等腰三角形存在性问题(带答案)
专题11 存在性-等腰直角三角形(解析版)
中考数学压轴题--二次函数--存在性问题第11节等腰直角三角形的存在性方法点拨第一步：易证ΔBAD∽ΔECB，如果再加一个条件BD=BE，此时ΔBAD≌ΔECB （AAS）所以，AB=CE，AD=CB第二步：根据点坐标来表示线段长度，列等式求解。
例题演练1．如图所示，抛物线y＝a（x+1）（x﹣5）（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．（1）当a＝﹣时，①求点A、B、C的坐标；②如果点P是抛物线上一点，点M是该抛物线对称轴上的点，当△OMP是以OM为斜边的等腰直角三角形时，求出点P的坐标；（2）点D是抛物线的顶点，连接BD、CD，当四边形OBDC是圆的内接四边形时，求a 的值．【解答】解：对于y＝a（x+1）（x﹣5）（a≠0），令y＝a（x+1）（x﹣5）＝0，解得x ＝5或﹣1，令x＝0，则y＝﹣5a，故点A、B、C的坐标分别为（5，1）、（﹣1，0）、（0，﹣5a），当x＝2时，y＝a（x+1）（x﹣5）＝﹣9a，顶点的坐标为（2，﹣9a）．（1）①当a＝﹣时，函数的表达式为y＝﹣（x+1）（x﹣5），则点A、B、C的坐标分别为（5，1）、（﹣1，0）、（0，2）；②过点P作y轴的平行线交过点M与x轴的平行线于点F，交x轴于点E，设点P的坐标为（x，﹣（x+1）（x﹣5）），∵∠MPO＝90°，∴∠MPF+∠OPE＝90°，∵∠OPE+∠POE＝90°，∴∠POE＝∠MPF，∵∠PFM＝∠OEP＝90°，PM＝PO，∴△PFM≌△OEP（AAS），∴PE＝MF，则﹣（x+1）（x﹣5）＝x﹣2，解得x＝﹣或4，故点P的坐标为（﹣，﹣）或（4，2）；（2）点B、C的坐标分别为（﹣1，0）、（0，﹣5a），顶点D的坐标为（2，﹣9a）．当四边形OBDC是圆的内接四边形时，则BC的中点为该圆的圆心，设BC的中点为点Q，由中点坐标公式得，点Q（，﹣a），则OQ＝DQ，即（）2+（﹣）2＝（2﹣）2+（﹣9a+a）2，解得a＝±．2．如图，已知抛物线y＝ax2+4x+c与直线AB相交于点A（0，1）和点B（3，4）．（1）求该抛物线的解析式；（2）设C为直线AB上方的抛物线上一点，当△ABC的面积最大时，求点C的坐标；（3）将该抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0），平移后的抛物线与原抛物线相交于点D，是否存在点E使得△ADE是以AD为腰的等腰直角三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）将A、B两点代入到解析式中，得，，解得，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x+1；（2）设直线AB为：y＝k1x+1，代入点B，得，3k1+1＝4，解得k1＝1，∴直线AB为：y＝x+1，设C（m，﹣m2+4m+1），过C作CM∥y轴交AB于M，如图1，则M（m，m+1），∴CM＝﹣m2+4m+1﹣m﹣1＝﹣m2+3m，∴S△ABC＝S△ACM+S△BCM＝＝，∵C为直线AB上方抛物线上一点，∴0＜m＜3，∴时，△ABC的面积最大值为，此时C（）；（3）∵抛物线y＝﹣（x﹣2）2+5，∴将抛物线向右平移2个单位后得到的抛物线为：y＝﹣x2+5，联立，解得，∴D（1，4），①如图2，当DA＝DE，∠EDA＝90°，E在AD右侧时，过D作x轴平行线交y轴于N，过E作y轴平行线，两线交于F点∵∠DAN+∠NDA＝∠NDA+∠EDF＝90°∴∠DAN＝∠EDF，又∠DNA＝∠EFD＝90°，DA＝DE，∴△DNA≌△EFD（AAS），∴DN＝EF＝1，AN＝DF＝3，∴E（4，3），②当DA＝DE，∠EDA＝90°，E在AD左侧，同理可得，E（﹣2，5），③当AD＝AE，∠DAE＝90°，E在AD左侧时，同理可得，E（﹣3，2），④当AD＝AE，∠DAE＝90°，E在AD右侧时，同理可得，E（3，0），综上所述，E（4，3）或（﹣2，5）或（﹣3，2）或（3，0）．3．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A（﹣1，0），C（0，3）．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）抛物线与直线y＝﹣x﹣1交于A、E两点，P是x轴上点B左侧一动点，当以P、B、C为顶点的三角形与△ABE相似时，求点P的坐标；（3）若F是直线BC上一动点，在抛物线上是否存在动点M，使△MBF为等腰直角三角形，若存在，请直接写出点M的坐标；否则说明理由．【解答】解：（1）把A（﹣1，0），C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，得：，解得：，∴抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+2x+3；（2）联立直线AE和抛物线的函数关系式成方程组，得：，解得：，，∴点E的坐标为（4，﹣5），∴AE＝＝5，在y＝﹣x2+2x+3中，令y＝0，得：﹣x2+2x+3＝0，解得：x1＝3，x2＝﹣1，∴点B的坐标为（3，0），∵C（0，3），∴OB＝OC＝3，∵∠BOC＝90°，∴∠CBO＝45°，BC＝3，∵直线AE的函数表达式为y＝﹣x﹣1，∴∠BAE＝45°＝∠CBO．设点P的坐标为（m，0），则PB＝3﹣m，∵以P、B、C为顶点的三角形与△ABE相似，∴＝或＝，∴＝或＝，解得：m＝或m＝﹣，∴点P的坐标为（，0）或（﹣，0）；（3）∵∠CBO＝45°，∴存在两种情况（如图2）．①取点M1与点A重合，过点M1作M1F1∥y轴，交直线BC于点F1，∵∠CBM1＝45°，∠BM1F1＝90°，∴此时△BM1F1为等腰直角三角形，∴点M1的坐标为（﹣1，0）；②取点C′（0，﹣3），连接BC′，延长BC′交抛物线于点M2，过点M2作M2F2∥y 轴，交直线BC于点F2，∵点C、C′关于x轴对称，∠OBC＝45°，∴∠CBC′＝90°，BC＝BC′，∴△CBC′为等腰直角三角形，∵M2F2∥y轴，∴△M2BF2为等腰直角三角形．∵点B（3，0），点C′（0，﹣3），∴直线BC′的函数关系式为y＝x﹣3，联立直线BC′和抛物线的函数关系式成方程组，得：，解得：，，∴点M2的坐标为（﹣2，﹣5），综上所述：点M的坐标为（﹣1，0）或（﹣2，﹣5）．4．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a＞0）与x轴交于A、B两点，交y轴于点C，OB＝3，抛物线经过点（2，5）．（1）求该抛物线解析式；（2）如图1，该抛物线顶点D，连接BD、BC，点P是线段BD下方抛物线上一点，过点P作PE∥y轴，分别交线段BD、BC于点F、E，过点P作PG⊥BD于点G，求2PG+EF 的最大值，及此时点P的坐标；（3）如图2，在y轴左侧抛物线上有一动点M，在y轴上有一动点N，是否存在以AN 为直角边的等腰直角三角形AMN？若存在，请直接写出点M的坐标．【解答】解：（1）∵OB＝3，∴B（﹣3，0）把C（﹣3，0）和点（2，5），代入抛物线y＝ax2+bx﹣3，得，解得，∴抛物线解析式为y＝x2+2x﹣3；（2）延长PE与x轴交于点M，FM⊥x轴，PG⊥BD，如图所示，∠FMB＝90°，∠PGF＝90°，∵∠BFM＝∠PFG，∴∠MBF＝∠GPF，∴B（﹣3，0），D（﹣1，﹣4），B、D两点的横坐标距离为2，纵坐标距离为4，由勾股定理得BD＝＝2，∴cos∠MBF＝cos∠GPF＝，∴2PG+EF＝EF+2FP，∴C（0，﹣3），设直线BC解析式为l BC：y＝kx+b（b≠0），把B（﹣3，0）和C（0，﹣3）代入得，，解得，∴l BC：y＝﹣x﹣3，同理，直线BD得解析式为：y＝﹣2x﹣6，设E（m，﹣m﹣3），P（m，m2+2m﹣3），F（m，﹣2m﹣6），∴EF+2FP＝[﹣m﹣3﹣（﹣2m﹣6）]+2[（﹣2m﹣6）﹣（m2+2m﹣3）]＝﹣2（m+）2+，∴当m＝﹣时，EF+2FP有最大值，∵2PG+EF＝EF+2FP，∴此时，P点坐标为P（﹣，﹣）；（3）存在，设N（0，y1），M（x2，+2x2﹣3），当y＝0时，代入抛物线y＝x2+2x+3中，解得两根为﹣3和1，A在y轴右侧，∴A（1，0），∴AN2＝OA2+ON2＝1+y12，AM2＝（x2﹣1）2+（+2x2﹣3）2，MN2＝+（+2x2﹣3﹣y1）2，①当AN⊥MN时，此时由AN＝MN，等腰直角三角形各边比为1：1：，∴M点横坐标为﹣﹣1或﹣3﹣1，将M的横坐标为﹣﹣1或﹣3﹣1，代入y＝x2+2x﹣3中得，∴M点坐标为（﹣﹣1，﹣2）或（﹣3﹣1，14），②由AN⊥MA得：M点横坐标为﹣2﹣2或﹣2﹣2，将M点横坐标为﹣2﹣2或﹣2﹣2代入y＝x2+2x+3中，得M点坐标为（﹣2﹣2，17+8﹣4﹣4）或（﹣2﹣2，33+8﹣4﹣4），综上所述，M点坐标为（﹣﹣1，﹣2）或（﹣3﹣1，14），（﹣2﹣2，17+8﹣4﹣4）或（﹣2﹣2，33+8﹣4﹣4），5．