三角形的定比分点公式及应用
三角形的定比分点公式及应用
三角形的定比分点公式及应用设在三角形ABC的边AB上，有两个点D和E，使得AD:DE:EB=m:n:p，其中m、n、p为正实数，且满足m+n+p=1、则称点D和点E是边AB上的定比分点。
应用：1.线段分点定比问题：已知两点A、B，找到两点之间的一个点P，使得AP:PB=m:n。
这个问题可以通过将线段AB看作三角形的一条边，然后应用定比分点公式来解答。
2.定比分点的证明：如果在三角形的边上有一个点是边的中点，则此点与边两端的点成1:1:1的定比分点。
证明如下：设在三角形ABC的边AB上有一点D是边AB的中点，即AD=BD，则AD:DE:EB=AD:AD:BD=1:1:1同理，三角形的另外两条边上也存在中点，可以利用定比分点公式得到其它的定比分点。
3.相似三角形的性质：如果在两个相似三角形的相应边上分别取定比分点，则这两个定比分点所确定的线段也是相似三角形的定比分点。
例如，在相似三角形ABC和DEF中，AB:DE=BC:EF=a，如果在边AB上取定比分点D和E，使得AD:DE:EB=m:n:p，则有BC:EF=AD:DE:EB=m:n:p=a。
即在三角形DEF中，BC是EF的定比分点。
4.解决长度比例问题：通过应用定比分点公式，可以解决与长度比例有关的数学问题。
例如，在已知等腰直角三角形ABC中，如果AD是边AC上的定比分点，即AD:DC=m:n，则可以根据定比分点公式求出在边AC上的偏距AD和线段AB、BC的长度。
5.解决面积比例问题：通过应用定比分点公式，可以解决与面积比例有关的数学问题。
例如，已知三角形ABC中，面积为S，若点D是边AB 上的定比分点，即AD:DB=m:n，则可以根据定比分点公式求出三角形ABD 和三角形ACD的面积，并据此计算出三角形ABC的面积。
总结起来，三角形的定比分点公式是一个重要的几何定理，它可以在解决线段或面积比例问题中起到重要的作用，能够推导出一些三角形的性质和关系。
定比分点坐标公式在解题中的应用
定比分点坐标公式在解题中的应用河北 陈庆新许多同窗可能已经能够熟练地应用有向线段的定比分点坐标公式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=λλλλ112121y y y x x x 及定比的坐标公式λ＝x －x 1x 2－x ，求解有向线段的定比分点坐标及定点分有向线段所成的比了．事实上用这两个公式，还可巧妙地用于解决其它一些问题．如用得好，会使解题进程显得别具一格，简捷明快，充分展现咱们思维的独创性．下面举例说明其解题中的应用． 一、在几何问题中的应用（一）关于公式的正用例1． 证明：三角形内角平分线分其对边之比等于夹那个角的两边长度之比．证明：以ΔOAB 的极点O 为原点，∠AOB 的平分线OC 因此直线为x 轴，成立平面直角坐标系如下图，设|OA|＝m ，|OB|＝n ，∠AOC ＝∠COB ＝θ，那么A(m cos θ，m sin θ)，B(n cos θ，－nsin θ)，设C 点分−→−AB 的所成的比为λ，由定比分点的坐标公式：m sin θ－λn sin θ1＋λ＝0，解之得，λ＝m n ，即|AC||CB|＝|OA||OB|．点评：本例的结论在解题中有着很多的应用。
请看下面的例子。
例2．已知△ABC 三个极点的坐标别离为A(－1，1)，B(3，1)，C(2，5)，角A 的内角平分线交对边于D ，那么向量AD −−→的坐标为 ．解析：容易计算|AB −−→|＝4，|AC −−→|＝5。
