【金版教程】2017届高考文科数学(全国通用)二轮适考素能特训：专题2-2-4导数的综合应用
【金版教程】2017届高考文科数学(全国通用)二轮适考素能特训：专题2-7-1概率
一、选择题1．[2016·山西四校联考]甲、乙两人有三个不同的学习小组A ，B ，C 可以参加，若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组，则两人参加同一个小组的概率为( )A.13B.14C.15D.16答案 A解析 本题考查概率的求解．两人参加3个不同的学习小组，共有9种等可能的结果，其中两人参加同一组的概率为39＝13，故选A.2．[2016·湖北二联]在棱长为2的正方体内部随机取一个点，则该点到正方体8个顶点的距离都不小于1的概率为( )A.16B.56C.π6 D ．1－π6 答案 D解析 本题考查几何概型．正方体内一点到正方体的某个顶点的距离小于1的概率为8×18×43π×1323＝π6，则所求概率为1－π6，故选D.3．[2016·兰州诊断]从数字1、2、3中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于30的概率为( )A.16 B.13 C.12 D.23 答案 B解析 用数字1、2、3中两个不同数字构成的两位数有12、13、21、23、31、32，共6个，其中大于30的有2个，故所求概率为26＝13，故选B.4．[2016·河北唐山统考]抛郑两枚质地均匀的骰子，向上的点数之差的绝对值为3的概率是( )A.19B.16C.118D.112答案 B解析 抛掷两枚质地均匀的骰子，向上的点数之差的绝对值为3的情况有：1,4；4,1；2,5；5,2；3,6；6,3,6种，而抛掷两枚质地均匀的骰子的情况有36种，所以所求概率P ＝636＝16，故选B.5．[2016·河南商丘二模]已知函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋b 2x ＋1，若a 是从1,2,3三个数中任取的一个数，b 是从0,1,2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为( )A.79B.13C.59D.23 答案 D解析 f ′(x )＝x 2＋2ax ＋b 2，要使函数f (x )有两个极值点，则有Δ＝(2a )2－4b 2>0，即a 2>b 2.由题意知所有的基本事件有9个，即(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值．满足a 2>b 2的有6个基本事件，即(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，所以所求事件的概率为69＝23.6．一个三位自然数百位，十位，个位上的数字依次为a ，b ，c ，当且仅当a >b ，b <c 时称为“凹数”(如213,312等)，若a ，b ，c ∈{1,2,3,4}，且a ，b ，c 互不相同，则这个三位数为“凹数”的概率是( )A.16B.524 C.13 D.724答案 C解析 由1,2,3组成的三位自然数为123,132,213,231,312,321，共6个；同理由1,2,4组成的三位自然数共6个；由1,3,4组成的三位自然数也是6个；由2,3,4组成的三位自然数也是6个． 所以共有6＋6＋6＋6＝24个．当b ＝1时，有214,213,314,412,312,413，共6个“凹数”． 当b ＝2，有324,423，共2个“凹数”． ∴三位数为“凹数”的概率P ＝6＋224＝13.7．[2016·山东青岛模拟]如图所示的茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩(成绩为整数)，其中一个数字被污损，则乙的平均成绩不低于甲的平均成绩的概率为( )A.25B.110C.910D.15答案 D解析 记其中被污损的数字为x ，依题意得甲的5次综合测评的平均成绩为90，乙的5次综合测评的平均成绩为15(442＋x )，令15(442＋x )≥90，解得x ≥8，即x 的可能取值为8和9，因此乙的平均成绩不低于甲的平均成绩的概率为210＝15，故选D.二、填空题8．从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是________．答案 15解析 从五个数中任意取出两个数的可能结果有：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10个，其中“和为5”的结果有(1,4)，(2,3)，故所求概率为210＝15.9．[2016·湖南长沙联考]在区间[1,5]和[2,4]上各取一个数，分别记为a ，b ，则方程x 2a 2－y 2b 2＝1表示离心率大于5的双曲线的概率为________．答案 18解析 由题意知a 2＋b 2a >5，整理得ba >2，即b >2a .如图：点(a，b)在矩形ABCD的内部(含边界)，满足b>2a的点在△ABM的内部(不含线段AM)，则所求的概率为S△ABMS矩形ABCD＝12×2×12×4＝18.三、解答题10．[2016·广西质检]为了解某校学生的视力情况，现采用随机抽样的方式从该校的A，B两班中各抽5名学生进行视力检测．检测的数据如下：A班5名学生的视力检测结果：4.3,5.1,4.6,4.1,4.9.B班5名学生的视力检测结果：5.1,4.9,4.0,4.0,4.5.(1)分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪个班的学生视力较好？并计算A班的5名学生视力的方差；(2)现从B班的上述5名学生中随机选取2名，求这2名学生中至少有1名学生的视力低于4.5的概率．解(1)A班5名学生的视力平均数为x A＝4.3＋5.1＋4.6＋4.1＋4.95＝4.6，B班5名学生的视力平均数为x B＝5.1＋4.9＋4.0＋4.0＋4.55＝4.5.从数据结果来看，A班学生的视力较好．s2A＝15×[(4.3－4.6)2＋(5.1－4.6)2＋0＋(4.1－4.6)2＋(4.9－4.6)2]＝0.136.(2)从B班的上述5名学生中随机选取2名，则这2名学生视力检测结果有：(5.1,4.9)，(5.1,4.0)，(5.1,4.0)，(5.1,4.5)，(4.9,4.0)，(4.9,4.0)，(4.9,4.5)，(4.0,4.0)，(4.0,4.5)，(4.0,4.5)，共10个基本事件．其中这2名学生中至少有1名学生的视力低于4.5的基本事件有7个，则所求概率P＝710.11．[2016·昆明七校调研]某校高三共有900名学生，高三模拟考之后，为了了解学生学习情况，用分层抽样方法从中抽出若干学生此次数学成绩，按成绩分组，制成如下的频率分布表：(2)为了了解数学成绩在120分以上的学生的心理状态，现决定在第六、七、八组中用分层抽样方法抽取6名学生，在这6名学生中又再随机抽取2名与心理老师面谈，求第七组中至少有一名学生被抽到与心理老师面谈的概率；(3)估计该校本次考试的数学平均分．解(1)因为频率和为1，所以b＝0.18，因为频率＝频数/样本容量，所以c＝100，a＝15.(2)第六、七、八组共有30个样本，用分层抽样方法抽取6名学生，每个被抽取的概率均为15，第七组被抽取的样本数为15×10＝2，将第六组、第八组抽取的样本分别用A ，B ，C ，D 表示，第七组抽出的样本用E ，F 表示．抽取2个的方法有AB 、AC 、AD 、AE 、AF 、BC 、BD 、BE 、BF 、CD 、CE 、CF 、DE 、DF 、EF ，共15种．其中至少含E 或F 的取法有9种，则所求概率为35.(3)估计平均分为75×0.06＋85×0.04＋95×0.22＋105×0.2＋115×0.18 ＋125×0.15＋135×0.1＋145×0.05＝110.12．[2016·唐山统考]汽车发动机排量可以分为两大类，高于1.6 L 的称为大排量，否则称为小排量．加油时，有92号与95号两种汽油可供选择．某汽车网站的注册会员中，有300名会员参与了网络调查，结果如下：附：K 2＝(a ＋b )＋(c ＋d )＋(a ＋c )(b ＋d )，n ＝a ＋b ＋c ＋d(1)根据此次调查，是否有95%的把握认为该网站会员给汽车加油时进行的型号选择与汽车排量有关？(2)从调查的大排量汽车中按“加油类型”用分层抽样的方法抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个整体，从中任意抽取3辆汽车，求这3辆汽车都是“加92号汽油”的概率．解 (1)∵K 2＝300×(160×24－96×20)2180×120×256×44≈4.545>3.841，∴有95%的把握认为该网站会员给汽车加油时进行的型号选择与汽车排量有关．(2)由题意可知，抽出的5辆汽车中加92号汽油的有4辆，分别记为A1，A2，A3，A4；加95号汽油的有1辆，记为B.从已经抽出的5辆汽车中抽取3辆，有：{B，A1，A2}，{B，A1，A3}，{B，A1，A4}，{B，A2，A3}，{B，A2，A4}，{B，A3，A4}，{A1，A2，A3}，{A1，A2，A4}，{A1，A3，A4}，{A2，A3，A4}，共计10种结果，满足条件的有：{A1，A2，A3}，{A1，A2，A4}，{A1，A3，A4}，{A2，A3，A4}，共计4种结果．由古典概型的概率计算公式可得所求概率为P＝410＝25.。
【金版教程】2017届高考文科数学(全国通用)二轮文档讲义：第1编专题1-2数形结合思想
第二讲 数形结合思想思想方法解读考点利用数形结合思想研究方程的根与函数的零点典例1 已知定义在R 上的奇函数f (x )满足当x ≥0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log12 (x ＋1)，x ∈[0，1)，1－|x －3|，x ∈[1，＋∞)，则关于x 的函数F (x )＝f (x )－a (0<a <1)的所有零点之和为( )A ．2a －1B ．2－a －1C ．1－2－aD ．1－2a[解析] 因为f (x )为R 上的奇函数，所以当x <0时，f (x )＝－f (－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－log12 (－x ＋1)，x ∈(－1，0)，－1＋|－x －3|，x ∈(－∞，－1]，画出函数y ＝f (x )的图象和直线y ＝a (0<a <1)，如图．由图可知，函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝a (0<a <1)共有5个交点，设其横坐标从左到右分别为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，则x 1＋x 22＝－3，x 4＋x 52＝3，而由－log12 (－x 3＋1)＝a ，即log 2(1－x 3)＝a ，可得x 3＝1－2a ，所以x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＝1－2a ，故选D.[答案] D利用数形结合研究方程的根(求函数零点)解决策略(1)用函数的图象讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程)的解的个数是一种重要的思想方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式(不熟悉时，需要作适当变形转化为两个熟悉的函数)，然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解的个数．(2)数形结合思想在解决函数性质有关问题时常有以下几种类型：①研究函数的单调性与奇偶性：画出函数的图象，从图象的变化趋势看函数的单调性，从图象的对称看函数的奇偶性．②研究函数的对称性：画出函数的图象，可从图象的分布情况看图象的对称性．③比较函数值的大小：对于比较没有解析式的函数值大小，可结合函数的性质，画出函数的草图，结合图象比较大小．【针对训练1】 [2016·山东重点高中模拟]若实数a 满足a ＋lg a ＝4，实数b 满足b ＋10b＝4，函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋(a ＋b )x ＋2，x ≤0，2，x >0，则关于x 的方程f (x )＝x 的根的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 C解析 在同一坐标系中作出y ＝10x ，y ＝lg x 以及y ＝4－x 的图象，其中y ＝10x ，y ＝lg x 的图象关于直线y ＝x 对称，直线y ＝x 与y ＝4－x 的交点为(2,2)，所以a ＋b ＝4，f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋4x ＋2，x ≤0，2，x >0，当x ≤0时，由x 2＋4x ＋2＝x 可得，x ＝－1或－2；当x >0时，易知x ＝2，所以方程f (x )＝x 的根的个数是3.考点利用数形结合思想解不等式或求参数范围典例2 (1)[2015·福建高考]已知AB →⊥AC →，|AB →|＝1t ，|AC →|＝t .若点P 是△ABC所在平面内的一点，且AP →＝AB →|AB →|＋4AC→|AC →|，则PB →·PC →的最大值等于( )A ．13B ．15C ．19D ．21[解析] 依题意，以点A 为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，所以点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ，0，C (0，t )，AP →＝(1,0)＋4(0,1)＝(1,4)即P (1,4)且t >0.所以PB →·PC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －1，－4·(－1，t －4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －1×(－1)－4×(t －4)＝17－1t －4t ≤17－21t ×4t＝13(当且仅当1t ＝4t ，即t ＝12时取等号)，所以PB →·PC →的最大值为13，故选A.[答案] A(2)[2014·全国卷Ⅱ]已知偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，f (2)＝0.若f (x －1)>0，则x 的取值范围是________．[解析]作出函数f (x )的大致图象如图所示， 因为f (x －1)>0，所以－2<x －1<2， 解得－1<x <3.则x 的取值范围为(－1,3)． [答案] (－1,3)数形结合思想解决不等式(或求参数范围)的解题思路求参数范围或解不等式问题时经常联系函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个(或多个)函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化成数量关系来解决问题，往往可以避免繁琐的运算，获得简捷的解答．【针对训练2】 (1)使log 2(－x )<x ＋1成立的x 的取值范围是________． 答案 (－1,0)解析 在同一坐标系中，分别作出y ＝log 2(－x )，y ＝x ＋1的图象，由图可知，x 的取值范围是(－1,0)．(2)若不等式|x －2a |≥12x ＋a －1对x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是________． 答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12解析 作出y ＝|x －2a |和y ＝12x ＋a －1的简图，依题意知应有2a ≤2－2a ，故a ≤12.