小学四年级奥数教程—数阵图(2)
四年级奥数第三讲数阵图含答案
四年级奥数第三讲数阵图含答案第三讲数阵图⼀、知识点：⼀些数按照⼀定的规则，填在某⼀特定图形的规定位置上，这种图形，我们称它为“数阵图”，数阵图的种类繁多，绚丽多彩，这⾥只向⼤家介绍三种数阵图，即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图。
在解答这类问题时，要善于确定所求的和与关键数字间的关系式，⽤试验的⽅法，找到相等的和与关键数字：要会对基本解中的数进⾏适当调整，得到其他的解，从⽽培养⾃⼰的观察能⼒，思维的灵活性和严密性。
⼆、典例剖析：例（1）将1~6分别填在图中,使每条边上的三个○内的数的和都等于9.分析：因为 1＋2＋3＋4＋5＋6 = 21 ，⽽每条边上的三个数的和为9，则三条边上的和为 9×3 = 27 ， 27－21 = 6 ，这个 6 就是由于三个顶点都被重复算了⼀次。
所以三个顶点的和为 6 ，在 1-----6中，只能选1、2、3 填⼊三个顶点中，再将4、5、6填⼊另外的三个圈即可。
解：a b . c .d .e .f .练⼀练：把1~8个数分别填⼊○中,使每条边上三个数的和相等.答案:例（2 ）把1~7填⼊下图中,使每条线段上三个○内的数的和相等.分析：中⼼圆填⼊的数设为x ，x 参与3条线的连加，设每条线数字和都为S.由题意：1+2+3+…+7+2x=3S 即28+2x=3S 或28+2x ≡0（mod 3）借⽤同余⼯具，是在两个未知数的不定⽅程中先缩⼩x 应该取值的范围.在mod3情况下，只要试探x ≡0，1，2三个值，很轻松地解出：x ≡1（mod3），回复到x 取值范围为1，2，…，7.有x 1=1，x 2=4，x 3=7，得到：x 1=1，S 1=10；x 2=4，S 2=12；x 3=7，S3=14；由此看出关键在求S （公共和）及x （参与相加次数最多的圆中值）.解： a . b练⼀练：把1~11填⼊图中,使每条线上三个数的和相等.答案:例（3）把20以内的质数分别填⼊下图的⼀个○中，使得图中⽤箭头连接起来的四个数之和都相等。
四年级奥数：数阵图
四年级奥数：数阵图（一）我们在三年级已经学习过辐射型和封闭型数阵,其解题的关键在于“重叠数”.本讲和下一讲,我们学习三阶方阵,就是将九个数按照某种要求排列成三行三列的数阵图,解题的关键仍然是“重叠数”.我们先从一道典型的例题开始.例1把1～9这九个数字填写在右图正方形的九个方格中,使得每一横行、每一竖列和每条对角线上的三个数之和都相等.分析与解：我们首先要弄清每行、每列以及每条对角线上三个数字之和是几.我们可以这样去想：因为1～9这九个数字之和是45,正好是三个横行数字之和,所以每一横行的数字之和等于45÷3=15.也就是说,每一横行、每一竖列以及每条对角线上三个数字之和都等于15.在1～9这九个数字中,三个不同的数相加等于15的有：9＋5＋1,9＋4＋2,8＋6＋1,8＋5＋2,8＋4＋3,7＋6＋2,7＋5＋3,6＋5＋4.因此每行、每列以及每条对角线上的三个数字可以是其中任一个算式中的三个数字.因为中心方格中的数既在一个横行中,又在一个竖列中,还在两对角线上,所以它应同时出现在上述的四个算式中,只有5符合条件,因此应将5填在中心方格中.同理,四个角上的数既在一个横行中,又在一个竖列中,还在一条对角线上,所以它应同时出现在上述的三个算式中,符合条件的有2,4,6,8,因此应将2,4,6,8填在四个角的方格中,同时应保证对角线两数的和相等.经试验,有下面八种不同填法：上面的八个图,都可以通过一个图的旋转和翻转得到.例如,第一行的后三个图,依次由第一个图顺时针旋转90°,180°,270°得到.