依照三角形内角平分线的性质知：ABAC＝BD DC ，于是可知点D 分有向线段BC −−→所成的比为45，从而由定比分点坐标公式可求得点D 的坐标（239，259），于是AD −−→＝（329，169）．例3．已知三点A(1，2)、B(4，1)、C(3，4)，在线段AB 上取一点P ，使过P 且平行于BC 的直线把△ABC 的面积分成4∶5两部份，求点P 的坐标．A C OBx y解析：由题意得：ABCAPQ S S ∆∆＝2⎪⎭⎫ ⎝⎛AB AP ＝49．因此AP AB ＝23，即−→−AP ＝2−→−PB ，λ＝2，设P(x ，y )，那么x ＝1＋2×41＋2＝3，y ＝2＋2×11＋2＝43．因此P 点的坐标为(3，43)．例4．已知在△ABC 中，BC ＝a ，CA ＝b ，AB ＝c ，且A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)、C(x 3，y 3)，求△ABC 的内心坐标．解析：设I 为△ABC 的内心，AD 为∠A 的平分线，那么AB AC ＝BD DC ＝cb ，∴点D 分−→−BC 所成的比为cb ，∴由定比分点的坐标公式可求得D 点的坐标：x D ＝x 2＋c b ×x 31＋c b＝bx 2＋cx 3b ＋c，y D ＝by 2＋cy 3b ＋c．又AI ID ＝AB BD ＝AC CD ，∴AI ID ＝AB ＋AC BD ＋CD＝b ＋ca ，即点I 分−→−AD 所成的比b ＋c a ． ∴xI＝acb c b cx bx a c b x ++++⋅++1321＝ax 1＋bx 2＋cx 3a ＋b ＋c ，同理yI＝ay 1＋by 2＋cy 3a ＋b ＋c ．∴△ABC 的内心坐标为(ax 1＋bx 2＋cx 3a ＋b ＋c ，ay 1＋by 2＋cy 3a ＋b ＋c)．（二）公式的逆用例5．已知一次函数y ＝－mx －2图象与线段AB 有交点，假设A(－2，3)、B(3，2)，求实数m 的取值范围．解析：设一次函数的图象直线l 交AB 于点P(x ，y )且−→−AP ＝λ−→−PB (λ≥0)，当λ＝0时，直线过A 点，那么由定比分点坐标公式知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++-=λλλλ123132y x ，又因P 在直线l 上，故m ·－2＋3λ1＋λ＋3＋2λ1＋λ＋2＝0，解得：λ＝2m －53m ＋4≥0，从而m ≥52或mACBDI＜－43．又当点P 与点B 重合时符合题意，因此将B(3，2)代入直线l 的方程，求得m ＝－43．故m 的取值范围为m ≥52或m ≤－43．本例能够推行为：已知定点P 1（x 1，y 1）、P 2(x 2，y 2)及直线l ：A x ＋B y ＋C=0，设直线l 与直线P 1P 2相交于点P ，求证：点P 分有向线段12P P −−→所成的比λ＝－A x 1+B y 1+CA x 2+B y 2+C．略解：设点P 分有向线段12P P −−→所成的比λ，由定比分点坐标公式可求得点P的坐标为：121211x x x y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，将点P 的坐标代入直线l 的方程：A 121x x λλ++＋B 121y y λλ++＋C=0，整理得：（A x 1＋B y 1＋C ）＋λ(A x 2＋B y 2＋C)=0，解之得：λ＝－A x 1+B y 1+CA x 2+B y 2+C ．点评：假设利用那个结论来解答一下例5，就显得超级简捷：设点P(x ，y )分有向线段AB −−→所成的比为λ，则λ＝－A x 1+B y 1+CA x 2+B y 2+C ＝－－2m ＋3＋23m ＋2＋2＝2m －53m ＋4，因为P 为内分点，因此λ＝2m －53m ＋4≥0，解之得：m ≥52或 m ＜－43，当直线l 过点B时，有m ＝－43．综上知：m ≥52或m ≤－43． 