北航工科数学分析杨小远-第2节收敛数列的性质
合集下载
北京航空航天大学-工科数学分析2014-2015(2)期中
北京航空航天大学2014－2015 学年第二学期期中《工科数学分析（2）》班号学号姓名成绩2015年5月16日一、 选择题（每题4分，满20分）1. 设)}({x f n 是定义在点集D 上的函数列，与“函数项级数)(1x f n n ∑∞=在点集D上一致收敛”等价的论断是下述的（ ）A ．,0>∀ε ∃正整数,N 当,N n m ≥> 对于一切D x ∈都有.|)()(|ε<-x f x f n mB ． ,0>∀ε ∃正整数,N 当,N n m ≥> 对于一切D x ∈都有1|()|.=+<∑mk k n f x εC ． 函数列)}({x f n 在点集D 上一致收敛于.0D ． 对于每一个,D x ∈ ,0>∀ε ∃正整数,N 当,N n m ≥> 1|()|.mk k n f x ε=+<∑2. 幂级数03(2)(1)n nn n x n ∞=+--∑的收敛域为（ ） A.24(,)33 ； B. 24[,)33； C. (3,3)-； D. (2,4)- ． 3. 函数x ye--的二阶Maclaurin 公式为（ ）A. 2()1()()2x y x y o x y +-++++； B. 1()()x y o x y -+++； C. 222()1()()2x y x y o x y +-++++； D. 222()1()()2x y x y o x y ++++++．4.函数z f x y =(,)在点(,)x y 00处具有偏导数是它在该点存在全微分的（ ）A. 必要而非充分条件；B. 充分而非必要条件；C. 充分必要条件；D. 既非充分又非必要条件． 5. 已知二元函数242(,)x yf x y x y =+，下面命题正确的是（ ）①0000lim lim(,)lim lim (,)0x y y x f x y f x y →→→→==； ②0000lim lim(,),lim lim (,)x y y x f x y f x y →→→→不存在；③ 0lim (,)0x y f x y →→=；④0lim(,)x y f x y →→不存在.A. ①③B. ②③C. ①④D. ②④二、（每题6分，满分30分）1. 设(),z F x z y =+，求方程所确定的隐函数的偏导数.x xy z z ，2. 求函数u xyz =在点(1,1,1)M ，沿方向 (2,1,3)=-rl 的方向导数与梯度。
毕设论文-数学分析中的问题与反例
Key words: Mathematical Analysis, Counterexample, Fuction
北 京 航 空 航 天 大 学 毕 业 设 计 (论 文 )
第页
目录
1 绪论…………………………………………………………………………………1
1.1 课题背景及目的……………………………………………………………….1
摘要
学 生：李 蕾 指导老师：孙玉泉
数学分析是一门很重要的基础课程，对学生数学思想的形成，后继课程的 学习都有着重要的意义。而在数学分析中存在很多定理命题，运用恰当的反例从 另一个侧面抓住概念或规则的本质，进而更容易加深对知识的理解。反例思想是 数学分析中的重要思想，在概念、性质的理解，问题的研究与论证中都具有不可 替代的独特作用。恰当地运用反例，对于正确理解概念、巩固和掌握定理、公式、 法则等，培养学生的逻辑思维能力，预防和纠正错误，将起着十分重要的作用。 本文针对这个问题，深入细致研究了数学分析中的很多问题的反例。系统的对数 学分析中的反例进行总结研究，共分为数列、函数、微积分、级数、多元函数五 个部分，各部分之间并非完全独立。针对多数定理及命题，用逆向思维方法从问 题的反面出发，如果有问题，举出反例证实。本文所选的问题和反例比较典型， 难度适中，解法精巧，富有启发性。本文对理解数学分析的基本概念，掌握数学 分析的基本理论和技巧很有好处。
1.3 课题研究方法
数学分析中有许多重要的典型反例,这些反例是数学分析理论不可缺少的重 要组成部分。对于数学分析中的一些重要问题寻找反例，加深对概念等的理解， 以及学习构造反例的方法。