又如,第二行的各图,都是由它上面的图沿竖轴翻转得到.所以,这八个图本质上是相同的,可以看作是一种填法.例1中的数阵图,我国古代称为“纵横图”、“九宫算”.一般地,将九个不同的数填在3×3（三行三列）的方格中,如果满足每个横行、每个竖列和每条对角线上的三个数之和都相等,那么这样的图称为三阶幻方.在例1中如果只要求任一横行及任一竖列的三数之和相等,而不要求两条对角线上的三数之和也相等,则解不唯一,这是因为在例1的解中,任意交换两行或两列的位置,不影响每行或每列的三数之和,故仍然是解.例2用11,13,15,17,19,21,23,25,27编制成一个三阶幻方.分析与解：给出的九个数形成一个等差数列,对照例1,1～9也是一个等差数列.不难发现：中间方格里的数字应填等差数列的第五个数,即应填19；填在四个角上方格中的数是位于偶数项的数,即13,17,21,25,而且对角两数的和相等,即13＋25=17＋21；余下各数就不难填写了（见右图）.与幻方相反的问题是反幻方.将九个数填入3×3（三行三列）的九个方格中,使得任一行、任一列以及两条对角线上的三个数之和互不相同,这样填好后的图称为三阶反幻方.例3将前9个自然数填入右图的9个方格中,使得任一行、任一列以及两条对角线上的三个数之和互不相同,并且相邻的两个自然数在图中的位置也相邻.分析与解：题目要求相邻的两个自然数在图中的位置也相邻,所以这9个自然数按照大小顺序在图中应能连成一条不相交的折线.经试验有下图所示的三种情况：按照从1到9和从9到1逐一对这三种情况进行验算,只有第二种情况得到下图的两个解.因为第二种情况是螺旋形,故本题的解称为螺旋反幻方.例4将九个数填入左下图的九个空格中,使得任一行、任一列以及两条证明：因为每行的三数之和都等于k,共有三行,所以九个数之和等于3k.如右上图所示,经过中心方格的有四条虚线,每条虚线上的三个数之和都等于k,四条虚线上的所有数之和等于4k,其中只有中心方格中的数是“重叠数”,九个数各被计算一次后,它又被重复计算了三次.所以有九数之和+中心方格中的数×3=4k,3k+中心方格中的数×3=4k,注意：例4中对九个数及定数k都没有特殊要求.这个结论对求解3×3方格中的数阵问题很实用.在3×3的方格中,如果要求填入九个互不相同的质数,要求任一行、任一列以及两条对角线上的三个数之和都相等,那么这样填好的图称为三阶质数幻方.例5求任一列、任一行以及两条对角线上的三个数之和都等于267的三阶质数幻方.分析与解：由例4知中间方格中的数为267÷3＝89.由于在两条对角线、中间一行及中间一列这四组数中,每组的三个数中都有89,所以每组的其余两数之和必为267-89＝178.两个质数之和为178的共有六组：5+173＝11＋167＝29＋149＝41＋137＝47+131＝71+107.经试验,可得右图所示的三阶质数幻方.练习161.将九个连续自然数填入3×3的方格内,使得每一横行、每一竖列及两条对角线上的三个数之和都等于66.2.将1,3,5,7,9,11,13,15,17填入3×3的方格内,使其构成一个幻方.3.用2,4,6,12,14,16,22,24,26九个偶数编制一个幻方.4.在下列各图空着的方格内填上合适的数,使每行、每列及每条对角线上的三数之和都等于27.5.将右图中的数重新排列,使得每行、每列及两条对角线上的三个数之和都相等.6.将九个质数填入3×3的方格内,使得每一横行、每一竖列及两条对角线上的三个数之和都等于21.7.求九个数之和为657的三阶质数幻方.第17讲数阵图（二）例1在右图的九个方格中填入不大于12且互不相同的九个自然数（其中已填好一个数）,使得任一行、任一列及两条对角线上的三个数之和都等于21.解：由上一讲例4知中间方格中的数为7.