定比、定比分点公式讲解学习
定比、定比分点公式
8.1（3）定比、定比分点公式
一、教学内容分析
本节是8.1的第三节课，是学习向量坐标表示及运算、向量的模与平行之后的又一个新的知识点.它既是对前两节内容复习与巩
固，又是对向量知识的进一步深化与拓展，如式子 12PP PP λ=u u u r u u u r
中的λ由实数推广到定比.同时，经历定比分点公式的推导过程，让学生领悟定比分点的多元化表示方法.
本节的教学重点是定比分点公式的形成、深化、拓展与应用.难点是定比λ的理解、确定及定比分点公式中分点、始点、终点坐标位置的识别.
根据本节特点，教师采取启发、提问为主的教学方法；学生则进行自主学习.即课前进行主动预习，课中进行讨论与交流，课后进行探索研究. 二、教学目标设计
1理解定比的概念，掌握定比分点公式；
2通过定比分点公式的推导过程，巩固向量的运算方法； 感悟定比分点的几种表达方式；
3通过本节的学习，提升发现能力、推理能力，渗透数形结
合思想. 三、教学重点及难点
定比的概念，定比分点公式的推导和应用. 四、教学流程设计
五、教学过程设计
一、 情景引入
观察思考，引入新课
问题1：设)1,2(A ，)1,2(--B ，)2,4(C 三点共线，可知BA u u u r
∥AC u u u r ，即存
在实数λ，使BA u u u r
= λAC u u u r ，那么实数λ= .
而若 BC CA λ=u u u r u u u r
，则λ= .
[说明]（1）本问题由共线三点坐标求实数λ，它既是对前一节向量平行的复习与巩固，同时又为定比λ的产生作好铺垫（2）通过本题可以看出使两向量平行的实数λ的取值可正可负.
问题2：设1P （1，1），2P (4,4), λ=1.当12PP PP λ=u u u r u u u r
时，你能求出点
P 的坐标吗？（引出课题）
[说明]问题2是由共线三点中的两点坐标和定比λ的值求第三点坐标，本题给出的点具有一定的特殊性，这样便于学生利用数形结合思想猜出结果，尝试成功的快乐. 二、学习新课
1．定比分点公式
一般地，设点P 1（),11y x ，),(222y x P ，点P 是直线 21P P 上任意一
点，且满足 12PP PP λ=u u u r u u u r
，求点P 的坐标.
解：由12PP PP λ=u u u r u u u r
，可知
{
)
()(2121x x x x y y y y -=--=-λλ，因为λ≠-1， 所以⎩⎨⎧++
=++=λ
λλ
λ112
121x x x y y y ，这就是点P 的坐标.
师生通过上面的结论共同解决（一）中的问题2.
[说明]此例题的结论可作为公式掌握，此公式叫线段21P P 的定比分点
公式. 2．小组交流
（1）定比分点公式中反映了那几个量之间的关系？当λ=1时，
点P 的坐标是什么？
（2）满足式子12PP PP λ=u u u r u u u r 的点P 称为向量 12PP u u u u r
的分点. 思考：上式中正确反映 P 1，P ，2P 三点位置关系的是（ ）
A 、 始→分，分→终.
B 、始→分，终→分.
C 、终→分，分→始 （3）关于定比λ和分点P 叙述正确的序号是
1）点P 在线段21P P 中点时，λ=1;2）点P 在线段21P P 上时，λ≥0 3）点P 在线段21P P 外时，λ﹤0; 4）定比λR ∈
[说明]由定比分点公式可知λ=1 时有⎪⎩⎪⎨⎧+=+=2
2
2
121x x x y y y ，此公式叫做线
段21P P 的中点公式. 此公式应用很广泛.
3．例题辨析
例1、已知平面上A 、B 、C 三点的坐标分别为A （),11y x ， ),(22y x B ， ),(33y x C ，G 是△ABC 的重心，求点G 的坐标. 解：由于点G 是△ABC 的重心，因此CG 与AB 的交点D 是AB 的中
点，于是点D 的坐标是（
2,22
121y y x x ++）. 设点G 的坐标为),(y x ，且2CG GD =u u u r u u u r
则由定比分点公式得 ⎪⎩
⎪⎨⎧+++=+++=2
12221222
13213x x x x y y y y ，整理得 ⎪⎩⎪⎨⎧++=++=333
2121x x x x y y y y 这就是△ABC 的重心G 的坐标.