考点利用数形结合求最值典例3(1)已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1，平面区域Ω：⎩⎨⎧x ＋y －7≤0，x －y ＋3≥0，y ≥0.若圆心C ∈Ω，且圆C 与x 轴相切，则a 2＋b 2的最大值为( )A ．5B ．29C ．37D ．49[解析] 由已知得平面区域Ω为△MNP 内部及边界．∵圆C 与x 轴相切，∴b ＝1.显然当圆心C 位于直线y ＝1与x ＋y －7＝0的交点A (6，1)处时，a max ＝6.∴a 2＋b 2的最大值为62＋12＝37.故选C.[答案] C(2)已知P 是直线l ：3x ＋4y ＋8＝0上的动点，P A ，PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，A ，B 是切点，C 是圆心，则四边形P ACB 面积的最小值为________．[解析] 从运动的观点看问题，当动点P 沿直线3x ＋4y ＋8＝0向左上方或右下方无穷远处运动时，直角三角形P AC 的面积S Rt △P AC ＝12|P A |·|AC |＝12|P A |越来越大，从而S 四边形P ACB 也越来越大；当点P 从左上、右下两个方向向中间运动时，S 四边形P ACB 变小，显然，当点P 到达一个最特殊的位置，即CP 垂直于直线l 时，S 四边形P ACB 应有唯一的最小值，此时|PC |＝|3×1＋4×1＋8|32＋42＝3， 从而|P A |＝|PC |2－|AC |2＝2 2.所以(S 四边形P ACB )min ＝2×12×|P A |×|AC |＝2 2. [答案] 2 2利用数形结合思想解决最值问题的一般思路利用数形结合的思想可以求与几何图形有关的最值问题，也可以求与函数有关的一些量的取值范围或最值问题．(1)对于几何图形中的动态问题，应分析各个变量的变化过程，找出其中的相互关系求解．(2)对于求最大值、最小值问题，先分析所涉及知识，然后画出相应图象，数形结合求解．【针对训练3】 [2016·潍坊模拟]已知函数f (x )＝x 2－2(a ＋2)x ＋a 2，g (x )＝－x 2＋2(a －2)x －a 2＋8，设H 1(x )＝max{f (x )，g (x )}，H 2(x )＝min{f (x )，g (x )}(max{p ，q }表示p ，q 中的较大值，min{p ，q }表示p ，q 中的较小值)，记H 1(x )的最小值为A ，H 2(x )的最大值为B ，则A －B ＝( )A ．16B ．－16C ．a 2－2a －16D ．a 2＋2a －16答案 B解析 H 1(x )＝max{f (x )，g (x )}＝⎩⎨⎧f (x )，f (x )≥g (x )，g (x )，f (x )<g (x ).H 2(x )＝min{f (x )，g (x )}＝⎩⎨⎧f (x )，f (x )≤g (x )，g (x )，f (x )>g (x ).由f (x )＝g (x )⇒x 2－2(a ＋2)x ＋a 2＝－x 2＋2(a －2)x －a 2＋8，解得x 1＝a －2，x 2＝a ＋2.而函数f (x )＝x 2－2(a ＋2)x ＋a 2，g (x )＝－x 2＋2(a －2)x －a 2＋8的图象的对称轴恰好分别为x ＝a ＋2，x ＝a －2，可见二者图象的交点正好在它们的顶点处，如图1所示，因此H 1(x )，H 2(x )的图象分别如图2，图3所示(图中实线部分)可见，A ＝H 1(x )min ＝f (a ＋2)＝－4a －4，B ＝H 2(x )max ＝g (a －2)＝12－4a ，从而A －B ＝－16.考点数形结合思想在解析几何中的应用典例4 已知F 1、F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过点F 2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M ，若点M 在以线段F 1F 2为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是( )A ．(1，2)B ．(2，3)C ．(3，2)D ．(2，＋∞)[解析] 如图所示，过点F 2(c,0)且与渐近线y ＝b a x 平行的直线为y ＝ba (x －c )，与另一条渐近线y ＝－ba x 联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ba (x －c )，y ＝－ba x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝c2，y ＝－bc2a ，即点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫c2，－bc 2a .∴|OM |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－bc 2a 2＝c21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2 ∵点M 在以线段F 1F 2为直径的圆外， ∴|OM |>c ， 即c 21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2>c ，得 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2>2. ∴双曲线离心率e ＝ca ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2>2. 故双曲线离心率的取值范围是(2，＋∞)．故选D.[答案] D数形结合在解析几何中的解题策略(1)数形结合思想中一个非常重要的方面是以数解形，通过方程等代数方法来研究几何问题，也就是解析法，解析法与几何法结合来解题，会有更大的功效．(2)此类题目的求解要结合该曲线的定义及几何性质，将条件信息和结论信息结合在一起，观察图形特征，转化为代数语言，即方程(组)或不等式(组)，从而将问题解决．【针对训练4】 已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为F 1、F 2，且两条曲线在第一象限的交点为P ，△PF 1F 2是以PF 1为底边的等腰三角形．若|PF 1|＝10，椭圆与双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则e 1e 2的取值范围是( )A ．(0，＋∞)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫15，＋∞D.⎝ ⎛⎭⎪⎫19，＋∞ 答案 B解析 如图，由题意知r 1＝10，r 2＝2c ，且r 1>r 2.e 2＝2c 2a 双＝2c r 1－r 2＝2c10－2c ＝c 5－c ；e 1＝2c 2a 椭＝2c r 1＋r 2＝2c 10＋2c ＝c 5＋c.∵三角形两边之和大于第三边，∴2c ＋2c >10，∴c >52， ∴e 1e 2＝c 225－c 2＝125c 2－1>13，因此选B.。
《创新设计》2017届高考数学(文)二轮复习(全国通用)Word版训练+专题二+三角函数与平面向量+第2讲
一、选择题1.已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝35，则cos α等于( ) A.－210 B.7210 C.－210或7210 D.－7210解析 ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫34π，54π. ∵sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝35，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－45， ∴cos α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4－π4 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos π4＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin π4 ＝－45×22＋35×22＝－210. 答案 A 2.钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2，则AC ＝( )A.5B. 5C.2D.1解析 S △ABC ＝12AB ·BC sin B ＝12×1×2sin B ＝12，∴sin B ＝22，若B ＝45°，则由余弦定理得AC ＝1，∴△ABC 为直角三角形，不符合题意，因此B ＝135°，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ＝1＋2－2×1×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝5，∴AC ＝ 5.故选B.答案 B3.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C＝π3，则△ABC 的面积是( )A.3B.932C.332D.3 3解析 c 2＝(a －b )2＋6，即c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6①.∵C ＝π3，由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－ab ②，由①和②得ab ＝6，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332，故选C.答案 C4.(2016·山东卷)△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知b ＝c ，a 2＝2b 2(1－sin A )，则A ＝( )A.3π4B. π3C.π4D.π6解析 在△ABC 中，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∵b ＝c ，∴a 2＝2b 2(1－cos A )，又∵a 2＝2b 2(1－sin A )，∴cos A ＝sin A ，∴tan A ＝1，∵A ∈(0，π)，∴A ＝π4，故选C.答案 C5.(2016·全国Ⅲ卷)在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13BC ，则sin A ＝( )A.310B.1010C.55D.31010解析 设BC 边上的高AD 交BC 于点D ，由题意B ＝π4，BD ＝13BC ，DC ＝23BC ，tan ∠BAD ＝1，tan ∠CAD ＝2，tan A ＝1＋21－1×2＝－3，所以sin A ＝31010. 答案 D二、填空题6.(2016·四川卷)sin 750°＝________.解析 ∵sin θ＝sin(k ·360°＋θ)，(k ∈Z )，∴sin 750°＝sin(2×360°＋30°)＝sin 30°＝12.答案 127.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600 m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD ＝________m.解析 在△ABC 中，AB ＝600，∠BAC ＝30°，∠ACB ＝75°－30°＝45°，由正弦定理得BC sin ∠BAC ＝AB sin ∠ACB，即BC sin 30°＝600sin 45°，所以BC ＝300 2.在Rt △BCD 中，∠CBD ＝30°，CD ＝BC tan ∠CBD ＝3002·tan 30°＝100 6. 答案 100 68.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为315，b －c ＝2，cos A ＝－14，则a 的值为________.解析 ∵cos A ＝－14，0＜A ＜π，∴sin A ＝154， S △ABC ＝12bc sin A ＝12bc ×154＝315，∴bc ＝24，又b －c ＝2，∴b 2－2bc ＋c 2＝4，b 2＋c 2＝52，由余弦定理得，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝52－2×24×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝64，∴a ＝8. 答案 8三、解答题9.(2016·江苏卷)在△ABC 中，AC ＝6，cos B ＝45，C ＝π4.(1)求AB 的长；(2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6的值. 解 (1)由cos B ＝45，且0<B <π，则sin B ＝1－cos 2B ＝35，又∵C ＝π4，AC ＝6，由正弦定理，得AC sin B ＝AB sin π4，即635＝AB 22⇒AB ＝5 2. (2)由(1)得：sin B ＝35，cos B ＝45，sin C ＝cos C ＝22，则sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝7210，cos A ＝－cos(B ＋C )＝－(cos B cos C －sin B sin C )＝－210，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6＝cos A cos π6＋sin A sin π6＝72－620.10.(2016·广西南宁测试)在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c.已知cos 2A－3cos(B＋C)＝1.(1)求角A的大小；(2)若△ABC的面积S＝53，b＝5，求sin B sin C的值.解(1)由cos 2A－3cos(B＋C)＝1，得2cos2A＋3cos A－2＝0，即(2cos A－1)(cosA＋2)＝0，解得cos A＝12或cos A＝－2(舍去)，因为0＜A＜π，所以A＝π3.(2)由S＝12bc sin A＝12bc·32＝34bc＝53，得bc＝20，又b＝5，知c＝4，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝25＋16－20＝21，故a＝21.又由正弦定理得sin B sin C＝ba sin A·ca sin A＝bca2sin2A＝2021×34＝57.11.(2016·南昌调研)△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝b cos C＋c sin B.(1)求B；(2)若b＝2，求△ABC面积的最大值.解(1)由已知及正弦定理得sin A＝sin B cos C＋sin C sin B，①又A＝π－(B＋C)，故sin A＝sin(B＋C)＝sin B cos C＋cos B sin C.②由①，②和C∈(0，π)得sin B＝cos B.又B∈(0，π)，所以B＝π4.(2)△ABC的面积S＝12ac sin B＝24ac.由已知及余弦定理得4＝a2＋c2－2ac cos π4.又a2＋c2≥2ac，故ac≤42－2，当且仅当a＝c时，等号成立.因此△ABC面积的最大值为2＋1.。
【金版教程】2017届高考文科数学(全国通用)二轮适考素能特训：专题3-3-2中档题专练
