辽宁省大连市2019届高三数学第二次模拟考试试题理(含解析)

辽宁省大连市2019届高三数学第二次模拟考试试题 理（含解析）一、选择题:每小题各有四个选项，仅有一个选项正确.1.复数1i z =-+（i 是虚数单位），则z 的模为（ ）A. 0B. 1 D. 2【答案】C【解析】【分析】根据模长的定义求得结果.【详解】1z i =-+==本题正确选项：C【点睛】本题考查复数模长的求解，属于基础题.2.已知全集U =R ，集合{1,0,1,2,3}A =-，{|2}B x x =…，则()U A B =ð（）A. }1,0,1{-B. {1,0,1,2}-C. }2|{<x xD. {|12}x x -<…【答案】A【解析】【分析】根据补集定义求得U C B ，再利用交集定义求得结果.【详解】{}2U C B x x =< (){}1,0,1U A C B ∴=-本题正确选项：A【点睛】本题考查集合运算中的交集和补集运算问题，属于基础题.3.命题“α∃∈R ，sin 0α=”的否定是（ ）A. α∃∈R ，0sin ≠αB. α∀∈R ，0sin ≠αC. α∀∈R ，0sin <αD. α∀∈R ，sin 0α>【答案】B【分析】根据特称量词的否定得到结果.【详解】根据命题否定的定义可得结果为：R α∀∈，0sin ≠α本题正确选项：B【点睛】本题考查含量词的命题的否定问题，属于基础题.4.下列函数中，既是奇函数又在(),-∞+∞上单调递增的是（ ）A. x y sin =B. y x =C. 3y x =-D. )ln y x = 【答案】D【解析】【分析】结合初等函数的奇偶性和单调性可排除,,A B C 选项；再根据奇偶性定义和复合函数单调性的判断方法可证得D 正确.【详解】sin x 不是单调递增函数，可知A 错误； x x -=，则函数y x =为偶函数，可知B 错误；3y x =-在(),-∞+∞上单调递减，可知C 错误；)ln ln x x ⎫-==-⎪⎭，则)ln y x =为奇函数；当0≥x x 单调递增，由复合函数单调性可知)ln y x =在[)0,+∞上单调递增，根据奇函数对称性，可知在(),-∞+∞上单调递增，则D 正确.本题正确选项：D【点睛】本题考察函数奇偶性和单调性的判断，属于基础题.5.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，422S S =，则数列{}n a 的公比q =（ ）A. -1B. 1C. 士1D. 2【解析】【分析】分别在1q =和1q ≠列出4S 和2S ，构造方程求得结果.【详解】当1q =时，41124222S a a S ==⨯=，满足题意当1q ≠时，由422S S =得：()()421112111a q a q q q --=--，即212q +=，解得：1q =-综上所述：1q =±本题正确选项：C【点睛】本题考查等比数列基本量的求解问题，易错点是忽略1q =的情况造成求解错误. 6.过椭圆2212516x y +=的中心任作一直线交椭圆于P ，Q 两点，F 是椭圆的一个焦点，则PFQ ∆的周长的最小值为（ ）A. 12B. 14C. 16D. 18【答案】D【解析】【分析】 根据椭圆对称性可求得PF QF +为定值2a ，再结合min 2PQ b =，从而得到所求周长的最小值.【详解】由椭圆对称性可知，,P Q 两点关于原点对称设F '为椭圆另一焦点，则四边形PFQF '为平行四边形 由椭圆定义可知：420PF PF QF QF a ''+++== 又PF QF '=，QF PF '= 10PF QF ∴+=又PQ 为椭圆内的弦 min 28PQ b ∴== PFQ ∴∆周长的最小值为：10818+=本题正确选项：D【点睛】本题考查椭圆中三角形周长最值的求解问题，重点考查学生对于椭圆几何性质的掌握，关键是能够利用椭圆的对称性和定义求得PF QF +的值.7.把标号为1，2，3，4的四个小球分别放入标号为1，2，3，4的四个盒子中，每个盒子只放一个小球，则1号球不放入1号盒子的方法共有（ ）A. 18种B. 9种C. 6种D. 3种【答案】A【解析】【分析】先确定1号盒子的选择情况，再确定2、3、4号盒子的选择情况，根据分步计数原理即可求解。

【详解】由于1号球不放入1号盒子，则1号盒子有2、3、4号球三种选择，还剩余三个球可以任意放入2、3、4号盒子中，则2号盒子有三种选择，3号盒子还剩两种选择，4号盒子只有一种选择，根据分步计数原理可得1号球不放入1号盒子的方法有111332118C C C ⋅⋅⋅=种。

故答案选A 。

【点睛】本题考查排列组合问题，对于特殊对象优先考虑原则即可求解，属于基础题。

8.已知圆锥的母线长为6，母线与轴的夹角为30°，则此圆锥的体积为（ ）A. 27πB.C. 9πD. 【答案】B【解析】【分析】根据母线长和母线与轴的夹角求得底面半径和圆锥的高，代入体积公式求得结果.【详解】由题意可知，底面半径6sin 303r ==；圆锥的高6cos3033h ==∴圆锥体积213V r h π=⋅= 本题正确选项：B【点睛】本题考查锥体体积的求解问题，属于基础题.9.执行如图所示的程序框图，若输出结果为1，则可输入的实数x 值的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】 根据程序框图的含义，得到分段函数221,2log ,2x x y x x ⎧-≤=⎨>⎩，由此解出关于x 的方程()1f x = ，即可得到可输入的实数x 值的个数。