[说明]本题难度不大，但综合性却比较强.不仅涉及到定比的概念，而且用到了中点公式、定比分点公式.（2）此结论可作为三角形重心的坐标公式.
例2、)15,12(),0,3(),5,2(21P P P - 且有12PP PP λ=u u u r u u u r
求实数λ的值. 解1： 由已知可求 1(10,10)PP =u u u r ，2(15,15)PP λλ=--u u u r 故10=λ .（-
15），
所以定比λ=-32
.
解2： 因为12PP PP λ=u u u r u u u r
，所以P 1，P ，2P 三点共线，由定比分点公式
得12=
λλ+-⨯+1)3(2 解出实数λ=-3
2
.
解3：由图形可知点P 在线段21P P 外，故λ﹤0 ，又21
PP PP u u u r
u u u
r = 32
， 所以λ=-3
2 .
[说明] 本题已知三点坐标求定比λ的值，学生往往偏爱第一种解法；解法二是定比分点公式的一个应用，其前提是三点共线，代公式时要注意始点、终点、分点坐标的位置；解法三是求定比λ的有效方法，简洁方便，鼓励学生大胆去尝试.
三、演练反馈，巩固知识
1设12PP PP λ=u u u r u u u r ，21P P PP
λ'=u u u r u u u r
，则下列正确的是（ ） （A ）λλ'= （B ）λλ'=- （C ） 1λλ=
' （D ）1
λλ=-'
2、△ABC 中，A （2，3），B （-3，4），重心G （-)3
4
,32，求C 点的
坐标.
3、已知：A （3，-1），B （-4，-2），点P 在直线AB 上，且
2AP u u u r =3BP u u u r
，求P 点坐标.
四、知识梳理，提升思维
1知识与技能小结：（1）主要的知识点有定比λ的概念，中点公式、定比分点公式，及定比分点公式的多元化表示.（2）主要的应用有定比λ的意义与范围，三点共线问题，三角形重心公式及综合应用.
2 学生的体会和感悟：对本节学习过程的认识、理解和体会；提出新的疑点和问题.
五、作业布置，课后探究 1、填空题
（1）已知三点A 、B 、C 满足AB u u u r
=2BC uuu r ，设1AC CB λ=u u u r u u u r
2BA AC λ=u u u r u u u r
则=•21λλ
（2）△ABC 中，A （1，2），B （-2，3），C （4，-1），D 为BC 中点，且 3= ，则G 点坐标是 2、选择题
（1）若 214
3PP P -=，则下列各式中不正确的是（ ） （A ） 12P =P 13
1
（B ）P P 123
4= （C ） 2113P P P -= （D ）1224P PP =
(2) 设点P 是12PP u u u r 反向延长线上任意一点且12PP PP λ=u u u r u u u r
，则实数λ
的范围是（ ）
（A ）（-∞，0） （B ）（—∞，-1） （C ）（-1，0） （D ）［-1，0)
3、解答题
（1）△ABC 中，已知A （3，1），AB 的中点D （2，4），△ABC 的重心G （3，4），求B 、C 两点的坐标.