32515151数项级数数项级数数项级数525252函数列与函数列级数及其一致收敛性函数列与函数列级数及其一致收敛性函数列与函数列级数及其一致收敛性多元函数多元函数多元函数616161多元函数的极限与连续及其微分学多元函数的极限与连续及其微分学多元函数的极限与连续及其微分学626262重积分与参变量积分重积分与参变量积分重积分与参变量积分结论结论结论
北 京 航 空 航 天 大 学 毕 业 设 计 (论 文 )
第页
目录
1 绪论…………………………………………………………………………………1
1.1 课题背景及目的……………………………………………………………….1
摘要
学 生：李 蕾 指导老师：孙玉泉
数学分析是一门很重要的基础课程，对学生数学思想的形成，后继课程的 学习都有着重要的意义。而在数学分析中存在很多定理命题，运用恰当的反例从 另一个侧面抓住概念或规则的本质，进而更容易加深对知识的理解。反例思想是 数学分析中的重要思想，在概念、性质的理解，问题的研究与论证中都具有不可 替代的独特作用。恰当地运用反例，对于正确理解概念、巩固和掌握定理、公式、 法则等，培养学生的逻辑思维能力，预防和纠正错误，将起着十分重要的作用。 本文针对这个问题，深入细致研究了数学分析中的很多问题的反例。系统的对数 学分析中的反例进行总结研究，共分为数列、函数、微积分、级数、多元函数五 个部分，各部分之间并非完全独立。针对多数定理及命题，用逆向思维方法从问 题的反面出发，如果有问题，举出反例证实。本文所选的问题和反例比较典型， 难度适中，解法精巧，富有启发性。本文对理解数学分析的基本概念，掌握数学 分析的基本理论和技巧很有好处。
1.3 课题研究方法
数学分析中有许多重要的典型反例,这些反例是数学分析理论不可缺少的重 要组成部分。对于数学分析中的一些重要问题寻找反例，加深对概念等的理解， 以及学习构造反例的方法。
32515151数项级数数项级数数项级数525252函数列与函数列级数及其一致收敛性函数列与函数列级数及其一致收敛性函数列与函数列级数及其一致收敛性多元函数多元函数多元函数616161多元函数的极限与连续及其微分学多元函数的极限与连续及其微分学多元函数的极限与连续及其微分学626262重积分与参变量积分重积分与参变量积分重积分与参变量积分结论结论结论
收敛数列的性质和函数极限的性质共28页PPT
42、只有在人群中间，才能认识自 己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
45、自己的饭量自己知道。——苏联
收敛数列的性质和函数极限的性质
•
46、寓形宇内复几时，曷不委心任去 留。
•
47、采菊东篱下，悠然见南山。
•
48、啸傲东轩下，聊复得此生。
•
49、勤学如春起之Байду номын сангаас，不见其增，日 有所长 。
•
50、环堵萧然，不蔽风日；短褐穿结 ，箪瓢 屡空， 晏如也 。
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
45、自己的饭量自己知道。——苏联
收敛数列的性质和函数极限的性质
•
46、寓形宇内复几时，曷不委心任去 留。
•
47、采菊东篱下，悠然见南山。
•
48、啸傲东轩下，聊复得此生。
•
49、勤学如春起之Байду номын сангаас，不见其增，日 有所长 。
•
50、环堵萧然，不蔽风日；短褐穿结 ，箪瓢 屡空， 晏如也 。
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
收敛数列的性质和函数极限的性质
x x0
2. 局部有界性
定理 2.2 若在 x 的某个极限过程中, f ( x)有
极限,则存在这个过程的一个时刻, 在此时刻以
后 f ( x)有界.
2021/4/21
21
如：(1) 若 lim f ( x) A, A R
x x0
则 U ( x0, ),
f ( x)在U ( x0 , )上有界.
x x0
x x0
(2) 设 lim f ( x) A, lim g( x) B,且A B
x x0
x x0
则 0,x U ( x0, ), 有 f ( x) g( x).
