初三数学巧用面积法解题
巧用面积法解题
翟作凤
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许多数学问题，表面上看来似与面积无关，但灵活运用面积法，往往能使问题顺利获解，下面举例介绍面积法的运用。
一. 用面积法证线段相等
例1. 已知：如图1，AD是△ABC的中线，CF⊥AD于F，BE⊥AD交AD的延长线于E。
求证：CF=BE。
图1
证明：连结EC，由BD=DC得，
CDEBDEACDABDSS,SS，
两式两边分别相加，得
ACEABESS
故CFAE21BEAE21
所以BE=CF。
注：直接由ACDABDSS得
CFAD21BEAD21更简洁。
二. 用面积法证两角相等
例2. 如图2，C是线段AB上的一点，△ACD、△BCE都是等边三角形，AE、BD相交于O。
求证：∠AOC=∠BOC。
图2
证明：过点C作CP⊥AE，CQ⊥BD，垂足分别为P、Q。
因为△ACD、△BCE都是等边三角形，
所以AC=CD，CE=CB，∠ACD=∠BCE，
所以∠ACE=∠DCB
所以△ACE≌△DCB 所以AE=BD，DCBACESS
可得CP=CQ
所以OC平分∠AOB
即∠AOC=∠BOC
三. 用面积法证线段不等
例3. 如图3，在△ABC中，已知AB>AC，∠A的平分线交BC于D。
求证：BD>CD。
图3
证明：过点D分别作DE⊥AB、DF⊥AC，垂足分别为E、F
设BC边上的高为h。
因为∠BAD=∠DAC
所以DE=DF
因为DFAC21S,DEAB21SACDABD
且AD>AC
所以ACDABDSS
即hCD21hBD21
所以BD>CD
四. 用面积法证线段的和差
例4. 已知：如图4，设等边△ABC一边上的高为h，P为等边△ABC内的任意一点，PD⊥BC于D，PE⊥AC于E，PF⊥AB于F。
求证：PE+PF+PD=h。
图4
证明：连结PA、PB、PC
因为PEAC21S,PFAB21SAPCABP，PDBC21SBCP
又BPCAPCABPABCSSSS 所以PDBC21PEAC21PFAB21hBC21。
因为△ABC是等边三角形
所以PDPEPFh
即PE+PF+PD=h
五. 用面积法证比例式或等积式
例5. 如图5，AD是△ABC的角的平分线。
求证：DCBDACAB。
图5
证明：过D点作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F。
因为AD是△ABC的角的平分线，
所以DE=DF，
则有ACABSSACDABD。
过A点作AH⊥BC，垂足为H，
则有DCBDSSACDABD
即DCBDACAB
六. 用面积比求线段的比
例6. 如图6，在△ABC中，已知BC、AC边上的中线AD、BF交于M。
求证：AM21MD。
图6
证明：连结CM，过B作BG⊥AD交AD延长线于G，则
MAFMCFBCFBAFSS,SS，
所以MBCMABSS。 又MBCMDCMBDS21SS，
所以MABMBDS21S，
AMBG21S,MDBG21SBAMMBD
所以AM21MD。
巧用面积法解题几例
２００８年第３期 中学数学月刊 ・３９・
故ｓｉｎ ２０。ｓｉｎ ４０。ｓｉｎ ８０。＝盟８． 在复杂计算中，避免运用多种公式，对于 提高正确率显得尤为重要． 例４求ｓｉｎ ２０。＋ＣＯＳ ５０。＋ｓｉｎ ２０。ＣＯＳ ５０。 的值 分析为了对称使用两角和差的正弦公 式，化原式为ｓｉｎ ２０。＋ｓｉｎ ４０。＋ｓｉｎ ２０。ｓｉｎ ４０。． 由ｓｉｎ ２０￣＝ｓｉｎ（３０ｏ一１０。）： １ ｃｏｓ １０。一