（2）已知设1P （3，2），2P (-8,3) , P （1
2
，y ），若12PP PP λ=u u u r u u u r ，求λ与y 的值.。
平面向量定比分点定理
平面向量定比分点定理1. 引言大家好，今天咱们要聊聊一个数学中非常有趣的话题——平面向量定比分点定理。
听上去是不是有点高大上？别担心，咱们会把它说得简单易懂，甚至还有点幽默，让你轻松get到这个知识点。
毕竟，数学也可以很有趣，不是吗？1.1 什么是定比分点定理？先来捋捋，这个定理到底是个什么东西。
简单来说，定比分点定理就是告诉我们，如何通过某些特定的比例来确定一个点在两点之间的位置。
想象一下，假如你在一个超市里，想要在两排货架之间找到一个完美的购物位置，你就可以用这个定理来帮助你，当然，前提是你得知道你要的东西在哪儿，对吧？1.2 公式与例子那具体的公式是什么呢？假设你有两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，如果我们希望找一个点P，按照比例m:n来分割AB线段，P的坐标就可以用这个公式表示：P(x, y) = ((mx2 + nx1) / (m + n), (my2 + ny1) / (m + n))。
听起来复杂？其实不然，我们来举个例子。
比如说，有两位朋友A和B，A在(1, 2)的位置，B在(3, 4)的位置。
如果你想找一个P点，使得它在A和B之间，比例是1:3，那么用公式计算一下，你就能找到P在(2.5, 3)的位置。
就像是找到朋友聚会的最佳位置，嘿嘿！2. 应用场景2.1 生活中的实际应用说到这儿，你可能会问：“这跟我的生活有什么关系？”其实还真有！想象一下，你在一个公园里散步，突然发现两个大树之间有个超级适合拍照的地方。
你可以用定比分点定理来判断这个地方的最佳位置，分出一段合理的距离。
生活中，许多设计、建筑、甚至是游戏开发，都离不开这个定理的支持，简直是个“万能钥匙”！2.2 动手实践而且，定比分点定理还可以用来做一些小实验。
比如说，你可以带着朋友们去外面，找两个标志性的位置，然后用比例来确定一个新位置，看看是不是大家都觉得这个位置最合适。
就像你们在决定去哪吃饭时，总得有人说：“咱们去那个小店吧，它的蛋糕好吃得不得了！”这种分点定理的思路，恰好就适合用来做决策，嘿！3. 总结与感悟3.1 直观与趣味总之，平面向量定比分点定理并不是个冷冰冰的公式，它其实可以为我们的生活增添一些乐趣和便利。
定比点差法及其应用解说
定比点差法及其应用解说一、定比分点若，则称点为点、的定比分点．当时，点在线段上，称为内分点；当（）时，点在线段的延长线上，称为外分点．定比分点坐标公式：若点，，，则点的坐标为二、点差法点差法其实可以看作是方程的相减，是对方程的一个巧妙的处理。
若点在有心二次曲线上，则有两式作差得此即有心二次曲线的垂径定理，可以解决与弦的中点相关的问题．1、弦的中点点差法一个妙用：例1 已知椭圆，直线交椭圆于两点，为的中点，求证：为定值。
分析用常规方法设直线也可以解决，但是计算就很繁杂，在这里使用点差法。
解设，，在椭圆上：，作差得：即：，因为所以，为定值。
以上结论与弦的中点有关，也称为垂径定理。
考虑当椭圆为圆的时候，，则，，正好也符合圆的“垂径定理”。
在双曲线中同样有类似的结论，但定值为，在这里就不再推导了。
2、弦上的定比分点当弦上的点不再是中点时，就成了定比分点：设，，，则点坐标可以表示为：，证明设，，化简可得：，同理这时候就出现了这样形式的式子。
如果再凑出，可能大家就会有点感觉了：可以将椭圆的方程乘上一个再作差，得到这样的式子。
因此我们想到了“定比点差法”这样的技巧。
例2 已知椭圆，在椭圆外，过作直线交椭圆于两点，在线段上且满足：，求证：点在定直线上。
分析按照以上思路，要出现和这样的式子，很容易想到设的坐标，再表示出的坐标。
解设，，，则，结合图形得：则，在椭圆上：①，②得：即，所以在定直线上。
下面介绍定比点差法：若点在有心二次曲线上，则有两式作差得这样就得到了例7、过异于原点的点引椭圆的割线，其中点在椭圆上，点是割线上异于的一点，且满足．求证：点在直线上．证明：直接运用定比点差法即可．设，则有，设，则有又因为点在椭圆上，所以有两式作差得两边同除以，即可得到命题得证．例8、已知椭圆，过定点的直线与椭圆交于两点（可以重合），求的取值范围．解析：设，，则．于是，于是又因为点在椭圆上，所以有两式相减得将(1)代入(2)中得到由(1)(3)解得从而解得的取值范围为，于是的取值范围为．例9、设、为椭圆的左、右焦点，为椭圆上任意一点，直线分别交椭圆于异于的点、，若，，求证：．证明：设，，，则于是有又由点在椭圆上得到两式相减得从而有结合(4)式可解得同理可得结合(5)式得到于是有整理得，命题得证．例10、已知椭圆，点，过点作椭圆的割线，为关于轴的对称点．求证：直线恒过定点．解析：因为三点共线，三点也共线，且三点都在椭圆上，我们用定比点差法去解决这个问题．设，，则，设与轴的交点为，，，则于是有由点在椭圆上得两式相减得将(2)代入(3)得。
5-4新田中学-线段的定比分点与平移
π π ∴y－2＝sin[(x－4)＋4]－2， 化简，得 y＝sinx. ∴原来函数的解析式为 y＝sinx.
