在三角形中巧用面积法解题
在三角形中用面积法解题专题训练
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三角形等面积法在初中数学中的应用
三角形等面积法在初中数学中的应用作者：王斌杰来源：《试题与研究·教学论坛》2012年第13期三角形等面积法是指利用三角形面积自身相等的性质进行解题的一种方法。
此法是初中数学中常用的一种解题方法。
它具有解题便捷快速、简单易懂等特点。
现举例如下：．例1如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，求AB边上的高CD的长。
解析：因为AB2=AC2+BC2,所以AB=5。
又因为S△ABC=12AC·BC=6，S△ABC=12AB·CD=52CD，所以52CD=6，得CD=125。
例2在△ABC中，AB=12,BC=13,AC=5，点P是△ABC内切圆的圆心，求△ABC内切圆的半径。
解析：因为AB2+AC2=169，BC2=169，所以AB2+AC2=BC2。
所以△ABC为直角三角形。
连接AP，PC，BP。
设圆P的半径为r。
S△ABC=12AC·AB=30，S△ABC=S△ABP+S△ACP+S△BCP=12AB·r+12AC·r+12BC·r=12r(AB+AC+BC)=15r，所以15r=30，解得r=2。
例3在等腰三角形ABC中，AB=AC。
点P为BC边上的一个动点，PE垂直AC,PF垂直AB，垂足分别为E，F，求证：PE+PF为定值。
解析：连接AP,过点B作BD垂直AC于点D。
因为S△ABC=S△ABP+S△APC=12AB·PF+12AC·PE，又因为AB=AC，所以S△ABC=12AC(PE+PF)。
又因为S△ABC=12AC·BD，所以12AC(PE+PF)=12AC·BD。
所以PE+PF=BD（定值）。
小结：通过上述的例子可以看出，利用三角形等面积法的性质解题，可从不同的角度使用面积公式表示同一个三角形的面积，列出等式求出未知量。
北师版数学九年级上 应用相似三角形的面积之比解题
北师版数学九年级 应用相似三角形的面积之比解题相似三角形的面积之比，等于相似比的平方，是相似三角形的一条非常重要的性质。
它在解题中也有着十分灵活的应用。
下面就举例加以说明，供同学们学习时参考。
1、根据面积的变化，描述边长的变化例1、把一个三角形改成和它相似的三角形，如果面积扩大到原来的100倍，那么边长扩大到原来的 。
A 、10000倍B 、1000倍C 、100倍D 、10倍分析：题目中已经说明两个三角形是相似的，所以，我们就可以直接相似三角形的性质了：相似三角形的面积之比，等于相似比的平方，也就是说，相似三角形的相似比，等于对应三角形面积比的算术平方根，即相似比=100=10，因此，边长扩大到原来的10倍。
解：选D点评：这道题可以作如下的引申：把一个三角形改成和它相似的三角形，如果面积扩大到原来的n 倍，那么边长扩大到原来的n 倍。
如果同学们能熟记这个结论，对于解这方面的选择题或者是填空题，将会大大提高解题的速度。
2、已知相似三角形的面积，求边长例2、已知：△ABC∽△A ′B ′C ′，且它们的面积分别是7cm 2和28cm 2，若AB=5cm ， 则A ′B ′= 。
分析：巧用方程的思想，把性质的文字描述转化成等式。
解：设A ′B ′=xcm ，因为，△ABC∽△A ′B ′C ′， 所以，'''=''C B A ABC S S B A AB △△）（2, 因为，△ABC 的面积是7cm 2、△A ′B ′C ′的面积是28cm 2，AB=5cm ， 所以，4128752==）（x ， 所以，1002=x ，解得：x=10（cm ），即A ′B ′的长度为10cm 。
