2.第二节 分式方程及其应用
分式方程及其应用
学员日校： 年 级 课时数：2
学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师：王老师
课 题
分式方程及其应用
授课时间：
备课时间：
教学目标
1、学会解分式方程的几种方法
2、学会解与分式方程有关的应用题
重点、难点
学会解与分式方程有关的应用题
考点及考试要求
教学内容
知识要点：1.解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程。
例4．若关于 的方程 有增根 ，求 的值。
例5.解方程：
例46解方程：
课堂练习
1.若方程 无解，则 的值为____________
2．若 无解，则m的值为____________
3．关于x的方程 会产生增根，则m为____________
4．若关于x的方程 产生增根，则m＝________________；
6． 取何值时，方程 会产生增根
中考题解：
例1．若解分式方程产生增根，则m的值是（）
A.B.
C.D.
例2.甲、乙两班同学参加“绿化祖国”活动，已知乙班每小时比甲班多种2棵树，甲班种60棵所用的时间与乙班种66棵树所用的时间相等，求甲、乙两班每小时各种多少棵树
（1）甲队单独完成这项工程刚好如期完成；
（2）乙队单独完成这项工程要比规定日期多用5天；
（3）若甲、乙两队合做4天，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成。在不耽误工期的前提下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款
8．铭润超市用5000元购进一批新品种的苹果进行试销，由于销售状况良好，超市又调拨11000元资金购进该品种苹果，但这次的进货价比试销时每千克多了元，购进苹果数量是试销时的2倍．
A.B.C.D.
2.如果关于x的方程
分式方程的解法和应用
分式方程的解法和应用分式方程，又称有理方程，是指包含了分数的方程。
解决分式方程问题可以在数学中发挥很大的作用，因为它们可以用来描述实际问题，特别是在科学和工程领域中。
本文将介绍一些常见的分式方程的解法以及它们在实际应用中的应用。
一、一次分式方程的解法一次分式方程是指分式的分子和分母的次数均为1的方程。
例如，2/x + 3 = 1/2。
解决这类问题的一种常见方法是通过消去分母，使方程转化为线性方程。
在这种情况下，可以通过以下步骤来解决方程：1. 将分数转化为一个等于0的分式形式，例如将2/x转化为2/x - 1/2。
2. 通过求公倍数来消去分母，例如通过乘以2来消去分母。
3. 合并同类项并将方程转化为一元一次方程，例如2 - x = 1/2。
4. 将方程解题得到x的值，检查解的合法性。
二、二次分式方程的解法二次分式方程是指分式的分子或者分母的次数为2的方程。
例如，1/x^2 + 1/x = 2。
解决这类问题的一种常见方法是通过将方程转化为二次方程，然后使用二次方程的解决方法来求解。
在这种情况下，可以通过以下步骤来解决方程：1. 将分数转化为一个等于0的分式形式，例如将1/x^2转化为1/x^2 - 2。
2. 将方程中的分数转化为一个多项式方程，例如通过乘以x^2来消去分母。
3. 合并同类项并将方程转化为二次方程，例如x^2 - 2x + 1 = 0。
4. 使用求解二次方程的方法，例如配方法、因式分解法或者公式法，得到x的值。
5. 检查解的合法性。
三、分式方程的应用分式方程在实际应用中有广泛的用途，常见的应用包括以下几个方面：1. 比例问题：比例问题可以通过设置分式方程来解决。
例如，一个图书馆中有1000本书，其中有3/10是故事书，那么故事书的数目可以表示为(3/10)*1000=300本。
2. 涉及速度、距离和时间的问题：速度、距离和时间之间有一定的关系，可以通过设置分式方程来解决相关问题。
例如，一个人以每小时60公里的速度行驶，问他行驶1小时可以行驶多远，可以通过设置方程60/1=x/1解决。
分式方程的应用
xx年xx月xx日
目 录
• 分式方程的概述 • 分式方程在数学中的应用 • 分式方程在实际生活中的应用 • 分式方程的局限性和发展 • 总结
01
分式方程的概述
分式方程的定义
分式方程是一种数学方程，其中包含分式，即分子和分母都 是多项式的形式。