2021/4/21
24
问题: 若 f (x) < g(x), 能否推出
lim f ( x) lim g( x) ？
x x0
a (2) 用反证法证明.
注
由
xn
0
(n
N0 )，且
lim
n
xn
a
如：
xn
1 n
0,
但
lim
n
xn
lim
n
1 n
0.
a 0.
2021/4/21
12
推论2.3 (保序性)
(1) 若 N N ，使当n > N 时，恒有
xn yn
且 lim xn a , lim yn b，则 a b.
n
n
(2) 若
ab 2
矛盾！故假设不真 !
2021/4/21
5
例1 证明数列 xn (1)n1(n 1,2,) 是发散的.
证 用反证法.
假设数列{ xn } 收敛 , 则有唯一极限 a 存在 .
对于
2. 局部有界性
定理 2.2 若在 x 的某个极限过程中, f ( x)有
极限,则存在这个过程的一个时刻, 在此时刻以
后 f ( x)有界.
2021/4/21
21
如：(1) 若 lim f ( x) A, A R
x x0
则 U ( x0, ),
f ( x)在U ( x0 , )上有界.
x x0
x x0
(2) 设 lim f ( x) A, lim g( x) B,且A B
x x0
x x0
则 0,x U ( x0, ), 有 f ( x) g( x).
2021/4/21
24
问题: 若 f (x) < g(x), 能否推出
lim f ( x) lim g( x) ？
x x0
a (2) 用反证法证明.
注
由
xn
0
(n
N0 )，且
lim
n
xn
a
如：
xn
1 n
0,
但
lim
n
xn
lim
n
1 n
0.
a 0.
2021/4/21
12
推论2.3 (保序性)
(1) 若 N N ，使当n > N 时，恒有
xn yn
且 lim xn a , lim yn b，则 a b.
n
n
(2) 若
ab 2
矛盾！故假设不真 !
2021/4/21
5
例1 证明数列 xn (1)n1(n 1,2,) 是发散的.
证 用反证法.
假设数列{ xn } 收敛 , 则有唯一极限 a 存在 .
对于
§2.2收敛数列的性质
n n 1. 由两边夹定理， lim n
n hn 1
证毕
an 例5. 证明: lim 0 ，其中 a 0 . n n ! 证明：当 n [ a ] 1 时，有
k a a a a a a a a a a 0 n! 1 2 [a] ([a] 1) ([a] 2) (n 1) n [a]! n
当 n N1 时，有：
an a
(1) (2)
当 n N 2 时，有： bn b
取 N max N1 , N 2 0, 则当 n N 时, 有
(1)(2)式同时成立. 进而
an a bb 2 ① an bn a b b nbn
M max x1 , x2 , , x N , a 1 , a 1
xn M ( n 1 , 2 , ) .
由此证明收敛数列必有界. 说明: 此性质反过来不一定成立 . 例如, 数列 (1 ) n1 虽有界但不收敛 .
此定理的 逆否命题？
3. 收敛数列的保号性. 定理3 若 且 时, 有 直观:
(2) lim yn lim z n a
n n
n
lim xn a
定理特殊情况
直观:
yn a 或 zn a
a
(1) yn xn zn ( n N 0 )
(2) lim yn lim z n a
n n
n
lim xn a
想 证
寻找N 是关键
0 , N , 当 n N 时, 有 xn a ,
证明直观:
n hn 1
证毕
an 例5. 证明: lim 0 ，其中 a 0 . n n ! 证明：当 n [ a ] 1 时，有
k a a a a a a a a a a 0 n! 1 2 [a] ([a] 1) ([a] 2) (n 1) n [a]! n
当 n N1 时，有：
an a
(1) (2)
当 n N 2 时，有： bn b
取 N max N1 , N 2 0, 则当 n N 时, 有
(1)(2)式同时成立. 进而
an a bb 2 ① an bn a b b nbn
M max x1 , x2 , , x N , a 1 , a 1
xn M ( n 1 , 2 , ) .
