巧用定比分点公式 学法指导
定比分点公式的应用
定比分点坐标公式在解题中的应用
定比分点坐标公式在解题中的应用河北 陈庆新许多同窗可能已经能够熟练地应用有向线段的定比分点坐标公式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=λλλλ112121y y y x x x 及定比的坐标公式λ＝x －x 1x 2－x ，求解有向线段的定比分点坐标及定点分有向线段所成的比了．事实上用这两个公式，还可巧妙地用于解决其它一些问题．如用得好，会使解题进程显得别具一格，简捷明快，充分展现咱们思维的独创性．下面举例说明其解题中的应用． 一、在几何问题中的应用（一）关于公式的正用例1． 证明：三角形内角平分线分其对边之比等于夹那个角的两边长度之比．证明：以ΔOAB 的极点O 为原点，∠AOB 的平分线OC 因此直线为x 轴，成立平面直角坐标系如下图，设|OA|＝m ，|OB|＝n ，∠AOC ＝∠COB ＝θ，那么A(m cos θ，m sin θ)，B(n cos θ，－nsin θ)，设C 点分−→−AB 的所成的比为λ，由定比分点的坐标公式：m sin θ－λn sin θ1＋λ＝0，解之得，λ＝m n ，即|AC||CB|＝|OA||OB|．点评：本例的结论在解题中有着很多的应用。
请看下面的例子。
例2．已知△ABC 三个极点的坐标别离为A(－1，1)，B(3，1)，C(2，5)，角A 的内角平分线交对边于D ，那么向量AD −−→的坐标为 ．解析：容易计算|AB −−→|＝4，|AC −−→|＝5。
依照三角形内角平分线的性质知：ABAC＝BD DC ，于是可知点D 分有向线段BC −−→所成的比为45，从而由定比分点坐标公式可求得点D 的坐标（239，259），于是AD −−→＝（329，169）．例3．已知三点A(1，2)、B(4，1)、C(3，4)，在线段AB 上取一点P ，使过P 且平行于BC 的直线把△ABC 的面积分成4∶5两部份，求点P 的坐标．A C OBx y解析：由题意得：ABCAPQ S S ∆∆＝2⎪⎭⎫ ⎝⎛AB AP ＝49．因此AP AB ＝23，即−→−AP ＝2−→−PB ，λ＝2，设P(x ，y )，那么x ＝1＋2×41＋2＝3，y ＝2＋2×11＋2＝43．因此P 点的坐标为(3，43)．例4．已知在△ABC 中，BC ＝a ，CA ＝b ，AB ＝c ，且A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)、C(x 3，y 3)，求△ABC 的内心坐标．解析：设I 为△ABC 的内心，AD 为∠A 的平分线，那么AB AC ＝BD DC ＝cb ，∴点D 分−→−BC 所成的比为cb ，∴由定比分点的坐标公式可求得D 点的坐标：x D ＝x 2＋c b ×x 31＋c b＝bx 2＋cx 3b ＋c，y D ＝by 2＋cy 3b ＋c．又AI ID ＝AB BD ＝AC CD ，∴AI ID ＝AB ＋AC BD ＋CD＝b ＋ca ，即点I 分−→−AD 所成的比b ＋c a ． ∴xI＝acb c b cx bx a c b x ++++⋅++1321＝ax 1＋bx 2＋cx 3a ＋b ＋c ，同理yI＝ay 1＋by 2＋cy 3a ＋b ＋c ．∴△ABC 的内心坐标为(ax 1＋bx 2＋cx 3a ＋b ＋c ，ay 1＋by 2＋cy 3a ＋b ＋c)．（二）公式的逆用例5．已知一次函数y ＝－mx －2图象与线段AB 有交点，假设A(－2，3)、B(3，2)，求实数m 的取值范围．解析：设一次函数的图象直线l 交AB 于点P(x ，y )且−→−AP ＝λ−→−PB (λ≥0)，当λ＝0时，直线过A 点，那么由定比分点坐标公式知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++-=λλλλ123132y x ，又因P 在直线l 上，故m ·－2＋3λ1＋λ＋3＋2λ1＋λ＋2＝0，解得：λ＝2m －53m ＋4≥0，从而m ≥52或mACBDI＜－43．又当点P 与点B 重合时符合题意，因此将B(3，2)代入直线l 的方程，求得m ＝－43．故m 的取值范围为m ≥52或m ≤－43．本例能够推行为：已知定点P 1（x 1，y 1）、P 2(x 2，y 2)及直线l ：A x ＋B y ＋C=0，设直线l 与直线P 1P 2相交于点P ，求证：点P 分有向线段12P P −−→所成的比λ＝－A x 1+B y 1+CA x 2+B y 2+C．