分式方程在实数范围内有解，并且可以应用某些算法来求解 。
长度计算
在一些长度计算中，分式方程可以用于表示两个点之间的距 离，进而解决问题。
03
分式方程在实际生活中的应用
分式方程在物理中的应用
速度公式
在物理学中，我们常常需要求解物体的速度或加速度等物理量。这些量通常 可以通过分式方程来表示，例如速度公式v=s/t，其中v是速度，s是位移，t 是时间。
引力公式
05
总结
分式方程的重要性和应用价值
分式方程是数学中一种重要的工具，对于解决实际问 题具有广泛的应用价值。
分式方程能够描述和解决许多实际问题，例如速度、 时间、距离等之间的关系。
分式方程可以用于解决比例问题、分式计算、工程问 题、经济问题等众多领域的问题。
分式方程在科学、工程和技术等领域中有着广泛的应 用，是解决实际问题的重要手段之一。
THANKS
谢谢您的观看
VS
酸碱滴定
酸碱滴定中，我们需要计算滴定终点时加 入的滴定剂体积。这可以通过一个分式方 程来表示，例如对于滴定反应终点公式： 终点时酸碱体积比=Kb*C/Ka，其中Kb和 Ka分别是弱酸与弱碱的电离常数。
分式方程在生物学中的应用
种群增长模型
在生物学中，我们常常需要研究种群的增长情况。种群增长可以用一个分式方程 来表示，例如指数增长模型N(t)=N0ert，其中N(t)是时间t时的种群数量，N0是 初始种群数量，r是种群的自然增长率。
分式方程及其应用课件
分式方程在科研中的应用
01
生物学
分式方程可以描述基因表达、细胞增殖等生物学过程，帮助生物学家
研究生命的本质。
02
物理学
分式方程在物理学研究中广泛应用于量子力学、相对论和复杂系统等
领域，帮助科学家探索物理世界的奥秘。
03
化学
分式方程可以描述化学反应的动态过程，帮助化学家研究新的化学反
应路径和优化化学反应条件。
助工程师设计高效的机械设备。
分式方程在日常生活中的应用
物理学
分式方程可以描述物体的运动规律，例如加速度、速度和位移之间的关系，帮助我们解决 日常生活中的力学问题。
医学
分式方程可以描述生理参数之间的关系，例如药物在人体内的吸收、分布和代谢情况，帮 助医生制定更有效的治疗方案。
经济学
分式方程可以描述经济变量之间的关系，例如消费、投资和经济增长之间的关系，帮助政 策制定者制定有效的经济政策。
验根
通过代入法，验证方程的根是否正 确。
分式方程的局限性
适用范围有限
分式方程适用于可以化成分母 中含未知数的形式的问题，但 有些问题不适合使用分式方程
。
解法有限
分式方程的解法有限，没有通 用的解法，需要根据具体问题
选择合适的解法。
精度有限
分式方程的精度有限，无法得 到高精度的解。
分式方程的应用前景
分式方程及其应用课件
xx年xx月xx日
目录
• 分式方程的基本概念 • 分式方程的应用 • 分式方程的注意事项 • 分式方程的练习题及解答 • 分式方程的应用实例
01
分式方程的基本概念
分式方程的定义
1
分式方程是一种描述两个变量之间关系的数学 模型
分式方程及其应用
分式方程是一种常见的数学方程，用于描述两个有关的量之间的关系。
常见的分式方程的形式如下：
ax+b = cy+d
其中，a、b、c、d是常数，x、y是未知数。
分式方程的应用
解决实际问题：例如，你想知道跑步消耗卡路里的规律，可以通过分式方程来描述跑步距离与卡路里之间的关系。
计算不同条件下的结果：例如，你想知道不同温度下水的沸点，可以通过分式方程来描述温度与沸点之间的关系，并计算不同温度下的沸点。
绘制函数图像：分式方程可以用来描述函数的规律，通过绘制函数图像，可以更直观地理解函数的特征。
分式方程是一种重要的数学工具，能够帮助我们解决实际问题、计算结果、绘制图像等。
分式方程的求解
在解决分式方程时，需要注意以下几点：
先将分式方程化简，去掉分母，使得方程的形式更简单。
解决未知数的值，即求解未知数的数值解。
检查解的正确性，即将求得的解代回原方程，看是否满足原方程。
下面是一个具体的例子：
例如，求解方程：2x+3 = x+1。
解：
首先，将方程化简，得：x=1。
然后，代回原方程，得：2*1+3=1+1。
因此，x=1是方程的一个数值解。
注意，有些分式方程可能有多个解，因此需要计算多个解，并检查解的正确性。
希望以上内容能够帮助你更好地理解分式方程的求解方法。
分式方程及其应用
又 x 1 0 x 1 即m 2 1 m 3
综上可得：m 2且m 3.