再设右下角的数为x,然后根据任一行、任一列及每条对角线上的三个数之和都等于21,如下图所示填上各数（含x）.因为九个数都不大于12,由16－x≤12知4≤x,由x+2≤12知x≤10,即4≤x≤10.考虑到5,7,9已填好,所以x只能取4,6,8或10.经验证,当x＝6或8时,九个数中均有两个数相同,不合题意；当x＝4或10时可得两个解（见下图）.这两个解实际上一样,只是方向不同而已.例2将九个数填入右图的空格中,使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等,则一定有证明：设中心数为d.由上讲例4知每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于3d.由此计算出第一行中间的数为2d——b,右下角的数为2d-c（见下图）.根据第一行和第三列都可以求出上图中★处的数由此得到3d-c-（2d-b）＝3d-a-（2d-c）,3d-c-2d＋b＝3d-a-2d＋c,d——c＋b＝d——a＋c,2c＝a＋b,a＋bc＝2.值得注意的是,这个结论对于a和b并没有什么限制,可以是自然数,也可以是分数、小数；可以相同,也可以不同.例3在下页右上图的空格中填入七个自然数,使得每一行、每一列及每一条对角线上的三个数之和都等于90.解：由上一讲例4知,中心数为90÷3＝30；由本讲例2知,右上角的数为（23＋57）÷2＝40（见左下图）.其它数依次可填（见右下图）.例4在右图的每个空格中填入个自然数,使得每一行、每一列及每条对角线上的三个数之和都相等.解：由例2知,右下角的数为（8＋10）÷2=9；由上一讲例4知,中心数为（5＋9）÷2=7（见左下图）,且每行、每列、每条对角线上的三数之和都等于7×3=21.由此可得右下图的填法. 例5在下页上图的每个空格中填一个自然数,使得每行、每列及每条对角线上的三个数之和都相等.解：由例2知,右下角的数为（6＋12）÷2=9（左下图）.因为左下图中两条虚线上的三个数之和相等,所以,“中心数”＝（10＋6）-9＝7.其它依次可填（见右下图）.由例3～5看出,在解答3×3方阵的问题时,上讲的例4与本讲的例2很有用处.练习171.在左下图的每个空格中填入一个数字,使得每行、每列及每条对角线上的三个数之和都相等.2.在右上图的每个空格中填入一个数字,使得每行、每列及每条对角线上的三个数之和都等于24.3.下列各图中的九个小方格内各有一个数字,而且每行、每列及每条对角线上的三个数之和都相等,求x.4.在左下图的空格中填入七个自然数,使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于48.5.在右上图的每个空格中填入一个自然数,使得每行、每列及每条对角线上的三个数之和都相等.6.在右图的每个空格中填入不大于12且互不相同的九个自然数,使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于21.第18讲数阵图（三）数阵问题是多种多样的,解题方法也是多种多样的,这就需要我们根据题目条件灵活解题.例1把20以内的质数分别填入下图的一个○中,使得图中用箭头连接起来的四个数之和都相等.分析与解：由上图看出,三组数都包括左、右两端的数,所以每组数的中间两数之和必然相等.20以内共有2,3,5,7,11,13,17,19八个质数,两两之和相等的有5＋19＝7＋17＝11＋13,于是得到下图的填法.例2在右图的每个方格中填入一个数字,使得每行、每列以及每条对角线上的方格中的四个数字都是1,2,3,4.