向量的定比分点公式的应用_蔡玉书

ａ＋
３ ｂ ４ ３ １＋ ４
＝
Ｓ△ＢＯＣ ， Ｓ△Ｃ Ｓ ＡＯＢ 则 Ｏ Ａ ， ｂ＝ ｃ＝ △ ， ａ＋ｂ Ｓ△ＡＢＣ Ｓ△ＡＢＣ Ｓ△ＡＢＣ
＋ｃ ＝ １， Ａ → ｃ·Ａ Ｂ → ｂ·Ａ → ） ·Ｏ ０＝ （ ａ＋ｂ＋ｃ Ｃ ＋ ＋ → → → → → ） · ·（ ·（ Ａ ＋ｂ Ｏ Ａ ＋Ａ Ｂ ＋ｃ Ｏ Ａ ＋Ａ Ｃ） ＝ａ Ｏ → → → Ａ ＋ｂ·Ｏ Ｂ ＋ｃ·Ｏ Ｃ， ＝ ａ·Ｏ → → Ｓ ·Ｏ → 所以 ＳＡ ·Ｏ Ａ ＋Ｓ Ｏ Ｂ Ｃ ＝ ０． ＋ Ｃ Ｂ· 例５ （ 如图５， 已 １ ９ ７ ８年辽宁省数学竞赛题 ） 知Ａ 任作一直线 Ｍ 是 △Ａ Ｂ Ｃ 的边 Ｂ Ｃ 上 的 中 线，
Ｇ 求Ｅ ２ Ａ Ｆ， ． Ｇ Ｆ
图４
— —２ · 课外园地 · 数学通讯 — 上半月 ） ０ １ ２ 年第 ７、 ８期（
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别表示 △Ｂ 证 明： Ｏ Ｃ、 Ｏ Ａ、 Ｏ Ｂ 的 面 积， ＳＡ △Ｃ △Ａ → → → ·Ｏ Ａ ＋Ｓ Ｏ Ｂ ＋Ｓ Ｏ Ｃ ＝ ０． Ｂ· Ｃ· 证 明 延长 Ａ 由向量的定比分 Ｏ 交Ｂ Ｃ 于Ｄ ，
Ｐ Ａ Ｒ ａ， Ｒ → 由Ａ 设Ａ ＝ ＝ Ｂ Ｑ Ｂ Ｓ ｂ Ｐ → ｍ → Ｑ → ， Ｂ Ｓ ＝ ｍＡ ＝ ｃ ＝ ｍＢ ＝ ｍ ｄ ．
图７
Ｍ Ｐ Ｎ Ｒ Ｔ 记Ａ 则由向量的定比分 ＝ ＝ ＝λ， ＭＢ ＮＱ Ｔ Ｓ
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Ｔ → 共线 ， 即 Ｒ、 Ｓ Ｓ、 Ｔ 三点共线 ． Leabharlann Baidu ９ （ ２ ０ ０ ２年江苏省 数学夏令营试题 ）如 图 ９， 已 知四边形 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 的两条对边 的延长 线 交 于 Ｋ 、 对角线 Ｌ，
→ ， ， 解 如图 ２ 设Ａ Ｃ ＝ａ → ， 故 Ａ Ｂ ＝ｂ Ｍ 是Ｂ Ｃ 的 中 点， １ Ｍ → １（ → → Ａ Ａ Ｂ ＋Ａ Ｃ） ａ ＝ ＝ （ ＋ ２ ２ ） ｂ ． Ｅ → Ｆ → ， ， 设Ａ ａ Ａ ｂ ＝μ ＝μ １ ２ → → 则由向量 的 定 比 Ｅ Ｇ ＝λＧ Ｆ，