二、在代数问题中的应用 （一）、解不等式例6．解不等式2－x1＋3x≥1．解析：令y ＝2－x 1＋3x －1≥0，那么x ＝1－y 4＋3y＝14＋3y 4×(－13)1＋3y 4，且y ≥0，于是此问题可转化为：数轴上以P 1(14)为起点，P 2(－13)为终点，定比λ＝34y ≥0时，求分点P 的坐标x 的范围问题．由λ＝34y ≥0知点P 为有向线段−→−21P P 的内分点，或与点P 1重合，故应有－13＜x ≤14．例7． 解不等式1＜x 2－2x －1x 2－2x －2＜2．解析：在数轴上取P 1，P ，P 2点依次表示1，x 2－2x －1x 2－2x －2，2，由−→−P P 1＝λ−→−2PP 得λ＝1x 2－2x －3，因为P 内分有向线段−→−21P P ，因此λ＞0，即x 2－2x －3＞0，解之即得原不等式的解集为：{x |x ＜－1或x ＞}3． （二）、求函数的值域例8． 求函数y ＝1＋3x ＋11－x ＋1的值域．解析：令λ＝－x ＋1，那么λ≤0，依题意有y ＝－1＋λ(－3)1＋λ，依照上式可知λ为点P(y )分有向线段−→−21P P 所成的比，其中P 1(1)、P 2(－3)，于是函数y 为分点P 的坐标，由定比的坐标公式：λ＝x －x 1x 2－x ＝y －1－3－y≤0，解之得y ＜－3或y ≥1．即原函数的值域为(－∞，－3)∪[1，＋)∞．例9．求函数y ＝e x －1e x ＋1的反函数的概念域．解析：问题等价于求原函数的值域．令λ＝e x ＞0，P 1(－1)，P(y )，P 2(1)，那么y ＝e x －1e x ＋1＝－1＋e x ·11＋e x ＝－1＋λ1＋λ，∵λ＞0，∴P 为有向线段−→−21P P 的内分点，∴－1＜y ＜1，故原函数的值域为(－1，1)，即其反函数的概念域为(－1，1)．例10．求函数y ＝x 2－x ＋1x 2＋x ＋1(1＜x ＜)3的值域．解析：将原函数式变形为：y ＝x 2－x ＋1x 2＋x ＋1＝－1＋(x ＋1x )·11＋(x ＋1x )，设P 1(－1，0)、P 2(1，0)，λ＝x ＋1x ，其中1＜x ＜3．由函数λ＝x ＋1x 的单调性可求得，2＜λ＜103．又当λ＝2时，y ＝13；λ＝103时，y ＝713，因此所求函数的值域为(13，713)． （三）、求函数的解析式例11．二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图像通过点(－1，0)且x ≤f (x )≤12(x 2＋1)，对一切实数x 都成立，求f (x )．解析：因为当x ∈R ，总有x ≤f (x )≤12(x 2＋1)，为此不妨设P 1(x )、P[f (x )]、P 2(x 2＋12)为数轴上三点，那么−→−P P 1＝λ−→−2PP ，其中λ≥0，于是由定比分点坐标公式得： f (x )＝ x ＋λ·x 2＋121＋λ，又因为y ＝ f (x )通过点(－1，0)，代入上式得，0＝－1＋λ1＋λ，解得λ＝1，再将λ＝1代入f (x )＝ x ＋λ·x 2＋121＋λ得，f (x )＝ 14x 2＋12x ＋14．（四）、用于处置三角问题例12． 证明：y ＝2sin x ＋12sin x －1的值不在区间(13，3)内．证明：①当sin x ＝1时，y ＝3∉(13，3)； ②当sin x ＝－1时，y ＝－1∉(13，3)；③当sin x ≠±1时，将P(y )视为数轴上的点A(13)与B(3)的分点，由定比的坐标公式：λ＝x －x 1x 2－x ，得λ＝y －133－y ＝sin x ＋13(sin x －1)＜0，即点P(y )为有向线段−→−AB 的外分点，故有y ∉(13，3)． 