面积法在平面几何问题求解中的巧妙应用

平面几何问题的证明——面积法（教案）教学目的：掌握面积法在平面几何解题中的巧妙应用教学重点：1、三角形、凸四边形面积公式的推导2、面积法在平面几何解题中的巧妙应用教学内容：2002年，张景中院士推出《新概念几何》，其中对三角学作了全新的处理，他把边长为1、夹角为α的菱形的面积定义为αsin ，由此研究正弦的性质，到处理余弦，用面积的方法证明大量的平面几何问题，把三角学和几何学打成一片，别具一格，极有新意。

张院士指出：抓住面积，不但能把平面几何课程变得更容易学，而且使几何问题求解变得更有趣味。

在求解平面几何问题的时候，根据有关几何量与涉及的有关图形面积之间的内在联系，用面积或面积比表示有关的几何量或其比，从而把要论证的几何量之间的关系转化为有关面积之间的关系，并通过图形面积的等积变换对所论问题来进行求解的方法，这就是面积法。

一、为运用面积法解题，我们需要一些面积公式：1、设ABC ∆中，角C B A ,,所对的边依次为c b a ,,，又a h 为a 边上的高，R 为其外接圆半径，r 为其内切圆半径，)(21c b a p ++=，则 （1）a ABCah S 21=∆； （2）A bc S ABC sin 21⋅=∆; （3）R abc S ABC 4=∆; (4)AC B a S ABC sin 2sin sin 2⋅=∆; (5)rp S ABC =∆； (6)))()((c p b p a p p S ABC ---=∆。

（海伦公式） 2、在凸四边形ABCD 中，边长分别为d c b a ,,,，两对角线长为,,f e 两对角线夹角θ，且)(21d c b a l +++=，则： （1）θsin 21⋅=ef S ABCD (2) 2222222)(441d b c a f e S ABCD --+-= (3)))()()((d l c l b l a l S ABCD ----= （当D C B A ,,,四点共圆时）(4)ϕ2cos ))()()((⋅-----=abcd d l c l b l a l S ABCD ，2D B +=ϕ或2C A +=ϕ引理1：圆内接四边形ABCD 的四边是,,,,d DA c CD b BC a AB ====则四边形ABCD 的面积]1[))()()((d p c p b p a p S ABCD ----=，)(21d c b a p +++=。

事实上，以E 为一组对边BC AD 、的交点，设y BE x AE ==,。

d b c a C D o EAB 由ABE ∆~CDE ∆得22c a S S CDE ABE=∆∆ ，而⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-===-===c d x CD DE AB BE a y c b y CD CE AB AE a x c a d b c d b y x a y x -+=--+=+∴ ca b d c d b y x a y x +-=+-+-=-， )(2)(c p c a a c a c a d b a a y x --=--++=++∴，)(21d c b a p +++= 同理 )(2a p c a a a y x --=-+，)(2b p c a a a y x -+=+-，)(2d p c a a a y x -+=++-， 由海伦公式得 ))()()(())()()((41222d p c p b p a p c a a a y x a y x a y x a y x S ABE -----=++-+--+++=∆))()()((22d p c p b p a p S ac S S S S ABE ABE CDE ABE ABCD ----=-=-=∴∆∆∆∆ 对于一般情况的凸四边形，不满足四个顶点共圆，就没有如上的相似三角形，所以面积公式有所不同。

定理：一般地，任意凸四边形ABCD 的四边是,,,,d DA c CD b BC a AB ====则四边形ABCD 的面积为]2[ϕ2cos ))()()((⋅-----=abcd d p c p b p a p S ABCD 其中)(21d c b a p +++=，22C A D B ++=或ϕ. 证明： d a b c mA DB C设对角线m AC =，D cd B ab S S S ACD ABC ABCD sin 21sin 21⋅+⋅=+=∆∆ Dcd d c B ab b a m cos 2cos 222222⋅-+=⋅-+= ②由于任意四边形由四条边和一个内角确定，所以可将内角D 看作是内角B 的函数，即)(B D D =。