小结：
1、加深解分式方程的思路和分式方程的一些 特殊解法； 2、分清“有增根”和“无解”的区别； 3、运用分式方程的解的正负求参数的取 值范围.
2 2 2 2 8 x 9 8 x 6 8 x 10 8 x 7
即：
于是
1 1 ， (8 x 9)(8 x 6) (8 x 10)(8 x 7)
所以(8 x 9)(8 x 6) (8 x 10)(8 x 7) 解得：x 1 经检验：x 1是原方程的根。
3.分式方程无解
例6：m为何值时，关于x的方程
2
2 mx 3 无解？ x2 x 4 x2
解：方程两边都乘以 （ x 4 ） 得 整理，得 (m 1) x 10
2x 4 mx 3x 6
当m 1时，方程(m 1) x 10无解，此时原分式方程 无解;
经检验：原方程的根是 x 2 。
9
一.分式方程的解法：
12 x 10 32 x 34 24 x 23 16 x 19 例4. 解方程： 4 x 3 8 x 9 8 x 7 4 x 5
解：由原方程得： 3
1 2 2 1 4 3 4 4x 3 8x 9 8x 7 4x 5
约分，得
6 y2 y2 0 y 2 y 2 ( y 2)( y 2)
方程两边都乘以 ( y 2)( y 2) ，得
6( y 2) ( y 2) 2 y 2 0
整理，得2 y 16 y 8 经检验：y 8是原方程的根。
分式方程及其应用讲义
分式方程及其应用讲义1、解分式方程时注意去分母、检验根。
2、分式方程应用性问题联系实际比较广泛，灵活运用分式的基本性质，有助于解决应用问题中出现的分式化简、计算、求值等题目，运用分式的计算有助于解决日常生活实际问题．本课内容： 营销类应用性问题、工程类应用性问题行程中的应用性问题、轮船顺逆水应用性问题浓度应用性问题、货物运输应用性问题———————————————————————————题型一:解分式方程, 解分式方程时去分母后所得整式方程的解有可能使原分式方程的分母为0,所以解分式方程必须检验.例1.解方程(1) 2223-=---x xx (2) 114112=---+x x x题型二:关于增根:将分式方程变形为整式方程,方程两边同时乘以一个含有未知数的整式,并越去分母,有时可能产生不适合原分式方程的根,这种根通常称为增根.例;1. 若方程x x x --=+-34731有增根,则增根为 . 2. 若方程113122-=-++x k x x 有增根,则k 的值为 . 3. 若分式方程x x k x x x k +-=----2225111有增根1-=x ,求k 的值?题型三:分式方程无解①转化成整式方程来解,产生了增根;②转化的整式方程无解.例题：1. 若关于x 的方程11+=+x mx x无解, 则m 的值为 . 2. 当k 取何值时关于X 的方程4162222-=--+-x k x x x x 无解？ 3. 已知关于x 的方程m x mx =-+3无解,求m 的值.题型四：解的正负情况:先化为整式方程,求整式方程的解①若解为正⎩⎨⎧>去掉增根正的解0x ;②若解为负⎩⎨⎧<去掉增根负的解0x 例题：已知关于x 的方程323-=--x mx x解为正数,求m 的取值范围.一、【营销类应用性问题】例1：某校办工厂将总价值为2000元的甲种原料与总价值为4800元的乙种原料混合后，其平均价比原甲种原料每千克少3元，比乙种原料每千克多1元，问混合后的单价每千克是多少元？二、【工程类应用性问题】例2：甲乙两个工程队合作一项工程，两队合作2天后，由乙队单独做1天就完成了全部工程。
分式方程的实际应用
分式方程的实际应用分式方程在实际生活中有很多应用。
下面我将举例说明几种常见的实际应用。
1.比例问题比例问题是分式方程的一个典型应用。
例如，在购物时，我们常常会遇到“打折”或“降价”的情况。
假设一家商店原价出售一件商品，现在将商品以折扣价出售，打折比例为x。
那么，我们可以得到以下分式方程：折扣价=原价*(1-x)通过解这个分式方程，我们可以计算出打折后的价格。
这个方程可以帮助我们在购物时做出更明智的决策。
2.涉及速度的问题分式方程也可用于涉及速度的问题。
例如，在旅行中，当我们知道辆车每小时行驶v英里时，我们可以计算出x小时后车辆所行驶的总英里数，这可以表示为以下分式方程：总英里数=v*x这个方程可以帮助我们计算出车辆在任意时间内的行驶距离，从而帮助我们规划旅行路线或者估算到达目的地所需时间。