综上可知，y ＝2sin x ＋12sin x －1的值不在区间(13，3)内．（六）、用于解决数列问题数列是概念在正整数集上的特殊函数．而等差数列的通项公式为：a n ＝a 1＋(n －1)d ＝dn ＋(a 1－d )为变量n 的一次函数(d ≠0)，其图象为直线．故而有A(m ，a m )、B(n ，a n )、C(p ，a p )三点共线(其中a m 、a n 、a p 别离为项数是m 、n 、p 的数列中的项)．为此咱们把C 视为−→−AB 的一个定比分点，那么有λ＝p －mn －p，a p＝a m ＋λa n 1＋λ．例13 ．在3与19之间插入31个数，使它们成等差数列，求通项公式． 解析：设通项为a n ，令点P(n ，a n )分A(1，a 1)，B(33，a 33)两点连成的线段所成的比为λ，那么有λ＝n －133－n ，又由题意，a 1＝3，a 33＝19，于是有a n ＝a 1＋λa 331＋λ＝3＋n －133－n ×191＋n －133－n ＝12n ＋52． 即通项a n ＝12n ＋52．命题2． 设数列{ a n }是等差数列，S n 是数列的前n 项和，其中S P 、S m 、S n 知足λ＝p －m n －p (λ≠－1)，那么S m m ＝S p p＋λS n n1＋λ．例14． 设S n 是等差数列的前n 项和，已知S 10＝100，S 100＝10，求S 110． 解析：取λ＝110－10100－110＝－10，那么S 110110＝S 1010＋λS 1001001＋λ ＝10010＋(－10)101001＋(－10) ＝－1，因此S 110＝－110．。
定比分点公式的三大应用
定比分点公式的应用线段的定比分点坐标公式：设P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2）是平面内两个定点，点P 0（x 0，y 0）分有向线段12PP u u u u r所成的比为λ，则有 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=λλλλ11210210y y y x x x （λ≠－1） 而 01012020x x y y x x y y λ--==--特别地，当点P 0为内分点或者与点P 1重合时，恒有λ≥0，当点P 为外分点时，恒有λ＜0（λ≠－1）。
定比分点公式揭示了直线上点的位置与数量变化之间的转化关系。
灵活应用这个公式，可使解题过程简洁明快，充分展现思维的独创性。
下面举例说明它在解题中的应用。
一、用于求解数值的范围例2.已知,0,1,a b c c <<≠-a+bcx=且1+c求证：[,]x a b ∉。
证明：设(),(),()A a B b P x 是数轴上的三点，P u u r是AB 的定比分点，则定比P ∴u u r是AB 的外分点，则 [,]x a b ∉。
二、用于解决不等式问题 例1.已知1,1a b <<，求证：11a bab+<+。
证明：设(1),(1),()1a bA B P ab+-+是数轴上的三点，P λu u r 分AB 的比是，则1,10,a b P λ<<∴>Q 是u u rAB 的内分点，1a bab+∴+在-1与1之间，即11a b ab +<+。
定比分点公式的类比推理从定比分点公式的结构形式来看，它与平面几何中的平行于梯形、三角形底边的截线问题，立体几何中的平行于柱、锥、台底面的截面问题以及数列中的通项公式、前n 项和与项数n 的关系等问题，具有很明显的相似之处。
1．平面几何中的定比分点：命题1：设梯形ABCD 的上、下底边长分别为l 1、l 2 若平行于底边的截线EF 把梯形的腰（高）分成上、下两部分之比为λ（λ≠-1），则EF 的长l=λλ++121l l (λ≥0)。