如图，抛物线C1：y＝x2+bx+c经过原点，与x轴的另一个交点为（2，0），将抛物线C1向右平移m（m＞0）个单位得到物度C2，C2交x轴于A、B两点（点A在点B的左边），交y轴于点C．（1）求抛物线C1的解析式及顶点坐标；（2）以AC为斜边向上作等腰直角三角形ACD，当点D落在抛物线C2的对称轴上时，求抛物线C2的解析式及D点坐标．【解答】解：（1）∵抛物线C1经过原点，与x轴的另一个交点为（2，0），∴，解得，∴抛物线C1的解析式为y＝x2﹣2x，∴抛物线C1的顶点坐标（1，﹣1）．（2）如图，∵抛物线C1的向右平衡m（m＞0）个单位得到抛物线C2，∴C2的解析式为y＝（x﹣m﹣1）2﹣1，∴A（m，0），B（m+2，0），C（0，m2+2m），过点C作CH⊥对称轴DE，垂足为H，∵△ACD为等腰直角三角形，∴AD＝CD，∠ADC＝90°，∴∠CDH+∠ADE＝90°，∴△HCD＝△ADE，∵∠DEA＝90°，∴△CHD≌△DEA，∴AE＝HD＝1，CH＝DE＝m+1，∴EH＝HD+DE＝1+m+1＝m+2，由OC＝EH得m2+2m＝m+2，解得m1＝1，m2＝﹣2（舍去），∴抛物线C2的解析式为：y＝（x﹣2）2﹣1，∴D点坐标（2，2）．6．已知：如图，抛物线y＝ax2+bx+6与x轴交于点B（6，0），C（﹣2，0），与y轴交于点A，点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．（1）如图，连接P A、PB．设△P AB的面积为S，点P的横坐标为m．请说明当点P运动到什么位置时，△P AB的面积有最大值？（2）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P作PE∥x轴交抛物线于点E，连接DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+6与x轴交于点B（6，0），C（﹣2，0），∴可设抛物线的表达式为：y＝a（x+2）（x﹣6），∴﹣12a＝6，解得a＝﹣，∴抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+6，∴A（0，6）∴直线AB的表达式为：y＝﹣x+6，点P的横坐标为m，则P（m，﹣m2+2m+6），过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，则D（m，﹣m+6），∴S＝×OB×PD＝×6×（﹣m2+2m+6+m﹣6）＝＝﹣（m﹣3）2+，∴当m＝3时，S的值取最大，此时P（3，）；（2）存在，理由如下：由题意可知，PD⊥PE，若△PDE是等腰直角三角形，则PE＝PD，由（1）可得，PD＝﹣m2+2m+6+m﹣6＝﹣m2+3m，∵PE∥x轴，∴E（4﹣m，﹣m2+2m+6），∴PE＝|2m﹣4|，∴|2m﹣4|＝﹣m2+3m，解得m1＝﹣2（舍），m2＝4，m3＝5+（舍），m4＝5﹣，∴当△PDE是等腰直角三角形时，点P的坐标为（4，6），（5﹣，3﹣5）．7．如图1．二次函数y＝﹣x2+6与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．（1）求出点A，B，C的坐标；（2）连接AC，求直线AC的表达式；（3）如图2，点D为线段AC上的一个动点，连接BD，以点D为直角顶点，BD为直角边，在x轴的上方作等腰直角三角形BDE，若点E在y轴上时，求点D的坐标；（4）若点D在线段AC上，点D由A到C运动的过程中，以点D为直角顶点，BD为直角边作等腰直角三角形BDE，当抛物线的顶点C在等腰直角三角形BDE的边上（包括三角形的顶点）时，请直接写出顶点E的坐标．【解答】解：（1）当x＝0时，y＝6．∴C点坐标为（0，6）．当y＝0时，．解得x1＝﹣4，x2＝4．∵A点在B点左侧，∴点A坐标为（﹣4，0），点B坐标为（4，0）．（2）设直线AC的表达式为：y＝kx+b．∵点A坐标为（﹣4，0），点C坐标为（6，0）．∴．解得．∴直线AC的表达式为．（3）如答图1，过点D分别作DF⊥x轴于点F，DG⊥y轴于G. ∴四边形DGOF为矩形，∠FDG＝90°．∵△BDE为等腰直角三角形，BD为直角边．∴BD＝ED，∠EDB＝90°．∴∠EDB﹣∠GDB＝∠FDG﹣∠GDB．即∠EDG＝∠BDF．在△BDF和△EDG中，．∴△BDF≌△EDG（AAS）．∴DF＝DG．设点D的坐标为（m，）．∴．解得m＝，∴点D的坐标为（）．（4）由（2）可得直线AC的表达式为．∵点D在直线AC上，∴设点D坐标为（）．设直线BC的解析式为：y＝kx+b．将B（4，0），C（0，6）代入得．解得．∴直线BC的解析式为．①当C位于斜边BE上时，∵点E在直线BC上，∴设点E坐标为（b，）．如答图2所示.作EM⊥x轴于点M，DQ⊥x轴于点Q，DN⊥EM于点N．易知四边形DQMN为矩形．∴∠QDN＝90°．∵△BDE为等腰直角三角形，BD为直角边．∴BD＝ED，∠EDB＝90°．∴∠EDB﹣∠NDB＝∠QDN﹣∠NDB．即∠EDN＝∠BDQ．在△BDQ和△EDN中，．∴△BDQ≌△EDN（AAS）．∴DN＝DQ，EN＝BQ．∵E坐标为（b，），D坐标为（）．∴DN＝b﹣a，EN＝．DQ＝，BQ＝4﹣a．∴．解得．∴＝．∴点E的坐标是（）．②当点D在直角边DE上时，BD交y轴于点F，如答图3所示．∵∠CDF＝∠BOF＝90°，∠CFD＝∠BFO．∴∠DCF＝∠OBF．∴tan∠DCF＝tan∠OBF．即．亦即．∴OF＝．∴点F坐标为（0，）．设直线BF解析式为y＝kx+b．将B（4，0），F（0，）代入得．解得．∴直线BF解析式为y＝．∵B、F、D三点共线，亦即直线BD解析式为y＝．联立直线AC解析式得解得．故点D坐标为（）．∵BD⊥AC，BD＝DE，∴BD2＝DE2．∴．解得b＝．∴＝．∴点E的坐标为（）．③当点D与点C重合时，即点C为直角顶点时．如答图4所示.作EG⊥y轴于点G．∵∠BCE＝90°．∴∠ECG+∠BCO＝90°．又∵∠ECG+∠GEC＝90°∴∠BCO＝∠GEC．在△GEC和△OCB中，．∴△GEC≌△OCB（AAS）．∴GE＝OC＝6，GC＝OB＝4．∴点E的坐标为（6，10）．由图知点E关于点C对称的点E'亦满足题意．则由中点坐标公式可得点E'的横坐标为2×0﹣6＝﹣6，纵坐标为2×6﹣10＝2．故点E'坐标为（﹣6，2）．综上所述，点E的坐标为（）或（）或（6，10）或（﹣6，2）．8．如图，抛物线y＝ax2+bx+5交x轴于A（﹣1，0）、B（5，0）两点，交y轴于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是对称轴上一点，当P A+PC达到最小值时，求点P的坐标；（3）M、N为线段BC上两点（N在M的右侧，且M、N不与B、C重合），MN＝2，在第一象限的抛物线上是否存在这样的点R，使△MNR为等腰直角三角形？