试题三(非线性方程迭代法收殓性_影子价格lag函数)
非线性编程考试试题及答案
非线性编程考试试题及答案一、选择题1.下列哪个选项最准确地描述了非线性编程?A. 一种程序设计方法，用于解决涉及非线性问题的数学模型B. 一种编程语言，专门用于处理非线性系统C. 一种算法，用于优化非线性目标函数D. 一种数据结构，用于表示非线性数据2.在非线性编程中，下列哪种方法适用于求解无约束非线性优化问题?A. 二分法B. 牛顿法C. 分治法D. 动态规划法3.非线性编程中的“约束条件”是指什么?A. 一组限制条件，用于限制非线性方程的解B. 一组限制条件，用于限制非线性优化问题的解C. 一组限制条件，用于限制非线性函数的定义域D. 一组限制条件，用于限制非线性函数的值域4.下列哪个选项最准确地描述了拉格朗日乘子法在非线性编程中的作用?A. 用于求解非线性优化问题的一种优化算法B. 用于求解非线性方程组的一种数值方法C. 用于求解非线性约束优化问题的一种数值方法D. 用于求解非线性规划问题的一种算法5.在非线性编程中，什么是目标函数?A. 一个线性函数，用于度量非线性问题的优劣B. 一个非线性函数，用于度量非线性问题的优劣C. 一个线性函数，用于度量非线性优化问题的优劣D. 一个非线性函数，用于度量非线性优化问题的优劣二、填空题1.牛顿法是一种求解非线性方程的数值方法，其基本思想是利用函数的__二阶导数__来逼近函数的零点。
2.在非线性编程中，拉格朗日乘子法可以有效地处理含有__不等式约束__的非线性优化问题。
3.在非线性编程中，KKT条件是检验一个解是否为最优解的__必要条件__。
三、简答题1.简要介绍一下非线性编程的基本概念及应用领域。
非线性编程是一种程序设计方法，主要用于解决涉及非线性问题的数学模型。
其应用领域广泛，包括但不限于经济学、物理学、工程学等领域。
通过非线性编程，我们可以求解非线性最优化问题、非线性方程组、非线性约束优化问题等，从而得到问题的最优解或者满足一定约束条件的解。
数值分析期末考试试卷
数值分析期末考试试卷一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 在数值分析中，下列哪个方法用于求解线性方程组的近似解？A. 插值法B. 高斯消元法C. 傅里叶级数D. 泰勒级数2. 以下哪个算法用于数值积分？A. 牛顿迭代法B. 梯形法则C. 欧拉方法D. 辛普森法则3. 对于非线性方程的求解，牛顿法的收敛速度通常为：A. 线性收敛B. 二次收敛C. 线性收敛或二次收敛D. 指数收敛4. 在最小二乘法中，下列哪个选项描述了法方程？A. 矩阵方程 Ax = bB. 矩阵方程Ax = λxC. 矩阵方程 A^TAx = A^TyD. 矩阵方程 A^Tb = Ax5. 以下哪个数值方法是用于求解微分方程的？A. 欧拉方法B. 辛普森法则C. 高斯消元法D. 梯形法则6. 插值法中，拉格朗日插值多项式的主要缺点是：A. 计算复杂B. 计算量小C. 稳定性好D. 稳定性差7. 在数值分析中，条件数是用来衡量什么的？A. 算法的稳定性B. 算法的复杂度C. 算法的收敛性D. 算法的准确性8. 以下哪个方法不是用于求解线性方程组的迭代方法？A. 雅可比迭代法B. 高斯-塞德尔迭代法C. 牛顿迭代法D. 逐次超松弛法9. 在数值分析中，下列哪个方法用于求解特征值问题？A. 幂迭代法B. 高斯消元法C. 牛顿迭代法D. 梯形法则10. 对于线性方程组 Ax = b，若 A 是奇异矩阵，则该方程组：A. 有唯一解B. 有无穷多解C. 无解D. 无法确定二、填空题（每题4分，共20分）11. 在数值分析中，条件数的计算公式为 ________。
12. 高斯消元法中，主元选取的目的是为了避免 ________。
13. 牛顿法的迭代公式为 x_{n+1} = x_n - ________。
14. 辛普森法则用于数值积分时，其误差与 ________ 成正比。
15. 拉格朗日插值多项式中，插值点的数量为 n 时，多项式的阶数为________。
计算方法：非线性方程迭代求解.
