【高中数学选修2-2】1.2.2复合函数的导数ppt课件
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人教A版高中数学选修2-2课件1.2导数的计算(3).pptx
例4 求下列函数的导数
(1) y (2x 3)2
解：(1)函数y (2x 3)2可以看作 函数y u2和u 2x 3的复合函数。 根据复合函数求导法则有
yx ' yu '• ux ' (u 2 ) '• (2x 3) '
2ug2 4u 8x 12.
(2) y e0.05x1
x, 则f
'( x)
1 (a x ln a
0, 且a
1);
公式8.若f (x) ln x,则f '(x) 1 ; x
导数运算法则
1. f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
2 . f ( x ) • g ( x ) f ( x ) g ( x ) f ( x ) g ( x )
例设 y ln x x2 a2 a 0 求 y
解
y ln x
x2 a2
1
1
2x
1
x x2 a2 2 x2 a2 x2 a2
例设 y求 ln tan 2 x
y
解 y ln tan 2x 1 tan 2x
tan 2x
1 tan 2x
1 cos2
2x
2 x
解 (1) y 2u ,u x 1. (2) y sin u,u v 1, v ln x.
3.复合函数的求导法则 (1) y f [g(x)] y f (u),u g(x). 那么
yx yu ux .
(2) y f (u),u g(v), v h(x). 那么
yx yu uv vx' .
2. c f (x) c f (x)
3.
f g
(x) (x)
高中数学(人教A版选修2-2)课件1.2.2复合函数的导数
变式训练 1 求下列函数的导数． 1 (1)y＝ ； 1＋3x5 π (2)y＝sin(x －6)；
2
(3)y＝ln(lnx)； (4)y＝e
2x2＋1
.
1 解 (1)令u＝1＋3x，则y＝u5＝u－5， ∴y′x＝y′u· u′x＝－5u 6· 3
－
15 ＝－15u ＝－ . 1＋3x6
2．复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导 数间的关系为________．即y对x的导数等于y对u的导数与u对 x的导数的乘积.
答 1.y＝f(u) u＝g(x) y＝f(g(x)) 案 2.y′x＝y′u· u′x
名师讲解
1.求复合函数的导数的关键是处理好以下几个环节 (1)中间变量的选择应是基本函数结构； (2)关键是正确分析出复合过程； (3)一般从最外层开始，由外及里，一层层地求导； (4)善于把一部分表达式作为一个整体； (5)最后结果要把中间变量换成自变量的函数．
第一章 导数及其应用
§1.2
导数的计算
1.2.2 复合函数的导数
自学引导
课前热身
名师讲解
典例剖析
技能演练
自学引导
能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算 法则求简单的复合函数(仅限于形如f(ax＋b))的导数.
课前于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量 u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数________和 ________的复合函数，记作________．
(2)y′＝[log2(2x2＋3x＋1)]′ 1 ＝ 2 · (2x2＋3x＋1)′ 2x ＋3x＋1ln2 4x＋3 ＝ 2 . 2x ＋3x＋1ln2 (3)y′＝[esin(ax＋b)]′＝esin(ax＋b)[sin(ax＋b)]′ ＝esin(ax＋b)· cos(ax＋b)· (ax＋b)′ ＝acos(ax＋b)· esin(ax＋b)．
高中数学-选修2-2-1.2-导数的计算人教新课标.ppt
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(1)运用可导函数求导法则和导数公式求可导函数的导数,一定
要先分析函数 y=f(x)的结构和特征,若直接求导很繁琐,一定要先进
行合理的化简变形,再选择恰当的求导法则和导数公式求导.
(2)若要求导的函数解析式与三角函数有关,往往需要先运用相
关的三角函数公式对解析式进行化简,整理,然后再套用公式求导.
ln .
