逆用公式 巧妙解题
平方差公式和完全平方公式的逆运用
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巧用平方差公式解题
巧用平方差公式解题江苏 朱元生平方差公式 22))((b a b a b a -=-+ 用语言可叙述为：两数之和与两数之差的积等于这两数的平方差。
在解题过程中，若能灵活运用平方差公式，可使问题化繁为简，化难为易，复杂问题迎刃而解，现举例解析如下，供同学们参考：例1、计算：22)111049()11150(- 解析：若先算平方，再求差，则复杂繁琐，而将a 看作11150，将b 看作111049，逆用平方差公式，则问题化繁为简，事半功倍22)111049()11150(-=11200112100)11104911150)(11104911150(=⨯=-+ 例2、计算：1.1009.991002⨯-解析：先算平方和积，再求差，比较麻烦，而将1.1009.99⨯变形为)1.0100)(1.0100(+-，再运用平方差公式，则问题迅速获解1.1009.991002⨯-=01.0)1.0100(100)1.0100)(1.0100(1002222=--=+-- 例3、计算：2200720052006222-+ 解析：直接计算，数值较大，可先将分母22007200522-+变形为)12007()12005(22-+-，再逆用平方差公式，则问题迅捷可解原式=)12007)(12007()12005)(12005(2006)12007()12005(20062222-++-+=-+- =212006200622006)20082004(2006200620082006200420062006222=⨯⨯=+⨯=⨯+⨯ 例4、计算：)1011()411)(311)(211(2222---- 解析：这道题项数较多，数值较大，各个括号逐一计算，比较麻烦，令人望而生畏 而逆用平方差公式，将各括号展开交错约分可使问题巧妙获解原式=)1011)(1011()411)(411)(311)(311)(211)(211(+-+-+-+- =20111011211011109454334322321=⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 例5、试确定1)13)(13)(13)(13)(13)(13)(13(2643216842++++++++的未位数 解析：这个问题看起来比较复杂，项数多，数值大，根据算式的结构特征，将2变形为（3-1）再连续运用平方差公式，可使问题柳暗花明，迎刃而解。
逆用完全平方公式的六种变形
因为（１一 １ ） ≥０ 了 所 以 ｚ ， 当且 仅 当７ ≥１ １一 １ ＝ ０时
，
ｌ ２ ［ 一 Ｊ ｘ
时 ，ｚ＝ ｌ 立 ． 成
点评 ：要求 一 个代 数 式 的最 小值 或 最 大 值 ，逆 用 完全 平方 公式将 其 变形 是
常 方法． 于ｚ （ （ ） 要 用的 由 ＝专） 寺 ＋ ，
点 评 ：像 这种 一个 等式 含有 两个未 知字 母 的求值 问题 ，常常 要把 已 知 等式 变形 为两 个完全 平 方式和 为 ０的形 式 ，然后 再求 出字母 的值 ．
二 、消 元变形
例 ２ 已知 一 ｌ ≤ １ ≤ ，且
（
．
：１ ，则 ２ １ ＋ 的最 小值 是 ＋
底数 （ 寺）的取值范围， 进而求得完全平方式 （ 寺） 取值范围， 的 ＋