由此证明收敛数列必有界. 说明: 此性质反过来不一定成立 . 例如, 数列 (1 ) n1 虽有界但不收敛 .
此定理的 逆否命题？
3. 收敛数列的保号性. 定理3 若 且 时, 有 直观:
(2) lim yn lim z n a
n n
n
lim xn a
定理特殊情况
直观:
yn a 或 zn a
a
(1) yn xn zn ( n N 0 )
(2) lim yn lim z n a
n n
n
lim xn a
想 证
寻找N 是关键
0 , N , 当 n N 时, 有 xn a ,
证明直观:
北航工科数学分析杨小远-第2节收敛数列的性质
a n b n c n , n 1 , 2 , 3 , , 且 l n a i n m l n c i n , 则 m
证明
ln i a m nln i b m nln i c m n .
设 ln i a m nln i c m na ,则
由于
lim
n
bn
b,对来自0,N2 ,s.t
当
nN 2时 ,有 | bnb|b 22.
因此当n max{N1, N2 }时, 便有
| b 1 n1 b|b 2 2|bnb|.
即证得, lim 1 1 .
b n n
b
再由(2)易见结论成. 立
应用举例
例1: 求ln i m 25n n22 34n n 14.
2o 设 ln i m ana,ln i m bnb,且 ab,则 N 当 nN时 ,有anbn;
3 o设 ln i a m na ,ln i b m nb ,若 N 当 n ,N 时 , 有 a nb n,则 a 有 b .
收敛数列性质
证明 ( 1 ) 取 a 2, N 1 ,当 n N 1 ,|a n a |
解 li(1 m q q 2 .. .q n 1) n lim 1 qn n 1 q lim1 limqn n1q n1q
1 1 lim qn 1 . 1q 1qn 1 q
夹逼定理
三、夹逼定理
定理2.5： 若数 {an}列 {,bn}{,cn}满足：
当nN时 , 恒有
§1.2收敛数列的性质
收敛数列性质
一、 收敛数列的基本性质
定理2.1 (唯一性)若数列收敛, 则其极限唯一.
北京航空航天大学《工科数学分析》考试试题及参考答案(2012-2013第一学期)
3. 证明下面问题（10 分） 设数列 xn 满足 xn1 xn 4. 证明下面不等式 (10 分)
e x sin x 1
x2 , x 0, p . 2
5. （ 10 分 ） 设 函 数 f x 和 g x 在 a, b 存 在 二 阶 导 数 ， 并 且 g '' x 0 , 且
二、第一次考试题目及答案
1. 计算下面各题（满分 40 分，每个题目 5 分） 1) 2) 计算极限 lim
x 0
1 x sin x 1 e x 1
2
.
求下面无穷小的阶
1 tan x 1 sin x x 0 .
3)
设 f sin x 设
cos x
0 x p
8)
1 x m sin , x 0, 已知 f x m 为正整数. x 0, x 0.
求:
m 满足什么条件，函数在 x 0 连续，
------------------------------------------------------------------------------基金项目： 《北京市精品课程建设》项目和校重点教改项目《工科数学分析开放式教学研究与实践》资助. 作者简介：杨小远(1964-)，女，籍贯：江苏，博士，北京航空航天大学数学与系统科学学院教授.主要研究 方向计算数学、应用调和分析和图像处理,电子邮箱：xiaoyuanyang@.
n P2
........
