等腰三角形的存在性问题解题策略

6 x 5 G
G B Q
F C
B
几何法三部曲： 先分类；
当△BDG是等腰三角形时，
再画图；
求AD (x)的长．
D
后计算．
5− x
6 x 5 G
第一步 分类
①BD = BG ②DB = DG ③GB = GD
B
第二步 画图
几何法三部曲：先分类；再画图；后计算．
D
D
D
5− x
B M 6 5 x
5− x
几何法三部曲： 先分类；
08重庆28
再画图； 后计算．
1 2 y = − x +x+4 2 1 = − ( x + 2)( x − 4) 2
B(−2,0), A(4,0), C (0,4), D(2,0).
点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC .
几何法三部曲： 先分类；
08重庆28
再画图； 后计算．
代数法三部曲：
解方程、 第三步 解方程、检验
先罗列三边；
B(1, m)且m < 3.
B (1,−5)
1 B(1, ) 2
再分类列方程； 后解方程、检验．
① ② ③
B(1,3 − 2 5 )
几何法三部曲： 先分类；
09黄浦25
A D E
再画图； 后计算．
AB = AC = 5, BC = 6 DE // BC , 正方形DEFG
⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形
罗列、 第二步 罗列、标记已知量 ——理清思路 理清思路 ⊙P的半径为3 PC=3 求出PE 求出sinB 求出OP
正三角形PCD A(－4, 0)，B(0,－8) 求出BP
点P（0，k）是y轴的负半轴 上的一个动点
写出点P的坐标
第三步 丰富思想 ——完善思路 完善思路 P在B上， 分类讨论思想 P在B下 . 思路 P与P′关于B对称 OP′＝OB＋BP 点P（0，k）是y轴的负半轴 上的一个动点
若△ABP是等腰三角形，求点B的坐标．
罗列三边（的平方） 第一步 罗列三边（的平方）
用代数法解也很方便——盲解 小结 用代数法解也很方便 盲解
代数法三部曲：
第二步 分类列方程
先罗列三边； 再分类列方程； 后解方程、检验．
①AB2 = AP2 ②BA2 = BP2 ③PA2 = PB2
用代数法解也很方便——盲解 小结 用代数法解也很方便 盲解
①OD = OF ②DO = DF ③FO = FD
若平行于x轴的动直线与该抛物线交于点P，与直线AC交 于点F，问：是否存在这样的直线，使得△ODF是等腰三 角形？若存在，请求出点P的坐标 .
08重庆28
第二步 画图
B (−2,0), A(4,0), C (0,4), D (2,0).
F在直线AC上， △ODF是等腰三角形
再画图；
——具体问题具体分析 具体问题具体分析
后计算．
无需多理 信手拈来
OP = OD =5 ②OP = OD P2(5,0)
几何法三部曲： 先分类；
计算——求OP的长 第三步 计算 求 的长
再画图；
——具体问题具体分析 具体问题具体分析
后计算．
数形结合 无需多理
OP =2CD =6 ③DO = DP P3(6,0)
计算——具体问题具体分析 第三步 计算 具体问题具体分析
再画图； 后计算．
D
5− x
6 5 B G x
②DB = DG 因B而G
25 x= 11
几何法三部曲： 先分类；
计算——具体问题具体分析 第三步 计算 具体问题具体分析
再画图；
D
后计算．
5− x N
6 5 G
x
B
③GB = GD 因G而B
125 x= 73
几何法三部曲： 先分类；
热身运动 ——用x表示BD、DG
A D P E
再画图； 后计算．
AB = AC = 5, BC = 6 DE // BC , 正方形DEFG 动点D, AD = x
G B Q
F C
几何法三部曲： 先分类；
热身运动 简化图形，迁移数据
A D P E
再画图； 后计算．
D
5− x
09深圳23
当k为何值时， 以⊙P与直 线l的两个交 点和圆心P 为顶点的三 角形是正三 角形？
几何法三部曲： 先分类；
这是特例！反例？ 这是特例！反例？
再画图； 后计算．
三部曲失效了！ 三部曲失效了！
画图——不求准确，但求思路 不求准确， 第一步 画图 不求准确
先画PE 点P在y轴的负半轴上 以P为圆心，3为半径作⊙P 假设一个位置画P 再画PC、PD 不理它
代数法三部曲：
代数法也方便——盲解 小结 代数法也方便 盲解
D的坐标为（3，4）
先罗列三边； 再分类列方程； 后解方程、检验．
设点P在x轴的正半轴上，若△POD是等腰三角形， 求点P的坐标 ．
设P(a,0), a > 0
①PO = PD
②OP = OD
③DO = DP
点P（0，k）是y轴的负半轴上的一个动点 以P为圆心，3为半径作⊙P 当k为何值时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心 P为顶点的三角形是正三角形？
若△ABP是等腰三角形，求点B的坐标．
第二步 画图
①AB = AP
②BA = BP
③PA = PB
计算——具体情况具体分析 第三步 计算 具体情况具体分析
A(−1,−1), P(1,3), B(1, m)且m < 3.
