在三角形中巧用面积法解题
同(等)底、同(等)高三角形面积计算在解题中的应用
所以 Ｂ Ｄ＝Ｃ Ｄ．
底 （ 或 等底 ）不 同高的三 角形 面积 的计算在解 三角形 、四边 形 以及二 次函数 习题 中的作 用非 常重要 ，总结 出的知 识点能在 综
合 题 里 直接 应 用 ， 与二 次 函数 结合 关 于 三 角形 面积 的 问题 化 繁
、
在 三 角 形 中 的应 用
１ ． 在教学 三角形的中线 、角平分线 、高的时候 ，我们得 出
了三角形 的中线 把三角形 的面积平分 ，这是 为什么呢？如 图 １ ， 因为 ＡＤ是 ｃ边上 的中线 ，
・ 十 “ — 十 一 。 十 ＊ — ‘ 卜 ” — 十 一 一 十 “ 十 － 十 一 十 ” — 十 一 － 一 十 一 十 ” 十 ” ＋ “ — ● 一 ” ‘ － 卜” ＋
Ｙ ． Ｎ￣ Ｊ ， ｓ ：１ －Ｂ Ｄ・ Ａ Ｅ
． ｓ ∞＝ １ Ｃ Ｄ‘ ＡＥ
，
所以 Ｓ 丑 Ｄ ＝Ｓ △ ｄ ∞ ．
图１
为简 ，在 同类题 里能举一反 三 ，帮助 学生快速 找到 解题 思路 ，
２ ．由此我们可以引 出问题 ，那 如果 ４ Ｄ不是 ＡＡＢ Ｃ的中线
的趣 味编话很 受学生 的欢迎 ，例如 ，① 用 “ 风筝 ” 、“ 童年 ” 、
“ 梦想 ”三个词语 写一 段话 ，运用 一种修 辞手 法 ，展 开联想 ． 五个词语写一段话 ，表现班 中某位 同学身上所具有 的优 良品质．
事实证 明 ，在这些 特定 的背景语 言环境 中，既培 养 了学生
句或拟人句 ：阳光普照 、凉风习习 、花 红柳绿 、神 清气 爽 、小 指导学生用 同一个词造 句时 ，可 以把 这个词用在句 首 ，也可 以 鸟啁啾 、翩翩起舞 、绿草如茵 、清澈见底．以下便是我班一位 同 把这个词放在句中，也可 以用在句尾 ． 如 “ 精彩”一词 ，经过指 学在第二个训 练 中所写 的一 段话 ：我们 班的陈星星 上课 的时候 导 ，学生就能造 出句式不 同的几个句子 ：“ 精 彩的直播节 目进行 专心致志 ，发 言也非 常积 极 ，回到家也 不忘勤奋学 习 ，除 了很 了大约一个小时． ” ；“ 这位同学在校级演讲 比赛中表现得太精彩
在三角形中用面积法解题专题训练
。 是 …ｃ平线 以ｃ Ｚ Ｃ② ｉ 。… 所 肋 ２ Ｂ ； ’ Ｄ 的分 ， 一： Ａ ． … … 一” ……… 。
又因 Ｄ￣＿Ｃ 的 分 为Ｃ ：＿ Ｅ 平 线， ｚＡ ／ 所以 ＡＤ Ｌ Ｃ。 Ａ Ｃ ： ＡＥ
２ ： 从而Ｌ Ｃ Ａ Ｂ＋— ／ Ｃ Ｂ Ｄ： Ｃ ＿ Ｅ：Ｌ Ｃ １＿ Ａ Ａ Ｂ＋：
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． ．
两三形 中角间关Ｄ角 １Ａ Ｃ ｉ 个角之 内之的系Ｃ＝ １／ 条 ， 分＿ Ｂ件 平 ，ｉ 线 的 为我们提供了信息 ，事实上Ｌ Ｂ
Ｄ ： ＡＣ ＡＣ ． 已知 ， Ｄ： 。 凹 Ｂ＋ Ｄ由 ，
Ｉ
，
Ｉ ｌ ｌ 三 形内 和 利用 角 角 等于１ 。 题 题训 题 ８ 解 专 练（ 在第 ０
ｌ７ 页） ２ ｌ ． 解：由 析 １ 三角形的三 角和 个内 等于 １ 。 得 ８ ， Ａ＋ ０
， ；
ｌ １８０。一２１。一１３０。＝２９。 Ｌ＝８一Ａ ＝ ＋ Ｃ １。所 Ｃ １。 一 Ｌ ＝８， 以 ０ 。 ０
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５ 析解 ： Ｌ Ｄ ． 要求 Ｂ Ｃ的度数 ， 由
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十 一 一 ２’
于 中 出 三 形 所 图未现角 ，以
和。 我们可以 构造三角形， 然
三角形等面积法在初中数学中的应用
三角形等面积法在初中数学中的应用作者：王斌杰来源：《试题与研究·教学论坛》2012年第13期三角形等面积法是指利用三角形面积自身相等的性质进行解题的一种方法。
此法是初中数学中常用的一种解题方法。
它具有解题便捷快速、简单易懂等特点。
现举例如下：．例1如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，求AB边上的高CD的长。
解析：因为AB2=AC2+BC2,所以AB=5。
又因为S△ABC=12AC·BC=6，S△ABC=12AB·CD=52CD，所以52CD=6，得CD=125。
例2在△ABC中，AB=12,BC=13,AC=5，点P是△ABC内切圆的圆心，求△ABC内切圆的半径。
解析：因为AB2+AC2=169，BC2=169，所以AB2+AC2=BC2。
所以△ABC为直角三角形。
连接AP，PC，BP。
设圆P的半径为r。
S△ABC=12AC·AB=30，S△ABC=S△ABP+S△ACP+S△BCP=12AB·r+12AC·r+12BC·r=12r(AB+AC+BC)=15r，所以15r=30，解得r=2。
例3在等腰三角形ABC中，AB=AC。
点P为BC边上的一个动点，PE垂直AC,PF垂直AB，垂足分别为E，F，求证：PE+PF为定值。
解析：连接AP,过点B作BD垂直AC于点D。
因为S△ABC=S△ABP+S△APC=12AB·PF+12AC·PE，又因为AB=AC，所以S△ABC=12AC(PE+PF)。
又因为S△ABC=12AC·BD，所以12AC(PE+PF)=12AC·BD。
所以PE+PF=BD（定值）。
小结：通过上述的例子可以看出，利用三角形等面积法的性质解题，可从不同的角度使用面积公式表示同一个三角形的面积，列出等式求出未知量。
北师版数学九年级上 应用相似三角形的面积之比解题
北师版数学九年级 应用相似三角形的面积之比解题相似三角形的面积之比，等于相似比的平方，是相似三角形的一条非常重要的性质。
它在解题中也有着十分灵活的应用。
下面就举例加以说明，供同学们学习时参考。
1、根据面积的变化，描述边长的变化例1、把一个三角形改成和它相似的三角形，如果面积扩大到原来的100倍，那么边长扩大到原来的 。
A 、10000倍B 、1000倍C 、100倍D 、10倍分析：题目中已经说明两个三角形是相似的，所以，我们就可以直接相似三角形的性质了：相似三角形的面积之比，等于相似比的平方，也就是说，相似三角形的相似比，等于对应三角形面积比的算术平方根，即相似比=100=10，因此，边长扩大到原来的10倍。
解：选D点评：这道题可以作如下的引申：把一个三角形改成和它相似的三角形，如果面积扩大到原来的n 倍，那么边长扩大到原来的n 倍。
如果同学们能熟记这个结论，对于解这方面的选择题或者是填空题，将会大大提高解题的速度。
2、已知相似三角形的面积，求边长例2、已知：△ABC∽△A ′B ′C ′，且它们的面积分别是7cm 2和28cm 2，若AB=5cm ， 则A ′B ′= 。
分析：巧用方程的思想，把性质的文字描述转化成等式。
解：设A ′B ′=xcm ，因为，△ABC∽△A ′B ′C ′， 所以，'''=''C B A ABC S S B A AB △△）（2, 因为，△ABC 的面积是7cm 2、△A ′B ′C ′的面积是28cm 2，AB=5cm ， 所以，4128752==）（x ， 所以，1002=x ，解得：x=10（cm ），即A ′B ′的长度为10cm 。
3、已知相似三角形的面积，求三角形的面积例3、如图1所示，点M 是△ABC 内一点，过点M 分别作直线平行于△ABC 的各边，所形成的三个小三角形△1、△2、△3（图中阴影部分）的面积分别是4，9和49．则△ABC 的面积是 ．分析：由于DE ∥MN ，EM ∥NH ，所以，∠DME=∠MHN ，∠EDM=∠NMH ，四边形AEMN 是平行四边形，所以，△DME ∽△MHN ，AE=MN ，942==MHN DEM S S MN DE △△）（,即DE:MN=2:3，因为，AE=MN ， 所以，DE:EA=2:3；由于DM ∥FG ，DE ∥FM ，所以，∠DME=∠FMG ，∠EMD=∠MGF ，四边形BDMF 是平行四边形，所以，△DME ∽△FMG ，BD=FM ，4942==FMG DEM S S FM DE △△）（,即DE:FM=2:7，因为，FM=BD ， 所以，DE:BD=2:7；由于DM ∥BC ，EM ∥AC ，所以，∠EDM=∠B ，∠DEM=∠A ，所以，△DME ∽△BCA ， 所以，BCADEM S S BA DE △△）（=2, 设DE=2k ，则EA=3k ，BD=7k ，所以，AB=2k+3k+7k=12k ， 所以，61122==k k BA DE 所以，361612==BCA DEM S S △△）（， 所以，三角形ABC 面积为：36×4=144。
专题14 三角形章末重难点题型(举一反三)(北师大版)(解析版)
