面积——等面积法
三角形等面积法
三角形等面积法
在三角形的研究中，等面积法是一种十分实用的方法。
它的核心
思想是，对于一个给定的面积值，可以构造出许多不同形状的三角形，它们的面积都相等。
这种方法不仅可以用于解决一些几何问题，还可
以用于设计和制造一些具有特定面积要求的物体。
三角形等面积法的应用非常广泛。
例如，在制造船舶和飞机等大
型物体时，要求它们的底部具有一定的面积，以保证它们的浮力和飞
行稳定性。
这时可以利用等面积法来设计合适的底部形状，从而保证
其满足要求。
此外，在房屋建筑、道路修建和水利工程等领域中，三角形等面
积法也经常得到应用。
例如，在修建水库时，要求水库的底部形状必
须能够容纳一定数量的水，从而保证其正常运营。
通过等面积法，可
以设计出满足要求的水库底部形状。
在日常生活中，三角形等面积法也有着广泛的应用。
例如，在购
买面积相等但形状不同的房屋时，可以利用这种方法计算它们的真实
面积，从而作出更加准确的选择。
总的来说，三角形等面积法是一种非常实用的方法，它不仅可以
解决许多几何问题，还可以在实际工作中得到广泛应用。
因此，学好
这种方法对于我们的学习和职业生涯都非常重要。
勾股定理等面积法
勾股定理等面积法“哎呀，这勾股定理等面积法到底是怎么回事啊？”好，那咱就来说说勾股定理等面积法。
勾股定理那可是相当重要的一个定理啊！它说的是直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。
那等面积法呢，就是利用同一个图形用不同的方法表示它的面积，从而得到一些等式关系。
比如说啊，咱有个直角三角形，两条直角边分别是 a 和 b，斜边是 c。
咱可以把这个三角形用两种方法来算面积。
一种就是直接用底乘以高除以2，也就是a×b÷2。
那另一种方法呢，咱以斜边为底，从直角顶点向斜边做个高，这个高把斜边分成两段，设一段是 x，另一段就是 c-x。
那这时候这个大三角形的面积就可以表示成c×这个高÷2。
你看，这两种方法算的都是同一个三角形的面积，那它们肯定相等啊，这样就能得到一个等式，通过这个等式就能解决很多问题啦。
举个实际例子吧，比如有个直角三角形，一条直角边是 3，另一条直角边是 4，让咱求斜边长。
那咱就用等面积法，3×4÷2 等于斜边乘以斜边上高除以 2。
咱可以先求出斜边上的高，然后就能算出斜边啦。
再比如说，咱知道一个直角三角形的斜边是 5，一条直角边是 3，求另一条直角边。
还是用等面积法，3×另一条直角边÷2 等于5×斜边上高÷2，先求出高，然后就能算出另一条直角边啦。
等面积法在很多数学问题中都特别有用，它能帮我们找到一些隐藏的关系，让问题变得简单。
而且啊，等面积法不仅仅局限在直角三角形中，其他图形也能用。
比如说有个四边形，咱可以把它分成几个三角形，然后用等面积法来建立等式。
或者是一个不规则的图形，咱也可以通过添加辅助线，把它变成几个我们熟悉的图形，然后用等面积法来解决问题。
总之呢，勾股定理等面积法是个很重要的方法，学会了它，很多数学问题都能迎刃而解啦！大家可得好好掌握哦！。
等面积法三角形
等面积法三角形1. 引言等面积法三角形是一种特殊的三角形构造方法，它通过等面积的条件来确定三角形的形状和大小。
在几何学中，等面积法三角形常被用于解决一些特定的问题，如平面几何的证明和计算等。
本文将介绍等面积法三角形的定义、性质和应用，并通过具体的例子来说明其用法。
2. 等面积法三角形的定义等面积法三角形是指在平面上构造的三个三角形，它们的面积相等。
具体地说，设三角形ABC和三角形DEF的面积相等，即S(ABC) = S(DEF)，则称三角形ABC和三角形DEF是等面积法三角形。
3. 等面积法三角形的性质3.1 边长比例对于等面积法三角形ABC和DEF，它们的边长比例有一定的关系。
设AB/DE =BC/EF = CA/FD = k，则有以下结论：•三角形ABC和三角形DEF的边长比例相等。
•三角形ABC和三角形DEF的角度相等。
3.2 高线比例对于等面积法三角形ABC和DEF，它们的高线比例也有一定的关系。
设h1为三角形ABC的高线，h2为三角形DEF的高线，h1/h2 = k，则有以下结论：•三角形ABC和三角形DEF的高线比例相等。
3.3 周长比例对于等面积法三角形ABC和DEF，它们的周长比例也有一定的关系。
设P1为三角形ABC的周长，P2为三角形DEF的周长，P1/P2 = k，则有以下结论：•三角形ABC和三角形DEF的周长比例相等。
4. 等面积法三角形的应用等面积法三角形在几何学中有广泛的应用，下面介绍其中两个常见的应用场景。
4.1 证明等面积法三角形可以用来证明一些几何定理。
例如，要证明两条直线平行，可以通过构造等面积法三角形来证明。
具体步骤如下：1.过给定的一点P，作一条直线l与已知直线平行，交已知直线于点A和B。
2.过点P分别作直线PA和PB的垂线，分别交已知直线于点C和D。
3.证明三角形PAB和三角形PCD的面积相等，即S(PAB) = S(PCD)。
4.根据等面积法三角形的性质，可以得出直线l与已知直线平行。
2020中考复习——常用解题方法【等积变换法】(一)(有答案)
2020中考复习——常用解题方法【等积变换法】（一）知识点梳理：等面积法是一种常用的、重要的数学解题思想方法。
它是利用“同一个图形的面积相等”、“分割图形后各部分面积之和等于原图形的面积”、“同底等高或等底同高的两个三角形的面积相等”等性质解决有关的数学问题。
