初中数学教学中巧用面积法解题
中考数学复习指导：面积法在几何解题中的应用
面积法在几何解题中的应用
面积法不但可探索各种图形面积的等量关系，而且还可求解某些线段的长度、证明两
角相等以及比例式等多种类型的题目．下面举例加以说明，
一、利用面积法求解垂线段的长度
例1 如图1，△ABC是等边三角形，点D是BC边上任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．若BC＝2，则DE＋DF＝_______．
解连结AD，由等边三角形的面积公式，得
二、利用面积法证明两角相等
例2 如图2，点C为线段AB上任意一点（不与A、B重合），分别以AC、BC为一腰在AB的同侧作等腰△ACD和等腰△BCE，CA＝CD，CB＝CE，∠ACD与∠BCE都是锐角，且∠ACD＝∠BCE．连结AE交CD于点M，连结BD交CE于点N，AE与BD交于点P，连结PC．
(1)求证：△ACE≌△DCB；
(2)请你判断△AMC与△DMP的形状有何关系并说明理由；
1
(3)求证：∠APC＝∠BPC．
三、利用面积法得到线段成比例
例3 如图3，在△ABC中．CD是高，CE为∠ACB的平分线．若AC＝15，BC＝20，CD＝12，则CE的长等于_______．
2
四、利用面积法证明两线平行
例4 如图4(1)，已知△ABC与△ABD的面积相等，试判断AB与CD的位置关系，并说明理由．
∴四边形CGHD为平行四边形，
∴AB∥CD．
利用上述预备知识，我们来证明以下的性质．
例5 如图5，点M、N在反比例函数y＝k
x
（k>0）的图象上，过点M作ME⊥y轴，
3。
八年级数学面积法解题
初二数学---面积法解题【本讲教育信息】【讲解容】——怎样证明面积问题以及用面积法解几何问题 【教学目标】1. 使学生灵活掌握证明几何图形中的面积的方法。
2. 培养学生分析问题、解决问题的能力。
【 重点、难点】：重点：证明面积问题的理论依据和方法技巧。
难点：灵活运用所学知识证明面积问题。
【教学过程】（一）证明面积问题常用的理论依据1. 三角形的中线把三角形分成两个面积相等的部分。
2. 同底同高或等底等高的两个三角形面积相等。
3. 平行四边形的对角线把其分成两个面积相等的部分。
4. 同底（等底）的两个三角形面积的比等于高的比。
同高（或等高）的两个三角形面积的比等于底的比。
5. 三角形的面积等于等底等高的平行四边形的面积的一半。
6. 三角形的中位线截三角形所得的三角形的面积等于原三角形面积的。
147. 14三角形三边中点的连线所成的三角形的面积等于原三角形面积的。
8. 有一个角相等或互补的两个三角形的面积的比等于夹角的两边的乘积的比。
（二）证明面积问题常用的证题思路和方法1. 分解法：通常把一个复杂的图形，分解成几个三角形。
2. 作平行线法：通过平行线找出同高（或等高）的三角形。
3. 利用有关性质法：比如利用中点、中位线等的性质。
4. 还可以利用面积解决其它问题。
【典型例题】（一）怎样证明面积问题 1. 分解法例1. 从△ABC 的各顶点作三条平行线AD 、BE 、CF ，各与对边或延长线交于D 、E 、F ，求证：△DEF 的面积＝2△ABC 的面积。
FEAB D C分析：从图形上观察，△DEF 可分为三部分，其中①是△ADE ，它与△ADB 同底等高，故S S ADE ADB ∆∆=②二是△，和上面一样，ADF S S ADF ADC ∆∆=③三是△AEF ，只要再证出它与△ABC 的面积相等即可 由S △CFE ＝S △CFB故可得出S △AEF ＝S △ABC 证明：∵AD//BE//CF∴△ADB 和△ADE 同底等高 ∴S △ADB ＝S △ADE同理可证：S △ADC ＝S △ADF ∴S △ABC ＝S △ADE +S △ADF 又∵S △CEF ＝S △CBF ∴S △ABC ＝S △AEF∴S △AEF +S △ADE +S △ADF ＝2S △ABC ∴S △DEF ＝2S △ABC2. 