最后 求得 所要 求 的最小 值 ． 三 、系数 变形 例 ３ 如果 ｂ都 是有理 数 ，且 一 ２ ｂ ２ ４ ＋ ａ ＋ ｂ ａ ８＝ ０ ＋ ，则 ａ ｂ等
于 （ ） ．
Ｂ． ８ Ｃ． ３ ２ Ｄ ．２０ ４ ０ Ａ．一 ８
解 ：将已知等式化为 一 ４＋ ）＋ ＋ｙ ９ ｘ ４ ６＋ ）： ０ ． 所以 一２ 。 （ ） ０ ）＋ ３ ＝ ．
因为 一 ２ ， ） ≥０ 所 以 — ２ ＝ ０ ） ， ３ ≥０ ） ， ３ ＝ ０ ） ．
所 以 ： ２ ，ｙ＝一 ３ ＝ ９ ， ．
四 、添 项 变形
例４设 ， 为 实 ， ｙ＝， 么 ＝ 寿 的 小 为 Ｙ 正 数 且ｘ＝ｌ那 ｚ： ＝ ＝ 专＋ 最 值 一
解 ： 当 一 １时 ，有 ＝１ ．
所 ｚ ［ 。２ 专＋ 以＝（ 一 ・ ・ （ ２专・ 专 ＋・
运算中逆用乘法公式
Ｃ
两 不等 式相 加 ， 得Ｂ Ｃ ＋ Ａ Ｄ ＞ Ａ Ｂ ＋ Ｃ Ｄ ，
￣ Ｐ Ｂ Ｃ ＋ ＡＤ ＞ ＡＢ ＋ Ｃ Ｄ ．
（ 本题通 过 翻折 ， 使 原来 分 散 的各 种条 件 集 中到 ＡＤ Ｅ Ｃ 和 ＡＡ Ｂ Ｅ 中，
然后将 问题 明朗化） ．
例 ２计 算 （ 号 一 ６ ） ２ － （ ３
析： ｍＴ ： ＿ ｖ
３ ＿ － 一 ６ 与 号 ＋ ６ 的 差 与 和 均 为 单 项 式 ， 所 以 可 逆 用 平 方 差 公 式 ・
Ｊ
解 ： 原 式 ＝ ［ （ Ｐ ３ 一 ６ ） ＋ （ ３ ＋ ６ ） ］ ［ （ ～ ６ ） 一 （ ｆ ＋ ６ ） － Ｉ ＝ ÷ ｐ × （ 一 １ ２ ） 一 ８ ｔ ， ．
《 一
在乘 法运 算 中， 学 生对许 多 公式从 左 到右 的应 用较 为 熟悉 ， 但从 右 到
左 的逆用 就较 为 生疏 ， 而 在许 多乘 法运 算 中如 果 能恰 当应用 公式 的逆用 ，
就 可使运 算 快捷 现将 常用 的公 式逆 用举例 如 下 ， 以供 同学们 学 习时参考 ．
求证： Ｂ Ｃ ＋ Ａ Ｄ＞ ＡＢ ＋ Ｃ Ｄ．
析解 ： 分别 以Ｂ Ｄ、 ＡＣ 为轴 ，
将 ＡＢ Ｃ Ｄ和 ＡＡ ＤＯ 翻折１ ８ ０ 。 ，
可得Ｂ Ｃ ＝ Ｂ Ｃ ， ＡＤ ＝ ＡＤ，
又因Ｃ Ｄ ＝ Ｃ Ｄ， Ｅ Ｃ ＋ Ｅ Ｄ ＞ Ｃ Ｄ ， Ｅ Ａ＋ 朋 ＞ Ａ Ｂ，
原： 原式＝ Ｅ （ ｙ ２ － ４ ｙ ＋ ５ ） 一 一 ＋ １ ） ］ ２ ＿ （ ５ — １ ） ２ ＝ １ ６ ．
四、 公 式 的两次 逆用
例４ 计算 （ ｍ＋ （ ｍ— ｎ ） ２ － （ ２ ｍ＋ ｎ ） （ ２ ｍ 一
逆用公式
数学思维
柯西不等式
等号成立当且仅当时，等号成立
1.逆用公式
使用公式一般是创造条件，使用公式，但有的题目要求证明的部分往往和某个公式条件很像，但与该公式本身却几乎看不出什么联系，又因为公式的条件往往都是充要条件（当且仅当），此时我们可以想到把把该公式和条件倒换过来用，即先用其他方法构造出该公式的形式（证明类似该公式形式的式子成立）然后可以得到它的条件也成立，那么就达到证明的目的了。
举个例子来说（随便一个例子）
给出一大堆条件，然后让你证明
成立
如果证明困难的话，那么我可以利用反证法，即假设，然后再推出矛盾，这是一种方法
而重点我们要说的是用公式
我们联想到
是不等式成立的充要条件
因此我们可以用所给条件证明出那么，我就可以自豪的
宣称成立了！
经常用来解方程
下面是例题
例题1.