【详解】根据题意，该框图的含义是：当2x ≤ 时，得到函数21y x =- ；当2x >时，得到函数2log y x =，因此，若输出的结果为1时，（1） 若2x ≤，得到211x -=，解得x =（2） 若2x >，得到2log 1x =，解得2x =，因此，可输入的实数x的值可能为，共有2个。

故答案选B 。

【点睛】本题主要考查了分段函数和程序框图的理解等知识，属于基础题。

10.设3log 4=a ，5log 2b =，8log 5c =，则（ ）A. c b a <<B. a c b <<C. c a b <<D. c a b << 【答案】B【解析】【分析】 由4lg 27log 3lg 64a ==，8lg 25log 5lg 64c ==比较a 、c 的大小，利用中间量12比较b 、c ，从而得解。

【详解】 27464lg 27log 3log lg 64a ===，25864lg 25log 5log lg 64c ===， ∴ 3548log log > ，即a c > ，2<，5>，∴581log 2c =>= 251log 2b =<= ， ∴5285log log >，即c b > ，∴352485log log log >> ，即a c b >>。

故答案选B 。

【点睛】本题主要考查了对数函数单调比较大小，解题关键是找到合适的中间变量进行大小比较，有一定难度。

11.已知F 是双曲线22:22-1x y E a b= )0,0(>>b a 的左焦点，过点F 且倾斜角为30°的直线与曲线E 的两条渐近线依次交于A ，B 两点，若A 是线段FB 的中点，且C 是线段AB 的中点，则直线OC 的斜率为（ ）A. B. 3 C. - D. 【答案】D【解析】分析】联立直线和渐近线方程求得,A B 纵坐标，根据2B A y y =可得,a b 之间的关系，从而可用a 表示出,A B 坐标，利用中点坐标公式得到C ，从而求得斜率. 【详解】由题意知，双曲线渐近线为：b y x a=± 设直线方程为：()c x y +=33由)y x c b y x a ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得：Ac y a b =；同理可得：B c y a b = A 是FB 中点 2B A y y ∴=b ⇒=2c a ⇒==A y a ∴=，B y = 12A x a ⇒=-，B x a = 24A B C x x a x +∴==，2A B C y y y +==C OC C y k x ∴== 本题正确选项：D【点睛】本题考查双曲线几何性质的应用，关键是能够通过中点的关系得到关于交点纵坐标之间的关系，从而求解出,,a b c 之间的关系.12.函数11()e e sin x x f x a x π--+=-+（x ∈R ，e 是自然对数的底数，0a >）存在唯一的零点，则实数a 的取值范围为（ ） A. 20,π⎛⎤ ⎥⎝⎦B. 20,π⎛⎫ ⎪⎝⎭C. ]2,0(D. )2,0( 【答案】A【解析】【分析】函数11()e e sin x x f x a x π--+=-+（x ∈R ，e 是自然对数的底数，0a >）存在唯一的零点等价于函数()sin x a x ϕπ= 与函数11()x x g x e e --=-只有唯一一个交点，由于(1)0ϕ=，(1)0g =，可知()x ϕ与()g x 的交点为(1,0)，分别研究()x ϕ与()g x 的单调，根据单调得到()x ϕ与()g x 的大致图像，从图形上可得要使函数()sin x a x ϕπ= 与函数11()x x g x e e --=-只有唯一一个交点，则(1)(1)g ϕ''≥， 即可解得实数a 的取值范围。

【详解】函数11()e e sin x x f x a x π--+=-+（x ∈R ，e 是自然对数的底数，0a >）存在唯一的零点等价于函数()sin x a x ϕπ= 与函数11()x x g x e e --=-只有唯一一个交点，(1)0ϕ=，(1)0g =，∴函数()sin x a x ϕπ= 与函数11()x x g x e e --=-唯一交点为(1,0)， 又11()x x g x e e --'=--，且10x e ->，10x e -> ，∴11()x x g x e e --'=--在R 上恒小于零，即11()x x g x e e --=-在R 为单调递减函数， 又()sin (0)x a x a ϕπ=>是最小正周期为2，最大值为a 的正弦函数，∴可得函数()sin x a x ϕπ= 与函数11()x x g x e e --=-的大致图像如图：∴要使函数()sin x a x ϕπ= 与函数11()x x g x e e --=-只有唯一一个交点，则(1)(1)g ϕ''≥， (1)=cos a a ϕπππ'=-，1111(1)2g e e --'=--=-，∴(1)(1)g ϕ''≥即2a π-≥- ，解得2a π≤， 又0a >所以实数a 的范围为20,π⎛⎤ ⎥⎝⎦。