专题1.4 三角形章末重难点题型【考点1 三角形的边角关系】【方法点拨】解题的关键是了解三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．【例1】（2019秋•庐江县期末）已知4条线段的长度分别为2，4，6，8，若三条线段可以组成一个三角形，则这四条线段可以组成三角形的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】从4条线段里任取3条线段组合，可有4种情况，看哪种情况不符合三角形三边关系，舍去即可．【答案】解：首先任意的三个数组合可以是2，4，6或2，4，8或2，6，8或4，6，8．根据三角形的三边关系：其中4+6＞8，能组成三角形．∴只能组成1个．故选：A．【点睛】考查了三角形的三边关系，解题的关键是了解三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．【变式1-1】（2018秋•当涂县期末）若一个三角形的两边长分别为4和7，则周长可能是（）A．11B．18C．14D．22【分析】根据第三边的长度应是大于两边的差而小于两边的和，可求出第三边长的范围，从而得出答案．【答案】解：设第三边的长为x，根据三角形的三边关系，得7﹣4＜x＜7+4，即3＜x＜11．∴14＜周长＜22，∴周长可能为18，故选：B．【点睛】此题主要考查了三角形三边关系，此类求三角形第三边的范围的题，实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可．【变式1-2】（2019春•临清市期末）a，b，c为三角形的三边长，化简|a+b+c|﹣|a﹣b﹣c|﹣|a﹣b+c|﹣|a+b﹣c|，结果是（）A．0B．2a+2b+2c C．4a D．2b﹣2c【分析】根据三角形的三边关系去绝对值，即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，进而再化简即可．【答案】解：|a+b+c|﹣|a﹣b﹣c|﹣|a﹣b+c|﹣|a+b﹣c|，＝a+b+c+a﹣b﹣c﹣a+b﹣c﹣a﹣b+c，＝0．故选：A．【点睛】本题主要考查了简单的三角形的三边关系的运用，能够利用其性质求解一些简单的计算问题．【变式1-3】（2019秋•江东区期末）已知等腰三角形的周长为16，且一边长为3，则腰长为（）A．3B．10C．6.5D．3或6.5【分析】因为腰长没有明确，所以分边长3是腰长和底边两种情况讨论．【答案】解：（1）当3是腰长时，底边为16﹣3×2＝10，此时3+3＝6＜10，不能组成三角形；（2）当3是底边时，腰长为×（16﹣3）＝6.5，此时3，6.5，6.5三边能够组成三角形．所以腰长为6.5．故选：C．【点睛】本题要分情况讨论，注意利用三角形的三边关系判断能否组成三角形，是学生容易出错的题．【考点2 巧用三角形中线求面积】【方法点拨】解题的关键是掌握三角形的中线把三角形的面积分成了相等的两部分．【例2】（2019秋•长丰县期末）如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且△ABC的面积是32，则图中阴影部分面积等于（）A．16B．8C．4D．2【分析】首先根据D是BC的中点，可得：S△ABD＝S△ACD＝S△ABC，再根据E是AD的中点，可得：S＝S△ABD，S△CDE＝S△ACD，所以S△BCE＝S△ABC；然后根据F是CE的中点，求出△BEF的面△BDE积是多少即可．【答案】解：∵D是BC的中点，∴S△ABD＝S△ACD＝S△ABC，∵E是AD的中点，∴S△BDE＝S△ABD，S△CDE＝S△ACD，∴S△BCE＝S△ABC＝×32＝16，∵F是CE的中点，∴S△BEF＝S△BCE＝×16＝8．答：图中阴影部分面积等于8．故选：B．【点睛】此题主要考查了三角形的面积的求法，以及线段的中点的特征和应用，要熟练掌握．【变式2-1】（2019秋•宁阳县期末）如图，△ABC的三边的中线AD，BE，CF的公共点为G，且AG：GD ＝2：1，若S△ABC＝12，则图中阴影部分的面积是（）A．3B．4C．5D．6【分析】根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分，知△ABC的面积即为阴影部分的面积的3倍．【答案】解：∵△ABC的三条中线AD、BE，CF交于点G，∴S△CGE＝S△AGE＝S△ACF，S△BGF＝S△BGD＝S△BCF，∵S△ACF＝S△BCF＝S△ABC＝×12＝6，∴S△CGE＝S△ACF＝×6＝2，S△BGF＝S△BCF＝×6＝2，∴S阴影＝S△CGE+S△BGF＝4．故选：B．【点睛】本题考查了三角形的面积，三角形中线的性质，正确的识别图形是解题的关键．【变式2-2】（2019秋•椒江区期末）如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，DE为△ABD中AB边上的中线，△ABC的面积为6，则△ADE的面积是（）A．1B．C．2D．【分析】根据三角形的中线的性质，得△ADE的面积是△ABD的面积的一半，△ABD的面积是△ABC 的面积的一半，由此即可解决问题．【答案】解：∵AD是△ABC的中线，∴S△ABD＝S△ABC＝3．∵DE为△ABD中AB边上的中线，∴S△ADE＝S△ABD＝．故选：B．【点睛】本题考查三角形的面积，三角形的中线的性质等知识，解题的关键是掌握三角形的中线把三角形的面积分成了相等的两部分．【变式2-3】（2019秋•温州期中）如图，在△ABC中，点D是BC边上的一点，E，F分别是AD，BE的中点，连结CE，CF，若S△CEF＝5，则△ABC的面积为（）A．15B．20C．25D．30【分析】根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形即可求解．【答案】解：根据等底同高的三角形面积相等，可得∵F是BE的中点，S△CFE＝S△CFB＝5，∴S△CEB＝S△CEF+S△CBF＝10，∵E是AD的中点，∴S△AEB＝S△DBE，S△AEC＝S△DEC，∵S△CEB＝S△BDE+S△CDE∴S△BDE+S△CDE＝10∴S△AEB+S△AEC＝10∴S△ABC＝S△BDE+S△CDE+S△AEB+S△AEC＝20故选：B．【点睛】本题考查了三角形面积，解决本题的关键是利用三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形．【考点3 三角形内角和之折叠变换】【方法点拨】解题的关键是掌握折叠的性质．【例3】（2019秋•潮州期末）如图，在△ABC中，∠B＝32°，将△ABC沿直线m翻折，点B落在点D的位置，则∠1﹣∠2的度数是（）A．32°B．45°C．60°D．64°【分析】由折叠的性质得到∠D＝∠B＝32°，再利用外角性质即可求出所求角的度数．【答案】解：如图所示：由折叠的性质得：∠D＝∠B＝32°，根据外角性质得：∠1＝∠3+∠B，∠3＝∠2+∠D，∴∠1＝∠2+∠D+∠B＝∠2+2∠B＝∠2+64°，∴∠1﹣∠2＝64°．故选：D．【点睛】本题考查三角形内角和定理，翻折变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．【变式3-1】（2020春•岱岳区期中）如图，将△ABC沿MN折叠，使MN∥BC，点A的对应点为点A'，若∠A'＝32°，∠B＝112°，则∠A'NC的度数是（）A．114°B．112°C．110°D．108°【分析】由MN∥BC，可得出∠MNC与∠C互补，由三角形的内角和为180°可求出∠C的度数，从而得出∠MNC的度数，由折叠的性质可知∠A′NM与∠MNC互补，而∠A′NC＝∠MNC﹣∠A′NM，套入数据即可得出结论．【答案】解：∵MN∥BC，∴∠MNC+∠C＝180°，又∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A＝∠A′＝32°，∠B＝112°，∴∠C＝36°，∠MNC＝144°．由折叠的性质可知：∠A′NM+∠MNC＝180°，∴∠A′NM＝36°，∴∠A′NC＝∠MNC﹣∠A′NM＝144°﹣36°＝108°．故选：D．【点睛】本题考查平行线的性质、折叠的性质以及三角形的内角和为180°，解题的关键是找出∠MNC 与∠A′NM的度数．本题属于基础题，难度不大，根据平行线的性质找出角的关系，结合图形即可得出结论．【变式3-2】（2020春•江阴市期中）如图，△ABC中，∠A＝20°，沿BE将此三角形对折，又沿BA′再一次对折，点C落在BE上的C′处，此时∠C′DB＝74°，则原三角形的∠C的度数为（）A．27°B．59°C．69°D．