1. 化工实际问题的提出
饱和蒸气压是我们经常要用到的数据，虽然我们可以通过实验测量来 获取饱和蒸气压的数据，但我们通常利用前人已经测量得到的数据或 回归的公式来获取，这可以减轻我们大量的基础实验工作。公式 (2) 是一种常用的饱和蒸气压计算公式：
B Dp ln p A C ln T 2 T T
误差 分析：
x1 ab 2
§2 Bisection Method
ba |x x*| 第1步产生的 有误差 1 2 ba |x x*| k 第 k 步产生的 xk 有误差 2k
对于给定的精度 ,可估计二分法所需的步数 k ： ①简单; ② 对f (x) 要求不高(只要连续即可) . ①无法求复根及偶重根 ② 收敛慢
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逐步扫描法求根的初始近似值
用数值法求方程的根可分为两步，首先要找出根的某个近 似值，又称为“初始值”，然后再采用特定算法将初始值 逐步接近真实值，直到获得满足要求的结果。 逐步扫描法
y
y
y = f (x)
y = f (x)
a+h
③ 当k 时， xk 收敛到 x* ？
| x * xk | | g( x*) g( xk 1 ) | | g(ξ k 1 ) | | x * xk 1 |
L | x * xk 1 | ...... Lk | x * x0 | 0
④ | x * xk |
1 | x k 1 x k | 1 L
k
L | x1 x0 | | x * xk | 1 L
( k = 1, 2, … )
且存 x k 1 g x * x * xk
6.6 一元非线性方程的解法习题课.
第六章一元非线性方程的解法习题课一、教学目标及基本要求通过对本节课的学习，使学生掌握方程求根的数值解法。
二、教学内容及学时分配本章主要介绍方程求根的迭代法。
三、教学重点难点1．教学重点：各种方法串讲一遍，并举例说明用法。
2. 教学难点：非线性方程迭代法。
四、教学中应注意的问题多媒体课堂教学为主。
适当提问，加深学生对概念的理解迭代收敛性。
五、正文若ƒ(x)是非线性函数，则ƒ(x)=0称为一元非线性方程若ƒ(x)是多项式函数，则ƒ(x)=0称为代数方程若ƒ(x)是含超越函数，则ƒ(x)=0称为超越方程若ƒ(x*)=0，则称x*为方程ƒ(x)=0的根，或称为函数ƒ(x)的零点。
若ƒ(x)=(x-x*)k g(x), g(x*)≠0，则称x*为方程ƒ(x)=0的k重根，或称为函数ƒ(x)的k重零点。
x*为函数ƒ(x)的k重零点⇔ƒ(x*)=ƒ'(x*)=…=ƒ(k-1)(x*)=0, ƒ(k)(x*)≠01、二分法二分法或称对分法是求方程近似解的一种简单直观的方法。
问题：设函数ƒ(x)在[a, b]上连续，且ƒ(a) ƒ(b)<0，则ƒ(x)=0在[a, b]内至少有一零点，[a, b]称有根区间，若ƒ(x)=0在[a, b]内有唯一根x*，求满足精度ε要求的近似根.。
二分法的基本思想：-----计算中通过对分区间、缩小区间范围的步骤搜索零点的位置。
二分法的计算过程如下：(结合图, 教学)(1)把[a,b]二等分，分点x0=(a+b)/2,若ƒ(x 0)=0, 则实根x*=x 0，计算结束，否则若ƒ(x 0) ƒ(a)<0, 则x*∈(a,x 0), 取a 1=a,b 1=x 0, 否则x*∈(x 0,b), 取a 1=x 0,b 1=b,得有根区[a 1,b 1], 其长度是原[a,b]的一半。
(2) 重复上述步骤，把[a 1,b 1]二等分，分点x 1=(a 1+b 1)/2,若ƒ(x 1)≠0, 又的得有根区[a 2,b 2], 其长度是[a 1,b 1]的一半。
数值分析试题及答案
数值分析试题及答案填空题(2 0 X 2')II AX|| g < _15_ _。
4. 非线性方程f (x)=0的迭代函数x= (x)在有解区间满足| ' (x)| <1，则使用该迭代函数的迭代解法一定是局部收敛的。
5. 区间［a, b ］上的三次样条插值函数S(x)在［a, b ］上具有直到2—阶的连续导数。
6. 当插值节点为等距分布时，若所求节点靠近首节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的前插公式，若所求节点靠近尾节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的后插公式：如果要估计结果的舍入误差，应该选用插值公式中的拉格朗日插值公式。
n7. 拉格朗日插值公式中f(xj 的系数a i (x)的特点是：a 。