ｂ ４ ａ＋ （ １＋３ ｂ， λ λ） ， 以ａ＋λ 又ａ 所 ｂ不共线 ， ＝μ· １＋λ １＋λ 以
Ａ Ｂ， 与Ａ Ｂ、 Ａ Ｃ、 Ａ Ｍ 分 别 交 于 Ｐ、 Ｑ、 Ｎ ，求 证 ： Ａ Ｐ Ａ Ｍ， Ａ Ｃ 成等差数列 ． ＡＮ Ａ Ｑ Ｂ → ａ → 证明 设Ａ Ａ Ｃ＝ ＝ ， → → → ， ， ， ｂ Ａ Ｐ ＝ｍ ａ Ａ Ｑ ＝ｎ ｂ Ｐ Ｎ ＝ → ） ， 因为 Ｍ 是 ｍ， ｎ， λＮＱ （ λ＞０
４ ａ＋３ ｂ， Ｄ Ｅ → ７Ｂ → ４ 所以Ｂ ｂ ． ＝ ＝ ａ＋３ ７ 由Ｃ 由向量的定比分点公式得 Ｎ ∶Ｎ Ｄ ＝λ， → → ） Ｃ ＋λＢ Ｄ ｂ＋λ（ ４ ａ＋３ ｂ Ｎ → Ｂ Ｂ ＝ ＝ １＋λ １＋λ ４ ａ＋ （ １＋３ ｂ λ λ） ． ＝ １＋λ Ｍ → → 所 因为 Ｂ、 所以Ｂ Ｍ、 Ｎ 三点共线 ， ＝μＢＮ ，
正六边形 Ａ 点 Ｍ、 Ｂ Ｃ Ｄ Ｅ Ｆ 的两 条 对 角 线 ， Ｎ 分别
Ｍ Ｃ Ｎ 内分Ａ 使得Ａ 如果Ｂ、 Ｃ、 Ｃ Ｅ， Ｍ、 Ｎ三 ＝ ＝ｒ， Ａ Ｃ Ｃ Ｅ 求ｒ 的值 ． 点共线 ， Ａ → → ， 证明 设Ｂ Ｂ Ｃ ＝ａ → ， （ ） 则Ｂ Ｅ ＝２ ａ＋ｂ ． ＝ｂ Ｍ Ｃ Ｎ 因为Ａ 所 ＝ ＝ ｒ， Ａ Ｃ Ｃ Ｅ
＝ 证明 在 所 在 平 面 上 任 Ａ Ｂ → ｘ → ， 取一点Ｏ， 设Ｏ Ｏ ＝ ， ＝ｙ → → ， Ａ Ｐ ＝ｃ Ｂ Ｑ ＝ｄ ．
Ｍ → → 则 １ 因 为 Ａ、 设Ａ Ｎ、 Ｍ 三点共线 ， ＝μＡＮ ， ２
ｍ ， １ ｎ ， ｎ λ 所以 ｍ ＝λ ｎ，λ ＝ ＝μ· ＝ · １＋λ ２ μ １＋λ １＋λ
图２
ａ＋λ １ Ｇ → μ μ２ｂ． 分点公式得 ： Ａ ＝ １＋λ ， 因为 Ａ、 所以μ Ｇ、 Ｍ 三 点 共 线， ａ ｂ 不 共 线， １ ＝λ μ２ ． Ｅ → ：Ａ → ） ） 又 因为 ｜Ａ ａ ｂ ｜ ｜ Ｆ｜＝ （ ｜ ∶（ ｜ １｜ ２｜ μ μ ＝ ４ ·μ ３ 即Ｅ Ｇ ３ １ １ 所以λ ＝ μ ＝ ２， ＝ ， ＝ ． ３ μ ２ Ｇ Ｆ ２ ２ ２ μ ） ， 、 例３ （ 第２ 届 试题 如图 ３ Ｉ ＭＯ ３Ａ ＣＣ Ｅ是