作平行线法例2. 已知：在梯形ABCD 中，DC//AB ，M 为腰BC 上的中点求证：S S ADM ABCD ∆=12分析：由M 为腰BC 的中点可想到过M 作底的平行线MN ，则MN 为其中位线，再利用平行线间的距离相等，设梯形的高为hA BS S S MN h S AMD DMN AMN ABCD ∆∆∆=+=⋅=1212证明：过M 作MN//AB ∵M 为腰BC 的中点 ∴MN 是梯形的中位线 设梯形的高为hMN DC AB=+2则S MN h ABCD =⋅又 S S S MN h AMD AMN MND ∆∆∆=+=⋅12∴=S S ADM ABCD ∆12（二）用面积法解几何问题有些几何问题，往往可以用面积法来解决，用面积法解几何问题常用到下列性质： 性质1：等底等高的三角形面积相等 性质2：同底等高的三角形面积相等性质3：三角形面积等于与它同底等高的平行四边形面积的一半 性质4：等高的两个三角形的面积比等于底之比性质5：等底的两个三角形的面积比等于高之比 1. 证线段之积相等例3. 设AD 、BE 和CF 是△ABC 的三条高，求证：AD ·BC ＝BE ·AC ＝CF ·ABAFEB D C分析：从结论可看出，AD 、BE 、CF 分别是BC 、AC 、AB 三边上的高，故可联想到可用面积法。
初二数学面积法解题
初 二 数 学 - - - 面 积 法 解 题【本讲教育信息 】【解说内容】——如何证明面积问题以及用面积法解几何问题【教课目的】1. 使学生灵巧掌握证明几何图形中的面积的方法。
2. 培育学生剖析问题、解决问题的能力。
【要点、难点】：要点：证明面积问题的理论依照和方法技巧。
难点：灵巧运用所学知识证明面积问题。
【教课过程】（一）证明面积问题常用的理论依照1. 三角形的中线把三角形分红两个面积相等的部分。
2. 同底同高或等底等高的两个三角形面积相等。
3. 平行四边形的对角线把其分红两个面积相等的部分。
4. 同底（等底）的两个三角形面积的比等于高的比。
同高（或等高）的两个三角形面积的比等于底的比。
5. 三角形的面积等于等底等高的平行四边形的面积的一半。
8. 有一个角相等或互补的两个三角形的面积的比等于夹角的两边的乘积的比。
（二）证明面积问题常用的证题思路和方法1. 分解法：往常把一个复杂的图形，分解成几个三角形。
2. 作平行线法：经过平行线找出同高（或等高）的三角形。
3. 利用相关性质法：比方利用中点、中位线等的性质。
4. 还能够利用面积解决其余问题。
【典型例题】（一）如何证明面积问题1. 分解法例 1. 从△ ABC 的各极点作三条平行线 AD 、BE 、CF ，各与对边或延伸线交于 D 、E 、F ，求证：△ DEF 的面积＝ 2△ABC 的面积。
剖析： 从图形上察看，△ DEF 可分为三部分，此中①是△ ADE ，它与△ ADB 同底等 高，故 S ADE S ADB③三是△ AEF ，只需再证出它与△ ABC 的面积相等即可由 S △CFE ＝ S △CFB故可得出 S△AEF＝S△ABC证明：∵ AD//BE//CF∴△ ADB和△ ADE同底等高∴S△ADB＝S△ADE同理可证： S△ADC＝S△ADF∴S△ABC＝S△ADE+S△ADF又∵ S△CEF＝S△CBF∴S△ABC＝S△AEF∴S△AEF+S△ADE+S△ADF＝2S△ABC∴S△DEF＝2S△ABC2.作平行线法例 2. 已知：在梯形 ABCD中， DC//AB， M为腰 BC上的中点剖析：由 M 为腰 BC的中点可想到过 M作底的平行线 MN，则 MN 为此中位线，再利用平行线间的距离相等，设梯形的高为h证明：过 M作 MN//AB∵M为腰 BC的中点∴MN是梯形的中位线设梯形的高为 h（二）用面积法解几何问题有些几何问题，常常能够用面积法来解决，用面积法解几何问题常用到以下性质：性质1：等底等高的三角形面积相等性质 2：同底等高的三角形面积相等性质 3：三角形面积等于与它同底等高的平行四边形面积的一半性质 4：等高的两个三角形的面积比等于底之比性质 5：等底的两个三角形的面积比等于高之比1. 证线段之积相等例 3. 设 AD、BE和 CF是△ ABC的三条高，求证： AD·BC＝BE·AC ＝CF·AB剖析：从结论可看出， AD、BE、CF分别是 BC、AC、AB三边上的高，故可联想到可用面积法。
