光学_郭永康_第六章1.傅里叶变换
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信息光学中的傅里叶变换
为了克服这些局限性，未来的研究将更加注重发展新型的 光学器件和技术，如光子晶体、超表面和量子光学等。这 些新技术有望为傅里叶光学的发展带来新的突破和机遇， 推动光学领域的技术进步和应用拓展。同时，随着人工智 能和机器学习等领域的快速发展，将人工智能算法与傅里 叶光学相结合，有望实现更高效、智能的光波信号处理和 分析。
信息光学中的傅里叶变换
目录
• 傅里叶变换基础 • 信息光学基础 • 信息光学中的傅里叶变换 • 傅里叶变换在信息光学中的应用
实例 • 傅里叶变换的数学工具和软件包
01
傅里叶变换基础
傅里叶变换的定义
傅里叶变换是一种数学工具，用于将 一个信号或函数从时间域或空间域转 换到频率域。在信息光学中，傅里叶 变换被广泛应用于图像处理和通信系 统的 编程语言，具有广泛的应 用领域。
R语言是一种统计计算语 言，广泛应用于数据分析 和可视化。
ABCD
C的开源科学计算软件包 如FFTW等可用于计算傅 里叶变换，并支持并行计 算以提高效率。
R语言的科学计算库如 fftw等可用于计算傅里叶 变换，并支持多种数据类 型和可视化方式。
光的波动理论
光的波动理论认为光是一种波动现象，具有波长、频率、相 位等特征，能够发生干涉、衍射等现象。
光的波动理论在光学领域中具有基础性地位，是研究光的行 为和性质的重要工具。
光的量子理论
光的量子理论认为光是由粒子组成的，这些粒子被称为光子。该理论解释了光的 能量、动量和角动量等物理量的本质。
光的量子理论在量子力学和量子光学等领域中具有重要应用，为现代光学技术的 发展提供了理论基础。
04
傅里叶变换在信息光学中的 应用实例
图像处理中的傅里叶变换
图像去噪
物理光学 第六章_ppt课件
6.1 平面波的复振幅及空间频率
空间频率：把一个在空间呈正弦或者余弦分布的物理量在某个方向 上单位长度内重复次数称为该方向上的空间频率。 平面波的复振幅分布可以表示为：
2 A exp i x cos y cos z cos
如果平面波沿着Z方向传播，则可以写为
6.2 单色波场中复杂的复振幅及其分解
衍射屏（可能是振幅型也可能是位相型）对入射光波的调制作用决 定于衍射屏的复振幅透射系数，即
~ E ( x , y ) E ( x , y ) t ( x , y ) 0
常见的几种振幅型衍射屏的透射系数
x t(x , y) rect a
物理光学 第 六章
第六章 傅立叶光学
傅立叶光学是20世纪中叶人们把通信理论，特别是其中傅立叶分 析方法引入到光学中逐步发展形成的一个光学分支，它是现代物理 光学的重要组成部分。 在研究内容上，傅立叶光学所讨论的仍然是有关光波的传播、叠加 （干涉和衍射）和成像现象的规律，但是由于引入了傅立叶分析方 法，使得我们能够更深入地理解这些现象的内在规律。 参考书：傅立叶光学导论（第三版），Goodman著，电子工业出 版社，2006年。
E (x,y)exp i2 ux vy dx dy
1 1 1 1 1 1
exp( ik1 z ) ik 2 2 E (x ,y ) exp x y ik1 z z 1 2
~ 2 E ( x ,y ,z ) A exp i x cos y cos
6.1 平面波的复振幅及空间频率
空间角频率可以定义为
k 2 uk 2 v x y
~ E ( x ,y , z ) A exp i 2 ux vy A exp i k x k y x y
光学傅里叶变换原理
光学傅里叶变换原理傅里叶变换是一种数学工具，用于将一个函数（ 或信号）从时间 或空间）域转换到频率域。
在光学中，傅里叶变换也具有重要的应用，尤其是在描述光波传播、光学系统和图像处理等方面。
傅里叶变换原理涉及到以下重要概念和原则：1.（傅里叶级数：傅里叶级数指的是将周期性函数分解为一系列正弦和余弦函数的和的过程。
它表明任何周期性函数都可以表示为不同频率的正弦和余弦函数的叠加。
2.（连续傅里叶变换 Continuous（Fourier（Transform）：对于连续信号，傅里叶变换将信号从时域转换到频域。
它描述了信号在频率空间中的频谱特性，展示了信号由哪些频率分量组成。
3.（离散傅里叶变换 Discrete（Fourier（Transform）：对于离散数据集合，比如数字图像或采样信号，离散傅里叶变换用于将这些离散数据从时域转换到频域。
它在数字信号处理和图像处理中得到广泛应用，用于分析和处理频率特性。
4.（光学中的应用：在光学中，傅里叶变换可以描述光的传播和衍射现象。