若存在，求出点R的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+5交x轴于A（﹣1，0），B（5，0），∴，解得：，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x+5；（2）当x＝0时，y＝5，∴C（0，5），∵A与B关于抛物线的对称轴对称，∴直线BC与对称轴的交点就是点P，此时P A+PC达到最小值，∵y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9，∴抛物线对称轴为直线x＝2，设直线BC的解析式为：y＝kx+b（k≠0），∵点B坐标为（5，0），则，解得：，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+5，与对称轴的交点为（2，3），∴点P的坐标（2，3）；（3）分三种情况：①以点M为直角顶点，如图1，∵MN＝2，∴RN＝MN＝4，∵C（0，5），B（5，0），∴OC＝OB＝5，∴∠OCB＝∠OBC＝45°，∵∠RNM＝45°＝∠BCO，∴RN∥OC，由（2）知：直线BC的解析式为y＝﹣x+5，设R（m，﹣m2+4m+5），则N（m，﹣m+5），则RN＝（﹣m2+4m+5）﹣（﹣m+5）＝4，解得m1＝4，m2＝1，∵点N在点M右侧，∴m＝4，∴R（4，5）；②以点R为直角顶点，如图2，∵MN＝2，∴RN＝MN＝2，设R（m，﹣m2+4m+5），则Q（m，﹣m+5），∴RN＝（﹣m2+4m+5）﹣（﹣m+5）＝2，解得m1＝，m2＝，∵点N在点M右侧，∴m＝，∴R（，）；③以点N为直角顶点，如图3，∵MN＝2，∴RM＝MN＝4，∵∠RMN＝∠OBC＝45°，∴MR∥OB，设R（m，﹣m2+4m+5），则M（m﹣4，﹣m2+4m+5），把M（m﹣4，﹣m2+4m+5）代入y＝﹣x+5，得﹣（m﹣4）+5＝﹣m2+4m+5，解得m1＝4，m2＝1，此时点M（0，5），因为点M在线段BC上运动，且不与B、C重合，所以不存在以N为直角顶点的情况；综上所述：当R（4，5）或（，）时，△MNR为等腰直角三角形．9．抛物线y＝ax2﹣6ax+4（a≠0）交y轴正半轴于点C，交x轴负半轴于点A，交x轴正半轴于点B，且AB＝10．（1）如图（1），求抛物线的解析式；（2）如图（2），连接BC，点P为第一象限抛物线上一点，设点P横坐标为t，△PBC 的面积为S，求S与t之间的函数关系式（不用写出自变量t的取值范围）；（3）如图（3），在（2）的条件下，连接P A交y轴于点D，过点P作x轴的垂线，交x轴于点E，交BC于点F，连接DF，当∠APE+∠CFD＝90°时，在抛物线上是否存在点Q，使得点Q、PE的中点N、点C、是构成以CN为斜边的等腰直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）如图1中，设A（m，0），B（n，0），由题意：，解得，∴A（﹣2，0），B（8，0），把A（﹣2，0）代入y＝ax2﹣6ax+4，得到a＝﹣，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+4．（2）如图2中，连接OP．设P（t，﹣t2+t+4），∵B（8，0），C（0，4），∴OB＝8，OC＝4，∴S＝S△POC+S△POB﹣S△OBC＝×4×t+×8×（﹣t2+t+4）﹣×4×8＝﹣t2+8t（0＜t＜8）．（3）存在．理由：如图3中，设P（t，﹣t2+t+4），∵A（﹣2，0），B（8，0），C（0，4），∴直线P A的解析式为y＝﹣（t﹣8）x﹣t+4，直线BC的解析式为y＝﹣x+4，∵PE⊥x轴，∴F（t，﹣t+4），∵D（0，﹣t+4），∴FD∥AB，∴∠CFD＝∠CBA，∵∠APF+∠CFD＝90°，∠APF+∠P AE＝90°，∴∠P AB＝∠CFD＝∠CBO，∴tan∠CBO＝tan∠P AB＝＝，∴＝，∵OA＝2，∴OD＝1，∴﹣t+4＝1，∴t＝6，∴P（6，4），E（6，0），∵PN＝NE，∴N（6，2），∵C（0，4），△CNQ是等腰直角三角形，CN是斜边，当点Q在CN的上方时，如图3，过点Q作x轴的平行线交y轴于点G，交EP的延长线于点H，设点Q（s，k），易证△QGC≌△NHQ（AAS），则GC＝QH，GQ＝HN，即s＝k﹣2，k﹣4＝6﹣s，解得，∴点Q的坐标为（4，6），∵当x＝4时，y＝﹣×42+×4+4＝6，∴点Q在抛物线y＝﹣x2+x+4上，∴满足条件的点Q的坐标为（4，6）．10．如图，抛物线y＝ax2+bx过A（4，0），B（1，3）两点，点C、B关于抛物线的对称轴对称，过点B作直线BH⊥x轴，交x轴于点H．（1）求抛物线的表达式；（2）直接写出点C的坐标和△ABC的面积．（3）点P是抛物线对称轴上一点，且使得P A﹣PC最大，求点P的坐标．（4）若点M在直线BH上运动，点N在x轴上运动，当以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请直接写出此时△CMN的面积．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx过A（4，0），B（1，3）两点，∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x．（2）如图1中，∵y＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，∴对称轴x＝2，∵B，C关于对称轴对称，B（1，3），∴C（3，3），∴S△ABC＝×2×3＝3．（3）如图1中，∵A（4，0），C（3，3），∴直线AC的解析式为y＝﹣3x+12，∵P A﹣PC≤AC，∴当点P在直线AC上时，P A﹣PC的值最大，此时P（2，6）．（4）如图4﹣1中，如图，当∠CNM＝90°，NC＝NM时，可知N（4，0），M（1，﹣1），CN＝NM＝，∴S△MNC＝×CN×MN＝5．如图4﹣2中，当∠CMN＝90°，MN＝MC时，M（1，﹣2），N（﹣4，0），可知MN ＝MC＝＝，∴S△MNC＝．如图4﹣3中，当∠CMN＝90°，MC＝MN时，可知M（1，2），N（2，0），MN＝CM ＝＝，∴S△MNC＝××＝，如图4﹣4中，当∠CNM＝90°，CN＝MN时，N（﹣2，0），M（1，﹣5），可得S△MNC ＝17．综上所述，满足条件的△MNC的面积为5或或或17．。
一次函数之等腰直角三角形的存在性 (讲义及答案)
一次函数之等腰直角三角形的存在性(讲义及答案).1. 在正方形网格中，网格线交点称为格点。
已知A、B是两个格点，若点C也是格点且使△ABC为等腰直角三角形，则符合条件的点C只有一个。
2. 做讲义第一题时，先看知识点，再用铅笔计算并将演算保留在讲义上。
如果思路受阻（例如某个点做了2-3分钟），重复上述动作。
如果仍无法解决，重点听课堂讲解。
知识点：1. 解决存在性问题的处理思路①分析不变特征：分析所求图形中的定点、定线、定角等不变特征。
②分类、画图：结合所求图形的形成因素，依据其判定、定义等确定分类，并画出符合题意的图形。
通常先尝试画出其中一种情形，分析解决后，再类比解决其他情形。
③求解、验证：围绕不变特征、画图依据来设计方案进行求解。
验证时，要回归点的运动范围，画图或推理，判断是否符合题意。
注：复杂背景下的存在性问题往往需要研究背景图形，几何背景往往研究点、线、角；函数背景研究点坐标、表达式等。
2. 等腰直角三角形存在性的特征分析及操作要点：三角形的三个顶点分别为直角顶点进行分类，在直角的基础上，再考虑等腰。
通常借助构造弦图模型进行求解。
精讲精练：1. 如图，直线y=-2x+6与x轴、y轴分别交于点A、B。
点P是第一象限内的一个动点，若以A、B、P为顶点的三角形为等腰直角三角形，则点P的坐标为。
2. 如图，直线y=-x+b与x轴、y轴分别交于点A、B。
点C在直线y=-x+b上，且其纵坐标为1。
△___的面积为。
（1）求直线y=-x+b的表达式及点C的坐标。
（2）点P是第二象限内的一个动点，若△ACP是等腰直角三角形，则点P的坐标为。
3. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(2，0)。
点P是y轴正半轴上的一个动点，Q是直线x=3上的一个动点。
若△APQ为等腰直角三角形，则点P的坐标为。
4. 如图，直线y=3x+4与y轴交于点A，点P是直线x=6上的一个动点，点Q是直线y=3x+4上的一个动点，且点Q在第一象限。
中考数学总复习《二次函数之等腰三角形存在性问题》专项提升训练题-附答案