→，当P1Q＝－3P2Q即 λ＝3 时 xQ＝－1＋2λ＝5，yQ＝ → → 3P2 Q 4
1＋λ －5＋4λ 7 5 7 ＝4，∴Q 点坐标为(4，4)． 1＋λ → → 当P1Q＝3P2Q即 λ＝－3 时 －1＋2λ 7 －5＋4λ 17 xQ＝ ＝2，yQ＝ ＝2. 1＋λ 1＋λ 7 17 ∴Q 点坐标为(2， 2 )．
启示：函数与方程思想贯穿于整个中学数学， 则向量模的关系转化为解不等式，再由解不 等式探求不等式成立的条件，再由a·e＝1，
●回归教材 1．已知点 P 分有向线段P→ 2的比为 λ，则下列结论中正 1P 确的是 A．λ 可以是任意实数 B．λ 是不等于零的实数 C．当 λ＜－1 时，点 P 必在P→ 2的延长线上 1P D．当－1＜λ＜0 时，点 P 在P→ 2的延长线上 1P ( )
－5＋4λ1 解析：(1)由已知 1＝ 解得 λ1＝2， 1＋λ1 －1＋2λ1 x＝ ＝1. 1＋λ1 → ＝2PP2得P1P＝2(PP1＋P→ 2)整理得P→ 1 ＝－ 3 → → → (2)由P1P 1P 2P 2 → .∴λ2＝－3. P1P 2
→ → → → → → → (3)由P1Q∥P2Q且|P1Q|＝3|P2Q|知P1Q＝3P2Q或P1Q＝－
则点 P 分P→ 2所成的比是________． 1P → 2的延长线上，则P1P＝3. → 解题思路：如图，P 在P1P
三角形的定比分点公式及应用
三角形的定比分点公式及应用设在三角形ABC的边AB上，有两个点D和E，使得AD:DE:EB=m:n:p，其中m、n、p为正实数，且满足m+n+p=1、则称点D和点E是边AB上的定比分点。
应用：1.线段分点定比问题：已知两点A、B，找到两点之间的一个点P，使得AP:PB=m:n。
这个问题可以通过将线段AB看作三角形的一条边，然后应用定比分点公式来解答。
2.定比分点的证明：如果在三角形的边上有一个点是边的中点，则此点与边两端的点成1:1:1的定比分点。
证明如下：设在三角形ABC的边AB上有一点D是边AB的中点，即AD=BD，则AD:DE:EB=AD:AD:BD=1:1:1同理，三角形的另外两条边上也存在中点，可以利用定比分点公式得到其它的定比分点。
3.相似三角形的性质：如果在两个相似三角形的相应边上分别取定比分点，则这两个定比分点所确定的线段也是相似三角形的定比分点。
例如，在相似三角形ABC和DEF中，AB:DE=BC:EF=a，如果在边AB上取定比分点D和E，使得AD:DE:EB=m:n:p，则有BC:EF=AD:DE:EB=m:n:p=a。
即在三角形DEF中，BC是EF的定比分点。
4.解决长度比例问题：通过应用定比分点公式，可以解决与长度比例有关的数学问题。
例如，在已知等腰直角三角形ABC中，如果AD是边AC上的定比分点，即AD:DC=m:n，则可以根据定比分点公式求出在边AC上的偏距AD和线段AB、BC的长度。
5.解决面积比例问题：通过应用定比分点公式，可以解决与面积比例有关的数学问题。
例如，已知三角形ABC中，面积为S，若点D是边AB 上的定比分点，即AD:DB=m:n，则可以根据定比分点公式求出三角形ABD 和三角形ACD的面积，并据此计算出三角形ABC的面积。
总结起来，三角形的定比分点公式是一个重要的几何定理，它可以在解决线段或面积比例问题中起到重要的作用，能够推导出一些三角形的性质和关系。
定比、定比分点公式
