向量共线、定比分点公式及数量积(补课)
(完整版)向量共线、定比分点公式及数量积(补课)
(完整版)向量共线、定比分点公式及数量积(补课)向量共线、定比分点公式及数量积一、 平面向量共线定理、定比分点1。
平面向量共线定理设),(11y x a =，),(22y x b =( b0）,则b a //⇔01221=-y x y x注:不能写成b a //⇔2211x y x y =，因21x x 、为有可能为0. 2.定必分点公式已知),(111y x P ,),(222y x P ，),(y x P ，若21PP P P λ= 则OP =λ+111OP +λ+λ12OP 坐标公式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧λ+λ+=λ+λ+=112121y y y x x x ，（λ≠－1）,即,1(21λ+λ+=x x P )121λ+λ+y y 注意：点P 为21P P 所成的比为λ，用数学符号表达即为P P 1=λ2PP .当λ ＞0时，P 为内分点；λ ＜0时，P 为外分点.二、平面向量的数量积1．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角是θ,则数量 ｜a ||b |cos叫a 与b 的数量积，记作ab ，即a b = ｜a |｜b |cos ，(0)θπ≤≤并规定0与任何向量的数量积为02．平面向量的数量积的几何意义：数量积ab等于a 的长度与b 在a 方向上投影 |b ｜cos的乘积。
b 在a 方向上的投影：OP aba b ⋅=θ=cos 3．两个向量的数量积的性质:设a 、b 为两个非零向量 （1)-｜a |｜b |≤｜ab | ≤ |a ｜｜b ｜,当a 与b 同向时，a b = ｜a ||b ｜;当a 与b 反向时，a b = -｜a |｜b |；（2)ab a b = 0（两向量垂直的判定）;（3）cos =||||b a b a ⋅，|a |cos =||b ba ⋅，|b ｜cos=||a ba ⋅（投影式）. 4。
平面向量数量积的运算律（1)交换律:a b =b a (2） 数乘结合律:（λa )b =λ(a b ） = a (λb ）（3）分配律：（b a + ）c = a c + b c 5。
数学向量共线公式
数学向量共线公式
数学向量共线公式指的是如何判断两个或多个向量是否共线。
共线的向量指其方向相同或相反，但长度可能不同。
判断两个向量是否共线，可以用以下公式：
设向量AB和向量CD，若它们共线，则有：
AB = kCD (k为任意实数)
即向量AB与向量CD的比值是一个实数。
如果有多个向量需要判断是否共线，则可以用向量叉乘的方式，即对这些向量做向量积，若得到的结果为零向量，则说明这些向量共线。
需要注意的是，当k为负数时，向量AB与向量CD的方向相反；当k为0时，向量AB与向量CD重合；当k为正数时，向量AB与向量CD同向。
- 1 -。
向量公式汇总
向量公式汇总平面向量1、向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。
AB+BC=AC。
a+b=(x+x'，y+y')。
a+0=0+a=a。
向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a；结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。
2、向量的减法如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0 AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减”a=(x,y) b=(x',y') 则 a-b=(x-x',y-y').3、数乘向量实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣∣a∣。
当λ＞0时，λa与a同方向；当λ＜0时，λa与a反方向；当λ=0时，λa=0，方向任意。
当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。
注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。
实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。
当∣λ∣＞1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的∣λ∣倍；当∣λ∣＜1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上缩短为原来的∣λ∣倍。
数与向量的乘法满足下面的运算律结合律：(λa)b=λ(ab)=(aλb)。
向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa.数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb.数乘向量的消去律：①如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。
②如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。
4、向量的的数量积定义：已知两个非零向量a,b。
作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量，记作ab。
若a、b不共线，则ab=|a||b|cos〈a，b〉；若a、b共线，则ab=+-∣a∣∣b∣。
向量的数量积的坐标表示：ab=xx'+yy'。
定比分点向量公式
定比分点向量公式定比分点向量公式是一种在几何学中使用的数学工具，用于计算两个给定向量之间的夹角和距离。
它是一种应用于平面几何的技术，能够以有效的方式测量两个向量之间的距离或角度。
定比分点向量公式已经用于许多不同的几何计算任务，如求解直线的斜率、计算所有的三角形面积、计算多边形的周长和面积以及计算多边形内部的面积等。
它也用于计算空间几何中的距离和角度，如求解一个真空间中的抛物线的斜率、求解立体几何中的椭圆的离心率等。
定比分点向量公式的定义定比分点向量公式的定义为：给定两个向量a=(a1,a2)和b=(b1,b2)，则它们的定比分点向量公式为：Vec(a,b)= (a1/b1, a2/b2)这里的“Vec”表示向量，a1和b1表示向量a的第一个分量，a2和b2表示向量b的第二个分量。
定比分点向量公式的作用定比分点向量公式的作用是根据两个给定向量确定它们之间的夹角和距离。