略解：设点P 分有向线段12P P −−→所成的比λ，由定比分点坐标公式可求得点P的坐标为：121211x x x y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，将点P 的坐标代入直线l 的方程：A 121x x λλ++＋B 121y y λλ++＋C=0，整理得：（A x 1＋B y 1＋C ）＋λ(A x 2＋B y 2＋C)=0，解之得：λ＝－A x 1+B y 1+CA x 2+B y 2+C ．点评：假设利用那个结论来解答一下例5，就显得超级简捷：设点P(x ，y )分有向线段AB −−→所成的比为λ，则λ＝－A x 1+B y 1+CA x 2+B y 2+C ＝－－2m ＋3＋23m ＋2＋2＝2m －53m ＋4，因为P 为内分点，因此λ＝2m －53m ＋4≥0，解之得：m ≥52或 m ＜－43，当直线l 过点B时，有m ＝－43．综上知：m ≥52或m ≤－43． 二、在代数问题中的应用 （一）、解不等式例6．解不等式2－x1＋3x≥1．解析：令y ＝2－x 1＋3x －1≥0，那么x ＝1－y 4＋3y＝14＋3y 4×(－13)1＋3y 4，且y ≥0，于是此问题可转化为：数轴上以P 1(14)为起点，P 2(－13)为终点，定比λ＝34y ≥0时，求分点P 的坐标x 的范围问题．由λ＝34y ≥0知点P 为有向线段−→−21P P 的内分点，或与点P 1重合，故应有－13＜x ≤14．例7． 解不等式1＜x 2－2x －1x 2－2x －2＜2．解析：在数轴上取P 1，P ，P 2点依次表示1，x 2－2x －1x 2－2x －2，2，由−→−P P 1＝λ−→−2PP 得λ＝1x 2－2x －3，因为P 内分有向线段−→−21P P ，因此λ＞0，即x 2－2x －3＞0，解之即得原不等式的解集为：{x |x ＜－1或x ＞}3． （二）、求函数的值域例8． 求函数y ＝1＋3x ＋11－x ＋1的值域．解析：令λ＝－x ＋1，那么λ≤0，依题意有y ＝－1＋λ(－3)1＋λ，依照上式可知λ为点P(y )分有向线段−→−21P P 所成的比，其中P 1(1)、P 2(－3)，于是函数y 为分点P 的坐标，由定比的坐标公式：λ＝x －x 1x 2－x ＝y －1－3－y≤0，解之得y ＜－3或y ≥1．即原函数的值域为(－∞，－3)∪[1，＋)∞．例9．求函数y ＝e x －1e x ＋1的反函数的概念域．解析：问题等价于求原函数的值域．令λ＝e x ＞0，P 1(－1)，P(y )，P 2(1)，那么y ＝e x －1e x ＋1＝－1＋e x ·11＋e x ＝－1＋λ1＋λ，∵λ＞0，∴P 为有向线段−→−21P P 的内分点，∴－1＜y ＜1，故原函数的值域为(－1，1)，即其反函数的概念域为(－1，1)．例10．求函数y ＝x 2－x ＋1x 2＋x ＋1(1＜x ＜)3的值域．解析：将原函数式变形为：y ＝x 2－x ＋1x 2＋x ＋1＝－1＋(x ＋1x )·11＋(x ＋1x )，设P 1(－1，0)、P 2(1，0)，λ＝x ＋1x ，其中1＜x ＜3．由函数λ＝x ＋1x 的单调性可求得，2＜λ＜103．又当λ＝2时，y ＝13；λ＝103时，y ＝713，因此所求函数的值域为(13，713)． （三）、求函数的解析式例11．二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图像通过点(－1，0)且x ≤f (x )≤12(x 2＋1)，对一切实数x 都成立，求f (x )．解析：因为当x ∈R ，总有x ≤f (x )≤12(x 2＋1)，为此不妨设P 1(x )、P[f (x )]、P 2(x 2＋12)为数轴上三点，那么−→−P P 1＝λ−→−2PP ，其中λ≥0，于是由定比分点坐标公式得： f (x )＝ x ＋λ·x 2＋121＋λ，又因为y ＝ f (x )通过点(－1，0)，代入上式得，0＝－1＋λ1＋λ，解得λ＝1，再将λ＝1代入f (x )＝ x ＋λ·x 2＋121＋λ得，f (x )＝ 14x 2＋12x ＋14．（四）、用于处置三角问题例12． 证明：y ＝2sin x ＋12sin x －1的值不在区间(13，3)内．证明：①当sin x ＝1时，y ＝3∉(13，3)； ②当sin x ＝－1时，y ＝－1∉(13，3)；③当sin x ≠±1时，将P(y )视为数轴上的点A(13)与B(3)的分点，由定比的坐标公式：λ＝x －x 1x 2－x ，得λ＝y －133－y ＝sin x ＋13(sin x －1)＜0，即点P(y )为有向线段−→−AB 的外分点，故有y ∉(13，3)． 综上可知，y ＝2sin x ＋12sin x －1的值不在区间(13，3)内．（六）、用于解决数列问题数列是概念在正整数集上的特殊函数．而等差数列的通项公式为：a n ＝a 1＋(n －1)d ＝dn ＋(a 1－d )为变量n 的一次函数(d ≠0)，其图象为直线．