在解题中，灵活运用等面积法解答相关问题，可以使解题思路清晰，解题过程简捷。
下面举例说明等积法在初中数学解题中的应用：【例1】△ABC中，AB=10，CB=8，AC=6，则其内切圆半径为()A. 6B. 4.8C. 2D. 1【答案】C【解】：△ABC中，AB=10，CB=8，AC=6，满足AC2+BC2=AB2，∴△ABC是直角三角形；设内切圆的半径为r，则12(6+8+10)r=12×6×8，解得r=2；∴△ABC内切圆半径为2．【解题反思】本题考查了直角三角形的内切圆半径的计算问题，是基础题．根据勾股定理判断△ABC是直角三角形，利用等积法求出内切圆的半径r．【例2】如图AE是∠BAC的平分线，BD是中线，AE、BD相交于点E，EF⊥AB于F，若AB=14，AC=12，S△BDC=20，则EF的长为________．【答案】2【解】：过点E作EG⊥AC，∵AE是∠BAC的平分线，EF⊥AB于F，∴EF=EG，设EF=EG= x，∵BD是中线，S△BDC=20，AD=12AC=6，∴△ABD的面积=20，即△ABE的面积+△ADE的面积=20，∴12×AB×EF+12×AD×EG=20，∴12×14×x+12×6×x=20，解得x=2，∴EF=2．故答案为：2【解题反思】先过点E作EG⊥AC，设EF=EG=x，根据△ABD的面积=20，得出△ABE的面积+△ADE的面积=20，即12×14×x+12×6×x=20，求得x的值即可．本题主要考查了三角形的角平分线、中线以及三角形的面积的计算，解决问题的关键是根据△ABD 的面积=20，列出方程求解．解题时注意方程思想的运用．【例3】如图，正比例函数y =2x 的图象与一次函数y =kx +b 的图象交于点A(m,2)，一次函数图象经过点B(−2,−1)与x 轴的交点为C ．(1)求一次函数的解析式；(2)求△AOC 的面积；(3)求点O 到直线AC 的距离．【解】：(1)∵正比例函数y =2x 的图象与一次函数y =kx +b 的图象交于点A(m,2)， ∴2m =2，m =1．把(1,2)和(−2,−1)代入y =kx +b ，得{k +b =2−2k +b =−1， 解得{k =1b =1， 则一次函数解析式是y =x +1；(2)令y =0，则x +1=0，x =−1．所以点C 的坐标为(−1,0)，则△AOC 的面积=12×1×2=1；(3)过点O 作OD ⊥AC 与点D ，∵AC =√(1+1)2+22=2√2，S △AOC =12AC ·OD =12×2√2×OD =1， ∴OD =√22．【解题反思】此题综合考查了待定系数法求函数解析式、直线与坐标轴的交点的求法，关键是根据正比例函数解析式求得m 的值．(1)首先根据正比例函数解析式求得m 的值，再进一步运用待定系数法求得一次函数的解析式；(2)根据(1)中的解析式，令y=0求得点C的坐标，从而求得三角形的面积；(3)把AC当作底边，点O到直线AC的距离就是AC边上的高，由三角形的面积即可求解．综合训练一、选择题1.如图，RtΔABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，以点C为圆心，r为半径画圆，要使圆与线段AB有两个公共点，则r的值不可能是()A. 135B. 145C. 3D. 1652.如图，△ABC中，AB=4，BC=6，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，AF⊥BC于点F，若DE=2，则AF的长为()A. 3B. 103C. 72D. 1543.如图，四边形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DH⊥AB于H，则DH等于()A. 245B. 125C. 5D. 44.如图，ΔABC的面积为1cm2，AP垂直∠B的平分线BP于P，则ΔPBC的面积为()A. 0.4cm2B. 0.5cm2C. 0.6cm2D. 0.7cm25.如图，E是边长为4的正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE=BC，P为CE上任意一点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥BD于点R，则PQ+PR的值是()A. 2√2B. 2C. 2√3D. 836.如图，在平面直角坐标系中，A点坐标为(8,0)，点P从点O出发以1个单位长度/秒的速度沿y轴正半轴方向运动，同时，点Q从点A出发以1个单位长度/秒的速度沿x轴负半轴方向运动，设点P、Q运动的时间为t(0<t<8)秒.以PQ为斜边，向第一象限内作等腰Rt△PBQ，连接OB.下列四个说法：①OP+OQ=8；②B点坐标为(4,4)；③四边形PBQO的面积为16；④PQ>OB.其中正确的说法个数有()A. 4B. 3C. 2D. 17.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点P为斜边AB上一动点，过点P作PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，连结EF，若点M是线段EF的中点，则PM 的最小值为()A. 1.2B. 2.4C. 2.5D. 4.8二、填空题8.