1 1 1 1 n P2 ........ 1 n P1 2 2 2 2
1 p 1 1 1 2 n 1 2n1 . 2 2
工科数学分析教程.上册(杨小远[等]编著)PPT模板
![工科数学分析教程.上册(杨小远[等]编著)PPT模板](https://img.taocdn.com/s3/m/64a5d3d5b52acfc788ebc93d.png)
第6章函数的 Riemann积分 与Lebesgue积 分初步
0 1
6.1定积分的基 本概念
0 2
6.2可积的条件
0 3
6.3微积分的基 本定理
0 4
6.4定积分的计 算：分部积分 与换元公式
0 5
6.5积分中值定 理
0 6
6.6关于定积分 的进一步讨论： Lebesgue定理
第6章函数的Riemann积分与Lebesgue积分 初步
10.3函数项级数的一 致收敛性
10.5幂级数
10.2函数序列的一致 收敛性
10.4函数项级数和函 数的性质
10.6幂级数的应用
第10章函数序列与函 数项级数
探索类问题
13
参考文献
参考文献
感谢聆听
A
9.1数项 级数的收
敛性
D
9.4一般 级数的收
敛问题
第9章数项级数
B
9.2正项 级数的比 较判别法
E
9.5绝对 收敛和条
件收敛
C
9.3正项 级数的其 他判别法
F
9.6级数 的乘法
第9章数项级数
*9.0章函数序列与函数项级数
第10章函数序列与函数项级数
10.1函数序列和函数 项级数的几个基本概念
05
2.5连续函 数
03
2.3函数的 基本概念和
性质
06
2.6函数极 限的其他形
式
第2章函数极限与连续
2.7收敛速度问题：无穷 小与无穷大的阶的比较
2.8函数的一致连续性
2.9有限闭区间上连续函 数的性质
*2.10关于函数极限和连 续的进一步讨论
探索类问题
05
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
0 , N 1,n N 1:|a n a|2 (M 1 ),
N2,nN2:|bnb|2(a1),
取 N m N 1 , N 2 } 当 a n , N , 得 x | a n b n a { | .b
(3) 先证 lim 1 1
b n n
b
对 |b 2 | 0 , 于 N 1 ,s .t当 n N 1 时 ,
即证得, lim 1 1 .
b n n
b
再由(2)易见结论成. 立
应用举例
例1: 求ln i m 25n n22 34n n 14.
解
原式
lim
n
2 5
3
n 4
n
4
n2 1
n2
lim2
n
lim5
n
lim3 n n lim4 n n
lnim n42 lnim n12
2 5
应用举例
例2 设 |q | 1 ,计算 li( 1 m q 极 q 2 . .q 限 .n 1 ) n
n
证明： 由不等式
a k n a k n n a 1 n a 2 n a k n n k k n a k
由夹逼定理
lim na1 na2 n ak nak
n
经典例题
例6 已 l n i a n m 知 a ,求 l n i a 1 m 证 a 2 n a n a .
定理2.6 如果数列 {an } 收敛于 a，那么它的任 一子数列也收敛于 a.
数列子列
证明 设 { xnk } 是数列 { xn } 的任一子列，由
ln im xna, 故对于任意给定的正数
存在着正整数 N , 当 nN时，
|xna| 成立。
取 KN, 则当 kK时，n k n K n N N .
证明： a1a2 ana n
(a 1 a ) (a 2 a ) (a n a ) n
令 nana 则ln i mn0，上式变为
12 N n
n
经典例题
0 , N N * ,n N 时 n ， 2 12 N n
n
|12 N|(nN)
n
n2
lim 12 N0,
n
n
N 1N *,使 nN 1 时 |12 n N|2,
1
1
1annn
由于 lim nn 1 1, 由夹逼定理 ,知 n
lim an 1 1对 a1成.立
n
再 a 设 (0 ,1 )这 , a 1 时 1 ,于是
1
11
liman
n
1
lim1n
1. 1
na
夹逼定理应用
例5 设 0 a 1 a 2 a k 则
lim na1 na2 n ak nak
解 li(1 m q q 2 .. .q n 1) n lim1 qn n 1 q lim1 limqn n1q n1q
1 1 lim qn 1 . 1q 1qn 1 q
夹逼定理
三、夹逼定理
定理2.5： 若数 {an}列 {,bn}{,cn}满足：
a n b n c n , n 1 , 2 , 3 , , 且 l n a i n m l n c i n , 则 m
|
bn
b||
b|, 2
且此 |bn时 ||b 2|0.
所以当n N1时, 有
| 11||bnb| bn b |bnb|
2 b2
|
bn
b
|
.