中考数学总复习《二次函数之等腰三角形存在性问题》专项提升训练题-附答案学校：___________班级：___________姓名：___________考号：___________ 1．已知二次函数23y ax bx a =+-经过点()1,0A -和()0,3C ，与x 轴交于另一点B ，抛物线的顶点为D ．(1)求此二次函数解析式；(2)连接DC 、BC 和DB ，判断BCD △的形状并说明理由；(3)在对称轴右侧抛物线上找一点P ，使得P 、D 、C 构成以PC 为底边的等腰三角形，求出点P 的坐标及此时四边形PBCD 的面积．2．如图，抛物线2y x bx c =-++过点(1,0)A -和(3,0)B ，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的解析式；(2)点P 为抛物线对称轴上一动点，当PCB 是以BC 为底边的等腰三角形时，求P 的坐标；(3)在（2）条件下，是否存在点M 为抛物线上的点，使得2BCM BCP S S =△△？若存在，求出点M 的横坐标；若不存在，请说明理由．3．如图，已知抛物线2y ax bx c =++经过点()3,0A -，()0,4C 两点，且与x 轴的另一个交点为B ，对称轴为直线=1x -．(1)求抛物线的表达式；(2)已知点M 是抛物线对称轴上一点，当MBC 的周长最小时，求M 点的坐标．(3)D 是第二象限内抛物线上的动点，设点D 的横坐标为m ，求四边形ABCD 面积S 的最大值及此时D 点的坐标；(4)若点P 在抛物线对称轴上，是否存在点P ，使以点B ，C 和P 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线24y ax bx =+-与x 轴交于()40A ，、()30B -，两点，与y 轴交于点C ．(1)求这条抛物线所对应的函数表达式．(2)如图①，点D 是x 轴下方抛物线上的动点，且不与点C 重合．设点D 的横坐标为m ，以O 、A 、C 、D 为顶点的四边形面积为S ，求S 与m 之间的函数关系式．(3)如图①，连结BC ，点M 为线段AB 上一点，点N 为线段BC 上一点，且BM CN n ==，直接写出当n 为何值时BMN 为等腰三角形．5．抛物线24y x x =-与直线y x =交于原点O 和点B ，与x 轴交于点A ，顶点为D ．(1)填空：点B 的坐标为 ，点D 的坐标为 ．(2)如图1，连结OD ，P 为x 轴上的动点，当以O ，D ，P 为顶点的三角形是等腰三角形时，求点P 的坐标；(3)如图2，M 是点B 关于抛物线对称轴的对称点，Q 是抛物线上的动点，它的横生标为m (05)m <<，连结MQ ，BQ 和MQ 与直线OB 交于点E ．设BEQ 和BEM △的面积分别为1S 和2S ，设12S t S =己，试求t 关于m 的函数解析式并求出t 的最值6．如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y x bx c =-+-的图象与x 轴交于点(3,0)A -和点(1,0)B ，与y 轴交于点C ．(1)求这个二次函数的表达式；(2)如图①，二次函数图象的对称轴与直线AC 交于点D ，若E 是直线AC 上方抛物线上的一个动点，求ECD 面积的最大值；(3)如图①，P 是直线AC 上的一个动点，是否存在点P ，使PBC 是等腰三角形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图1，抛物线23432363y x x =++与x 轴交于点A ，B （A 在B 左边），与y 轴交于点C ，连AC ，点D 与点C 关于抛物线的对称轴对称，过点D 作DE AC ∥交抛物线于点E ，交y 轴于点P ．(1)点F 是直线AC 下方抛物线上点一动点，连DF 交AC 于点G ，连EG ，当EFG 的面积的最大值时，直线DE 上有一动点M ，直线AC 上有一动点N ，满足MN AC ⊥，连GM 和NO ，求GM MN NO ++的最小值；(2)如图2，在（1）的条件下，过点F 作FH x ⊥轴于点H 交AC 于点L ，将AHL 沿着射线AC 平移到点A 与点C 重合，从而得到A H L '''（点A ，H ，L 分别对应点A '，H '和L '），再将A H L '''绕点H '逆时针旋转(0180)αα︒<<︒，旋转过程中，边A L ''所在直线交直线DE 于Q ，交y 轴于点R ，求当PQR 为等腰三角形时，直接写出PR 的长．8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于()4,0B ，()2,0C -两点，与y 轴交于点()0,2A -．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)若点P 是直线AB 下方抛物线上的一动点，过点P 作x 轴的平行线交AB 于点K ，过点P 作y 轴的平行线交x 轴于点D ，求12PK PD +的最大值及此时点P 的坐标； (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点M ，使得MAB △是以AB 为腰的等腰三角形；若存在，请求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由．9．如图，抛物线23y ax bx =++与x 轴相交于点(1,0)A -，B ，对称轴是1x =，与y 轴相交于点C ．(1)求抛物线的函数表达式；(2)点P 为抛物线对称轴上一动点，当PCB 是以BC 为底边的等腰三角形时，求点P 的坐标；(3)在（2）的条件下，在第一象限内，抛物线上是否存在点M ，使得BCM BCP S S =△△？若存在，求出点M 的横坐标；若不存在，请说明理由．10．如图，抛物线2y x bx c =++的图象与x 轴交于(3,0)A -、(1,0)B 两点，与y 轴交于点C ，点P 是抛物线上位于第三象限内的一点．(1)求抛物线的解析式．(2)连接AP 、PC 和CB ，求四边形APCB 面积的最大值及此时P 点的坐标．(3)点D 为抛物线对称轴上的一点，当以点A 、C 、D 为顶点的三角形为等腰三角形时，请写出所有符合条件的点D 的坐标，并把求其中一个点D 的过程写出来．11．已知拋物线2y ax bx c =++经过点()120B ，和()06C -，，对称轴为直线2x =．(1)求该拋物线的解析式；(2)点D 在线段AB 上，且AD AC =，若动点P 从A 点出发沿线段AB 以每秒1个单位长度的速度匀速运动，同时另一动点Q 以某一速度从C 点出发沿线段CB 匀速运动，问是否存在某一时刻t ，使线段PQ 被直线CD 垂直平分？若存在，请求出此时的时间t （秒）和点Q 的运动速度，若不存在，请说明理由；(3)在（2）的条件下，在x 轴上是否存在点M ，使MPQ 为等腰三角形？若存在，请求出所有点M 的坐标，若不存在，请说明理由．12．已知抛物线与x 轴交于1030A C -（，）、（，），与y 轴交于点03B -（，）．(1)求抛物线对应的函数解析式；(2)在x 轴上是否存在点P ，使PBC 为等腰三角形？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由；(3)点M 为抛物线上一动点，在直线BC 上是否存在点Q ，使以点O 、B 、Q 、M 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由．13．如图，抛物线212y x mx n =-++与x 轴交于A B ､两点，与y 轴交于点C ，拋物线的对称轴交x 轴于点D ，已知()()1,0,0,2A C -．(1)求抛物线的解析式；(2)点E 是线段BC 上的一个动点（不与B C ､重合），过点E 作x 轴的垂线与抛物线相交于点F ，当点E 运动到什么位置时，四边形CDBF 的面积最大？求出四边形CDBF 的最大面积及此时点E 的坐标．(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使PCD 为等腰三角形？如果存在，直接写出P 点的坐标；如果不存在，请说明理由．14．如图，已知抛物线与x 轴交于1,0A 和()5,0B -两点，与y 轴交于点C ．直线33y x =-+过抛物线的顶点P ．(1)求抛物线的函数解析式；(2)若直线()50x m m =-<<与抛物线交于点E ，与直线BC 交于点F ． ①当EF 取得最大值时，求m 的值和EF 的最大值； ①当EFC 是等腰三角形时，求点E 的坐标．15．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线23y ax bx =+-与x 轴交于点()60A ，和()10B -，，与y 轴交于点C ，连接BC ，过点A 、C 作直线AC ．(1)求抛物线的函数解析式．⊥交AC于点F，过点P作(2)点P为直线AC下方抛物线上一动点，过点P作PF AC∥交x轴于点E，求AE PFPE AC+的最大值及此时点P的坐标．