二、中档题专练(一)1．[2016·长春监测]已知函数f (x )＝2sin x cos x ＋23cos 2x － 3. (1)求函数y ＝f (x )的最小正周期和单调递减区间；(2)已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其中a ＝7，若锐角A 满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2－π6＝3，且sin B ＋sin C ＝13314，求△ABC 的面积．解 (1)f (x )＝2sin x cos x ＋23cos 2x －3＝sin2x ＋3cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，因此f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.f (x )的单调递减区间为2k π＋π2≤2x ＋π3≤2k π＋3π2(k ∈Z )， 即x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π12，k π＋7π12(k ∈Z )． (2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2－π6＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2－π6＋π3＝2sin A ＝3，又A 为锐角，所以A ＝π3.由正弦定理可得2R ＝a sin A ＝732＝143，sin B ＋sin C ＝b ＋c 2R ＝13314，则b ＋c ＝13314×143＝13，由余弦定理可知，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝(b ＋c )2－2bc －a 22bc＝12，可求得bc ＝40， 故S △ABC ＝12bc sin A ＝10 3.2．[2016·开封一模]如图1，在直角梯形ABCD 中，∠ADC ＝90°，CD ∥AB ，AD ＝CD ＝12AB ＝2，将△ADC 沿AC 折起，使平面ADC ⊥平面ABC ，得到几何体D －ABC ，如图2所示．(1)求证：AD ⊥平面BCD ； (2)求三棱锥C －ABD 的高．解 (1)证明：∵平面ADC ⊥平面ABC ，且AC ⊥BC ， ∴BC ⊥平面ACD ，即AD ⊥BC ，又AD ⊥CD ， ∴AD ⊥平面BCD . (2)由(1)得AD ⊥BD ，∴S △ADB ＝23，∵三棱锥B －ACD 的高BC ＝22，S △ACD ＝2，∴13×23h ＝13×2×22，∴可解得h ＝263.3．[2016·河南质检]某园林基地培育了一种新观赏植物，经过一年的生长发育，技术人员从中抽取了部分植株的高度(单位：厘米)作为样本(样本容量为n )进行统计，按照[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本高度的茎叶图(图中仅列出了高度在[50,60)，[90,100]的数据)．(1)求样本容量n和频率分布直方图中的x、y的值；(2)在选取的样本中，从高度在80厘米以上(含80厘米)的植株中随机抽取2株，求所抽取的2株中至少有一株高度在[90,100]内的概率．解(1)由题意可知，样本容量n＝80.016×10＝50，y＝250×10＝0.004，x＝0.100－0.004－0.010－0.016－0.040＝0.030.(2)由题意可知，高度在[80,90)内的株数为5，记这5株分别为a1，a2，a3，a4，a5，高度在[90,100]内的株数为2，记这2株分别为b1，b2.抽取2株的所有情况有21种，分别为：(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，a4)，(a1，a5)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a3)，(a2，a4)，(a2，a5)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，a4)，(a3，a5)，(a3，b1)，(a3，b2)，(a4，a5)，(a4，b1)，(a4，b2)，(a5，b1)，(a5，b2)，(b1，b2)．其中2株的高度都不在[90,100]内的情况有10种，分别为：(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，a4)，(a1，a5)，(a2，a3)，(a2，a4)，(a2，a5)，(a3，a4)，(a3，a5)，(a4，a5)．∴所抽取的2株中至少有一株高度在[90,100]内的概率P＝1－10 21＝1121.(二)1．[2016·云南统检]设数列{a n}的前n项和为S n，对任意正整数n,3a n－2S n＝2.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)求证：S n＋2S n<S2n＋1.解(1)∵对任意正整数n,3a n－2S n＝2，∴3a n＋1－2S n＋1＝2，∴3a n＋1－3a n－2S n＋1＋2S n＝0，即3a n＋1－3a n－2(S n＋1－S n)＝0，∴3a n＋1－3a n－2a n＋1＝0，解得a n＋1＝3a n.当n＝1时，3a1－2S1＝2，即a1＝2，∴a n＝2×3n－1.∴数列{a n}的通项公式为a n＝2×3n－1.(2)证明：由(1)可得S n＝2×(1－3n)1－3＝3n－1，∴S n＋1＝3n＋1－1，S n＋2＝3n＋2－1，∴S n＋2S n－S2n＋1＝－4×3n<0，∴S n＋2S n<S2n＋1.2．[2016·山西联考]某地随着经济的发展，居民收入逐年增长，下表是该地一建设银行连续五年的储蓄存款(年底余额)，如下表1：为了研究计算的方便，工作人员将上表的数据进行了处理，t ＝x －2010，z ＝y －5得到下表2：(1)(2)通过(1)中的方程，求出y 关于x 的回归方程；(3)用所求回归方程预测到2020年年底，该地储蓄存款额可达多少？附：对于线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，其中b ^＝∑n i ＝1x i y i －n x ·y ∑n i ＝1x 2i －n x 2，a ^＝y －b^x 解 (1)t ＝3，z ＝2.2，∑5i ＝1t i z i ＝45，∑5i ＝1t 2i＝55， b ^＝45－5×3×2.255－5×9＝1.2，a^＝z －b ^t ＝2.2－3×1.2＝－1.4， ∴z ＝1.2t －1.4.(2)将t ＝x －2010，z ＝y －5，代入z ＝1.2t －1.4， 得y －5＝1.2(x －2010)－1.4，即y ＝1.2x －2408.4. (3)∵y ＝1.2×2020－2408.4＝15.6，∴预测到2020年年底，该地储蓄存款额可达15.6千亿元． 3. [2016·贵州七校联考]如图，几何体EF －ABCD 中，CDEF 为边长为2的正方形，ABCD 为直角梯形，AB ∥CD ，AD ⊥DC ，AD ＝2，AB ＝4，∠ADF ＝90°.(1)求证：AC ⊥FB ；(2)求几何体EF －ABCD 的体积．解 (1)证明：由题意得，AD ⊥DC ，AD ⊥DF ，且DC ∩DF ＝D ， ∴AD ⊥平面CDEF ，∴AD ⊥FC . ∵四边形CDEF 为正方形，∴DC ⊥FC ， ∵DC ∩AD ＝D ，∴FC ⊥平面ABCD ，∴FC ⊥AC .又∵四边形ABCD 为直角梯形，AB ∥CD ，AD ⊥DC ，AD ＝2，AB ＝4，∴AC ＝22，BC ＝22，则有AC 2＋BC 2＝AB 2， ∴AC ⊥BC ，又BC ∩FC ＝C ，∴AC ⊥平面FCB ，∴AC ⊥FB .(2)连接EC ，过B 作CD 的垂线，垂足为N ， 易知BN ⊥平面CDEF ，且BN ＝2.∵V EF －ABCD ＝V E －ABCD ＋V B －ECF ＝13S 梯形ABCD ·DE ＋13S △EFC ·BN ＝163， ∴几何体EF －ABCD 的体积为163.(三)1．[2016·重庆测试]设数列{a n }的各项均为正数，且a 1,22，a 2,24，…，a n,22n ，…成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记S n 为数列{a n }的前n 项和，若S k ≥30(2k ＋1)，求正整数k 的最小值．解 (1)设等比数列的公比为q ，则q 2＝2422＝22，又由题意q >0，故q ＝2，从而a n ＝22nq ＝22n －1，即数列{a n }的通项公式为a n ＝22n －1.(2)由(1)知a 1＝2，数列{a n }是以22为公比的等比数列， 故S n ＝2[1－(22)n ]1－22＝23(22n－1)． 因此不等式S k ≥30(2k＋1)可化为23(22k－1)≥30(2k ＋1)，即23(2k －1)(2k ＋1)≥30(2k ＋1)，因为2k ＋1>0，所以2k ≥46，即k ≥log 246. 又5<log 246<6，所以正整数k 的最小值为6.2．某青年教师专项课题进行“学生数学成绩与物理成绩的关系”的课题研究，对于高二年级800名学生上学期期末数学和物理成绩，按优秀和不优秀分类得结果：数学和物理都优秀的有60人，数学优秀但物理不优秀的有140人，物理优秀但数学不优秀的有100人．(1)能否在犯错概率不超过0.001的前提下认为该校学生的数学成绩与物理成绩有关系？(2)4名成员随机分两组，每组2人，一组负责收集成绩，另一组负责数据处理，求学生甲分到负责收集成绩组且学生乙分到负责数据处理组的概率．附：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，n ＝a ＋b ＋c ＋d解因为K2＝160×640×200×600≈16.667>10.828，所以能在犯错概率不超过0.001的前提下认为该校学生的数学成绩与物理成绩有关．(2)设其他学生为丙和丁，4人分组的情况如下表：处理占2种，所以学生甲负责收集成绩且学生乙负责数据处理的概率P＝2 6＝13.3．[2016·广州模拟]在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝3，BC＝2，D是BC的中点，F是C1C上一点．(1)当CF＝2时，证明：B1F⊥平面ADF；(2)若FD⊥B1D，求三棱锥B1－ADF的体积．解(1)证明：因为AB＝AC，D是BC的中点，所以AD ⊥BC .在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，因为B 1B ⊥底面ABC ，AD ⊂底面ABC ， 所以AD ⊥B 1B . 因为BC ∩B 1B ＝B ， 所以AD ⊥平面B 1BCC 1. 因为B 1F ⊂平面B 1BCC 1， 所以AD ⊥B 1F .在矩形B 1BCC 1中，因为C 1F ＝CD ＝1，B 1C 1＝CF ＝2， 所以Rt △DCF ≌Rt △FC 1B 1，所以∠CFD ＝∠C 1B 1F ，所以∠B 1FD ＝90°.(或通过计算FD ＝B 1F ＝5，B 1D ＝10，得到△B 1FD 为直角三角形)所以B 1F ⊥FD . 因为AD ∩FD ＝D ， 所以B 1F ⊥平面ADF .(2)由(1)可得AD ⊥平面B 1DF ，AD ＝22， 因为D 是BC 的中点，所以CD ＝1. 在Rt △B 1BD 中，BD ＝CD ＝1，BB 1＝3， 所以B 1D ＝BD 2＋BB 21＝10.因为FD ⊥B 1D ，所以Rt △CDF ∽Rt △BB 1D ， 所以DF B 1D ＝CD BB 1，所以DF ＝13×10＝103，所以V B 1－ADF ＝13S △B 1DF ·AD ＝13×12×103×10×22＝1029.(四)1．[2016·贵州八校联考]在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(a ＋b ，sin A －sin C )，向量n ＝(c ，sin A －sin B )，且m ∥n .(1)求角B 的大小；(2)设BC 中点为D ，且AD ＝3，求a ＋2c 的最大值及此时△ABC 的面积．解 (1)因为m ∥n ，故有(a ＋b )(sin A －sin B )－c (sin A －sin C )＝0 由正弦定理可得(a ＋b )(a －b )－c (a －c )＝0，即a 2＋c 2－b 2＝ac ， 由余弦定理可知cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝ac 2ac ＝12，因为B ∈(0，π)，所以B ＝π3.(2)设∠BAD ＝θ，则在△BAD 中， 由B ＝π3可知θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，2π3，由正弦定理及AD ＝3有BD sin θ＝AB sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝ADsin π3＝2；所以BD ＝2sin θ，AB ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝3cos θ＋sin θ， 所以a ＝2BD ＝4sin θ，c ＝AB ＝3cos θ＋sin θ， 从而a ＋2c ＝23cos θ＋6sin θ＝43sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6， 由θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3可知θ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π6，所以当θ＋π6＝π2，即θ＝π3时，a ＋2c 的最大值为43；此时a ＝23，c ＝3，所以S ＝12ac sin B ＝332.2．如图，已知AF ⊥平面ABCD ，四边形ABEF 为矩形，四边形ABCD 为直角梯形，∠DAB ＝90°，AB ∥CD ，AD ＝AF ＝CD ＝2，AB ＝4.(1)求证：AC⊥平面BCE；(2)求三棱锥E－BCF的体积．解(1)证明：过点C作CM⊥AB，垂足为M，因为AD⊥DC，所以四边形ADCM为矩形，所以AM＝MB＝2，又AD＝2，AB＝4，所以AC＝22，CM＝2，BC＝22，所以AC2＋BC2＝AB2，所以AC⊥BC，因为AF⊥平面ABCD，AF∥BE，所以BE⊥平面ABCD，所以BE⊥AC.又BE⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，且BE∩BC＝B，所以AC⊥平面BCE.(2)因为AF⊥平面ABCD，所以AF⊥CM，又CM⊥AB，AF⊂平面ABEF，AB⊂平面ABEF，AF∩AB＝A，所以CM⊥平面ABEF.V E－BCF＝V C－BEF＝13×12×BE×EF×CM＝16×2×4×2＝83.3．电影《功夫熊猫3》预计在2016年1月29日上映．某地电影院为了了解当地影迷对票价的看法，进行了一次调研，得到了票价x(单位：元)与渴望观影人数y(单位：万人)的结果如下表：(1)若y与是负相关；(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；(3)根据(2)中求出的线性回归方程，预测票价定为多少元时，能获得最大票房收入．参考公式：b ^＝∑ni ＝1x i y i －n x y ∑n i ＝1x 2i ＝n x 2，a ^＝y －b ^x . 解 (1)由表中数据易知，y 随x 的增大而减小，故y 与x 之间是负相关．(2)由表中数据可得x ＝45，y ＝3.5，∑4i ＝1x i y i －4x y ＝－35，∑4i ＝1x 2i －4x 2＝500，则b ^＝∑4i ＝1x i y i －4x y ∑4i ＝1x 2i －4x 2＝－0.07，a ^＝3.5＋0.07×45＝6.65， 所以，所求线性回归方程为y ^＝－0.07x ＋6.65.(3)根据(2)中的线性回归方程，若票价为x 元，则渴望观影人数为(－0.07x ＋6.65)万人，可预测票房收入为z ＝x (－0.07x ＋6.65)＝－0.07x 2＋6.65x ，易得，当x ＝47.5时，z 取得最大值，即票价定为47.5元时，能获得最大票房收入．。