极限的四则运算
由于
lim
n
bn
b,
对
0,
N2 ,
s.t
当
nN 2时 ,有 | bnb|b 22.
因此当n max{N1, N2 }时, 便有
| b 1 n1 b|b 2 2|bnb|.
又lim n lim 1 n n2 n n 11
1,
n
lim n ln12
li(m 11 1) 1 .
n n 2 1 n 2 2
n 2 n
夹逼定理应用
例4 设 a0求 , :l证 ia m n 11 n
证 先 a 1 设 当 ,n a 时 ,有
n
n
s n ( s n s 1 ) ( s n s 2 ) ( s n s n 1 ) n
nns (s1n s2 sn)sn(s1 nsn)由0.例6
四、子列极限
数列子列
定义2.2 在数列 {an }中按照先后次序任意抽取
无限多项这样得到的一个数列称为{a nk }
原数列的子数列，简称子列.
1 2 n .
n
22
经典例题
例7 证明 若 l n （ ia m 1 a 2 a n ） s ,
则 li（ m a 1 2 a 2 nn ） a 0 ,
n
n
证明： 令 s i a 1 a 2 a i,则 l i i s i m 0 .
（ a 1 2 a 2 n n ） a s n （ a 2 ( n 1 ) a n ）
于 x n k 是 a | ,证 ｜ l n i x n k m 得 a .
五、 无穷小
无穷小
定义2.3：如果收敛{an数 }的列 极限 0,那 为么 这个数列称为,无 简穷 称小 无.列 穷小
定理2.7 1o{an}为无穷小的充 {|an要 |}为条 无件 穷 ; 是 小
2o两个无穷 (或 小 )差 仍 之是 和无 ; 穷小
证明
ln i a m nln i b m nln i c m n .
设 ln i a m nln i c m na ,则
0 , N 1 0 ,N 2 0 ,使得
当 n N 1 时a 恒 n a 有 , 当 n N 2 时c 恒 n a 有 ,
取 N mN a 1 ,N x 2 }{ ,上两式同时成立,
即 a a n a , a c n a ,
当nN时 , 恒有
a a n b n c n a ,
即 bna成,立ln i m xna.
夹逼定理应用
例3 求 li(m 1 1 1).
n n 2 1 n 2 2
n 2 n
解 n1 1n,
n 2 nn 2 1 n 2 nn 2 1
极限的四则运算
证 (1)由绝对值的三角不等得 式; 可
( 2 ) |a n b n a | |a n b b n a n a b n a b | b
|a n a |b n || |a |b n | b |. 由 a n ， b n 收敛 ,b n 有 ， |b n 界 |可 M 和 得
N2,nN2:|bnb|2(a1),
取 N m N 1 , N 2 } 当 a n , N , 得 x | a n b n a { | .b
(3) 先证 lim 1 1
b n n
b
对 |b 2 | 0 , 于 N 1 ,s .t当 n N 1 时 ,
即证得, lim 1 1 .
b n n
b
再由(2)易见结论成. 立
应用举例
例1: 求ln i m 25n n22 34n n 14.
解
原式
lim
n
2 5
3
n 4
n
4
n2 1
n2
lim2
n
lim5
n
lim3 n n lim4 n n
lnim n42 lnim n12
2 5
应用举例
例2 设 |q | 1 ,计算 li( 1 m q 极 q 2 . .q 限 .n 1 ) n
n
证明： 由不等式
a k n a k n n a 1 n a 2 n a k n n k k n a k
由夹逼定理
lim na1 na2 n ak nak
n
经典例题
例6 已 l n i a n m 知 a ,求 l n i a 1 m 证 a 2 n a n a .
定理2.6 如果数列 {an } 收敛于 a，那么它的任 一子数列也收敛于 a.
数列子列
证明 设 { xnk } 是数列 { xn } 的任一子列，由
ln im xna, 故对于任意给定的正数
存在着正整数 N , 当 nN时，
|xna| 成立。
取 KN, 则当 kK时，n k n K n N N .