例谈面积法在解题中的妙用
例谈面积法在解题中的妙用
例谈面积法是一种常用的几何解题方法，它的核心思想就是通过构建几何图形之间的关系，来利用各种图形的面积来求解问题。
它在解决数学题目中有很多妙用，下面就来介绍几种：
1. 首先，例谈面积法可以用来求解平行四边形、三角形、正方形、梯形等几何图形的面积，从而解决相关的空间问题。
2. 其次，例谈面积法也可以用来求解两个不同几何图形之间的关系，比如说，当我们知道了一个三角形的底边和高时，就可以利用例谈面积法来求出该三角形的面积。
3. 最后，例谈面积法还可以用来求解一定范围内的几何图形的总面积，比如说，当我们知道了一个多边形的顶点和边长时，就可以利用例谈面积法来求出该多边形的总面积。
总之，例谈面积法在解题中的妙用是非常多的，且其使用起来非常简单方便，能够有效提高解题效率，减少解题难度，是一种不可多得的解题方法。
中考数学 面积等分 解题技巧
中考数学面积等分解题技巧
面积等分问题在中考数学中是一个常见的题型，这类问题通常涉及到将一个给定的图形分成面积相等的若干部分。
解决这类问题需要一定的技巧和策略，下面是一些解题技巧：
1. 理解题意：首先，要仔细阅读题目，理解题目的要求和给定的条件。
明确需要将哪个图形进行等分，以及等分的具体要求。
2. 选择合适的等分方法：对于不同的图形，等分的方法也不同。
例如，对于矩形或平行四边形，可以考虑使用对角线或中垂线进行等分；对于圆形，可以考虑使用直径或半径进行等分。
根据题目的具体情况，选择合适的等分方法。
3. 利用面积公式计算：在等分图形时，需要计算每一部分的面积。
因此，需要熟练掌握各种图形的面积公式，以便在解题过程中快速准确地计算面积。
4. 注意等分点的位置：在等分图形时，需要注意等分点的位置。
有时，等分点可能不在图形的中心或对称轴上，这时需要仔细分析并确定等分点的位置。
5. 利用辅助线：在某些情况下，为了更好地进行等分，可能需要添加辅助线。
通过辅助线，可以将复杂的图形转化为简单的基本图形，从而更容易地进行等分。
6. 检查答案：在得出答案后，需要仔细检查答案的正确性。
可以通过重新计算或检查解题过程来验证答案是否正确。
综上所述，解决面积等分问题需要一定的技巧和策略。
通过理解题意、选择合适的等分方法、利用面积公式计算、注意等分点的位置、利用辅助线和检查答案等方法，可以有效地解决这类问题。
初中数学教学中面积法的应用探讨
初中数学教学中面积法的应用探讨【内容摘要】结合实际可以发现，面积法在初中数学的教学中和学生的解题中发挥着重要作用，因而，教师要在教学中尽可能地向学生讲解面积法的具体运用思路，使学生掌握到这一解题技巧。
本文对面积法的含义和内涵进行了阐述，对面积法的运用中需要了解的一些公式和定理进行了列举和说明，并通过相关教学案例对面积法的作用进行了进一步的论证和分析。
【关键词】初中数学面积法解题实际应用在初中数学的教学中，用面积法来解决几何问题是一个简单性和实用性极高的方法。
结合实际可以看出，尽管很多数学问题表面上看起来跟面积没有关系，但并不代表不能运用面积法来解决这些问题，将面积法灵活变通地加以运用，这些问题都可以迎刃而解。
几何的一个重要结构就是面积，面积法是几何学研究领域开展工作的重要工具和手段。
一、面积法的含义和内涵（一）面积法的定义面积法就是采用面积与边角之间关系或面积与面积之间关系转化的方法，来解决几何问题的具体表现。
一些几何学中的面积公式和在这些公式的基础上形成的可以用来计算面积的定理，都可以用来计算面积和解决平面几何问题，且效果非常好。
将数学几何问题中的已知量和未知量以公式的形式相结合，再进行运算从而对相关问题进行求证，这就是面积法的主要使用方法和特点。