79°【分析】先根据折叠的性质得∠1＝∠2，∠2＝∠3，∠CDB＝∠C′DB＝74°，则∠1＝∠2＝∠3，即∠ABC＝3∠3，根据三角形内角和定理得∠3+∠C＝106°，在△ABC中，利用三角形内角和定理得∠A+∠ABC+∠C＝180°，则20°+2∠3+106°＝180°，可计算出∠3＝27°，即可得出结果．【答案】解如图，∵△ABC沿BE将此三角形对折，又沿BA′再一次对折，点C落在BE上的C′处，∴∠1＝∠2，∠2＝∠3，∠CDB＝∠C′DB＝74°，∴∠1＝∠2＝∠3，∴∠ABC＝3∠3，在△BCD中，∠3+∠C+∠CDB＝180°，∴∠3+∠C＝180°﹣74°＝106°，在△ABC中，∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，∴20°+2∠3+（∠3+∠C）＝180°，即20°+2∠3+106°＝180°，∴∠3＝27°，∴∠ABC＝3∠3＝81°，∠C＝106°﹣27°＝79°，故选：D．【点睛】此题主要考查了图形的折叠变换及三角形内角和定理的应用等知识；熟练掌握折叠的性质，得出∠ABC和∠CBD的倍数关系是解决问题的关键．【变式3-3】（2019春•繁昌县期中）如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，这个规律是（）A．∠A＝∠1+∠2B．2∠A＝∠1+∠2C．3∠A＝2∠1+∠2D．3∠A＝2（∠1+∠2）【分析】根据三角形的内角和为180°以及四边形的内角和为360°得到几个角之间的等量关系，整理化简即可得到所求角之间的关系．【答案】解：∵在△ABC中，∠A+∠B+∠C＝180°①；在△ADE中∠A+∠ADE+∠AED＝180°②；在四边形BCDE中∠B+∠C+∠1+∠2+∠ADE+∠AED＝360°③；∴①+②﹣③得2∠A＝∠1+∠2．故选：B．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，以及翻折变换，解题的关键是求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°这一隐含的条件．【考点4 三角形内角和之角平分线】【例4】（2019秋•顺义区期末）如图，在△ABC中，AD，AE分别是△ABC的角平分线和高线，用等式表示∠DAE、∠B、∠C的关系正确的是（）A．2∠DAE＝∠B﹣∠C B．2∠DAE＝∠B+∠CC．∠DAE＝∠B﹣∠C D．3∠DAE＝∠B+∠C【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC，再根据角平分线的定义求出∠BAD，根据直角三角形两锐角互余求出∠BAE，即可得到∠DAE、∠B、∠C之间的数量关系．【答案】解：∵∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C，AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD＝∠BAC＝（180°﹣∠B﹣∠C），∵AE是高，∴∠CAE＝90°﹣∠C，∴∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD＝（90°﹣∠C）﹣（180°﹣∠B﹣∠C）＝（∠B﹣∠C），故选：A．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的角平分线、高线的定义，直角三角形两锐角互余的性质，熟记定理并准确识图是解题的关键．【变式4-1】（2019秋•璧山区期中）如图，BD是∠ABC的角平分线，CD是∠ACB的角平分线，∠BDC＝120°，则∠A的度数为（）A．40°B．50°C．60°D．75°【分析】根据角平分线的定义得到∠DBC＝∠ABC，∠DCB＝∠ACB，根据三角形内角和定理和计算即可．【答案】解：∵BD、CD是∠ABC和∠ACB的角平分线，∴∠DBC＝∠ABC，∠DCB＝∠ACB，∴∠D＝180°﹣（∠DBC+∠DCB）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A＝120°，∴∠A＝60°；故选：C．【点睛】本题考查的是三角形的内角和，掌握三角形的内角和是解题的关键．【变式4-2】（2020•拱墅区校级期末）如图，BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，垂足为F．若∠ABC＝36°，∠C＝44°，则∠EAC的度数为（）A．18°B．28°C．36°D．38°【分析】根据∠EAC＝∠BAC﹣∠BAF，求出∠BAC，∠BAF即可解决问题．【答案】解：∵∠ABC＝36°，∠C＝44°，∴∠BAC＝180°﹣36°﹣44°＝100°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠ABC＝18°，∵AE⊥BD，∴∠BF A＝90°，∴∠BAF＝90°﹣18°＝72°，∴∠EAC＝∠BAC﹣∠BAF＝100°﹣72°＝28°，故选：B．【点睛】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．【变式4-3】（2019春•巴州区期末）如图，∠ABC和∠ACB的外角平分线相交于点D，设∠BDC＝β，那么∠A等于（）A．180°﹣B．180°﹣2βC．90°﹣βD．90°﹣【分析】在△BCD中利用三角形内角和定理可求出∠BCD+∠CBD的度数，由角平分线的定理可得出∠CBE+∠BCF的度数，由邻补角互补可求出∠ABC+∠ACB的度数，再在△ABC中利用三角形内角和定理即可求出∠A的度数．【答案】解：∵∠BCD+∠CBD+∠D＝180°，∠D＝β，∴∠BCD+∠CBD＝180°﹣β．∵BD平分∠CBE，CD平分∠BCF，∴∠CBE+∠BCF＝2（∠BCD+∠CBD）＝360°﹣2β，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠CBE+180°﹣∠BCF＝360°﹣（∠CBE+∠BCF）＝2β．又∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠A＝180°﹣2β．故选：B．【点睛】本题考查了三角形内角和定理、邻补角以及角平分线的性质，利用三角形内角和定理、角平分线的性质及邻补角互补求出∠ABC+∠ACB的度数是解题的关键．【考点5 全等三角形的判定】【方法点拨】全等三角形的判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．【例5】（2019秋•九龙坡区校级期末）如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB＝AC，现添加以下的哪个条件仍无法判定△ABE≌△ACD的是（）A．AD＝AE B．∠B＝∠C C．CD＝BE D．∠ADC＝∠AEB【分析】根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断．【答案】解：∵AB＝AC，∠BAE＝∠CAD，∴当添加AE＝AD时，可根据“SAS”判断△ABE≌△ACD；当添加∠B＝∠C时，可根据“ASA”判断△ABE≌△ACD；当添加∠AEB＝∠ADC时，可根据“AAS”判断△ABE≌△ACD．故选：C．【点睛】本题考查了全等三角形的判定：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．【变式5-1】（2019秋•东阿县期末）如图，A，B，C三点在同一条直线上，∠A＝∠C＝90°，AB＝CD，添加下列条件，不能判定△EAB≌△BCD的是（）A．EB＝BD B．∠E+∠D＝90°C．AC＝AE+CD D．∠EBD＝60°【分析】由于∠A＝∠C＝90°，AB＝CD，根据直角三角形全等的判定方法对各选项进行判断．【答案】解：∵∠A＝∠C＝90°，AB＝CD，∴当添加EB＝BD时，则可根据“HL”判定△EAB≌△BCD；当添加AE＝BC，即AC＝AE+CD，则可根据“SAS”判定△EAB≌△BCD；当添加∠ABE＝∠D时，此时∠D+∠E＝90°，∠EBD＝90°，则可根据“SAS”判定△EAB≌△BCD，．故选：D．【点睛】本题考查了全等三角形的判定：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．【变式5-2】（2019秋•正定县期中）一块三角形玻璃被小红碰碎成四块，如图，小红只带其中的两块去玻璃店，买了一块和以前一样的玻璃，你认为她带哪两块去玻璃店了（）A．带其中的任意两块B．带1，4或3，4就可以了C．带1，4或2，4就可以了D．带1，4或2，4或3，4均可【分析】要想买一块和以前一样的玻璃，只要确定一个角及两条边的长度或两角及一边即可，即简单的全等三角形在实际生活中的应用．