因此，该公式能够有效地求解平面几何中的距离和角度，也可以用于空间几何中的计算。
定比分点向量公式的用法要使用定比分点向量公式，首先要给定两个向量a和b，然后将它们表示为a=(a1,a2)和b=(b1,b2)的形式。
接下来，就可以将它们代入定比分点向量公式中：Vec(a,b)= (a1/b1, a2/b2)这样就可以得到两个向量之间的夹角和距离。
定比分点向量公式的应用定比分点向量公式可以用于许多不同的几何计算任务。
它可以帮助我们计算直线的斜率、三角形的面积、多边形的周长和面积以及多边形内部的面积。
此外，它还可以用于计算空间几何中的距离和角度，如求解一个真空间中的抛物线的斜率、求解立体几何中的椭圆的离心率等。
定比分点向量公式的优点定比分点向量公式的优点在于，它可以帮助我们有效地计算几何中的距离和角度，而无需考虑具体的坐标系。
此外，它还可以节省大量时间，因为它可以在非常短的时间内完成计算任务。
最后，它还可以帮助我们更好地理解几何中的各种概念，因为它可以清楚地描述几何中的距离和角度。
向量公式大全
向量公式之蔡仲巾千创作设a=（x，y），b=(x'，y')。
1、向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。
AB+BC=AC。
a+b=(x+x'，y+y')。
a+0=0+a=a。
向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a；结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。
2、向量的减法如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减”a=(x,y) b=(x',y') 则 a-b=(x-x',y-y').4、数乘向量实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣•∣a∣。
当λ＞0时，λa与a同方向；当λ＜0时，λa与a反方向；当λ=0时，λa=0，方向任意。
当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。
注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。
实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将暗示向量a的有向线段伸长或压缩。
当∣λ∣＞1时，暗示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的∣λ∣倍；当∣λ∣＜1时，暗示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上缩短为原来的∣λ∣倍。
数与向量的乘法满足下面的运算律结合律：(λa)•b=λ(a•b)=(a•λb)。
向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa.数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb.数乘向量的消去律：① 如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。
② 如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。
3、向量的的数量积定义：已知两个非零向量a,b。
作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π 定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量，记作a•b。
若a、b不共线，则a•b=|a|•|b|•cos〈a，b〉；若a、b共线，则a•b=+-∣a∣∣b∣。
完整版向量公式汇总
向量公式汇总平面向量1、向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则AB+BC=AC 。
a+b=(x+x' ，y+y')。
a+0=0+a=a 。
向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a ；结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 。
2、向量的减法如果a、b 是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0 的反向量为0 AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减” a=(x,y) b=(x',y') 则a-b=(x-x',y-y').3、数乘向量实数入和向量a的乘积是一个向量，记作入a且I X al = I XI ?l a I。
当入〉0时，Xa与a同方向；当XV 0时，Xa与a反方向；当X =0时，X a=0方向任意。
当a=0时，对于任意实数人都有X a=0注：按定义知，如果X a=0那么X =0或a=0。
实数X叫做向量a的系数，乘数向量Xa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。
当I XI > 1时，表示向量a的有向线段在原方向(X>0)或反方向(XV0) 上伸长为原来的I XI倍；当I XI V 1时，表示向量a的有向线段在原方向(X>0)或反方向(XV0) 上缩短为原来的I XI倍。
数与向量的乘法满足下面的运算律结合律：( X a)?b= X (a?b)=(a?。
X b)向量对于数的分配律(第一分配律)：(X + 11 )a= X a+ !i a. 数对于向量的分配律(第二分配律)：X(a+b)= X a+X b.数乘向量的消去律：① 如果实数入工且X a=X，那么a=b。
② 如果a^0且X a= 1，!那么X =14、向量的的数量积定义：已知两个非零向量a,b。
作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b 的夹角，记作〈a,b〉并规定O w〈a,b〉<n定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量，记作a?b。
【推荐下载】高考数学必背：平面向量公式汇总
[键入文字]
高考数学必背：平面向量公式汇总
编者按：高考前的第一轮复习正在火热进行中，同学们要利用这些复习的时间强化学习，为大家整理了高考数学必背：平面向量公式汇总，在高三数学第一轮复习时，给您最及时的帮助!