2
2
(2)方法 1:y'=[(x+1)(x+2)(x+3)]'
=[(x+1)(x+2)]'(x+3)+(x+1)(x+2)(x+3)'
=[(x+1)'(x+2)+(x+1)(x+2)'](x+3)+(x+1)·(x+2)=(x+2+x+1)(x+3)
+(x+1)(x+2)
=(2x+3)(x+3)+x2+3x+2=3x2+12x+11;
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三、求复合函数的导数
活动与探究 3
求下列函数的导数:
(1)f(x)=(-2x+1)2;(2)f(x)=ln(4x-1);
(3)f(x)=23x+2;(4)f(x)= 5x + 4;
(5)f(x)=sin 3x +
6
;(6)f(x)=cos2x.
思路分析:抓住构成复合函数的基本初等函数是求复合函数导
数的关键,解题时可先把复合函数分拆成基本初等函数,再运用复合
高中数学选修2-2第1章第2节导数的计算课件
f′(x)＝__a_x_ln__a_(_a_>_0)
f′(x)＝__e_x_______ 1
f′(x)＝___x_ln__a____(a>0 且 a≠1) 1
f′(x)＝__x________
数学 选修2-2
1．指数函数与对数函数的导数公式的记忆
对于公式(logax)′＝
1 xln
a
，(ax)′＝axln
ห้องสมุดไป่ตู้
∴ lim Δx→0
2x＋Δx＋xx－＋2Δx＝2x－x22.
数学 选修2-2
[问题3] F(x)的导数与f(x)，g(x)的导数有何关系？ [提示3] F(x)的导数等于f(x)，g(x)导数和．
[问题 4] [提示 4]
试说明 y＝cos3x－π4如何复合的． 令 u＝g(x)＝3x－π4，y＝f(u)＝cos u，
导数几何意义的应用
已知曲线方程y＝x2，求过点B(3,5)且与曲线相切 的直线方程．
[思路点拨] 解决切线问题的关键是求切点的坐标，要注 意区分是曲线在某点处的切线还是过某点的切线．
设出切点 → 函数求导 → 写出切线方程 → 条件代入 → 解出切点 → 得出答案
数学 选修2-2
设 P(x0，y0)为切点，则切线斜率
数学 选修2-2
已知 f(x)＝x2，g(x)＝2x. [问题 1] f(x)，g(x)的导数分别是什么？ [提示 1] f′(x)＝2x，g′(x)＝－x22.
数学 选修2-2
[问题2] 试求F(x)＝f(x)＋g(x)的导数．
[提示 2] ΔΔxy＝x＋Δx2＋xΔ＋2xΔx－x2＋2x
＝2x＋Δx＋xx－＋2Δx，
数学 选修2-2
第一章
f′(x)＝__e_x_______ 1
f′(x)＝___x_ln__a____(a>0 且 a≠1) 1
f′(x)＝__x________
数学 选修2-2
1．指数函数与对数函数的导数公式的记忆
对于公式(logax)′＝
1 xln
a
，(ax)′＝axln
ห้องสมุดไป่ตู้
∴ lim Δx→0
2x＋Δx＋xx－＋2Δx＝2x－x22.
数学 选修2-2
[问题3] F(x)的导数与f(x)，g(x)的导数有何关系？ [提示3] F(x)的导数等于f(x)，g(x)导数和．
[问题 4] [提示 4]
试说明 y＝cos3x－π4如何复合的． 令 u＝g(x)＝3x－π4，y＝f(u)＝cos u，
导数几何意义的应用
已知曲线方程y＝x2，求过点B(3,5)且与曲线相切 的直线方程．
[思路点拨] 解决切线问题的关键是求切点的坐标，要注 意区分是曲线在某点处的切线还是过某点的切线．
设出切点 → 函数求导 → 写出切线方程 → 条件代入 → 解出切点 → 得出答案
数学 选修2-2
设 P(x0，y0)为切点，则切线斜率
数学 选修2-2
已知 f(x)＝x2，g(x)＝2x. [问题 1] f(x)，g(x)的导数分别是什么？ [提示 1] f′(x)＝2x，g′(x)＝－x22.
