北航2015-2016年工科数分(1)期末_A卷_答案
北京航空航天大学信号与系统模拟试题与答案
北京航空航天大学2015 ～2016 学年第 2 学期_信号与系统_期末考试试卷班级：__________；学号：______________；姓名：__________________；成绩：___________一、(15分)已知某连续LTI 系统的单位冲激响应为h(t)=sint*u(t)，求当输入信号为u(t)-2u(t-2pi)+u(t-4pi)时的输出响应y(t).11)(2+=s s H )21(1)(42s s e e s s X --+-= )21()1(1)(422s s e e s s s Y --+-+= )4()4cos(21)4()2()2cos()2(2)(cos 21)()(ππππππ----+--+---=t u t t u t u t t u t tu t u t y二、(15分)某连续时间LTI 系统是因果，稳定的。
其系统函数的零极点分布如图，已知当输入信号x(t)=|cos(t)|是，系统输出的直流分量为5/pi,(1)确定该系统的系统函数H （s ）(2)当输入信号x(t)=1时，求系统的输出y(t)|)cos(|)(t t x =的直流分量π2)21)(21)(4(2)2(5)(j s j s s s s H ++-++-= )(25)(t u t y =三、(15分)已知f(t)是一个因果信号，即f(t)=f(t)u(t),f(t)的频谱函数为F(jw)=R(jw)+jX(jw) 请导出由F(jw)的实部R(jw)确定虚部X(jw)和由虚部X(jw)确定实部R(jw)的关系式。
当函数)(t h 的傅里叶变换存在时，对)()(t u t h =两端进行傅里叶变换，并运用傅里叶变换时域卷积性质，得到]1)([)(21)(ωωπδωπωj H H +⊗= 令)()()(ωωωjX R H +=，则]1)([)]()([21)()(ωωπδωωπωωj jX R jX R +⊗+=+ ]1)()([2]1)()([21ωωωππωωωππ⊗-+⊗+=R X j X R 即])(21)(21[])(21)(21[)()(λλωλπωλλωλπωωωd R X j d X R jX R ⎰⎰∞∞-∞∞---+-+=+ 故])(1)(λλωλπωd X R ⎰∞∞--=])(1)(λλωλπωd R X ⎰∞∞---= 四、(10分)对图示离散时间LTI 系统，确定系数c1,c2,d,使该系统成为一个全通系统，且对所有的ω，该系统的幅频特性|H （e^jw)|=1)()()4()()(2112z Y z z W d c z z W c z dW =+++-- 2122)4()(zd c z c dz z H +++= d=1,c2=0,c1=-0.25五、(15分)序列x(n)通过一个单位脉冲响应为g(n)的LTI 系统，产生的输出为sigma(n);将sigma(n)反褶成sigma(-n)后，再让sigma(-n)通过一个同样的系统，产生输出w(n);再将w(n)反褶成最终的输出y(n)=w(-n),其过程如图所示。
北京航空航天大学第2学期《数字电子技术基础》期末考试试题(A卷) 答案
《 数字电子技术基础》期末考试A 卷标准答案及评分标准一、 1、评分标准：分步酌情给分。
2、解：D C B B D B D +++=D A A C B F∑=0)10,4,1(d评分标准：卡诺图画对得2分，化简后的式子得2分，约束方程1分3、按照波形酌情给分。
4、（1）a 图在OC 门输出高电平时发亮；b 图在OC 门输出低电平时发亮。
2分 （2）105.15R 155.151-≤≤- 即： 230Ω≤R 1≤350Ω100.3-5.15R 120.3-5.152-≤≤- 即： 270Ω≤R 2≤320Ω 求出R 1、R 2得2分5、s 10485.11RC .1t 3W -⨯== 4分二、有式子改写成标准式或写出真值表或画出卡诺图得6分，用八选一数据选择器画出电路图得6分。
从卡诺图可直接画出电路图三、A>B 时：[]B -=++=A 1B A S 反 6分 A<B 时：[]A -=++=B 1A B S 反 6分四、每个图6分 五、F A B C D74LS194状态图为：Q1Q2Q3111→110→101→010→100→001→011画出194状态图得10分。
Z输出的序列为：010011，010011 得3分六、（1）状态转换表写出转换表得4分（2）求激励方程XQQQQQD12121n22+==+求出D2得4分XQQXQQXQQXQQXQQD12121212121⊕⊕=+++=求出D1得4分XQXQZ12+=求出Z得3分七、（1）说出161的计数长度得6分。
（2）写出W、X、Y、Z函数表达式得6分。
（3）写出输出序列得4分。
北京理工大学2015学年第二学期《工科数学分析》期末考试卷及参考答案
4
九. (9 分) 把 f (x) = x ln(2 + x) 展成 x + 1的幂级数, 并指出收敛域. 十. (9 分) 证明 (2x cos y − y2 sin x)dx + (2 y cos x − x2 sin y)dy = 0 是全微分方程, 并求其通解.