定比分点
定比分点公式(向量P1P=λ•向量PP2)
设P1、P2是直线上的两点，P是l上不同于P1、P2的任意一点。
则存在一个实数λ，使向量P1P=λ•向量PP2，λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比。
若P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)，则有
OP=(OP1+λOP2)(1+λ);(定比分点向量公式)
x=(x1+λx2)/(1+λ),
y=(y1+λy2)/(1+λ)。
(定比分点坐标公式)
我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式
1。
平面向量的所有公式
平面向量的所有公式设a=（x，y），b=(x'，y')。
1、向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。
AB+BC=AC。
a+b=(x+x'，y+y')。
a+0=0+a=a。
向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a；结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。
2、向量的减法如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减”a=(x,y) b=(x',y') 则a-b=(x-x',y-y').3、数乘向量实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣•∣a∣。
当λ＞0时，λa与a同方向；当λ＜0时，λa与a反方向；当λ=0时，λa=0，方向任意。
当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。
注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。
实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。
当∣λ∣＞1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的∣λ∣倍；当∣λ∣＜1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上缩短为原来的∣λ∣倍。
数与向量的乘法满足下面的运算律结合律：(λa)•b=λ(a•b)=(a•λb)。
向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa.数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb.数乘向量的消去律：①如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。
②如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。
4、向量的的数量积定义：已知两个非零向量a,b。
作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量，记作a•b。
若a、b不共线，则a•b=|a|•|b|•cos 〈a，b〉；若a、b共线，则a•b=+-∣a∣∣b∣。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
向量共线、定比分点公式及数量积
一、 平面向量共线定理、定比分点
1. 平面向量共线定理
设),(11y x a =，),(22y x b =（ b ≠0），则b a //⇔01221=-y x y x 注：不能写成b a //⇔2
2
11x y x y =
，因21x x 、为有可能为0. 2.定必分点公式
已知),(111y x P ，),(222y x P ，),(y x P ，若21PP P P λ= 则OP =
λ+111OP +λ
+λ
12OP 坐标公式⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧λ+λ+=λ
+λ+=1121
21y y y x x x ，（λ≠－1），即,1(21
λ+λ+=x x P )121λ+λ+y y 注意：点P 为21P P 所成的比为λ，用数学符号表达即为P P 1=λ2PP .当λ ＞0时，P 为
内分点；λ ＜0时，P 为外分点.
二、平面向量的数量积
1．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角是θ，则数量 |a ||b |cos θ 叫a 与b 的数量积，记作a ⋅b ，即a ⋅b = |a ||b |cos θ，(0)θπ≤≤并规定0与任何向量的数量积为02．平面向量的数量积的几何意义：数量积a ⋅b 等于
a 的长度与
b 在a 方向上投影 |b |
c os θ的乘积. b
在a 方向上的投影：OP a
b
a b ⋅=θ=cos
3．两个向量的数量积的性质：设a 、b 为两个非零向量
（1）-|a ||b |≤|a ⋅b | ≤ |a ||b |，当a 与b 同向时，a ⋅b = |a ||b |；当a
与b 反向时，a ⋅b = -|a ||b |；
（2）a ⊥b ⇔ a ⋅b = 0（两向量垂直的判定）； （3）cos θ =
||||b a b a ⋅，|a |cos θ =||b b a ⋅，|b |cos θ =|
|a b
a ⋅（投影式）.
4.平面向量数量积的运算律
（1）交换律：a ⋅b =b ⋅a （2） 数乘结合律：(λa )⋅b =λ(a ⋅b ) = a ⋅(λb )
（3）分配律：(b a + )⋅c = a ⋅c + b ⋅c 5.平面向量数量积的坐标表示
（1）已知两个向量),(11y x a =，),(22y x b =,则a ⋅b 2121y y x x +=.
y
P 2
P P 1
O x
a
b θ
θ
a
b
o
P P
o
（2）设),(y x a =，则22||y x a +=
.
（3）平面内两点间的距离公式
如果表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，
那么2
21221)()(||y y x x a -+-=.