如图，圆的半径为2，C1是函数y=x2的图象，C2是函数y=−x2的图象，则阴影部分的面积是_______．9.如图，AC⊥BC，∠CDA与∠CDB相等且互补，则点C到AB的距离是线段________的长．若AB=5cm，BC=4cm，AC=3cm，则CD=________．10.Rt△ABC中，∠A=90°，AD是斜边上的高．若AB=3，AC=4，BC=5，则AD=________．11.如图，Rt△ABC中，∠C=90∘，AC=4，BC=3，点P为AB上的动点(不与点A、B重合)，过点P分别作PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，连结EF，则线段EF的最小值为____．12.如图，等边△ABC中，P为三角形内一点，过P作PD⊥BC，PE⊥AB，PF⊥AC，，那么△ABC的内切圆半径连结AP、BP、CP，如果S△APF+S△BPE+S△PCD=9√32为_________．三、解答题13.如图是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．(1)请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积．方法一：____________________________________．方法二：____________________________________．(2)观察图2请你写出下列三个代数式(m+n)2，(m−n)2，mn之间的等量关系．(3)根据(2)题中的等量关系，解决如下问题：①已知：a−b=5，ab=−6，求(a+b)2的值；②已知：a>0，a−2a =1，求a+2a的值．14.如图，所有小正方形的边长都为1，A、B、C都在格点上．(1)过点B画直线AC的垂线，垂足为G；(2)比较BC与BG的大小：BC______BG，理由是______；(3)已知AC=5，求BG的长．15.如图(1)，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AC=BC，l是过点C的任意一条直线，过点A作AD⊥l于点D，过点B作BE⊥l于点E．(1)求证：△ADC≅△CEB;(2)如图(2)，延长BE至F，连接CF，以CF为直角边作等腰直角三角形FCG，∠FCG=90∘，连接AG交l于H，求证：BF=2CH;(3)在(2)的条件下，若AD=12，BF=15，BC=13，请直接写出点G到直线AC的距离．16.如图，AB是⊙O的直径，C是BD⏜的中点，CE⊥AB于点E，BD交CE于点F．(1)求证：CF=BF;(2)若CD=6，AC=8，求⊙O的半径及CE的长．17.我们知道，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，过三角形外心的一条直线与两边相交，两交点之间的线段把这个三角形分成两个图形，若有一个图形与原三角形相似，则把这条线段叫做这个三角形的“外似线”．【轻松作图】(1)如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC>BC，D为斜边AB的中点，请过点D画出△ABC的所有“外似线”．【尝试证明】(2)如图2，已知一次函数y=x+1与反比例函数y=k交于A、B两点，C是点Bx关于y轴的对称点，连接BC、AC，若点A坐标为(1,2)，连接CO并延长交AB于点D，试说明CD是△ABC的“外似线”．【拓展运用】̂的中点，若半径R=5，BC=8，(3)如图3，已知⊙O为△ABC的外接圆，点A是CAB求△ABC的“外似线”的长．答案和解析1.D解：作CD⊥AB于D，如图所示：∵∠C=90°，AC=3，BC=4，∴AB=√32+42=5，∵△ABC的面积=12AB⋅CD=12AC⋅BC，∴CD=AC⋅BC AB =125，即圆心C到AB的距离d=125，∵AC<BC，∴以C为圆心，r=4为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点，∴若⊙C与斜边AB有两个公共点，则r的取值范围是125<r≤3．2.B解：如图，过点D作DG⊥BC交BC于点G，∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∴DE=DG，又∵S△ABC=S△ABD+S△BDC，AF⊥BC，∴12×BC×AF=12×AB×DE+12×BC×DG，即12×6×AF=12×4×2+12×6×2，∴AF=103．3.A解：∵四边形ABCD是菱形，∴AO=OC，BO=OD，AC⊥BD，∵AC=8，DB=6，∴AO=4，OB=3，∠AOB=90°，由勾股定理得：AB=√32+42=5，∵S菱形ABCD=12AC×BD=AB×DH，∴12×8×6=5DH，∴DH=245，4.B解：延长AP交BC于E，如下图，∵AP垂直∠B的平分线BP于P，∠ABP=∠EBP，∠APB=∠BPE=90∘，在ΔAPB和ΔEPB中，{∠APB=∠EPB BP=BP∠ABP=∠EBP,∴ΔAPB≅ΔEPB(ASA)，∴SΔAPB=SΔEPB，AP=PE，∴ΔAPC和ΔCPE等底同高，∴SΔAPC=SΔPCE，∴SΔPBC=SΔPBE+SΔPCE=12SΔABC=0.5cm2．