故而有A(m ，a m )、B(n ，a n )、C(p ，a p )三点共线(其中a m 、a n 、a p 别离为项数是m 、n 、p 的数列中的项)．为此咱们把C 视为−→−AB 的一个定比分点，那么有λ＝p －mn －p，a p＝a m ＋λa n 1＋λ．例13 ．在3与19之间插入31个数，使它们成等差数列，求通项公式． 解析：设通项为a n ，令点P(n ，a n )分A(1，a 1)，B(33，a 33)两点连成的线段所成的比为λ，那么有λ＝n －133－n ，又由题意，a 1＝3，a 33＝19，于是有a n ＝a 1＋λa 331＋λ＝3＋n －133－n ×191＋n －133－n ＝12n ＋52． 即通项a n ＝12n ＋52．命题2． 设数列{ a n }是等差数列，S n 是数列的前n 项和，其中S P 、S m 、S n 知足λ＝p －m n －p (λ≠－1)，那么S m m ＝S p p＋λS n n1＋λ．例14． 设S n 是等差数列的前n 项和，已知S 10＝100，S 100＝10，求S 110． 解析：取λ＝110－10100－110＝－10，那么S 110110＝S 1010＋λS 1001001＋λ ＝10010＋(－10)101001＋(－10) ＝－1，因此S 110＝－110．。
定比分点公式的运用及类比推理
1 x2 P2 ( 2
＋0) ,且
P1 P PP2
，
则 f(x)=
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对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，通系电1，力过根保管据护线生高0不产中仅工资2艺料22高试2可中卷以资配解料置决试技吊卷术顶要是层求指配，机置对组不电在规气进范设行高备继中进电资行保料空护试载高卷与中问带资题负料2荷试2，下卷而高总且中体可资配保料置障试时2卷，32调需3各控要类试在管验最路；大习对限题设度到备内位进来。行确在调保管整机路使组敷其高设在中过正资程常料1工试中况卷，下安要与全加过，强度并看工且25作尽52下可22都能护可地1关以缩于正小管常故路工障高作高中；中资对资料于料试继试卷电卷连保破接护坏管进范口行围处整，理核或高对者中定对资值某料，些试审异卷核常弯与高扁校中度对资固图料定纸试盒，卷位编工置写况.复进保杂行护设自层备动防与处腐装理跨置，接高尤地中其线资要弯料避曲试免半卷错径调误标试高方中等案资，，料要编试求5写、卷技重电保术要气护交设设装底备备置。4高调、动管中试电作线资高气，敷料中课并设3试资件且、技卷料中拒管术试试调绝路中验卷试动敷包方技作设含案术，技线以来术槽及避、系免管统不架启必等动要多方高项案中方；资式对料，整试为套卷解启突决动然高过停中程机语中。文高因电中此气资，课料电件试力中卷高管电中壁气资薄设料、备试接进卷口行保不调护严试装等工置问作调题并试，且技合进术理行，利过要用关求管运电线行力敷高保设中护技资装术料置。试做线卷到缆技准敷术确设指灵原导活则。。：对对在于于分调差线试动盒过保处程护，中装当高置不中高同资中电料资压试料回卷试路技卷交术调叉问试时题技，，术应作是采为指用调发金试电属人机隔员一板，变进需压行要器隔在组开事在处前发理掌生；握内同图部一纸故线资障槽料时内、，设需强备要电制进回造行路厂外须家部同出电时具源切高高断中中习资资题料料电试试源卷卷，试切线验除缆报从敷告而设与采完相用毕关高，技中要术资进资料行料试检，卷查并主和且要检了保测解护处现装理场置。设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
定比分点公式的三大应用
定比分点公式的应用线段的定比分点坐标公式：设P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2）是平面内两个定点，点P 0（x 0，y 0）分有向线段12PP u u u u r所成的比为λ，则有 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=λλλλ11210210y y y x x x （λ≠－1） 而 01012020x x y y x x y y λ--==--特别地，当点P 0为内分点或者与点P 1重合时，恒有λ≥0，当点P 为外分点时，恒有λ＜0（λ≠－1）。
定比分点公式揭示了直线上点的位置与数量变化之间的转化关系。
灵活应用这个公式，可使解题过程简洁明快，充分展现思维的独创性。
下面举例说明它在解题中的应用。
一、用于求解数值的范围例2.已知,0,1,a b c c <<≠-a+bcx=且1+c求证：[,]x a b ∉。
证明：设(),(),()A a B b P x 是数轴上的三点，P u u r是AB 的定比分点，则定比P ∴u u r是AB 的外分点，则 [,]x a b ∉。