例如，傅里叶光学理论表明，光学系统（如透镜、光栅等）可以看作是对光波进行空间域的傅里叶变换。
这种理论有助于理解光的传播特性，并在光学系统设计和成像技术中发挥重要作用。
5.（变换原理：傅里叶变换原理表明，任何一个信号都可以通过傅里叶变换分解成一系列不同频率的正弦和余弦函数。
这种变换可以帮助我们理解信号的频率成分，并对信号进行处理、滤波或合成。
总的来说，傅里叶变换原理提供了一种从时域到频域的转换方法，在光学中，它被广泛应用于光波传播、光学系统设计和图像处理等领域，为我们理解和处理光学现象提供了重要的工具。
光学第六章 - 傅里叶变换光学简介
(x , y )
F
+1
+1 -1
0 -1
衍射方向：
0级为正出射的平面波，衍射角为0 ；
空间频率越高， 衍射角就越大
代表向上斜出射的平面光，衍射角 满足： 1级U sin 1 + f 1 1 代表向下斜出射的平面光，衍射角 满足： 1级U sin 1 f 1 1
At U 0 1 0 1 A t ei (2 fx 0 ) U 1 11 2 2 i ( f ) x i0 1 1 A1t1e A1t1eik sin1 x i0 2 2 1 1 i (2 fx 0 ) U 1 A1t1e A1t1eik sin1 x i0 2 2
A1e
发散球面波
2 ( n 1) s ik
x2 y 2 ik ik ( n 1) x 2s
2s
e
2 x ( n 1) s y 2 ik
2s
发散中心，即像点的位置为：((n-1)s, 0, -s)
（3）窗函数
光学元件孔径有限 窗函数(window function) tw
变换相因子
（1）透镜（在傍轴条件下，忽略吸收）
L ( x, y ) e t
x2 y 2 ik 2f
二次相因子
（2）棱镜（小角）
（1x +2 y ) P ( x, y) eik (n1) t
线性相因子
试运用相因子分析法 分析 余弦型环状波带片的衍射场
4、 余弦光栅的衍射场 余弦光栅的制备：
x2 y 2 ik 2f
A1e
x2 y 2 ik 2s
ik
A1e
x2 y 2 fs 2 f s
物理光学-6傅里叶光学
在X方向上单位长度内重复的次数， 即在x方向上的空间频率： 1 cos u dx
y方向上
v 1 0 dy
( x) A exp i2 ux E
u
cos
为锐角， cos 0
u cos
xy平面 z=z0或z 0平面
为正值
上的位相值沿x正向增加
这一强度分布具有空间周期性， 在x方向和y方向的空间周期分别为： dx
cos 2 cos 1
,
dy
cos 2 cos 1
空间频率为 cos 2 cos 1 u ,
v
cos 2 cos 1
3. 衍射光波的空间频率 (Spatial frequency of diffraction Lightwave )
为钝角， cos 0
u cos
xy平面 z=z0或z 0平面
为负值
上的位相值沿x正向减小
空间频率的正负，仅表示平 面波的传播方向不同
2.平面波传播方向余弦为cos ,cos 的情况
( x, y ) A exp i 2 z cos exp i 2 x cos y cos E 0 2 A exp i x cos y cos
x
2
y
cos
2
1 u dx 1 dy
cos sin y
sin x
平面波矢量在xz平面内时，
u
sin x
0
空间周期的物理意义：（在z=0平面内讨论） 1）平面波沿k方向的空间周期；平面波沿任意方向 r 的空间周期。
y方向上
v 1 0 dy
( x) A exp i2 ux E
u
cos
为锐角， cos 0
u cos
xy平面 z=z0或z 0平面
为正值
上的位相值沿x正向增加
这一强度分布具有空间周期性， 在x方向和y方向的空间周期分别为： dx
cos 2 cos 1
,
dy
cos 2 cos 1
空间频率为 cos 2 cos 1 u ,
v
cos 2 cos 1
3. 衍射光波的空间频率 (Spatial frequency of diffraction Lightwave )
为钝角， cos 0
u cos
xy平面 z=z0或z 0平面
为负值
上的位相值沿x正向减小
空间频率的正负，仅表示平 面波的传播方向不同
2.平面波传播方向余弦为cos ,cos 的情况
( x, y ) A exp i 2 z cos exp i 2 x cos y cos E 0 2 A exp i x cos y cos
x
2
y
cos
2
1 u dx 1 dy
cos sin y
sin x
平面波矢量在xz平面内时，
u
sin x
0