3、已知相似三角形的面积，求三角形的面积例3、如图1所示，点M 是△ABC 内一点，过点M 分别作直线平行于△ABC 的各边，所形成的三个小三角形△1、△2、△3（图中阴影部分）的面积分别是4，9和49．则△ABC 的面积是 ．分析：由于DE ∥MN ，EM ∥NH ，所以，∠DME=∠MHN ，∠EDM=∠NMH ，四边形AEMN 是平行四边形，所以，△DME ∽△MHN ，AE=MN ，942==MHN DEM S S MN DE △△）（,即DE:MN=2:3，因为，AE=MN ， 所以，DE:EA=2:3；由于DM ∥FG ，DE ∥FM ，所以，∠DME=∠FMG ，∠EMD=∠MGF ，四边形BDMF 是平行四边形，所以，△DME ∽△FMG ，BD=FM ，4942==FMG DEM S S FM DE △△）（,即DE:FM=2:7，因为，FM=BD ， 所以，DE:BD=2:7；由于DM ∥BC ，EM ∥AC ，所以，∠EDM=∠B ，∠DEM=∠A ，所以，△DME ∽△BCA ， 所以，BCADEM S S BA DE △△）（=2, 设DE=2k ，则EA=3k ，BD=7k ，所以，AB=2k+3k+7k=12k ， 所以，61122==k k BA DE 所以，361612==BCA DEM S S △△）（， 所以，三角形ABC 面积为：36×4=144。
小学五年级上册数学《三角形面积的计算》教案（精选7篇）
小学五年级上册数学《三角形面积的计算》教案（精选7篇）小学五年级上册数学《三角形面积的计算》篇1教学内容：教材第9—10页例4、例5及“练一练”、“试一试”、“练习二”第6-9题。
教学目标：1.通过操作、观察、填表、讨论、归纳等数学活动，探索并掌握三角形的面积公式，能正确地计算三角形的面积，并应用公式解决简单的实际问题。
2.进一步体会转化方法的价值，培养自己应用已有知识解决新问题的能力，发展自己的空间观念和初步的推理能力。
教学重点：经历探究三角形面积计算公式的过程，理解并掌握三角形的面积计算公式。
教学难点：理解三角形面积公式的推导过程。
教学准备：多媒体、教材第115页的三角形。
探究方案：一、自主准备1.说一说：下面每个小方格表示1平方厘米，你知道涂色三角形的面积各是多少平方厘米吗？你是怎么想的？（）（）（）2.思考：（1）三角形的面积与它拼成的平行四边形的面积有什么关系？（2）有没有直接计算三角形面积的方法呢？（3）假如要你探究三角形的面积，你打算把它转化成什么图形进行研究？我想转化成二、自主探究1.拼一拼：从课本第115页上选两个完全一样的三角形剪下来，看看能不能拼成平行四边形。
2.填一填：你剪下的两个完全一样的三角形能拼成平行四边形吗？如果能，拼成的平行四边形的面积和每个三角形的面积各是多少？请填写下表。
3.想一想（1）拼成平行四边形的两个三角形有什么关系？（2）拼成的平行四边形的底和高与原三角形的底和高有什么关系？每个三角形的面积与拼成的平行四边形的面积呢？（3）根据平行四边形的面积公式，怎样求三角形的面积？三、自主应用试一试：完成书上第10页的“试一试”。
四、自主质疑说一说：（1）三角形的面积公式是怎么推导的？你还有什么疑问？（2）你认为本节课应学会什么？教学过程：一、明确目标提问：同学们，通过自主学习，你知道今天的学习内容吗？（揭示课题）你认为本节课应学会什么？二、交流提升1.出示例4的方格图及其中的平行四边形。
巧用图象面积 解决物理问题
巧用图象面积解决物理问题巧用图象面积解决物理问题浙江省富阳市第二中学方明霞物理图像能形象、直观地表达物理规律、描述物理过程、反映物理量间的函数关系。
用图象法解题可以避免繁杂的中间运算过程，具有简明、快捷、准确等优点，特别是当某些物理量发生变化，用常规的解析法无法解决时，图象法可以帮助我们快而有效地解决问题。
在物理图象的学习和应用中，我们可以从坐标、斜率、截距、面积、交点、拐点等方面分析不同的图象所代表的物理意义。