2017高考数学文科二轮复习对点练：专题二 不等式、函
第一部分 专题二 第3讲1．某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( D )A ．p ＋q 2B.(p ＋1)(q ＋1)－12C ．pqD.(p ＋1)(q ＋1)－1解析：设原来的生产总值为a ，平均增长率为x ， 则a (1＋p )(1＋q )＝a (1＋x )2， 解得1＋x ＝(p ＋1)(q ＋1)， 即x ＝(p ＋1)(q ＋1)－1.2．设a ，b ，c 均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是( B ) A ．log a b ·log c b ＝log c a B ．log a b ·log c a ＝log c b C ．log a bc ＝log a b ·log a cD ．log a (b ＋c )＝log a b ＋log a c解析：对于A ，log a b ·log c b ＝log c a ⇒log a b ＝log c a log c b ，与换底公式矛盾，所以A 不正确；对于B ，log a b ·log c a ＝log a b ，⇒log a b ＝log c blog c a，符合换底公式，所以正确；对于C ，log a bc ＝log a b ·log a c ，不满足对数运算公式log a (xy )＝log a x ＋log a y (x ，y >0)，所以不正确；对于D ，log a (b ＋c )＝log a b ＋log a c ，不满足log a (xy )＝log a x ＋log a y (x ，y >0)，所以不正确． 3．定义在R 上的函数f (x )满足：f ′(x )>f (x )恒成立，若x 1<x 2，则e x 1f (x 2)与e x 2f (x 1)的大小关系为( A )A ．e x 1f (x 2)>e x 2f (x 1)B ．e x 1f (x 2)<e x 2f (x 1)C ．e x 1f (x 2)＝e x 2f (x 1)D ．e x 1f (x 2)与e x 2f (x 1)的大小关系不确定解析：构造函数g (x )＝f (x )e x ，则g ′(x )＝f ′(x )－f (x )e x >0，∴函数g (x )单调递增．∵x 1<x 2，∴g (x 1)<g (x 2)，即f (x 1)e x 1<f (x 2)e x 2，∴e x 1f (x 2)>e x 2f (x 1)．4．已知实数x ，y 满足a x <a y (0<a <1)，则下列关系式恒成立的是( A ) A ．x 3>y 3B ．sin x >sin yC ．ln(x 2＋1)>ln(y 2＋1)D.1x 2＋1>1y 2＋1解析：∵实数x ，y 满足a x <a y (0<a <1)，∴x >y ， 对于A ，当x >y 时，x 3>y 3，恒成立．对于B ，当x ＝π，y ＝π2时，满足x >y ，但sin x >sin y 不成立．对于C ，若ln(x 2＋1)>ln(y 2＋1)，则等价为x 2>y 2成立，当x ＝1，y ＝－1时，满足x >y ，但x 2>y 2不成立．对于D ，若1x 2＋1>1y 2＋1，则等价为x 2＋1<y 2＋1，即x 2<y 2，当x ＝1，y ＝－1时，满足x >y ，但x 2<y 2不成立．5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋1－3，x ∈(－1，0]，x ，x ∈(0，1]，且g (x )＝f (x )－mx －m 在(－1,1]内有且仅有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是( A )A ．⎝⎛⎦⎤－94，－2∪⎝⎛⎦⎤0，12 B.⎝⎛⎦⎤－114，－2∪⎝⎛⎦⎤0，12 C ．⎝⎛⎦⎤－94，－2∪⎝⎛⎦⎤0，23 D.⎝⎛⎦⎤－114，－2∪⎝⎛⎦⎤0，23 解析：由g (x )＝f (x )－mx －m ＝0，得f (x )＝m (x ＋1)， 分别作出函数f (x )和y ＝h (x )＝m (x ＋1)的图象如图． 由图象可知f (1)＝1，h (x )表示过定点A (－1,0)的直线．当h (x )过(1,1)时，m ＝12，此时两个函数有两个交点，此时满足条件的m 的取值范围是0<m ≤12.当h (x )过(0，－2)时，h (0)＝－2， 解得m ＝－2，此时两个函数有两个交点． 当h (x )与f (x )相切时，两个函数只有一个交点，此时1x ＋1－3＝m (x ＋1)，即m (x ＋1)2＋3(x ＋1)－1＝0， 当m ＝0时，x ＝－23，只有1解；当m ≠0，由Δ＝9＋4m ＝0得m ＝－94，此时直线和f (x )相切．∴要使函数有两个零点， 则－94<m ≤－2或0<m ≤12.6．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( B )A ．60件B ．80件C ．100件D ．120件解析：根据题意，该生产x 件产品的生产准备费用与仓储费用之和是800＋x ·x 8＝800＋18x 2，这样平均每件的生产准备费用与仓储费用之和为 f (x )＝800＋18x 2x ＝800x ＋18x (x 为正整数)．由基本不等式，得f (x )≥2800x ·18x ＝20. 当且仅当800x ＝18x ＝10时，f (x )取得最小值，可得x ＝80时，每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小．7．已知函数f (x )＝2－x ，x ≤ 2 , 函数g (x )＝3－f (2－x )，则函数y ＝f (x )－g (x )的零点个 (x －2)2, x > 2数为 ( A )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：由已知条件可得g (x )＝3－f (2－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x －2|＋1，x ≥0，3－x 2，x <0. 函数y ＝f (x )－g (x )的零点个数即为函数y ＝f (x )与y ＝g (x )图象的交点个数， 在平面直角坐标系内作出函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象如图所示．由图象可知函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象有2个交点，所以函数y ＝f (x )－g (x )的零点个数为2.8．设函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x >0，4x ，x ≤0，若函数y ＝f (x )－k 存在两个零点，则实数k 的取值范围是(0,1]．解析：∵函数y ＝f (x )－k 存在两个零点，∴函数y ＝f (x )与y ＝k 的图象有两个公共点，在同一个坐标系中作出它们的图象，由图象可知：实数k 的取值范围是(0,1]．9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a ·2x ，x ≥0，2－x ，x <0，(a ∈R )，若f [f (－1)]＝1，则a ＝ 14 .解析：∵f [f (－1)]＝1， ∴f [f (－1)]＝f (2－(－1))＝f (2)＝a ·22＝4a ＝1，∴a ＝14.10．若函数f （x ）=b x--22有两个零点，则实数b 的取值范围是__( 0,2 )__． 解析：函数f （x ）=b x --22有两个零点等价于函数y=22-x与y =b 的图像有两个不同的交点.在同一坐标系中作出函数y=22-x及y =b 的图像.11．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋a ，x ≤0，x ＋1x ，x >0，若f (0)是f (x )的最小值，则a 的取值范围为(－∞，2]．解析：当x ＝0时，f (0)＝a ， 由题意得：a ≤x ＋1x ，又∵x ＋1x ≥2x ·1x＝2， ∴a ≤2.12．已知函数y ＝|x 2－1|x －1的图象与函数y ＝kx 的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围是(0,1)∪(1,2)．解析：函数y ＝|x 2－1|x －1＝|x ＋1|·|x －1|x －1＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x >1，－(x ＋1)，－1≤x <1，x ＋1，x <－1，由图可知当一次函数y ＝kx 的斜率k 满足0<k <1或1<k <2时，直线y ＝kx 与函数y ＝|x 2－1|x －1的图象相交于两点．。
全国通用2017年高考数学大二轮专题复习第二编专题整合突破专题八系列4选讲第二讲不等式选讲适考素能特训理
专题八 系列4选讲 第二讲 不等式选讲适考素能特训 理1．[2016·湖北八校联考]已知函数f (x )＝|x －10|＋|x －20|，且满足f (x )<10a ＋10(a ∈R )的解集不是空集．(1)求实数a 的取值集合A ；(2)若b ∈A ，a ≠b ，求证：a a b b >a b b a .解 (1)|x －10|＋|x －20|<10a ＋10的解集不是空集，则(|x －10|＋|x －20|)mi n <10a ＋10，∴10<10a ＋10，∴a >0，A ＝(0，＋∞)．(2)证明：不妨设a >b ，则aabb abba ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b ， ∵a >b >0，∴a b >1，a －b >0，⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b >1， ∴a a b b >a b b a .2．[2016·河南测试]已知函数f (x )＝|x －2|.(1)解不等式f (x )＋f (x ＋5)≥9；(2)若|a |<1，|b |<1，求证：f (ab ＋3)>f (a ＋b ＋2)．解 (1)f (x )＋f (x ＋5)＝|x －2|＋|x ＋3|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －1，x<－3，5，－3≤x≤2，2x ＋1，x>2. 当x <－3时，由－2x －1≥9，解得x ≤－5； 当－3≤x ≤2时，f (x )≥9，不成立； 当x >2时，由2x ＋1≥9，解得x ≥4. 所以不等式f (x )＋f (x ＋5)≥9的解集为{x |x ≤－5或x ≥4}． (2)证明：f (ab ＋3)>f (a ＋b ＋2)，即|ab ＋1|>|a ＋b |. 因为|a |<1，|b |<1， 所以|ab ＋1|2－|a ＋b |2＝(a 2b 2＋2ab ＋1)－(a 2＋2ab ＋b 2)＝(a 2－1)(b 2－1)>0，所以|ab ＋1|>|a ＋b |，故所证不等式成立．3．已知函数f (x )＝|x －2|－|x ＋1|.(1)解不等式f (x )>1；(2)当x >0时，函数g (x )＝ax2－x ＋1x (a >0)的最小值总大于函数f (x )，试求实数a 的取值范围． 解 (1)当x >2时，原不等式可化为x －2－x －1>1，此时不成立；当－1≤x ≤2时，原不等式可化为2－x －x －1>1，即－1≤x <0；当x <－1时，原不等式可化为2－x ＋x ＋1>1，即x <－1，综上，原不等式的解集是{x |x <0}．(2)因为g (x )＝ax ＋1x －1≥2a －1，当且仅当ax ＝1x ，即x ＝a a时“＝”成立， 所以g (x )mi n ＝2a －1，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1－2x ，0<x≤2，－3，x>2，所以f (x )∈[－3,1)，所以2a －1≥1，即a ≥1为所求．4．[2016·全国卷Ⅲ]已知函数f (x )＝|2x －a |＋a.(1)当a ＝2时，求不等式f (x )≤6的解集；(2)设函数g (x )＝|2x －1|.当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3，求a 的取值范围． 解 (1)当a ＝2时，f (x )＝|2x －2|＋2.解不等式|2x －2|＋2≤6得－1≤x ≤3.因此f (x )≤6的解集为{x |－1≤x ≤3}．(2)当x ∈R 时，f (x )＋g (x )＝|2x －a |＋a ＋|1－2x |≥|2x －a ＋1－2x |＋a ＝|1－a |＋a.所以当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3等价于|1－a |＋a ≥3.①当a ≤1时，①等价于1－a ＋a ≥3，无解．当a >1时，①等价于a －1＋a ≥3，解得a ≥2.所以a 的取值范围是[2，＋∞)．5．[2016·湖北七市联考]设函数f (x )＝|x －a |，a ∈R .(1)若a ＝1，解不等式f (x )≥12(x ＋1)； (2)记函数g (x )＝f (x )－|x －2|的值域为A ，若A ⊆[－1,3]，求a 的取值范围．解 (1)由于a ＝1，故f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x ，x<1，x －1，x≥1.当x <1时，由f (x )≥12(x ＋1)，得1－x ≥12(x ＋1)，解得x ≤13. 当x ≥1时，由f (x )≥12(x ＋1)，得x －1≥12(x ＋1)，解得x ≥3. 综上，不等式f (x )≥12(x ＋1)的解集为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，13∪[3，＋∞)． (2)当a <2时，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －2，x≤a，2x －2－a ，a<x<2，2－a ，x≥2，g (x )的值域A ＝[a －2,2－a ]， 由A ⊆[－1,3]，得⎩⎪⎨⎪⎧a －2≥－1，2－a≤3，解得a ≥1，又a <2，故1≤a <2； 当a ≥2时，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ a －2，x≤2，－2x ＋2＋a ，2<x<a ，2－a ，x≥a，g (x )的值域A ＝[2－a ，a －2]， 由A ⊆[－1,3]，得⎩⎪⎨⎪⎧ 2－a≥－1，a －2≤3，解得a ≤3，又a ≥2，故2≤a ≤3.综上，a 的取值范围为[1,3]．。
2017高考数学文科二轮(通用版)复习对点练专题二不等式、函数与导数第3讲特训13题(一)Word版含答案