（3）定比、定比分点公式一、教学内容分析本节是的第三节课，是学习向量坐标表示及运算、向量的模与平行之后的又一个新的知识点.它既是对前两节内容复习与巩固，又是对向量知识的进一步深化与拓展，如式子 12PP PP λ=中的λ由实数推广到定比.同时，经历定比分点公式的推导过程，让学生领悟定比分点的多元化表示方法.本节的教学重点是定比分点公式的形成、深化、拓展与应用.难点是定比λ的理解、确定及定比分点公式中分点、始点、终点坐标位置的识别.根据本节特点，教师采取启发、提问为主的教学方法；学生则进行自主学习.即课前进行主动预习，课中进行讨论与交流，课后进行探索研究. 二、教学目标设计1理解定比的概念，掌握定比分点公式；2通过定比分点公式的推导过程，巩固向量的运算方法； 感悟定比分点的几种表达方式；3通过本节的学习，提升发现能力、推理能力，渗透数形结合思想. 三、教学重点及难点定比的概念，定比分点公式的推导和应用. 四、教学流程设计五、教学过程设计一、 情景引入观察思考，引入新课问题1：设)1,2(A ，)1,2(--B ，)2,4(C 三点共线，可知BA ∥AC ，即存在实数λ，使BA = λAC ??，那么实数λ= . 而若?BC CA λ=，则λ= .[说明]（1）本问题由共线三点坐标求实数λ，它既是对前一节向量平行的复习与巩固，同时又为定比λ的产生作好铺垫（2）通过本题可以看出使两向量平行的实数λ的取值可正可负. 问题2：设1P （1，1），2P (4,4), λ=1.当12PP PP λ=时，你能求出点P的坐标吗（引出课题）[说明]问题2是由共线三点中的两点坐标和定比λ的值求第三点坐标，本题给出的点具有一定的特殊性，这样便于学生利用数形结合思想猜出结果，尝试成功的快乐. 二、学习新课 1．定比分点公式一般地，设点P 1（),11y x ，),(222y x P ，点P 是直线 21P P 上任意一点，且满足 12PP PP λ=，求点P 的坐标.解：由12PP PP λ= ，可知{)()(2121x x x x y y y y -=--=-λλ，因为λ≠-1， 所以⎩⎨⎧++=++=λλλλ112121x x x y y y ，这就是点P 的坐标.师生通过上面的结论共同解决（一）中的问题2.[说明]此例题的结论可作为公式掌握，此公式叫线段21P P 的定比分点公式. 2．小组交流（1）定比分点公式中反映了那几个量之间的关系当λ=1时，点P的坐标是什么 （2）满足式子12PP PP λ=的点P 称为向量 12PP 的分点.思考：上式中正确反映 P 1，P ，2P 三点位置关系的是（ ） A 、 始→分，分→终.B 、始→分，终→分.C 、终→分，分→始 （3）关于定比λ和分点P 叙述正确的序号是1）点P 在线段21P P 中点时，λ=1;2）点P 在线段21P P 上时，λ≥0 3）点P 在线段21P P 外时，λ﹤0; 4）定比λR ∈[说明]由定比分点公式可知λ=1 时有⎪⎩⎪⎨⎧+=+=222121x x x y y y ，此公式叫做线段21P P 的中点公式. 此公式应用很广泛.3．例题辨析例1、已知平面上A 、B 、C 三点的坐标分别为A （),11y x ， ),(22y x B ， ),(33y x C ，G 是△ABC 的重心，求点G 的坐标.解：由于点G 是△ABC 的重心，因此CG 与AB 的交点D 是AB 的中点，于是点D 的坐标是（2,22121y y x x ++）. 设点G 的坐标为),(y x ，且2CG GD =则由定比分点公式得 ⎪⎩⎪⎨⎧+++=+++=21222122213213x x x x y y y y ，整理得 ⎪⎩⎪⎨⎧++=++=3332121x x x x y y y y 这就是△ABC 的重心G 的坐标.[说明]本题难度不大，但综合性却比较强.不仅涉及到定比的概念，而且用到了中点公式、定比分点公式.（2）此结论可作为三角形重心的坐标公式.例2、)15,12(),0,3(),5,2(21P P P - 且有12PP PP λ=求实数λ的值.解1： 由已知可求 1(10,10)PP =，2(15,15)PP λλ=-- 故10=λ .（-15）， 所以定比λ=-32.