在上面这道题中，根据已知条件的形式很容易想到要构造柯西不等式
继而发现等号恒成立，继而推出等号成立条件也成立，再利用等比性质得出结论。
逆用性质,巧妙求值
逆用性质，巧妙求值“正向”运用幂的运算性质计算时，同学们的正确率往往都很高，但是却不能因此“小视”这些性质，因为这些性质可以逆过来运用，特别在一些求值或比较大小的习题中，逆向使用，往往能化难为易、柳暗花明. 一、同底数幂的乘法的逆向运用例 1 若xm=3, xn=5,贝U xm+n的值为（）.A.8B.15C.53D.35 【分析】为了能使待求式直接用上已知条件，可以逆用同底数幂的乘法法贝，将待求式变形，即xm+n=xm?xn.解：因为xm+n=xm?xn 所以当xm=3,xn=5 时，原式=3X5=15. 故应选B. 二、幂的乘方的逆向的运用例 2 若a=8131，b=2741，c=961 ，贝a，b，c 大小关系是（）.A.a>b>cB.c123>122，所以a>b>c,故选A.三、积的乘方的逆向运用例 3 计算：-卜5142018] X [2452018].【分析】这么大的两个数相乘，强行计算一定很难得到正确的结果，想到积的乘方的运算法贝的逆向运用，贝可以将问题转化为两个简单的分数相乘.解：-[- 5142018]X [2452018]=-[- 514X 1452018]=-（-1 ）2018=-1. 四、同底?得莸某?法的逆向运用例4如果am=3 an=9，试求a3m-2n的值.【分析】要求a3m-2n 的值，为了能充分运用已知条件，逆用同底数幂的除法运算法则将a3m-2n写成a3m^a2n,再通过逆用幂的乘方法则进一步地变形即可求值.解：因为a3m-2n=a3m^ a2n= ( am) 3*( an) 2,所以当am=3 an=9 时，原式=33一92=1*3=[13].巩固练习计算：572X 0.0435+[ - 3112018] X [3232019].解：572X 0.0435+[ - 3112018] X [3232019]=52X( 52) 35X 0.0435+[ -3112018]X [1132018] X [113]=25X( 25X 0.04 ) 35+[- 311X 1132018]X [113]=25+[113]=[2823].。
专题02 幂的运算公式的逆用(解析版)
专题02 幂的运算公式的逆用题型一 同底数幂的乘法公式的逆用一、单选题1．我们知道下面的结论：若m n a a =（0a >，且1a ¹），则m n =．利用这个结论解决下列问题：设32,36,318m n p ===．现给出,,m n p 三者之间的三个关系式：①2m p n +=，②346m n p +=-，③2223p n m --=．其中正确的是（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①【答案】B【解析】【分析】根据同底数幂的乘除法公式即可求出m 、n 、p 的关系．【详解】解：∵13632333n m m +==´=´=，∴n =1+m ，m =n -1，∵131836333p n n +==´=´=，∴p =1+n =1+1+m =2+m ，①m +p =n -1+1+n =2n ，故正确；②3m +n =3（p -2）+p -1=4p -7，故错误；③222p n m--=()()2p n p n m+--=()()21212m m m m m++++---=3，故正确；故选B ．【点睛】本题考查同底数幂的乘除法，解题的关键是熟练运用同底数幂的乘除法公式，本题属于中等题型．2．若4m a =，6n a =，则m n a +=（）A ．23B ．32C ．10D ．24【答案】D【解析】【分析】原式根据同底数幂乘法的逆运算求解即可得到答案．【详解】解：∵4m a =，6n a =，∴4624m n m n a a a +==´=g 故选：D ．【点睛】此题主要考查了同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．3．计算20182019155öæ-´ç÷èø的结果是（ ）A ．1-B ．5-C ．1D ．5【答案】D【解析】【分析】逆用同底数幂的乘法法则计算即可．