华南理工大学 工科数学分析B解答

《工科数学分析》试卷B 答案
一. （1）解：122lim
)2(lim 2
2=++=-++∞
→+∞
→x x x x
x x x x x
（2）解：1)/1/1lim exp()/1ln lim exp()ln lim exp(lim 2
0000=-===++++→→→→x
x
x x x x x x x x x x 二. 解:
)0(1)0(f f =+=-β.
当0>α时, 0)0(=+f ; 当0≤α时, )0(+f 不存在. 因此, 当0>α且1-=β时, 函数在0=x 处连续; 当0>α
且1-≠β时,
函数在0=x 处左连续但又不连续, 0
=x 为第一类间断点; 当0
≤α
时,
函数在0=x 处左连续,
0=x 为第二类间断点.
三. 解: 方程两边关于x 求导得
2
2
2
2
2221)
/(11y
x y y x x y y x x y +'+=
-'+
整理得
y
x y x x
y -+=
d d
于是,
3
2
2
2
2
2
)()(2)
()
1)(())(1(d d y x y x y x y y x y x y x
y -+=
-'-+--'+=
.
四. 解: 令x x x f /1)(=, 0>x . 令0ln 1)(2
/1=-='x
x x x f x
,
得e /1=x . 则
在)/1,0(e 与),/1(+∞e 上)(x f 分别单调增加和单调减少. 从而
3
3)/1(2<
<e
e
因此,
3
3为最大项.
五. 解: 令
ax
x x f -=ln )(, 0>x . 解
1)(=-=
'a x
x f 得唯一驻点
a
x 1=
. )(x f 在)/1,0(a 与),/1(+∞a 内分别单调增加和单调减少. 又由
于-∞=+
→)(lim 0
x f x , -∞=+∞
→)(lim x f x , 所以有如下结论:
(1) 当e a /1>时, 0)/1(<a f , 原方程没有根; (2) 当e a /1=时, 0)/1(=a f , 原方程有一个根; (3) 当e a /1<时, 0)/1(>a f , 原方程有两个根
六. (1)令1+=x e t , 则)1ln(2-=t x , 于是
C
x e C
e e C t t dt t t dt t
t
t e dx x
x
x
x
+--+=+++-+=++-=+--=
-=
+⎰
⎰⎰)11ln(
21
111ln
11ln )1111(1
211
2
(2) ⎰⎰⎰
⎰-===
+-
-20
20
2
2
22
dcos 2d sin 2d sin d )e (sin 4
π
ππ
ππ
πx
x x x x x x x x x x x
.2d cos 2cos 220
2/0
=+-=⎰π
πx x x
x
七. 因为
10
1
1
d e
0d e
|
e
d e
-+∞
--+∞
--∞+-+∞
-=+=+-==
⎰
⎰
⎰n x
n x
n x
n x
n n nI x x
n x nx
x x x I
于是容易知道1!I n I n
=. 又因为
1|e
0d e
|
e d e
00
1=-=+-==
∞
+-+∞
-∞+-+∞-⎰
⎰
x
x
x
x
x x x x I , 故有!.n I n =
八. 体积元素x x x dV πππ24)12()12(22=+--+=, 因此所求
体积ππ3
42421
=
=⎰dx x V
九. 由泰勒公式
2
1)0)((21)0)(()()0(c f c c f c f f -''+
-'+=ξ, ),0(1c ∈ξ
2
2)1)((2
1)1)(()()1(c f c c f c f f -''+
-'+=ξ, )1,(2c ∈ξ
两式相减得
2
12
2)(2
1)1)((2
1)()1()0(c f c f c f f f ξξ''-
-''+
'=-
因此
2
2])1[(2
12 |)(|2
1)1(|)(|2
1|)1(||)0(||)(|2
2
2
12
2b a c c b a c
f c f f f c f +
≤+-+
≤''+
-''++≤'ξξ
十. 单调增加（减少）有上界（下界）的数列必收敛. 下面我们证明数列}{n x 是单调增加有上界的数列. 显然,
12x x >, 假设1->n n x x ,
则
n
n n n x x a x a x =+>
+=
-+11
故数列}{n x 单调增加. 此外, 显然,
11+<
a x ,
假设1+<
a x n
,
则
111+<
++<
+=
+a a a x a x n n
故数列}{n x 有上界. 因此, 数列}{n x 收敛, 设其极限为A , 于是
A
a x a x A n n n n +=
+==∞
→+∞
→lim
lim 1
解之得2
411a A ++-=（由极限保号性负根舍去）.。