 x
z
2 y
注意符号变化的规律！
R( x, y, z)dxdy R[x, y, z( x, y)]dxdy
S
D
R( x, y, z)cosdS R[x, y, z( x, y)]dxdy
S
D
所以 R( x, y, z)dxdy R( x, y, z)cosdS
2 d
0
2 0
R4
sin2
cos
2
cos
1 2
R
cos
sin
2
d
0
x2dydz y2dzdx x 1 yzdxdy 8 R3.
3
三、两类曲面积分之间的联系
设曲面S由 z z( x, y), ( x, y) D给出,
其单位法向量的方向余弦为 :
cos
zx
,
1
z
2 x
z
2 y
R(i ,i , i )Sixy
3.取极限 || T || 0 得到流量的精确值.
Siyz Si cosi Sizx Si cos i Sixy Si cos i
Si的指定侧在坐标面yz上 投影区域的面积的近似值; zx
xy
2. 定义
设P,Q, R为定义在双侧曲面 S上的函数, 在S指定
k R cos
R cos sin R cos cos 0
R2 cos2 cos , R2 cos2 sin , R2 sin cos
R2 sin cos 0 cos r （ 0 定理2的公式取负号）
x 2dydz
D
1
R
cos
cos
2
y,,z dd
R2
(P
S
cos r
Q
cos r
R)dxdy
不同坐标平面第二型曲面积分之间的换算关系
Pdydz Qdzdx Rdxdy
S
(P cos Q cos R cos )dS
S
cos cos
S
(
P
Q
cos
R
cos
)
cos
dS
cos cos
S
(
P
Q
cos
R
cos
)dydz
推论1：设 ：z f x, y , x, y D为光滑曲面，
Q
x
,
y
,
z
dzdx
Q
x
u,
v
,
y
u,
v
,
z
u,
v
z, u,
x v
dudv，
P
x
,
y,
z
dydz
P
x
u,
v
,
y
u,
v
,
z
u,
v
y, u,
z v
dudv
.
cos ,cos ,cos
1 y, z z, x x, y EG F 2 u, v , u,v , u,v
v( x, y, z) (P( x, y, z), Q( x, y, z), R( x, y, z))
S是流速场中的一有向曲面, P( x, y, z), Q( x, y, z),
R( x, y, z)在S上连续, 求单位时间内流经曲面S
的流量?
z
S
o
y
x
1. 分割
把曲面S分成n小块Si ,
Si z ni
P,Q, R在以及边界： 上连续.则
Pdydz
D
P
x,
y,
f
f x
dxdy
Qdzdx
D
Q
x,
y,
f
f y
dxdy
证明： Pdydz P x, y, zcosdS
设F x, y, z z f x, y
∴
切平面的法向量为
f x
,
f y
,
1
cos
f
x