3.混合液体问题分式方程还可用于混合液体问题。
例如，假设我们有两种浓度不同的溶液，其中一种浓度为x，另一种浓度为y，我们想要得到一定浓度的混合液体，我们可以通过以下分式方程求解：所需浓度*所需体积=x*体积1+y*体积2通过解这个方程，我们可以计算出需要的溶液体积，以及每种溶液的体积比例，从而准确地配制出我们所需要的混合液体。
4.长方形的长和宽问题分式方程还可以用于解决长方形的长和宽问题。
例如，假设我们知道一个长方形的面积为A，我们希望找到一个长方形，使得其一边长为x，另一边长为y，那么我们可以用以下分式方程来表示这个问题：A=x*y通过解这个方程，我们可以计算出长方形的长和宽，从而绘制出所需要的长方形。
综上所述，分式方程在实际生活中有许多应用。
从求解比例问题、涉及速度的问题到混合液体问题和长方形的长和宽问题，分式方程都能够提供一种有效的工具来解决这些实际问题。
了解分式方程的实际应用可以帮助我们更好地理解和应用这个数学概念，并将其运用到日常生活中的各种情境中。
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第二章 方程(组)与不等式(组)
第二节 分式方程及其应用
(建议时间：30分钟)
基础过关
1. (2019淄博)解分式方程1－x x －2＝12－x
－2时，去分母变形正确的是( ) A. －1＋x ＝－1－2(x －2)
B. 1－x ＝1－2(x －2)
C. －1＋x ＝1＋2(2－x )
D. 1－x ＝－1－2(x －2)
2. (2018株洲)关于x 的分式方程2x ＋3x －a
＝0的解为x ＝4，则常数a 的值为( ) A. a ＝1 B. a ＝2 C. a ＝4 D. a ＝10
3. (2019成都)分式方程x －5x －1＋2x
＝1的解为( ) A. x ＝－1 B. x ＝1 C. x ＝2 D. x ＝－2
4. (2019湘潭)现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展.据调查，湘潭某家小型快递公司的分拣工小李和小江，在分拣同一类物件时，小李分拣120个物件所用的时间与小江分拣90个物件所用的时间相同，已知小李每小时比小江多分拣20个物件，若设小江每小时分拣x 个物件，则可列方程为( )
A. 120x －20＝90x
B. 120x ＋20＝90x
C. 120x ＝90x －20
D.
120x ＝90x ＋20 5. (2019十堰)十堰即将跨入高铁时代，钢轨铺设任务也将完成，现还有6000米的钢轨需要铺设，为确保年底通车，如果实际施工时每天比原计划多铺设20米，就能提前15天完成任务，设原计划每天铺设钢轨x 米，则根据题意所列的方程是( )
A. 6000x －6000x ＋20
＝15 B. 6000x ＋20－6000x ＝15 C. 6000x －6000x －15＝20 D.
6000x －15－6000x ＝20 6. (2019岳阳)分式方程1x ＝2x ＋1
的解为x ＝ . 7. (2019锦州)甲、乙两地相距1000 km ，如果乘高铁列车从甲地到乙地比乘特快列车少用3 h ，已知高铁列车的平均速度是特快列车的1.6倍，设特快列车的平均速度为x km/h ，根据题意可列方程为 .
8. (2019烟台)若关于x 的分式方程3x x －2－1＝m ＋3x －2
有增根，则m 的值为 . 9. (2019徐州)解方程：x －2x －3＋1＝23－x
.
10. (2019广安)解分式方程：x x －2－1＝4x 2－4x ＋4
.
11. (2018广东省卷)某公司购买了一批A 、B 型芯片，其中A 型芯片的单价比B 型芯片的单价少9元，已知该公司用3120元购买A 型芯片的条数与用4200元购买B 型芯片的条数相等.
(1)求该公司购买的A 、B 型芯片的单价各是多少元？
(2)若两种芯片共购买了200条，且购买的总费用为6280元，求购买了多少条A 型芯片？
满分冲关
1.若关于x的分式方程
x
x－3＋
3a
3－x＝2a无解，则a的值为.