【答案】解：由图可知，带上1，4相当于有一角及两边的大小，即其形状及两边长确定，所以两块玻璃一样；同理，3，4中有两角夹一边，同样也可得全等三角形；2，4中，4确定了上边的角的大小及两边的方向，又由2确定了底边的方向，进而可得全等．故选：D．【点睛】本题考查了全等三角形的判定；熟练掌握全等三角形的判定，能够联系实际，灵活应用所学知识．【变式5-3】（2019•鄂州）下列命题：①有两个角和第三个角的平分线对应相等的两个三角形全等；②有两条边和第三条边上的中线对应相等的两个三角形全等；③有两条边和第三条边上的高对应相等的两个三角形全等．其中正确的是（）A．①②B．②③C．①③D．①②③【分析】结合已知条件与全等三角形的判定方法进行思考，要综合运用判定方法求解．注意高的位置的讨论．【答案】解：①正确．可以用AAS或者ASA判定两个三角形全等；②正确．可以用“倍长中线法”，用SAS定理，判断两个三角形全等；如图，分别延长AD，A′D′到E，E′，使得AD＝DE，A′D′＝D′E′，∴△ADC≌△EDB，∴BE＝AC，同理：B′E′＝A′C′，∴BE＝B′E′，AE＝A′E′，∴△ABE≌△A′B′E′，∴∠BAE＝∠B′A′E′，∠E＝∠E′，∴∠CAD＝∠C′A′D′，∴∠BAC＝∠B′A′C′，∴△BAC≌△B′A′C′．③不正确．因为这个高可能在三角形的内部，也有可能在三角形的外部，也就是说，这两个三角形可能一个是锐角三角形，一个是钝角三角形，所以就不全等了．故选：A．【点睛】本题考查了全等三角形的判定方法；要根据选项提供的已知条件逐个分析，分析时看是否符合全等三角形的判定方法，注意SSA是不能判得三角形全等的．【考点6 尺规作图】【例6】（2019秋•蜀山区期末）如图，已知∠1与线段a，用直尺和圆规按下列步骤作图（保留作图痕迹，不写作法）：（1）作∠A＝∠1；（2）在∠A的两边分别作AM＝AN＝a；（3）连接MN．【分析】先以A为圆心，a为半径画弧，即可作∠A＝∠1，则AM＝AN＝a；最后连接MN即可．【答案】解：如图所示：【点睛】本题考查作图﹣基本作图，解题的关键是熟练掌握五种基本作图的方法．【变式6-1】（2019春•秦都区期中）如图，已知△ABC中，∠ACB＞∠ABC，用直尺和圆规在∠ACB的内部作射线CM，使∠ACM＝∠ABC（不要求写作法，保留作图痕迹）【分析】根据尺规作图的方法，以AC为一边，在∠ACB的内部作∠ACM＝∠ABC即可；【答案】解：如图所示，射线CM即为所求：【点睛】本题主要考查了基本作图，解题的关键是掌握作一个角等于已知角的尺规作图．【变式6-2】（2019春•平川区期末）已知∠α和线段a，求作△ABC，使∠A＝∠α，∠B＝2∠α，AB＝2α．（保留作图痕迹，不写作法）【分析】先作AB＝2a，再作∠A＝∠α，然后作∠B＝2∠α即可．【答案】解：如图，△ABC为所作．【点睛】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．【变式6-3】（2019秋•包河区期末）已知平面内有∠α，如图（1）．（1）尺规作图：在图（2）∠AOB的内部作∠AOD＝∠α（保留作图痕迹，不需要写作法）；（2）已知（1）中所作的∠AOD＝40°，OE平分∠BOC，∠AOE＝2∠BOE，求∠BOD．【分析】（1）依据基本作图，即可得到∠AOD＝∠α；（2）依据角平分线的定义，即可得到∠AOD的度数，进而得出∠BOD的度数．【答案】解：（1）如图2所示，∠AOD即为所求；（2）∵OE平分∠BOC，∴∠COE＝∠BOE，又∵∠AOE＝2∠BOE，∴∠AOB＝∠BOE，∴∠AOB＝∠AOC＝60°，又∵∠AOD＝40°，∴∠BOD＝∠AOB﹣∠AOD＝60°﹣40°＝20°．【点睛】本题主要考查了基本作图以及角的计算，掌握作一个角等于已知角是解决问题的关键．【考点7 全等三角形的证明】【例7】（2019秋•东西湖区期中）如图，在△AOB和△DOC中，AO＝BO，CO＝DO，∠AOB＝∠COD，连接AC、BD，求证：△AOC≌△BOD．【分析】根据角的和差得到∠AOC＝∠BOD，根据全等三角形的判定定理即可得到结论．【答案】证明：∵∠AOB＝∠COD，∴∠AOB+∠BOC＝∠COD+∠BOC，即∠AOC＝∠BOD，在△AOC与△BOD中，，∴△AOC≌△BOD（SAS）．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练全等三角形的判定定理是解题的关键．【变式7-1】（2019秋•大观区校级期中）如图，△ABC的两条高AD、BE相交于点H，且AD＝BD，试说明下列结论成立的理由．（1）∠DBH＝∠DAC；（2）△BDH≌△ADC．【分析】（1）利用，△ABC的两条高AD、BE相交于点H得出，∠ADC＝∠BEC＝90°，再利用三角形内角和定理得出答案；（2）因为AD⊥BC，所以∠ADB＝∠ADC，又因为AD＝BD，∠DBH＝∠DAC，故可根据ASA判定两三角形全等．【答案】证明：（1）∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠ADC＝∠BEC＝90°，∵∠C＝∠C，∴∠DBH＝∠DAC；（2）∵AD⊥BC∴∠ADB＝∠ADC在△BDH与△ADC中，∴△BDH≌△ADC．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．【变式7-2】（2019春•黄岛区期末）如图，点E在AB上，AC＝AD，∠CAB＝∠DAB，那么△BCE和△BDE 全等吗？请说明理由．【分析】根据全等三角形的判定定理，观察图形上的已知条件，已知告诉的条件是一角一边分别对应相等，加上公共边就可证两对三角形全等．【答案】解：△BCE≌△BDE，理由如下：在△ACB与△ADB中，∴△ACB≌△ADB（SAS），∴BC＝BD，∠ABC＝∠ABD，在△BCE与△BDE中，∴△BCE≌△BDE（SAS）．【点睛】本题考查了全等三角形的判定；关键是根据全等三角形的判定定理证明．【变式7-3】（2019秋•北碚区校级期末）如图，点D在△ABC外部，点C在DE边上，BC与AD交于点O，若∠1＝∠2＝∠3，AC＝AE．求证：（1）∠B＝∠D；（2）△ABC≌△ADE．【分析】（1）由三角形内角和定理可知∠E＝∠180°﹣∠3﹣∠ACE，∠ACB＝180°﹣∠2﹣∠ACE，再根据∠2＝∠3，∠ACE＝∠ACE，证明△ABC≌△ADE（ASA），即可证明．（2）只要证明△ABC≌△ADE（ASA）即可．【答案】证明：（1）∵∠1＝∠3，∴∠1+∠DAC＝∠3+∠DAC，即∠BAC＝∠DAE，∵∠E＝∠180°﹣∠3﹣∠ACE，∠ACB＝180°﹣∠2﹣∠ACE，∵∠2＝∠3，∠ACE＝∠ACE，∴∠ACB＝∠E，在△ABC与△ADE中，∴△ABC≌△ADE（ASA），∴∠B＝∠D．（2）由（1）可得△ABC≌△ADE．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．【考点8 全等三角形的应用】【例8】（2019春•开江县期末）如图：小刚站在河边的A点处，在河的对面（小刚的正北方向）的B处有一电线塔，他想知道电线塔离他有多远，于是他向正西方向走了30步到达一棵树C处，接着再向前走了30步到达D处，然后他左转90°直行，当小刚看到电线塔、树与自己现处的位置E在一条直线时，他共走了140步．（1）根据题意，画出示意图；（2）如果小刚一步大约50厘米，估计小刚在点A处时他与电线塔的距离，并说明理由．【分析】（1）根据题意所述画出示意图即可．（2）根据AAS可得出△ABC≌△DEC，即求出DE的长度也就得出了AB之间的距离．【答案】解：（1）所画示意图如下：（2）在△ABC和△DEC中，，∴△ABC≌△DEC（ASA），∴AB＝DE，又∵小刚共走了140步，其中AD走了60步，∴走完DE用了80步，小刚一步大约50厘米，即DE＝80×0.5米＝40米．答：小刚在点A处时他与电线塔的距离为40米．【点睛】本题考查全等三角形的应用，像此类应用类得题目，一定要仔细审题，根据题意建立数学模型，难度一般不大，细心求解即可．【变式8-1】（2019春•峄城区期末）如图，点C、E分别在直线AB、DF上，小华想知道∠ACE和∠DEC是否互补，但是他没有带量角器，只带了一副三角板，于是他想了这样一个办法：首先连结CF，再找出CF的中点O，然后连结EO并延长EO和直线AB相交于点B，经过测量，他发现EO＝BO，因此他得出结论：∠ACE和∠DEC互补，而且他还发现BC＝EF．小华的想法对吗？为什么？【分析】通过全等三角形得到内错角相等，得到两直线平行，进而得到同旁内角互补．【答案】解：小华的想法对，理由是：∵O是CF的中点，∴CO＝FO（中点的定义）在△COB和△FOE中，∴△COB≌△FOE（SAS）∴BC＝EF（全等三角形对应边相等）∠BCO＝∠F（全等三角形对应角相等）∴AB∥DF（内错角相等，两直线平行）∴∠ACE和∠DEC互补（两直线平行，同旁内角互补），【点睛】本题考查了三角形的全等的判定和性质；做题时用了两直线平行内错角相等，同旁内角互补等知识，要学会综合运用这些知识．