①、②两式两边同时对角B 求导得：dBdD D cd B ab dB dS ABCD ⋅⋅+⋅=cos 21cos 21 ③ dBdD D cd B ab ⋅⋅=⋅sin 2sin 2 ④ 将④式代入①式有)1(sin 21dBdD D cd S ABCD +⋅⋅= ⑤ ⑤⨯③)cos sin sin cos ()1(41dB dD D D cd D B ab dB dD cd dB dS S ⋅+⋅⋅⋅+=⋅ ⑥将④式代入⑥式有dBdS S ⋅ )cos sin sin cos )(1(41D B ab D B ab dBdD cd ⋅+⋅⋅+= )][cos(41D B dBd abcd +-= )][cos(212D B dBd abcd dB dS +-=∴ 上式两边积分得)cos(212D B abcd S ABCD +⋅-K =, 其中K 是待定的常数]1[。

当四边形ABCD 的四点共圆时，π=+D B , 此时))()()((d p c p b p a p S ABCD ----=)cos(21D B abcd +⋅-K =abcd 21+K = abcd d p c p b p a p 21))()()((-----=K ∴ 所以任意凸四边形ABCD 的面积)]cos(1[21))()()((D B abcd d p c p b p a p S ABCD++-----=ϕ2cos ))()()((⋅-----=abcd d p c p b p a p , 2D B +=ϕ 同理可证任意凸四边形ABCD 的面积 ϕ2cos ))()()((⋅-----=abcd d p c p b p a p S ABCD 2C A +=ϕ 由此我们也看出，四边给定的所有四边形中，当四点共圆时，四边形面积最大。

二、面积法在平面几何解题中的应用引理2：共边定理 若直线PQ 和直线AB 交于M ,可能的情况如下图， 则QMPM S S QAB PAB =∆∆.]1[例1、设P 是ABC ∆的A ∠平分线上任一点，过C 引PB CE //交AB的延长线于E ,过B 引PC BF //交AC 的延长线于F ,求证：CF BE =.连接,,PF PE 由BF PC //有PBC PCF S S ∆∆=.由,//CE PB 有PBC PBE S S ∆∆=.故PBE PCF S S ∆∆=又P 是A ∠的平分线上的点，P 点到BE 及CF 的距离相等，即PCF ∆的CF 边上的高等于PBE ∆的BE 边上的高，从而CF BE =.例2、如图，在ABC ∆中，P 是BC 边上的高AH 上的任一点，直线CP 交AB 于D ，直线BP 交AC 于E ，连接EH DH ,，求证：EHP DHP ∠=∠.证明：过点A 作BC 的平行线，分别交HE HD ,的延长线于,,G F 则有PCB PAB S S EC AE HC AG ∆∆==, PBC PAC S S BH AF ∆∆=,PACPAB S S HC BH ∆∆=AF AG =∴三、小结：正如张院士所说的抓住面积，不但能把平面几何课程变得更容易学，而且使几何问题求解变得更有趣味。

因此，在求解平面几何问题的时候，根据有关几何量与涉及的有关图形面积之间的内在联系，用面积或面积比表示有关的几何量或其比，从而把要论证的几何量之间的关系转化为有关面积之间的关系求解。

四、课后思考题：1、用面积法证明塞瓦定理。

塞瓦（Ceva ）定理]2[：设C B A ''',,分别是ABC ∆的边AB CA BC ，，所在直线上的点（即三点中或三点或一点在边上），则三直线C C B B A A ''',,共点或平行的充要条件是1=''⋅''⋅''BC C A A B B C C A A B 证明 必要性：若三直线C C B B A A ''',,交于一点P，则1=⋅⋅=''⋅''⋅''∆∆∆∆∆∆PBCPAC PAB PBC PAC PAB S S S S S S B C C A A B B C C A A B 若三直线C C B B A A ''',,平行，则1=''⋅''⋅''=⋅⋅=⋅⋅=''⋅''⋅'''∆'∆'∆'∆'∆'∆'∆'∆'∆'∆'∆'∆A A C C C C B B B B A A S S S S S S S S S S S S B C C A A B B C C A A B C A A C AC BC C BC B BA B A AB BCC C AC BA B BC B C A A A AB充分性：若直线B B A A '',交于一点P ，设CP 与AB 的交点为1C ，则由必要性知111=⋅''⋅''BC AC A B B C C A A B 。

而题设 有1=''⋅''⋅''B C C A A B B C C A A B ，由此有B C AC 11B C C A ''=，即AB AC 1AB C A '=， 由此知1C 与C '重合，从而三直线C C B B A A ''',,共点。

若B B A A ''//,则A B CB A B B C '=''代入已知条件有CBC A B C C A '='', 由此知A A C C ''//.故C C B B A A '''////。