5.A解：如图，连接BP，设点C到BE的距离为h，则S△BCE=S△BCP+S△BEP，即12BE⋅ℎ=12BC⋅PQ+12BE⋅PR，∵BE=BC，∴ℎ=PQ+PR，∵正方形ABCD的边长为4，∴ℎ=4√2×12=2√2．6.B解：∵点P从点O出发以1个单位长度/秒的速度沿y轴正半轴方向运动，同时，点Q 从点A出发以1个单位长度/秒的速度沿x轴负半轴方向运动，∴AQ=OP，∴OP+OQ=AQ+OQ=OA，∵A点坐标为(8,0)，∴OP+OQ=OA=8．故①正确；连AB，∵△BPQ是等腰直角三角形，∴BP=BQ，∠BPQ=∠BQP=45°，∵∠BPO=∠BPQ+∠OPQ=45°+90°−∠OQP=135°−∠OQP，∠AQB=180°−∠BQP−∠OQP=135°−∠OQP，∴∠AQB=∠BPO，∵BP=BQ，OP=AQ，∴△BPO≌△BQA，∴BO=BA，∠PBO=∠QBA，∴∠OBA=∠PBQ=90°，∴△OBA是等腰直角三角形，作BH⊥OA于H点，则BH=OH=12OA=4，∴B点坐标为(4,4)．故②正确；∵△BPO≌△BQA，∴△BPO的面积=△BQA的面积，∴△BPO的面积+△OBQ的面积=△BQA的面积+△OBQ的面积，即四边形PBQO的面积=等腰直角三角形OBA的面积，∵等腰直角三角形OBA的面积=12OA·BH=12×8×4=16，∴四边形PBQO的面积为16．故③正确；当运动的时间为4秒时，OP=OQ=4，则由勾股定理得PQ=4√2，而OB=4√2，此时PQ=OB．故④错误．因此正确的说法有3个．7.B解：连接CP．∵∠C=90°，AC=6，BC=8，∴AB=√AC2+BC2 =√62+82 =10，∵PE⊥AC，PF⊥BC，∠C=90°，∴四边形CFPE是矩形，∴EF=CP，∠EPF=90°，由垂线段最短可得CP⊥AB时，线段EF的值最小，此时，S△ABC= 12BC⋅AC=12 AB⋅CP，即12×8×6=12×10⋅CP，解得CP=4.8，即EF=CP=4.8，此时PM的值最小，最小值为PM=12EF=2.4．8.2π【解析】【分析】此题主要考查了二次函数的对称性有关知识，根据C1是函数y=x2的图象，C2是函数y=−x2的图象，得出阴影部分面积即是半圆面积求出即可．【解答】解：∵C1是函数y=x2的图象，C2是函数y=−x2的图象，∴两函数图象关于x轴对称，∴阴影部分面积即是半圆面积，∴面积为：12π×22=2π．9.CD；2.4cm解：根据点到直线的距离定义得出线段CD的长度是点C到直线AB的距离，∵∠ACB=90°，AC⊥BC，∴S△ABC=12AC·BC=12AB·CD∴CD=2.4cm．10.2.4解：根据题意可知，S△ABC=12×AB×AC=12×BC×AD，即：12×3×4=12×5×AD，解得AD=2.4，∴AD=2.4．11.2.4解：如图，连接CP．∵∠C=90°，AC=4，BC=3，∴AB=√AC2+BC2=√32+42=5，∵PE⊥AC，PF⊥BC，∠C=90°，∴四边形CFPE是矩形，∴EF=CP，由垂线段最短可得CP⊥AB时，线段EF的值最小，此时，S△ABC=12BC⋅AC=12AB⋅CP，即12×3×4=12×5⋅CP，解得CP=2.4．12.√3解：过P点作正三角形的三边的平行线，即QM//AB交BC、AC于Q、M，RN//BC交AB、AC于R、N，SO//AC交AB、BC于S、O，∵△ABC是等边三角形，∴△MPN，△OPQ，△RSP都是正三角形，∴MF=FN，DQ=DO，RE=SE，∴四边形ASPM，四边形NCOP，四边形PQBR是平行四边形，∴可知黑色部分的面积=白色部分的面积，∵S△AFP+S△PCD+S△BPE=9√32，∴S△ABC=9√3，设△ABC边AB的高为h，∠ABC=60°，∴sin∠ABC=sin60°=ℎBC，即ℎ=sin60°·BC，∵AB=BC，∴S△ABC=12AB2sin60°=9√3，∴AB=6，∴三角形ABC的高ℎ=3√3，∴S△ABC=12×r×3AB=12×AB×ℎ∴△ABC的内切圆半径r=13ℎ=√3．13.解：(1)(m−n)2；(m+n)2−4mn；(2)(m−n)2=(m+n)2−4mn；(3)①解：∵a−b=5，ab=−6，∴(a+b)2=(a−b)2+4ab=52+4×(−6)=25−24=1；②解：由已知得：(a+2a )2=(a−2a)2+4⋅a⋅2a=12+8=9，∵a>0，a+2a>0，∴a+2a=3．解：(1)方法1：(m−n)2；方法2：(m+n)2−4mn；(2)(m−n)2=(m+n)2−4mn；故答案为(m−n)2；(m+n)2−4mn；(m−n)2=(m+n)2−4mn；14.(1)如图所示，BG即为所求；(2)>；垂线段最短；(3)S△ABC=4×4−12×1×4−12×1×3−12×4×3=6.5，∵AC=√32+42=5，∴12×AC×BG=6.5，即12×5×BG=6.5，解得BG=2.6．解：(2)BC>BG，理由是垂线段最短，故答案为：>，垂线段最短．15.(1)证明：如图①中，∵AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°，∵∠DAC+∠DCA=∠ECB+∠DCA=90°，∴∠DAC=∠ECB，在△ADC和△CEB中，{∠ADC=∠CEB ∠DAC=∠ECBAC=CB,∴△ADC≌△CEB(AAS)；(2)如图②中，作AM//CG交EH于M，连接GM．