【变式8-2】（2019春•槐荫区期末）王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，求两堵木墙之间的距离．【分析】根据题意可得AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，进而得到∠ADC＝∠CEB＝90°，再根据等角的余角相等可得∠BCE＝∠DAC，再证明△ADC≌△CEB即可，利用全等三角形的性质进行解答．【答案】解：由题意得：AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°，∴∠BCE＝∠DAC，在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB（AAS）；由题意得：AD＝EC＝6cm，DC＝BE＝14cm，∴DE＝DC+CE＝20（cm），答：两堵木墙之间的距离为20cm．【点睛】此题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件．【变式8-3】（2019秋•临海市期末）如图1，为测量池塘宽度AB，可在池塘外的空地上取任意一点O，连接AO，BO，并分别延长至点C，D，使OC＝OA，OD＝OB，连接CD．（1）求证：AB＝CD；（2）如图2，受地形条件的影响，于是采取以下措施：延长AO至点C，使OC＝OA，过点C作AB的平行线CE，延长BO至点F，连接EF，测得∠CEF＝140°，∠OFE＝110°，CE＝11m，EF＝10m，请直接写出池塘宽度AB．【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质解答即可；（2）根据全等三角形的性质解答．【答案】证明：（1）在△ABO与△CDO中，∴△ABO≌△CDO（SAS），∴AB＝CD；（2）如图所示：延长OF、CE交于点G，∵∠CEF＝140°，∠OFE＝110°，∴∠FEG＝40°，∠EFG＝70°，∴∠G＝180°﹣40°﹣70°＝70°，∴EF＝EG，∵CE＝11m，EF＝10m，∴CG＝CE+EG＝CE+EF＝11+10＝21m，∵CG∥AB，∴∠A＝∠C，在△ABO与△CGO中，∴△ABO≌△CGO（ASA）∴AB＝CG＝21m．【点睛】此题考查全等三角形的应用，关键是根据全等三角形的判定和性质解答．【考点9 全等三角形中的动点问题】【例9】（2019秋•莱山区期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从A点出发沿A﹣C路径向终点C运动；点Q从B点出发沿B﹣C﹣A路径向终点A运动．点P和Q分别以每秒1cm 和3cm的运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动，在某时刻，分别过P和Q作PE⊥l于E，QF⊥l于F．则点P运动时间为多少时，△PEC与△QFC全等？【分析】推出CP＝CQ，①P在AC上，Q在BC上，推出方程6﹣t＝8﹣3t，②P、Q都在AC上，此时P、Q重合，得到方程6﹣t＝3t﹣8，Q在AC上，求出即可得出答案．【答案】解：设运动时间为t秒时，△PEC≌△QFC，∵△PEC≌△QFC，∴斜边CP＝CQ，有2种情况：①P在AC上，Q在BC上，CP＝6﹣t，CQ＝8﹣3t，∴6﹣t＝8﹣3t，∴t＝1；②P、Q都在AC上，此时P、Q重合，∴CP＝6﹣t＝3t﹣8，∴t＝3.5；答：点P运动1或3.5时，△PEC与△QFC全等．【点睛】本题主要考查对全等三角形的性质，解一元一次方程等知识点的理解和掌握，能根据题意得出方程是解此题的关键．【变式9-1】（2019秋•娄底期末）如图，已知△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝8cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由点B向C点运动，同时，点Q在线段CA上由点C向A点运动．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由．（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP 全等？【分析】（1）经过1秒后，PB＝3cm，PC＝5cm，CQ＝3cm，由已知可得BD＝PC，BP＝CQ，∠ABC＝∠ACB，即据SAS可证得△BPD≌△CQP．（2）可设点Q的运动速度为x（x≠3）cm/s，经过ts△BPD与△CQP全等，则可知PB＝3tcm，PC＝8﹣3tcm，CQ＝xtcm，据（1）同理可得当BD＝PC，BP＝CQ或BD＝CQ，BP＝PC时两三角形全等，求x的解即可．【答案】解：（1）经过1秒后，PB＝3cm，PC＝5cm，CQ＝3cm，∵△ABC中，AB＝AC，∴在△BPD和△CQP中，，∴△BPD≌△CQP（SAS）．（2）设点Q的运动速度为x（x≠3）cm/s，经过ts△BPD与△CQP全等；则可知PB＝3tcm，PC＝8﹣3tcm，CQ＝xtcm，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，根据全等三角形的判定定理SAS可知，有两种情况：①当BD＝PC，BP＝CQ时，②当BD＝CQ，BP＝PC时，两三角形全等；①当BD＝PC且BP＝CQ时，8﹣3t＝5且3t＝xt，解得x＝3，∵x≠3，∴舍去此情况；②BD＝CQ，BP＝PC时，5＝xt且3t＝8﹣3t，解得：x＝；故若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为cm/s时，能够使△BPD与△CQP 全等．【点睛】本题主要考查了全等三角形全等的判定，涉及到等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．【变式9-2】（2019秋•内乡县期末）如图（1），AB＝7cm，AC⊥AB，BD⊥AB垂足分别为A、B，AC＝5cm．点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q在射线BD上运动．它们运动的时间为t（s）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由；（2）如图（2），若“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA”，点Q的运动速度为xcm/s，其它条件不变，当点P、Q运动到何处时有△ACP与△BPQ全等，求出相应的x的值．【分析】（1）利用AP＝BQ＝2，BP＝AC，可根据“SAS”证明△ACP≌△BPQ；则∠C＝∠BPQ，然后证明∠APC+∠BPQ＝90°，从而得到PC⊥PQ；（2）讨论：若△ACP≌△BPQ，则AC＝BP，AP＝BQ，即5＝7﹣2t，2t＝xt；②若△ACP≌△BQP，则AC＝BQ，AP＝BP，即5＝xt，2t＝7﹣2t，然后分别求出x即可．【答案】解：（1）△ACP≌△BPQ，PC⊥PQ．理由如下：∵AC⊥AB，BD⊥AB，∴∠A＝∠B＝90°，∵AP＝BQ＝2，∴BP＝5，∴BP＝AC，∴△ACP≌△BPQ（SAS）；∴∠C＝∠BPQ，∵∠C+∠APC＝90°，∴∠APC+∠BPQ＝90°，∴∠CPQ＝90°，∴PC⊥PQ；（2）①若△ACP≌△BPQ，则AC＝BP，AP＝BQ，可得：5＝7﹣2t，2t＝xt解得：x＝2，t＝1；②若△ACP≌△BQP，则AC＝BQ，AP＝BP，可得：5＝xt，2t＝7﹣2t解得：x＝，t＝．综上所述，当△ACP与△BPQ全等时x的值为2或．【点睛】本题考查了全等三角形的判定：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．【变式9-3】（2019秋•梁平区期末）如图1，在长方形ABCD中，AB＝CD＝6cm，BC＝10cm，点P从点B 出发，以2cm/s的速度沿BC向点C运动，设点P的运动时间为t秒，且t≤5．（1）PC＝cm（用含t的代数式表示）．（2）如图2，当点P从点B开始运动的同时，点Q从点C出发，以vcm/s的速度沿CD向点D运动，是否存在这样的v值，使得以A、B、P为顶点的三角形与以P、Q、C为顶点的三角形全等？若存在，请求出v的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用速度公式，用t表示出BP，从而可用t表示出PC；。
13 三角形面积求最大值问题——铅垂法-【初中数学】120个题型大招!冲刺满分秘籍!
