极限与连续
高数函数极限与连续
通常用符号"lim(x->x0) f(x) = f(x0)"表示函数f(x)在点x0处连 续。
间断点类型及判定方法
第一类间断点
左右极限都存在，包括可去间断 点（左右极限相等但不等于函数 值）和跳跃间断点（左右极限不 相等）。
第二类间断点
左右极限至少有一个不存在，包 括无穷间断点（极限为无穷大） 和震荡间断点（极限震荡不存 在）。
高数函数极限与连续
contents
目录
• 函数极限概念与性质 • 数列极限与收敛性判断 • 函数连续性概念与性质 • 闭区间上连续函数性质研究 • 极限与连续在实际问题中应用 • 总结回顾与拓展延伸
01 函数极限概念与性质
函数极限定义及表示方法
函数极限的定义
设函数f(x)在点x0的某一去心邻域内有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数 ε（无论它多么小），总存在正数δ，使得当x满足不等式0<|x-x0|<δ时，对应的函 数值f(x)都满足不等式|f(x)-A|<ε，那么常数A就叫做函数f(x)当x→x0时的极限。
数列极限的符号表示
若数列{an}的极限为a，则记作lim(n→∞)an=a。
收敛数列性质与判定定理
1 2 3
收敛数列的有界性
收敛数列一定是有界数列，但反之不一定成立。
收敛数列的保号性
若数列收敛于a，且a>0（或a<0），则存在正 整数N，使得当n>N时，数列的通项an也大于0 （或小于0）。
判定定理
洛必达法则
对于0/0型或∞/∞型的未定式极限，可通过 求导后求极限来解决。
因式分解法
通过因式分解简化数列的通项表达式，进而 求极限。
数学极限和连续性：极限和连续性的概念
数学极限和连续性：极限和连续性的概念数学是一门与数和空间相关的学科，其基础理论体系非常庞大而复杂。
其中，数学极限和连续性是数学分析的基石，它们在解决各种问题和证明数学定理时起着重要的作用。
1. 数学极限的概念及性质数学极限是数学分析中一个重要的概念，用来描述函数序列或数列逐渐趋于无穷或某个特定值的过程。
在实际应用中，数学极限可以帮助我们解决各种求解极限问题的困扰。
在数学中，对于函数序列{fn(x)}，若存在一个实数L，使得当x趋于某个数值a时，{fn(x)}中的函数值逐渐趋近于L，我们称L是该函数序列在点a处的极限。
数学表示为：lim(fn(x)) = L (当x趋于a时)对于数列{an}，若存在一个实数L，使得当n趋于无穷大时，数列{an}的元素逐渐趋近于L，我们称L是该数列的极限。
数学表示为：lim(an) = L (当n趋于无穷大时)数学极限具有一些重要的性质，包括唯一性、局部有界性和保序性。
唯一性指的是函数序列或数列的极限是唯一确定的，且局部有界性指的是如果一个函数序列或数列在某个点处存在极限，则该序列在该点的某个邻域内有界。
此外，保序性指的是函数序列或数列满足保序关系，即如果函数序列或数列存在极限，则其极限所代表的大小关系也成立。
2. 连续性的概念及重要性连续性是数学中另一个重要概念，用于描述函数在某一点附近的平滑程度。
在应用数学中，连续性对于描述物理和自然现象非常重要。
在数学中，对于函数f(x)，若它在某一点a的邻域内存在极限，并且该极限等于f(a)，则我们称函数f(x)在点a处连续。
即数学表示为：lim(f(x)) = f(a) (当x趋于a时)连续性具有一些重要的性质，如初等函数的连续性、复合函数的连续性和反函数的连续性。
这些性质使得我们能够在数学分析中对函数的连续性进行更深入的研究，进而推导和证明各种数学定理。
3. 极限和连续性的应用极限和连续性的概念在数学的各个领域中都有广泛的应用。
函数的极限函数的连续性
lim[ f ( x) g ( x)] A B
x xo
lim[ f ( x)] [ lim f ( x)]
n x xo
n
这些法则对于的情况仍然适用
函数在一点连续的定义: 如果函数f(x)在 点x=x0处有定义， xlim f(x)存在，且 x lim f(x)=f(x )，那么函数f(x)在点x=x
例2求下列函数的极限：
3x 1 lim x ( x 1) 3
2
x 1 lim 2 x2 x x 2
2
x 1 lim 2 x 1 2 x x 1
2
x2 3 1 lim ( 2 ) x 1 x 1 x 1
（1）讨论函数
1 ( x 0), f（ x ） = ( x 0), 在点x 0处的连续性 ; 0 1 ( x 0) x （2）讨论函数f（x）= 在区间 x3