)_J ______________ ;所以i 0当系数a i (x)满足 _________ a(x)>1 __________________ ，计算时不会放大 f (xj 的误差。
8. 要使20的近似值的相对误差小于0.1%，至少要取_j4 ________ 位有效数字。
9. 对任意初始向量X 0)及任意向量g ，线性方程组的迭代公式x (k+1)=Bx (k)+g(k=0,1,…)收敛于方程组的精确解x*的充分必要条件是(B)<1 ___________________10.由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是__5 __________ 。
11. 牛顿下山法的下山条件为|f(xn+1)|v|f(xn)| _____________________ 。
12. 线性方程组的松弛迭代法是通过逐渐减少残差r i ( i =0,1,…，n)来实现的，其中的残数值分析试题1.2 i ，X设x=0.231是精确值x*=0.229的近似值，则x 有22. 位有效数字。
若 f(x)=x 7f[2 0,21,22,2 3,24,2 5,26,2 7,2 8]= —x 3 + 1 , f[2 0,21,2 2,2 3,24,2 5,26,2 7]= 13. 设，” All g,11 X || g差r i = （ b [-a i X i-a￡X2-…-a ?xj/a 已_________________________ , （i =0,1,…,n）。
第3章 解线性方程组的迭代法 习题
第3章 解线性方程组的迭代法一、填空题1. 设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=75.025.0065.0A ，则=∞→k k A lim . 2. Gauss-Seidel 迭代法解方程组⎩⎨⎧=+=+042.01532121x x x x 时，对应的迭代矩阵为 ，该迭代矩阵的谱半径)(A ρ为 .3. Gauss-Seidel 迭代法解方程组⎩⎨⎧=+-=+24.011.62121x x x x 时，对应的迭代矩阵为 ，此迭代矩阵的谱半径)(A ρ为 .二、单选题1. Jacobi 迭代法解方程组b Ax =的必要条件是（ ）.A ．A 的各阶顺序主子式不为零B ． 1)(<A ρC ．A 的对角线元素不为零D ． 1≤A2. 解方程组b Ax =的简单迭代格式g Mx x k k +=+)()1(收敛的充要条件是（ ）.A ．1)(<A ρB ．1)(<M ρC ．1)(>A ρD ．1)(>M ρ三、 判断题1. 解线性方程组时，Gauss-Seidel 迭代法比用Jacobi 迭代法效果好. ( )2. 向量序列和矩阵序列的收敛可归结为对应分量或对应元素序列的收敛性. ( )四、问答题1. Guass-Seidel 迭代法在Jacobi 迭代法的基础上进行了某种程度的加速，故若Jacobi 迭代收敛，则Guass-Seidel 迭代也必然收敛.五、计算题1. 用Jacobi 迭代法解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+--=-+-=--4258321072210321321321x x x x x x x x x ，求迭代两次所得解.2. 用Gauss-Seidel 迭代法解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+--=-+-=--4258321072210321321321x x x x x x x x x ，求迭代两次所得解.3. 用Jacobi 迭代法判断系数矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛121212112121211的线性方程组的收敛性.。
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考试课程 数学实验 2001.01.05
班级 姓名 学号 说明：（1）第1，2，3题每题10分，直接将答案填在试题纸上； （2）第4题20分，将简要解题过程和结果写在试题纸上。
1． 给定方程01sin2xx。用迭代公式1sin21kkxx求该方程在区间[0，2]内的解，则迭代是 1 阶收敛的。若取迭代初值为0x0, 则50x 1.8971943063 （精确到10位小数）。 该方程的Newton迭代公式是： x(k+1)=x(k)-(x(k)-sin2(x(k))-1)/(1-sin(2*x(k))) 迭代是 2 阶收敛的。 判敛法：(先大致估计x*取值) 1)对于任意迭代公式x(k+1)=f(x(k))，其不动点为x*