∵∠MAC+∠ACG=180°，∠ACG+∠BCF=180°，∴∠MAC=∠BCF，∵∠ACD+∠BCE=90°，∠BCE+∠CBE=90°，∴∠ACM=∠CBF，在△ACM和△CBF中，{∠MAC=∠BCFAC=BC∠ACM=∠CBF,∴△MAC≌△CBF，∴CM=BF，AM=CF=CG，∵AM//CG，∴四边形AMGC是平行四边形，∴MH=HC，∴BF=CM=2CH；(3)∵△MAC≌△CBF，∴CM=BF=15，∵AC=BC=13，∴S四边形AMCG=2⋅S△AMC=AC⋅ℎ(ℎ是点G到AC的距离)，∴2×12×15×12=13ℎ，∴ℎ=18013．16.(1)证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90∘，∴∠A=90∘−∠ABC．∵CE⊥AB，∴∠CEB=90∘，∴∠ECB=90∘−∠ABC，∴∠ECB=∠A.又∵C是BD⏜的中点，∴CD⏜=CB⏜，∴∠CDB=∠CBD，又∵∠CDB=∠A，∴∠DBC=∠A，∴∠ECB=∠DBC，∴CF=BF．(2)解：∵BC⏜=CD⏜，∴BC=CD=6，∵∠ACB=90∘，∴AB=√BC2+AC2=√36+64=10，∴⊙O的半径为5，∵S△ABC=12AB⋅CE=12BC⋅AC，∴CE=BC⋅ACAB =6×810=245．17.解：(1)如图4，共有三条过点D的“外似线”，(2)如图5，由题可得：F(0,1)，反比例函数为y=2x，∴x+1=2x，解得x=−2，x=1，∴点B坐标为(−2,−1)，∵C是点B关于y轴的对称点，∴点C坐标为(2,−1)，E(0,−1)，∵OE是BC的垂直平分线，BE=FE=2，∴∠FBE=45°，∵OA=OC=√5，AC=√10，∴△OAC为等腰直角三角形，∴∠OCA=45°，点O在AC的垂直平分线上，∴点O是△ABC的外心，∵∠ACD=∠ABC=45°，∠DAC=∠CAB，∴△ACD∽△ABC，∴CD是△ABC的“外似线”；(3)如图6，连接AO并延长交BC于点D，∵A为弧CAB中点，AD过圆心O，∴AD⊥BC，BD=CD=4∵OA=OB=5，∴OD=√52−42=3，∴AD=5+3=8，AB=AC=√42+82=4√5，①“外似线”EF交AB，AC两边，如图7，∵EF是外似线，∴△AEF∽△∴EFBC =AOAD=58，ABC，∴EF=5，②若“外似线”EF交AB，BC两边，则有两种情形：第一种情形：若△EBF∽△ABC时，解法一：如图8.1，则EF//AC，∴△EBF为等腰三角形，，∵∠EAO=∠CAO，∴∠EOA=∠EAO，∴EA=EO，过E作EG⊥OA，∴AG=OG=12AO=52，∵△AEG∽△ABD，∴AEAB =AGAD=528，∴AE=54√5，∴EF=BE=4√5−54√5=114√5，解法二：如图8.2，则EF//AC，∴∠OFD=∠ACB，，∴DF=32，∴BF=112，∵△EBF∽△ABC，∴EFAC =BFBC，∴EF=114√5，解法三：如图8.3，建立平面直角坐标系，则EF//AC，∴B(−4,0)，C(4,0)，A(0,8)，O(0,3)∴y AB=2x+8，y AC=−2x+8，∴yEF=−2x+3∴2x+8=−2x+3，解得x=−54，∴E(−54,112)∴EF=BE=√(−54+4)2+(112)2=114√5；第二种情形：当△BEF∽△BCA时，解法一：如图9.1，OG⊥AB，则EF=BF，由①知，AO=5,AG=2√5，∴OG=√5，在Rt△OEG中，tan B=tan∠OEG=OGEG=2，∴EG=√52，∴BE=5√52，∵△BEF∽△BCA，∴EFAC =BEBC，∴EF4√5=5√528，∴EF=254；解法二：如图9.2，过C作CM⊥AB，则由等积法可得：CM=BC•ADAB =4√5=165√5，∴在Rt△ACM中，AM=√(4√5)2−(165√5)2=125√5，∵∠OFE=∠CAB，∴如图9.3，在Rt△ODF中tan∠CAM=tan∠OFD=ODDF= 16√55 12√5 5=43，∴DF=94，∴BF=4+94=254，∴EF=BF=254；③若“外似线”EF交CA，CB两边，同②，EF=114√5，EF=254．综上：EF=5，EF=114√5，EF=254。
面积法与等积变换
等底等高的三角形的面积相等.
等高(比)的两个三角形的面积之经等于底(高)之比.
3.等积变换一个图形经过变形,但面积保持变,这种变形称为等积变换.
思考 1.(教程 P42814 ) △ABC 内有一点 P ，直线 AP, BP,CP 分别与对边交于 D, E, F ，试确定点 P ，使△DEF 的面积尽可能大.
面积法与等积变换
主要知识点
思考1，2， 思考3
教程练习
思考4
面积法与等积变换
主要知识：(见教程 P417 ) 1.面积公式
S△ ABC
1 2 aha
1 ab sin C 2
2R2 sin
Asin B sinC
S△ABC p( p a)( p b)( p c) pr (p 是周长的一半) 2.面积定理
提示：分别作点 G、F 关于直线 AC 的对称点 G、F ，连结 FG
G
只 要 证 FG, EH, BO 三 线 共 点
即可,这可运用塞瓦定理来证.
F
练习
练习: 1.(教程 P426 3)如图,M 在 AC 上,N 在 BC 上,AN 与 BM 相交于 点 O,已知 S△OMA 3, S△OAB 2, S△OBN 1, 则 S△CMN =____.