二、用于解决不等式问题 例1.已知1,1a b <<，求证：11a bab+<+。
证明：设(1),(1),()1a bA B P ab+-+是数轴上的三点，P λu u r 分AB 的比是，则1,10,a b P λ<<∴>Q 是u u rAB 的内分点，1a bab+∴+在-1与1之间，即11a b ab +<+。
定比分点公式的类比推理从定比分点公式的结构形式来看，它与平面几何中的平行于梯形、三角形底边的截线问题，立体几何中的平行于柱、锥、台底面的截面问题以及数列中的通项公式、前n 项和与项数n 的关系等问题，具有很明显的相似之处。
1．平面几何中的定比分点：命题1：设梯形ABCD 的上、下底边长分别为l 1、l 2 若平行于底边的截线EF 把梯形的腰（高）分成上、下两部分之比为λ（λ≠-1），则EF 的长l=λλ++121l l (λ≥0)。
定比分点公式参数_妙用
aq a +λ = ap+q= p ∴ 1+λ
即 ap+q=0。
q 1p
=0,
三、 求函数解析式 例3 已知二次函数 f 满足条件 : ( x)
(1)f ( -1) =0,
2
(2)对一切 x∈R ,恒有 x≤f ( x) ≤ 1+x 。
2
求f 的解析式。 ( x)
2 2
2 2 %& 上三点P1,P,P2的横坐标。 ,由定比分点公式可知 P分 P1P2所成比为 λ
2
解
由 x∈R 及 x≤f , 1+x 分别对应 x轴 ( x) ( x) ≤ 1+x ,可设数 x,f
x+λ1+x 2 。 f ( x) = 1+λ
2
-1) -1+λ1+( 2 。 f ( -1) = ∴ 1+λ ∵ f ( -1) =0,
52
解题技巧
伴你走进课堂
1+1 -1+λ 2 ∴ =0,λ =1。 1+λ
又 c=t a+( 1-t ) b, d=( 1-t ) a+t b, 比较可知 t =
1+2λ , 2( 1+λ ) 1+2λ 满足题设和结论。 2( 1+λ )
即存在实数 t ,且 t =
又 Q 在线段 M P上 (不包括 M 、 >0。 P),则 λ 由t =
2t -1 2t -1 1+2λ ,得 λ ,即 >0。 = ) ) ) 2( 1+λ 2( 1-t 2( 1-t 1 <t <1。 ’ 2
2
x+ 1+x 1 1 1 2 ∴ f ( x) = = x2+ x+ , 1+1 4 2 4
定比分点公式的推导和应用教案
定比分点公式的推导和应用教案教学目的使学生掌握线段定比分点的意义和公式，并能应用此公式来解题．教学过程一、启发学生提出问题(在教师帮助下，让学生通过分析事物的内在联系，自己得出研讨的问题——“求线段的定比分点”．)师：在平面几何中曾学过，给出一线段，就可以定出它的中点及三分点．如图1，以上三个定点问题，怎样改用解析几何的语言呢？师：对！我们先分析一下，这些问题之间有没有什么联系，能不能用一个更一般的问题来概括它们呢？[教师引导学生将特殊问题一般化，让学生逐步了解熟悉这种认识事物的重要的思维方法．]要知道这些问题之间的联系，首先要分析一下，在平面几何里，是用什么方法来定出线段的三等分点的？其方法如下：现在请同学们想一想：在上面分别定出三个点的位置的方法中，有哪些是相同的，这样，我们知道，定出这些点的位置，可以用一种本质上相同的方法．先取定(可根据学生实际情况，调整填充的空格．)由图 4(1)～(5)可知：________之间，且|BC|越大，λ________，点P越近________．[继续让学生分析图 5(1)～(5)，进行讨论．]线段________，且|BC|越小，λ越________．P点越接近________．线段________，且|BC|越大，λ越________，P点越接近________．师：对上述十个图的分析归纳，可以发现：除了λ=－1以外，对每一个定比λ二、引导学生解决问题让学生自己解决所提出的问题．教师针对实际情况给子启发，帮助学生找到问题的解法．一要注意指导“解法”是如何想到的；二要注意结合学生自己的思路来指导．一部分学生将图画成图6，并按这一特殊情况来解．这时向他们指出不足，并启的解法是否适用？于给我们的条件是“几何的”，因此想到从寻找与这些“数”对应的“几何元素”之当一个问题有许多可能情形时，一般可以先考虑简单的情况．(这是一种有用的思考同样可得出结论．有些学生列出公式时，要指出：这样想是合理的，但要从这个式子中求出点P的坐标x、y是不可能的．于得到，于是有式子：解由①②组成的方程组，求出x、y，但运算太繁了．最后教师归纳得出定比分点的公式：时，点P的坐标是三、培养学生编制问题导出了定比分点公式以后，组织学生自己编制练习问题，使学生加深对定比分点公式的认识，并培养他们运用数学知识解决问题的能力．(1)先提出一些可以用公式来解的问题．是独立的(已知其中三个，另一个就被确定)，所以应该讲已知独立的五个，可以利用公式求得另外两个．