证明： a1a2 ana n
(a 1 a ) (a 2 a ) (a n a ) n
令 nana 则ln i mn0，上式变为
12 N n
n
经典例题
0 , N N * ,n N 时 n ， 2 12 N n
n
|12 N|(nN)
n
n2
lim 12 N0,
n
n
N 1N *,使 nN 1 时 |12 n N|2,
1
1
1annn
由于 lim nn 1 1, 由夹逼定理 ,知 n
lim an 1 1对 a1成.立
n
再 a 设 (0 ,1 )这 , a 1 时 1 ,于是
1
11
liman
n
1
lim1n
1. 1
na
夹逼定理应用
例5 设 0 a 1 a 2 a k 则
lim na1 na2 n ak nak
解 li(1 m q q 2 .. .q n 1) n lim1 qn n 1 q lim1 limqn n1q n1q
1 1 lim qn 1 . 1q 1qn 1 q
夹逼定理
三、夹逼定理
定理2.5： 若数 {an}列 {,bn}{,cn}满足：
a n b n c n , n 1 , 2 , 3 , , 且 l n a i n m l n c i n , 则 m
|
bn
b||
b|, 2
且此 |bn时 ||b 2|0.
所以当n N1时, 有
| 11||bnb| bn b |bnb|
2 b2
|
bn
b
|
.
极限的四则运算
由于
lim
n
bn
b,
对
0,
N2 ,
s.t
当
nN 2时 ,有 | bnb|b 22.
因此当n max{N1, N2 }时, 便有
| b 1 n1 b|b 2 2|bnb|.
又lim n lim 1 n n2 n n 11
1,
n
lim n ln12
li(m 11 1) 1 .
n n 2 1 n 2 2
n 2 n
夹逼定理应用
例4 设 a0求 , :l证 ia m n 11 n
证 先 a 1 设 当 ,n a 时 ,有
n
n
s n ( s n s 1 ) ( s n s 2 ) ( s n s n 1 ) n
nns (s1n s2 sn)sn(s1 nsn)由0.例6
四、子列极限
数列子列
定义2.2 在数列 {an }中按照先后次序任意抽取
无限多项这样得到的一个数列称为{a nk }
原数列的子数列，简称子列.
1 2 n .
n
22
经典例题
例7 证明 若 l n （ ia m 1 a 2 a n ） s ,
则 li（ m a 1 2 a 2 nn ） a 0 ,
n
n
证明： 令 s i a 1 a 2 a i,则 l i i s i m 0 .
（ a 1 2 a 2 n n ） a s n （ a 2 ( n 1 ) a n ）
于 x n k 是 a | ,证 ｜ l n i x n k m 得 a .
五、 无穷小
无穷小
定义2.3：如果收敛{an数 }的列 极限 0,那 为么 这个数列称为,无 简穷 称小 无.列 穷小
定理2.7 1o{an}为无穷小的充 {|an要 |}为条 无件 穷 ; 是 小
2o两个无穷 (或 小 )差 仍 之是 和无 ; 穷小
证明
ln i a m nln i b m nln i c m n .
设 ln i a m nln i c m na ,则
0 , N 1 0 ,N 2 0 ,使得
当 n N 1 时a 恒 n a 有 , 当 n N 2 时c 恒 n a 有 ,
取 N mN a 1 ,N x 2 }{ ,上两式同时成立,
即 a a n a , a c n a ,
当nN时 , 恒有
a a n b n c n a ,
即 bna成,立ln i m xna.
夹逼定理应用
例3 求 li(m 1 1 1).
n n 2 1 n 2 2
n 2 n
解 n1 1n,
n 2 nn 2 1 n 2 nn 2 1
极限的四则运算
证 (1)由绝对值的三角不等得 式; 可
( 2 ) |a n b n a | |a n b b n a n a b n a b | b
|a n a |b n || |a |b n | b |. 由 a n ， b n 收敛 ,b n 有 ， |b n 界 |可 M 和 得