空间周期的物理意义：（在z=0平面内讨论） 1）平面波沿k方向的空间周期；平面波沿任意方向 r 的空间周期。
光学经典理论傅里叶变换
光学经典理论｜傅里叶光学基础2018-02-24 17:00今天的光学经典理论为大家带来的是傅里叶光学基础，傅里叶光学是现代光学的一个分支，将电信理论中使用的傅里叶分析方法移植到光学领域而形成的新学科。
光学人们可以看看！在电信理论中，要研究线性网络怎样收集和传输电信号，一般采用线性理论和傅里叶频谱分析方法。
在光学领域里，光学系统是一个线性系统，也可采用线性理论和傅里叶变换理论，研究光怎样在光学系统中的传播。
两者的区别在于，电信理论处理的是电信号，是时间的一维函数，频率是时间频率，只涉及时间的一维函数的傅里叶变换；在光学领域，处理的是光信号，它是空间的三维函数，不同方向传播的光用空间频率来表征，需用空间的三维函数的傅里叶变换。
包含内容60年代发明了激光器，使人们获得了新的相干光源后，傅里叶光学无论在理论和应用领域均得到了迅速发展。
傅里叶光学运用傅里叶频谱分析方法和线性系统理论对广泛的光学现象作了新的诠释。
其主要内容包括标量衍射理论、透镜成像规律以及用频谱分析方法分析光学系统性质等。
推导演示一个光学信息系统和一个电学信息系统有许多相同之处，它们都是收集信息和传递信息，它们都有共同的数学工具──线性系统理论和傅里叶分析。
从信息论角度,关心的是信息在系统中传递过程;同样，对一个光学系统来讲，物和像的关系，也可以根据标量衍射理论由系统中光场的传播来确定，因此光学系统可以看成一个通信信道。
这样，通信理论中已经成熟的线性系统理论可以用来描述大部分光学系统。
当物体用非相干光照射时，在系统像平面上强度分布与物体上强度分布成线性（正比）关系。
而用来描述电学系统的脉冲响应h(t，τ)概念，即系统对一窄脉冲δ(t)（狄喇克δ函数）的响应，也可以用来描述光学系统，即用光学系统对点光源δ(x，y)的响应(点光源的像)h(x,y；ξ，η)来描述系统的性质，两者的区别仅仅在于电学系统的脉冲响应是时间一维函数，光学系统的脉冲函数是空间二维函数，另外两者都具有位移不变性，前者分布不随时间位移而变，后者分布不随空间位移而变（即等晕条件）。
光学_郭永康_第六章1傅里叶变换
注意：频谱取一系列分立的值。
二. 任意光栅的屏函数及其傅里叶级数展开
严格空间周期性函数的衍射屏 (透射式或反射式) 光栅
一 周期性 T (x d) T (x)
正弦光栅 黑白光栅
维 衍 射
尺寸D 有限
x
D , or
N
D
其他屏函数
1
2
d
屏
在一定的较大范围内的周期函数—准周期函数
(1) 正弦余弦式
x a
)
1 0
x x
a 2
a
2
傅 二维矩形函数
里 叶
rect(
x a
)rect(
y b
)
1 0
xa,y b 22
其它各处
变
圆函数 circ(
x2 y2 1 )
x2 y2 a
a
0 其它各处
换 对
1cos(2f0 x ) g( x )
x L 2 L
0
x 2
高斯函数 g(x) exp(ax2 )
一幅图像是一种光的强度和颜色按空间的分布，这种 分布的特征可用空间频率表明。把图象看作是由各种 方向、各种间距的线条组成。
2. 空间频谱（spatial frequency spectrum）
简谐振动是最简单的周期性运动，几个简谐运动可合 成一个较复杂的周期性运动。 傅里叶分析：已知一周期性运动，求组成它的各个简 谐运动频率及相应振幅的方法。 所得的频率及相应振幅的集合为该周期性运动的频谱。
阿贝成像原理 Abbe imaging principle
空间频谱滤波 spatial frequency filtering 光全息术 holography
CH 6-1
二. 任意光栅的屏函数及其傅里叶级数展开
严格空间周期性函数的衍射屏 (透射式或反射式) 光栅
一 周期性 T (x d) T (x)
正弦光栅 黑白光栅
维 衍 射
尺寸D 有限
x
D , or
N
D
其他屏函数
1
2
d
屏
在一定的较大范围内的周期函数—准周期函数
(1) 正弦余弦式
x a
)
1 0
x x
a 2
a
2
傅 二维矩形函数
里 叶
rect(
x a
)rect(
y b
)
1 0
xa,y b 22
其它各处
变
圆函数 circ(
x2 y2 1 )
x2 y2 a
a
0 其它各处
换 对
1cos(2f0 x ) g( x )
x L 2 L
0
x 2
高斯函数 g(x) exp(ax2 )
一幅图像是一种光的强度和颜色按空间的分布，这种 分布的特征可用空间频率表明。把图象看作是由各种 方向、各种间距的线条组成。
2. 空间频谱（spatial frequency spectrum）