第一部分 专题二 第3讲1．某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( D )A ．p ＋q 2B.(p ＋1)(q ＋1)－12C ．pqD.(p ＋1)(q ＋1)－1解析：设原来的生产总值为a ，平均增长率为x ， 则a (1＋p )(1＋q )＝a (1＋x )2， 解得1＋x ＝(p ＋1)(q ＋1)， 即x ＝(p ＋1)(q ＋1)－1.2．设a ，b ，c 均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是( B ) A ．log a b ·log c b ＝log c a B ．log a b ·log c a ＝log c b C ．log a bc ＝log a b ·log a cD ．log a (b ＋c )＝log a b ＋log a c解析：对于A ，log a b ·log c b ＝log c a ⇒log a b ＝log c a log c b ，与换底公式矛盾，所以A 不正确；对于B ，log a b ·log c a ＝log a b ，⇒log a b ＝log c blog c a，符合换底公式，所以正确；对于C ，log a bc ＝log a b ·log a c ，不满足对数运算公式log a (xy )＝log a x ＋log a y (x ，y >0)，所以不正确；对于D ，log a (b ＋c )＝log a b ＋log a c ，不满足log a (xy )＝log a x ＋log a y (x ，y >0)，所以不正确． 3．定义在R 上的函数f (x )满足：f ′(x )>f (x )恒成立，若x 1<x 2，则e x 1f (x 2)与e x 2f (x 1)的大小关系为( A )A ．e x 1f (x 2)>e x 2f (x 1)B ．e x 1f (x 2)<e x 2f (x 1)C ．e x 1f (x 2)＝e x 2f (x 1)D ．e x 1f (x 2)与e x 2f (x 1)的大小关系不确定解析：构造函数g (x )＝f (x )e x ，则g ′(x )＝f ′(x )－f (x )e x >0，∴函数g (x )单调递增．∵x 1<x 2，∴g (x 1)<g (x 2)，即f (x 1)e x 1<f (x 2)e x 2，∴e x 1f (x 2)>e x 2f (x 1)．4．已知实数x ，y 满足a x <a y (0<a <1)，则下列关系式恒成立的是( A ) A ．x 3>y 3B ．sin x >sin yC ．ln(x 2＋1)>ln(y 2＋1)D.1x 2＋1>1y 2＋1解析：∵实数x ，y 满足a x <a y (0<a <1)，∴x >y ， 对于A ，当x >y 时，x 3>y 3，恒成立．对于B ，当x ＝π，y ＝π2时，满足x >y ，但sin x >sin y 不成立．对于C ，若ln(x 2＋1)>ln(y 2＋1)，则等价为x 2>y 2成立，当x ＝1，y ＝－1时，满足x >y ，但x 2>y 2不成立．对于D ，若1x 2＋1>1y 2＋1，则等价为x 2＋1<y 2＋1，即x 2<y 2，当x ＝1，y ＝－1时，满足x >y ，但x 2<y 2不成立．5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋1－3，x ∈(－1，0]，x ，x ∈(0，1]，且g (x )＝f (x )－mx －m 在(－1,1]内有且仅有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是( A )A ．⎝⎛⎦⎤－94，－2∪⎝⎛⎦⎤0，12 B.⎝⎛⎦⎤－114，－2∪⎝⎛⎦⎤0，12 C ．⎝⎛⎦⎤－94，－2∪⎝⎛⎦⎤0，23 D.⎝⎛⎦⎤－114，－2∪⎝⎛⎦⎤0，23 解析：由g (x )＝f (x )－mx －m ＝0，得f (x )＝m (x ＋1)， 分别作出函数f (x )和y ＝h (x )＝m (x ＋1)的图象如图． 由图象可知f (1)＝1，h (x )表示过定点A (－1,0)的直线．当h (x )过(1,1)时，m ＝12，此时两个函数有两个交点，此时满足条件的m 的取值范围是0<m ≤12.当h (x )过(0，－2)时，h (0)＝－2， 解得m ＝－2，此时两个函数有两个交点． 当h (x )与f (x )相切时，两个函数只有一个交点， 此时1x ＋1－3＝m (x ＋1)，即m (x ＋1)2＋3(x ＋1)－1＝0， 当m ＝0时，x ＝－23，只有1解；当m ≠0，由Δ＝9＋4m ＝0得m ＝－94，此时直线和f (x )相切．∴要使函数有两个零点，则－94<m ≤－2或0<m ≤12.6．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( B )A ．60件B ．80件C ．100件D ．120件解析：根据题意，该生产x 件产品的生产准备费用与仓储费用之和是800＋x ·x 8＝800＋18x 2，这样平均每件的生产准备费用与仓储费用之和为 f (x )＝800＋18x 2x ＝800x ＋18x (x 为正整数)．由基本不等式，得f (x )≥2800x ·18x ＝20. 当且仅当800x ＝18x ＝10时，f (x )取得最小值，可得x ＝80时，每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小．7．已知函数f (x )＝2－，x ≤ 2 , 函数g (x )＝3－f (2－x )，则函数y ＝f (x )－g (x )的零点个 (x －2)2, x > 2数为 ( A )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：由已知条件可得g (x )＝3－f (2－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x －2|＋1，x ≥0，3－x 2，x <0. 函数y ＝f (x )－g (x )的零点个数即为函数y ＝f (x )与y ＝g (x )图象的交点个数， 在平面直角坐标系内作出函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象如图所示．由图象可知函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象有2个交点，所以函数y ＝f (x )－g (x )的零点个数为2.8．设函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x >0，4x ，x ≤0，若函数y ＝f (x )－k 存在两个零点，则实数k 的取值范围是(0,1]．解析：∵函数y ＝f (x )－k 存在两个零点，∴函数y ＝f (x )与y ＝k 的图象有两个公共点，在同一个坐标系中作出它们的图象，由图象可知：实数k 的取值范围是(0,1]．9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a ·2x ，x ≥0，2－x ，x <0，(a ∈R )，若f [f (－1)]＝1，则a ＝ 14 .解析：∵f [f (－1)]＝1， ∴f [f (－1)]＝f (2－(－1))＝f (2)＝a ·22＝4a ＝1，∴a ＝14.10．若函数f （x ）=有两个零点，则实数b 的取值范围是__( 0,2 )__．解析：函数f （x ）=有两个零点等价于函数y=与y =b 的图像有两个不同的交点.在同一坐标系中作出函数y=及y =b 的图像.11．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋a ，x ≤0，x ＋1x ，x >0，若f (0)是f (x )的最小值，则a 的取值范围为(－∞，2]．解析：当x ＝0时，f (0)＝a ， 由题意得：a ≤x ＋1x ，又∵x ＋1x ≥2x ·1x＝2， ∴a ≤2.12．已知函数y ＝|x 2－1|x －1的图象与函数y ＝kx 的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围是(0,1)∪(1,2)．解析：函数y ＝|x 2－1|x －1＝|x ＋1|·|x －1|x －1＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x >1，－(x ＋1)，－1≤x <1，x ＋1，x <－1，由图可知当一次函数y ＝kx 的斜率k 满足0<k <1或1<k <2时，直线y ＝kx 与函数y ＝|x 2－1|x －1的图象相交于两点．。
【金版教程】2017届高考文科数学(全国通用)二轮适考素能特训：专题3-3-1客观题专练
第三步 应试技能专训 一、客观题专练(一)一、选择题1．设U ＝R ，集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈R ⎪⎪⎪x －1x －2>0，B ＝{x ∈R |0<x <2}，则(∁U A )∩B ＝( )A ．(1,2]B ．[1,2)C ．(1,2)D ．[1,2]答案 B解析 依题意得∁U A ＝{x |1≤x ≤2}，(∁U A )∩B ＝{x |1≤x <2}＝[1,2)，选B.2．设z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则2z －z ＝( ) A ．i B ．2－i C ．1－i D ．0 答案 D解析 因为2z －z ＝21＋i －1＋i ＝2(1－i )(1＋i )(1－i )－1＋i ＝1－i －1＋i＝0，故选D.3．[2016·沈阳监测]下列函数中，在其定义域内是增函数而且又是奇函数的是( )A ．y ＝2xB ．y ＝2|x |C ．y ＝2x －2－xD ．y ＝2x ＋2－x 答案 C解析 A 虽为增函数却是非奇非偶函数，B 、D 是偶函数，对于选项C ，由奇偶函数的定义可知是奇函数，由复合函数单调性可知在其定义域内是增函数(或y ′＝2x ln 2＋2－x ln 2>0)，故选C.4．已知数列{a n }是公差为3的等差数列，且a 1，a 2，a 5成等比数列，则a 10等于( )A ．14 B.532 C.572 D ．32答案 C解析 由题意可得a 22＝a 1·a 5，即(a 1＋3)2＝a 1(a 1＋4×3)，解之得a 1＝32，故a 10＝32＋(10－1)×3＝572，故选C.5．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≤0，3x －y ＋1≥0，x －y －1≤0，则z ＝2x ＋y的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 B解析 画出可行域得知，当直线y ＝z －2x 过点(1,0)时，z 取得最大值2.6. 已知函数f (x )的图象如图所示，则f (x )的解析式可能是()A ．f (x )＝e1－x 2B ．f (x )＝e x 2－1C ．f (x )＝e x 2－1D ．f (x )＝ln (x 2－1) 答案 A解析 A 中，令f (x )＝e u ，u ＝1－x 2，易知当x <0时，u 为增函数，当x >0时，u 为减函数，所以当x <0时，f (x )为增函数，当x >0时，f (x )为减函数，故A 可能是；B 、C 中同理可知，当x <0时，f (x )为减函数，当x >0时，f (x )为增函数，故B 、C 不是；D 中，当x ＝0时，无意义，故D 不是，选A.7．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的图象如图所示，则该函数的解析式可能是( )A ．f (x )＝34sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ＋π6B ．f (x )＝45sin ⎝⎛⎭⎪⎫45x ＋15C ．f (x )＝45sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫56x ＋π6D ．f (x )＝45sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x －15答案 B解析 由图可以判断|A |<1，T >2π，则|ω|<1，f (0)>0，f (π)>0，f (2π)<0，只有选项B 满足上述条件．8．已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为0时，输入的x 值为( )A ．－2B ．－2或－1C ．1或－3D ．－2或13答案 D解析 当x ≤0时，由y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－4＝0得x ＝－2；当x >0时，由y ＝log 3x ＋1＝0得x ＝13.第三编/第三步 应试技能专训金版教程|大二轮·文数9. 高为4的直三棱柱被削去一部分后得到一个几何体，它的直观图和三视图中的侧视图、俯视图如图所示，则该几何体的体积是原直三棱柱的体积的( )A.34B.14C.12D.38 答案 C解析 由侧视图、俯视图知该几何体是高为2、底面积为12×2×(2＋4)＝6的四棱锥，其体积为4.易知直三棱柱的体积为8，则该几何体的体积是原直三棱柱的体积的48＝12，故选C.10．[2016·贵阳监测]已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与函数y ＝x 的图象交于点P ，若函数y ＝x 的图象在点P 处的切线过双曲线左焦点F (－2,0)，则双曲线的离心率是( )A.5＋12B. 2C.3＋12D.32答案 B解析 设P (x 0，x 0)，因为函数y ＝x 的导数为y ′＝12x，所以切线的斜率为12x 0.又切线过双曲线的左焦点F (－2,0)，所以12x 0＝x 0x 0＋2，解得x 0＝2，所以P (2，2)．因为点P 在双曲线上，所以4a 2－2b2＝1 ①.又c 2＝22＝a 2＋b 2②，联立①②解得a ＝2或a ＝22(舍)，所以e ＝c a ＝22＝2，故选B.11．[2016·山西四校联考]在正三棱锥S －ABC 中，M 是SC 的中点，且AM ⊥SB ，底面边长AB ＝22，则正三棱锥S －ABC 的外接球的表面积为( )A ．6πB ．12πC ．32πD ．36π答案 B解析 如图，取CB 的中点N ，连接MN ，AN ，则MN ∥SB .由于AM ⊥SB ，所以AM ⊥MN .由正三棱锥的性质易知SB ⊥AC ，结合AM ⊥SB 知SB ⊥平面SAC ，所以SB ⊥SA ，SB ⊥SC .又正三棱锥的三个侧面是全等的三角形，所以SA ⊥SC ，所以正三棱锥S －ABC 为正方体的一个角，所以正三棱锥S －ABC 的外接球即为正方体的外接球．由AB ＝22，得SA ＝SB ＝SC ＝2，所以正方体的体对角线为23，所以所求外接球的半径R ＝3，其表面积为4πR 2＝12π，故选B.12．[2016·商丘二模]设函数f (x )的导函数为f ′(x )，对任意x ∈R 都有f (x )>f ′(x )成立，则( )A ．3f (ln 2)<2f (ln 3)B ．3f (ln 2)＝2f (ln 3)C ．3f (ln 2)>2f (ln 3)D ．3f (ln 2)与2f (ln 3)的大小不确定 答案 C解析 构造新函数g (x )＝f (x )e x ，则求导函数得：g ′(x )＝f ′(x )－f (x )e x ，因为对任意x ∈R ，都有f (x )>f ′(x )，所以g ′(x )<0，即g (x )在实数域上单调递减，所以g (ln 2)>g (ln 3)，即f (ln 2)e ln 2>f (ln 3)e ln 3，解得3f (ln 2)>2f (ln 3)，故本题正确答案为C.二、填空题13．若向量a ，b 满足：|a |＝1，|b |＝2，(a －b )⊥a ，则a ，b 的夹角是________．答案 π3解析 依题意得(a －b )·a ＝0，即a 2－a ·b ＝0,1－2cos 〈a ，b 〉＝0，cos 〈a ，b 〉＝12；又〈a ，b 〉∈[0，π]，因此〈a ，b 〉＝π3，即向量a ，b 的夹角为π3.14．若不等式x 2＋y 2≤2所表示的平面区域为M ，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≥0，y ≥2x －6表示的平面区域为N ，现随机向区域N 内抛一粒豆子，则豆子落在区域M 内的概率为________．