解2： 因为12PP PP λ=，所以P 1，P ，2P 三点共线，由定比分点公式得12=λλ+-⨯+1)3(2 解出实数λ=-32.解3：由图形可知点P 在线段21P P 外，故λ﹤0 ，又21PP PP = 32，所以λ=-32 .[说明] 本题已知三点坐标求定比λ的值，学生往往偏爱第一种解法；解法二是定比分点公式的一个应用，其前提是三点共线，代公式时要注意始点、终点、分点坐标的位置；解法三是求定比λ的有效方法，简洁方便，鼓励学生大胆去尝试.三、演练反馈，巩固知识1设12PP PP λ= ，21P P PPλ'= ，则下列正确的是（ ） （A ）λλ'= （B ）λλ'=- （C ） 1λλ=' （D ）1λλ=-'2、△ABC 中，A （2，3），B （-3，4），重心G （-)34,32，求C 点的坐标.3、已知：A （3，-1），B （-4，-2），点P 在直线AB 上，且2AP =3BP ，求P 点坐标.四、知识梳理，提升思维1知识与技能小结：（1）主要的知识点有定比λ的概念，中点公式、定比分点公式，及定比分点公式的多元化表示.（2）主要的应用有定比λ的意义与范围，三点共线问题，三角形重心公式及综合应用.2 学生的体会和感悟：对本节学习过程的认识、理解和体会；提出新的疑点和问题.五、作业布置，课后探究 1、填空题（1）已知三点A 、B 、C 满足AB =2BC ，设1AC CB λ=2BA AC λ=则=•21λλ（2）△ABC 中，A （1，2），B （-2，3），C （4，-1），D 为BC 中点，且 3= ，则G 点坐标是 2、选择题（1）若 2143PP P -=，则下列各式中不正确的是（ ） （A ） 12P P =P P 131 （B ）P P 1234= （C ） 2113P P P -= （D ）1224P PP =(2) 设点P 是12PP 反向延长线上任意一点且12PP PP λ=，则实数λ的范围是（ ）（A ）（-∞，0） （B ）（—∞，-1） （C ）（-1，0） （D ）［-1，0)3、解答题（1）△ABC 中，已知A （3，1），AB 的中点D （2，4），△ABC 的重心G （3，4），求B 、C 两点的坐标.（2）已知设1P （3，2），2P (-8,3) , P （12，y ），若12PP PP λ=，求λ与y 的值.。
定比分点公式证明过程
定比分点公式证明过程
标题，定比分点公式的证明过程。
在数学中，定比分点公式是一个非常重要的定理，它用于确定一条线段上的任意一点与两个端点的比例关系。
这个定理的证明过程非常有趣，让我们来看看它是如何被证明的。
首先，我们假设有一条线段AB，我们要找到一点P，使得AP与PB的比例为m:n。
我们将这个比例表示为m/n。
接下来，我们假设P点的坐标为(x, y)，A点的坐标为(x1,
y1)，B点的坐标为(x2, y2)。
根据定比分点公式，我们有以下关系式：
x = (mx2 + nx1) / (m + n)。
y = (my2 + ny1) / (m + n)。
现在，让我们来证明这些关系式。
首先，我们知道P点与A点的横坐标的比例为m:n，即(x x1) / (x2 x1) = m/n。
解方程可得x = (mx2 + nx1) / (m + n)。
同理，P点与A点的纵坐标的比例也为m:n，即(y y1) / (y2 y1) = m/n。
解方程可得y = (my2 + ny1) / (m + n)。
因此，我们得到了点P的坐标与m:n的比例关系，证明了定比分点公式。
通过这个证明过程，我们可以清楚地看到定比分点公式是如何被推导出来的。
这个定理在数学和几何中有着广泛的应用，它帮助我们理解线段上点的比例关系，为我们解决实际问题提供了重要的数学工具。
5.4 线段的定比分点与平移
1 ∵ | AP | | AB | ， 3
又A（-1，6），B（3，0），