初中数学知识归纳三角比的应用
初中数学知识归纳三角比的应用初中数学知识归纳：三角比的应用三角比是初中数学中重要且常见的知识点，它在实际问题中有着广泛的应用。
本文将归纳总结三角比的应用场景，帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。
一、角度的测量在三角比的应用中，角度的测量是一个基础和必要的环节。
角度的测量方法有两种：度和弧度。
在初中数学中，通常使用度来测量角度。
比如，在平面几何中，我们经常需要计算两条直线之间的夹角，通过三角比，我们可以得到夹角的具体数值。
这样，我们可以运用三角比来解决许多几何问题，如计算三角形的边长、角度等。
二、直角三角形的应用直角三角形是指具有一个直角（90°）的三角形。
在三角比的应用中，直角三角形是最基础的情况。
直角三角形的三条边之间，有着特定的关系，即正弦、余弦和正切三角比。
通过记忆这些关系，我们可以在实际问题中迅速解决相关计算。
例如，我们在测量一座房子的高度时，可以利用直角三角形的概念，通过测量房子和测量仪的距离以及仪器的角度，利用正切比例关系计算出房子的高度。
这种方法可以避免我们直接爬上房顶进行测量，既简便又安全。
三、斜角三角形的应用在实际问题中，我们往往遇到的是斜角三角形，即没有直角的三角形。
处理斜角三角形问题时，我们可以利用已知条件，通过正弦、余弦和正切三角比的定义来求解。
例如，我们在测量一棵树的高度时，如果无法直接测量到树的高度和距离，但可以测量到与树底部水平的一段距离和观察到的与树顶部的角度，我们可以利用正弦定理得出树的高度，从而求解树的实际高度。
四、角的平分线角的平分线是指将一个角分成两个相等的角的直线。
在三角比的应用中，我们可以利用角的平分线来解决一些问题。
例如，在三角函数的证明中，我们经常需要将一个角分成两个相等的角，从而简化问题，利用三角比的性质进行进一步推导。
这种方法可以大大简化解题过程，提高计算准确性。
五、图形的相似性在几何图形的相似性比较中，我们可以应用三角比的概念来验证和计算两个图形的相似性。
中考知识点三角比的计算
中考知识点三角比的计算三角比是中考数学中的重要知识点之一，它涉及到角的度量、相似三角形以及三角函数的计算等内容。
熟练掌握三角比的计算方法对于解题起到至关重要的作用。
本文将介绍三角比的计算方法，并以实例进行详细说明。
一、角度与弧度的转换在进行三角比的计算过程中，常常需要将角度转化为弧度或将弧度转化为角度。
为了方便起见，我们一般以弧度为单位，进行计算。
当需要将角度转化为弧度时，可以使用如下公式：弧度 = 角度× π/180当需要将弧度转化为角度时，可以使用如下公式：角度 = 弧度× 180/π二、正弦、余弦、正切函数的计算1. 正弦函数（sin）的计算正弦函数是指任意角的正弦值与其对边与斜边的比值。
设直角三角形中的一个锐角为α，则正弦函数的计算公式为：sin(α) = 对边/斜边2. 余弦函数（cos）的计算余弦函数是指任意角的余弦值与其邻边与斜边的比值。
设直角三角形中的一个锐角为α，则余弦函数的计算公式为：cos(α) = 邻边/斜边3. 正切函数（tan）的计算正切函数是指任意角的正切值与其对边与邻边的比值。
设直角三角形中的一个锐角为α，则正切函数的计算公式为：tan(α) = 对边/邻边三、实例演示下面我们以一个实例来演示如何计算三角比。
例：已知直角三角形的直角边长分别为3cm和4cm，求其正弦、余弦和正切值。
解：根据给定的直角边长，可以计算出斜边的长度为5cm。
接下来进行计算：正弦值sin(α) = 对边/斜边= 3/5 ≈ 0.6余弦值cos(α) = 邻边/斜边 = 4/5 = 0.8正切值tan(α) = 对边/邻边 = 3/4 = 0.75四、总结通过以上的论述和实例演示，我们可以看出，三角比的计算方法是基于角度的正弦、余弦、正切函数的性质推导得出的。