以， 由向量的定比分点公式 可得 Ｍ → Ａ → ｒ → 图３ Ｂ Ｃ＋ （ １－ ｒ） Ｂ ＝ Ｂ ， １－ｒ） ａ＋ｒ ｂ ＝（ → → → Ｂ Ｎ ＝ｒ Ｂ Ｅ＋（ １－ｒ） Ｂ Ｃ （ ） （ ） ｒ ａ＋ｂ ＋ １－ｒ ｂ ＝ ２ ｒ ａ＋ （ １＋ｒ） ｂ ． ＝２ → → ， 由于 Ｂ、 所以Ｂ 所 Ｍ、 Ｎ 三点共线 ， Ｍ ＢＮ ＝μ 以１－ｒ ＝ ｒ ， 又ｒ＞０， 所以 ２ ｒ １＋ｒ ３ ｒ＝ 槡 ． ３ 例４ （ ２ ０ ０ ２山东省高中数 学联赛试题 ）如图 ４， 在 △Ａ Ｂ Ｃ ， 中任取一点 Ｏ ， 用 ＳＡ ， 分 Ｓ Ｂ Ｓ Ｃ
＝ ＝
Ｓ△ＡＯＢ ·Ｓ△ＡＢＤ · → Ｓ△ＡＯＣ ·Ｓ△ＡＣＤ · → Ａ Ｂ＋ Ａ Ｃ Ｓ△ＡＢＤ Ｓ△ＡＢＣ Ｓ△ＡＣＤ Ｓ△ＡＢＣ Ｓ△ＡＯＢ → Ｓ△ＡＯＣ · → Ａ Ｂ＋ Ａ Ｃ． Ｓ△ＡＢＣ Ｓ△ＡＢＣ
记ａ ＝
Ｅ → 于是Ｂ Ｄ ＝１ ７， Ａ Ｅ∶ Ｅ Ｃ ＝３ ４， ∶Ｂ ∶ ∶ ＝
边Ｂ 由向量的定比分 Ｃ 的中线 ， ａ＋ｂ，→ Ｍ → 点 公 式 得： Ａ Ａ Ｎ ＝ ２ ＝
｛
去） ．
１＝４ λ μ， １＋３ λ＝ （ λ） μ，
２ 所以 ４ 解得λ ＝ １ 或λ ＝－ １ （ 舍 λ ＝ １＋３ λ， ４
所以 ， Ｍ、 Ｎ 分别是 Ａ Ｃ 与Ｃ Ｄ 的中点 ． 例 ７ （ 如图 ７， １ ９ ９ ５ 年国家集训队试题 ） Ａ、 Ｂ 是 两条直线 Ａ Ｘ、 Ｂ Ｙ 上的定点 ， Ｐ、 Ｒ 为射线ＡＸ 上
Ａ Ｐ Ａ Ｒ 的两点 ， Ｑ、 Ｓ 为射线Ｂ Ｙ 上 的 两 点， ＝ ＝ Ｂ Ｑ Ｂ Ｓ
图５
ｍ ａ＋λ ｎ ｂ ． １＋λ
ａ ， 、 分别是 Ａ Ｍ Ｐ Ｎ Ｍ Ｎ Ａ Ｂ、 Ｐ Ｑ、 Ｒ Ｓ 上 的 点， ＝ ｂ ＭＢ ＮＱ Ｒ Ｔ ｅ 为另一定比 ， 问 Ｍ、 Ｎ、 Ｔ 三点的位置如 ＝ Ｔ Ｓ ｆ 何？ 证明你的结论 ．
１， Ｂ， 于是 １ ＋ １ ＝ １ ＋ １ ＝ １＋λ ＝ ２ 即Ａ μ， ２ ｍ ｎ ｎ ｎ ｎ Ａ Ｐ λ λ μ Ａ Ｍ， Ａ Ｃ 成等差数列 ． ＡＮ Ａ Ｑ 例 ６ （ １ ９ ８ ３ 年全国高中数学联赛试题 ）在四 边形 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 中， Ｂ Ｄ、 Ｃ Ｄ、 Ｂ Ｃ 的面积比 △Ａ △Ｂ △Ａ 为３ 点 Ｍ 与 Ｎ 分别在Ａ 且Ａ ４ １， Ｃ 与Ｃ Ｄ 上， Ｍ ∶ ∶ 同时 ， 求证 ： Ｃ ＝Ｃ Ｎ ∶Ｃ Ｄ． Ｂ、 Ｍ、 Ｎ 三点共线 ， ∶Ａ Ｍ、 Ｎ 分别是 Ａ Ｃ 与Ｃ Ｄ 的中点 ．