(3)在（2）问的条件下，将抛物线23=+-沿射线CB方向平移10个单位长度得y ax bx到新抛物线y'，新抛物线y'与原抛物线交于点M；连接CP，把线段CP沿直线AC平移，记平移后的线段为C P''，当以C'、P'和M为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出所有符合条件的P'点的坐标．参考答案： 1．(1)223y x x =-++(2)BCD △为直角三角形(3)点P 的坐标为()2,3，四边形PBCD 的面积为42．(1)223y x x =-++(2)()1,1P(3)M 点横坐标为3172+或3172-或1或23．(1)248433y x x =--+ (2)81,3M ⎛⎫- ⎪⎝⎭ (3)252S =，3,52D ⎛⎫- ⎪⎝⎭(4)P 的坐标为：()1,0-或()1,13-或()1,13--或131,8⎛⎫- ⎪⎝⎭4．(1)211433=--y x x (2)当30m -<<时28S m =-+；当04m <<时228833S m m =-++． (3)52n =，2511n =和3011n = 5．(1)(5,5) ()2,4-(2)点P 的坐标为()()()()25,025,04,05,0-或或或(3)()21525056224t m m ⎛⎫=--+<< ⎪⎝⎭，t 的最大值为25246．(1)223y x x =--+(2)98ECD S =最大△(3)点P 的坐标为()535--，或()535+，或5122⎛⎫- ⎪⎝⎭，或()21-，．7．(1)239745+(2)17333-或8338．(1)211242y x x =-- (2)存在，12PK PD +的最大值为258 335,216P ⎛⎫- ⎪⎝⎭(3)存在，M 的坐标为()111，或()111-，或()1219-+，或()1219--，．9．(1)223y x x =-++(2)点P 的坐标为(1,1)(3)存在，点M 的横坐标为352+或35210．(1)223y x x =+-(2)点P 坐标为315,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭ max 758ABCP S =四边形 (3)1(1,14)D - 2(1,14)D -- 3(1,173)D -- 4(1,173)D --- 5(1,1)D --；11．(1)2116164y x x =--； (2)存在5t =时线段PQ 被直线CD 垂直平分，点Q 的运动速度每秒355单位长度； (3)1(2,0)M 2(33,0)10M -+ 3(33,0)10M -- 4(15,0)M ；12．(1)2=23y x x --(2)3,0-（）或(323,0)+,或(323,0)-+,或0,0（） (3)存在Q 1Q ：321213(,)22+- 2321213,)22(Q -+- 3)213(,22192Q --4)321(,29212Q +-+-13．(1)213222y x x =-++ (2)当2x =时，四边形CDBF 的面积最大，最大值为132，此时()2,1E (3)存在，满足条件的P 点坐标为35353325,,,4,22222216⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，14．(1)245y x x =--+(2)①当52m =-时，EF 有最大值，最大值为254；①()38-，或()45-，或()25622--，15．(1)215322y x x =-- (2)AE +PF 的最大值为：9595+；此时()3,6P - (3)点P '的坐标为：172112911,55⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭或172412911,55⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭或()11,13--。
二次函数特殊三角形存在性问题(等腰三角形、直角三角形)
特殊图形存在性问题一、等腰三角形1、情景：平面内有点A、B，要找到点P使得△ABP为等腰三角形。
2、思想：分类讨论（1）A为顶点：AB=AP（以A为圆心、AB长为半径画圆）（2）B为顶点：AB=BP（以B为圆心、AB长为半径画圆）（3）P为顶点：PA=PB（AB中垂线）【注】：1.利用两圆一线，找到符合要求的点，如P在抛物线对称轴上，在x轴上等；然后将问题转化为，求线段等长。
2.求线段等长：两点间距离（最笨的方法）；向坐标轴做垂线，构造一线三等角例1.如图，抛物线y=−x2+2x+3y=−x2+2x+3与y轴交于点C，点D(0,1)，点P是抛物线上的动点．若△PCD是以CD为底的等腰三角形，则点P的坐标为______．练习1.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A,B 两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为(3,0)，与y轴交于C(0,−3)点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．(1)求这个二次函数的表达式；(2)在直线BC找一点Q，使得△QOC为等腰三角形，写出Q点坐标．练习2、已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，直线l 是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．练习3.如图，抛物线y=ax2+bx﹣3（a≠0）的顶点为E，该抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且BO=OC=3AO，直线y=﹣x+1与y轴交于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）证明：△DBO∽△EBC；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PBC是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的P点坐标，若不存在，请说明理由．练习4.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交A(−1,0),B(−3,0)两点，与y轴交于点C(0,−3)，其顶点为D．(1)求该抛物线的解析式，并用配方法把解析式化为y=a(x−h)2+k的形式；(2)动点M从点D出发，沿抛物线对称轴方向向上以每秒1个单位的速度运动，运动时间为t，连接OM,BM，当t为何值时，△OMB为等腰三角形？练习5.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，m），点B的坐标为（n，﹣n），抛物线经过A、O、B三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点C．已知实数m、n （m＜n）分别是方程x2﹣2x﹣3=0的两根．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线PC与抛物线交于D、E 两点（点D在y轴右侧），连接OD、BD．①当△OPC为等腰三角形时，求点P的坐标；②求△BOD 面积的最大值，并写出此时点D的坐标．25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过原点O，与x轴交于点A（5，0），第一象限的点C（m，4）在抛物线上，y轴上有一点B（0，10）．（Ⅰ）求抛物线的解析式及它的对称轴；（Ⅱ）点P（0，n）在线段OB上，点Q在线段BC上，若OP＝2BQ，且P A＝QA．求n 的值；（Ⅲ）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使以A，B，M为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．19-红桥一模25．（10分）如图，抛物线y＝x2+bx+c与y轴交于点C（0，﹣4），与x轴交于点A，B，且B点的坐标为（2，0）．（1）求该抛物线的解析式．