分析与解：如左下图所示,受列及对角线的限制,a处只能填1,从而b处填3；进而推知c处填4,d处填3,e处填4,……右下图为填好后的数阵图.例3将1～8填入左下图的○内,要求按照自然数顺序相邻的两个数不能填入有直线连接的相邻的两个○内.分析与解：因为中间的两个○各自只与一个○不相邻,而2～7中的任何一个数都与两个数相邻,所以这两个○内只能填1和8.2只能填在与1不相邻的○内,7只能填在与8不相邻的○内.其余数的填法见右上图.例4在右图的六个○内各填入一个质数（可取相同的质数）,使它们的和等于20,而且每个三角形（共5个）顶点上的数字之和都相等.分析与解：因为大三角形的三个顶点与中间倒三角形的三个顶点正好是图中的六个○,又因为每个三角形顶点上的数字之和相等,所以每个三角形顶点上的数字之和为20÷2＝10.10分为三个质数之和只能是2＋3＋5,由此得到右图的填法.例5在右图所示立方体的八个顶点上标出1～9中的八个,使得每个面上四个顶点所标数字之和都等于k,并且k不能被未标出的数整除.分析与解：设未被标出的数为a,则被标出的八个数之和为1＋2＋…＋9-a＝45-a.由于每个顶点都属于三个面,所以六个面的所有顶点数字之和为6k＝3×（45-a）,2k＝45-a.2k是偶数,45－a也应是偶数,所以a必为奇数.若a＝1,则k＝22；若a＝3,则k＝21；若a＝5,则k＝20；若a＝7,则k＝19；若a＝9,则k＝18.因为k不能被a整除,所以只有a＝7,k＝19符合条件.由于每个面上四个顶点上的数字之和等于19,所以与9在一个面上的另外三个顶点数之和应等于10.在1,2,3,4,5,6,8中,三个数之和等于10的有三组：10＝1＋3＋6＝1＋4＋5＝2＋3＋5,将这三组数填入9所在的三个面上,可得右图的填法.练习181.将1～6这六个数分别填入左下图中的六个○内,使得三条直线上的数字的和都相等.2.将1～8这八个数分别填入右上图中的八个方格内,使上面四格、下面四格、左边四格、右边四格、中间四格及四角四格内四个数相加的和都是18.3.在下页左上图的每个方格中填入一个数字,使得每行、每列以及每条对角线上的方格中的四个数都是1,2,3,4.4.将1～8填入右上图的八个空格中,使得横、竖、对角任何两个相邻空格中的数都不是相邻的两个自然数.5.20以内共有10个奇数,去掉9和15还剩八个奇数.将这八个奇数填入右图的八个○中（其中3已填好）,使得用箭头连接起来的四个数之和都相等.6.在左下图的七个○内各填入一个质数,使每个小三角形（共6个）的三个顶点数之和都相等,且为尽量小的质数.7.从1～13中选出12个自然数填入右上图的空格中,使每横行四数之和相等,每竖列三数之和也相等.答案练习16练习173.（1）11；（2）9.提示：（1）右下角的数为（3+7）÷2=5,所以x=8×2-5=11.（2）右下角的数为（5+9）÷2=7,中心数为（6+9）-7=8,所以x=8×2-7=9提示：左下角的数为（13+27）÷2=20,中心数为48÷3=16.提示：右下角的数为（20+16）÷2=18,中心数为（8+18）÷2=13.提示：与例1类似.练习181.有下面四个基本解.。
奥数教程(第八版)四年级 第7讲 有趣的数阵图
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28+2×7=42，42÷3=14。
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第7讲 有趣的数阵图
例5 将1~9这九个数，分别填入图中的各个○内，使每条 线段上三个○内的数的和相等。
第7讲 有趣的数阵图
例6 把1~11这十一个数分别填入图中的各个○内，使每 条线段上三个○内的数的和都等于22。
谢谢!