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向量的定比分点公式的应用
蔡玉书
（ ） 江苏省苏州市第一中学 ， ２ １ ５ ０ ０ ６
它应用广泛 ． 平面向量是新教材的一个亮点 ， 向量的定比分 点 公 式 结 构 美 观 ， 用它来解决国内 别 有 一 番 风 味． 本文列举数 外一些数 学 竞 赛 题 ， 例， 以飨读者 ． 向量的 定 比 分 点 公 式 ： 设 Ｏ 是平面上任意一 → → Ｐ Ｐ λ·Ｏ １＋ ２ → →， Ｐ → Ｏ 点， Ｐ Ｐ ＝λＰ Ｐ Ｏ ． ＝ １ ２ 则 １＋λ → 推论 设 Ｏ 是 平 面 上 任 意 一 点 ， Ｐ Ｐ ＝ １ → → → → ） 则Ｏ ｔ Ｐ１Ｐ２ ， Ｐ＝（ １－ｔ Ｏ Ｐ１ ＋ｔ Ｏ Ｐ２ ． 例 １ （ １ ９ ７ ８ 年全国高中数学竞赛试题 ）如图 设线段 Ａ 从Ａ １， Ｂ 的中点为 Ｍ ， Ｂ 上另一点Ｃ 向直 令Ｃ 线Ａ Ｂ 的一侧引线段 Ｃ Ｄ， Ｄ 的中点为 Ｎ， Ｂ Ｄ 的中点为 Ｐ ， 求证 ： 直线 Ｐ ＭＮ 的中点为 Ｑ ， Ｑ 平分 线段 Ａ Ｃ． Ｂ → Ｄ → ， 证明 设Ａ Ａ ＝ａ → ， Ｃ ＝μ ａ Ａ Ｃ 的中点为 ＝ ｂＡ １ → １ ， Ｅ → 则Ａ Ｅ， Ａ Ｃ ＝ μ ａ ＝ ２ ２ １ → １ Ｍ → Ａ Ａ Ｂ＝ ａ ． ＝ 图１ ２ ２ 由向量的定比分点公式得 ： → Ｄ → Ａ Ｃ ＋Ａ ａ＋ｂ， Ｎ → Ａ ＝ ＝μ ２ ２ → → Ａ Ｂ ＋Ａ Ｄ ａ＋ｂ， Ｐ → Ａ ＝ ＝ ２ ２ → → （ Ａ Ｍ ＋Ａ Ｎ １＋μ） ａ＋ｂ， Ｑ → Ａ ＝ ＝ ２ ４ （ －１ ） ａ＋ｂ， Ｑ → Ａ → Ｐ → Ｅ → 于是Ｐ Ｐ ＝ Ｑ －Ａ ＝ μ ＝ ４ （ －１ ） ａ＋ｂ， Ｅ → Ａ → Ｅ → ２Ｐ Ｑ →． 所以Ｐ Ａ － Ｐ＝ μ ＝ ２ 所以 Ｐ、 即直线 Ｐ Ｑ、 Ｅ 三 点 共 线， Ｑ 平分线 段Ａ Ｃ． 例 ２ （ 第２ ９ 届Ｉ ＭＯ 预 选 题 ） Ｂ Ｃ 中， Ａ Ｂ △Ａ 点 Ｅ、 ２， Ａ Ｃ ＝１ ６， Ｍ 为Ｂ Ｃ 的中点 ， Ｆ 分别在边 ＝１ 直线 Ｅ 若Ａ Ａ Ｃ 与Ａ Ｂ 上， Ｆ 与 ＡＭ 相交于Ｇ ， Ｅ＝