答案 π24解析 作出不等式组与不等式表示的可行域如图所示，平面区域N 的面积为12×3×(6＋2)＝12，区域M 在区域N 内的面积为14π(2)2＝π2，故所求概率P ＝π212＝π24.15．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，b cos C ＋c cos B ＝3R (R 为△ABC 外接圆半径)且a ＝2，b ＋c ＝4，则△ABC 的面积为________．答案3解析 因为b cos C ＋c cos B ＝3R ， 得2sin B cos C ＋2sin C cos B ＝3， sin(B ＋C )＝32，即sin A ＝32.由余弦定理得：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 即4＝b 2＋c 2－bc ，∴4＝(b ＋c )2－3bc ， ∵b ＋c ＝4，∴bc ＝4，∴S △ABC ＝12bc sin A ＝ 3.16．存在实数φ，使得圆面x 2＋y 2≤4恰好覆盖函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πk x ＋φ图象的最高或最低点共三个，则正数k 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤32，3 解析 当函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πk x ＋φ的图象取到最高或最低点时，πk x ＋φ＝π2＋n π(n ∈Z )⇒x ＝k 2＋kn －kπφ(n ∈Z )，由圆面x 2＋y 2≤4覆盖最高或最低点，可知－3≤x ≤3，再令－3≤k 2＋kn －kπφ≤3，得－3k ＋φπ－12≤n ≤3k ＋φπ－12，分析题意可知存在实数φ，使得不等式－3k ＋φπ－12≤n ≤3k ＋φπ－12的整数解有且只有3个，∴2≤3k ＋φπ－12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－3k ＋φπ－12<4⇒32<k ≤3，即实数k 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤32，3.(二)一、选择题1．在复平面内，复数21－i ＋2i 2对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 B 解析21－i＋2i 2＝－1＋i ，故选B. 2．已知集合A ＝{x |－2≤x ≤3}，B ＝{x |x 2＋2x －8>0}，则A ∪B＝()A．(－∞，－4)∪[－2，＋∞)B．(2,3]C．(－∞，3]∪(4，＋∞)D．[－2,2)答案 A解析因为B＝{x|x>2或x<－4}，所以A∪B＝{x|x<－4或x≥－2}，故选A.3．设x，y∈R，则“x≥1且y≥1”是“x2＋y2≥2”的()A．既不充分又不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．充分不必要条件答案 D解析当x≥1，y≥1时，x2≥1，y2≥1，所以x2＋y2≥2；而当x ＝－2，y＝－4时，x2＋y2≥2仍成立，所以“x≥1且y≥1”是“x2＋y2≥2”的充分不必要条件，故选D.4．据我国西部各省(区，市)2013年人均地区生产总值(单位：千元)绘制的频率分布直方图如图所示，则人均地区生产总值在区间[28,38)上的频率是()A．0.3 B．0.4C．0.5 D．0.7答案 A解析依题意，由题图可估计人均地区生产总值在区间[28,38)上的频率是1－(0.08＋0.06)×5＝0.3，选A.5. 如图，在三棱锥P－ABC中，不能证明AP⊥BC的条件是()A．AP⊥PB，AP⊥PCB．AP⊥PB，BC⊥PBC．平面BPC⊥平面APC，BC⊥PCD．AP⊥平面PBC答案 B解析A中，因为AP⊥PB，AP⊥PC，PB∩PC＝P，所以AP⊥平面PBC，又BC⊂平面PBC，所以AP⊥BC，故A正确；C中，因为平面BPC⊥平面APC，BC⊥PC，所以BC⊥平面APC，AP⊂平面APC，所以AP⊥BC，故C正确；D中，由A知D正确；B中条件不能判断出AP⊥BC，故选B.6．执行如下程序框图，则输出结果为()A．2 B．3C．4 D．5答案 C解析依次执行框图中的语句：n＝1，S＝0，T＝20；T＝10，S＝1，n ＝2；T ＝5，S ＝3，n ＝3；T ＝52，S ＝6，n ＝4，跳出循环，输出的n ＝4，故选C.7．已知α∈⎝⎛⎭⎪⎫π4，π2，tan ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝17，那么sin2α＋cos2α的值为( )A ．－15 B.75 C ．－75 D.34答案 A解析 由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝17，知tan2α＋11－tan2α＝17，∴tan2α＝－34.∵2α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴sin2α＝35，cos2α＝－45. ∴sin2α＋cos2α＝－15，故选A.8．甲、乙两个几何体的正视图和侧视图相同，俯视图不同，如图所示，记甲的体积为V 甲，乙的体积为V 乙，则( )A ．V 甲<V 乙B ．V 甲＝V 乙C ．V 甲>V 乙D ．V 甲、V 乙大小不能确定答案 C解析 由三视图知，甲几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，乙几何体是在甲几何体的基础上去掉一个角，即去掉一个三个面是直角三角形的三棱锥后得到的一个三棱锥，所以V 甲>V 乙，故选C.9．[2016·江西南昌调研]设两条直线的方程分别为x ＋y ＋a ＝0，x ＋y ＋b ＝0，已知a ，b 是方程x 2＋x ＋c ＝0的两个实根，且0≤c ≤18，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是( )A.22，12B.2，22 C.2，12 D.24，14答案 A解析 因为a ，b 是方程x 2＋x ＋c ＝0的两个实根，所以ab ＝c ，a ＋b ＝－1.又直线x ＋y ＋a ＝0，x ＋y ＋b ＝0的距离d ＝|a －b |2，所以d 2＝⎝⎛⎭⎪⎫|a －b |22＝(a ＋b )2－4ab 2＝(－1)2－4c 2＝12－2c ，因为0≤c ≤18，所以12－2×18≤12－2c ≤12－2×0，得14≤12－2c ≤12，所以12≤d ≤22，故选A.10．[2016·郑州质检]已知函数f (x )＝x ＋4x ，g (x )＝2x ＋a ，若∀x 1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，∃x 2∈[2,3]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ≤1 B ．a ≥1 C ．a ≤2 D ．a ≥2答案 A解析 由题意知f (x )min ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1≥g (x )min (x ∈[2,3])，因为f (x )min＝5，g (x )min ＝4＋a ，所以5≥4＋a ，即a ≤1，故选A.11．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点F (－c,0)关于直线bx ＋cy ＝0的对称点P 在椭圆上，则椭圆的离心率是( )A.24B.34 C.33 D.22答案 D解析 设焦点F (－c,0)关于直线bx ＋cy ＝0的对称点为P (m ，n )，则⎩⎨⎧n m ＋c ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－b c ＝－1，b ·m －c 2＋c ·n2＝0，所以⎩⎨⎧n m ＋c ＝c b，bm －bc ＋nc ＝0，所以m ＝b 2c －c 3b 2＋c 2＝(a 2－2c 2)c a 2＝(1－2e 2)c ， n ＝c 2b ＋bc 2b 2＋c2＝2bc 2a 2＝2be 2.因为点P (m ，n )在椭圆上，所以(1－2e 2)2c 2a 2＋4b 2e 4b 2＝1，即(1－2e 2)2e 2＋4e 4＝1，即4e 6＋e 2－1＝0，将各选项代入知e ＝22符合，故选D.12．[2016·武昌调研]已知函数f (x )＝sin x －x cos x .现有下列结论： ①∀x ∈[0，π]，f (x )≥0； ②若0<x 1<x 2<π，则x 1x 2<sin x 1sin x 2；③若a <sin x x <b ，对∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2恒成立，则a 的最大值为2π，b 的最小值为1.其中正确结论的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3答案 D解析 因为f ′(x )＝cos x －cos x ＋x sin x ＝x sin x ，当x ∈[0，π]时，f ′(x )≥0，故f (x )在[0，π]上是增函数，所以f (x )≥f (0)＝0，所以①正确；令g (x )＝sin xx ，则g ′(x )＝x cos x －sin x x 2，由①知，当x ∈(0，π)时，g ′(x )≤0，所以g (x )在[0，π]上是减函数，所以sin x 1x 1>sin x 2x 2，即x 1x 2<sin x 1sin x 2，所以②正确；当x >0时，“sin xx >a ”等价于“sin x －ax >0”， 令g (x )＝sin x －cx ，则g ′(x )＝cos x －c ， 当c ≤0时，g (x )>0对x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2恒成立；当c ≥1时，因为对∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.g ′(x )＝cos x －c <0，所以g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递减，从而，g (x )<g (0)＝0对∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2恒成立； 当0<c <1时，存在唯一的x 0∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2使得g ′(x 0)＝cos x 0－c ＝0成立，若x ∈(0，x 0)时，g (x 0)>0，g (x )在(0，x 0)上单调递增，且g (x )>g (0)＝0；若x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，π2时，g ′(x 0)<0，g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，π2上单调递减，要使g (x )＝sin x －cx >0在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上恒成立， 必须使g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝sin π2－π2c ＝1－π2c ≥0恒成立，即0<c ≤2π.综上所述，当c ≤2π时，g (x )>0对∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2恒成立；当c ≥1时，g (x )<0，对∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2恒成立，所以若a <sin xx <b 对∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上恒成立，则a 的最大值为2π，b 的最小值为1，所以③正确，故选D. 二、填空题13．从编号为001,002，…，500的500个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本编号从小到大依次为007,032，…，则样本中最大的编号应该为________．答案 482解析 由题意可知，系统抽样的每组元素个数为32－7＝25个，共20个组，故样本中最大的编号应该为500－25＋7＝482.14．[2016·辽宁五校联考]抛物线x 2＝12y 在第一象限内图象上一点(a i,2a 2i )处的切线与x 轴交点的横坐标记为a i ＋1，其中i ∈N *，若a 2＝32，则a 2＋a 4＋a 6等于________．答案 42解析 令y ＝f (x )＝2x 2，则切线斜率k ＝f ′(a i )＝4a i ，切线方程为y －2a 2i ＝4a i (x －a i )，令y ＝0得x ＝a i ＋1＝12a i ，由a 2＝32得a 4＝8，a 6＝2，所以a 2＋a 4＋a 6＝42.15．已知a ，b 是正数，且满足2<a ＋2b <4，那么a 2＋b 2的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫45，16 解析 作出不等式表示的平面区域，如图阴影部分所示(不包括边界)，O 到直线a ＋2b ＝2的距离d ＝25，|OB |＝4，显然d 2<a 2＋b 2<|OB |2，即45<a 2＋b 2<16.16．[2016·湖南长郡模拟] 如图，在△ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2＝b 2＋c 2＋bc ，a ＝3，S 为△ABC 的面积，圆O 是△ABC 的外接圆，P 是圆O 上一动点，当S ＋3cos B cos C 取得最大值时，P A →·PB→的最大值为________．答案3＋32解析 本题考查余弦定理、正弦定理、平面向量的运算．在△ABC中，由a 2＝b 2＋c 2＋bc 得b 2＋c 2－a 2＝－bc ，则cos A ＝b 2＋c 2－a22bc ＝－12，所以sin A ＝32，则由正弦定理得△ABC 的外接圆的半径为r ＝12×a sin A ＝12×332＝1，则b ＝2r sin B ＝2sin B ，c ＝2r sin C ＝2sin C ，所以S＋3cos B cos C ＝12bc sin A ＋3cos B cos C ＝34×2sin B ×2sin C ＋3cos B cos C ＝3cos(B －C )，则当B ＝C ＝π6时，S ＋3cos B cos C 取得最大值．以O 为原点，OA 所在的直线为y 轴，过O 点垂直于OA 的直线为x 轴建立平面直角坐标系，则A (0,1)，B ⎝⎛⎭⎪⎫－32，12，设P (cos θ，sin θ)，则P A →·PB →＝(－cos θ，1－sin θ)·⎝ ⎛⎭⎪⎫－32－cos θ，12－sin θ＝32cos θ＋cos 2θ＋12－32sin θ＋sin 2θ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＋32，所以当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝1时，P A →·PB →取得最大值3＋32. (三)一、选择题1．设全集U ＝R ，A ＝{x |x (x －2)<0}，B ＝{x |1－x >0}，则A ∩(∁U B )等于( )A ．{x |x ≥1}B ．{x |1≤x <2}C ．{x |0<x ≤1}D ．{x |x ≤1}答案 B解析 由题意可得A ＝(0,2)，B ＝(－∞，1)，则A ∩(∁U B )＝[1,2)． 2．已知实数a ，b 满足(a ＋i)(1－i)＝3＋b i ，则复数a ＋b i 的模为( )A. 2B ．2C. 5 D ．