提示：设 AM CN r 0 AC CD
利用面积得图中的一些线段比. 对△DEC 运用梅涅劳斯定理可得 关于 r 的方程,解方程即可.
思考4
思考 4.如图,在四边形 ABCD 中,AB=AD,BC=DC,过 AC,BD 的交点 O 引 EF,GH,其中 EF 交 AB,CD 于 E,F,GH 交 DA,BC 于 G,H.EH,GF 分别交 BD 于 P,Q, 则 OP=OQ.(1990 年 CMO 选拨试题)
等面积法开孔补强计算
图 6-2 相邻开孔
6
图 6-3 多个开孔
4
GB 150.3—2010
图 6-1 有效补强范围（编辑有错误仍需修改）
6.3.5.1 有效补强范围 a） 有效宽度 B 按式（6-6）计算，取二者中较大值；
B
=
⎪⎧2d op ⎪⎩⎨dop +
2δ n
+
2δ nt
································（6-6）
b） 有效高度按式（6-7）和式（6-8）计算，分别取式中较小值。 外伸接管有效补强高度：
2
GB 150.3—2010
θ——两相邻开孔中心线与壳体轴线之夹角，（°）；
φ——焊接接头系数（按 GB150.1 规定）。
ρ ——开孔率， ρ = d / D ； λ ——参数， λ = ρ D / δe = d / Dδe 。
6.3 单个开孔补强的等面积法
6.3.1 单个开孔的适用范围
在等面积法的适用范围（见 6.1.1）内，满足下列条件的多个开孔均按单个开孔分别设计：
筒体轴线；对于封头开孔，该截面通过封头开孔中心点，沿开孔最大尺寸方向，且垂直于壳体表面。
对于圆形开孔 dop 取接管内直径加两倍厚度附加量，对于椭圆形或长圆形孔 dop 取所考虑截面
上的尺寸（弦长）加两倍厚度附加量。
6.3.3.2 内压容器
壳体开孔所需补强面积按式（6-1）计算：
A = dopδ + 2δδet (1 − fr )
a） 壳体上有两个开孔，开孔中心间距（对曲面间距以弧长计算）不小于两孔直径之和；壳体
上有三个或以上开孔，任意两孔中心的间距（对曲面间距以弧长计算）不小于两孔直径之
中考：等面积法
等面积法方法概述：运用同一图形的两种计算面积的方法，列出等量关系，从而求解线段的长度，或者证明线段之间的等量关系，甚至求解不规则图形的面接！技巧归纳：1、当图形中出现两个（或者以上）的垂直关系时，常用此法.2、计算多边形面积的常用方法：(1)面积计算公式(2)对于公式⑤的证明（如上图）：S= S△ABD+S△CBD= +==(3)割补法：将不规则图形“分割或补全’为规则图形.一、等面积法在直角三角形的应用在直角三角形中，两条直角边、斜边以及斜边上的高，知道任意两个可以运用勾股定理、等面积思想求出剩余两个。
如图：基本公式: ①勾股定理:②等面积法：证明②：即：,例题1：如图，在Rt ABC ,∠C=90°，当直角边AC =4，斜边AB =5时，求该直角三角形斜边AB上的高CD ?例题2：如图，在Rt ABC (BC AC ) ,∠C=90°，当斜边AB =10cm，斜边AB上的高CD =4.8cm 时，求该直角三角形直角边AC和BC的长度?巩固练习：1、如图，在Rt ABC,∠C=90°，且AC=24, BC=7，作ABC 的三个内角的角平分线交于点P，再过点P 依次作PD⊥AB于D，作PE⊥BC于E, 作PF⊥AC于F .(1)求证：PD = PE = PF ;(2)求出：PD的值.2、如图，△ABC的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，则BC边长的高为（）A.22二、等面积法在等腰三角形的应用在等腰三角形中，可以运用“割补法”的等面积思想，先建立有关“腰以及腰上的高”的等式，再通过等式两边约分来探索出线段之间的数量关系！例题1：如图,在△ABC 中, AB=AC, AC 边上的高BD=10cm.（1）如图1,求AB 边上高CE 的长；（2）如图2,若点P 为BC 边上任意一点, PM⊥AB 于点M, PN⊥AC 于点N,求PM+PN 的值；（3）如图3,若点P 为BC 延长线上任意一点,PM⊥AB 于M,PN⊥AC 于点N,在①PM+PN ；②PM PN 中有一个是定值,判断出来并求值.例题2：已知等边△ABC和内部一点P，设点P 到△ABC三边的AB、BC 、AC 的距离分别是h1，h2，h3，△ABC的高为h，问h1、h2、h3 与h 之间有怎样的数量关系？请说明理由。
初二数学等面积法压轴题
初二数学等面积法压轴题
等面积法是解决几何问题的一种重要方法，特别是在求解压轴题时。
以下是一道典型的初二数学等面积法压轴题：
题目：
已知矩形ABCD，AB = 3，AD = 2，以A为圆心作图，设⊙A的半径为r，用等面积法求证：r > 2 - √7。
证明：
第一步，由于题目没有明确说明哪些图形与圆相切，我们首先考虑与圆相切的特殊情况。
假设⊙A与线段CD相切于点E，则AE为半径，即r = AE。
第二步，根据矩形的性质和勾股定理，我们有AE² + DE² = AD²。
代入已知的AB、AD和AE的值，我们可以得到一个关于DE的二次方程。
第三步，解这个二次方程，我们得到DE = √7 - 1。
由于DE < CD（因为CD = AB = 3），我们知道这种情况是不可能的。
第四步，为了证明r > 2 - √7，我们需要找到一个与⊙A相切且使得r满足这个不等式的切线。