Ｘ／ ３～－ｓｉｎ １０。，
ｓｉｎ ４０。＝ｓｉｎ（３０。＋１０。）＝ １ ｃ。ｓ １０。＋ ２ ・ ｓｉｎ １０。，得 ｓｉｎ２ ２０￣＋ｓｉｎ２ ４０。： ＋ｓｉｎ １０。， ｓｉｎ２ＯＰｓｉｎ４ （ 。ｓ １ ）ｚ一（ ｉｎ１ ）
÷一ｓｉｎ １０。，
故ｓｉｎ ２０。＋ｓｉｎ ４０。＋ｓｉｎ ２０。ｓｉｎ ４０。＝÷，即
原式＝÷． 本题的传统做法是先降幂，再进行和差 化积与积化和差，稍有不慎就会出错．改用两 角和差的正弦公式直接求出结果，思路明了， 过程明快． 实践表明，运用两角和差的正、余弦公式 规避和差化积或积化和差，是驾轻就熟、化难 为易的一个好策略．
用 和法 题 例
李枝团 （重庆市第３６中学４０００２６）
涉及三角方面的数学问题，我们总习惯 于利用三角知识中的定义、定理和繁多的公 式，然后实施一连串的变换，化简及整理，使 其达到求解目的．当然这是基本和常规的处 理模式，但有些习题若干篇一律地照搬方 法，有时并不奏效．若考虑运用面积法，巧设 未知元，可获“柳暗花明”的效果，以下举例 说明． 例ｌ 如图１， 已知半圆０的直径 ＡＢ＝８ ｅｌＴＩ，弦ＡＤ＝ ＣＤ＝２ ｅｍ，求ＢＣ的 长． 图１ （《数学通￣）２００６年第８期“数学问题” １６２６） 分析原解答也使用了面积法，由四边形 ＡＢＣＤ面积列出以ＢＣ为未知元的一元四次方 程，．求解过程相当复杂．这里充分利用题目条 件，巧妙设元，可化繁为简，较易获得结果． 解连 Ｃ，ＢＤ，设 Ｃ，ＢＤ交于点Ｅ 因为ＡＤ＝ＣＤ＝２ ｃｍ，所以 ＝ ． 设／ＡＢＤ＝ａ，则／＿ＤＢＣ＝ａ． 又ＡＢ是半圆０的直径，故／＿ＡＤＢ＝ Ａ ＣＢ＝９０。． 因为ＢＤ＝Ｘ／—ＡＢ２－Ａ—Ｄ２＝、／ ＝２ ， ￣ＣＯＳ Ｏｒ＝ ＝ 堡＝ ． 因为Ｓ Ｂｃ＝Ｓ Ｂ Ｓ△蛐， 即ｌＡＢ． Ｃ．ｓｉｎ ２ａ＝ｌＡＢ．ＢＥ．ｓｉｎ ＋
巧用面积法解题
《数学之友》 ２００８年第５期
解黪索 巧用面积法解题
吴菊芬
（江苏省常州市武进市湖塘实验中学，２１３１００）
数学是一门基础学科，它在培养学生思维品质 方面发挥着重要的作用．那么数学教学就不能仅停
留在知识层面上，还要培养学生多种角度看问题的 思维方式，从而提高学生的思维水平．在解决某些几
何题时，我们往往觉得难以下手，此时巧用面积法来 解决，就会有意想不到的收获所谓面积法就是利用
几何图形中的边、角与面积之间的关系，运用代数手 段来完成几何中的推理过程．用面积法一般可不添
或少添辅助线，证法简洁，易于被学生接受和掌握 “面积法”能将数与形结合起来进行分析、研究，这
种数形结合的思想是解决数学问题的切人点．我国 古代数学家也利用面积法证明了勾股定理．实践证 明，利用面积法可为许多不易证明的几何题找到解 题出路
下面，本文就面积法在解题中的几方面应用提 供一种解题方法和思考途径．
１证明线段的关系
基本平面图形（三角形、四边形等）的面积大都 是用线段的积表示的，对于同一个图形而言，从不同
的角度可以得到不同的关于面积的表达式，但这个 图形的面积为一定值，这样便可得到有关线段的等 积式，将这些等积式用于证明或计算，往往可以使问
题化难为易，因此关于线段的问题往往可以用面积 来解决．
例１如图，在ａＡＢＣ中，ＡＢ＝ ＡＣ，Ｄ是ＢＣ上的任意一点，过点Ｄ
分别向ＡＢ、ＡＣ引垂线，垂足分别为
、Ｆ，ＣＧ是ＡＢ边上的高． （１）ＤＥ、ＤＦ、ＣＧ的长度之间存
在着怎样的等量关系？并加以说 明． Ｃ
（２）若Ｄ在底边ＢＣ的延长线上，（１）中的结论
还成立吗？若不成立，又存在怎样的关系？请说明 理由． ，解析：在第（１）问中，不难猜出结论ＤＥ＋ＤＦ＝
・５４・ ＣＧ，当然这道题目通常可以运用“截长补短”的方