收敛的充要条件(局部收敛性定理)：f(x)在x*的一个邻域内连续、可微，且'(*)1fx，则对于该邻域内任意初值x0，序列{xk}均收敛于x* 2)若已判断其收敛，则将f(x)在x*作泰勒展开，若f’(x*)=f’’(x*)=……=f(p-1)(x*); f(p) (x*)≠0，则此迭代公式为p阶收敛 x0=0; x(1)=x0; for j=1:49 x(j+1)=sin(x(j))^2+1; end; j x(j+1) NEWTON法(2阶收敛): 对于方程f(x)=0，其牛顿法迭代公式为： ()()'()fxxxfx
x(k+1)=x(k)-(x(k)-sin2(x(k))-1)/(1-sin(2*x(k))) 2． 设,0)0(,1)0(,0sin)()(yyyexxyxyx 用数值解法算出 y(1)= 0.2714 （精确到4位小数）, 你用的方法是 龙格-库塔方法 ，调用的 Matlab命令是 ode45(@f, ts,y0) ，算法精度为 4阶 。
%待解常微分方程组函数M文件源程序： function dy=ff (x,y) dy=[y(2);y(2)*sin(x)-y(1)*exp(x)]; %应用欧拉方法和龙格-库塔方法求解该常微分方程： ts=0:0.1:1; y0=[1,0]; [x,y]=ode45(@ff, ts,y0); %龙格-库塔方法求数值解 [x, y(:,1)] 输出结果： 1.000000000000000 0.271423374882902 3. 假定取95%置信水平。从甲种汽油抽取5桶的含硫量为（%）：1.2, 1.5, 0.9, 0.8 1.3, 甲种
汽油含硫量的置信区间为（精确到4位小数） [0.7823，1.4977] ；从乙种汽油抽取4桶的含硫量为（%）：1.2, 0.8, 1.5, 1.7, 要检验：甲的含硫量小于乙，作的零假设是 H0：μ甲≥μ乙，用的Matlab命令是 ttest2(x,y) ，检验结果是 接受H0 ，作这个检验的前提是 数据来自正态总体，相互独立。 1) x=[1.2 1.5 0.9 0.8 1.3] [mux sigmax mucix sigmacix]=normfit(x) 输出结果：
mucix =
0.782280071552989 1.497719928447011 2) x=[1.2 1.5 0.9 0.8 1.3] y=[1.2 0.8 1.5 1.7] [h,sig,ci]=ttest2(x,y,[],-1) 输出结果： h=0 4. 某厂用甲、乙两种原料添加填充剂制成一种新型材料，经实验知道，新型材料的强度y主要取决于单位体积内原料甲的含量x1(千克) 和原料乙的含量x2(千克)，并得到以下数据：
y 105 150 128 125 131 129 146 129 161 138 x1 13.2 21.9 20.0 14.1 18.4 20.7 16.0 18.5 20.8 15.0 x2 15.0 20.9 13.7 19.3 17.8 14.1 24.0 18.2 25.0 25.0
在投入正式生产时得知，每千克原料甲含有毒物质5克，每千克原料乙含有毒物质1克，而单位体积新型材料中规定有毒物质不得超过100克；每千克原料甲售价300元，每千克原料乙售价400元，而生产单位体积新型材料用于购买甲、乙两种原料的成本预算限额为12,000元；由于技术原因，单位体积新型材料中原料乙的含量不得超过25千克。（精确到4位小数） （1）确定新型材料的强度y与单位体积内原料甲的含量x1和原料乙的含量x2之间的关系，并求甲、乙两种原料的含量x1，x2，在满足上述条件下使新型材料的强度y最大。 （2）如果购买甲、乙两种原料的成本预算限额增加100元，问可使新型材料的强度提高百分之几。 （3）讨论实验数据的随机误差对（1）的结果会有什么影响。 解： (1)假设函数关系为y=b0+b1*x1+b2*x2 多元线性回归： y=[105 150 128 125 131 129 146 129 161 138]; x1=[13.2 21.9 20.0 14.1 18.4 20.7 16.0 18.5 20.8 15.0]; x2=[15 20.9 13.7 19.3 17.8 14.1 24 18.2 25 25]; n=10; m=2; X=[ones(n,1),x1', x2'] [b,bint,r,rint,s]=regress(y',X) rcoplot(r,rint) 输出结果： b = 21.628865150622616 3.217510807205672 2.855253462833373