因此，采用面积法来解题，可以将几何图形的关系转化为数量关系，通过对数值的计算就能够解决问题，并不需要画辅助线，解题更为简单。
（二）运用面积法需要掌握的公式2.平行四边形的面积公式：S=底×高3.矩形的面积公式：S=长×宽（二）面积法需要用到的定理1.等底等高的两个三角形面积相等；2.等底或等高的三角形、平行四边形、梯形面积之比等于其高或底之比；3.在两个三角形中，若两边对应相等，其夹角互补，则这两个三角形面积相等；4.若在同一线段的同侧有底边相等面积相等的两个三角形，则连结两个三角形的顶点的直线与底边平行；5.等角或补角的三角形面积的比，等于夹角或补角的两边的乘积的比等角的平行四边形面积比等于夹等角的两边乘积的比；6.相似三角形的面积的比等于相似比的平方；7.等底等高的三角形、平行四边形、梯形的面积相等。
例谈面积法在解题中的妙用
＋ Ｄ Ｆ — Ｂ Ｇ．
反思 ： 述 方法 中 ， 面积 法解决 更加 简单 明了． 上 用
而这 些方法 对解决 同一 问题 的难易 系数 不 一定 相 同． 有些 知识点 、 学思 想 和 数 学方 法 平 时 不 常用 ， 数 比较 生疏 ， 运用 时不容 易想 到 ， 则题 目的难 度 系数 增 加 了． 如本题 “ 截长 法” 补短法 ” “ 运用 的知识 点 比较 少 ， 合 综 程度 比较低 ， 涉及 的数 学 思想 方 法 容 易想 到 ， 本 所 如
ＡＭ 、 ＰＤ、 Ｅ、 Ｆ 之 间 的 数 量 关 系 ， 证 明 你 的 Ｐ Ｐ 并
猜想 ．
图 ｌ 图２
方 法 １（ ：截长 法 ） 图 １ 过点 Ｄ 作 ＤＭ 上 Ｂ 垂 如 ， Ｇ，
足 为 Ｍ ， 用 △ Ｂ △ ＤＭＢ 解 决 问 题 ． 运 ＥＤ
方法 ２ （ ：补短 法 ） 图 ２ 过点 Ｂ作 Ｂ 上 Ｆ 交 如 ， Ｍ Ｄ ＦＤ 的延 长线 于 点 Ｍ ， 用 △Ｂ 运 ＥＤＯ △Ｂ Ｏ ＭＤ 解 决 问 题（ 若等腰 三角形 是 钝 角 三角 形 ， 图 ３ 则 可类 比锐 如 ，
２ｌ ｏ 年葶３ ｌ中旬 ） 期
中学 皇 学蠢 季 参考
…
曲 ｇ
∞
＿ 方 孝
心
例 谈 固 飘 穗
引题 ： 等腰 三角形底 边上 任一 点 到两腰 的距 离和
解 题 中 的 妙 用
较 大． 以学 生解题 对数 学方 法 的正 确选 用显 得尤 为 所
李 印 （ 苏省泰 兴市 黄桥 初级 中学 ） 江
角 三角形解 决 问题 ） ．
图３
图 ４
方 法 ３ （ 积 法 ） 图 ４ 连 结 ＡＤ ， Ｓ 仙ｏ ：面 如 ， 则 △
浅谈几何教学中面积法的运用
浅谈几何教学中面积法的运用——一道全市统测题引发的思考[摘要]： 利用面积法解题，具有解题便捷快速、简单易懂等特点。
[关键词]：面积的可分性；线段的和差关系；面积比；线段的比几何是初中数学的一个难点，学生对几何感到很难学、不想学、怕学。
因此，在几何教学过程中，除了培养学生的学习兴趣以外，还要经常帮助学生进行一题多变多解的训练，学生感到难的题要让学生从内心上不要心生畏惧，而要善于去探索，去总结，进而达到事半功倍的效果。
许多数学问题，表面上看来似与面积无关，但灵活运用面积法，往往能使问题顺利获解。
所谓面积法是指借助图形面积自身相等的性质、可拆分的性质和可比的性质进行解题的一种方法．在中学阶段它是数学中一种常用的解题方法．并且具有解题便捷快速、简单易懂等特点。
2011至2012学年度东莞市全市统测八年级数学试卷的第10题就出了一道此类型的题目，结果因为学生平常接触较少，不会灵活解题，导致丢分现象十分严重。
下面本文就由此题展开，从四个方面把教学中常遇到的一些题型举例介绍面积法在解题中的运用。