2.(2019眉山)在我市“青山绿水”行动中，某社区计划对面积有3600 m2的区域进行绿化，经投标由甲、乙两个工程队来完成.已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化面积的2倍，如果两队各自独立完成面积为600 m2区域的绿化时，甲队比乙队少用6天.
(1)求甲、乙两工程队每天各能完成多少面积的绿化；
(2)若甲队每天绿化费用是1.2万元，乙队每天绿化费用为0.5 万元，社区要使这次绿化的总费用不超过40万元，则至少应安排乙工程队绿化多少天？
参考答案
第二节 分式方程及其应用
基础过关
1. D 【解析】分式方程1－x x －2＝12－x
－2去分母，两边同乘以(x －2)，得1－x ＝－1－2(x －2)． 2. D
3. A 【解析】给方程两边同乘以x (x －1)得x (x －5)＋2(x －1)＝x (x －1)，去括号得x 2－5x ＋2x －2＝x 2－x ，即－2x ＝2，解得x ＝－1.经检验可知，x ＝－1是原分式方程的解．
4. B 【解析】∵小江每小时分拣x 个物件，小李每小时比小江多分拣20个物件，∴小李每小时分拣(x ＋20)个物件．根据等量关系“小李分拣120个物件所用的时间与小江分拣90个物件所用的时间相同”可列方程120x ＋20＝90x
. 5. A 【解析】设原计划每天铺设钢轨x 米，可得6000x －6000x ＋20
＝15. 6. 1 【解析】1x ＝2x ＋1
，方程两边都乘以x (x ＋1)，得x ＋1＝2x ，解得x ＝1，经检验：x ＝1是原分式方程的解．
7. 1000x －10001.6x
＝3 【解析】∵特快列车的平均速度为x km/h ，∴高铁列车的平均速度为1.6x km/h ，由题意可列方程1000x －10001.6x
＝3. 8. 3 【解析】去分母，得3x －(x －2)＝m ＋3，去括号，得3x －x ＋2＝m ＋3，合并同类项，得2x ＝m ＋1，∴m ＝2x －1.∵原分式方程有增根，∴x －2＝0.∴x ＝2.∴m ＝2x －1＝2×2－1＝3.
9. 解：去分母得x －2＋x －3＝－2，
解得x ＝32
， 检验：当x ＝32时，x －3＝－32
≠0，
∴x ＝32
是原分式方程的解． 10. 解：x x －2－1＝4（x －2）2
， 方程两边同乘以(x －2)2，
得x (x －2)－(x －2)2＝4，
解得x ＝4，
检验：当x ＝4时，(x －2)2≠0，
∴原分式方程的解为x ＝4.
11. 解：(1)设B 型芯片的单价是x 元，则A 型芯片的单价是(x －9)元，根据题意得，
3120x －9
＝4200x ， 解得x ＝35，
经检验，x ＝35是原方程的解且符合题意，
∴x －9＝26，
答：A 型芯片的单价是26元，B 型芯片的单价是35元；
(2)设购买了a 条A 型芯片，则购买(200－a )条B 型芯片，根据题意得，
26a ＋35(200－a )＝6280，
解得a ＝80，
答：购买了80条A 型芯片．
满分冲关
1. 1或12 【解析】x x －3＋3a 3－x
＝2a ，去分母得x －3a ＝2a (x －3)，整理得(2a －1)x ＝3a ，当整式方程无解时，即2a －1＝0，解得a ＝12
；当分式方程有增根时，即x ＝3，∴3(2a －1)＝3a ，解得a ＝1，故当分式方程无解时，a 的值为1或12
.
2. 解：(1)设乙队每天能完成的绿化面积数是x 平方米，则甲队每天能完成2x 平方米，则根据题意列方程得：
600x －6002x
＝6， 解得，x ＝50，
经检验x ＝50是原分式方程的解，且符合题意，
∴50×2＝100(平方米)，
答：甲队每天能完成100平方米，乙队每天能完成50平方米的绿化；
(2)假设安排乙队来绿化y 天，则甲队需要安排的天数是3600－50y 100
， 则根据题意可得：0.5y ＋3600－50y 100
×1.2≤40， 解得y ≥32，
答：至少应安排乙工程队绿化32天．。