（2）若点P是AB上的一动点，过点P作PE∥AC，交BC于E，连接CP，求△PCE面积的最大值．（3）若点D为OA的中点，点M是线段AC上一点，且△OMD为等腰三角形，求M点的坐标．(17河北一模)25(10分）如图，己知抛物线y=x2+bx+c图象经过点A（﹣1，0），B（0，﹣3），抛物线与x轴的另一个交点为C．（1）求这个抛物线的解析式：（2）若抛物线的对称轴上有一动点D，且△BCD为等腰三角形（CB≠CD），试求点D的坐标；二、直角三角形1.情景：平面内有点A、B，要找到点P使得△ABP为直角三角形2.思想：分类讨论（1）A为顶点：∠A（过A做垂线）（2）B为顶点：∠B（过B做垂线）（3）P为顶点：∠C（AB为直径的圆）【注】1.等腰直角三角形，只需在两直线上上下找与AB等长以及过O做AB垂线与圆交点即可例1.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过矩形OABC的顶点A，B与x 轴交于点E，F且B，E两点的坐标分别为B(2，32)E(−1，0)(1)求二次函数的解析式；(2)在抛物线上是否存在点Q，使△QBF为直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．练习1.如图，抛物线y=x2+bx+3顶点为P，且分别与x轴、y轴交于A、B两点，点A在点P的右侧，tan∠ABO=13(1)求抛物线的对称轴和PP的坐标．(2)在抛物线的对称轴上是否存在这样的点D，使△ABD为直角三角形？如果存在，求点D 的坐标；如果不存在，请说明理由．例2.如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴相交于AB两点，与y 轴相交与点C，且点B与点CC 的坐标分别为(3,0)，C(0,3)，点M是抛物线的顶点．(1)求二次函数的关系式(2)在MB上是否存在点P，过点P作PD⊥x轴于点D,OD=m,使△PCD为直角三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由练习2.如图，在平面直角坐标系中，直线y=−13x+2交x轴点P，交y轴于点A．抛物线y=x2+bx+c的图象过点E(−1,0)，并与直线相交于A、B两点．(1)求抛物线的解析式（关系式）；(2)过点A作AC⊥AB交x轴于点C，求点C的坐标；(3)除点C外，在坐标轴上是否存在点M，使得△MAB是直角三角形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．练习3.如图，抛物线y=x2+bx+c与直线y=x﹣3交于A、B两点，其中点A在y轴上，点B坐标为（﹣4，﹣5），点P为y轴左侧的抛物线上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交AB于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）以O，A，P，D为顶点的平行四边形是否存在？如存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．（3）当点P运动到直线AB下方某一处时，过点P作PM⊥AB，垂足为M，连接PA使△PAM为等腰直角三角形，请直接写出此时点P的坐标．（18东丽-一模）25.如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，1）、（1，2），过点A、B分别作y轴的垂线，垂足为D、C，得到正方形ABCD，抛物线y=x2+bx+c经过A、C两点，点P为第一象限内抛物线上一点（不与点A重合），过点P分别作x轴y轴的垂线，垂足为E、F，设点P的横坐标为m，矩形PFOE与正方形ABCD重叠部分图形的周长为l．（1）直接写出抛物线所对应的函数表达式．（2）当矩形PFOE的面积被抛物线的对称轴平分时，求m的值．（3）当m＜2时，求L与m之间的函数关系式．（4）设线段BD与矩形PFOE的边交于点Q，当△FDQ为等腰直角三角形时，直接写出m的取值范围．三、平行四边形存在性问题类型一：1.情景：一直平面内三点A、B、C，求一点P使四边形ABCP为平行四边形2.思想：分类讨论（1）以AC为对角线：ABCP1（2）以AB为对角线：ACBP3（3）以BC为对角线：ACP2B【注】找到P点后，用平行四边形的判定定理，求等长线段，或利用等角度、平行线求坐标即可。
专题3 等腰三角形的存在性问题
专题3 等腰三角形的存在性问题（一）考点分析“两圆一线”模型已知线段AB ，在平面内找一点C ，使△ABC 为等腰三角形.（1） AB =AC 时，以A 为圆心，AB 为半径作圆，此圆上所有的点均满足条件； （2） BA =BC 时，以B 为圆心，AB 为半径作圆，此圆上所有的点均满足条件； （3） CA =CB 时，作AB 的垂直平分线，此直线上所有的点均满足条件.“两圆一中垂”上所有的点C 均满足△ABC 为等腰三角形，即满足“等腰”条件的点C 有无数个.因此，题目会对点C 再加上另外一个限定条件——例如还限定点C 在坐标轴上或抛物线上，这样，点C 的个数就只有几个.（二）典型例题例：已知点A (2,1),B (6,4)，若在x 轴上取点C ，使△ABC 为等腰三角形，求满足条件的点C 的坐标. 解法1：“两圆一线”模型 由题可知：AB =5（1）如图，AB =AC 时，由勾股定理可得：DC 1=DC 2=2√6，则C 1(2−2√6,0)，C 2(2+2√6,0) （2）如图， BA =BC 时，由勾股定理可得：EC 3=EC 4=3，则C 3(3,0)，C 4(9,0)（3）如图，CA =CB 时，设FC 5=x ，则HC 5=4−x ，由AC 5=BC 5得：x 2+1=(4−x)2+42图(3)图(2)图(1)图(3)图(2)图(1)解得：x =318，则C 5(478,0) 综上所述：C 1(2−2√6,0)，C 2(2+2√6,0)，C 3(3,0)，C 4(9,0)，C 5(478,0)如果学生掌握了中点公式和两条垂直直线k 的关系，第（3）种情况CA =CB 也可以通过代数方法解决，具体过程如下：由A (2,1),B (6,4)可知：M (4,52),k AB =34，则k MC 5=−43 ∴直线MC 5的解析式为y =−43x +476，则C 5(478,0)解法2：两点间距离公式——暴力解法设点C (x ,0)，则AB 2=(2−6)2+(1−4)2=25，AC 2=(2−x)2+(1−0)2=x 2−4x +5，BC 2=(6−x)2+(4−0)2=x 2−12x +52（1） AB =AC 时，25=x 2−4x +5解得：x 1=2−2√6,x 2=2+2√6，则C 1(2−2√6,0)，C 2(2+2√6,0) （2） BA =BC 时，25=x 2−12x +52 解得：x 1=3,x 2=9，则C 3(3,0)，C 4(9,0) （3） CA =CB 时，x 2−4x +5=x 2−12x +52 解得：x =478，则C 5(478,0) 综上所述：C 1(2−2√6,0)，C 2(2+2√6,0)，C 3(3,0)，C 4(9,0)，C 5(478,0)小结：利用两点间距离公式解题的基本思路是：列点、列线、列式.① 列点：列出构建所求等腰三角形的三个点，定点找到后，动点用参数表示其坐标； ② 列线：列出构建所求等腰三角形的三条边，并用两点间距离公式表示其长度； ③ 列式：采用分类讨论思想，列出三组方程并求解.（三）巩固强化1. 如图，抛物线y =ax 2+bx +c 的图象与x 轴交于A(−1,0)，B(3,0)两点，与y 轴交于点C(0,−3)，顶点为D ．(1)求此抛物线的解析式；(2)求此抛物线顶点D 的坐标和对称轴；(3)探究对称轴上是否存在一点P ，使得以点P 、D 、A 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的P 点的坐标，若不存在，请说明理由．2. 如图，抛物线y =ax 2+bx +c(a ≠0)与直线y =x +1相交于A(−1,0)，B(4,m)两点，且抛物线经过点C(5,0)． (1)求抛物线的解析式；(2)点P 是抛物线上的一个动点(不与点A 、B 重合)，过点P 作直线PD ⊥x 轴，交直线AB 于点E ．是否存在点P 使△BEC 为等腰三角形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．。
