高考数学定比分点与向量中常见的结论

教案5：定比分点与向量中常见的结论一、课前检测1.（丰台一模理6）在平面直角坐标系xOy 中作矩形OABC ,已知3,4==AB OA ,则AC → ·OB →的值为（ D ）（A ）0 （B ）7 （C ）25 （D ）7-2.（宣武一模理4）已知两个向量a =（1，2），b =（x ，1），若（a+2b ）//（2a —2b ），则x 的值是（ C ）A.1B.2C.21D.313.设向量(1,1)a x =-，(3,1)b x =+，则“2x =”是“a b ⊥”的（ A ） （A ）充分但不必要条件 （B ）必要但不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件二、知识梳理1.线段定比分点公式：如图，设→--→--λ=21PP P P . （注：终分，分起→→）1）则定比分点向量式：→--→--→--+++=21111OP OP OP λλλ 2）定比分点坐标式：设P （x,y ）（分点），P 1（x 1,y 1）（起点），P 2（x 2,y 2）（终点）。

则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧λ+λ+=λ+λ+=1y y y 1x x x 2121特例：当λ=1时，就得到中点公式：)OP OP (21OP 21→--→--→--+=，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=2y y y 2x x x 211211实际上，对于起点相同，终点共线三个向量→--OP ，1OP →--，2OP →--（O 与P 1P 2不共线），总有→--OP =u 1OP →--+v 2OP →--，u+v=1，即总可以用其中两个向量的线性组合表示第三个向量，且系数和为1。

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=.2,22121y y y x x x ？（三角形内角平分线定理） 解读：2.设OA 、OB 不共线，点P 在AB 上，则OP =λOA +μOB 且λ+μ=1，λ、μ∈R.①OA ，OB 不共线，若OP =λOA +μOB ，且λ+μ=1，λ∈R ，μ∈R ，求证：A 、B 、P 三点共线.提示：证明AP 与AB 共线.②当λ=μ=21时，OP =21（OA +OB ），此时P 为AB 的中点，这是向量的中点公式. 解读：3．已知向量起点与终点坐标，求向量的坐标：向量坐标与点坐标的关系：当向量起点在原点时，定义向量坐标为终点坐标，即若A(x ，y)，则→--OA =（x,y ）；当向量起点不在原点时，向量→--AB 坐标为终点坐标减去起点坐标，即若A （x 1,y 1）、B （x 2,y 2），则→--AB =(x 2-x 1,y 2-y 1) 解读：4.向量模的坐标形式：︱︱2211a a x y ∙+解读：5.求向量的夹角：cos θ=a b a b∙∙122x x y ⋅+注：,a b 〈〉为锐角0a b ⇔⋅>,,a b 不同向；,a b 〈〉为直角0a b ⇔⋅=；,a b 〈〉为钝角0a b ⇔⋅<,,a b不反向. 解读：6.平面两点间的距离公式：已知A （x 1,y 1）、B （x 2,y 2）,A B d =||AB AB AB =⋅=解读：7.与向量→a 同向的单位向量：→→→=aa e ；与向量→a 平行的单位向量：→→→±=aa e 。

与向量y)(x,a =→平行的单位向量为：)y x y ,y x x (2222++±与向量y)(x,a =→垂直的单位向量为：)yx x ,yx y (-2222++±。

解读：8.三角形的五个“心”： 重心：三角形三条中线交点.外心：三角形三边垂直平分线相交于一点. 内心：三角形三内角的平分线相交于一点. 垂心：三角形三边上的高相交于一点.旁心：三角形一内角的平分线与另两条内角的外角平分线相交一点. 解读：9.三角形中向量性质：① 1）AB AC +过BC 边的中点.2）||||||||()()AB AC AB AC AB AC AB AC +⊥-；②13()0PG PA PB PC GA GB GC G =++⇔++=⇔为ABC ∆的重心；③PA PB PB PC PA PC P ⋅=⋅=⋅⇔为ABC ∆的垂心；④||||||0BC PA CA PB AB PC P ++=⇔为ABC ∆的内心；||||()(0)AB AC AB AC λλ+≠所在直线过ABC ∆内心.解读：10.（1）)c b (a c )b a (→→→→→→∙∙≠∙∙；（2）c b b a⋅=⋅c a=.但可以推出：→→→⊥b )c -a (。

解读：11.三角形重心坐标公式：△ABC 的顶点()()()332211,,,,,y x C y x B y x A ，重心坐标()y x G ,：)3,3(321321y y y x x x ++++ 注意：在△ABC 中，若0为重心，则=++，这是充要条件. 解读：12.三角形五“心”向量形式的充要条件 设O 为ABC ∆所在平面上一点，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，则（1）O 为ABC ∆的外心222OA OB OC ⇔==. （2）O 为ABC ∆的重心0OA OB OC ⇔++=.（3）O 为ABC ∆的垂心OA OB OB OC OC OA ⇔⋅=⋅=⋅. （4）O 为ABC ∆的内心0aOA bOB cOC ⇔++=. （5）O 为ABC ∆的A ∠的旁心aOA bOB cOC ⇔=+. 解读：13.设→1e 、→2e 是平面内不共线的两向量，→→→+=2111e e a μλ，→→→+=2212e e b μλ，若b a//，则0-1221=μλμλ。