【详解】∵20182019155öæ-´ç÷èø201820181555öæ=-´´ç÷èø20181555öæ=-´´ç÷èø5=．故选：D ．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法及其逆应用，熟练掌握法则，并灵活逆向应用是解题的关键．二、填空题4．阅读理解：①根据幂的意义，n a 表示n 个a 相乘；则m n m n a a a +=×；②n a m =，知道a 和n 可以求m ，我们不妨思考；如果知道a ，m ，能否求n 呢？对于n a m =，规定[a ，]m n =，例如：2636=，所以[6，36]2=．记[5，]4x m =，[5，3]42y m -=+；y 与x 之间的关系式为__．【答案】253y x =+【解析】【分析】由题意得：x ＝54m ，y−3＝54m ＋2，然后根据同底数幂的逆用得问题的答案．【详解】解：由题意得：45m x =，4235m y +-=，4235525m y x \-=´=，即253y x =+．故答案为：253y x =+．【点睛】本题考查了有理数的乘方、同底数幂乘法的逆用，正确理解新规定是解题的关键．5．若=3n x ，6m x =，则2m n x +的值为________．【答案】54【解析】【分析】根据同底数幂的乘法和幂的乘方逆运算计算即可；【详解】∵=3n x ，6m x =，∴()226954m n m n x x x +==´=g ；故答案是54．【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法和幂的乘方，准确计算是解题的关键．三、解答题6．已知a x ＝－2，a y ＝3．求：(1)a x ＋y 的值；(2)a 3x 的值；(3)a 3x ＋2y 的值．【答案】(1)－6；(2)－8；(3)－72【解析】【详解】试题分析：（1）逆运用同底数幂相乘，底数不变指数相加解答；（3）逆运用幂的乘方，底数不变指数相乘解答；（3）逆运用幂的乘方和同底数幂的乘法进行计算即可得解．试题解析：(1)a x ＋y =a x •a y =－2×3=－6；(2)a 3x =(a x )3=(－2)3=－8；(3) a 3x ＋2y =(a 3x )•(a 2y )=(a x )3•(a y )2=(－2)3×32=－8×9=－72．7．阅读理解：在上学期的学习中，我们知道若n a m =，其中a 是底数，n 是指数，m 称为幂，知道a 和n 可以求m ．我们不妨思考：如果知道a ，m ，能否求n 呢？对于n a m =，规定[a ，m]=n ，例如：2636=，所以[6，36]=2．（1）根据上述规定，填空：[3，______]= 4，[2，32]=_____，[-4，1]=______，[5，0.2]=______；（2）记[5]4x m =，，[53]42y m -=+，，求y 与x 之间的关系式．【答案】（1）81（或34）；5；0；-1；（2）253y x =+．【解析】【分析】（1）根据乘方、零指数幂、负整数指数幂的性质和新规定求解即可；（2）根据新规定列式整理即可．【详解】解：（1）∵34＝81，25＝32，()041-=，1150.25-==，∴[3，81]= 4，[2，32]=5，[-4，1]=0，[5，0.2]=－1；故答案为：81；5；0；-1；（2）由题意得：4425,35m m x y +=-=，∴4235525m y x -=´=，即253y x =+．【点睛】本题考查了乘方、零指数幂、负整数指数幂以及同底数幂乘法的逆用，正确理解新规定是解题的关键．题型二 幂的乘方与积的乘方公式的逆用一、单选题1．计算20206060(0.125)(2)-´的结果是（）A ．1B ．1-C ．8D ．8-【答案】A【解析】【分析】将6060(2)化为2020(8)使两个幂的指数相同，再利用积的乘方逆运算进行计算.【详解】20206060202022020002(0.125)(2)(0.125)(8)(01.1258)-´-´-´===，故选：A.【点睛】此题考查幂的乘方逆运算，积的乘方逆运算，熟记公式是解题的关键.2．若999999a =，990119b =，则下列结论正确是（ ）A ．a ＜bB ．a b =C ．a ＞bD ．