对于中考数学中有关三角比的计算题目，我们需要熟练掌握角度与弧度的转换方法，并能灵活运用正弦、余弦、正切函数的计算公式。
定比分点公式的推导和应用教案
定比分点公式的推导和应用教案一、定比分点公式的推导1.准备工作设有一线段AB，要在这一线段上找到一个点P，使得AP:PB等于一个给定比m:n（即AP/PB=m/n）。
2.推导过程根据题意，已知AP:PB=m:n，设AP=mx，PB=nx，其中x为线段AB的一个长度单位。
由于AP+PB=AB，所以mx+nx=AB，即x(m+n)=AB，由此得到x=AB/(m+n)。
所以AP=mx=ABm/(m+n)，PB=nx=ABn/(m+n)，因此点P的划分坐标为m/(m+n)和n/(m+n)。
3.定比分点公式根据上述推导过程得出：如果AP:PB=m:n，那么点P在线段AB上的划分坐标为m/(m+n)和n/(m+n)。
这就是定比分点公式。
二、定比分点公式的应用教案1.教学目标通过本教案的学习，学生能够掌握定比分点公式的推导过程，并能够灵活应用该公式解决实际问题。
2.教学过程（1）引入：教师出示一张图片，上面有一个线段AB和一个点P，问学生如何确定点P在线段AB上的位置，引导学生思考定比分点的概念。
（2）讲解：教师简要讲解定比分点公式的推导过程，并通过具体的数值例子来说明公式的应用。
（3）练习：教师出示几道具体的定比分点问题，供学生自主尝试解答，并在学生完成后进行讲解和讨论。
（4）拓展：教师提供更加复杂的定比分点问题，让学生运用定比分点公式进行解答，并逐步引导学生思考如何将定比分点应用到解决实际问题中。
（5）总结：教师与学生一起总结定比分点公式的推导过程和应用方法，并强调定比分点在工程、地理等领域的实际应用价值。
3.巩固练习让学生在课后完成一些相关的定比分点练习题，并在下节课开始前收集起来，以检查学生的学习情况。
4.课后作业布置一些与定比分点相关的作业题，要求学生运用定比分点公式进行解答，并在下节课上进行检查和讲解。
三、教学反思本教案通过引导学生思考和讲解推导过程，使学生能够理解并掌握定比分点公式的应用方法。
通过练习和拓展，学生逐渐培养了运用定比分点公式解决实际问题的能力。
高中数学专题复习 提优点3 爪形结构与分角定理、张角定理
知识拓展
即t＋1－q＋t 1B→A＋nt＋＋11A→C＋mm－1C→B＝0. 注意到B→A＋A→C＋C→B＝0，且B→A，A→C，C→B两两方向不同， 故有 t＋1－q＋t 1＝nt＋＋11＝mm－1. 由nt＋＋11＝mm－1可知 t＝m（mn－＋11）－1， 将其代入 t＋1－q＋t 1＝mm－1，整理可得 qmn＝1，即||FABF||·||BDDC||·||ECAE||＝1.]
(2)延长 OP 与 AB 交于点 D，用 a、b 表示向量P→D.
由塞瓦定理得OMMA·ADDB·NBNO＝1，即21·ADDB·31＝1， ∴ADDB＝23，下面只要求出 P 分 OD 的比即可. △OAD 被直线 MPB 所截，由梅涅劳斯定理，得OMMA·BADB·DPOP＝1， 即12×35·DPOP＝1，∴DPOP＝65. ∴P→D＝161O→D＝16135O→A＋25O→B＝1585O→A＋1525O→B.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
训练1
(1)如图，在△ABC 中，点 O 是 BC 的中点，过点 O 的直线 分别交直线 AB，AC 于不同的两点 M，N，若A→B＝mA→M，A→C
＝nA→N，则 m＋n 的值为___2_____.
因为 2A→O＝A→B＋A→C＝mA→M＋nA→N， 由于 M，O，N 三点共线，所以 m＋n＝2.