5
∫∫ 十一. (9 分) 计算积分 I = S
……………….(7 分)
∑ = −(x + 1) + ∞ (−1)n ( 1 + 1 )(x + 1)n
n=2
n n −1
………….(8 分)
收敛域为 − 2 < x ≤ 0
……………….(9 分)
十.
∂Y = −2 y sin x − 2xsin y = ∂X
∂x
∂y
故所给方程是全微分方程
……………….(2 分)
= 1 − sin1
……………….(8 分)
三.
fx′ = 2x(2 + y2 )
f y′ = 2x2 y + ln y + 1
令 fx′ = 0
f y′ = 0
得x=0 y=1 e
……………….(2 分) ……………….(3 分)
fx′′2 = 2(2 + y2 )
fx′′y = 4xy
f y′′2
dy − dx xz dy
dz = dx + xy
1 dz
z dx dz =
0
dx dx
将点 P 代入得
1 + 3 +
dy
dx dy
− +
dz = dx 3 dz
dz dx =0
2017北航期末试卷A-评分标准
北京航空航天大学2016－2017 学年第二学期期末《机械原理》考试A（B）卷----评分标准班级____________任课教师___________姓名____________学号___________2017年6月19 日1. （本题14分）计算图示系统的自由度。
如有复合铰链、局部自由度、虚约束应注明。
若取图中绘有箭头的构件为原动件，试判断系统能否成为机构？为什么？ABCDE F GHI评分标准：E 处为复合铰链 （1分） H （或I ）为虚约束 （1分） B 处滚子为局部自由度 （1分）计算部分分解法1：，，（6分，每个2分）32362811L HF n P P =−−=⨯−⨯−= （公式2分，结果1分） 自由度数等于原动件数，所以该系统能成为机构（原因1分，结论1分）计算部分分解法2：，，（6分，每个2分）323729111L H F n P P k=−−−=⨯−⨯−−= （公式2分，结果1分） 自由度数等于原动件数，所以该系统能成为机构（原因1分，结论1分）2、（本题14分）在下图所示的机构中，已知原动件１以等角速度ω1沿顺时针方向转动，在图示瞬间，完成以下任务： （1）标出全部瞬心位置；（2）用瞬心法确定M 点的速度V M 的大小（只需写出表达式），并标出V M 的方向。
评分标准:(1)瞬心数目 (1)4(41)622n n −⨯−==各瞬心位置如图所示。
（标出每个瞬心2分，共12分） (2)13131M p AP v v l ω== 1分方向如图所示，竖直向下。
1分3、（本题15分）如图所示为某机床变速箱中操纵滑动齿轮的操纵机构。
已知滑动齿轮的行程H=12mm，lDE =20mm，lCD=24mm，lAD=50mm，其相互位置尺寸如图所示（图注长度尺寸单位为mm），当滑动齿轮在行程的左端时，要求操纵手柄为铅垂方向。
重新作图设计此机构：（1）确定lAB 和lBC（注：B点为示意图，并非实际位置）；（2）当单独考虑铰链四杆机构ABCD时，求该机构的最小传动角。
北航2015-2016年工科数分（1）期末_A卷_答案
