高一精选题库习题 数学8-3

第8模块 第3节
[知能演练]
一、选择题
1．圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)的面积被直线y ＝－x 平分，则
( )
A ．D ＋E ＝0
B ．D －E ＝0
C ．
D 2＋
E 2＝0
D ．D ＋4
E ＝0
解析：圆心(－D 2，－E
2)在直线x ＋y ＝0上．
答案：A
2．当a 为任意实数时，直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0恒过点C ，则以C 为圆心，半径为5的圆的方程为
( )
A ．x 2
＋y 2
－2x ＋4y ＝0 B ．x 2
＋y 2
＋2x ＋4y ＝0 C ．x 2＋y 2＋2x －4y ＝0
D ．x 2＋y 2－2x －4y ＝0
解析：将已知直线化为y －2＝(a －1)(x ＋1)，可知直线恒过定点(－1,2)，故所求圆的方程为x 2＋y 2＋2x －4y ＝0.
答案：C
3．方程|x |－1＝1－(y －1)2所表示的曲线是
( )
A ．一个圆
B ．两个圆
C ．半个圆
D ．两个半圆
解析：原方程即⎩
⎪⎨⎪⎧
(|x |－1)2
＋(y －1)2
＝1.
|x |－1≥0.
即⎩⎪⎨⎪⎧ (x －1)2＋(y －1)2＝1x ≥1或⎩⎪⎨⎪⎧
(x ＋1)2＋(y －1)2
＝1x ≤－1.
故原方程表示两个半圆． 答案：D
4．由动点P 向圆x 2＋y 2＝1引两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，∠APB ＝60°，则动点P 的轨迹方程为
( )
A ．x 2＋y 2＝4
B ．x 2＋y 2＝3
C ．x 2＋y 2＝2
D ．x 2＋y 2＝1
解析：由题设知，在直角△OP A 中，OP 为圆的半径OA 的2倍，即OP ＝2，∴点P 的轨迹方程为x 2
＋y 2
＝4.选A.
答案：A 二、填空题
5．过点O (0,0)及P (0,4)且在x 轴上截得的弦长为6的圆的方程是__________． 解析：由题意知所求圆的圆心为(3,2)或(－3,2)，半径为13.故圆的方程为(x －3)2
＋(y －2)2
＝13或(x ＋3)2
＋(y －2)2
＝13.
答案：(x －3)2＋(y －2)2＝13或(x ＋3)2＋(y －2)2＝13
6．过点(1，2)的直线l 将圆(x －2)2
＋y 2
＝4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l 的斜率k ＝__________.
解析：∵点(1，2)在圆内，故当劣弧所对的圆心角最小时，直线垂直于过圆心与点(1，2)的直线，因此可知直线l 的斜率为22
. 答案：
22
三、解答题
7．已知直线l 1：4x ＋y ＝0，直线l 2：x ＋y －1＝0以及l 2上一点P (3，－2)．求圆心C 在l 1上且与直线l 2相切于点P 的圆的方程．
解：设圆心为C (a ，b )，半径为r ，依题意得，b ＝－4a .
PC ⊥l 2，而直线l 2的斜率k 2＝－1，∴过P ，C 两点的直线的斜率k PC ＝－2－(－4a )
3－a
＝1，
解得a ＝1，b ＝－4，r ＝|PC |＝2 2. 故所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8.
8．已知矩形ABCD 中，C (4,4)，点A 在x 2＋y 2＝9(x >0，y >0)上运动，AB 、AD 分别平行于x 轴、y 轴，求当矩形ABCD 的面积最小时A 点的坐标．
解：本题的实质是：A 在x 2
＋y 2
＝9(x >0，y >0)上何处时，矩形ABCD 的面积最小，即(4－x )(4－y )的值最小，进而利用换元法转化成二次函数的最值问题．
设A (x ，y )，则矩形ABCD 的面积为S ＝(4－x )(4－y )＝16－4(x ＋y )＋xy ，① 令t ＝x ＋y ，则t >0且t 2＝x 2＋y 2＋2xy ＝9＋2xy .
所以①式化为S ＝16－4t ＋12(t 2－9)＝12t －4)2＋72，当且仅当t ＝4时，S min ＝7
2.