lim f ( x) a lim f ( x) lim f ( x) a
x x0 x x0
f ( x ) a 其中 xlim 表示当 x 从左侧 x0 趋近于x0时的左极限， lim f ( x) a 表示当x从右侧趋近 x x0 于x0时的右极限
对于函数极限有如下的运算法则： 如果， lim f ( x) A, lim g ( x)
极限问题的基本类型： 分式型，主要看分子和分母的首项系 数； 0 指数型( 0 和 型），通过变形使得 各式有极限； 根式型(∞─∞型)，通过有理化变形使 得各式有极限；
例1 求下列极限
4 1 lim ( x2 4 x 2 ) x2
x lim x0 | x |
cos x . lim x π cos sin x x 2 2 2
函数连续和极限存在的关系
函数连续和极限存在的关系
函数连续必须有两个条件：一个是在此处有定义，另外一个是在此区间内要有极限。
因此说函数有极限是函数连续的必要不充分条件。
函数在某点存在极限，只要左右极限存在且相等，而与该点是否有定义无关。
函数在某点连续，则要求左右极限存在且相等，且都等于该点的函数值。
函数极限是高等数学最基本的概念之一，导数等概念都是在函数极限的定义上完成的。
函数极限性质的合理运用。
常用的函数极限的性质有函数极限的唯一性、局部有界性、保序性以及函数极限的运算法则和复合函数的极限等。
函数y=f(x)当自变量x的变化很小时，引起的因变量y的变化也很小。
因变量关于自变量是连续变化的，可用极限给出严格描述，设函数y=f(x)在x0点附近有定义，如果有lim(x->x0) f(x)=f(x0)，则称函数f在x0点连续。
在某点连续的有限个函数经有限次和，差，积，商运算，结果仍是一个在该点连续的函数。
连续单调递增函数的反函数，连续单调递增。
连续函数的复合函数是连续的。
高中数学中的极限与连续性
高中数学中的极限与连续性在高中数学中，极限与连续性是两个重要的概念。
它们不仅在数学领域有着广泛的应用，而且在其他学科中也起到了关键的作用。
本文将探讨这两个概念的内涵和应用，并解释它们在实际生活中的意义。
一、极限的概念极限是数学分析中的一个基本概念，用于描述函数在某一点附近的行为。
在数学中，我们经常遇到一些无法直接计算的问题，而通过极限的概念，我们可以对这些问题进行更深入的研究和分析。
极限的定义是：对于任意给定的正数ε，存在一个正数δ，使得当x与a的距离小于δ时，函数f(x)与L的距离小于ε。
简单来说，极限表示函数在某一点的值无论多么接近某个值，都可以通过选择足够接近的自变量来实现。
极限的概念在微积分中有着重要的应用。
例如，在求导过程中，我们需要计算函数在某一点的斜率。
通过极限的概念，我们可以定义导数，进而求得函数在任意一点的导数。
此外，极限还在数列和级数的研究中起到了关键作用。
数列的极限是指当n趋向于无穷大时，数列的值趋近于某个常数。
级数的极限则是指当级数中的项数无限增加时，级数的和趋近于某个常数。
通过研究数列和级数的极限，我们可以了解它们的性质和收敛性。
二、连续性的概念连续性是函数的一个重要性质，它描述了函数在定义域上的无间断性。
在数学中，连续性是指函数在某一点的函数值与该点的极限值相等。
换句话说，如果一个函数在某一点连续，那么它在该点附近的函数值与该点的极限值非常接近。
连续性的概念在微积分和实分析中有着广泛的应用。
例如，在求定积分的过程中，我们需要将函数分成无穷小的小矩形，并将它们的面积加起来。
如果函数在整个区间上连续，那么这个过程是可行的。
但如果函数在某些点上不连续，我们就需要通过分段函数的方法来处理。
连续性还在微分方程的研究中发挥了重要的作用。
微分方程描述了自然界中很多现象的变化规律，而连续性保证了我们可以对这些变化进行准确的描述和预测。
通过研究微分方程的连续性，我们可以了解函数的解在整个定义域上的行为。
函数的极限函数的连续性
对于函数极限有如下的运算法则：
如果，lim f (x) A, lim g(x) B
xxo
xxo
那么,
lim [ f (x) g(x)] A B
xxo
lim [ f (x) g(x)] A B
xxo
f (x) A
lim
(B 0)
xxo g(x) B
当C是常数，n是正整数时 lim [Cf (x)] C lim f (x)
1 (x 0)
（2）讨论函数f（x）= ［0,3］上的连续性
x x3
在区间
例7 讨论下列函数在给定点处的连
续性 （1）f (x) x2 4
x2
点x 2；
（2）f (x)
x 2
1,0 x,1
x x
1，
3