数学 选修2-2
[问题2] 试求F(x)＝f(x)＋g(x)的导数．
[提示 2] ΔΔxy＝x＋Δx2＋xΔ＋2xΔx－x2＋2x
＝2x＋Δx＋xx－＋2Δx，
数学 选修2-2
第一章
【高中数学选修2-2】1.2.1常用函数的导数及导数公式 PPT 课件
f(x)g(x)f(x)g(x)
若u令 fx,vgx,则导数的运记 算 .
(uv)uv
例 1 求 y＝x3＋sinx 的导数．
新课——导数的运算法则
2、积的导数
法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数 乘第二个函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数 ,
例 2.求函 y数 axcoxs的导数
新课——导数的运算法则
3、商的导数
法则3:两个函数的商的导数,等于第一个函数的导数 乘第二个函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数 , 再除以第二个函数的平方.即:
g f((xx))f(x)g(xg)( x)f2(x)g(x)(g(x)0)
(Cu)＝Cu
小结 1.基本初等函数的导数公式 2.导数的运算法则
课后必看 教材14-15页.
常听见这样的感叹：要是当初2018年 中国大 学毕业 生薪酬 排行榜 通过对 280多 万以及 多届毕 业生调 研后， 计算出 了各高 校毕业 生的薪 酬状况 。 虽然我们都知道名校毕业生的收入会普 遍比较 高，但 这份榜 单告诉 我们， 清华北 大毕业 生的月 薪，平 均近万 ，而普 通院校 的只有 两三千 。
x
新课——导数的运算法则
1、和（或差）的导数
法则 1. 两个函数的和（或差）的导数，等于这 两个函数的导数的和（或差），即
f(x)g(x)f(x)g(x)
若u令 fx,vgx,则导数的运记 算 .
(uv)uv
新课——导数的运算法则
1、和（或差）的导数
法则 1. 两个函数的和（或差）的导数，等于这 两个函数的导数的和（或差），即
或 y’|x=x0,
即 f'x 0 ： lx i 0 m y x lx i 0fm (x 0 x x ) f(x 0 )
若u令 fx,vgx,则导数的运记 算 .
(uv)uv
例 1 求 y＝x3＋sinx 的导数．
新课——导数的运算法则
2、积的导数
法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数 乘第二个函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数 ,
例 2.求函 y数 axcoxs的导数
新课——导数的运算法则
3、商的导数
法则3:两个函数的商的导数,等于第一个函数的导数 乘第二个函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数 , 再除以第二个函数的平方.即:
g f((xx))f(x)g(xg)( x)f2(x)g(x)(g(x)0)
(Cu)＝Cu
小结 1.基本初等函数的导数公式 2.导数的运算法则
课后必看 教材14-15页.
常听见这样的感叹：要是当初2018年 中国大 学毕业 生薪酬 排行榜 通过对 280多 万以及 多届毕 业生调 研后， 计算出 了各高 校毕业 生的薪 酬状况 。 虽然我们都知道名校毕业生的收入会普 遍比较 高，但 这份榜 单告诉 我们， 清华北 大毕业 生的月 薪，平 均近万 ，而普 通院校 的只有 两三千 。
x
新课——导数的运算法则
1、和（或差）的导数
法则 1. 两个函数的和（或差）的导数，等于这 两个函数的导数的和（或差），即
f(x)g(x)f(x)g(x)
若u令 fx,vgx,则导数的运记 算 .