北航2015-2016年⼯科数分（1）期末_A卷_答案北京航空航天⼤学2015－2016 学年第⼀学期期末考试《⼯科数学分析（Ⅰ）》（A卷）班号学号姓名主讲教师考场成绩2016年01⽉20⽇1. 下列命题中错误的是（D ）A. 若()f x 在区间(,)a b 内的原函数是常数，则()f x 在(,)a b 内恒为0;B. 若],[)(b a x f 在上可积, 则],[)(b a x f 在上必有界；C. 若],[)(b a x f 在上可积, 则()f x 在区间[,]a b 上也可积；D. 若],[)(b a x f 在上不连续，则],[)(b a x f 在上必不可积 . 2. 设()f x 满⾜等式120()2()d f x x f x x =-?，则1()d f x x ?=（ B ）A. 1;B. 1;9C. 1;-D. 1.3-3. 设函数()f x 可导，则（ C ） A.()d ();f x x f x =?B.()d ();f x x f x '=?C. ()d()d ();d f x x f x x=?D.()d ()d ().d f x x f x C x=+?4. 下列⼴义积分中，发散的是（ C ）A.1dx +∞； B.211dx x+∞?； C. 11sin d xx x+∞+?； D. 1sin d .x e x x +∞-?5. 瑕积分 31ln dxx x=?（ C ）A. l n l n 3;B. 0;C. ;+∞D. 1.1.22325x dx x x -++?解：2222223(22)52525(25)152525x x dx dxx x x x d x x dx x x x x -+-=++++++=-++++2221ln(25)512x x dx x =++-++?（） 251ln(25)arctan .22x x x C +?? =++-+建议：拆成两项2分，积分计算各2分。
工科数学分析期末考试_2015(试题)B
5.圆柱面 介于 和 之间的曲面面积为.
二、单项选择题（每题4分，共12分）
（多选不得分）
6．若二阶连续可微函数 满足 ，则（）
（Hale Waihona Puke ）只要 ，则 必为 的极小值点；（B）只要 ，则 必为 的极大值点；
（C）只要 ，则 必为 的极值点；
（D）只要 ，则 必不是 的极值点.
7.设曲线 是从 到 的上半圆周 ，则第二类曲线积分 化为第一类曲线积分为（）
12．求曲线积分 ，其中 （从 到 ）.
13.求齐次线性微分方程组 满足 的特解．
14.设 ，试求常数 的值使得 在区域 上与路径无关，并求 在 内的原函数.
15.证明：曲面 上任意一点处的切平面均通过某定点，其中 和 为常数，函数 有连续的一阶偏导数.
一、填空题（每题4分，共20分）
1.曲线积分 .
2.设 ，则 在（0,0）点.
A.连续；B.两个偏导数都存在；C.可微；D.沿任意方向的方向导数均为0.
（选择ABCD中的一个填空.)
3.若 为微分方程 的三个解，则该方程满足 的特解是.
4.在列向量场中，的散度为0.
（选择ABCD中的一个填空）
A. ；B. ；
（A） ；
（B） ；
（C） ；
（D） .
8．微分方程 的一个特解应具有形式是（）
(A) ；（B） ；
（C） ；（D） ．
三、解答题（第15题8分，其余每题10分，共68分）
9.计算三重积分 ,其中 是曲面 和平面 所围的区域.
10.求曲面积分 ，其中 ，取上侧.
11.设函数 具有二阶连续导数，函数 满足方程 ，若 ， ，求函数 的表达式.