法，构造全等三角形得到解决，但是过程显得冗长、 繁杂．通过观察，由ＤＥ、ＤＦ是垂线段不难联想到三
角形的高，由高进一步联想到面积，这样思维的角度 就定位在面积关系上了．连结ＡＤ，容易看出ＤＥ、
例谈面积法在解题中的妙用
例谈面积法在解题中的妙用
例谈面积法是一种常用的几何解题方法，它的核心思想就是通过构建几何图形之间的关系，来利用各种图形的面积来求解问题。它在解决数学题目中有很多妙用，下面就来介绍几种：
1. 首先，例谈面积法可以用来求解平行四边形、三角形、正方形、梯形等几何图形的面积，从而解决相关的空间问题。
2. 其次，例谈面积法也可以用来求解两个不同几何图形之间的关系，比如说，当我们知道了一个三角形的底边和高时，就可以利用例谈面积法来求出该三角形的面积。
3. 最后，例谈面积法还可以用来求解一定范围内的几何图形的总面积，比如说，当我们知道了一个多边形的顶点和边长时，就可以利用例谈面积法来求出该多边形的总面积。
总之，例谈面积法在解题中的妙用是非常多的，且其使用起来非常简单方便，能够有效提高解题效率，减少解题难度，是一种不可多得的解题方法。
巧用面积法引导学生学习乘法公式
中学教学参考
解题方法ｓ技巧
巧用面积法引导学生学习乘法公式
重庆市杨家坪中学（４０００５０） 刘作兵
一、公式的引导学习法 １．设置开放性问题
要求每位学生自己做一个边长为１０ ｃｍ的正方形，
一个边长为３ ｃｍ的正方形，两个长为１０ ｃｍ、宽为３ ｃｍ
的长方形．
问题：同组学生把４个图形进行叠加或拼接成无缝
隙的图形，看能组成多少个不同的图案，每个图案的面
积分别是多少，怎么计算？
学生可能得到的图形有很多种，教师巡视学生所得
图形，挑选出有代表性的图形进行分析和解说，着重引
导学生分析以下三种图形所得的面积：
图形① 图形② 图形③
２．计算面积，引出乘法公式
教师把学生分成三组，分别讨论这三种图形的面积
各是多少．
针对图①，学生分析得出：这是一个长方形，长为（ｎ
＋６），宽为（ｎ一６），故其面积为（“＋６）（口一６）；
针对图②，学生分析得出：这是一个正方形，边长为
（ｎ＋６），故其面积为（ｎ＋６）。；
针对图③，学生分析得出：空白处是正方形，边长为
（口一６），故其面积为（ｎ一６） ；
引导：用图解法
图①：长方形面积．
面积为曲 从整体看为
（ｎ＋６）（ｎ一６）；
从拼接看为 ｎ。一ｎ６＋（ａ６—６。）一 一ｂ ．
从而得到
（口＋６）（口一６）一ｎ 一ｂ２．
图②：正方形面积． 从整体看为
（ｎ＋６） ；
从拼接看为
ｎ ＋ａｂ＋ａｂ＋ｂ。一ｎ。＋２ａｂ＋ｂ。；
３４ 中学教学参考２０１３年１Ｏ月总第１７３期 ｌ 从而得到
（ｎ＋６）。一口 ＋２ａｂ＋６ ．
图③：空白正方形面积．
囱积为０６—６ｚ 从整体看为
（ｎ一６）。；
从拼接看为
ａ。一（ｎ６—６２）一（ｎ６—６ ）一６
一ｎ －－２ａｂ＋ｂ２：
从而得到
（ｎ一６）０一ｎ 一２ａｂ＋ｂ２．
至此，引导学生得出三个有关多项式乘以多项式的
结论．进而对这种结论加以研究，发现其“本来面目”就
是“多项式乘以多项式”的一个特例，但它可以给具备这
初中面积问题方法总结
1 初中面积问题方法总结
初中面积问题通常涉及到平面几何中的基本图形，如三角形、四边形、圆等。解决这类问题的方法主要包括以下几种：
1.公式法：对于常见的图形，如三角形、矩形、正方形、圆等，都有相应的面积计算公式。熟练掌握这些公式，并能灵活应用，是解决面积问题的基本方法。
2. 分割法：对于复杂的图形，可以将其分割成几个简单的图形，然后分别计算这些图形的面积，最后求和。这种方法需要准确判断图形的构成和分割方式。