(uv)uv
新课——导数的运算法则
1、和（或差）的导数
法则 1. 两个函数的和（或差）的导数，等于这 两个函数的导数的和（或差），即
或 y’|x=x0,
即 f'x 0 ： lx i 0 m y x lx i 0fm (x 0 x x ) f(x 0 )
高中数学苏教版选修2-2第一章1.2.3复合函数的导数课件(共16张PPT)
分解——求导——相乘——回代
不管做什么都不要急于回报，因为播种和收获不在同一个季节，中间隔着的一段时间，我们叫它为坚持。 对于攀登者来说，失掉往昔的足迹并不可惜，迷失了继续前时的方向却很危险。 一份信心，一份努力，一份成功；十分信心，十分努力，十分成功。 过自己喜欢的生活，成为自己喜欢的样子，其实很简单，就是把无数个“今天”过好，这就意味着不辜负不蹉跎时光，以饱满的热情迎接每一件 事，让生命的每一天都有滋有味。 过自己喜欢的生活，成为自己喜欢的样子，其实很简单，就是把无数个“今天”过好，这就意味着不辜负不蹉跎时光，以饱满的热情迎接每一件 事，让生命的每一天都有滋有味。 凡过于把幸运之事归功于自我的聪明和智谋的人多半是结局很不幸的。 希望，只有和勤奋作伴，才能如虎添翼。 给自己一片没有退路的悬崖，就是给自己一个向生命高地冲锋的机会。 没有不会做的事，只有不想做的事。 家！甜蜜的家！！天下最美好的莫过于家！ 学做任何事得按部就班，急不得。 要想成为强乾，决不能绕过挡道的荆棘也不能回避风雨的冲刷。 只有承担起旅途风雨，才能最终守得住彩虹满天。 当你跌到谷底时，那正表示，你只能往上，不能往下! 志坚者，功名之柱也。登山不以艰险而止，则必臻乎峻岭。 为了向别人、向世界证明自己而努力拼搏，而一旦你真的取得了成绩，才会明白：人无须向别人证明什么，只要你能超越自己。 在强者的眼中，没有最好，只有更好。 没有所谓失败，除非你不再尝试。 婚姻的最大杀手不是外遇或出轨，而是一地鸡毛的生活琐事。所以，平时的沟通很重要，而吵架也是另类的沟通，正所谓吵吵闹闹一辈子， 不吵不闹难白首！ 只有坚持才能获得最后的成功。
x
1
f
x
3x
2
6
27 x2
2
f
x
exx x2
ex
不管做什么都不要急于回报，因为播种和收获不在同一个季节，中间隔着的一段时间，我们叫它为坚持。 对于攀登者来说，失掉往昔的足迹并不可惜，迷失了继续前时的方向却很危险。 一份信心，一份努力，一份成功；十分信心，十分努力，十分成功。 过自己喜欢的生活，成为自己喜欢的样子，其实很简单，就是把无数个“今天”过好，这就意味着不辜负不蹉跎时光，以饱满的热情迎接每一件 事，让生命的每一天都有滋有味。 过自己喜欢的生活，成为自己喜欢的样子，其实很简单，就是把无数个“今天”过好，这就意味着不辜负不蹉跎时光，以饱满的热情迎接每一件 事，让生命的每一天都有滋有味。 凡过于把幸运之事归功于自我的聪明和智谋的人多半是结局很不幸的。 希望，只有和勤奋作伴，才能如虎添翼。 给自己一片没有退路的悬崖，就是给自己一个向生命高地冲锋的机会。 没有不会做的事，只有不想做的事。 家！甜蜜的家！！天下最美好的莫过于家！ 学做任何事得按部就班，急不得。 要想成为强乾，决不能绕过挡道的荆棘也不能回避风雨的冲刷。 只有承担起旅途风雨，才能最终守得住彩虹满天。 当你跌到谷底时，那正表示，你只能往上，不能往下! 志坚者，功名之柱也。登山不以艰险而止，则必臻乎峻岭。 为了向别人、向世界证明自己而努力拼搏，而一旦你真的取得了成绩，才会明白：人无须向别人证明什么，只要你能超越自己。 在强者的眼中，没有最好，只有更好。 没有所谓失败，除非你不再尝试。 婚姻的最大杀手不是外遇或出轨，而是一地鸡毛的生活琐事。所以，平时的沟通很重要，而吵架也是另类的沟通，正所谓吵吵闹闹一辈子， 不吵不闹难白首！ 只有坚持才能获得最后的成功。
x
1
f
x
3x
2
6
27 x2
2
f
x
exx x2
ex
高二数学人教A版选修2-2课件：1.2.2 导数的运算法则及复合函数的导数
典题例解
求下列函数的导数:
(1)f(x)=������22+������1;
(2)f(x)=x2+sin���2���cos���2���;
(3)f(x)=(
������+2)
1 ������
-2
.