北京航空航天大学工程热力学2015-2016试卷(正式)
北京航空航天大学2015－2016学年第一学期期末《工程热力学》考试卷班级______________学号 _________姓名______________成绩 _________2016年1月13日《工程热力学》期末考试卷注意事项： 1、闭卷考试，卷面总分100分，按要求答题。
2、单选题将最适合的选项写在题目答案横线内。
3、作图题、简答题、证明题、计算题将答案直接写在题后答题纸上。
题目：一、单选题……………………………………………………………( 分)二、作图题……………………………………………………………( 分)三、简答题……………………………………………………………( 分)四、证明题……………………………………………………………( 分)五、计算题……………………………………………………………( 分)－、单选题（40分，每小题2分）1. 在大气环境中，工质及气缸、活塞组成的系统经循环后，系统的输出功。
A. 需要减去排斥大气做的功;B. 不需要减去排斥大气做的功;C. 等于零;D. 无法计算。
2．气体常量RgA. 与气体种类有关，与状态无关；B. 与状态有关，与气体种类无关；C. 与气体种类和状态均有关；D. 与气体种类和状态均无关。
3．下面说法正确的是。
A．无约束的自由膨胀为一可逆过程；B．混合过程是一不可逆过程；C．准静态过程就是可逆过程；D．可逆过程是实际上不可实现过程。
4．准平衡过程是指___ ___的过程。
A. 过程中弛豫时间很长；B. 过程中不平衡势差无限小；C. 过程中温差无限小；D. 过程中压差无限小。
5绝对零度指的是：A．0 ℃； B. 273.15 ℃； C. -273.15 ℃； D. 0 o F。
6．压力表测量的压力是。
A．绝对压力；B．标准大气压；C．真空度；D．相对压力。
δ=+v适用于。
7．q du pdA.定压过程；B.准平衡过程；C.可逆过程；D. 理想气体的任意过程。
北航工科数分第一学期期中历年试卷讲评
本资料基于以下内容：2009年《工科数学分析》第一学期期中试题2010年《工科数学分析》第一学期期中试题年《工科数学分析》第学期期中试题2011年《工科数学分析》第一学期期中试题2012年《工科数学分析》第一学期期中试题年《工科数学分析》第学期期中试题2013年《工科数学分析》第一学期期中试题以上均为公开资料，可在课程中心下载或联系任课教师索取。
教师索取一.数列极限的计算二.数列极限的证明与应用数列极限的证明与应用三.函数极限的计算四.函数极限的证明与应用四函数极限的证明与应用五.导数的计算六.导数的证明与应用六导数的证明与应用*七.泰勒公式试卷基本结构第一大题包含8个小题，主要为极限计算、导数计算、导数的简单应用。
每题5分。
第二题至第七题为解答题，每题10分，可能包含1-2个小问。
主要为证明题。
.数列极限的计算一数列极限的计算很少直接考到。
即便考到，难度也很低，均属于中低难度送分题。
启示：不用太关注技巧性过高的数列极限计算，只需要掌握基本类型即可。
求数列极限的主要方法1.利用初等方法（有理化、恒等变形）2.利用重要极限3.利用单调有界定理，两边取极限4.利用夹逼定理5.利用Stolz定理6.转化为函数极限（Heine定理）例1：（2011年）一1注意定理的使用条件最后步的计算注意：Stolz定理的使用条件、最后一步的计算例2：（2013年）一1二.数列极限的证明与应用二数列极限的证明与应用主要考察：单调有界定理、柯西收敛定理单调有界定理主要涉及递推公式题目，柯西收敛定理直接通过其证明即可。
例1：（2009年）一1（年）例2：（2009年）一3（年）例3：（2009年）四（例4：（2010年）二（应用均值不等式证有界性。
利用有界性证明单调性。
应用均值不等式证有界性利用有界性证明单调性完全相似题目：（2012年）二例5：（2011年）三（重点讲解例6：（2009年）二（年）例7：（2010年）三（例8：（2012年）三（完全相似题目：（2011年）四仅把分母中的cos改为sin例9：（2013年）三（例10：（2013年）二（重点讲解三.函数极限的计算三函数极限的计算通过等价无穷小、洛必达法则、1的无穷次方方法计算函数极限或确定无穷小的阶。
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北京航空航天大学2015－2016 学年第一学期期末考试《工科数学分析（Ⅰ）》（A卷）班号学号姓名主讲教师考场成绩2016年01月20日1. 下列命题中错误的是 （D ）A. 若()f x 在区间(,)a b 内的原函数是常数，则()f x 在(,)a b 内恒为0;B. 若],[)(b a x f 在上可积, 则],[)(b a x f 在上必有界 ；C. 若],[)(b a x f 在上可积, 则()f x 在区间[,]a b 上也可积 ；D. 若],[)(b a x f 在上不连续，则],[)(b a x f 在上必不可积 . 2. 设()f x 满足等式120()2()d f x x f x x =-⎰，则1()d f x x ⎰=（ B ）A. 1;B. 1;9C. 1;-D. 1.3-3. 设函数()f x 可导，则（ C ） A.