此时⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y ＝4xy ＝7
2，解得⎩
⎨⎧
x ＝2－2
2y ＝2＋22
或⎩⎨
⎧
x ＝2＋22y ＝2－2
2
.
即A 点的坐标为(2－
22，2＋22)或(2＋22，2－2
2
)时，矩形ABCD 的面积最小． [高考·模拟·预测]
1．圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程是
( )
A ．x 2＋(y －2)2＝1
B ．x 2＋(y ＋2)2＝1
C ．(x －1)2
＋(y －3)2
＝1
D ．x 2
＋(y －3)2
＝1
解析：由题意知圆心坐标为(0,2)，故选A. 答案：A
2．已知圆C 与直线x －y ＝0及x －y －4＝0都相切，圆心在直线x ＋y ＝0上，则圆C 的方程为
( )
A ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝2
B ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2
C ．(x －1)2
＋(y －1)2
＝2 D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2
解析：∵圆C 与两条直线x －y ＝0和x －y －4＝0都相切，∴圆心C 在直线x －y －2＝0上，又圆心在直线x ＋y ＝0上，∴圆心坐标为(1，－1)．故选B.
答案：B
3．已知圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称，则圆C 2
的方程为
( )
A ．(x ＋2)2＋(y －2)2＝1
B ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝1
C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1
D ．(x －2)2
＋(y －2)2
＝1
解析：圆心C 1(－1,1)关于直线x －y －1＝0的对称点为(2，－2)，故选B. 答案：B
4．直线ax ＋by ＝1过点A (b ，a )，则以坐标原点O 为圆心，OA 长为半径的圆的面积的最小值是__________．
解析：直线过点A (b ，a )，∴ab ＝12，圆面积S ＝πr 2＝π(a 2＋b 2
)≥2πab ＝π.
答案：π
5．定义：若平面点集A 中的任一个点(x 0，y 0)，总存在正实数r ，使得集合{(x ，y )|(x －x 0)2＋(y －y 0)2<r }⊆A ，则称A 为一个开集．给出下列集合：
①{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}； ②{(x ，y )|x ＋y ＋2>0}； ③{(x ，y )||x ＋y |≤6}； ④{(x ，y )|0<x 2＋(y －2)2<1}．
其中是开集的是________．(请写出所有符合条件的序号)
解析：集合{(x ，y )|(x －x 0)2
＋(y －y 0)2
<r }表示以(x 0，y 0)为圆心，以r 为半径的圆面(不包括圆周．)
由开集的定义知，集合A 应该无边界，故由①②③④表示的图形知，只有②④符合题意．
答案：②④
6．已知以点C (t ，2
t )(t ∈R ，t ≠0)为圆心的圆与x 轴交于点O 、A ，与y 轴交于点O 、B ，
其中O 为原点．
(1)求证：△OAB 的面积为定值；
(2)设直线y ＝－2x ＋4与圆C 交于点M 、N ，若OM ＝ON ，求圆C 的方程． (1)证明：∵圆C 过原点O ，∴OC 2＝t 2
＋4t 2.
设圆C 的方程是(x －t )2＋(y －2t )2＝t 2＋4
t 2，
令x ＝0，得y 1＝0，y 2＝4
t ；
令y ＝0，得x 1＝0，x 2＝2t ，
∴S △OAB ＝12OA ×OB ＝12×|4
t |×|2t |＝4，
即△OAB 的面积为定值． (2)解：∵OM ＝ON ，CM ＝CN ， ∴OC 垂直平分线段MN . ∵k MN ＝－2，∴k OC ＝1
2.
∴直线OC 的方程是y ＝1
2x .
∴2t ＝1
2
t ，解得t ＝2或t ＝－2. 当t ＝2时，圆心C 的坐标为(2,1)，OC ＝5， 此时C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝
15<5，
圆C 与直线y ＝－2x ＋4相交于两点．
当t ＝－2时，圆心C 的坐标为(－2，－1)，OC ＝5，
此时C到直线y＝－2x＋4的距离d＝9
5
> 5.
圆C与直线y＝－2x＋4不相交，
∴t＝－2不符合题意，舍去．
∴圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.。