故强度y与原料甲的含量x1(千克) 和原料乙的含量x2(千克)函数关系为： 212.85533.21756289.21xxy 约束优化问题： 决策变量： 料甲的含量x1；原料乙的含量x2 目标函数： y=3.2175*x1+2.8553*x2+21.6289 约束条件： 5*x1+x2 ≤100 300*x1+400*x2≤12000 x2≤25 x1,x2 0
基本模型： max(z)= 3.2175*x1+2.8553*x2 s.t. 5*x1+x2 ≤100 300*x1+400*x2≤12000 x2≤25 x1,x2 0
c=[3.2175 2.8553]; A1=[ 5 1 ; 300 400 ; 0 1]; b1=[100;12000;25]; v1=[0 0]; [x,z,ef,out,lag]=linprog(-c,A1,b1,[],[],v1); x y1=-(z-21.6289) 输出结果： x =
16.470588235294102 17.647058823529388 y1 =
1.250106647058822e+002 优化方案： 甲：16.4706；乙：17.6471； (2) c=[3.2175 2.8553]; A1=[ 5 1 ; 300 400 ; 0 1]; b1=[100;12100;25]; v1=[0 0]; [x,z,ef,out,lag]=linprog(-c,A1,b1,[],[],v1); x y2=-(z-21.6289) dy=y2-y1 a=dy/y1 输出结果： x =16.411764602561966 17.941176435242152 y 2=1.256611936842900e+002 dy =0.650528978407806 a = 0.005203787852327 应该用lag乘子！！更加正规！！ （3）实验数据的随机误差导致回归系数有置信区间：c1（2.3947，4.0403），c2（2.2707， 3.4399）。 用置信区间的左右端点重新计算，发现当取c1=2.3947，c2=3.4399时，最优解改
变为x1 =6.6667 ，x2=25.0000，22110maxxcxccy=123.5898，即实验数据的随机误差会影响最优解。 2001年1月5日计算方法（数学实验）考试 答案
1. 1 1.8971943063 kkkkkxxxxx2sin11sin21 2 2. 0.2713； 龙格-库塔; ode23(‘f’,ts,x0); 2~3阶; 或： 0.2714； 龙格-库塔; ode45(‘f’,ts,x0); 4~5阶
3. [ 0.7823, 1.4977]； H0:μ1数据来自正态总体，相互独立。
4．（1）作x1~y, x2~y散点图，近似线性关系。用数据拟合：22110xcxccy,并作假设：0:2100cccH。用回归分析，计算得：
c0=21.6289 c1=3.2175 c2=2.8553, 置信水平0.95下的置信区间为 c0（2.2220 41.0357） c1（2.3947 4.0403） c2（2.2707 3.4399） 置信区间均不含零点，且R2= 0.9666 f=101.2543 p=0.0000， 拒绝H0. 残差置信区间均含零点，无异常数据，得
212.85533.21756289.21xxy
以2211xcxcy（去掉常数c0）为目标函数建立优化问题的数学模型：
0,,25120431005..2.8553x3.2175xmax212212121,21xxxxxxxtszxx
计算结果：x1 =16.4706 x2=17.6471, lag= 0.2532 0.6505 0 22110maxxcxccy=125.0100
甲乙两种原料的含量分别为16.4706（千克）和17.6471（千克）使新型材料的强度最大。
（2）由1的计算结果：lag（2）= 0.6505，可知购买甲乙两种原料的成本预算限额增加100元，新型材料的强度提高0.6505，与上面结果y=125.0100相比，增加0.52%.
（3）实验数据的随机误差导致回归系数有置信区间：c1（2.3947，4.0403），c2（2.2707， 3.4399）。 用置信区间的左右端点重新计算，发现当取c1=2.3947，c2=3.4399时，最优解改
变为x1 =6.6667 ，x2=25.0000，22110maxxcxccy=123.5898，即实验数据的随机误差会影响最优解。