北航大一上工科数分期中考试试卷

北京航空航天大学2011-2012学年第一学期期中考试

工科数学分析试卷（2011.12.25）

一、计算(5’*8=40’)

1) 用Stolz 定理计算极限41233122123lim n n n n

n +→∞++++L .

2) 设32()(1)x f x x x x =++,求()f x '.

3) 求极限1

0(1)e lim x

x x x

→+-. 4)

求函数2()(4)f x x x =

-的拐点。 5) 设(cos sin )()=(sin cos )x a t t f x y a t t t =+⎧⎨=-⎩,求d d y x

. 6) 求函数()ln f x x x =在(0,)+∞上的最值.

7) 判断函数21

1()=e x n f x x

-⋅间断点的类型. 8) 求函数2()=ln(1)f x x x ++在0x =处直到四阶的Taylor 展开（Peano 余项形式）.

二、证明(15’) 1) 3

sin (0)6

x x x x >-> 2) 设函数1()=ln ()n f x x

x n -+∈¢,证明()(1)!n n y x -=. 三、(10’) 设1110,0,(2),1,2,n n n A x x x Ax n A +><<=-=L ,证明不等式11n n x x A

+<<对任意

n +∈¢成立，并求出极限lim n n x →∞

. 四、(10’)

用Cauchy 收敛原理证明数列2sin (sin )n n k kx x k k kx ==

+∑收敛. 五、(15’)

设()f x 在0x 处二次可导，且()0f x ''≠，由Lagrange 中值定理知存在0()1h θ<<,使得式子000(+)()(())f x h f x f x h h h θ'=++成立，计算或者证明下列结论：

1) 写出()f x 和()f x '在0x x =处的Taylor 公式；

2) 证明01lim ()2

h h θ→=. 六、(10’)

设()f x '在(0,]a

连续，且极限lim

()x x →'存在，证明()f x 在(0,]a 上一致连续.

[附加题]

七、(10’)

以下题目任选其一： 1) 设()[01]f x ∈£，，且()0f x >,令0()max (),[0,1]t x M x f t x ≤≤=∈, 证明：函数()()lim ()n n f x Q x M x →∞⎡⎤=⎢⎥⎣⎦

连续的充要条件是()f x 单调递增. 2) 证明开区间套定理

1. 设开区间序列(,),n n n I a b n +=∈¥ 满足12121n n n a a a b b b b -<<<<<<<

2. 区间长度0()n n n I b a n =-→→∞,

则存在唯一1(,)n i i i a b ξ==I 满足lim lim n n n n a b ξ→∞→∞==.