3.补全法：有些图形可以通过补全成一个更简单的图形来方便计算面积。例如，通过补全一个三角形为一个矩形或正方形，可以更容易地找到三角形的面积。
4.相似图形法：如果两个图形相似，那么它们的面积之比等于它们对应边长的平方之比。利用这个性质，可以通过已知图形的面积来求解未知图形的面积。
5.坐标法：在平面直角坐标系中，可以通过计算图形各顶点的坐标，然后利用坐标来计算面积。这种方法通常用于求解不规则图形的面积。
6.面积比法：在一些情况下，可以通过比较图形的面积来求解问题。例如，在比例尺问题中，可以通过比较实际面积和图上面积的比例来求解。
7.代数法：对于一些涉及变量和方程的面积问题，可以通过代数方法来求解。这通常涉及到建立方程或不等式，并解出未知数的值。
解决初中面积问题时，首先要仔细分析问题的条件，选择合适的方法。同时，还需要注意计算过程中的准确性和规范性，避免因为计 2 算错误而导致结果不正确。
面积法在初中数学解题中的应用-最新教育文档
面积法在初中数学解题中的应用
数学是中学阶段基础教育的主要学科之一，对启发学生思维、开发学生智力、培养逻辑能力等方面都有举足轻重的作用。其中，平面几何又是中学数学学科中重要的内容。学习平面几何相关知识有助于帮助学生形成良好的几何思维习惯，同时能有效培育和提升学生的数学演绎和推理能力。平面几何在中国也拥有十分悠久的发展历史，同样，平面几何中的面积问题与平面几何一样历史悠久，从溯源的角度上看，面积还是几何学的起源之一。面积及面积法在日常生活中的运用随处可见，与生活息息相关、紧密相连。文章围绕面积法在初中数学解题中的应用展开研究，从面积简史、面积及面积法的基本概念入手，结合解题实例，详细分析面积法在初中数学解?}过程中的巧妙应用。
在中学数学中，关于面积和面积法相关知识的教学已达到一定深度。通过对面积和面积法的学习，一方面能够使学生更好、更直观地学习、理解和掌握数学知识，另一方面通过面积法，构建“数形结合”几何模型，能够将中学数学中一些较为抽象和代数化知识进行更为直观、具象的几何解释。这些都对培养学生的数学品质，理解数学思想，提升和强化学生具象思维和直觉思维等大有裨益。对此，有必要更加深入地研究和探索面积及面积法的相关发展历程、概念，以及其在中学数学解题中的巧妙运用，来增强中学生数学思维的灵活性，提高学生的数学素养。 一、与面积相关内容的概述
（一） 中国古代数学的面积发展史
面积的发展史最早可以追溯到古埃及时期，其在中国的发展也同样历史悠久、源远流长。与其他古代文明相比，面积在中国数学史上的发展有着独特的风格和特色，其在中国古代的实际运用主要在于对田垄、土地的测量。早在公元前2世纪，中国古代的数学家就著有《算术书》，该书是中国数学史上首次系统性地提出和阐释面积相关的算题，其中就包括对田地的测量以及土地税征收等，以及与实际生产生活密切联系的面积问题。在之后的历史发展中，又相继有《九章算术》《九章算术注》《孙子算经》《缀术》等相关著作问世。尤其是在《九章算术》中还涉及较多关于面积的几何问题，特别是对不同形状的土地面积计算作了较为成熟的分析，如方田（正方形）、直田（矩形）、圭田（三角形）、圆田（圆）、环田（圆环）等。由此可见，中国古代关于平面几何面积相关的理论和算法已经较为丰富，古代人民的智慧对世界数学史的发展作出了突出的贡献。
初中数学巧用面积法解题学法指导
word 1 / 5 初中数学巧用面积法解题
许多数学问题，表面上看来似与面积无关，但灵活运用面积法，往往能使问题顺利获解，下面举例介绍面积法的运用。
一. 用面积法证线段相等
例1. 已知：如图1，AD是△ABC的中线，CF⊥AD于F，BE⊥AD交AD的延长线于E。
求证：CF=BE。
图1