()d ();f x x f x =⎰B.()d ();f x x f x '=⎰C. ()d()d ();d f x x f x x=⎰D.()d ()d ().d f x x f x C x=+⎰4. 下列广义积分中，发散的是（ C ）A.1dx +∞⎰； B.211dx x+∞⎰； C. 11sin d xx x+∞+⎰； D. 1sin d .x e x x +∞-⎰5. 瑕积分 31ln dxx x=⎰（ C ）A. l n l n 3;B. 0;C. ;+∞D. 1.1.22325x dx x x -++⎰解：2222223(22)52525(25)152525x x dx dxx x x x d x x dx x x x x -+-=++++++=-++++⎰⎰⎰⎰2221ln(25)512x x dx x =++-++⎰（） 251ln(25)arctan .22x x x C +⎛⎫=++-+ ⎪⎝⎭建议：拆成两项2分，积分计算各2分。
2.15631(sin cos x x x x -+⎰解：由对称性：15631sin cos 0,x x x -=⎰112=2=2原式x ππ-=⨯⎰（其中11=2x π-⎰可以看做圆心在原点，半径为１的上半圆的面积，也可以利用公式2arcsin +C 2a x x a+来计算.）建议：对称性3分，剩下计算3分。
3. 1⎰ 解：2,,2t x t dx tdt ===即则11110000122(2)22ln(1)22ln 211tdt dx t t t ==-=-+=-++⎰⎰⎰建议：根式带换3分，剩下计算3分。
4. 202ln(1)d lim(1cos )x x t tx x →+-⎰解：22030022ln(1)d ln(1)2=limlim 1122原式x x x t tx x xx x →→++⋅==⋅⎰ 建议：等价代换2分，变上限求导3分，结果1分。
5. 已知 21sin (),x tf x dx t=⎰求 1().xf x dx ⎰解：11112220000111222000111()()()()()2221111()2sin cos (cos11).2222xf x dx f x d x x f x x df x x f x dx x x dx x ⎡⎤==-⎣⎦'⎡⎤=-=-==-⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰建议：分部积分2分，()f x '计算2分，结果2分。
三、 (本题8分)利用定积分定义，求极限.n →∞解：limln n →∞⎝⎭111lim ln1ln(1)ln(1)n n n n n →∞-⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭ -------2分 1ln(1)x dx=+⎰ -------2分110ln(1)1xx x dx x=+-+⎰11001ln 21ln 21ln(1)2ln 21,1dx x x ⎛⎫⎡⎤=--=--+=- ⎪⎣⎦+⎝⎭⎰ -------2分ln lim ln 2ln 21limlim 4.n n n e eee→+∞⎝⎭→+∞→+∞-⎝⎭==== -------2分四、 (本题10分)求二阶线性非齐次常微分方程23x y y yxe -'''+-=的通解.解： 特征方程：.03-22=+λλ -------2分 容易求得两个特征根为：123, 1.λλ=-= -------1分对应齐次方程的通解为：.Y 321x xe C eC -+= -------1分因为1-不是特征根，我们设非齐次方程的特解.)(x e B Ax y -*+= -------2分带入方程，我们有(44).x x Ax B e xe ----=所以，1,0,4A B =-= -------2分 于是非齐次方程的特解为1.4x y xe *-=- -------1分 非齐次方程的通解为3121.4x x x y C e C e xe --=+- -------1分五、 (本题12分，每小题6分)判断下列广义积分的敛散性，若收敛，并判别是绝对收敛或条件收敛. （1）21ln arctan d ;x x x x ∞⎰＋ （2）1∞⎰＋. 解：注意到：).,(,ln ln arctan ln ∞∈∀=≤122222x x xx x x x x ππ -------2分对于任意的）（2,1∈α，我们有2212ln 1ln 11lim lim lim lim 0.1(2)2x x x x x x x x x x x x ααααα---→+∞→+∞→+∞→+∞====-- -------2分 因为）（2,1∈α，11dx xα+∞⎰收敛．由比较判别法，我们可知无穷积分21ln xdx x ∞⎰收敛.进而，xdx xxarctan ln ⎰+∞12绝对收敛．-----2分( 注：x →∞时，22ln ln arctan 2x x x x x π ，原广义积分与21ln x dx x ∞⎰具有相同的敛散性. )（2）1∞⎰＋. 解：首先，令[]A11()cos2sin 2sin 2,2F A xdx A ==-⎰1.|F(A)|≤ -------1分lim 0,x = -------1分由Dirchilet 判别法可知，无穷积分dx xx⎰∞1cos 收敛． -------1分 其次，注意到.2124cos 214cos 2cos 2cos 2xx x x x x x x x +=+=≥ -------1分类似于dx x x⎰∞1cos 的证明，我们可知无穷积分dx x ⎰+∞1x24cos 收敛． -------1分又因为无穷积分dx x⎰+∞121发散，于是，无穷积分dx xx⎰∞+1cos 发散．-------1分 进而，无穷积分dx xx⎰+∞12cos 条件收敛。