本文仅从“面积”出发，阐释图象的妙用。
在物理教学中，我们会经常碰到这样的函数关系：y=ab，其中一个物理量a为恒量，在以a-b为坐标的函数图象中，图线与坐标轴围成的矩形面积代表y的大小。
而当a也发生变化时，用一般解析式解决往往比较复杂。
在以a-b为坐标的函数图象中，利用“微元”的思想方法，将图线分割成无限小段，每一小段图线都可近似为a恒定，这一小段图线围成的面积近似为矩形，表示这一小块y的大小，将所有小块叠加起来，不难发现图线与坐标轴围成的面积依然代表y的大小。
以下是笔者整理的部分图象“面积”的巧用。
一、1/v- x图象，图线与坐标轴围成的“面积”表示时间匀速直线运动中，，t与x、v成反比。
反比例函数在数学处理上往往比正比例函数复杂，因此我们通常将其转化为正比例函数，在x-1/v图象上，利用“微元”思想，我们不难发现1/v-x图线与坐标轴围成的“面积”表示时间。
例1．一只老鼠从洞口爬出后沿一直线运动，其速度大小与其离开洞口的距离成反比，当其到达距洞口为x1的A点时速度为v1，若B点离洞口的距离为x2（x2>x1），求老鼠由A运动到B所需的时间。
解析：老鼠从洞口沿直线爬出，已知爬出的速度与通过的距离成反比，则不能通过匀速运动、匀变速运动公式直接求解，但通过1/v-x图象，我们可以很简洁地得到图中阴影部分的面积即是老鼠由A运动到B所需的时间。
二、v-t图象，图线与坐标轴围成的“面积”表示位移例2．在电场强度为E的匀强电场中，有一条与电场线平行的几何线，如图中虚线所示。
七年级数学下册巧用三角形的中线求长度和面积
9．微专题：巧用三角形的中线求长度和面积◆类型一求线段长【方法点拨】由中线得线段相等，再结合中线这条公共边相等解题．如图，BD为△ABC 的中线，则AD＝CD，C△ABD－C△BCD＝AB－BC.1．如图，已知△ABC的周长为21cm，AB＝6cm，BC边上的中线AD＝5cm，△ABD 的周长为15cm，求AC的长．◆类型二求面积【方法点拨】(1)中线把三角形分成两个面积相等的三角形．如图①，若BD为△ABC的中线，则S△ABD＝S△BCD.若DE为△BCD的中线，则S△BDE＝S△CDE＝12S△BCD＝14S△ABC.图①图②(2)若题中有中点，求面积，要考虑在三角形中连接中线，利用①中的性质求解，如T4.(3)同一三角形被不同中线分成的三角形面积也相等．如图②，BD，AE均为△ABC的中线，则S△ABD＝S△BCD＝S△ABE＝S△ACE＝12S△ABC.2．如图，AD是△ABC的中线，CE是△ACD的中线，S△AEC＝3cm2，则S△ABC＝________．第2题图第3题图3．如图，D、E分别是△ABC边AB、BC上的点，AD＝2BD，BE＝CE，设△ADC的面积为S1，△ACE的面积为S2.若S△ABC＝12，则S1＋S2＝________．4．如图①，已知AD为△ABC中BC边上的中线．(1)试说明：S△ADB＝S△ADC；(2)如图②，若O为AD的中点，连接BO和CO，设△ABC的面积为S，△ABO的面积为S1，用含S的代数式表示S1，并说明理由；(3)如图③，学校有一块面积为40m2的三角形空地ABC，按图③所示分割，其中点D、E、F分别是线段BC、AD、EC的中点，拟计划在△BEF内栽种花卉，其余地方铺草坪，则栽种花卉(阴影部分)的面积是________m2.参考答案与解析1．解：∵AB＝6cm，AD＝5cm，△ABD的周长为15cm，∴BD＝15－6－5＝4(cm)．∵AD 是BC边上的中线，∴BC＝8cm.∵△ABC的周长为21cm，∴AC＝21－6－8＝7(cm)．2．12cm2 3.144．解：(1)作AE⊥BC.∵S△ADB＝12BD·AE，S△ADC＝12CD·AE，又AD为△ABC中BC边上的中线，∴BD＝CD，∴S△ADB＝S△ADC.(2)由(1)可知S△ADB＝S△ADC，同理S△ABO＝S△DBO＝12S△ADB，∴S△ABO＝14S△ABC，即S1＝14S.(3)10解析：S△BEF＝12S△BEC＝12(S△BDE＋S△CDE)＝14(S△ABD＋S△ACD)＝14S△ABC.。