证明：连结EC，由BD=DC得，
CDEBDEACDABDSS,SS，
两式两边分别相加，得
ACEABESS
故CFAE21BEAE21
所以BE=CF。
注：直接由ACDABDSS得
CFAD21BEAD21更简洁。
二. 用面积法证两角相等
例2. 如图2，C是线段AB上的一点，△ACD、△BCE都是等边三角形，AE、BD相交于O。
求证：∠AOC=∠BOC。 word 2 / 5 图2
证明：过点C作CP⊥AE，CQ⊥BD，垂足分别为P、Q。
因为△ACD、△BCE都是等边三角形，
所以AC=CD，CE=CB，∠ACD=∠BCE，
所以∠ACE=∠DCB
所以△ACE≌△DCB
所以AE=BD，DCBACESS
可得CP=CQ
所以OC平分∠AOB
即∠AOC=∠BOC
三. 用面积法证线段不等
例3. 如图3，在△ABC中，已知AB>AC，∠A的平分线交BC于D。 求证：BD>CD。
图3
证明：过点D分别作DE⊥AB、DF⊥AC，垂足分别为E、F
设BC边上的高为h。
因为∠BAD=∠DAC
所以DE=DF
因为DFAC21S,DEAB21SACDABD
且AD>AC word
3 / 5 所以ACDABDSS
即hCD21hBD21
所以BD>CD
四. 用面积法证线段的和差
例4. 已知：如图4，设等边△ABC一边上的高为h，P为等边△ABC内的任意一点，PD⊥BC于D，PE⊥AC于E，PF⊥AB于F。
中考数学解题方法及提分突破训练：面积法专题(含解析)
/ 解题方法及提分突破训练:面积法专题
用面积法解几何问题是一种重要的数学方法,在初中数学中有着广泛的应用，这种方法有时显得特别简捷，有出奇制胜、事半功倍之效.
一．真题链接
1。（2012 济南模拟)圆柱的底面周长为2π，高为1，则圆柱的侧面展开图的面积为
2。（2012•东营）如图,在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上,OC在y轴上，如果矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的41
,那么点B′的坐标是（ ）
A. (—2，3） B。（2，—3） C。（3，-2）或（—2，3) D.(-2,3）或（2，-3）
3．（2012 呼和浩特）如图是某几何体的三视图及相关数据（单位：cm),则该几何体的侧面积为 cm．
4。(2012•潍坊）如图，三角形ABC的两个顶点B、C在圆上，顶点A在圆外，AB、AC分别交圆于E、D两点，连接EC、BD．
(1）求证：△ABD∽△ACE；
(2)若△BEC与△BDC的面积相等,试判定三角形ABC的形状
5.（2012•宜宾）如图，在四边形ABCD中,DC∥AB,CB⊥AB,AB=AD，CD=21 ，AB，点E、F分别为AB、AD的中点，则△AEF与多边形BCDFE的面积之比为( )
A。71 B。61 C。51 D。41
/ 二 名词释义
平面几何中讲的面积公式以及由面积公式推出的与面积计算有关的性质定理，不仅可用于计算面积,而且用它来证明平面几何题有时会收到事半功倍的效果。运用面积关系来证明或计算平面几何题的方法，称为面积方法，它是几何中的一种常用方法。
用归纳法或分析法证明平面几何题，其困难在添置辅助线。面积法的特点是把已知和未知各量用面积公式联系起来，通过运算达到求证的结果。所以用面积法来解几何题，几何元素之间关系变成数量之间的关系，只需要计算，有时可以不添置补助线,即使需要添置辅助线，也很容易考虑到。面积问题主要涉及以下两部分内容：
巧用面积和面积法证题
龙源期刊网
巧用面积和面积法证题
作者：符敏