1.利用面积的可分性证明线段的和差关系例一、（华东师大八年级下第110页习题第三题）如图，点P 是矩形ABCD 的边AD 上的一个动点，矩形的两条边长AB 、BC 分别为8和15，求点P 到矩形的两条对角线AC 和BD 的距离之和． 解：过P 点作PE ⊥AC,PF ⊥BD, 连接PO ，S△AOD=41S 矩形ABCD =41⨯8⨯15=30在矩形ABCD 中，∠ABD=900OA=OD=OB=OC=AC 21∴AC==+22AB AD 22158+=17，S△AOD=S△AOD=30∴30)(1741=+⨯⨯PF PE∴PE+PF=17120而今年的全市统考题就是根据上面的题进行变型、变题，但解题思路跟上题一样。
如例二、如图2，点P 是矩形ABCD 的边AD 上的一个动点，PE ⊥AC 于E,PF ⊥BD 于F, AG ⊥BD 于)(1741)(221)(212121PF PE PF PE AC PF PE OA PF OD PE OA +⨯⨯=+⨯=+=⋅+⋅=G,试问，PE+PF 与AG 有什么关系？ 证明你的结论。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
初中数学教学中巧用面积法解题
许多数学问题，表面上看来似与面积无关，但灵活运用面积法，
往往能使问题顺利获解，下面举例介绍面积法的运用。
一. 用面积法证线段相等
例1. 已知：如图1，AD是△ABC的中线，CF⊥AD于F，BE⊥AD交
AD的延长线于E。
求证：CF=BE。
图1
证明：连结EC，由BD=DC得，
CDEBDEACDABDSS,SS
，
两式两边分别相加，得
ACEABESS
故CFAE21BEAE21
所以BE=CF。
注：直接由ACDABDSS得
CFAD21BEAD21
更简洁。
二. 用面积法证两角相等
例2. 如图2，C是线段AB上的一点，△ACD、△BCE都是等边三角
形，AE、BD相交于O。
求证：∠AOC=∠BOC。
图2
证明：过点C作CP⊥AE，CQ⊥BD，垂足分别为P、Q。
因为△ACD、△BCE都是等边三角形，
所以AC=CD，CE=CB，∠ACD=∠BCE，
所以∠ACE=∠DCB
所以△ACE≌△DCB
所以AE=BD，DCBACESS
可得CP=CQ
所以OC平分∠AOB
即∠AOC=∠BOC
三. 用面积法证线段不等
例3. 如图3，在△ABC中，已知AB>AC，∠A的平分线交BC于D。
求证：BD>CD。
图3
证明：过点D分别作DE⊥AB、DF⊥AC，垂足分别为E、F
设BC边上的高为h。
因为∠BAD=∠DAC
所以DE=DF
因为DFAC21S,DEAB21SACDABD
且AD>AC
所以ACDABDSS
即hCD21hBD21
所以BD>CD
四. 用面积法证线段的和差
例4. 已知：如图4，设等边△ABC一边上的高为h，P为等边△ABC
内的任意一点，PD⊥BC于D，PE⊥AC于E，PF⊥AB于F。
求证：PE+PF+PD=h。
图4
证明：连结PA、PB、PC
因为PEAC21S,PFAB21SAPCABP，PDBC21SBCP
又BPCAPCABPABCSSSS
所以PDBC21PEAC21PFAB21hBC21。
因为△ABC是等边三角形
所以PDPEPFh
即PE+PF+PD=h
五. 用面积法证比例式或等积式
例5. 如图5，AD是△ABC的角的平分线。
求证：DCBDACAB。
图5
证明：过D点作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F。
因为AD是△ABC的角的平分线，
所以DE=DF，
则有ACABSSACDABD。
过A点作AH⊥BC，垂足为H，
则有DCBDSSACDABD
即DCBDACAB
六. 用面积比求线段的比
例6. 如图6，在△ABC中，已知BC、AC边上的中线AD、BF交于M。
求证：AM21MD。
图6
证明：连结CM，过B作BG⊥AD交AD延长线于G，则
MAFMCFBCFBAFSS,SS
，
所以MBCMABSS。
又MBCMDCMBDS21SS，
所以MABMBDS21S，
AMBG21S,MDBG21SBAMMBD
所以AM21MD。
总结人：张廷伦
2010年5月18日