5答案 C解析 依题意，(a ＋i)－(a ＋i)i ＝3＋b i ，因此⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＝3，1－a ＝b ，解得a＝2，b ＝－1，所以a ＋b i ＝2－i ，|a ＋b i|＝|2－i|＝22＋(－1)2＝5，选C.3．下列函数为奇函数的是( ) A ．y ＝x 3＋3x 2 B ．y ＝e x ＋e －x2 C ．y ＝x sin x D ．y ＝log 23－x3＋x答案 D解析 依题意，对于选项A ，注意到当x ＝－1时，y ＝2；当x ＝1时，y ＝4，因此函数y ＝x 3＋3x 2不是奇函数．对于选项B ，注意到当x ＝0时，y ＝1≠0，因此函数y ＝e x ＋e －x2不是奇函数．对于选项C ，注意到当x ＝－π2时，y ＝π2；当x ＝π2时，y ＝π2，因此函数y ＝x sin x 不是奇函数．对于选项D ，由3－x 3＋x >0得－3<x <3，即函数y ＝log 23－x3＋x 的定义域是(－3,3)，该数集是关于原点对称的集合，且log 23－(－x )3＋(－x )＋log 23－x 3＋x ＝log 21＝0，即有log 23－(－x )3＋(－x )＝－log 23－x3＋x，因此函数y ＝log 23－x 3＋x是奇函数．综上所述，选D.4．设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内的任意一点，则OA→＋OB →＋OC →＋OD →等于( ) A.OM → B ．2OM → C ．3OM→ D ．4OM→答案 D解析 因为M 是平行四边形ABCD 对角线AC 、BD 的交点，所以OA →＋OC →＝2OM →，OB →＋OD →＝2OM →，所以OA →＋OB →＋OC →＋OD →＝4OM →，故选D.5．若双曲线C 1：x 22－y 28＝1与C 2：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线相同，且双曲线C 2的焦距为45，则b ＝( )A ．2B ．4C ．6D ．8答案 B解析 由题意得，b a ＝2⇒b ＝2a ，C 2的焦距2c ＝45⇒c ＝a 2＋b 2＝25⇒b ＝4，故选B.6．运行下面的程序，如果输出的S ＝20142015，那么判断框内是( )A ．k ≤2013?B ．k ≤2014?C ．k ≥2013?D ．k ≥2014?答案 B解析 当判断框内是k ≤n ？时，S ＝11×2＋12×3＋…＋1n ×(n ＋1)＝1－1n ＋1，若S ＝20142015，则n ＝2014.7．[2016·郑州质检]将函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π2的图象向右平移π4个单位后得到函数g (x )的图象，则g (x )具有性质( )A ．最大值为1，图象关于直线x ＝π2对称 B ．在⎝⎛⎭⎪⎫0，π4上单调递减，为奇函数C ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π8，π8上单调递增，为偶函数D ．周期为π，图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫3π8，0对称答案 B解析 由题意得，g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4－π2＝sin(2x －π)＝－sin2x ，对于A ，最大值为1正确，而g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0，图象不关于直线x ＝π2对称，故A 错误；对于B ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4时，2x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，满足单调递减，显然g (x )也是奇函数，故B 正确；C 显然错误；对于D ，周期T ＝2π2＝π，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8＝－22，故图象不关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8，0对称，故选B. 8．[2016·重庆测试]某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.332 B ．2 3 C.532 D ．3 3答案 C解析 依题意，如图所示，题中的几何体是从正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中截去一个三棱锥B －A 1B 1E (其中点E 是B 1C 1的中点)后剩余的部分，其中正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面是一个边长为2的正三角形、高为3，因此该几何体的体积为⎝ ⎛⎭⎪⎫34×22×3－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×34×22×3＝532，选C.9．[2016·福建质检]若椭圆上存在三点，使得这三点与椭圆中心恰好是一个正方形的四个顶点，则该椭圆的离心率为()A.5－12 B.33C.22 D.63答案 D解析设椭圆的方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，根据椭圆与正方形的对称性，可画出满足题意的图象，如图所示，因为|OB|＝a，所以|OA|＝22a，所以点A的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫a2，a2，又点A在椭圆上，所以a24a2＋a24b2＝1，所以a2＝3b2，所以a2＝3(a2－c2)，所以3c2＝2a2，所以椭圆的离心率e＝ca＝63，故选D.10．[2016·河南八市质检]已知a >0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a (x －3)，若z ＝3x ＋2y 的最小值为1，则a ＝( )A.14 B.12 C.34 D ．1答案 B解析 根据约束条件画出可行域，将z ＝3x ＋2y 的最小值转化为在y 轴上的截距，当直线z ＝3x ＋2y 经过点B 时，z 最小，又B 点坐标为(1，－2a )，代入3x ＋2y ＝1，得3－4a ＝1，得a ＝12，故选B.11．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b ＝3a ，C ＝π6，S △ABC ＝3sin 2A ，则S △ABC ＝( )A.34B.32C. 3 D ．2答案 A解析 解法一：由b ＝3a ，C ＝π6，得S △ABC ＝12ab sin C ＝12a ·3a ·12＝34a 2，又S △ABC ＝3sin 2A ，则a 24＝sin 2A ，故a 2＝sin A ，即asin A ＝2，由a sin A ＝c sin C ，得csin C ＝2，所以c ＝2sin C ＝1，由余弦定理a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ，得a 2＋3a 2－1＝2·a ·3a ·32，整理得4a 2－1＝3a 2，a 2＝1，所以a ＝1，故S △ABC ＝34.解法二：由余弦定理a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ，得a 2＋(3a )2－c 2＝2a ·3a ·cos π6，即a 2＝c 2，故a ＝c ，从而有A ＝C ＝π6，所以S △ABC ＝3sin 2A ＝3×sin 2π6＝34，故选A.12．若P 为曲线y ＝ln x 上一动点，Q 为直线y ＝x ＋1上一动点，则|PQ |min 等于( )A ．0 B.22 C. 2 D ．2答案 C解析 如图所示，直线l 与y ＝ln x 相切且与y ＝x ＋1平行时，切点P 到直线y ＝x ＋1的距离|PQ |即为所求最小值．(ln x )′＝1x ，令1x ＝1，得x ＝1.故P (1,0)．故|PQ |min ＝22＝ 2.二、填空题13．[2015·广东高考]已知样本数据x 1，x 2，…，x n 的均值x ＝5，则样本数据2x 1＋1,2x 2＋1，…，2x n ＋1的均值为________．答案 11解析 由条件知x ＝x 1＋x 2＋…＋x n n ＝5， 则所求均值x 0＝2x 1＋1＋2x 2＋1＋…＋2x n ＋1n ＝2(x 1＋x 2＋…＋x n )＋n n＝2x ＋1＝2×5＋1＝11. 14．已知{a n }为等差数列，公差为1，且a 5是a 3与a 11的等比中项，S n 是{a n }的前n 项和，则S 12的值为________．答案 54解析 由题意得，a 25＝a 3a 11，即(a 1＋4)2＝(a 1＋2)(a 1＋10)，a 1＝－1，∴S 12＝12×(－1)＋12×112×1＝54.15．设函数f (x )在[1，＋∞)上为增函数，f (3)＝0，且g (x )＝f (x ＋1)为偶函数，则不等式g (2－2x )<0的解集为________．答案 (0,2)解析 依题意得f (－x ＋1)＝f (x ＋1)，因此f (x )的图象关于直线x ＝1对称．又f (x )在[1，＋∞)上为增函数，因此f (x )在(－∞，1]上为减函数．又g(x)＝f(x＋1)为偶函数，因此g(x)在[0，＋∞)上为增函数，在(－∞，0]上为减函数，且g(2)＝f(2＋1)＝f(3)＝0，g(－2)＝0，不等式g(2－2x)<0，即g(|2－2x|)<g(2)，所以|2－2x|<2，－2<2－2x<2，0<x<2，所以不等式g(2－2x)<0的解集是(0,2)．16．[2016·陕西质检]已知曲线y＝x＋ln x在点(1,1)处的切线为l，若l与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a＝________.答案8解析本题考查导数的几何意义、数形结合思想的应用．函数f(x)＝x＋ln x的导函数为f′(x)＝1＋1x，则f′(1)＝1＋11＝2，所以切线l的方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1，因为直线l与曲线y＝ax2＋(a ＋2)x＋1相切，所以方程ax2＋(a＋2)x＋1＝2x－1，即ax2＋ax＋2＝0有两个相等的实数根，显然a≠0，则Δ＝a2－4×2a＝0，解得a＝8.(四)一、选择题1．已知(z－1＋3i)(2－i)＝4＋3i(其中i是虚数单位，z是z的共轭复数)，则z的虚部为()A．1 B．－1C．i D．－i答案 A解析因为z＝4＋3i2－i＋1－3i＝(4＋3i)(2＋i)(2－i)(2＋i)＋1－3i＝1＋2i＋1－3i＝2－i，所以z＝2＋i，z的虚部为1，故选A.2．若集合A＝{x|(x＋1)(3－x)>0}，集合B＝{x|1－x>0}，则A∩B 等于()A．(1,3) B．(－∞，－1)C．(－1,3) D．(－1,1)答案 D解析∵A＝(－1,3)，B＝(－∞，1)，∴A∩B＝(－1,1)．3. 一次数学考试后，某老师从自己所带的两个班级中各抽取5人，记录他们的考试成绩，得到如图所示的茎叶图．已知甲班5名同学成绩的平均数为81，乙班5名同学成绩的中位数为73，则x－y的值为()A．2 B．－2C．3 D．－3答案 D解析由题意得，72＋77＋80＋x＋86＋905＝81⇒x＝0，易知y＝3，∴x－y＝－3，故选D.4．已知l，m，n为不同的直线，α，β，γ为不同的平面，则下列判断正确的是()A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m⊥α，n∥β，α⊥β，则m⊥nC．若α∩β＝l，m∥α，m∥β，则m∥lD．若α∩β＝m，α∩γ＝n，l⊥m，l⊥n，则l⊥α答案 C解析A项，m，n可能的位置关系为平行，相交，异面，故A 错误；B项，根据面面垂直与线面平行的性质可知B错误；C项，根据线面平行的性质可知C正确；D项，若m∥n，根据线面垂直的判定可知D错误，故选C.5．△ABC的角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若cos A＝78，c－a＝2，b＝3，，则a＝()A ．2 B.52 C ．3 D.72答案 A解析 由余弦定理可知，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ⇒a 2＝9＋(a ＋2)2－2×3×(a ＋2)×78⇒a ＝2，故选A.6．[2016·东北三省联考]如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 是线段CD 的中点，则三棱锥P －A 1B 1A 的侧视图为( )答案 D解析 如图，画出原正方体的侧视图，显然对于三棱锥P －A 1B 1A ，B (C )点均消失了，其余各点均在，从而其侧视图为D.7．[2016·合肥质检]执行下面的程序框图，则输出的n 的值为( )A ．10B ．11C ．1024D ．2048答案 C解析 该程序框图共运行10次，S ＝1＋2＋22＋…＋210＝2047，输出的n ＝210＝1024，选项C 正确．8．[2016·河南六市一联]实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧xy ≥0，|x ＋y |≤1，使z ＝ax ＋y取得最大值的最优解有2个，则z 1＝ax ＋y ＋1的最小值为( )A ．0B ．－2C ．1D ．－1答案 A解析 画出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，∵z ＝ax ＋y 取得最大值的最优解有2个，∴－a ＝1，a ＝－1，∴当x ＝1，y ＝0或x ＝0，y ＝－1时，z ＝ax ＋y ＝－x ＋y 有最小值－1，∴ax ＋y＋1的最小值是0，故选A.9．已知a ，b 都是实数，命题p ：a ＋b ＝2；命题q ：直线x ＋y ＝0与圆(x －a )2＋(y －b )2＝2相切，则p 是q 的( )A ．充分但不必要条件B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 由直线x ＋y ＝0与圆(x －a )2＋(y －b )2＝2相切，得|a ＋b |2＝2，即a ＋b ＝±2，∴p 是q 的充分但不必要条件．10．[2016·山西质检]若函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|<π2的图象关于直线x ＝π12对称，且当x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，x 1≠x 2时，f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝( )A.12 B.22 C.32D ．1答案 C解析 由题意得，2×π12＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ， ∴φ＝π3＋k π，k ∈Z ，∵|φ|<π2，∴k ＝0，φ＝π3，又x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，∴2x 1＋π3，2x 2＋π3∈(0，π)， ∴2x 1＋π3＋2x 2＋π32＝π2，解得x 1＋x 2＝π6，∴f (x 1＋x 2)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋π3＝32，故选C. 11．