铅垂法求三角形面积最值问题求三角形的面积是几何题中常见问题之一，可用的方法也比较多，比如面积公式、割补、等积变形、三角函数甚至海伦公式，本文介绍的方法是在二次函数问题中常用的一种求面积的方法——铅垂法．【问题描述】在平面直角坐标系中，已知()1,1A 、()7,3B 、()4,7C ，求△ABC 的面积．【分析】显然对于这样一个位置的三角形，面积公式并不太好用，割补倒是可以一试，比如这样：构造矩形ADEF ，用矩形面积减去三个三角形面积即可得△ABC 面积．这是在“补”，同样可以采用“割”：()111222ABC ACD BCD S S S CD AE CD BF CD AE BF =+=⋅+⋅=+ 此处AE +AF 即为A 、B 两点之间的水平距离．由题意得：AE +BF =6．下求CD ：根据A 、B 两点坐标求得直线AB 解析式为：1233y x =+由点C 坐标（4,7）可得D 点横坐标为4，将4代入直线AB 解析式得D 点纵坐标为2，故D 点坐标为（4,2），CD =5,165152ABC S =⨯⨯= ．【方法总结】作以下定义：A 、B 两点之间的水平距离称为“水平宽”；过点C 作x 轴的垂线与AB 交点为D ，线段CD 即为AB 边的“铅垂高”．如图可得：=2ABC S ⨯ 水平宽铅垂高【解题步骤】（1）求A 、B 两点水平距离，即水平宽；（2）过点C 作x 轴垂线与AB 交于点D ，可得点D 横坐标同点C ；（3）求直线AB 解析式并代入点D 横坐标，得点D 纵坐标；（4）根据C 、D 坐标求得铅垂高；（5）利用公式求得三角形面积．【思考】如果第3个点的位置不像上图一般在两定点之间，如何求面积？铅垂法其实就是在割补，重点不在三个点位置，而是取两个点作水平宽之后，能求出其对应的铅垂高！因此，动点若不在两定点之间，方法类似：【铅垂法大全】（1）取AB 作水平宽，过点C 作铅垂高CD ．（2）取AC 作水平宽，过点B 作BD ⊥x 轴交直线AC 于点D ，BD 即对应的铅垂高，=2ABC ABD BCD S S S ⨯-= 水平宽铅垂高（3）取BC 作水平宽，过点A 作铅垂高AD ．甚至，还可以横竖互换，在竖直方向作水平宽，在水平方向作铅垂高．（4）取BC作水平宽，过点A作铅垂高AD．（5）取AC作水平宽，过点B作铅垂高BD．（6）取AB作水平宽，过点C作铅垂高CD．方法突破例一、如图，已知抛物线25y ax bx =++经过(5,0)A -，(4,3)B --两点，与x 轴的另一个交点为C ．（1）求该抛物线的表达式；（2）点P 为该抛物线上一动点（与点B 、C 不重合），设点P 的横坐标为m ．当点P 在直线BC 的下方运动时，求PBC ∆的面积的最大值．【分析】（1）265y x x =++，（2）取BC 两点之间的水平距离为水平宽，过点P 作PQ ⊥x 轴交直线BC 于点Q ，则PQ 即为铅垂高．根据B 、C 两点坐标得B 、C 水平距离为4，根据B 、C 两点坐标得直线BC 解析式：y =x +1，设P 点坐标为（m ，m ²+6m +5），则点Q （m ，m +1），得PQ =-m ²-5m -4，考虑到水平宽是定值，故铅垂高最大面积就最大．当52-时，△BCP 面积最大，最大值为278．【小结】选两个定点作水平宽，设另外一个动点坐标来表示铅垂高．例二、在平面直角坐标系中，将二次函数2(0)y ax a =>的图像向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x 轴交于点A 、B （点A 在点B 的左侧），1OA =，经过点A 的一次函数(0)y kx b k =+≠的图像与y 轴正半轴交于点C ，且与抛物线的另一个交点为D ，ABD ∆的面积为5．（1）求抛物线和一次函数的解析式；（2）抛物线上的动点E 在一次函数的图像下方，求ACE ∆面积的最大值，并求出此时点E 的坐标．【分析】（1）抛物线解析式：21322y x x =--；一次函数解析式：1122y x =+．（2）显然，当△ACE 面积最大时，点E 并不在AC 之间．已知A （-1,0）、10,2C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设点E 坐标为213,22m m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，过点E 作EF ⊥x 轴交直线AD 于F 点，F 点横坐标为m ，代入一次函数解析式得11,22m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭可得213222EF m m =-++考虑到水平宽是定值，故铅垂高最大面积最大．既然都是固定的算法，那就可以总结一点小小的结论了，对坐标系中已知三点()11,A x y 、()22,B x y 、()33,C x y ，按铅垂法思路，可得：12233121321312ABC S x y x y x y x y x y x y =++--- 如果能记住也不要直接用，可以当做是检验的方法咯．【总结】铅垂法是求三角形面积的一种常用方法，尤其适用于二次函数大题中的三角形面积最值问题，弄明白方法原理，熟练方法步骤，加以练习，面积最值问题轻轻松松．专项训练1．已知二次函数2y x bx c =-++和一次函数y mx n =+的图象都经过点(3,0)A -，且二次函数2y x bx c =-++的图象经过点(0,3)B ，一次函数y mx n =+的图象经过点(0,1)C -．（1）分别求m 、n 和b 、c 的值；（2）点P 是二次函数2y x bx c =-++的图象上一动点，且点P 在x 轴上方，写出ACP ∆的面积S 关于点P 的横坐标x 的函数表达式，并求S 的最大值．【分析】（1）把直线和曲线经过的点代入得到方程组，求解即可得到答案；（2）分两种情况：①当点P 在y 轴左侧时，过点P 作//PD y 轴交AC 于点D ，②当点P 在y 轴右侧时，过点P 作//PD y 轴交AC 的延长线于点D ，分别根据三角形面积公式得到关系式，利用函数式表示三角形PAC 的面积，配方可得答案．【解答】解：（1） 二次函数2y x bx c =-++和一次函数y mx n =+的图象都经过点(3,0)A -，一次函数y mx n =+的图象经过点(0,1)C -，∴301m n n -+=⎧⎨=-⎩，∴131m n ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，二次函数2y x bx c =-++和一次函数y mx n =+的图象都经过点(3,0)A -，二次函数2y x bx c =-++的图象经过点(0,3)B ，∴9303b c c --+=⎧⎨=⎩，∴23b c =-⎧⎨=⎩．（2）由（1）知一次函数与二次函数的解析式分别为：113y x =--或223y x x =--+，①当点P 在y 轴左侧时，过点P 作//PD y 轴交AC 于点D ，则13|3|22PAC S PD PD ∆=⨯⨯-=，②当点P 在y 轴右侧时，过点P 作//PD y 轴交AC 的延长线于点D，则13|3|22PAC S PD x x PD ∆=⨯⨯+-=， 点P 在抛物线上，设2(,23)P x x x --+，则1(,1)3D x x --，2215231433PD x x x x x ∴=--+++=--+，233535169(4)(2232624PAC S PD x x x ∆∴==-++=-++，即当56x =-时，PAC S ∆最大16924=．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及一次函数、图形面积的计算等，掌握其性质及运算是解决此题关键，2．如图，抛物线经过(2,0)A -，(4,0)B ，(0,3)C -三点．（1）求抛物线的解析式；（2）在直线BC 下方的抛物线上有一动点P ，使得PBC ∆的面积最大，求点P 的坐标；（3）点M 为x 轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N ，使以A ，C ，M ，N 四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）将点A 、B 、C 的坐标代入抛物线表达式，即可求解；（2）由PBC ∆的面积PHB PHC S S ∆∆=+，即可求解；（3）分AC 是边、AC 是对角线两种情况，利用平移的性质和中点公式即可求解．【解答】解：（1）将点A 、B 、C 的坐标代入抛物线表达式得42016403a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩，解得38343a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎪⎩，故抛物线的表达式为233384y x x =--；（2）设直线BC 的表达式为y mx n =+，则043m n n =+⎧⎨=-⎩，解得343m n ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，故直线BC 的表达式为334y x =-，过点P 作y 轴的平行线交BC 于点H ，设点P 的坐标为233(,3)84x x x --，则点3(,3)4H x x -，则PBC ∆的面积221133334(33)3224844PHB PHC S S PH OB x x x x x ∆∆=+=⋅=⨯⨯--++=-+，304-< ，故该抛物线开口向下，PBC ∆的面积存在最大值，此时2x =，则点P 的坐标为(2,3)-；（3）存在，理由：设点N 的坐标为(,)m n ，则233384n m m =--①，①当AC 是边时，点A 向下平移3个单位得到点C ，则点()M N 向下平移3个单位得到点()N M ，则03n -=或03n +=②，联立①②并解得23m n =⎧⎨=-⎩或13m n ⎧=-⎪⎨=⎪⎩（不合题意的值已舍去）；②当AC 是对角线时，则由中点公式得：11(03)(0)22n -=+③，联立①③并解得23m n =⎧⎨=-⎩（不合题意的值已舍去）；综上，点N 的坐标为(2,3)-或(1-3)或(1--3)．【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、平行四边形的性质、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．3．