小学 （第八版）
经典例题精讲 四年级
第7讲 有趣的数阵图
主讲老师： Mathematical Olympiad Tutorial
第7讲 有趣的数阵图
例1 如图，把1、2、3、4、5、6这六个数填在图中的 6个○内，使每条边上的三个数之和都等于9。
第7讲 有趣的数阵图
例2 将1、2、3、4、5、6填在图中○里，使每条边上的 三个数之和相等，有几个基本解？共有多少种填法？
第7讲 有趣的数阵图
例3 如图，三个圆圈两两相交，组成了七个部分，在七个 部分中分别填入3~9这七个数(部分数字已填好)，使得 每个圆圈中的所有数之和都为23，则“△”处填入的 数是________。
第7讲 有趣的数阵图
例4 把1~7这七个数分别填入图中的各个○内，使每条 线段上三个○内的数的和相等。
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28+2×1=30，30÷3=10。
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第7讲 有趣的数阵图
例4 把1~7这七个数分别填入图中的各个○内，使每条 线段上三个○内的数的和相等。
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28+2×4=36，36÷3=12。
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第7讲 有趣的数阵图
数阵图(二)(含详细解析)
1. 了解数阵图的种类2. 学会一些解决数阵图的解题方法3. 能够解决和数论相关的数阵图问题.一、数阵图定义及分类：1. 定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.2. 数阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图.3.二、解题方法：解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手： 第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)；第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围；第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用．复合型数阵图【例 1】 由数字1、2、3组成的不同的两位数共有9个，老师将这9个数写在一个九宫格上，让同学选数，每个同学可以从中选5个数来求和．小刚选的5个数的和是120，小明选的5个数的和是111．如果两人选的数中只有一个是相同的，那么这个数是_____________．313233212223131211【考点】复合型数阵图 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】迎春杯，中年级，决赛，3题【分析】 这9个数的和：111213212223313233++++++++10203031233198=++⨯+++⨯=（）（）例题精讲知识点拨教学目标5-1-3-2.数阵图由小刚和小明选的数中只有一个是相同的，可知他们正好把这9个数全部都取到了，且有一个数取了两遍．所以他们取的数的总和比这9个数的和多出来的部分就是所求的数．那么，这个数是12011119833+-=．【答案】33【例 2】 如图1，圆圈内分别填有1，2，……，7这7个数。
如果6个三角形的顶点处圆圈内的数字的和是64，那么，中间圆圈内填入的数是 。
【考点】复合型数阵图 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】希望杯，五年级，复赛，第5题，5分【解析】 2 【答案】2【例 3】 如下图（1）所示，在每个小圆圈内填上一个数，使得每一条直线上的三个数的和都等于大圆圈上三个数的和.（1）17894【考点】复合型数阵图 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 为叙述方便，先在每个圆圈内标上字母，如图（2），（2）a cb49817则有a+4+9=a+b+c （1）b+8+9=a+b+c （2）c+17+9=a+b+c （3）（1）+（2）+（3）：（a+b+c ）+56=3（a+b+c ），a+b+c=28，则 a=28－（4+9）=15，b=28－（8+9）=11，c=28-（17+9）=2解：见图.1789411215【答案】17 89411215【例 4】请你将数字1、2、3、4、5、6、7填在下面图（1）所示的圆圈内，使得每个圆圈上的三个数之和与每条直线上的三个数之和相等.