二次函数等腰三角形与直角三角形存在性问题(有答案)
等腰三角形直角三角形存在性问题典例1，如图,二次函数的图象与x轴交于点A、B两点,且A 点坐标为,与y轴交于点.(1)求出这个二次函数的解析式;(2)直接写出点B的坐标为(3)在x轴是否存在一点P,使是等腰三角形?假设存在,求出满足条件的P 点坐标;假设不存在,请说明理由;(4)在第一象限中的抛物线上是否存在一点Q,使得四边形ABQC的面积最大?假设存在,请求出Q点坐标及面积的最大值;假设不存在,请说明理由.答案详解解:(1)的图象经过,,,,所求解析式为:,答:这个二次函数的解析式是.(2)解:,故答案为:.(3)解:在中,,,,,①当时在x轴的负半轴),;②当时在x轴的正半轴),;③当时在x轴的正半轴),;④当时在x轴的正半轴),在中,设,那么解得:,;答:在x轴存在一点P,使是等腰三角形,满足条件的P点坐标是或或或.(4)解:如图,设Q点坐标为,因为点Q在上,即:Q点坐标为,连接OQ,,,,,Q点坐标为,答:在第一象限中的抛物线上存在一点Q,使得四边形ABQC的面积最大,Q点坐标是,面积的最大值是.解析:(1)因为的图象经过,,代入求出c、a的值,即可得到答案;(2)把代入求出x的值,即可得到答案;(3)在中根据勾股定理求出AC,根据等腰三角形的性质求出,①当时在x轴的负半轴),;②当时在x轴的正半轴),;③当时在x轴的正半轴),;④当时在x 轴的正半轴),,即可得出答案;(4)设Q点坐标为,因为点Q在上,得出Q点坐标为,连接OQ,根据,代入求出即可.此题主要考察对用待定系数法求二次函数的解析式,等腰三角形的判定,三角形的面积,二次函数图象上点的坐标特征,二次函数的最值等知识点的理解和掌握,综合运用这些性质进展计算是解此题的关键.题型较好,综合性强.练习：如图,抛物线与x轴交于点和点,与y 轴交于点C.(1)求抛物线的解析式;(2)设抛物线的对称轴与x轴交于点M,问在对称轴上是否存在点P,使为等腰三角形?假设存在,请求出符合条件的点P的坐标;假设不存在,请说明理由.答案详解解:(1)由题知:解得:所求抛物线解析式为:;(2)抛物线解析式为:,其对称轴为,设P点坐标为,当时,,,①当时,,解得,点坐标为:;②当时,,解得,点坐标为:或;③当时,由勾股定理得:,解得,点坐标为:综上所述存在符合条件的点P,其坐标为或或或;解析:(1)抛物线过A、B两点,可将两点的坐标代入抛物线的解析式中,用待定系数法即可求出二次函数的解析式;(2)可根据(1)的函数解析式得出抛物线的对称轴,也就得出了M点的坐标,由于C是抛物线与y 轴的交点,因此C的坐标为,根据M、C的坐标可求出CM的距离.然后分三种情况进展讨论:①当时,P位于CM的垂直平分线上.求P点坐标关键是求P的纵坐标,过P作轴于Q,如果设,那么直角三角形CPQ中,OM的长,可根据M的坐标得出,,因此可根据勾股定理求出x的值,P点的横坐标与M的横坐标一样,纵坐标为x,由此可得出P的坐标.②当时,根据CM的长即可求出P的纵坐标,也就得出了P的坐标(要注意分上下两点).③当时,因为C的坐标为,那么直线必垂直平分PM,因此P的纵坐标是6,由此可得出P的坐标;此题主要考察了二次函数的综合知识,要注意的是(2)中,不确定等腰三角形哪条边是底边的情况下,要分类进展求解,不要漏解.典例2，练习：如图，在平面直角坐标系中，抛物线〔〕与轴相交于，两点，与轴相交于点，直线〔〕经过，两点，，，且。
等腰三角形存在性问题(两圆一线)(人教版)(含答案)
学生做题前请先回答以下问题问题1：已知线段AB是等腰三角形的一条边，则对应两圆一线中的“两圆”与“一线”的操作方法是什么？问题2：两圆一线的分类标准是什么？分别对应什么操作？等腰三角形存在性问题（两圆一线）（人教版）一、单选题(共6道，每道14分)1.已知：如图，线段AB的端点A在直线上，AB与的夹角为60°，请在直线上另找一点C，使△ABC是等腰三角形．这样的点有( )A.1个B.2个C.3个D.4个答案：B解题思路：要使△ABC是等腰三角形，先分析点，定点是A，B，动点是C，那么AB是定线段，AB可以当这个等腰三角形的腰，也可以当这个等腰三角形的底．①当AB为腰时，此时作两圆，如图，②当AB为底时，此时作一线，如图，综上，使△ABC是等腰三角形的上的点C有2个．故选B试题难度：三颗星知识点：等腰三角形的存在性2.如图，已知直线PQ⊥MN于点O，点A，B分别在MN，PQ上，OA=1，OB=2，在直线MN或直线PQ上找一点C，使△ABC是等腰三角形，则这样的点C有( )个．A.3B.4C.7D.8答案：D解题思路：如图所示，当AB为等腰三角形的腰时，分别以A，B为圆心，AB长为半径作圆；当AB为等腰三角形的底时，作AB的垂直平分线；综上，满足条件的点C共有8个．故选D试题难度：三颗星知识点：两圆一线构造等腰三角形3.如图，在平面直角坐标系中，O为原点，已知A（2，-1），P是x轴上的一个动点，如果以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为( )A.2B.3C.4D.5答案：C解题思路：已知O，A两个定点，再寻找点P使得△OAP为等腰三角形，需要利用“两圆一线”解题，即：分别以O，A为圆心，以OA长为半径作圆；作线段OA的垂直平分线，与x轴的交点即为所求．如图所示，图中，，，即为所求．故选C试题难度：三颗星知识点：等腰三角形的存在性4.如图，在正方形网格的格点（即最小正方形的顶点）中找一点C，使得△ABC是等腰三角形，且AB为其中一腰．这样的C点有( )个．A.8B.9C.10D.11答案：B解题思路：如图，若点A为等腰三角形顶点，则以点A为圆心、以AB长为半径作圆，与正方形网格的格点交于点；若点B为等腰三角形顶点，则以点B为圆心、以AB长为半径作圆，与正方形网格的格点交于点（其中与A，B共线，故舍去）．故选B试题难度：三颗星知识点：两圆一线构造等腰三角形5.如图，在长方形ABCD中，AB=4，AD=10，点Q是BC的中点，点P在AD边上运动，若△BPQ是以BQ为腰的等腰三角形，则满足题意的点P有( )A.2个B.3个C.4个D.5个答案：B解题思路：如图，当BQ为等腰三角形的腰时，分别以点B，Q为圆心，以BQ长为半径作圆，与线段AD有三个交点．此时等腰△BPQ的腰长都为5，符合题意．综上，满足题意的点P有3个．故选B试题难度：三颗星知识点：两圆一线构造等腰三角形6.如图所示，在长方形ABCD的对称轴上找一点P，使得△PAB，△PBC均为等腰三角形，则满足条件的点P有( )A.1个B.3个C.5个D.无数多个答案：C解题思路：点P在对称轴上，使得△PAB，△PBC均为等腰三角形；∵对称轴垂直平分BC，点P在对称轴上，∴△PBC是等腰三角形；如图，当AB为等腰三角形的腰时，分别以A，B为圆心，AB长为半径作圆，与交于点P；如图，当AB为等腰三角形的底时，作AB的垂直平分线，与交于点P；综上，满足条件的点P共有5个．故选C试题难度：三颗星知识点：两圆一线构造等腰三角形二、填空题(共1道，每道16分)7.如图，边长为6的正方形ABCD内部有一点P，BP=4，∠PBC=60°，点Q为正方形边上一动点，且△PBQ是等腰三角形，则符合条件的Q点有____个．答案：5解题思路：如图所示，当BP为等腰三角形的腰时，分别以B，P为圆心，BP长为半径作圆，与正方形交于点；当BP为等腰三角形的底时，作BP的垂直平分线，交正方形于点；特别说明：：点是以点B为圆心，BP为半径作圆得到的，此时，因为∠PBC=60°，所以是等边三角形，且；：过点P作PE⊥AB于点E，延长EP交CD于点F；在Rt△BEP中，∠EBP=90°-60°=30°，BP=4得PE=2∵EF=AD=6∴PF=4∴点F即为点；综上，满足条件的点P共有5个．试题难度：知识点：两圆一线构造等腰三角形。
等腰直角三角形(正方形)存在性问题