综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于(1,0)A -，(3,0)B ，(0,4)C -三点，点(,)P m n 是直线BC 下方抛物线上的一个动点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）动点P 运动到什么位置时，PBC ∆的面积最大，求出此时P 点坐标及PBC ∆面积的最大值；（3）在y 轴上是否存在点Q ，使以O ，B ，Q 为顶点的三角形与AOC ∆相似？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）将A 、B 、C 坐标代入即可求解析式；（2）设P 坐标，表示出PBC ∆的面积，再求出最大面积和面积最大时P 的坐标；（3）两个直角顶点是对应点，而AOC ∆两直角边的比为14，只需BOQ ∆两直角边比也为14，两个三角形就相似，分两种情况列出比例式即可．【解答】解：（1）设二次函数的解析式为12()()y a x x x x =--，二次函数的图象交坐标轴于(1,0)A -，(3,0)B ，(0,4)C -，11x ∴=-，23x =，124()()a x x x x -=--，解得11x =-，23x =，43a =，∴二次函数的解析式为2448(1)(3)4333y x x x x =+-=--，故答案为：2448(1)(3)4333y x x x x =+-=--；（2）设直线BC 解析式为y kx b =+，将(3,0)B ，(0,4)C -代入得034k b b =+⎧⎨-=⎩，解得43b =，4c =-，BC ∴解析式是443y x =-，如答图1，过P 作//PD y 轴，交BC 于D ，点(,)P m n 是直线BC 下方抛物线上的一个动点，03m ∴<<，248433n m m =--，4(,4)3D m m -，224484(4)(4)43333PD m m m m m ∴=----=-+，22211439()(4)(30)262()22322PBC B C S PD x x m m m m m ∆∴=⋅-=-+⋅-=-+=--+，3032<< ，32m ∴=时，PBC S ∆最大为92，此时224843834()45333232n m m =--=⨯-⨯-=-，3(2P ∴，5)-，故答案为：3(2P ，5)-，PBC S ∆最大为92；(3(1,0)A - ，(0,4)C -，(3,0)B ，∴14OA OC =，3OB =， 点Q 在y 轴上，90BOQ AOC ∴∠=∠=︒，若以O ，B ，Q 为顶点的三角形与AOC ∆相似，则BOQ ∠与AOC ∠对应，分两种情况：①如答图2，AOC QOB∆∆∽，则14OQ OAOB OC==即134OQ=，解得34OQ=，13(0,4Q∴或23 (0,)4Q-；②AOC BOQ∆∆∽，则14OB OAOQ OC==即314OQ=，解得12OQ=，3(0,12)Q∴或4(0,12)Q-，综上所述，存在y轴上的点Q，使以O，B，Q为顶点的三角形与AOC∆相似，这样的点一共4个：13 (0, 4Q或23 (0,)4Q-，3(0,12)Q或4(0,12)Q-，故答案为：存在这样的点Q，坐标分别是：13 (0, 4Q或23 (0,)4Q-，3(0,12)Q或4(0,12)Q-，【点评】本题是二次函数、相似三角形、面积等问题的综合题，主要考查坐标、线段的转化，面积的表示，涉及方程思想，分类思想等，难度适中．4．如图1，抛物线2y x bx c=-++与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知点B坐标为(3,0)，点C 坐标为(0,3)．（1）求抛物线的表达式；（2）点P 为直线BC 上方抛物线上的一个动点，当PBC ∆的面积最大时，求点P 的坐标；（3）如图2，点M 为该抛物线的顶点，直线MD x ⊥轴于点D ，在直线MD 上是否存在点N ，使点N 到直线MC 的距离等于点N 到点A 的距离？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用待定系数法可求解析式；（2）过点P 作PH x ⊥轴于H ，交BC 于点G ，先求出BC 的解析式，设点2(,23)P m m m -++，则点(,3)G m m -+，由三角形面积公式可得221133273(3)()22228PBC S PG OB m m m ∆=⨯⨯=⨯⨯-+=--+，由二次函数的性质可求解；（3）设直线MC 与x 轴交于点E ，过点N 作NQ MC ⊥于Q ，先求出点A ，点M 坐标，可求MC 解析式，可得4DE MD ==，由等腰直角三角形的性质可得MQ NQ ==，由两点距离公式可列222(|4|)42n n -=+，即可求解．【解答】解：（1） 点(3,0)B ，点(0,3)C 在抛物线2y x bx c =-++图象上，∴9303b c c -++=⎧⎨=⎩，解得：23b c =⎧⎨=⎩，∴抛物线解析式为：223y x x =-++；（2） 点(3,0)B ，点(0,3)C ，∴直线BC 解析式为：3y x =-+，如图，过点P 作PH x ⊥轴于H ，交BC 于点G ，设点2(,23)P m m m -++，则点(,3)G m m -+，22(23)(3)3PG m m m m m ∴=-++--+=-+，221133273(3)()22228PBC S PG OB m m m ∆=⨯⨯=⨯⨯-+=--+ ，∴当32m =时，PBC S ∆有最大值，∴点3(2P ，154；（3）存在N 满足条件，理由如下： 抛物线223y x x =-++与x 轴交于A 、B 两点，∴点(1,0)A -，2223(1)4y x x x =-++=--+ ，∴顶点M 为(1,4)，点M 为(1,4)，点(0,3)C ，∴直线MC 的解析式为：3y x =+，如图，设直线MC 与x 轴交于点E ，过点N 作NQ MC ⊥于Q ，∴点(3,0)E -，4DE MD ∴==，45NMQ ∴∠=︒，NQ MC ⊥ ，45NMQ MNQ ∴∠=∠=︒，MQ NQ ∴=，22MQ NQ ∴==，设点(1,)N n ，点N 到直线MC 的距离等于点N 到点A 的距离，NQ AN ∴=，22NQ AN ∴=，222()2MN AN ∴=，222(|4|)42n n ∴-=+，2880n n ∴+-=，46n ∴=-±，∴存在点N 满足要求，点N 坐标为(1,426)-+或(1,426)--．【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，一次函数的性质，两点距离公式，等腰直角三角形的性质等知识，利用参数列方程是本题的关键．5．如图，抛物线过点(0,1)A 和C ，顶点为D ，直线AC 与抛物线的对称轴BD 的交点为B ，0)，平行于y 轴的直线EF 与抛物线交于点E ，与直线AC 交于点F ，点F 的横坐标为3，四边形BDEF 为平行四边形．（1）求点F 的坐标及抛物线的解析式；（2）若点P 为抛物线上的动点，且在直线AC 上方，当PAB ∆面积最大时，求点P 的坐标及PAB ∆面积的最大值；（3）在抛物线的对称轴上取一点Q ，同时在抛物线上取一点R ，使以AC 为一边且以A ，C ，Q ，R 为顶点的四边形为平行四边形，求点Q 和点R 的坐标．【分析】（1）由待定系数法求出直线AB 的解析式为13y x =-+，求出F 点的坐标，由平行四边形的性质得出1613181(33a a a -+=-+--，求出a 的值，则可得出答案；（2）设2(,1)P n n -++，作PP x '⊥轴交AC 于点P '，则(,1)P n '+，得出2PP n '=-+，由二次函数的性质可得出答案；（3）联立直线AC 和抛物线解析式求出C ，4)3-，设Q ，)m ，分两种情况：①当AQ 为对角线时，②当AR 为对角线时，分别求出点Q 和R 的坐标即可．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为2(0)y ax bx c a =++≠，(0,1)A ，B ，0)，设直线AB 的解析式为y kx m =+，∴01m m +==⎪⎩，解得31k m ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴直线AB的解析式为13y x =+， 点FF ∴点纵坐标为113=-，F ∴点的坐标为，1)3-，又 点A 在抛物线上，1c ∴=，对称轴为：2b x a=-=，b ∴=-，∴解析式化为：21y ax =-+，四边形DBFE 为平行四边形．BD EF ∴=，1613181(33a a a ∴-+=-+--，解得1a =-，∴抛物线的解析式为21y x =-++；（2）设2(,1)P n n -++，作PP x '⊥轴交AC 于点P '，则3(,1)3P n '+，2733PP n n '∴=-+，2213737493)32222624ABP S OB PP n n ∆'==-+=--+ ，∴当736n =ABP ∆49324，此时7(36P 47)12．（3） 231231y y x x ⎧=+⎪⎨⎪=-++⎩，0x ∴=或733x =7(33C ∴，43-，设(3Q ，)m ，①当AQ 为对角线时，47(3,)33R m ∴+，R 在抛物线2(3)4y x =--+上，274(33)433m ∴+=--+，解得443m =-，44(3,3Q ∴-，437(3,33R -；②当AR 为对角线时，107(3,33R m ∴-，R 在抛物线2(4y x =--+上，2743m ∴-=--+，解得10m =-，Q ∴10)-，37)3R -．综上所述，443Q -，37(3R -；或Q ，10)-，37)3R -．【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质等知识，熟练掌握二次函数的性质及方程思想，分类讨论思想是解题的关键．6．在平面直角坐标系xOy 中，等腰直角ABC ∆的直角顶点C 在y 轴上，另两个顶点A ，B 在x 轴上，且4AB =，抛物线经过A ，B ，C 三点，如图1所示．（1）求抛物线所表示的二次函数表达式．（2）过原点任作直线l 交抛物线于M ，N 两点，如图2所示．①求CMN ∆面积的最小值．②已知3(1,2Q -是抛物线上一定点，问抛物线上是否存在点P ，使得点P 与点Q 关于直线l 对称，若存在，求出点P 的坐标及直线l 的一次函数表达式；若不存在，请说明理由．