知识拓展
则有A→E＝n＋1 1A→C，B→F＝q＋1 1B→A，B→D＝mm－1B→C，① 因为 D、E、F 三点共线， 所以(t＋1)B→E＝tB→F＋B→D. 又因为B→E＝B→A＋A→E， 从而(t＋1)B→A＋(t＋1)A→E＝tB→F＋B→D，② 当①代入②，可得(t＋1)B→A＋nt＋＋11A→C＝q＋t 1B→A＋mm－1B→C，
中考考点三角比的计算角度与边长的关系与应用
中考考点三角比的计算角度与边长的关系与应用三角比是中考数学中一个常见而重要的知识点，它涉及到三角形的角度和边长之间的关系及其应用。
了解和掌握三角比的计算方法，对于解决与三角形相关的问题至关重要。
本文将介绍三角比的概念，讨论如何计算角度与边长的关系，并举例说明其在实际问题中的应用。
一、三角比的概念在解释三角比之前，先给出三角形的定义：三角形是由三条线段组成的图形，在几何学中占有重要地位。
根据三条线段的长度关系，我们可以将三角形分为三类：等边三角形、等腰三角形和一般三角形。
三角比是指在一个特定的三角形中，三角形的一条边和另一边之间以及这两条边所夹角的比值关系。
常用的三角比包括正弦比、余弦比和正切比，它们的定义如下：1. 正弦比（简称正弦）：正弦是三角形的斜边长度与斜边所对应的角的正弦值的比值。
记作sin，计算公式为sinA = 直角边/斜边。
2. 余弦比（简称余弦）：余弦是三角形的两条直角边之一与斜边的比值。
记作cos，计算公式为cosA = 邻边/斜边。
3. 正切比（简称正切）：正切是三角形的两条直角边之一与另一条直角边的比值。
记作tan，计算公式为tanA = 邻边/直角边。
根据三角比的定义，我们可以轻松地计算角度与边长之间的关系，从而应用到各种实际问题中。
二、角度与边长的计算关系1. 已知两边长度，求夹角的计算方法假设在一个三角形ABC中，已知边AB的长度为a，边AC的长度为b，要求计算夹角C的大小。
可根据余弦定理进行计算。
余弦定理表达式为：c^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cosC。
通过整理上述方程，可得余弦C的值：cosC = (a^2 + b^2 - c^2) / 2ab。
然后，可利用反余弦函数求得C的大小：C = arccos((a^2 + b^2 - c^2) / 2ab)。
2. 已知夹角，求边长的计算方法假设在一个三角形ABC中，已知夹角C的大小为C°，要求计算边AB的长度。
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三角形的定比分点公式及应用
河南驻马店 郭新华
本文从有向面积的定义推导出三角形的定比分点公式及其推论，并揭示该公式和梅涅劳斯定理，塞瓦定理，凡·奥贝尔公式以及调和点列公式的内在关系，同时举例说明其应用。
1. 预备知识
定义 三角形的有向面积是指通常所知的面积大小加上正负号。
当三个顶点逆时针排列时有向面积为正，反之为负，三点共线时为零。
为简化叙述，约定AB 表示有向线段AB 的数量，ABC ∆表示△ABC 的有向面积。
由定义，△ABC 的有向面积表达式有下列关系：
ABC ∆=BCA ∆=CAB ∆=BAC ∆-=ACB ∆-=CBA ∆-.
对于△ABC 所在平面上任意点P ，AP 的连线交边BC 所在直线于D ，如图1-1，图1-2所示，有
PCA PBC PAB ABC ∆+∆+∆=∆ .
及
AD
PD
ABC PBC =∆∆ 2. 三角形的定比分点公式
设点P 在△ABC 所在平面上，直线AP ，BP ，CP 分别交边BC ，CA ，AB 所在直线于D ，E ，F ，如图2-1，图2-2所示，则
111
11113
21=+++++λλλ （1） 其中PD AP =1λ，PE BP
=2λ，PF
CP =3λ.
证明：因为
AD PD ABC PBC =∆∆PD AP PD +=1
11
λ+= 类似地 BCA PCA ∆∆211λ+=，CAB PAB ∆∆3
11
λ+=.
所以321111111λλλ+++++=ABC PBC ∆∆+BCA PCA ∆∆+CAB
PAB ∆∆=1 变形1
21113
32211=+++++λλλλ
λλ （2） 变形2 3213212λλλλλλ=+++ （3） 式（1）展开既得式（3）
3 三角形的定比分点公式的推论
如图2-1所示，当点P 在△ABC 内时，321λλλ，，均为正数， 记 321λλλ++=U ，
313221λλλλλλ++=V ， 321λλλ=W .