点 x 1 ；
； https:///gpcq/ 除权
极限问题的基本类型：
分式型，主要看分子和分母的首项系 数指各；数式型有(极00限和； 型），通过变形使得 根式型(∞─∞型)，通过有理化变形使 得各式有极限；
例1 求下列各极限
lim
x2
(
4 x2
4
x
1
) 2
x lim x0 | x |
lim
xπ 2
co
s
cos x 2
x s in
记作 lim f(x)=a或者当x→－∞时，f(x)→a x
(3)如果
lim
x
f(x)=a且
lim
x
f(x)=a，那么就
说当x趋向于无穷大时，函数f(x)的极限
是a，记作：lim f(x)=a或者当x→∞时， x
函数极限连续重要概念公式定理
函数极限连续重要概念公式定理函数的极限、连续是微积分中非常重要的概念。
它们是帮助我们研究函数性质、计算导数和积分的基础。
下面我们将详细介绍函数极限和连续的概念、常用公式和定理。
一、函数极限函数的极限是指当自变量趋向一些特定值时，函数的取值是否趋于确定的结果。
极限表示函数在其中一点的趋势和变化情况。
函数极限的概念可以分为以下几个层次：1.无穷极限当自变量趋向无穷大或无穷小时，函数的极限称为无穷极限。
常见的无穷极限有以下几种形式：- 当$x\rightarrow+\infty$时，$\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=L$，表示当$x$趋向正无穷时，函数$f(x)$的极限为$L$。
- 当$x\rightarrow-\infty$时，$\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)=L$，表示当$x$趋向负无穷时，函数$f(x)$的极限为$L$。
- 当$x\rightarrow+\infty$时，$\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=+\infty$，表示当$x$趋向正无穷时，函数$f(x)$的极限为正无穷。
- 当$x\rightarrow-\infty$时，$\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)=-\infty$，表示当$x$趋向负无穷时，函数$f(x)$的极限为负无穷。
2.有限极限当自变量趋向一些有限值时，函数的极限称为有限极限。
常见的有限极限有以下形式：- 当$x\rightarrow a$时，$\lim_{x\rightarrow a}f(x)=L$，表示当$x$趋向$a$时，函数$f(x)$的极限为$L$。
3.间断点函数在一些点上不具有有限的极限时，称该点为函数的间断点。
常见的间断点有以下几种类型：- 第一类间断点：当$x\rightarrow a$时，函数极限不存在且左右极限存在，即$\lim_{x\rightarrow a^-}f(x)$和$\lim_{x\rightarrowa^+}f(x)$存在，但不相等。
连续一定有极限吗
连续一定有极限吗
连续一定有极限，但反过来有极限，不一定连续函数在某一点连续的定义就是在该点极限存在从而连续的函数一定存在极限；第二句话，连续函数一定有界。
这句话必须加一个前提，是闭区间连续函数必有界而且有最大值最小值。
不加是错的，连续但无界因此说函数有极限是函数连续的必要不充分条件。
至于函数在区间上的连续，开区间两个端点处是否连续并不要求；闭区间的在左端点要求右连续，右端点要求左连续。
在某一邻域内有定义。
我们知道，极限是有左极限和有极限的，而有定义，则需要此时的左极限=右极限。
因此，有极限是不一定连续的。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
微元法在几何上的应用
一、复习：i i n
i x f ∆∑
=→)(lim
1
ξλ＝⎰b
a
dx x f )(
二、定积分的基本思想
定积分是一个实数，为何选用⎰b
a dx x f )(这么复杂的式子表示呢？
事实上，定积分的基本思想主要包括两方面的内容，一是将区间细分成若干个子区间(指闭子区间，以下同)，在每个子区间] ,[1i +x x i 上，以子区间上任一点i ξ的不变函数值)(i f ξ替代整个子区间的变化函数值)(x f ，即以不变代变；二是将区间无限细分下去，对从各子区间上选取的不变函数值)(i f ξ与相应的区间长度i x ∆的乘积)(i f ξi x ∆的和求极限，即无限求和。