1ab =【答案】B【解析】【详解】()9999999909990909119991111===99999a b +´´==´，故选B.【点睛】本题考查了有关幂的运算、幂的大小比较的方法，一般说来，比较几个幂的大小，或者把它们的底数变得相同，或者把它们的指数变得相同，再分别比较它们的指数或底数.3．如果320a b +-=，那么327a b ´的值为（ ）A ．19B ．3C ．9D ．27【答案】C【解析】【分析】由320a b +-=可得32a b +=，根据幂的乘方及同底数幂运算法则可得327a b ´=33a b +，把32a b +=代入即可得答案．【详解】∵320a b +-=，∴32a b +=，∴327a b´=33(3)a b´=333a b´=33a b+=23=9．故选：C ．【点睛】本题考查幂的乘方及同底数幂乘法，幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂相乘，底数不变，指数相加；熟练掌握运算法则是解题关键．二、填空题4．已知2232336x x x ++-×=，则x =__________．【答案】8．【解析】【分析】根据积的乘方和幂的乘方的逆运算，把等式变形，根据指数相同求解即可．【详解】解：2232336x x x ++-×=，根据积的乘方和幂的乘方，等式可变形为：223(23)(6)x x +-´=，即22666x x +-=，226x x +=-，解得，8x =故答案为：8．【点睛】本题考查了幂的运算的逆运算，解题关键是把等式恰当变形，依据底数相同，指数也相同列方程．5．观察等式：232222+=-；23422222++=-；2345222222+++=-¼已知按一定规律排列的一组数：502、512、522、¼、992、1002．若502a =，用含a 的式子表示这组数的和是____．【答案】22a a-【解析】【分析】由等式：232222+=-；23422222++=-；2345222222+++=-，得出规律：231222222n n ++++¼+=-，那么5051529910022222+++¼++23100(2222)=+++¼+2349(2222)-+++¼+，将规律代入计算即可．【详解】解：232222+=-Q ；23422222++=-；2345222222+++=-；¼231222222n n +\+++¼+=-，5051529910022222\+++¼++231002349(2222)(2222)=+++¼+-+++¼+10150(22)(22)=---1015022=-，502a =Q ，10150222(2)22a \==g ，\原式22a a =-，故答案是：22a a -．【点睛】本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．6．201920200.125(8)´-=____．若2•4m •8m =221，则m =____．【答案】8 4【解析】【分析】（1）根据积的乘方运算的逆运算即可求解.（2）根据同底数幂的性质即可求解.【详解】解：201920200.125(8)´-=201920190.12588´-´-（）（）=[]20190.12588´-´-（）（）=18-´-（）=82•4m •8m =221即：23212222m m =n n 512122m +=∴5m+1=21m=4【点睛】此题主要考查积的乘方运算的逆运算和同底数幂的性质，熟练掌握积的乘方运算法则及逆运算和两个同底数幂相等可得指数相等是解题关键.三、解答题7．已知x 2a ＝2，y 3a ＝3，求（x 2a ）3+（ya ）6﹣（x 2y ）3a •y 3a 的值．【答案】-55.【解析】【分析】先用同底数幂相乘和幂的乘方将原式化成含有x 2a ，y 3a 的形式，然后代入求值即可.【详解】解：当x 2a ＝2，y 3a ＝3时，原式＝（x 2a ）3+y 6a ﹣（x 6ay 3a ）•y 3a＝（x 2a ）3+（y 3a ）2﹣（x 2a ）3•（y 3a ）2＝23+32﹣23×32＝8+9﹣8×9＝﹣55．【点睛】本题考查幂的乘方和同底数幂相乘，熟练运用幂的乘方运算法则是解答本题的关键.8．已知22n x =，求()()22323n n x x -的值.