简谐振动是最简单的周期性运动，几个简谐运动可合 成一个较复杂的周期性运动。 傅里叶分析：已知一周期性运动，求组成它的各个简 谐运动频率及相应振幅的方法。 所得的频率及相应振幅的集合为该周期性运动的频谱。
阿贝成像原理 Abbe imaging principle
空间频谱滤波 spatial frequency filtering 光全息术 holography
CH 6-1
光学_郭永康_第六章1.傅里叶变换
2. 空间频谱（spatial frequency spectrum） 简谐振动是最简单的周期性运动，几个简谐运动可合 成一个较复杂的周期性运动。 傅里叶分析：已知一周期性运动，求组成它的各个简 谐运动频率及相应振幅的方法。 所得的频率及相应振幅的集合为该周期性运动的频谱。 注意：频谱取一系列分立的值。
原函数
缝函数
x rect ( ) a 0
1
频谱函数
a 2 a x 2 x
asinc ( af )
absinc (af x )sinc (bf x )
aJ 1 ( 2a f x f y )
2 2
傅 里 叶 变 换 对
二维矩形函数 1 x y rect( )rect( ) a b 0
1 2
1 2
g ( x) exp (ax )
(x)
1
1
2f 2 exp( ) a a
函数
常数
( f )
函数 定义：
( x) 0
x0 x0
( x) dx 1
单缝函数在缝宽趋于零时的极限
函数---点光源
T ( x)
{0
1
md x (2m 1)d / 2, m 0,1,2
其他
展开为傅里叶级数
1 2 2 2 T ( x) sin( 0 x) sin( 3 0 x) sin( 5 0 x) 2 3 5 v0 0 / 2 1 / d 0 2 / d
Contents
chapter 6
傅里叶变换 Fourier transformation 衍射理论中的傅里叶方法 the method of Fourier in diffraction theory 理想薄透镜的傅里叶变换作用 Fourier transform in the thin lens 阿贝成像原理 Abbe imaging principle 空间频谱滤波 spatial frequency filtering 光全息术 holography
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令 / 0 k
d sin 2 2 k 0 sin d
sin x v 2 f
振幅 1/2
1/π -5ω0 -3ω0 -ω0 ω0 3ω0 5ω0 1/3π 1/5π
振幅频谱
ω
-1/5π -1/3π
-1/π
功率 1/4
（1/π)2 （1/3π）2 （1/5π）2 （1/π）2 （1/3π）2 （1/5π）2
g ( x) 是G(f )的逆傅里叶变换
g ( x) F {G( f )}
1
g ( x) 为周期函数等间隔的离散的线状谱 g ( x) 为非周期函数连续频谱
总结 傅里叶变换：将函数 g ( x )分解成一系列基元函数 G ( f ) 的线性组合的方法 线性系统 能够应用叠加原理的物理系统 （许多光学系统都可视为这种系统） 一个复杂输入激励引起的输出响应 (1) 激励分解为一系列简单的基元函数的线性组合 (2) 分别计算系统对每个基元输入的响应 (3) 把所有基元响应叠加起来 --得到总响应
原函数
缝函数
x rect ( ) a 0
1
频谱函数
a 2 a x 2 x
asinc ( af )
absinc (af x )sinc (bf x )
aJ 1 ( 2a f x f y )
2 2
傅 里 叶 变 换 对
二维矩形函数 1 x y rect( )rect( ) a b 0
g ( x)
i 2 fx G ( f ) e df
G( f ) F {g ( x)}
G( f )
g ( x)ei 2 fx dx
G ( f ) 为频率f 附近单位频率间隔的振幅。它表征该成分 对 g ( x) 贡献的大小——权重因子 G ( f ) －f 曲线为振幅随频率的分布 G ( f ) 称为 g ( x) 的频谱函数
1 2
1 2
g ( x) exp (ax )
(x)
1
1
2f 2 exp( ) a a
函数
常数
( f )
函数 定义：
( x) 0
x0 x0
( x) dx 1
单缝函数在缝宽趋于零时的极限
函数---点光源
T ( x)
{0
1
md x (2m 1)d / 2, m 0,1,2
其他
展开为傅里叶级数