应怎样填？【考点】复合型数阵图【难度】3星【题型】填空【解析】为了叙述方便，将各圆圈内先填上字母，如图（2）所示.设A+B+C=A+F+G=A+D+E=B+D+F=C+E+G=k （A+B+C）+（A+F+G）+（A+D+E）+（B+D+F）+（C+E+G）=5k，3A+2B+2C+2D+2E+2F+2G=5k，2（A+B+C+D+E+F+G）+A=5k，2（1+2+3+4+5+6+7）+A=5k，56+A=5k.，因为56+A为5的倍数，得A=4，进而推出k=12，因为在1、2、3、5、6、7中，1+5+6=7+3+2=12，不妨设B=1，F=5，D=6，则C=12-（4+1）=7，G=12-（4+5）=3，E=12-（4+6）=2.，解：得到一个基本解为：（见图）7654321【答案】7654321【例 5】在左下图的每个圆圈中填上一个数，各数互不相等，每个圆圈有3个相邻(即有线段相连的圆圈)的圆圈。
(完整word版)四年级奥数第三讲数阵图含,文档
第三讲数阵图一、知识点：一些数依照必然的规那么，填在某一特定图形的规定地址上，这类图形，我们称它为“数阵图〞，数阵图的种类众多，灿烂多彩，这里只向大家介绍三种数阵图，即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图。
在解答这类问题时，要善于确定所求的和与要点数字间的关系式，用试验的方法，找到相等的和与要点数字：要会对根本解中的数进行合适调整，获取其他的解，从而培养自己的观察能力，思想的灵便性和严实性。
二、典例分析：例〔 1〕将1~6分别填在图中,使每条边上的三个○内的数的和都等于9.分析：由于 1＋2＋ 3＋4＋5＋6 = 21，而每条边上的三个数的和为9，那么三条边上的和为 9×3=27， 27－21=6，这个 6就是由于三个极点都被重复算了一次。
所以三个极点的和为 6 ，在 1-----6中，只能选 1、2、3填入三个极点中，再将 4、5、 6 填入别的的三个圈即可。
解： . a . b . c .1126556642433342153d .e .f .233465445351162261练一练：把 1~8 个数分别填入○中 , 使每条边上三个数的和相等.答案:18357642例〔 2 〕 把 1~7 填入以下列图中 , 使每条线段上三个○内的数的和相等.分析： 中心圆填入的数设为 x ，x 参加 3 条线的连加， 设每条线数字和都为 S. 由题意：1+2+3+ +7+2x=3S即 28+2x=3S 或 28+2x ≡ 0〔 mod 3〕借用同余工具，是在两个未知数的不定方程中先减小x 应该取值的范围 . 在 mod3情况下，只要试试 x ≡ 0， 1，2 三个值，很轻松地解出： x ≡1 〔 mod3〕，回复到 x 取值范围为 1，2， ， 7. 有 x 1=1，x 2=4，x 3=7，获取： x 1=1，S 1=10； x 2=4，S 2=12；x 3=7，S3=14；由此看出要点在求 S 〔公共和〕及 x 〔参加相加次数最多的圆中值〕 .解：a .b .c .67 721 171424 3332556546练一练：把 1~11 填入图中 , 使每条线上三个数的和相等.11答案 :11075264389例〔3〕把 20 以内的质数分别填入以下列图的一个○中，使得图中用箭头连接起来的四个数之和都相等。
四年级奥数第三讲数阵图含答案
四年级奥数第三讲数阵图含答案第三讲数阵图⼀、知识点：⼀些数按照⼀定的规则，填在某⼀特定图形的规定位置上，这种图形，我们称它为“数阵图”，数阵图的种类繁多，绚丽多彩，这⾥只向⼤家介绍三种数阵图，即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图。
在解答这类问题时，要善于确定所求的和与关键数字间的关系式，⽤试验的⽅法，找到相等的和与关键数字：要会对基本解中的数进⾏适当调整，得到其他的解，从⽽培养⾃⼰的观察能⼒，思维的灵活性和严密性。