与点P关于直线 点B与点 关于直线 =－1对称 与点 关于直线y － 对称
B(1,−5)
(1)当y =2时，直线与抛物线的交点P有两个； (2)当y =3时，直线与抛物线的交点P有两个.
小结
08重庆28
几何法三部曲： 先分类； 再画图； 后计算．
因P而F? 而
因F而P? 而
若平行于x轴的动直线与该抛物线交于点P，与直线AC交 于点F，问：是否存在这样的直线，使得△ODF是等腰三 角形？若存在，请求出点P的坐标 .
BA2 = BP2
2 + (m + 1) = (m − 3)
2 2
2
②BA = BP
1 1 m = , B(1, ) 2 2
用代数法解也很方便——盲解 小结 用代数法解也很方便 盲解
代数法三部曲：
A(−1,−1), P(1,3), B(1, m)且m < 3.
先罗列三边； 再分类列方程； 后解方程、检验．
G B
F C
动点D, AD = x
当△BDG是等腰三角形时，求AD的长．
几何法三部曲： 先分类；
热身运动 ——寻找△BDG中不变的元素
A D P E
再画图； 后计算．
AB = AC = 5, BC = 6 DE // BC , 正方形DEFG 动点D, AD = x
G B Q
F C
∠BDG的大小不变
第二步 画图
再画图； 后计算．
①PO = PD
②OP = OD
③DO = DP
几何法三部曲： 先分类；
计算——求OP的长 第三步 计算 求 的长
再画图；
——具体问题具体分析 具体问题具体分析
后计算．
∠O横看成岭侧成峰
①PO = PD
几何法三部曲： 先分类；
计算——求OP的长 第三步 计算 求 的长
①AB = AP
计算——具体情况具体分析 第三步 计算 具体情况具体分析
A(−1,−1), P(1,3), B(1, m)且m < 3.
PA = 2 + 4 = 2 5
2 2
③PA = PB
B(1,3 − 2 5 )
计算——具体情况具体分析 第三步 计算 具体情况具体分析
A(−1,−1), P(1,3), B(1, m)且m < 3.
代数法三部曲：
罗列三边（的平方） 第一步 罗列三边（的平方）
先罗列三边； 再分类列方程； 后解方程、检验．
OP＝2OQ
若△APQ是等腰三角形
设Q(a,0), a > 0, 那么P(2a,0).
代数法三部曲：
第二步 分类列方程
先罗列三边； 再分类列方程； 后解方程、检验．
若△APQ是等腰三角形
①AP = AQ ②PA = PQ ③QA = QP
6 5 B G G x
5− x N
6 5 G
x
B
①BD = BG 因B而G
②DB = DG 因B而G
③GB = GD 因G而B
几何法三部曲： 先分类；
计算——具体问题具体分析 第三步 计算 具体问题具体分析
再画图；
D
后计算．
5− x
B M 6 5 x
G
①BD = BG 因B而G
20 x= 7
几何法三部曲： 先分类；
几何法三部曲： 先分类；
09宝山24
再画图； 后计算．
y = −x2 + 2x + 2 = −( x − 1) = 3
2
A(−1,−1), P(1,3), B(1, m)且m < 3.
若△ABP是等腰三角形，求点B的坐标．来自第一步 分类 09宝山24
①AB = AP ②BA = BP ③PA = PB
几何法三部曲： 先分类；
几何法解答不了的反例！ 几何法解答不了的反例！
再画图； 后计算．
点P是x轴的正半轴上的一个动点 PQ⊥AB，与y轴的正半轴交于Q
若△APQ是等腰三角形， 求点P的坐标 ．