如果像上面的问题那样，给了四个不独立的量，那么或者点立量的问题，不能只看形式，要看实质．[学生边编题、边解答，有利于知识的巩固．]四、布置作业针对不同情况的学生布置作业．有些学生可以做课本上的练习；有些学生可以做段AB的一个定比分点？如果是的话，P在AB上还是在它的延长线上？”还可以让有些同学编制“练习题”作为作业．自我评述(1)在中学数学教学中，对发现问题和提出问题的能力的培养，还远不如解决问题来得重视．学生只习惯于从教师或书本上得到题目，自己却不善于提出问题，编制题目．对科学发展来说，提出问题和解决问题是同样重要的．这里设计了培养学生这方面能力的一个教学过程．但从培养发现问题的能力来看，还是不充分的．这是考虑到当前使用的教材和学生的实际情况，目前在课内的步子只能小一点．例如，如放弃现行课本上定比分点公式的形式，就可较多地放手让学这里λ可取任意实数，而且0＜λ＜1时，P为内分点；当λ＞1时，P为外分点，在目前情况下，我认为培养学生发现问题与提出问题的能力，可以采取延续到课外的补救措施．例如，在上一节课结束时，可布置给学生思考：“给定两点位置后，除了两点间距离外，还有什么别的随之确定下来的东西．”或“给定三个点，它们有哪些可能的位置关系？有哪些东西随这三个点的位置的确定而被确定下来？能不能用它们的坐标来反映？”这些问题不要求全体同学去做，课后教师可在有兴趣、有余力的学生间作些了解和引导．在这一节课上课时，就可以让这些学生提出获得的结果与存在的问题，然后在此基础上展开教学．(2)在解决问题的教学过程中，教师主要的任务是揭示“解法”是如何“想到”的．凡是学生自己能够得出的要让他们自己去解．同时让学生自己编出一些应用某一数学公式可以解得的题目，更能使学生理解所学的知识，培养他们应用知识于实际问题的能力．这是符合数学知识的抽象性与应用的广泛性的特点的，这样做也更能提高学生的学习积极性，发展它们思维与联想能力．(3)不同学生应布置不同的作业．有些学生应该解一些理解公式和记住公式的练习题；有些学生则可要求他们编一些“有质量”的问题，并且互相交换着解这些问题．如果编的题目中出现一些矛盾，那么也可以促使学生去研究，这样有利于因材施教，使学生学得更加主动．数学教学中，要让学生记住一些概念、公式、法则．有时教师可以指出一些帮助记住“某一公式”的记忆方法；有时教师要系统地考虑“某一公式”出现的次数与间隔．但我认为，这不等于培养记忆能力．“能力”是要通过“实践”才能得到的，在数学教学中考虑如何安排“记忆”的实践，至少目前还不现实．所以，本课中我考虑了定比分点公式的记忆，但没有提培养记忆能力．。
线段的定比分点
l P2
P
点P是l上不同于P1,P2任意一点，提问：
1º向量P1P与PP2之间位置上有何关系？（共线向量 ）
2º既然是共线向量，它们之间的等量
关系是什么？（P1P= λ PP2 ）
这时， λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比。(写出课题)
（3）． λ 符号
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Байду номын сангаас
2.推导公式
若把直线l放在坐标系中，设P1（x1,y1),P2(x2，y2),点P分有向线段P1P2所成 的比为λ，那么点P的坐标如何表示呢？由向量的坐标等于终点的坐标减去
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三.学法指导
1．引导学生回顾共线向量，过渡到建立新概 念上来。
2．让学生运用已掌握的向量的坐标运算， 推导出公式，学会数学过程中会学数学，提高 数学“再发现”能力。
3．在运用公式解题中，深化对公式中各个 量的涵义的理解，尤其是λ，加强思维的创新 性、深刻性、灵活性训练。
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四.教学重点、难点
3
3
注：这是一个重要结论，要求学生记忆。
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4.课堂检测
1.点P在直线MN上，PM
1 2
PN
,
则点P分MN所成的比为( C )
1
（A）2
（B）1 2
( C） 1 （D）2或 1
2
2
2.设线段P1P2的长为5cm,点P在线段P2P1的延长线上，PP1 1cm
则点P分有向线段 P1P2 所成的比为 -6
起点的坐标得：
P1P=（x-x1,y-y1), PP2=(x2-x,y2-y)
∵ P1P= λPP2 ∴ (x-x1,y-y1)= λ(x2-x,y2-y)
∴ x-x1= λ(x2-x) 解得 y-y1= λ(y2-y)
(整理)定比分点坐标公式在解题中的应用.
