工科数学分析,杨小远,数列极限

1 k , n 2 , 有 xn 0 ; 当 取 k 2
问题: 如何描述这种变化?
定义1.2（数列极限的定义）给定数列{an }, a 为 定数, 若数列满足： 对任意给定的 0 ，都存在 N N *，对于任意的
n N ， பைடு நூலகம்有
an a
则称数列{an }, 的极限为 a ，或收敛到 a ， 记为
主讲教师: 冯伟
办公地点:学院路图书馆西配楼504 wfeng_323@
§1.1 数列与数列极限基本定义
一、概念的引入
1、求圆的面积： 正六边形的面积 A1
R
正十二边形的面积 A2
正 6 2 n 1 形的面积 An
“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，
1
0.5
xn
0
1 1 xn sin n n
-0.5 0
5
10
15
n
20
25
30
1 1 1 由于 xn 0 sin n n n 1 取 , 当 n 2, 有 xn 0 ; 2 1 2 , n 2 , 有 xn 0 ; 当 取 2 2
由此可得规律
例2 设x n C (C为常数), 证明 lim x n C .
n
证 任给 0 , 对于一切自然数n ,
xn C C C 0 成立,
所以,
lim x n C .
n
说明: 常数列的极限等于同一常数.
例3 证
证明 lim q 0, 其中q 1.
例8
求证 lim
n
1 nn
1
预备知识: 几何平均 算术平均，即
n
a1 a2 an a1a2 an n
1 n)n
( a i 0)
证明:
1 nn
(11 n
1 nn
( n 2) 2 n 2( n 1) 1 n n
1 nn
1
2( n 1) 2 n 2 4 1 ，n 2 n n n
1 1 任给 0, 要 x n 1 , 只要 , 或n , n 1 所以, 取N [ ], 则当n N时,
n ( 1) 就有 n
n 1
1
n ( 1) n 1 即 lim 1. n n
na 1， a为任意实数。 类似可证： lim n n
1 n
2 4 0，N 2 1，当n N，有 n 1 n
证明2: 设n 1 hn，则有n (1 hn )n
1 n
n( n 1) 2 n( n 1) 2 n 1 nhn hn hn 2 2
约去n，得
1 n
n1 2 2 2 1 hn ， hn 2 n1
2 2 n 1 hn ， n 2 1， n1
2 2 N 2 1 1 2 2
2 2 0，N 2 2，n N时， n 1 n1
应记住的结果：
n
n
lim a 1 （仿例8）—当 a 1时和a 1时思考
n
lim n n 1
n
a lim n! n n!
n n n n
lim
0 0
a n n! n n
n
lim q 0
q 1
n n
所以2n n
2 n lg n ( ) ， n n 3 3 3 lg( 2 ) 3 n 2n (0 1)
证明:
0
(不妨设 1)，
lg 1， N 2 lg 3
当n N时, 有
n 3
n

n 3
n

2n 3
二、数列的定义
定义: 按自然数 编号依次排列的一列数
x1 , x2 ,, xn ,
称为无穷数列,简称数列. 记为 { xn }
例如
2,4,8,,2 n ,;
{2 n }
1 1 1 1 , , , , n ,; 2 4 8 2
1 { n} 2
1,1,1,, ( 1) n 1 ,;
其中
: 任意的; : 存在.
几何解释:
a
2
a
a
x 2 x1 x N 1
x N 2 x3
x
当n N时, 所有的点 xn都落在(a , a )内.
只有有限个(至多只有N个) 落在其外.
注意：使用定义求极限的过程就是求解不等式.
n ( 1) 例1 证明 lim n n
1
1 1 1 0，N 1，当n N , an 0 n n
m N ，可使m 1，由上 若， 0 1，
*
易得:
1 1 0，N 1，当n N时，总有 m m n 1 即有 n
证明: 0，
放大不等式 简化求解
1 1 N 1，当n N时，有 0 2 ( n 1) 2
例5
证明: lim
n
n
n 3
0
n n 分析: 欲使 n 0 n 3 3
1 2 n 1 因为(1 1)n 1 C n Cn Cn Cn n
{( 1) n 1 }
1 4 n ( 1) n 1 2, , , , ,; 2 3 n
n ( 1) n 1 { } n
注意：数列对应着数轴上一个点列.可看作一动
点在数轴上依次取
x1 , x 2 ,, x n ,.
x3
x1
x2 x4
xn
三、数列的极限
1 1 观察数列 xn sin 的变化趋势 n n
n 1
1.
验证定义；关键求出N
方法：解不等式an a ，求出n
n ( 1)n1 1 0, 为使 an a 1 n n
1 使n , 取N 即可, 表示取整. 1
证
1 n ( 1) n 1 1 xn 1 n n
lim q n 0.
n
“放大不等式”
小结: 关键寻找N,不必最小的N.
例4 证明: lim ( n 1)2 0 n
1
1 1 1 分析: 欲使 an 0 2 2 ( n 1) n 2n 1 2n
1 1 只要n ， N 1 2 2
lim
1

0
( 0)
五、 小结
数列: 研究其变化规律; 数列极限: 精确定义,几何意义; 解不等式;
定义证明数列极限:
作业
习题1.1 1. 2 （2，3, 4）， 3， 4， 5, 6, 7.
n n
任给 0, 若q 0, 则 lim q n lim 0 0;
n n
若0 q 1,
x n 0 q n , n ln q ln ,
ln n , ln q
n
ln 取N [ ], 则当n N时, ln q
就有 q 0 ,
1 n
an a 四、lim n
*
的叙述方法
0，N N ，当一切n N时，成立 an a
否 都成立 0不成立 （否定所有找一个） 否 N成立 N都不成立 （否定一个找所有）
0 0，对一切N N *，n0 N，使 an0 a
N使得当n N时恒有 xn a 1 ,
从而有 xn a
1 xn a xn a a xn a a
故 lim xn a .
n
lim 0，（ 0 ） 例7 证明: n n
1 1 分析: 设 1， an 0 ，N 1 n n 1
n

例6 设xn 0, 且 lim xn a 0,
n
求证 lim xn a .
n
分析:
xn a
xn a xn a a xn a
则， xn a a ,
证 任给 0, 取 1 a ,
lim x n a ,
n
则与圆周合体而无所失矣” ——刘徽
A1 , A2 , A3 ,, An ,
S
2、截丈问题： 庄子：“一尺之棰，日截其半，万世不竭” 1 第一天截下的杖长为 X 1 ; 2 1 1 第二天截下的杖长总和为 X 2 2 ; 2 2


1 1 1 第n天截下的杖长总和为 X n 2 n ; 2 2 2 1 Xn 1 n 1 2
lim an a .
n
如果数列没有极限,就说数列是发散的.
注意：
1. 0, 强调任意性, 而且是任意 小的一面;
2. 不等式 xn a 刻划了xn与a的 无限接近;
3. N与任意给定的正数有关, 只强调存在性.
N定义 :
0, N 0,当n N时, 恒有 xn a .