[2016·云南统检]已知双曲线M 的焦点F 1、F 2在x 轴上，直线7x ＋3y ＝0是双曲线M 的一条渐近线，点P 在双曲线M 上，且PF 1→·PF 2→＝0，如果抛物线y 2＝16x 的准线经过双曲线M 的一个焦点，那么|PF 1→|·|PF 2→|＝( )A ．21B ．14C ．7D ．0答案 B解析 设双曲线方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >0，b >0)， ∵直线7x ＋3y ＝0是双曲线M 的一条渐近线， ∴b a ＝73①，又抛物线的准线为x ＝－4，∴c ＝4②， 又a 2＋b 2＝c 2③， ∴由①②③得a ＝3.设点P 为双曲线右支上一点， ∴由双曲线定义得||PF 1→|－|PF 2→||＝6④， 又PF 1→·PF 2→＝0，∴PF 1→⊥PF 2→，∴在Rt △PF 1F 2中|PF 1→|2＋|PF 2→|2＝82⑤，联立④⑤，解得|PF 1→|·|PF 2→|＝14.12．已知函数f (x )＝2x ＋x ，g (x )＝log 2x ＋x ，h (x )＝log 2x －2的零点依次为a ，b ，c ，则( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <a <c答案 A解析 在同一平面直角坐标系中分别画出函数y ＝2x ，y ＝－x ，y ＝log 2x 的图象，结合函数y ＝2x 与y ＝－x 的图象可知其交点横坐标小于0，即a <0；结合函数y ＝log 2x 与y ＝－x 的图象可知其交点横坐标大于0且小于1，即0<b <1；令log 2x －2＝0，得x ＝4，即c ＝4.因此有a <b <c ，选A.二、填空题13．已知向量a ，b 的夹角为3π4，|a |＝2，|b |＝2，则a ·(a －2b )＝________.答案 6解析 a ·(a －2b )＝a 2－2a ·b ＝2－2×2×2×⎝⎛⎭⎪⎫－22＝6.14．[2016·山西四校二联]抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 2－y 2＝1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝________.答案 2 3解析 由题意可知，抛物线的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，准线方程为y ＝－p2，联立⎩⎨⎧y ＝－p 2，x 2－y 2＝1，解得x ＝±1＋p 24.∵△ABF 为等边三角形，∴p 2＋x 2＝2|x |，即p 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋p 24＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋p 24，解得p ＝23或－23(舍去)． 15．[2016·海口调研]半径为2的球O 中有一内接正四棱柱(底面是正方形，侧棱垂直底面)．当该正四棱柱的侧面积最大时，球的表面积与该正四棱柱的侧面积之差是________．答案 16(π－2)解析 依题意，设球的内接正四棱柱的底面边长为a 、高为h ，则有16＝2a 2＋h 2≥22ah ，即4ah ≤162，该正四棱柱的侧面积S ＝4ah ≤162，当且仅当h ＝2a ＝22时取等号．因此，当该正四棱柱的侧面积最大时，球的表面积与该正四棱柱的侧面积之差是4π×22－162＝16(π－2)．16．已知数列{a n }的首项a 1＝1，前n 项和为S n ，且S n ＝2S n －1＋1(n ≥2，且n ∈N *)，数列{b n }是等差数列，且b 1＝a 1，b 4＝a 1＋a 2＋a 3.设c n ＝1b n b n ＋1，数列{c n }的前n 项和为T n ，则T 10＝________.答案 1021解析 解法一：数列{a n }的首项a 1＝1，前n 项和为S n ，且S n ＝2S n －1＋1(n ≥2，且n ∈N *)，∴当n ＝2时，a 1＋a 2＝2a 1＋1，∴a 2＝2，当n ≥3时，a n ＝S n －S n －1＝2S n －1－2S n －2＝2a n －1，又a 2＝2a 1，∴a n ＝2a n －1(n ≥2，且n ∈N *)，数列{a n }为首项为1，公比为2的等比数列，∴a n ＝2n －1，a 3＝22＝4.设数列{b n }的公差为d ，又b 1＝a 1＝1，b 4＝1＋3d ＝7，∴d ＝2，b n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1，c n ＝1b n b n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，∴T 10＝12⎝ ⎛1－13＋13－15＋…＋12×10－1－⎭⎪⎫12×10＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－121＝1021.解法二：∵数列{a n }的首项a 1＝1，前n 项和为S n ，且S n ＝2S n －1＋1(n ≥2，且n ∈N *)，∴当n ＝2时，a 1＋a 2＝2a 1＋1，∴a 2＝2，当n ＝3时，a 1＋a 2＋a 3＝2a 1＋2a 2＋1，∴a 3＝4.设数列{b n }的公差为d ，又b 1＝a 1＝1，b 4＝1＋3d ＝7，∴d ＝2，b n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1，c n ＝1b n b n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1， ∴T 10＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋…＋12×10－1－12×10＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－121＝1021.。
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一、选择题 1．[2015·陕西高考]设f(x)＝x－sinx，则f(x)( ) A．既是奇函数又是减函数 B．既是奇函数又是增函数 C．是有零点的减函数 D．是没有零点的奇函数 答案 B 解析 ∵f(－x)＝－x－sin(－x)＝－(x－sinx)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．又f′(x)＝1－cosx≥0，∴f(x)单调递增，选B. 2．[2016·河南洛阳质检]对于R上可导的任意函数f(x)，若满足1－xf′x≤0，则必有( )
A．f(0)＋f(2)>2f(1) B．f(0)＋f(2)≤2f(1) C．f(0)＋f(2)<2f(1) D．f(0)＋f(2)≥2f(1) 答案 A 解析 当x<1时，f′(x)<0，此时函数f(x)递减；当x>1时，f′(x)>0，此时函数f(x)递增，即当x＝1时，函数f(x)取得极小值同时也取得最小值f(1)，所以f(0)>f(1)，f(2)>f(1)，则f(0)＋f(2)>2f(1)，故选A. 3．[2016·河北石家庄模拟]若不等式2xln x≥－x2＋ax－3对x∈(0，＋∞)恒成立，则实数a的取值范围是( ) A．(－∞，0) B．(－∞，4] C．(0，＋∞) D．[4，＋∞) 答案 B
解析 2xln x≥－x2＋ax－3，则a≤2ln x＋x＋3x.设h(x)＝2ln x
＋x＋3x(x>0)，则h′(x)＝x＋3x－1x2.当x∈(0,1)时，h′(x)<0，函数h(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，函数h(x)单调递增，所以h(x)min＝h(1)＝4，所以a≤h(x)min＝4，故a的取值范围是(－∞，4]． 4．[2016·河北衡水中学调研]已知函数f(x)＝x33＋mx2＋m＋nx＋12
的两个极值点分别为x1，x2，且x1∈(0,1)，x2∈(1，＋∞)，点P(m，n)表示的平面区域为D，若函数y＝loga(x＋4)(a>1)的图象上存在区域D内的点，则实数a的取值范围是( ) A．(1,3) B．(1,3] C．(3，＋∞) D．[3，＋∞) 答案 A
解析 f′(x)＝x2＋mx＋m＋n2＝0的两根为x1，x2，且x1∈(0,1)，x2∈(1，＋∞)，
则 f′0>0，f′1<0⇔ m＋n2>0，1＋m＋m＋n2<0，
即 m＋n>0，3m＋n＋2<0， 作出区域D，如图阴影部分，
可得loga(－1＋4)>1，所以15．[2016·江西八校联考]已知函数f(x)＝x(ln x－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是( ) A．(－∞，0) B.0，12 C．(0,1) D．(0，＋∞) 答案 B 解析 ∵f(x)＝x(ln x－ax)，∴f′(x)＝ln x－2ax＋1，故f′(x)在
(0，＋∞)上有两个不同的零点，令f′(x)＝0，则2a＝ln x＋1x，设g(x)
＝ln x＋1x， 则g′(x)＝－ln xx2，∴g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，又∵当x→0时，g(x)→－∞，当x→＋∞时，g(x)→0，而g(x)max
＝g(1)＝1，
∴只需0<2a<1⇒06．[2015·河北秦皇岛二模]已知函数y＝f(x)是R上的可导函数，当x≠0时，有f′(x)＋fxx>0，则函数F(x)＝xf(x)＋1x的零点个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3 答案 B
解析 ∵x≠0时，f′(x)＋fxx>0，
∴xf′x＋fxx>0，即xfx′x>0. ① 当x>0时，由①式知(xf(x))′>0， ∴U(x)＝xf(x)在(0，＋∞)上为增函数， 且U(0)＝0·f(0)＝0， ∴U(x)＝xf(x)>0在(0，＋∞)上恒成立． 又1x>0，∴F(x)>0在(0，＋∞)上恒成立， ∴F(x)在(0，＋∞)上无零点． 当x<0时，(xf(x))′<0， ∴U(x)＝xf(x)在(－∞，0)上为减函数， 且U(0)＝0·f(0)＝0， ∴U(x)＝xf(x)>0在(－∞，0)上恒成立，
∴F(x)＝xf(x)＋1x在(－∞，0)上为减函数．
当x→0时，xf(x)→0，∴F(x)≈1x<0， 当x→－∞时，1x→0，∴F(x)≈xf(x)>0， ∴F(x)在(－∞，0)上有唯一零点． 综上所述，F(x)在(－∞，0)∪(0，＋∞)上有唯一零点，故选B. 二、填空题
7．[2015·山西四校联考]函数f(x)＝ 1－x2，x≤1，ln x，x>1，若方程f(x)＝mx－12恰有四个不相等的实数根，则实数m的取值范围是________． 答案 12，ee
解析 在平面直角坐标系中作出函数y＝f(x)的图象，如图，而函数y＝mx－12恒过定点0，－12，设过点0，－12与函数y＝ln x的图象相切的直线为l1，切点坐标为(x0，ln x0)．因为y＝ln x的导函数y′＝1x，所以图中y＝ln x的切线l1的斜率为k＝1x0，则1x0
＝ln x0＋12x0－0，解得
x0＝e，所以k＝1e.又图中l2的斜率为12，故当方程f(x)＝mx－12恰有四个不相等的实数根时，实数m的取值范围是12，ee. 8．[2015·河南郑州质检三]设函数f(x)是定义在(－∞，0)上的可导函数，其导函数为f′(x)，且有2f(x)＋xf′(x)>x2，则不等式(x＋2014)2f(x＋2014)－4f(－2)>0的解集为________． 答案 (－∞，－2016) 解析 由2f(x)＋xf′(x)>x2，x<0得2xf(x)＋x2f′(x)[x2f(x)]′∞，0)上是减函数，因为F(x＋2014)＝(x＋2014)2f(x＋2014)，F(－2)＝4f(－2)，所以不等式(x＋2014)2f(x＋2014)－4f(－2)>0即为F(x＋2014)－F(－2)>0，即F(x＋2014)>F(－2)，又因为F(x)在(－∞，0)上是减函数，所以x＋2014<－2，∴x<－2016.
9．已知偶函数y＝f(x)对于任意的x∈0，π2满足f′(x)cosx＋f(x)sinx>0(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，则下列不等式中成立的有________．
(1)2f－π3
(2)2f－π3>f－π4 (3)f(0)<2f－π4 (4)fπ6<3fπ3 答案 (2)(3)(4) 解析 因为偶函数y＝f(x)对于任意的x∈0，π2满足f′(x)cosx＋f(x)sinx>0，且f′(x)cosx＋f(x)sinx＝f′(x)cosx－f(x)(cosx)′，所以可构造函数g(x)＝fxcosx，则g′(x)＝f′xcosx－fxcosx′cos2x>0，所以g(x)
为偶函数且在0，π2上单调递增，所以有g－π3＝gπ3＝fπ3cosπ3＝2fπ3，
g－π4＝gπ4＝fπ4cosπ4＝2fπ4，gπ6＝fπ6cosπ6＝233fπ6.由函数单调性可知gπ6于(3)，g－π4＝gπ4＝2f－π4>g(0)＝f(0)，所以(3)正确． 三、解答题 10．[2016·珠海模拟]某造船公司年最大造船量是20艘，已知造船x艘的产值函数为R(x)＝3700x＋45x2－10x3(单位：万元)，成本函数为C(x)＝460x＋5000(单位：万元)，又在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf(x)＝f(x＋1)－f(x)． (1)求利润函数P(x)及边际利润函数MP(x)；(提示：利润＝产值－成本) (2)问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？ (3)求边际利润函数MP(x)的单调递减区间，并说明单调递减在本题中的实际意义是什么？ 解 (1)P(x)＝R(x)－C(x)＝－10x3＋45x2＋3240x－5000(x∈N*，且1≤x≤20)； MP(x)＝P(x＋1)－P(x)＝－30x2＋60x＋3275(x∈N*，且1≤x≤19)． (2)P′(x)＝－30x2＋90x＋3240＝－30(x－12)(x＋9)， 因为x>0，所以P′(x)＝0时，x＝12， 当00， 当x>12时，P′(x)<0， 所以x＝12时，P(x)有极大值，也是最大值． 即年造船量安排12艘时，可使公司造船的年利润最大． (3)MP(x)＝－30x2＋60x＋3275＝－30(x－1)2＋3305. 所以，当x≥1时，MP(x)单调递减， 所以单调减区间为[1,19]，且x∈N*. MP(x)是减函数的实际意义是：随着产量的增加，每艘利润与前一艘比较，利润在减少． 11．已知函数f(x)＝x＋aln x－1. (1)当a∈R时，求函数f(x)的单调区间；
(2)若f(x)＋ln x2x≥0对于任意x∈[1，＋∞)恒成立，求a的取值范围． 解 (1)由f(x)＝x＋aln x－1，得f′(x)＝1＋ax＝x＋ax， 当a≥0时，f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上为增函数， 当a<0时，当0－a时，f′(x)>0， 所以f(x)在(0，－a)上为减函数，f(x)在(－a，＋∞)上为增函数．
(2)由题意知x＋aln x－1＋ln x2x≥0在x∈[1，＋∞)恒成立，
设g(x)＝x＋aln x＋ln x2x－1，x∈[1，＋∞)， 则g′(x)＝1＋ax＋1－ln x2x2＝2x2＋2ax＋1－ln x2x2，x∈[1，＋∞)， 设h(x)＝2x2＋2ax＋1－ln x，则h′(x)＝4x－1x＋2a， 当a≥0时，4x－1x为增函数，所以h′(x)≥32＋a>0， 所以g(x)在[1，＋∞)上单调递增，g(x)≥g(1)＝0， 当－32≤a<0时，h′(x)≥32＋a≥0， 所以g(x)在[1，＋∞)上单调递增，g(x)≥g(1)＝0，