来源：《读写算》2011年第55期
几何做为数学中的一个重要组成部分，其题目及问题可谓千变万化，其解题思路及方法则更是五花八门，各式各样。初中几何作为几何学的基础，亦是如此。而在这些种类繁多的方法面前，面积法可以说是即巧妙又重要的一种，如果能将其熟练运用，相信可以帮助学生更轻松自如的解决问题和面对中考。
直接涉及面积的问题通常情况可以利用下列性质和公式给予解决：（1）等底等高的两个三角形面积相等；（2）等底（高）的两三角形面之比等于高（底）之比；⑶相似图形的面积之比等于相似比的平方；⑷三角形的面积公式:设 中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，h为a边上的高，R、r分别为 外接圆、内切圆的半径， 则 的面积有如下公式:① ；② ；③ ；④
在用面积法证明的问题中，关键是注意寻找题目中出现的平行、中点或中线的条件，我们可以根据已学的知识推出等底或等高，进而可以解决问题。
例1：已么M为△ABC边AB上一点，且 ,S△AMC=2，则S△BCM为多少？
分析：此题为典型的等底（高）或同底（高）时，底（高）之比与面积之比之间的相互转换。如果能自如的掌握这点，在解这类题目时，可谓易如反掌。
解：∵ ,S△AMC=2
例2：如图，△ABC中，AQ= , ,Q、R分别在BC、AB上，BQ、CR交于点I，AI的延长线与边BC交于P点，你能说出 和 的面积比是多少吗？请说明理由。
分析：这题的关键是确定P点在边BC上的位置由图不难
发现 , ,
所以
同理由AQ=CQ，可得 ,
因此，
而 和 ,以AI为公共底，所以B、C两点到AI即AP的距离之比为2︰1，
面积——等面积法
面积法在中学数学解题中的巧用
利用同一图形的面积相等，可以列方程计算线段的值，或证明线段间的数量关系；利用图形面积的和、差关系列方程，将相等的高或底约去，可以计算或证明线段间的数量关系。利用等积变形，可以排除图形的干扰，实现“从形到数”的转化，从而从数量方面巧妙地解决问题。
用面积法解题就是根据题目给出的条件，利用等积变换原理和有关面积计算的公式、定理或图形的面积关系进行解题的方法。运用面积法,巧设未知元,可获“柳暗花明”的效果。
有关面积的公式
（1）矩形的面积公式：S=长宽 （2）三角形的面积公式：ahS21
（3）平行四边形面积公式: S=底高
（4）梯形面积公式: S=21(上底+下底)高
（5）对角线互相垂直的四边形：S=对角线乘积的一半（如正方形、菱形等）
有关面积的公理和定理
1、面积公理
（1）全等形的面积相等；
（2）一个图形的面积等它各部分面积之和；
2、相关定理
（1）等底等高的两个三角形面积相等；夹在平行线间的两个共底的三角形面积相等；
如下图ACDBCDSS=△△；
反之，如果ACDBCDSS△△，则可知直线AB平行于CD
（2）等底等高的平行四边形、梯形（梯形等底应理解为两底的和相等）的面积相等；
（3）等底的三角形、平行四边形面积之比等于其高之比；等高的三角形、平行四边形面积之比等于其底之比；
（4）相似三角形的面积的比等于相似比的平方；
（5）在两个三角形中，若两边对应相等，其夹角互补，则这两个三角形面积相等；
（6）等底等高的平行四边形面积是三角形面积的2倍。
一个长方形分成4个不同的三角形，绿色三角形面积是长方形面积的15%，黄色三角形的面积是21平方厘米。问：长方形的面积是__________平方厘米。
等面积法的应用一：利用平行线间两个共底的三角形面积相等解题。
如图，矩形ABCD中，AB=3cm，AD=6cm，点E为AB边上的任意一点，四边形EFGB也是矩形，且EF=2BE，则AFCS△ 9 2cm