解:(1)f'(x)=
2������ ������2+1
'=(2������)'(������2(+������21+)-12)���2���(������2+1)'
-4
'
= -2
������ +
2 ������
-3
'
1
3
=-������ -2 − ������ -2.
迁移应用
一 二三
二、求复合函数的导数
求复合函数的导数的步骤
知识精要
典题例解
迁移应用
一 二三
知识精要
典题例解
迁移应用
【例 2】 求下列函数的导数:
(1)f(x)=(-2x+1)2;
(2)f(x)=ln(4x-1); (3)f(x)=23x+2;
(1)[f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x);
(2)[f(x)·g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x);
(3)
������(������) ������(������)
'=������'(������)������[(������������)(-���������)���(]���2���)������'(������) (g(x)≠0).
2018学年人教A版数学选修2-2课件 第一章 导数及其应用 1.2.2第二课时复合函数的导数及导数
所以 y′x＝(u3)′·(sin x)′＋(sin v)′·(3x)′＝3u2·cos x＋ 3cos v＝3sin2 xcos x＋3cos 3x.
归纳升华 应用复合函数的导数公式求导时，应把握好以下环 节： (1)选取恰当的中间变量，使构成复合函数的基本函 数，符合导数公式中的函数结构； (2)从外到内，层层剥皮，依次求导； (3)把中间变量转换成自变量的表达式．
a（x2＋b）－2x（ax－6）
因为 f′(x)＝
（x2＋b）2
，
－a－6 ＝－2， 1＋b 所以 a（1＋b（）1＋＋2b（）－2 a－6）＝－12， 解得 a＝2，b＝3(因为 b＋1≠0，所以舍去 b＝－1)，
2x－6 所以所求函数的解析式为 f(x)＝x2＋3.
归纳升华 本题中已知切线方程求解析式，关键在于利用导数与 斜率的关系以及点在曲线上列出关于参数 a，b 的方程组， 求出 a，b，使问题得以解决．
解：(1)函数 y＝e2x＋1 可看作函数 y＝eu 和 u＝2x＋1
的复合函数，
所以 y′x＝y′u·u′x＝(eu)′·(2x＋1)′＝2eu＝2e2x＋1.
1 (2)函数 y＝ 2x－1可看作函数 y＝u2和 u＝2x－1 的
复合函数，
所以
1 y′x＝y′u·u′x＝(u2)′·(2x－1)′＝2
不清复合关系和不会选择恰当的导数公式而致误．
防范措施：对于较为复杂的复合函数的求导，首先要 弄清楚是由几个简单的基本初等函数符合而成的．第(2) 小题中的函数是由两个复合函数的乘积构成的函数，求 导时，既要考虑复合关系又要考虑求导法则的使用，稍 不仔细就会出错．
[正确解答] (1)y＝(ax＋b)n 可以看作函数 y＝un 和 u
归纳升华 应用复合函数的导数公式求导时，应把握好以下环 节： (1)选取恰当的中间变量，使构成复合函数的基本函 数，符合导数公式中的函数结构； (2)从外到内，层层剥皮，依次求导； (3)把中间变量转换成自变量的表达式．
a（x2＋b）－2x（ax－6）
因为 f′(x)＝
（x2＋b）2
，
－a－6 ＝－2， 1＋b 所以 a（1＋b（）1＋＋2b（）－2 a－6）＝－12， 解得 a＝2，b＝3(因为 b＋1≠0，所以舍去 b＝－1)，
2x－6 所以所求函数的解析式为 f(x)＝x2＋3.
归纳升华 本题中已知切线方程求解析式，关键在于利用导数与 斜率的关系以及点在曲线上列出关于参数 a，b 的方程组， 求出 a，b，使问题得以解决．
解：(1)函数 y＝e2x＋1 可看作函数 y＝eu 和 u＝2x＋1
的复合函数，
所以 y′x＝y′u·u′x＝(eu)′·(2x＋1)′＝2eu＝2e2x＋1.