则有如下推论： 推论1 321λλλ++≥6. 证明：由3211111111λλλ+++++=
≥3
2139
λλλ+++ ⇒321λλλ++≥6. 记为 U ≥6
推论2 321λλλ≥8，记为W ≥8， 由式（3）和推论1可得 推论3
3
2
1
1
1
1
λλλ+
+
≥2
3
证明 由（332211111λλλλλλ+++++）（3
3
2211111λλλλλλ+++++）≥9 ⇒
3
211
11
λλλ++≥2
3
133221λλλλλλ++≥3212
3
λλλ 记为 V ≥2
3W
推论4 313221λλλλλλ++≥）（3212λλλ++
证明 对于任意的正数a ，b ，c ，由熟知的不等式 ）（a c b -+）（b a c -+）（c b a -+≤abc . 令a c b 1+=
λ，b a c 2+=λ，c
b
a 3+=λ， 则有 ）（1-1λ）（1-2λ）（1-3λ≤1
又 1λ，2λ，3λ满足式（1） 将上式展开即得推论4. 记为 U ≥2V
推论5 321λλλ）（321λλλ++≥4）（133221λλλλλλ++
证明 因为（
3
32211111λλλλ
λλ+++++）[）
（）（）（332211111λλλλλλ+++++] ≥2
321）（λλλ++
⇔）
（3212322212λλλλλλ+++++≥2
321）（λλλ++ ⇔）
（3213322212λλλλλλ+++++≥2）（313221λλλλλλ++ ⇔）（）（3212
3212λλλλλλ+++++≥4）（313221λλλλλλ++
⇔321λλλ）（321λλλ++≥2）（313221λλλλλλ++
记为 UW ≥4V 或V 2+2U ≥4V 推论6 1
33
22
11
1
1
λλλλλλ+
+
≤2
3
⑤
证明 令a c b 1+=
λ，b a c 2+=λ，c
b
a 3+=λ，a ，
b ，
c ＞0，则 a)
(c c b ab 1
2
1++=
）（λλ≤）（a c a
c b b 21+++ 类似的
3
21
λλ≤）
（
b
a b
a c c 21+++ 1
31
λλ≤）
（
c
b c
b a a 21+++ 以上三式相加即得推论6.
推论7 6321+++λλλ≥）（1332212λλλλλλ++ 证明 3
322111112λλλλ
λλ+++++=
≥3
212
3213λλλλλλ+++++）
（
⇒ 6321+++λλλ≥）（1332212λλλλλλ++ 推论8 21λλ≥
12
3
+λ，32λλ≥
12
1
+λ，13λλ≥
12
2
+λ.
证明 由321λλλ=2321+++λλλ，得
21
-32321++=λλλλλ）（ ⇒））（1(1-32321
+λλλλλ≥）1(232+λλ ⇒）（1-321
λλλ≥2 ⇒32λλ≥
12
1
+λ.
类似的可证其余两个。
以上结果仅仅是三角形定比分点公式的基本推论，结合常见的不等式还可推导出许多结论，这里不再赘述。
4.三角形的定比分点公式和几个定理公式的关系
如图2-1，所示图2-2，令α=FB AF ，β=DC BD
，γ=EA
CE . 由塞瓦定理，有1=αβλ.
又CF 截△ABD ，由梅涅劳斯定理，有
1-=⋅⋅PA DP CD BC FB
AF
则 )1(DC
BD
FB AF DC BC FB AF PD AP +=⋅= 即 ）（βαλ+=11
同理 ）（γβλ+=12，）（αγλ+=13 塞瓦定理和梅涅劳斯定理结合，易得
γ
αλ1
1+
=，α
βλ12+=，β
λλ1
3+
=
即
EC AE FB AF PD AP +=,FA BF DC BD PE BP +=,DB
CD
EA CE PF CP +=. 由此可知
已知α，β，γ，1λ，2λ，3λ和R λ，S λ，T λ，九个参量中的两个，
可推导出其余七个.
参考文献
[1] A.；洛普希兹[苏联青年科学丛书].19.《有向面积的计算》.
[2]《近代欧氏几何学》[美]约翰逊著单墫译.。