1 3 1 2 x 1 3 1 1 2 λ = 时， 2 1 6 0 y 2 4 1 1 2
设P（x，y），则由定比分点坐标公式得
1 1 3 7 4 x 1 3 1 1 4 λ = 时, 1 4 6 0 y 4 8 1 1 4
思维启迪
（1）利用向量的夹角公式求解；
（2）先把c·d化简整理成Asin(ωx+φ )+B的形成，再 利用角x的范围求最大值； （3）先化简f(x)=Asin(ωx+φ )，再设m的坐标，按平 移公式理顺关系求解. π 解 （1）∵x= , 4 ∴a= 6 ， 2 ）,b=(0, 2 ), （ 2 2 2 2 1 则a·b= （ 6 ， 2 ） （ 0， ） , · 2 2 2 2 a· b cos〈a，b〉= |a|· |b|
1 , 2 2 2· 2 1 2
［1分］
［3分］
π ∴向量a、b的夹角为 . 3
［4分］
（2）c·d=(sin x,cos x)·(sin x,sin x) =sin2x+sin xcos x
1 cos 2 x sin 2 x 1 1 (sin 2x-cos 2x) 2 2 2 2 π 1 2 = sin(2x) 4 2 2 π π π 3π ∵x∈［0, ］,∴ 2 x . 2 4 4 4 π π 3π 当2x- ,即x= 时， 4 2 8 2 1 c·d取最大值 . 2
λ =1 P为中点 内分点
λ >1 在中点与P2 之间
（2）线段定比分点坐标公式 设点P分有向线段 P P 所成的比为λ ，即 P P PP ， 1 2 1 2 x1 x2 并且P1(x1,y1),P2(x2,y2),P(x,y)，则x= 1 ,y= y1 y2 1 (λ ≠-1)，特别地，当P(x,y)是 P P 的中点时， 1 2 x1 x2 y1 y2 有x= ,y= .2 2
高三数学线段的定比分点
高三备课组
一、基础知识
1、 线段的定比分点
（1）定义
设P1,P2是直线L上的两点，点P是L上不同 于P1,P2的任意一点，则存在一个实数 ， P 使p1 p pp ， 所 2 叫做点P分有向线段 1P 2 成的比。
0 ；当点P在线 当点P在线段 P 上时， 1P 2 <0 段 P1 P2 或 P2 P1 的延长线上时，
（2）定比分点的向量表达式：
点P分有向线段 P 所成的比是 ，则 1P 2 1 OP OP1 OP2 1 1 （O为平面内任意点）
（3）定比分点的坐标形式
x1 x 2 x 1 y y 2 y 1 1
,
（4）中点坐标公式
当 =1时，分点P为线段的中点，即有
练习：
若直线x+2y+m=0，按向量a 1,2平移后与圆C：
x 2 y 2 2x 4 y 0
相切
则实数m的值等于
例5．是否存在这样的平移，使抛物线： y x 2 平移后 过原点，且平移后的抛物线的顶点和它与 x 轴的两个 交点构成的三角形面积为 1 ，若不存在，说明理由；若 存在，求出函数的解析式。 例4．设函数
x1 x y y 1 x2 2 y2 2
ABC 的重心坐标公式： （5）
x A x B xC x 3 y A y B yC y 3
2、平移
（1）图形平移的定义
设F是坐标平面内的一个图形，将图上的所有 点按照同一方向移动同样长度，得到图形 F’ ， 我们把这一过程叫做图形的平移。
A(4,1), B(3,4), C (1,2) ， BD 是角 ABC 的平分 线，求点D的坐标及BD的长。
03线段的定比分点及平移
>0
点不能与B点重合 点重合， QP点不能与 点重合，所以 5k − 2 ≠ 0
2k + 2 2 ∴λ = − > 0得 − 1 < k < 5k − 2 5
进行平移， 6.将函数 y = − x 进行平移，使得到的图象与原函数的 图象的两交点关于原点对称.求平移后图象的解析式. 图象的两交点关于原点对称.求平移后图象的解析式.