1 (2)函数 y＝ 2x－1可看作函数 y＝u2和 u＝2x－1 的
复合函数，
所以
1 y′x＝y′u·u′x＝(u2)′·(2x－1)′＝2
不清复合关系和不会选择恰当的导数公式而致误．
防范措施：对于较为复杂的复合函数的求导，首先要 弄清楚是由几个简单的基本初等函数符合而成的．第(2) 小题中的函数是由两个复合函数的乘积构成的函数，求 导时，既要考虑复合关系又要考虑求导法则的使用，稍 不仔细就会出错．
[正确解答] (1)y＝(ax＋b)n 可以看作函数 y＝un 和 u
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公式8.ln x' 1
x
2
导数的运算法则简记
复
习 回
(u v) u v
顾 (u v) uv uv
( u v
)
uv uv v2
(v
0)
[Cf(x)]＝Cf (x)
3
问题探究：
看下列函数关系，请按样填空：
y=f(x) U=ug(x) y=f(u)
(3x-2)2 3x-2
u2
(sinx)2 sinx
2(3x
2) 3
18 x
12
这就是说，对于函数y (3x 2)2，我们有
y
' x
y
' u
u'x
5
复合函数的求导法则
复合函数y f gx的导数和函数 y f u,u gx
的导数间的关系为
f gx' f 'uu'x
或 yx yu ux
即y对x的导数等于 y对u的导数与u对x的导数的乘积 .
1.2.2 复合函数的导数
1
基本初等函数的求导公式简记
复
公式1.C ' 0
习 回
公式2. xn ' nxn1
顾
公式3.sin x' cos x
公式4.cos x' sin x
公式5. a x ' a x ln a
公式6. ex ' ex
公式7.log a
x'
1 x ln
a
复合函数的求导法则
f gx' f 'uu'x
或 yx yu ux
复合函数求导步骤：分析—求导—回代
例2.求下列函数的导数
1y 2x 32 2 y e0.05x1
3y sinx 其中，均为常数
9
复合函数的求导法则
f gx' f 'uu'x
或 yx yu ux
复合函数求导步骤：分析—求导—回代
6
你能归纳出复合函数的求导步骤么?
复合函数求导步骤：分析—求导—回代
分析复
另外，函数 y (3x 2)2又可以看成由
合函数 结构
y u2,u 3x 2复合而成 ,其中u 称为中间变量
由于yu'
2u,
u
' x
3
用x替换掉中间变量u
因而yu'
u
' x
2u 3
2(3x
2) 3
18 x
12
这就是说，对于函数y (3x 2)2，我们有
4
怎样求复合函数的导数呢?
已知y (3x 2)2,那么 y' (3x 2)2 '
(9x2 12 x 4)' 18 x 12 另外，函数 y (3x 2)2又可以看成由
y u2,u 3x 2复合而成 ,其中u 称为中间变量
由于yu'
2u,
u
' x
3
因而yu'
u
' x
2u 3
u2
(x+1)3 x+1
u3
(x-1)3 x-1
u3
sin2x 2x
sinu
一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过 变量u,y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数 y=f(u)和u=f(x)的复合函数，记作y=f(g(x)).
切记：复合函数是由几个简单函数复合而成的，并不是由 简单函数经过和、差、积、商运算得到的。
即y对x的导数等于 y对u的导数与u对x的导数的乘积 .
复合函数求导步骤：分析—求导—回代
11
y
' x
y
' u
u'x
7
复合函数的求导法则
f gx' f 'uu'x
或 yx yu ux
复合函数求导步骤：分析—求导—回代
例1. 求 y (2x 1)5 的导数
解：设 y u5, u 2x 1,则
y'x
y
' u
u'x
(u5 )'
(2x
1)'
5u4 2 5(2x 1)4 2 10(2x 1)4 8
练习，求下列函数的导数.
1y sin 2x
2y cos2 x
sin 1 x
(3) y e 2
4y 2ex 5y log2 3sin x 10
小结
复合函数的求导法则
复合函数y f gx的导数和函数 y f u,u gx
的导数间的关系为
f gx' f 'uu'x
或 yx yu ux