高考数学专题：解三角形中面积(周长)最值的求法
解三角形中面积（周长）最值的求法一、考法解法命题特点分析在正余弦定理的运用中，有一类题目值得关注。
这类题有一个相同的特点，即知道三角形的一条边和边所对的角，求三角形面积（或周长）的最值（或范围），但在解题方法的选择上有值得考究的地方。
解题方法荟萃求三角形面积（或周长）的最值（或范围），一般可有两种思路去解决：（1）用余弦定理+基本不等式（2）用正弦定理+三角函数的取值范围二、典型题剖析 例1 在ABC ∆中，角A,B,C 的对边分别为c b a ,,且4,41cos ==a A .（1）若6=+c b ，且b <c ，求c b ,的值．（2）求ABC ∆的面积的最大值。
【解析】 解 （1）由余弦定理A bc c b a cos 2222-+=， ∴bc bc c b 212)(162--+= ∴8=bc ，又∵,6=+c b b <c ，解方程组⎩⎨⎧==+86bc c b 得4,2==c b 或2,4==c b (舍)．∴4,2==c b（2）由余弦定理A bc c b a cos 2222-+=， ∴bc c b 211622-+= ∵bc c b 222≥+ ∴332≤bc ，又415sin =A ∴3154sin 33221sin 21=⨯⨯≤=∆A A bc S ABC即c b =时三角形最大面积为3154 例2在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，2=a ，向量)s i n s i n ,1(),1),(sin(C B b B A a -=-=→→，且→a ⊥→b 。
（1）求角A ；（2）求ABC ∆面积的取值范围。
【解析】解：（1）→→⊥∴b a ，01)sin (sin 1)sin(=⨯-+⨯-∴C B B A ，0sin cos cos sin sin sin cos cos sin =--+-B A B A B B A B A ， 即B A B sin cos 2sin =,因0sin ≠B ， 故21cos =A ,又︒<<︒1800A ， 所以︒=60A （2） 由正弦定理334sin 2==A a R C R CB R b sin 2,sin 2== 又 120=+c b A bc S ABC sin 21=∆ 60sin )sin 2()sin 2(21⨯⨯=C R B R C B sin sin 334=)120sin(sin 334B B -= ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=B B B sin 21cos 23sin 334[]B B B 2sin cos sin 3332+= 332cos 212sin 23332+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=B B 33)302sin(332+-= B )120,0( ∈B )210,30(302 -∈-∴B ]1,21()302sin(-∈- B ]3,0(∈∴∆ABC S三、达标与拓展基础过关。
三角形面积计算说课稿（通用10篇）
三角形面积计算说课稿三角形面积计算说课稿（通用10篇）在教学工作者开展教学活动前，通常需要用到说课稿来辅助教学，编写说课稿助于积累教学经验，不断提高教学质量。
那么优秀的说课稿是什么样的呢？下面是小编为大家整理的三角形面积计算说课稿，仅供参考，大家一起来看看吧。
三角形面积计算说课稿篇1说教材：今天我说课的内容是苏教版第9册的“三角形面积的计算”。
在学这课之前，学生已经有的知识基础有：长方形、正方形、平行四边形的面积计算;一些简单多边形的特征等。