定比分点坐标公式在解题中的应用河北 陈庆新许多同学可能已经能够熟练地应用有向线段的定比分点坐标公式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=λλλλ112121y y y x x x 及定比的坐标公式λ＝x －x 1x 2－x ，求解有向线段的定比分点坐标及定点分有向线段所成的比了．事实上用这两个公式，还可巧妙地用于解决其它一些问题．如用得好，会使解题过程显得别具一格，简捷明快，充分展现我们思维的独创性．下面举例说明其解题中的应用． 一、在几何问题中的应用（一）关于公式的正用例1． 证明：三角形内角平分线分其对边之比等于夹这个角的两边长度之比．证明：以ΔOAB 的顶点O 为原点，∠AOB 的平分线OC 所以直线为x 轴，建立平面直角坐标系如图所示，设|OA|＝m ，|OB|＝n ，∠AOC ＝∠COB ＝θ，则A(m cos θ，m sin θ)，B(n cos θ，－nsin θ)，设C 点分−→−AB 的所成的比为λ，由定比分点的坐标公式：m sin θ－λn sin θ1＋λ＝0，解之得，λ＝m n ，即|AC||CB|＝|OA||OB|．点评：本例的结论在解题中有着很多的应用。
请看下面的例子。
例2．已知△ABC 三个顶点的坐标分别为A(－1，1)，B(3，1)，C(2，5)，角A 的内角平分线交对边于D ，则向量AD −−→的坐标为 ．解析：容易计算|AB −−→|＝4，|AC −−→|＝5。
根据三角形内角平分线的性质知：ABAC＝BD DC ，于是可知点D 分有向线段BC −−→所成的比为45，从而由定比分点坐标公式可求得点D 的坐标（239，259），于是AD −−→＝（329，169）．例3．已知三点A(1，2)、B(4，1)、C(3，4)，在线段AB 上取一点P ，使过P 且平行于BC 的直线把△ABC 的面积分成4∶5两部分，求点P 的坐标．A C OBx y解析：由题意得：ABCAPQ S S ∆∆＝2⎪⎭⎫ ⎝⎛AB AP ＝49．所以AP AB ＝23，即−→−AP ＝2−→−PB ，λ＝2，设P(x ，y )，则x ＝1＋2×41＋2＝3，y ＝2＋2×11＋2＝43．所以P 点的坐标为(3，43)．例4．已知在△ABC 中，BC ＝a ，CA ＝b ，AB ＝c ，且A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)、C(x 3，y 3)，求△ABC 的内心坐标．解析：设I 为△ABC 的内心，AD 为∠A 的平分线，则AB AC ＝BD DC ＝cb ，∴点D 分−→−BC 所成的比为c b ，∴由定比分点的坐标公式可求得D 点的坐标：x D ＝x 2＋c b ×x 31＋c b ＝bx 2＋cx 3b ＋c ，y D ＝by 2＋cy 3b ＋c．又AI ID ＝AB BD ＝AC CD ，∴AI ID ＝AB ＋AC BD ＋CD＝b ＋c a ，即点I 分−→−AD 所成的比b ＋c a ． ∴x I ＝acb c b cx bx a c b x ++++⋅++1321＝ax 1＋bx 2＋cx 3a ＋b ＋c ，同理y I＝ay 1＋by 2＋cy 3a ＋b ＋c ．∴△ABC的内心坐标为(ax 1＋bx 2＋cx 3a ＋b ＋c ，ay 1＋by 2＋cy 3a ＋b ＋c)．（二）公式的逆用例5．已知一次函数y ＝－mx －2图象与线段AB 有交点，若A(－2，3)、B(3，2)，求实数m 的取值范围．解析：设一次函数的图象直线l 交AB 于点P(x ，y )且−→−AP ＝λ−→−PB (λ≥0)，当λ＝0时，直线过A 点，则由定比分点坐标公式知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++-=λλλλ123132y x ，又因P 在直线ACBDIl 上，故m ·－2＋3λ1＋λ＋3＋2λ1＋λ＋2＝0，解得：λ＝2m －53m ＋4≥0，从而m ≥52或m ＜－43．又当点P 与点B 重合时符合题意，所以将B(3，2)代入直线l 的方程，求得m ＝－43．故m 的取值范围为m ≥52或m ≤－43．本例可以推广为：已知定点P 1（x 1，y 1）、P 2(x 2，y 2)及直线l ：A x ＋B y ＋C=0，设直线l 与直线P 1P 2相交于点P ，求证：点P 分有向线段12P P −−→所成的比λ＝－A x 1+B y 1+C A x 2+B y 2+C ．