【答案】14【解析】【分析】先将32(2)n x 与2(3)n x 写成含有2n x 的形式即234()n x 、29()n x ，再将22n x =代入求值即可.【详解】322(2)(3)n n x x -6249n nx x =-2324()9()n n x x =-∵22n x =，∴原式3429214=´-´=.【点睛】此题考察代入求值，根据已知的条件将所给式子进行变形是解题的关键.题型三 同底数幂的乘法公式的逆用一、单选题1．已知x a =3，x b =4，则x 3a-2b 的值是（）A ．278B ．2716C ．11D ．19【答案】B【解析】【详解】试题分析：根据同底数幂的除法和幂的乘方的逆运算，可知x 3a-2b =x 3a ÷x 2b =（x a ）3÷（x b ）2，然后整体代入即可得原式=33÷42=2716.故选B点睛：此题主要考查了同底数幂的除法和幂的乘方，解题关键是明确同底数幂的除法和幂的乘方的法则，然后逆用代入计算即可.同底数幂相除，底数不变，指数相减；幂的乘方，底数不变，指数相乘.2．若3x ＝4，9y ＝7，则3x ﹣2y 的值为（）A ．47B ．74C ．﹣3D ．2【答案】A【解析】【分析】根据同底数幂的除法的逆用，幂的乘方的逆运算进行计算即可．【详解】解：∵34x =，97y =，∴()222433333397y x y x y x x y -=¸=¸=¸=．故选A ．【点睛】本题考查了同底数幂的除法的逆运算，幂的乘方的逆运算，掌握同底数幂的除法逆运算，幂的乘方的逆运算法则是解题的关键．3．已知xa ＝4，xb ＝5，则x 3a ﹣2b 等于（ ）A ．6425B ．1610C ．1625D ．45【答案】A【解析】【分析】利用同底数幂的除法的逆运用和幂的乘方的性质的逆用计算即可．【详解】解：∵xa ＝4，xb ＝5，∴x 3a-2b =（xa ）3÷（xb ）2，=64÷25，=6425．故选：A ．【点睛】本题考查同底数幂的除法，幂的乘方的性质，逆用性质，把原式转化为（xa ）3÷（xb ）2是解决本题的关键．二、填空题4．若65,68a b ==，则36a b -=_________【答案】2564【解析】【分析】根据逆用幂的乘方与同底数幂的除法运算进行计算即可．【详解】Q 65,68a b ==\36a b -=()()222222266525668646a a a b b b -æö====ç÷èø故答案为：2564【点睛】本题考查了幂的乘方与同底数幂的除法，正确的计算是解题的关键．5．若36m =，92n =，则2413m n -+的值是________．【答案】27【解析】【分析】根据同底数幂的乘法和除法逆运算，再利用幂的乘方逆运算将分子和分母化为已知有关的式子，然后代入进行计算即可得解.【详解】∵36m =，92n =，()()241222223336336327243m n m n -+´´´====éùêúëû，故答案为：27.【点睛】本题主要考查了同底数幂的除法，幂的乘方，熟练掌握相关计算法则是解决本题的关键.6．若9m ＝4，27n ＝2，则32m ﹣3n ＝__．【答案】2【解析】【分析】根据指数的运算，把32m ﹣3n 改写成同底数幂除法，再用幂的乘方的逆运算即可．【详解】解：32m ﹣3n ，＝32m ÷33n ，＝23(3)(3)m n¸＝9m ÷27n ，＝4÷2，＝2；故答案为：2.【点睛】本题考查了幂的乘方与同底数幂的除法的逆运算，根据指数的运算特点，把原式改写成对应的幂的运算是解题关键．三、解答题7．已知5a ＝3，5b ＝8，5c ＝72．（1）求（5a ）2的值．（2）求5a -b +c 的值．（3）直接写出字母a 、b 、c 之间的数量关系为________．【答案】（1）9；（2）27；（3）2c a b=+【解析】【分析】（1）直接将53a =整体代入()25a 中，求值即可；（2）根据同底数幂的乘法和同底数幂的除法法则可将5a b c -+改为555a cb ´，再整体代入求值即可．（3）由572c =可改写为2538c =´，再将53a =，58b =代入即可得出25(5)5c a b =´，最后由同底数幂的乘法法则即得出答案．