⼆、典例剖析：例（1）将1~6分别填在图中,使每条边上的三个○内的数的和都等于9.分析：因为 1＋2＋3＋4＋5＋6 = 21 ，⽽每条边上的三个数的和为9，则三条边上的和为 9×3 = 27 ， 27－21 = 6 ，这个 6 就是由于三个顶点都被重复算了⼀次。
所以三个顶点的和为 6 ，在 1-----6中，只能选1、2、3 填⼊三个顶点中，再将4、5、6填⼊另外的三个圈即可。
解：b .c .d .e .f .练⼀练：把1~8个数分别填⼊○中,使每条边上三个数的和相等.答案:例（2 ）把1~7填⼊下图中,使每条线段上三个○内的数的和相等.分析：中⼼圆填⼊的数设为x ，x 参与3条线的连加，设每条线数字和都为S.由题意：1+2+3+…+7+2x=3S 即28+2x=3S 或28+2x ≡0（mod 3）借⽤同余⼯具，是在两个未知数的不定⽅程中先缩⼩x 应该取值的范围.在mod3情况下，只要试探x ≡0，1，2三个值，很轻松地解出：x ≡1（mod3），回复到x 取值范围为1，2，…，7.有x 1=1，x 2=4，x 3=7，得到：x 1=1，S 1=10；x 2=4，S 2=12；x 3=7，S3=14；由此看出关键在求S （公共和）及x （参与相加次数最多的圆中值）.解： a . b练⼀练：把1~11填⼊图中,使每条线上三个数的和相等.答案:例（3）把20以内的质数分别填⼊下图的⼀个○中，使得图中⽤箭头连接起来的四个数之和都相等。
第四讲 有趣地数阵图学生版 奥数教程 讲义
经典精讲：数阵图：将一些数按照一定的要求排列成各种各样的图形。
数阵图是一种趣味性很强的填数游戏，它的形式多样，绚丽奇妙。
这里给同学们介绍三种形式的数阵图，即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图。
（一）辐射型数阵图（像雪花）从一个中心出发，向外作若干条射线，在每条射线上安放同样多个数，使其和是一个不变的数。
突破关键：确定中间数，多算的次数，公共的和线数x 公共的和=数和+中心数x 重复次数【例1】把1—5 这五个数分别填在左下图中的方格中，使得横行三数之和与竖列三数之和都等于9。
【例2】把1—7这七个数分别填入图1中的各○内，使每条线段上三个○内数的和相等。
【课堂练习】将1～11这11个数分别填入图11中的方格内，每个数只许用一次，使相邻两个或三个方格内数的和都相等。
第四讲 有趣的数阵图（二）封闭型数阵图（像围墙）多边形的每条边放同样多的数，使它们的和都等于一个不变的数。
突破关键：确定顶点上的数字，公共的和边数x公和=数和+重叠数和【例3】把1～6这六个数分别填在下图中三角形三条边的六个○内，使每条边上三个○内数的和相等。
（本题有24种填法，你能想出几种？）【例4】将2—9这八个数分别填入右图的○里，使每条边上的三个数之和都等于18。
【课堂练习】 1、1—10这十个数，分别填在图9中五边形五条边上的十个○内，并使五条边上的三个○内数的和相等。
2、把1—8这8个数，填入图13中的八个○内，使每条线段上的四个数的和，与每个四边形四个顶点上的四个数的和都相等。
（三）复合型数阵图既有辐射型数阵图的特点，又有封闭型数阵图的特点。
突破点：找出关键位置重复次数。
【例5】将1～7这七个数分别填入下图的○里，使得每条直线上三个数之和与每个圆圈上的三个数之和都相等。
【课堂练习】1、将1、2、3、4、5、6六个数字填入图中的小圆圈内，使每个大圆上四个数字的和是16。
2、将1—8这八个数，分别填入图10中两个圆圈的八个○内，使每个圆圈上五个○内数的和分别为20、21、22。
(完整版)四年级奥数第三讲数阵图含答案
第三讲 数阵图一、知识点：一些数按照一定的规则，填在某一特定图形的规定位置上，这种图形，我们称它为“数阵图”，数阵图的种类繁多，绚丽多彩，这里只向大家介绍三种数阵图，即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图。
在解答这类问题时，要善于确定所求的和与关键数字间的关系式，用试验的方法，找到相等的和与关键数字：要会对基本解中的数进行适当调整，得到其他的解，从而培养自己的观察能力，思维的灵活性和严密性。
二、典例剖析：例（1） 将1~6分别填在图中,使每条边上的三个○内的数的和都等于9.分析： 因为 1＋2＋3＋4＋5＋6 = 21 ，而每条边上的三个数的和为9，则三条边上的和为 9×3 = 27 ， 27－21 = 6 ， 这个 6 就是由于三个顶点都被重复算了一次。