等腰直角三角形（正方形）存在性问题x+m与x、y轴的正半例1、如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线l:y=−12轴分别相交于点A、B，过点C（﹣4，﹣4）画平行于y轴的直线交直线AB于点D，CD=10．（1）求点D的坐标和直线l的解析式；（2）求证：△ABC是等腰直角三角形；（3）如图2，将直线l沿y轴负方向平移，当平移适当的距离时，直线l与x、y轴分别相交于点A′、B′，在直线CD上存在点P，使得△A′B′P是等腰直角三角形．请直接写出所有符合条件的点P的坐标．（不必书写解题过程）例2、如图，直线AB 经过点B(0, -2) ，并与反比例函数y=k交于点A(3, -1) ．x（1）求直线AB 和反比例函数的表达式；（2）点C 是点B 关于原点的对称点，Q 为线段AC（不含端点）上一动点，过点Q 作QP∥y 轴交反比例函数于点P，点D 为线段QP 的中点，点E 为x 轴上一点，点F 为平面内一点，当D，C，E，F 四点构成的四边形为正方形时，求点Q 的坐标．例3、如图，在平面直角坐标系xoy中，把抛物线y=x2先向右平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线y=(x−ℎ)2+k，所得抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，顶点为M；（1）写出h、k的值以及点A、B的坐标；（2）点P是抛物线上一动点，连接AP，以AP为一边作正方形APFG，随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变．当顶点F或G恰好落在y轴上时，请直接写出对应的点P 的坐标．（不写过程）x2+4与x轴交于点A，B两例4、如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y=−12点，顶点为D（0，4），设点F（m，0）是x轴的正半轴上一点，将抛物线C绕点F旋转180°，得到新的抛物线C′。
如图2，P是第一象限内抛物线C上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P在抛物线C′上的对应点为P′，设M是C上的动点，N是C′上的动点，试探究四边形PM P′N能否成为正方形，若能，求出m的值；若不能，请说明理由。
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等腰三角形存在性问题（两圆一线）
类型一、格点中的等腰三角形
1、在如图所示的5×5方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），则与△ABC有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是（）
2、.如图，在正方形网格的格点（即最小正方形的顶点）中找一点C，
使得△ABC是等腰三角形，且AB为其中一腰．这样的C点有( )个．
3、如图，A、B是网格中的两个格点，点C也是网格中的一个格点，连接AB、BC、AC，当△ABC为等腰三角形时，格点C的不同位置有处，设网格中的每个小正方形的边长为1，则所有满足题意的等腰三角形ABC的面积之和等于．
4、如图，在图中能画出与△ABC全等的格点三角形有几个？
类型二、定边几何法讨论：两圆一线
5、以线段AB为一边的等腰直角三角形有个，请在下列图中画出来
6、（1）如图所示，线段OD的一个端点O在直线AB上，以OD为一边的等腰三角形ODP，并且使点P也在AB 上，这样的等腰三角形能画个（在图中作出点P）
（2）若∠DOB=60°，其它条件不变，则这样的等腰三角形能画个，（只写出结果）
（3）若改变（2）中∠DOB的度数，其他条件不变，则等腰三角形ODP的个数和（2）中的结果相同，则改变后∠DOB=．
7、如图，南北向的公路上有一点A，东西向的公路上有一点B，若要在南北向的公路上确定点P，使得△PAB是等腰三角形，则这样的点P最多能确定（）个．
8、线段AB和直线l在同一平面上．则下列判断可能成立的有个
直线l上恰好只有个1点P，使△ABP为等腰三角形
直线l上恰好只有个2点P，使△ABP为等腰三角形
直线l上恰好只有个3点P，使△ABP为等腰三角形
直线l上恰好只有个4点P，使△ABP为等腰三角形
直线l上恰好只有个5点P，使△ABP为等腰三角形
直线l上恰好只有个6点P，使△ABP为等腰三角形．
9、如图AOB ∠,当 30为AOB ∠， 60，
120时，请在射线OA 上找点P ，使POB ∆为等腰三角形，并分析出当AOB ∠发生变化时，点P 个数的情况；
类型三、三角形、长方形和正方形中的等腰三角形
10、如图，在长方形ABCD 中，AB=4，AD=10，点Q 是BC 的中点，点P 在AD 边上运动，若△BPQ 是腰长为5的等腰三角形，则满足题意的点P 有( )个
11、如图所示，在长方形ABCD的对称轴上找一点P，使得△PAB，△PBC均为等腰三角形，则满足条件的点P 有( )个
12、如图，边长为6的正方形ABCD内部有一点P，BP=4，∠PBC=60°，点Q为正方形边上一动点，且△PBQ是等腰三角形，则符合条件的Q点有____个．
13、在等边△ABC所在的平面内求一点P，使△PAB，△PBC，△PAC都是等腰三角形，请画出所有满足条件的点；
等腰三角形存在性问题（两圆一线）答案
类型一、格点中的等腰三角形
1、在如图所示的5×5方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），则与△ABC有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是（4）
2、.如图，在正方形网格的格点（即最小正方形的顶点）中找一点C，
使得△ABC是等腰三角形，且AB为其中一腰．这样的C点有( B )个．
A.8
B.9
C.10
D.11
3、如图，A、B是网格中的两个格点，点C也是网格中的一个格点，连接AB、BC、AC，当△ABC为等腰三角形时，格点C的不同位置有3处，设网格中的每个小正方形的边长为1，则所有满足题意的等腰三角形ABC的面积之和等于15．
【解答】解：格点C的不同位置分别是：C、C′、C″，
∵网格中的每个小正方形的边长为1，
∴S△ABC=×4×3=6，
S△ABC′=20﹣2×3﹣=6.5，
S△ABC″=2.5，
∴S△ABC+S△ABC′+S△ABC″=6+6.5+2.5=15．
故答案分别为：3；15．
4、如图，在图中能画出与△ABC全等的格点三角形有几个？
类型二、定边几何法讨论：两圆一线
5、以线段AB为一边的等腰直角三角形有个，请在下列图中画出来
6、（1）如图所示，线段OD的一个端点O在直线AB上，以OD为一边的等腰三角形ODP，并且使点P也在AB 上，这样的等腰三角形能画4个（在图中作出点P）
（2）若∠DOB=60°，其它条件不变，则这样的等腰三角形能画2个，（只写出结果）
（3）若改变（2）中∠DOB的度数，其他条件不变，则等腰三角形ODP的个数和（2）中的结果相同，则改变后∠DOB=90°．
7、如图，南北向的公路上有一点A，东西向的公路上有一点B，若要在南北向的公路上确定点P，使得△PAB是等腰三角形，则这样的点P最多能确定（）个．
8、线段AB 和直线l 在同一平面上．则下列判断可能成立的有 5 个 直线l 上恰好只有个1点P ，使△ABP 为等腰三角形
直线l 上恰好只有个2点P ，使△ABP 为等腰三角形
直线l 上恰好只有个3点P ，使△ABP 为等腰三角形
直线l 上恰好只有个4点P ，使△ABP 为等腰三角形
直线l 上恰好只有个5点P ，使△ABP 为等腰三角形
直线l 上恰好只有个6点P ，使△ABP 为等腰三角形．
9、如图AOB ∠,当 30为AOB ∠， 60， 120时，请在射线OA 上找点P ，使POB ∆为等腰三角形，并分析出当
AOB ∠发生变化时，点P 个数的情况；
【结论】当AOB ∠为锐角，AOB ∠ 60≠，有三个点，当AOB ∠=
60，只有一个点；
当AOB ∠为钝角或直角，只有一个点；
类型三、三角形、长方形和正方形中的等腰三角形
10、如图，在长方形ABCD中，AB=4，AD=10，点Q是BC的中点，点P在AD边上运动，若△BPQ是腰长为5的等腰三角形，则满足题意的点P有( B )
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
11、如图所示，在长方形ABCD的对称轴上找一点P，使得△PAB，△PBC均为等腰三角形，则满足条件的点P 有( C )
A.1个
B.3个
C.5个
D.无数多个
12、如图，边长为6的正方形ABCD内部有一点P，BP=4，∠PBC=60°，点Q为正方形边上一动点，且△PBQ是等腰三角形，则符合条件的Q点有____个．
13、在等边△ABC所在的平面内求一点P，使△PAB，△PBC，△PAC都是等腰三角形，请画出所有满足条件的点；。