对在] ,[b a 上的可积函数)(x f y =(例如连续函数)，定积分⎰b
a dx x f )(必
然存在，由极限的唯一性，我们在每个子区间] ,[1i +x x i 上选择左端点的函数值)(i x f 替代)(i f ξ ，这样⎰b
a dx x f )(＝i i n
i x f ∆∑=→)(lim 1
ξλ，可简化为⎰b
a
dx
x f )(＝i i n i x x f ∆∑=→)(lim 1
λ。
本质上，在i i n
i x x f ∆∑=→)(lim 1
λ中的下标i 是个序号，并不反
映什么实质性的东西。
如果将原先细分的若干子区间中的任一子区间
] ,[1i +x x i 用] ,[dx x x +表示，则i i n
i x x f ∆∑=→)(l i m 1
λ简写为∑→dx x f )(lim 0
λ，即
⎰
b
a
dx x f )(＝∑→dx x f )(lim 0
λ，因此，定积分的基本思想可简述为：
(1) 细分] ,[b a 。
将] ,[b a 分成若干个子区间，在任意子区间] ,[dx x x +上，
dx x f dA )(=,即以不变的左端点x 的函数值)(x f 代替在] ,[dx x x +上变化的函数
值)(t f (] ,[dx x x t +∈)，并称dx x f dA )(=为A 的微元。
(2)无限求和。
将dx x f dA )(=从a 无限求和到b ，得⎰⎰==b
a
b
a
dx x f dA A )(，
即将所有子区间上的微元dx x f dA )(=相加并通过无限细分来消除dA 与A ∆间的误差。
通俗地说，记号“⎰
b
a
”具有“求和∑”和“求极限0
lim →λ”双重功能，即
将dx x f dA )(=从a 无限求和到b ，得⎰⎰==b
a
b
a
dx x f dA A )(。
三、微元法
应用以上简述的“细分”和“无限求和”两步解决问题的方法称为微元法或元素法。
微元法是一种简化了的运用定积分解决实际问题的方法，这种简化了的方法非常实用，但使用它的前提是该定积分已经存在。
事实上，在实际问题中，判断定积分是否存在并不困难。
由第二章的定理7.5知，闭区间上的连续函数的定积分是存在的，换言之，如果实际问题中的各变量间的变化是连续不断的，则相关的定积分是存在的。
通常，实际问题中的各变量间的变化是连续不断的。
因此，解实际问题时，一般并不特别强调判断定积分是否存在。
四、一个重要的思维模式
⎰=
b
a
dA A 解之得
五、微元法的思想实质
1、常量问题变量化，将特殊问题转化为一般问题；
2、发挥微分的巨大威力，在微小区间上求出函数的微分（即微元）；
3、运用积分工具求出常量。
六、用微元法求面积
1、选择垂直于x 轴取面积微元
例：求由曲线2x y =与22x x y -=所围成图形的面积。
2、选择垂直于y 轴取面积微元
例：求由曲线2x y =，2)2(-=x y 与x 轴所围成的平面图形的面积。
七、利用定积分求旋转体的体积
旋转体是指平面图形绕平面上某一条轴旋转而成的空间体。
下面讨论由曲线
)(x f y =，直线b x a x ==,及x 轴所围成的曲边梯形，绕x 轴旋转而成的旋转体
的体积。
(1)细分] ,[b a 。
区间] ,[b a 上的曲边梯形绕x 轴的
旋转体，可看成是] ,[b a 的各个子区间上的小曲边梯形绕x 轴的小旋转体拼积而成。
在任意一个子区间
] ,[dx x x +上的小旋转体，以图2.1底面半径为)(x f y =，高为dx 的小圆柱体近似替代小旋转体。
故小旋转体的体积近似为dx x f dx y dv 22)]([ππ==。
(2) 无限求和。
将dx x f dv 2)]([π=从a 无限求和到b 可得旋转体体积
⎰⎰==b
a
b
a
dx x f dv v 2 )]([π。
例：
1、求由抛物线2x y =、直线1=x 和x 轴所围成的图形绕x 轴和y 轴旋转所形
成的旋转体的体积。
说明：
一般情况下，旋转体绕x 轴旋转，就以x 作为积分变量；旋转体绕y 轴旋转，就以y 作为积分变量。
练习：（请学生到黑板上做，然后教师点评）
1、分别求抛物线42
x y =与直线1=y 及0=x 围成的图形绕x 轴和y 轴旋转一周而
成的旋转体体积。
2、物线x y 8=及其在点(2,4)处的法线和x 轴所围成图形绕x 轴旋转一周所成的旋转体的体积。
八、小结：
运用微元法求常量的步骤
1）定出积分变量及积分区间； 2）在任一小区间上求出微元；
3）在积分区间上将微元无限累加（即求定积分），可得所求常量。