【分析】（1）先根据等腰直角三角形的性质求得OA 、OB 、OC ，进而得A 、B 、C 三点的坐标，再用待定系数法求得抛物线的解析式；（2）①设直线l 的解析式为y kx =，1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，联立方程组求得12||x x -，再由三角形的面积公式求得结果；②假设抛物线上存在点21(,2)2P m m -，使得点P 与点Q 关于直线l 对称，由OP OQ =列出方程求得m 的值，再根据题意舍去不合题意的m 值，再求得PQ 的中点坐标，便可求得直线l 的解析式．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为2(0)y ax bx c a =++≠，在等腰Rt ABC ∆中，OC 垂直平分AB ，且4AB =，2OA OB OC ∴===，(2,0)A ∴-，(2,0)B ，(0,2)C -，∴4204202a b c a b c c ++=⎧⎪-+=⎨⎪=-⎩，解得，1202a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩，∴抛物线的解析式为2122y x =-；（2）①设直线l 的解析式为y kx =，1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，由2122y x y kx ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，可得21202x kx --=，122x x k ∴+=，124x x =- ，∴222121212()()4416x x x x x x k -=+-=+，∴12||x x -=∴121||2CMN S OC x x ∆=-= ，∴当0k =时取最小值为4．CMN ∴∆面积的最小值为4．②假设抛物线上存在点21(,2)2P m m -，使得点P 与点Q 关于直线l 对称，OP OQ ∴==解得，1m 2m =，31m =，41m =-，31m = ，41m =-不合题意，舍去，当1m =1)2P -，线段PQ 的中点为1)-，∴1=-，∴1k =，∴直线l 的表达式为：(1y x =-，当2m =时，点(P 1)2-，线段PQ 的中点为，1)-，∴1=-，∴1k =，∴直线l 的解析式为(1y x =+．综上，点P ，1)2-，直线l 的解析式为(1y x =-或点(P ，1)2-，直线l 的解析式为(1y x =+．【点评】本题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，待定系数法，轴对称的性质，第（2）①题关键是求得M 、N 两点的横坐标之差，第（2）②小题关键是根据轴对称性质列出m 的方程，以及求得PQ 的中点坐标．。
三角形面积的求法
三角形面积的求法在我们的数学世界中，三角形是一种非常基础且重要的几何图形。
而计算三角形的面积，则是我们在数学学习和实际应用中经常会遇到的问题。
今天，咱们就来好好聊聊三角形面积的求法。
要计算三角形的面积，最常见也是最基本的方法就是使用“底乘高除以2”这个公式。
那什么是底，什么又是高呢？底就是三角形的任意一条边，而高呢，则是从三角形的一个顶点向它所对的边作垂线，顶点和垂足之间的线段就是这条边上的高。
比如说，我们有一个三角形，它的底边长度是 6 厘米，对应的高是4 厘米。
那么它的面积就是 6×4÷2 ＝ 12 平方厘米。
这个公式的原理其实也不难理解。
我们可以把三角形想象成一个平行四边形的一半。
一个平行四边形的面积是底乘高，那三角形作为平行四边形的一半，面积自然就是底乘高除以 2 啦。
除了这个基本公式，在一些特殊的三角形中，我们还有更简便的求面积方法。
先来说说等边三角形。
等边三角形三条边长度相等，三个角也都相等，都是 60 度。
如果我们知道等边三角形的边长是 a，那么它的面积就可以用公式：S ＝√3/4 × a² 来计算。
为什么会有这样的公式呢？我们可以从等边三角形的高入手。
假设等边三角形的边长是a，通过一些几何知识可以算出它的高是√3/2 × a。
然后再用“底乘高除以2”的公式，就能得到上面的面积公式啦。
再说说等腰三角形。
等腰三角形两条腰长度相等，如果我们知道等腰三角形的腰长是 a，底边长是 b，那么它的面积可以通过先求出高，然后再用“底乘高除以2”的方法来计算。
等腰三角形的高 h ＝√（a² b²/4) ，然后面积 S ＝b × √（a² b²/4) ÷2 。
在实际应用中，我们可能还会遇到只知道三角形的三个边长，怎么求面积的情况。
这时候就要用到海伦公式了。
假设三角形的三条边长分别是 a、b、c，半周长 p ＝（a ＋ b ＋ c)／ 2 ，那么三角形的面积 S ＝√p(p a)（p b)（p c) 。
聚焦焦点三角形_巧借焦点三角形的面积变换解题_李加朝
看三种元素正负化合价的代数和是否为零即可 .
显然 +1 ×2 +4 +(-2)×3 =0.
答案 :(C).
点评 :该题是元素化合价规则的一种常见的
考查方式 , 抓住 “在任何化合物中 , 正负化合价的
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代数和都为零 ”这一解题关键即可 .
二 、根据化学式计算物质中各元素的质量比
推断化学式
例 2 (2009年铜陵市 )在某氮的氧化物中 ,
可尝试 )本题若借助焦点三角形面积公式 , 无需
求 a, c便可迅速求解 .连结 PF2 由题意知 OP=
OF1 =OF2 =c, 故 ∠F1 PF2
=90°.S■OPF1
=1 2
S■F1PF2 =12 ×3 ×tan45°=32 .
二 、求渐近线
例 2 (2010年浙江省文数 )设 O为坐标原
点,
B元素原子的质量
答案 .
答案 :(C).
点评 :要求物质的化学式 , 通常有两种思路 ,
其一是通过化合价求解 , 其二就是通过求原子个
数比求解 .本题充分利用了元素质量比与原子个
数比的内在关系而获得了最终答案 .另外 , 由于
本题是选择题 , 还可以采用一一代入的方法进行
解答 .
上 , ∠F1 PF2 =60°, 则 PF1 · PF2 =( ) (A)2 (B)4 (C)6 (D)8
由焦点三角形 面积公式 得 :S■F1PF2 =b2 cot
θ=12cot60°= 3 =1
2
2
2
PF1
PF2 sin60°=12
· 47·
PF1 PF2 23, PF1 · PF2 =4. 例 7 (2010全国卷 1理数 )已知 F1 、F2 为
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4.还可以利用面积解决其它问题。
一、利用面积自身相等的性质解题
例1如图，在直角三角形ABC中，AB=13,AC=12,BC=5,求AB边上的高AD的长。
。例3如图，由图中已知的小三角形的面积的数据，可得 的面积为。
小结：我们知道等底等高的两三角形的面积相等，等底不等高的两三角形面积的比等于其对应高的比，等高而不等底的两三角形面积的比等于其对应底的比。
4.已知在正方形网格中，每个小方格都是边长为1的正方形，A，B两点在小方格的顶点上，位置如图所示，点C也在小方格的顶点上，且以A，B，C为顶点的三角形面积为1，则点C的个数是_______个．
第7题图第8题图
5.在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，点A，B是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点），在这个5×5的方格纸中，找出格点C使△ABC的面积为2，则满足条件的格点C的个数是_______个．
A．1B．2C．3D．4
9.如图所示，S△ABC=6，若S△BDE=S△DEC=S△ACE，则S△ADE=______．
10.如图，设E，F分别是△ABC的边AC，AB上的点，线段BE，CF交于点D．若△BDF，△BCD，△CDE的面积分别是3，7，7，则△EDF的面积是_______，△AEF的面积是______．
2、如图，四边形ABCD中，对角线BD上有一点O，OB：OD=3：2, =6, =1,试求 与 的面积比。
3、如图，P是等腰三角形ABC底边BC上的任一点， 于E, 于F，BH是等腰三角形AC边上的高。猜想：PE、PF和BH间具有怎样的数量关系？
1.如图，在正方形ABCD中，BC=2，∠DCE是正方形ABCD的外角，P是∠DCE的平分线CF上任意一点，则△PBD的面积等于_________．
2.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，延长DC到E，使CE=AB，连接BD，BE．若梯形ABCD的面积为25cm2，则△BDE的面积为__________．
第5题图第6题图
3.正方形ABCD，正方形BEFG和正方形RKPF的位置如图所示，点G在线段DK上，正方形BEFG的边长为4，则△DEK的面积为____________．
6.如图，AD是△ABC的边BC上的中线，点E在AD上，AE=2DE，若△ABE的面积是4，则△ABC的面积是_______．
7.如图，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC=16，则S△DEF=_____________．
8.如图，在△ABC中，E是BC边上的一点，EC=2BE，点D是AC的中点，设△ABC，△ADF，△BEF的面积分别为S△ABC，S△ADF，S△BEF，且S△ABC=12，则S△ADFS△BEF=（）
3.平行四边形的对角线把其分成两个面积相等的部分。
4.同底（等底）的两个三角形面积的比等于高的比。
同高（或等高）的两个三角形面积的比等于底的比。
5.三角形的面积等于等底等高的平行四边形的面积的一半。
（二）证明面积问题常用的证题思路和方法
1.分解法：通常把一个复杂的图形，分解成三角形。
三、利用面积的可分性解题
例4如图，已知等边三角ABC，P为 内一点，过P作 的高为h.试说明 。
小结：用面积的可分性解题，一般要将图形分成若干个小三角形，利用其整体等于部分之和建立关于条件和结论的关系式，从而方便快捷地解决问题。
练习：
1、如图，已知 和 ，AC与BD交于点ｏ，且直线AD∥BC,图中四个小三角形的面积分别为 、 、 、 ，试判断 和 的大小关系，并说明理由。
.在三角形中巧用面积法解题
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专题：在三角形中巧用面积法解题
（一）证明面积问题常用的理论依据
1.三角形的中线把三角形分成两个面积相等的部分。
2.同底同高或等底等高的两个三角形面积相等。
11.如图，在长方形ABCD中，△ABP的面积为20cm2，△CDQ的面积为35cm2，则阴影四边形EPFQ的面积是_________．