考虑到线段CD与⊙A相切的情况，我们可以使用等面积法来找到这条切线。
第五步，根据等面积法，我们知道矩形的面积等于圆的面积加上四分之一圆的面积。
即3 × 2 = πr² - (1/4)πr²。
解这个方程，我们得到r = 2 + √7。
第六步，根据第五步的结果，我们得到r > 2 - √7。
综上，我们证明了r > 2 - √7。
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面积法在中学数学解题中的巧用利用同一图形的面积相等，可以列方程计算线段的值，或证明线段间的数量关系；利用图形面积的和、差关系列方程，将相等的高或底约去，可以计算或证明线段间的数量关系。
利用等积变形，可以排除图形的干扰，实现“从形到数〞的转化，从而从数量方面巧妙地解决问题。
用面积法解题就是根据题目给出的条件，利用等积变换原理和有关面积计算的公式、定理或图形的面积关系进行解题的方法。
运用面积法,巧设未知元,可获“柳暗花明〞的效果。
有关面积的公式〔1〕矩形的面积公式：S=长⨯宽〔2〕三角形的面积公式：ah S 21=〔3〕平行四边形面积公式: S=底⨯高〔4〕梯形面积公式: S=21⨯(上底+下底)⨯高〔5〕对角线互相垂直的四边形：S=对角线乘积的一半〔如正方形、菱形等〕 有关面积的公理和定理 1、面积公理〔1〕全等形的面积相等；〔2〕一个图形的面积等它各部分面积之和； 2、相关定理〔1〕等底等高的两个三角形面积相等；夹在平行线间的两个共底的三角形面积相等；如下图ACD BCD S S =△△；反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD〔2〕等底等高的平行四边形、梯形〔梯形等底应理解为两底的和相等〕的面积相等；〔3〕等底的三角形、平行四边形面积之比等于其高之比；等高的三角形、平行四边形面积之比等于其底之比；〔4〕相似三角形的面积的比等于相似比的平方；〔5〕在两个三角形中，若两边对应相等，其夹角互补，则这两个三角形面积相等；〔6〕等底等高的平行四边形面积是三角形面积的2倍。
一个长方形分成4个不同的三角形，绿色三角形面积是长方形面积的15%，黄色三角形的面积是21平方厘米。
问：长方形的面积是__________平方厘米。
等面积法的应用一：利用平行线间两个共底的三角形面积相等解题。
如图，矩形ABCD 中，AB=3cm ，AD=6cm ，点E 为AB 边上的任意一点，四边形EFGB 也是矩形，且EF=2BE ，则AFC S =△92cm如图，在四边形ABCD 中，动点P 从点A 开始沿A →B →C →D 的路径匀速前进到D 为止。
在这个过程中，△APD 的面积S 随时间t 的变化关系用图象表示正确的是〔 〕等面积法的应用二：利用同一图形的面积相等，可以列方程计算线段的值。
已知直角三角形两直角边长分别为5和12，斜边上的高为_________ AH 是菱形ABCD 的高，且AC=6，BD=8，则AD=____把矩形OABC 放置在直角坐标系中, OA ＝6,OC ＝8 ，若将矩形折叠，使点B 与O 重合得到折痕EF,求OB 、折痕EF 的长。
〔提示：BFOE 是菱形，利用菱形的面积等于OB EF •21又等于EB*OA ，列方程求出折痕EF 的长.〕DCBP AFEDC B AO25 353040如图，由图中已知的小三角形的面积的数据，求三角形ABC 的面积？210 平行四边形ABCD 中AC 与BD 交于点O ，AB=10，AD=8，O 到AB 的距离为2，则O 到BC 的距离为__在平行四边形ABCD 中，∠BAD=300，AB=5cm ，AD=3cm ，E 为CD 上的一个点，且BE=2cm ，则点A 到直线BE 的距离为______。
正方形ABCD 内接于圆O ，E 是CD 的中点，圆的半径为2，则点O 到BE 的距离为_____如图，矩形ABCD 中AB ＝a ，BC ＝b ，M 是BC 的中点，D EA M ⊥，E 是垂足 求证：D E a b a b=+2422等面积法的应用三：利用同一图形的面积相等，可以列方程证明线段间的数量关系；利用图形面积的和、差关系列方程，将相等的高或底约去，可以计算或证明。
三边长分别为6、8、10的三角形的三条高的比分别为____ 看图，写代数恒等式:__________________如图，边长为a 的正ABC △内有一边长为b 的内接正DEF △，则AEF △的3)a b - 如图，已知P 为等边三角形ABC 内一点，过P 作三垂直，三角形ABC 的高为h.试说明PD PE PF h ++=ABCD PFE已知P 为边长是3的等边三角形ABC 内一点，则P 点到三边的距离之和为___ 求证：等腰三角形底边上任一点到两腰距离的和等于腰上的高〔运用面积法可以证明〕，等腰三角形底边延长线上任一点点到两腰距离的差等于腰上的高。
请应用上述结论完成下题：已知直线33+-=x y 和直线343+=x y ，在直线33+=x y 上有一点P ，且点P 到直线343+=x y 的距离是2，求P 点的坐标已知:如图，C是线段AB上的一点，△ACD、△BCE都是等边三角形，AE、BD 相交于O。
求证：∠AOC=∠BOC〔提示：过点C作CP⊥AE，CQ⊥BD〕已知：如图，AD是∆A B C的角平分线。