解读：14.设→1e 、→2e 是平面内不共线的两向量，⎩⎨⎧==⇔+=→→→0e e 0212111λλλλ 解读：15.不共线向量无除法运算。

解读： 16.首尾相接的向量之和：→→→→→→==++++1n n 1n 1-n 433221A A -A A A A ......A A A A A A解读：17.在∆ABC 中，→→→→=++0CA BC AB 解读：18.直线0C By Ax l =++：的方向向量有无数个。

其中，（1，k ）与)sin ,(cos θθ是较特殊的两个。

θ为直线的倾斜角、k 为直线的斜率。

解读：19.重要结论：1）F 1P → ＝λF 1Q →，则三点1F 、P 、Q 共线。

2）若⇔+=→→→)OB OA (21OP 点P 为AB 的中点。

解读：20.四边形中的向量问题：1）平行四边形两对角线的平方之和等于四边平方之和。

即)b a 2(b -a b a 2222→→→→→→+=++2）在四边形ABCD 中，若⇔=→→DC AB 四边形ABCD 为平行四边形。

注：若在平面中，若→→=DC AB ，则推不出ABCD 为平行四边形，有可能四点共线。

3）在四边形ABCD 中，若→→=DC AB ，且→→=AD AB ，则四边形ABCD 为菱形。

4）在四边形ABCD 中，若0)AD AB ()AD -AB (=+∙→→→→，则四边形ABCD 为菱形。

5）在四边形ABCD 中，若1)(DC AB ≠=→→λλ，则四边形ABCD 为梯形。

6）在四边形ABCD 中，若→→=DC AB ，且0AD AB =∙→→，则四边形ABCD 为矩形。

7）在四边形ABCD 中，若→→→→=+AD -AB AD AB ，则四边形ABCD 为矩形。

解读：三、典型例题分析例1 已知A （-1，2），B （2，8），AC =31AB ，DA = -31BA ，求点C 、D 和向量CD 的坐标．分析：待定系数法设定点C 、D 的坐标，再根据向量AC AB ，DA 和CD 关系进行坐标运算，用方程思想解之．解：设C 、D 的坐标为),(11y x 、),(22y x ，由题意得=（2,111-+y x ），=（3，6）， =（222,1y x ---），=（-3，-6）又AC =31AB ，DA = -31BA ∴（2,111-+y x ）=31（3，6）， （222,1y x ---）=-31（-3，-6）即 (2,111-+y x )=(1,2) ， (222,1y x ---)=(1,2) ∴111=+x 且221=-y ，112=--x 且222=-y ∴01=x 且41=y ，且22-=x 02=y∴点C 、D 和向量 的坐标分别为（0，4）、（-2，0）和（-2，-4） 小结：本题涉及到方程思想，对学生运算能力要求较高．变式训练1 已知点(2,3),(1,1)M N --，点1(,)2P x 在线段M N 的中垂线上，则点P 的横坐标x 的值是（ ）A. 52- B. 32- C. 72- D. 3-小结与拓展：例 2 已知一个平行四边形ABCD 的顶点9(,7),(2,6)2A B --，对角线的交点为3(3,)2M ，则它的另外两个顶点的坐标为 ．变式训练2 已知P 1(3,2)，P 2（8，3），若点P 在直线P 1P 2上，且满足|P 1P|=2|PP 2|，求点P 的坐标。

错解：由|P 1P|=2|PP 2|得，点P 分P 1P 2所成的比为2，代入定比分点坐标公式得P （38,319） 错因：对于|P 1P|=2|PP 2|这个等式，它所包含的不仅是点P 为 P 1，P 2 的内分点这一种情况，还有点P 是 P 1，P 2的外分点。

故须分情况讨论。

正解：当点P 为 P 1，P 2 的内分点时，P 分P 1P 2所成的比为2，此时解得P （38,319）； 当点P 为 P 1，P 2 的外分点时，P 分P 1P 2所成的比为-2，此时解得P （13，4）。

则所求点P 的坐标为（38,319）或（13，4）。

点评：在运用定比分点坐标公式时，要审清题意，注意内外分点的情况。

也就是分类讨论的数学思想。

变式训练3 若点P 分AB 所成的比为34，则A 分BP 所成的比为（ ）A. 37B. 73C. 73- D. 37-变式训练4 设线段12P P 的长为5cm ，写出点P 分有向线段12PP 所成的比为λ（1）点P 在线段12P P 上，11PP cm =，则λ=______.（2）点P 在12P P 的延长线上，21P Pcm =，则λ=______.（3）点P 在12P P 的反向延长线上，11PP cm =，则λ=______.小结与拓展：例3 已知三角形ABC的三个顶点为(1,2),(4,1),(3,4)A B C，（1）求三边的长；（2）求AB边上的中线CM的长；（3）求重心G的坐标；（4）求A∠的平分线AD的长；（5）在AB上取一点P，使过P且平行于BC的直线PQ把ABC∆的面积分成4:5的两部分，求点P的坐标．变式训练 5 已知(1,1),(2,3),(8,3)O A B-且,C D是AB的三等分点，试求OC OD的坐标.,变式训练6 已知向量1(1,1),(4,4)OP OP ==-，且点P 分有向线段12PP 的比为－２，则2OP 的坐标可以是（ ） A.53(,)22- B. 53(,)22- C. (7,9)- D. (9,7)-小结与拓展：四、归纳与总结（以学生为主，师生共同完成）1.知识：2.思想与方法：3.易错点：4.教学反思（不足并查漏）。