所以三个顶点的和为 6 ，在 1-----6中，只能选1、2、3 填入三个顶点中，再将4、5、6填入另外的三个圈即可。
解：a b . c .d .e .f .练一练：把1~8个数分别填入○中,使每条边上三个数的和相等.答案:例（2 ）把1~7填入下图中,使每条线段上三个○内的数的和相等.分析：中心圆填入的数设为x，x参与3条线的连加，设每条线数字和都为S.由题意：1+2+3+…+7+2x=3S 即28+2x=3S或28+2x≡0（mod 3）借用同余工具，是在两个未知数的不定方程中先缩小x应该取值的范围.在mod3情况下，只要试探x≡0，1，2三个值，很轻松地解出：x≡1（mod3），回复到x取值范围为1，2，…，7.有x1=1，x2=4，x3=7，得到：x1=1，S1=10；x2=4，S2=12；x3=7，S3=14；由此看出关键在求S（公共和）及x（参与相加次数最多的圆中值）. 解：a. b练一练：把1~11填入图中,使每条线上三个数的和相等.答案:例（3）把20以内的质数分别填入下图的一个○中，使得图中用箭头连接起来的四个数之和都相等。
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数阵图（二）
例1在右图的九个方格中填入不大于12且互不相同的九个自然数（其中已填好一个数），
使得任一行、任一列及两条对角线上的三个数之和都等于21。
解：由上一讲例4知中间方格中的数为7。再设右下角的数为x，然后根据任一行、任
一列及每条对角线上的三个数之和都等于21，如下图所示填上各数（含x）。
因为九个数都不大于12，由16－x≤12知4≤x，由x+2≤12知x≤10，即4≤x≤
10。考虑到5，7，9已填好，所以x只能取4，6，8或10。经验证，当x＝6或8时，九个
数中均有两个数相同，不合题意；当x＝4或10时可得两个解（见下图）。这两个解实际上
一样，只是方向不同而已。
例2将九个数填入右图的空格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，
则一定有
证明：设中心数为d。由上讲例4知每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于3d。
由此计算出第一行中间的数为2d——b，右下角的数为2d-c（见下图）。
根据第一行和第三列都可以求出上图中★处的数由此得到
3d-c-（2d-b）＝3d-a-（2d-c），
3d-c-2d＋b＝3d-a-2d＋c，
d——c＋b＝d——a＋c，
2c＝a＋b，
a＋b
c＝2。
值得注意的是，这个结论对于a和b并没有什么限制，可以是自然数，也可以是分
数、小数；可以相同，也可以不同。
例3在下页右上图的空格中填入七个自然数，使得每一行、每一列及每一条对角线上的
三个数之和都等于90。
解：由上一讲例4知，中心数为90÷3＝30；由本讲例2知，右上角的数为（23＋57）
÷2＝40（见左下图）。其它数依次可填（见右下图）。
例4在右图的每个空格中填入个自然数，使得每一行、每一列及每条对角线上的三个数
之和都相等。
解：由例2知，右下角的数为
（8＋10）÷2=9；由上一讲例4知，中心数为（5＋9）÷2=7（见左下图），且每
行、每列、每条对角线上的三数之和都等于7×3=21。由此可得右下图的填法。
例5在下页上图的每个空格中填一个自然数，使得每行、每列及每条对角线上的三个数
之和都相等。
解：由例2知，右下角的数为（6＋12）÷2=9（左下图）。因为左下图中两条虚线上的
三个数之和相等，所以，
“中心数”＝（10＋6）-9＝7。
其它依次可填（见右下图）。
由例3～5看出，在解答3×3方阵的问题时，上讲的例4与本讲的例2很有用处。
练习17
1.在左下图的每个空格中填入一个数字，使得每行、每列及每条对角线上的三个数
之和都相等。
2.在右上图的每个空格中填入一个数字，使得每行、每列及每条对角线上的三个数
之和都等于24。
3.下列各图中的九个小方格内各有一个数字，而且每行、每列及每条对角线上的三
个数之和都相等，求x。
4.在左下图的空格中填入七个自然数，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之
和都等于48。
5.在右上图的每个空格中填入一个自然数，使得每行、每列及每条对角线上的三个
数之和都相等。
6.在右图的每个空格中填入不大于12且互不相同的九个自然数，使得每行、每列、
每条对角线上的三个数之和都等于21。