证明 如图 ６， 设Ａ Ｍ∶ → Ｍ Ｃ ＝Ｃ Ｎ ∶Ｎ Ｄ ＝λ， Ｂ Ａ＝ → ， ， 则由向量的定比 ａ Ｂ Ｃ ＝ｂ ｂ Ｍ → ａ＋λ 分点公式得Ｂ ． ＝ １＋λ 又 △Ａ Ｂ Ｄ、 Ｂ Ｃ Ｄ、 Ｂ Ｃ △ △Ａ 的 面积比为３ 所以Ｂ ４ １， Ｅ ∶ ∶
图６
Ｄ · → Ｄ Ｃ · → Ｄ → Ｂ 点公式得 ： Ａ Ａ Ｂ＋ Ａ Ｃ． ＝ Ｂ Ｃ Ｂ Ｃ Ａ Ｏ · → ， Ｏ → 又Ａ Ａ Ｄ 所以 ＝ ＡＤ Ａ Ｏ ·Ｂ Ｄ · → Ａ Ｏ ·Ｄ Ｃ · → Ｏ → Ａ Ａ Ｂ＋ Ａ Ｃ ＝ ＡＤ Ｂ Ｃ ＡＤ Ｂ Ｃ
Ｍ → ｘ＋λ ｙ， 点公式得Ｏ ＝ １＋λ Ｐ → Ｑ → ｘ ｃ ） ＋λＯ ＋ ＋λ（ Ｎ → Ｏ ｙ＋ｄ ， Ｏ ＝ ＝ １＋λ １＋λ Ｒ → → ） Ｓ ｘ＋ ｍ ｃ＋λ（ ｄ ＋λＯ Ｔ → Ｏ ｙ＋ｎ Ｏ ＝ ＝ １＋λ １＋λ ｄ， → Ｏ → Ｎ → ｃ＋λ Ｔ → Ｏ → 所 以ＮＭ Ｍ ＝ Ｍ －Ｏ ＝ ＝ Ｔ－ １＋λ ｃ＋λ ｄ， Ｍ → ｍ· → ｍ Ｍ → 于是 ， 所以ＮＭ Ｏ Ｍ、 Ｎ、 ＝ ＝ Ｔ ， １＋λ Ｔ 三点共线 ． 例 ８ 如图 ８ 所示 ， 分别 延长四边形 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 的边 Ａ Ｂ、 与Ａ Ｄ Ｃ， Ｄ、 Ｂ Ｃ 相 交 于 Ｅ、 Ｆ， Ｒ、 Ｓ、 Ｔ 分别是 Ａ Ｃ、 Ｂ Ｄ、 Ｅ Ｆ的 求证 ： 中点 ． Ｒ、 Ｓ、 Ｔ 三点共线 ． → Ｆ → ， 证明 设Ａ Ｅ Ａ ＝ａ 图８ ， 则存在实数λ、 ０ ＜λ， ＝ｂ μ（ → Ｄ → ） ， ， 使得Ａ Ｂ ＝λ ａ Ａ ｂ ． ＝μ μ ＜１ → → → → 设Ｄ 则由定比分点公 Ｃ Ｃ Ｅ， Ｂ Ｃ Ｃ Ｆ， ＝ ｍ ＝ｎ 式得 ： Ｄ → ｍ·Ａ Ｅ → Ａ ｍ ａ＋μ ｂ ＋ → Ａ Ｃ ＝ ＝ １＋ ｍ １＋ ｍ Ｂ → ｎ·Ａ Ｆ → Ａ ａ＋ｎ ｂ ＋ λ → Ａ Ｃ ＝ ＝ １＋ｎ １＋ｎ ① ②