学习方法方面的基础有：在平行四边形面积计算的时候，学生已经初步感受了可以用剪拼、平移、旋转等操作活动，使图形等积变形。
事实上，在学这课之前，部分学生对三角形面积计算的公式并不是一无所知，但那只是一种机械记忆，知道公式，说不清所以来。
说教法、学法：这课我会采用分组学习的方式，事先给每组一些操作材料，让大家在操作中交流，在交流中丰富感知，并逐步形成正确的认识。
教学目标：1、使学生经历操作、观察、填表、讨论、归纳等数学活动，探索并掌握三角形的面积公式，能正确计算三角形的面积，并应用公式解决简单的实际问题。
2、使学生进一步体会转化方法的价值，培养学生应用已有知识解决新问题的能力，发展学生的空间观念和初步的推理能力。
教学重点：三角形面积计算公式的推导教学难点：帮助学生认识到为什么要“÷2”说教学过程及相关意图：一、复习我们已经学习过哪些平面图形的面积计算?请你用字母公式来说一说。
老师随学生回答板书：S长=ab，S正=a，S平=ah能说说这些公式是分别用什么方法得到的呢?[复习中的这两问，第一个问题是帮助学生回忆相关的知识基础，这是学习新知的一个重要前提。
后一问，主要是从学习方法上考虑的。
数面积单位的方块数或是用等积变形，这两种方法将是我们这课学习三角形面积计算的重要方法。
二、探索三角形面积计算的公式1、学习例4将刚才复习中的三种图形，利用课件的演示，添上一条对角线。
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在三角形中巧用面积法解题
所谓面积法是指借助图形面积自身相等的性质、可拆分的性质和可比的性质进行解题的一种方法。
在中学阶段它是数学中一种常用的解题方法。
并且具有解题便捷快速、简单易懂等特点。
现分类举例如下,希望同学们在今后的做题中有所启发。
一、利用面积自身相等的性质解题
例1 如图，在直角三角形ABC 中，AB=13,AC=12,BC=5,求AB 边上的高AD 的长。
C
A
B
D
例2 在ABC 中，AB ＞AC,BD 、CE 分别是AC 、AB 边上的高，试判断BF 和CE 的大小关系，并说明理由。
D
F
C
B
E
A。
小结：利用一个图形面积自身相等的性质解题，就是从不同的角度使用面积公式来表示同一个图形的面积，列出等式求出未知的量。
二、利用面积的可比性解题
例3 如图，由图中已知的小三角形的面积的数据，可得ABC 的面积为 。
D
C B A
小结：我们知道等底等高的两三角形的面积相等，等底不等高的两三角形面积的比等于其对应高的比，等高而不等底的两三角形面积的比等于其对应底的比。
三、利用面积的可分性解题
例 4 如图，已知等边三角ABC ，P 为ABC 内一点，过P 作
,,,PD BC PE AC PF AB ABC ⊥⊥⊥的高为h.试说明PD PE PF h ++=。
A
B
C
D P
F
E
小结：用面积的可分性解题，一般要将图形分成若干个小三角形，利用其整体等于部分之和建立关于条件和结论的关系式，从而方便快捷地解决问题。
现提供部分习题供同学们练习：
1、如图，已知ABC 和BDC ，AC 与BD 交于点ｏ，且直线AD ∥BC,图中四个小三角形的面积分别为1S 、2S 、3S 、4S ，试判断2S 和4S 的大小关系，并说明理由。
D
B A
O
C
S4
S3
S1
S2
2、如图，四边形ABCD 中，对角线BD 上有一点O ，OB ：OD=3：2,S AOB =6,S COD =1,试求S AOD 与S BOC 的面积比。
D
A
C
B O
3、 如图，P 是等腰三角形ABC 底边BC 上的任一点，PE AB ⊥于E,PF AC ⊥于F ，BH 是等腰三角形AC 边上的高。
猜想：PE 、PF 和BH 间具有怎样的数量关系？
B
C
4、其它练习题见《培优竞赛新方法》112-116部分习题。