六、 (本题10分)过坐标原点(0,0)作曲线ln yx =的切线，该切线与曲线ln y x =及x 轴围成一平面图形D ，计算（1）D 的面积；（2）D 绕x 轴旋转一周所成旋转体的体积. 解：假设切点坐标为00(,)x y ， -------1分则由曲线方程及00(,)x y 处切线方程00000ln 11y x y x x =⎧⎪⎨==⎪⎩解得001x e y =⎧⎨=⎩ ， -------2分从而切线方程为1y x e=. -------1分则平面图形D 的面积为 101(ln )1;2e x x e S dx x dx e e =--=-⎰⎰ -------3分（积分公式2分，结果1分）D 绕x 轴旋转一周所成旋转体的体积为()22012e ()ln (2).3e e x V dx x dx e ππ⎡⎤=-=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰-------3分（积分公式2分，结果1分）七、 (本题10分)设函数()[0,]f x π在上连续，满足()d 0,()cos d 0,f x x f x x x ππ==⎰⎰证明：函数()f x 在(0,)π内至少存在两个零点. 证明:方法一： 若()0,f x ≡则结论成立； -------1分若连续函数()f x 不恒为0，则()f x 必在(0,)π内存在零点. 否则若函数在区间[0,]π上不变号，这与已知条件0()d 0f x x π=⎰矛盾. -------2分( 或由积分中值定理,(0,)ξπ∃∈, 满足00()d ()(0)f x x f πξπ==-⎰, 即()0.f ξ=)假定()f x 在(0,)π内只有唯一零点0x , 0()0,f x = -------1分 则()f x 在0(0,)x 及0(,)x π上异号, -------1分 从而0()()(cos cos )g x f x x x =-在[0,]π上不变号, -------1分且()g x 不恒为0, 所以00()(cos cos )d f x x x x π-⎰严格大于0或小于0 , -------2分而由已知条件000()(cos cos )d ()cos d cos ()d 0f x x x x f x x x x f x x πππ-=-=⎰⎰⎰, 矛盾, -------1分所以假设不成立, ()f x 在(0,)π内至少存在两个零点. -------1分 方法二： 设0()()d ,x F x f t t =⎰-------1分则由已知条件知(0)()0,F F π== -------1分又由()[0,]f x π在的连续性可知()F x 在[0,]π上可导，且()(),F x f x '= -------1分则00()cos d cos d ()()cos ()sin d ()sin d ,f x x x x F x F x x F x x x F x x x πππππ===+=⎰⎰⎰⎰-------2分由积分第一中值定理,(0,)ξπ∃∈, 满足()sin d ()sin d 2()0F x x x F x x F ππξξ===⎰⎰. -------2分即(0,)ξπ∃∈(0)()()F F F ξπ==，-------1分在[0,],[,]ξξπ上分别应用罗尔定理，可得()F x '即()f x 在(0,)π内至少存在两个零点.-------2分八、 附加题(本题10分)设在()f x 在[0,1]上有连续的二阶导数，且(0)(1)0f f ==，又()f x 不恒为零， 证明：1[0,1]()d 4max ().x f x x f x ∈''≥⎰(提示：()f x 在(0,1)内取到最大值)证明：由条件知()f x 在(0,1)内取到最大值，假定0(0,1)x ∈为最大值点，即0[0,1]()max ().x f x f x ∈=-------1分在00[0,],[,1]x x 上分别对()f x 使用Lagrange 中值定理可得00(0,),(,1),x x ξη∃∈∈满足0000()(0)(1)()(),().01f x f f f x f f x x ξη--''==-- ------4分（每个公式2分）则1()d ()d ()d f x x f x x f x x ηηξξ''''''≥≥⎰⎰⎰ -------2分（每个不等式放缩1分）()()f f ηξ''=- -------1分 0000000()()11()()11f x f x f x x x x x -=-=+--00001()4().(1)f x f x x x =≥--------2分故有 1[0,1]()d 4m a x ().x f x x f x ∈''≥⎰。