【详解】解：（1）∵53a =，∴()22539a ==；（2）∵5555a ca b c b -+´=，且53a =，58b =，572c =，∴3725278a b c -+´==；（3）∵22257238(5)55c a b a b+==´=´=∴2c a b =+．【点睛】本题考查同底数幂的乘、除法以及其逆用，幂的乘方；掌握各运算法则是解答本题的关键．8．（1）已知2,3m n a a ==，求23m n a -的值．（2）已知：23n x =，求()()4525n n n x x x +﹣的值．【答案】（1）427；（2）261-【解析】【分析】（1）先根据同底数幂的除法以及幂的乘方进行变形，再代入求出即可；（2）先算乘法，变形后代入求出即可．【详解】解：（1）（1）∵2,3m n a a ==，∴()()2222333324327mm m n n n a a a a a -====；（2）∵x 2n =3，∴()()4525n n n x x x +﹣=()()232210n n x x -=233103-´=261-．【点睛】本题考查了整式的混合运算和求值的应用，能正确根据整式的运算法则进行化简和变形是解此题的关键．。
平方差公式逆用例题
平方差公式逆用例题
假设有两个正整数a和b，且它们的平均数是m。
如果我们知道a和b的差d，那么我们可以利用平方差公式求出它们的平方差。
平方差公式：(a-b) = a - 2ab + b
现在我们来看一个例题：
已知两个正整数的平均数是12，它们的差为4，求它们的平方差。
解题思路：
首先根据题意可以得出以下两个方程：
(a+b)/2 = 12
a-b = 4
将第二个方程变形得到：
a = b+4
将a代入第一个方程得到：
(b+4+b)/2 = 12
2b+4 = 24
b = 10
a = 14
因此，a和b的平方差为：
(14-2*14*10+10) = 64
答案为64。
通过这个例题，我们可以看到平方差公式的逆用方法，即通过已知的平均数和差来求出两个数的平方差。
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逆用公式 巧妙解题
在整式乘除运算中，有的运用幂的运算性质运算，有的运用乘法公式运算，大量习题都
是直接套用公式运算，但有一部分如果直接运用公式不仅计算很繁，而且很难计算准确．如
果把公式反过来使用，就会化繁为简，化难为易．
一、逆用幂的运算性质
1．同底数幂乘法与同底数幂除法互为逆运算．
例1 与aMb2的积为4a3m+2b2n+3的单项式是______．
例1是已知积和其中一个因式，求另一个因式；例2是已知除式和商式求被除式，这时
可利用乘法与除法的互逆关系来解答．
例3 已知3M=4，3N=5，求3M+n．
本题如果想先求出m，n的值，再代入3M+n中求值，是很难办到的，初一学生更无法进
行．但若将同底数幂乘法性质反过来用，就可得到3M+n=3M·3N，这样问题就迎刃而解了．
2．积的乘方与幂的乘方性质的逆用．
例4 计算(a-1)2(a2+a+1)2．
这个题若按一般运算顺序，先算乘方，后算乘法，就会很繁杂，但若仔细观察，不难发
现，作为两个因式的幂的指数都是2，如果将积的乘方性质反过来运用就会简捷很多．
解：(a-1)2(a2+a+1)2
=[(a-1)(a2+a+1)]2
=(a3-1)2
=a6-2a3+1．
一般地，当两个同指数幂相乘，且底数之积较特殊时，就应考虑到逆向运用积的乘方的
性质．
例5 已知ax=2，ay=5，求a3x-2y的值．
该题可先将同底数幂除法性质反过来运用后得到a3x-2y=a3x÷a2y，这时再将幂的乘方性质
逆用一次，得到a3x-2y=a3x÷a2y=(ax)3÷(ay)2，再代入已知条件就可求出所求代数式的值．
观察两个幂的底数，-1999和11999呈互为负倒数关系，两者之积为-1，于是可联想到
将积的乘方性质逆用，但两个幂指数又不一样，怎么办呢？再将同底数幂乘法性质你用一次，
就可以得到1998199811(1999)()19991999，这样问题就巧妙地被解决了．
二、逆用乘法公式
例7 运用乘法公式，计算：
=10x．
例8 计算：
直接相乘很难求得结果，根据各因式的特点，将乘法的平方差公式逆用就可化难为易，
巧妙地求出结果．
综上所述，逆用公式解题是逆向思维训练的具体体现．重视逆向思维的训练，不仅可以
深化对基础知识的理解，而且可以拓宽解题渠道，提高灵活应变能力．