略解：设点P 分有向线段12P P −−→所成的比λ，由定比分点坐标公式可求得点P的坐标为：121211x x x y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，将点P 的坐标代入直线l 的方程：A 121x x λλ++＋B 121y y λλ++＋C=0，整理得：（A x 1＋B y 1＋C ）＋λ(A x 2＋B y 2＋C)=0，解之得：λ＝－A x 1+B y 1+CA x 2+B y 2+C ．点评：若利用这个结论来解答一下例5，就显得非常简捷：设点P(x ，y )分有向线段AB −−→所成的比为λ，则λ＝－A x 1+B y 1+CA x 2+B y 2+C ＝－－2m ＋3＋23m ＋2＋2＝2m －53m ＋4，因为P 为内分点，所以λ＝2m －53m ＋4≥0，解之得：m ≥52或 m ＜－43，当直线l 过点B 时，有m ＝－43．综上知：m ≥52或m ≤－43． 二、在代数问题中的应用 （一）、解不等式例6．解不等式2－x1＋3x≥1．解析：令y ＝2－x 1＋3x －1≥0，则x ＝1－y 4＋3y＝14＋3y 4×(－13)1＋3y 4，且y ≥0，于是此问题可转化为：数轴上以P 1(14)为起点，P 2(－13)为终点，定比λ＝34y ≥0时，求分点P 的坐标x 的范围问题．由λ＝34y ≥0知点P 为有向线段−→−21P P 的内分点，或与点P 1重合，故应有－13＜x ≤14．例7． 解不等式1＜x 2－2x －1x 2－2x －2＜2．解析：在数轴上取P 1，P ，P 2点依次表示1，x 2－2x －1x 2－2x －2，2，由−→−P P 1＝λ−→−2PP 得λ＝1x 2－2x －3，因为P 内分有向线段−→−21P P ，所以λ＞0，即x 2－2x －3＞0，解之即得原不等式的解集为：{x |x ＜－1或x ＞}3．（二）、求函数的值域例8． 求函数y ＝1＋3x ＋11－x ＋1的值域．解析：令λ＝－x ＋1，则λ≤0，依题意有y ＝－1＋λ(－3)1＋λ，根据上式可知λ为点P(y )分有向线段−→−21P P 所成的比，其中P 1(1)、P 2(－3)，于是函数y 为分点P 的坐标，由定比的坐标公式：λ＝x －x 1x 2－x ＝y －1－3－y≤0，解之得y ＜－3或y ≥1．即原函数的值域为(－∞，－3)∪[1，＋)∞．例9．求函数y ＝e x －1e x ＋1的反函数的定义域．解析：问题等价于求原函数的值域．令λ＝e x ＞0，P 1(－1)，P(y )，P 2(1)，则y ＝e x －1e x ＋1＝－1＋e x ·11＋e x ＝－1＋λ1＋λ，∵λ＞0，∴P 为有向线段−→−21P P 的内分点，∴－1＜y ＜1，故原函数的值域为(－1，1)，即其反函数的定义域为(－1，1)．例10．求函数y ＝x 2－x ＋1x 2＋x ＋1(1＜x ＜)3的值域．解析：将原函数式变形为：y ＝x 2－x ＋1x 2＋x ＋1＝－1＋(x ＋1x )·11＋(x ＋1x)，设P 1(－1，0)、P 2(1，0)，λ＝x ＋1x ，其中1＜x ＜3．由函数λ＝x ＋1x 的单调性可求得，2＜λ＜103．又当λ＝2时，y ＝13；λ＝103时，y ＝713，所以所求函数的值域为(13，713)． （三）、求函数的解析式例11．二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图像经过点(－1，0)且x ≤f (x )≤12(x 2＋1)，对一切实数x 都成立，求f (x )．解析：因为当x ∈R ，总有x ≤f (x )≤12(x 2＋1)，为此不妨设P 1(x )、P[f (x )]、P 2(x 2＋12)为数轴上三点，则−→−P P 1＝λ−→−2PP ，其中λ≥0，于是由定比分点坐标公式得： f (x )＝ x ＋λ·x 2＋121＋λ，又因为y ＝ f (x )经过点(－1，0)，代入上式得，0＝－1＋λ1＋λ，解得λ＝1，再将λ＝1代入f (x )＝ x ＋λ·x 2＋121＋λ得，f (x )＝ 14x 2＋12x ＋14．（四）、用于处理三角问题例12． 证明：y ＝2sin x ＋12sin x －1的值不在区间(13，3)内．证明：①当sin x ＝1时，y ＝3∉(13，3)；②当sin x ＝－1时，y ＝－1∉(13，3)；③当sin x ≠±1时，将P(y )视为数轴上的点A(13)与B(3)的分点，由定比的坐标公式：λ＝x －x 1x 2－x ，得λ＝y －133－y ＝sin x ＋13(sin x －1)＜0，即点P(y )为有向线段−→−AB 的外分点，故有y ∉(13，3)．