1 2 2 2 T ( x) sin( 0 x) sin( 3 0 x) sin( 5 0 x) 2 3 5 v0 0 / 2 1 / d 0 2 / d
二. 任意光栅的屏函数及其傅里叶级数展开 严格空间周期性函数的衍射屏 (透射式或反射式) 光栅 一 维 衍 射 屏 周期性 T ( x d ) T ( x)
正弦光栅 黑白光栅 其他屏函数
D D 尺寸D 有限 x , or N 1 2 d
在一定的较大范围内的周期函数—准周期函数 (1) 正弦余弦式 T ( x) T0 an cos 2f n x bn sin 2f n x 的 一 傅维 n 0 n 0 里周 f1 1 / d 基频 叶期 级函 f n nf1 n / d n次波频率 数数
a b x ,y 2 2
其它各处
x 2 y 2 a
x2 y2 1 ) 圆函数 circ ( a 0
其它各处
fx fy
2
2
g( x ) 0
高斯函数
1 cos(2f 0 x )
L 2 L x 2 x
2
( f ) ( f f0 ) ( f f0 )
n,m0
~ Tn ,m
Байду номын сангаас
1 d xd y
d 2 d 2
dx dyT ( x, y ) exp[ 2i( nf x x mf y y )]
d 2 d 2
1 1 fx , fy dx dy
例：振幅型透射光栅的傅里叶级数展开 光栅常数： d 2b 透射率 T ( x) ： --空间周期为d 的函数 --空间位置 x 有确定的函数关系
n 0 2
cn
bn cn a n b n , n tan an
2 1
n
an
bn
屏函数为实函数 (3) 指数式
T , T T T n n n n
i ( 2f n x n ) n0
T ( x) T0 Tn e
~ i 2f n T0 Tn e
ω0
功率频谱
-5ω0 -3ω0 -ω0
3ω0 5ω0
ω
以一束单色平行光照射光栅，在其后的透镜焦平面上 得到的光强分布与该光栅本身的透射函数的傅里叶功 率谱相同。 在焦面上的亮点代表直流成分，每一对亮点代表光栅 的一个空间频率。
x v f
非周期函数： g ( x )
任意屏函数的傅里叶展开
满足狄利克雷条件并在无穷区间 (, ) 绝对可积 一系列基元函数的线性积分 形式 G(f )是g(x)的傅立叶变换
空间频率：单位长度内变化的次数。
注意：时间频率只有一维，为正；空间频率有三维， 可正可负。
1 2 2 2 T ( x) sin( 0 x) sin( 3 0 x) sin( 5 0 x) 2 3 5
表示一个周期为d 的黑白光栅可看成由频率 0 1/ d 及3 0 , 5 0 许多正弦光栅（强度按正弦分布）组成。
2. 空间频谱（spatial frequency spectrum） 简谐振动是最简单的周期性运动，几个简谐运动可合 成一个较复杂的周期性运动。 傅里叶分析：已知一周期性运动，求组成它的各个简 谐运动频率及相应振幅的方法。 所得的频率及相应振幅的集合为该周期性运动的频谱。 注意：频谱取一系列分立的值。
1 d T0 2d T ( x)dx, d 2 2 d an 2d T ( x) cos 2f n xdx, d 2 2 bn T ( x) sin 2f n xdx d
d 2 d 2
(2) 余弦相移式
T ( x) T0 cn cos( 2f n n )
Contents
chapter 6
傅里叶变换 Fourier transformation 衍射理论中的傅里叶方法 the method of Fourier in diffraction theory 理想薄透镜的傅里叶变换作用 Fourier transform in the thin lens 阿贝成像原理 Abbe imaging principle 空间频谱滤波 spatial frequency filtering 光全息术 holography
CH 6-1
傅里叶变换
Fourier transform
6.1 傅里叶变换
一、光学图像的傅里叶频谱分析
1. 空间频率
在光学信息处理中，光学系统所传递和处理的信息是 随空间变化的函数。
一幅图像是一种光的强度和颜色按空间的分布，这种 分布的特征可用空间频率表明。把图象看作是由各种 方向、各种间距的线条组成。
n0
1 ~ i n 傅里叶系数由 Tn Tn e (an ibn ) 2 积分直接给出 d 1 ~ Tn 2d T ( x) exp( i 2f n x)dx d 2
T n
原函数 T ( x) 中各种空间频率的成分所占比例
二 维 周 期 函 数
~ T ( x, y ) T0 Tnm exp[ 2i(nf x x mf y y )]