（4）向量垂直的判定 ：两个非零向量),(11y x a =),(22y x b =
b a ⊥⇔02121=+y y x x .
（5）两向量夹角的余弦 cos θ =
|
|||b a b
a ⋅⋅2
2
222
1
2
12121y x y x y y x x +++=
（πθ≤≤0） 平面向量共线定理、定比分点
1、 a ＝(1,1)，b ＝(－1,1)，c ＝(4,2)，则c ＝( )
A ．3a ＋b
B ．3a －b
C ．－a ＋3b
D ．a ＋3
2、下列各组向量可以作为该平面一组基底的是( )
A ．)2,1(=a 与)1,2(=b
B ．)2,1(-=a 与=b 0
C ．)2,1(=a 与)4,2(--=b
D ．)1,0(=a 与)1,0(-=b 3、已知)3,2(-A ,)2,3(-=AB ,则点B 和线段AB 的中点M 坐标分别为( )
A ．)5,5(-
B ,)0,0(M B ．)5,5(-B ,⎪⎭⎫ ⎝⎛-4,27M
C ．()
1,1B ,)0,0(M D ．()1,1B ,⎪⎭
⎫ ⎝⎛-4,27M 4、已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2，x )，若a ＋b 与4 b －2 a 平行，则实数x 的值是 ( )
A ．－2
B ．0
C ．1
D ．2
5、在ABC ∆中，=b ,=c ,若点D 满足DC BD 2=,则=( )
A ．c b 3132+
B ．b c 3235-
C ．c b 3
132- D ．c b 3231+
6、已知向量a 与向量b 不共线，实数y x,满足)2(y x -a +4b =5a +()y x 2-b ， 则=+y x ________ ；
7、已知ABC ∆三顶点)4,5(),3,2(),2,1(C B A -，则其重心坐标为_____________； 8、如右图所示，在ABC ∆中，已知A(2,3)，B(6，－4)，G(4，－1)是中线AD
＝，则点C 的坐标为____________.
9、已知)2,3(),2,1(-==b a ，当k 为何值时，k b a +与b a 3-平行，此时它们方向如何?
10、(1) 已知点)4,3(),2,1(--B A ,点P 在直线AB 上，且3
1
=
,求点P 的坐标；
(2)已知点)8,6(),4,2(--B A ,点P 在直线AB =求点P 的坐标.
平面向量的数量积
1、已知等边ABC ∆的边长为6，则⋅与()
CA BC AB ⋅+的值分别为( )
A ．18-和36
B ．18-和36-
C ．18和36-
D ．18-和36 2、已知2=b ，6-=⋅b a ，则a 在向量b 方向上的投影为( )
A ．3-
B ．12-
C ．3
D ．无法确定 3、已知向量a =(x ,y), b =( -1,2 )，且a +b =（1，3），则a 等于（ ） A ． 2 B . 3 C. 5 D. 10 4、已知向量等于则垂直与若a ,b a ),n ,(b ),n ,(a 11-==（ ） A ．1
B ．2
C ．2
D ．4
5、已知),(b ),,(a 1623-==，而)b a ()b a (λ-⊥+λ，则λ等于（ ）
A ．1或2
B ．2或－1
2
C ． 2
D ．以上都不对
6、若平面向量b 与向量a =(1,-2)的夹角是180
, 且 b 3=则b 等于( ).
A. (3,6)-
B. (3,6)-
C. (6,3)-
D. (6,3)-
7、已知2,2,1-=⋅==b a b a ，则a 与b 的夹角为_________； 8、已知)4,3(=a ，且10=⋅b a ，求b 在a 的投影_________.
9、已知3||,4||==b a ，的夹角为与b a 4
π
，求||b 2a +，||4b -3a .
10、已知,|b |,|a |12==a 与b 的夹角为3
π
,若向量+a 2k b 与b a +垂直, 求k .
11、已知1||,3||==b a ，b a 与的夹角为6
π
，求b -a b a 与+的夹角的余弦值.
12、已知向量4||,3||==b a ，且4)2()(≥-⋅+b a b a ，求a 与b 夹角θ的取值范围.
13、ABC ∆中，c b a ===,,，4||,2||,3||===c b a ，求d c c b b a ⋅+⋅+⋅
14、已知向量)2,3(),2,1(-==b a ，向量=c k b a +，b a d 3-=
（1）当k 为何值时，有d c ⊥；（2）若的夹角为钝角时与 d c ，求k 的取值范围.。