综上可知，y ＝2sin x ＋12sin x －1的值不在区间(13，3)内．（六）、用于解决数列问题数列是定义在正整数集上的特殊函数．而等差数列的通项公式为：a n ＝a 1＋(n －1)d ＝dn ＋(a 1－d )为变量n 的一次函数(d ≠0)，其图象为直线．故而有A(m ，a m )、B(n ，a n )、C(p ，a p )三点共线(其中a m 、a n 、a p 分别为项数是m 、n 、p 的数列中的项)．为此我们把C 视为−→−AB 的一个定比分点，则有λ＝p －mn －p，a p ＝a m ＋λa n1＋λ． 例13 ．在3与19之间插入31个数，使它们成等差数列，求通项公式．解析：设通项为a n ，令点P(n ，a n )分A(1，a 1)，B(33，a 33)两点连成的线段所成的比为λ，则有λ＝n －133－n ，又由题意，a 1＝3，a 33＝19，于是有a n ＝a 1＋λa 331＋λ＝3＋n －133－n ×191＋n －133－n ＝12n ＋52．即通项a n ＝12n ＋52．命题2．设数列{ an}是等差数列，S n是数列的前n项和，其中S P、S m、S n满足λ＝p－mn－p(λ≠－1)，则S mm＝S pp＋λS nn1＋λ．例14．设S n是等差数列的前n项和，已知S10＝100，S100＝10，求S110．解析：取λ＝110－10100－110＝－10，则S110110＝S1010＋λS1001001＋λ＝10010＋(－10)101001＋(－10)＝－1，所以S110＝－110．。
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巧用定比分点公式
梁喜涛 陈月双
1、巧求值域
例1. 求函数x
cos 23x cos 1y -+=的值域。
分析：观察上式可联想到定比分点公式
,1x x x 21λ
+λ+=
得,x cos 321x cos 322131y ⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+= 即P （y ，0）分起点为⎪⎭⎫ ⎝⎛0,31P 1，终点为⎪⎭
⎫ ⎝⎛-0,21P 2的有向线段21P P 的比为 .32,32x cos 32⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-∈-=λ 当3
2-=λ时，,2y max = 当3
2=λ时，,0y min = 故函数x cos 23x cos 1y -+=的值域为［0，2］。
2、巧解数列题
例2. 在8与36之间插入6个数，使它们同这两个数成等差数列，求插入的6个数。
引入命题：设数列}a {n 是等差数列，n m p a ,a ,a 是数列中的三项且有
,n
m m p --=
λ 由n
m a a m p a a n m m p --=--可得 ).1(1a a a n p m -≠λλ
+λ+= 解：设构成的等差数列为}a {n ，则
,1a a a ,36a ,8a 18n 81λ
+λ+=== 其中.1
n n 8--=λ 可得4n 4a n +=，从而知插入的6个数分别为12，16，20，24，28，32。
注意：这里)n (f a n =是n 的一次关系式。
3、巧解不等式
例3. 解不等式
.31
x x 23x 2x 2133<++++< 解：设1
x x 23x 2x ,2133++++，3分别对应数轴上三点P ,P P P 21、、是21P P 的分点，设P 分21P P 、
所成的比为λ，则0>λ。
因为
,0)
1x 5(x 25x 31
x x 23x 2x 3211x x 23x 2x 23333>++=++++--++++=λ 所以3
5
x -<或.0x > 故原不等式的解集为.0x 35x x ⎭
⎬⎫⎩⎨⎧>-<或 注：对于形如“21x x x <<”的不等式求解或证明题，利用定比分点公式来证明，则独具匠心。
具体方法：
设21x ,x ,x 分别对应数轴上三点21P P P 、、，P 是21P P 的分点，由定比分点公式 ,x
x x x PP 2121--==λ 如0>λ，P 为内分点，有21x x x <<。
以上几例，意在启发学生在学习中要善于类比联想，进行知识的横向联系，融会贯通知识点。