求证：ABACBDDC=已知：如图，AD是△ABC的中线，CF⊥AD于F，BE⊥AD交AD的延长线于E。
求证：CF=BE已知：如图，在∆A B C中，A B A C>，BD、CE分别为AC、AB边上的高。
求证：B DCE>等面积法的应用四：面积等分线等积定理：等底等高的两个三角形面积相等；两条平行直线之间的距离处处相等一、平分三角形面积〔1〕过一顶点作等积分割线：找中线；〔2〕过边上一点作等积分割线二、平分平行四边形面积：找过对称中心的直线；三、平分梯形面积：找两底中点所在直线；等积变形成三角形；等积变形成平行四边形方案一：连结梯形上、下底的中点E、F方案二：分别量出梯形上、下底a、b的长，在下底BC上截取BE＝12(a＋b)，连接AE。
如果用尺规作图，就是把上底平移到下底一旁作出两底之和，再取两底之和的中点方案三：取一腰中点，等积变形成三角形或平行四边形四、平分一般四边形：变形成等积的三角形。
〔1〕过一顶点作等积分割线；〔2〕过边上一点作等积分割线五、平分五边形的面积练习题1、如图，在△ABC中，BD：DC=1：2，E为AD中点，若△ABC面积为120，则阴影部分面积为2、有一块方角形钢板如图所示，请你用一条直线将其分为面积相等的两部分。
3、如果花园形状是任意四边形ABCD，四边形内部有一条折线小路AEC刚好平分四边形面积，现在小区的物业公司想把折线小路修成直线小路，由于各种条件限制，小路要通过点A，并且只能修在AC和点E之间，同时还要平分四边形面积，请你帮助设计工人师傅想对如图1的直角铁皮，用一条直线m将其分成面积相等的两部分．图2是甲、乙、丙、丁四位同学给出的做法，其中做法正确的学生数是〔〕现有如图所示的方角铁皮，工人师傅想用一条直线将其分割成面积相等的两部分，请你帮助工人师傅设计三种不同的分割方案(要求：①分割的两部分两图不能完全相同，否则视作一种；②须有必要的数据说明或标记)请你画一条直线，把下图分成面积相等的两部分如图所示，请你用一条直线将其分为面积相等的两部分，这样的直线可以画几条？〔〕无数条如图，一个圆和一个平行四边形．请你画出一条直线l，同时把这两个图形分成面积相等的两部分．如图，X大爷家有一块四边形的菜地，在A处有一口井，X大爷欲想从A处引一条笔直的水渠，且这条笔直的水渠将四边形菜地分成面积相等的两部分．请你为X大爷设计一种引水渠的方案，画出图形并说明理由7-17-27-37-3如图所示，在直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A〔1，0〕，对角线的交点P〔2.5 ，1〕〔1〕写出B、C、D三点的坐标；〔2〕若在线段AB上有一点E〔3，0〕，过E点的直线将矩形ABCD的面积分为相等的两部分，求直线的解析式图所示，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为〔12，5〕，直线y＝0.25x+b 恰好将矩形OABC分成面积相等的两部分．那么b=等面积法在数学中应用广泛，除此等积变换模型之外，涉与面积的知识还有以下模型：蝴蝶模型：在任意四边形中有3421S S OB OD S S ==在梯形中有①21:S S=OD ：OB=34S :S ②2213::S S a b = 相似模型：〔金字塔模型、沙漏模型〕金字塔模型沙漏模型①AD AE DE AF AB AC BC AG===； ②22::ADE ABC S S AF AG =△△。
燕尾定理模型S △ABG :S △AGC =S △BGE :S △EGC =BE :EC S △BGA :S △BGC =S △AGF :S △FGC =AF :FCS △AGC :S △BCG =S △ADG :S △DGB =AD :DB 练习题：如图，三角形田地中有两条小路AE 和CF ，交叉处为D ，X 大伯常走这两条小路，他知道DF ＝DC ，且AD ＝2DE 。
则两块地ACF 和CFB 的面积比是_______如图，已知长方形ADEF 的面积16，三角形ADB 的面积是3，三角形ACF 的面积是4，那么三角形ABC 的面积是___6.5〔提示：连接AE ，△ACE 与△BCE 面积之比为5:8〕如图，将三角形ABC 的AB 边延长1倍到D ，BC 边延长2倍到E ，CA 边延长3倍到F 。
如果三角形ABC 的面积等于1，那么三角形DEF 的面积是__________如图，四边形EFGH 的面积是65平方米，EA ＝AB ，CB ＝BF ，DC ＝CG ，HD ＝DA ，求四边形ABCD 的面积。
13矩形ABCD 的对角线BD 经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C 在反比例函数xk k y 122++=图象上，若点A 的坐标为〔-2，-2〕，则k 的值为〔 〕如图，正比例函数y=-x 与反比例函数y=x 2-的图象相交于A 、B 两点，分别过A 、B 两点作y轴的垂线，垂足分别为C 、D ，连接AD ，BC ，则四边形ACBD 的面积为___.如图，在6×5的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则sin∠BAC的值为___如图是由三个边长分别为6、9、x的正方形所组成的图形，若直线AB将它分成面积相等的两部分，则x的值是___〔3或6根据两部分面积相等列方程〕.。