3.三角形重心公式及推导 三角形重心公式及推导 x1 + x 2 + x3 y1 + y 2 + y 3 三角形重心公式： , ) 三角形重心公式： ( 3 3
二、平移及平移公式 1.图形平移：设 F 是坐标平面内的一个图形，将 F 上 图形平移： 是坐标平面内的一个图形， 图形平移 所有的点按照同一方向移动同样长度(即按向量 所有的点按照同一方向移动同样长度 即按向量 a 平 移)，得到图形 F`，我们把这一过程叫做图形的平移。 ， ，我们把这一过程叫做图形的平移。 r 2.平移公式：点 P ( x, y ) 按向量 a = ( h, k ) 平移到 P′ ( x', y' ) 平移公式： 平移公式
一、线段的定比分点 1.定义 设 P 、P2 是直线 l 上的两点 点 P 是 l 上不同于 定义:设 1 上的两点, 定义 uuu r uuur P 、P2 的任意一点,则存在一个实数 λ 使 P P = λ PP2 , 1 1 uuuu r λ 叫做点 P 分有向线段 P P2 所成的比.(如图) 1
r r r 例 2 设函数 f ( x) = a ⋅ b ,其中向量 a = (2 cos x ,1) , 其中向量 r b = (cos x, 3 sin 2 x ), x ∈ R .
高三数学线段的定比分点
《我爱这土地》中写“为什么我的眼里常含泪水”，上文结尾也写到了“流泪”，简要分析“眼泪”背后两位作者思想感情的异同。 3、文中的语言富有表现力，请结合句中加点的词语作简要分析。 一阵沙尘扑面而来，豆大的雨点砸了下来，劈头劈脸，欢笑的人群直往外冲。 ? 4、文
章第④段的“对我来说，去圆明园是一种凭吊，一种拜谒，甚至是一种提醒。”简要说说作者要“凭吊、拜谒”什么？ “提醒”什么呢？ 5、简要分析第⑤段中划线句在文中有什么作用？ ? 6、请你为圆明园遗址准备一条宣传语，要能揭示遗址给人的警示。（不超过20字，至少用一种
修辞手法） ? 参考答案： 1、A 理由：用拟人手法，容易引起读者的注意；更能表达作者对造成这种现象的悲痛心情（主题）。 2、相同点：都有对祖国的深切的爱。 不同点：艾青是目睹山河破碎、人民涂炭的现实，心中的痛苦。 本文作者是因为部分国人不知铭记历史而十分伤心、
难过。 3、“扑”表现风来得猛，“砸”表现雨下得大，这样写更能突出作者对人们不理解废墟价值的一种愤怒与悲哀。（言之有理，可酌情给分） 4、凭吊、拜谒无数在此长眠的死难者（中华民族屈辱的历史） 提醒自己不忘历史的耻辱，不能让悲剧重演。（意同即可） 5、一方面突
（5）ABC 的重心坐标公式：
x
y
xA yA
xB
3 yB
xC yC
3
2、平移
（1）图形平移的定义
设F是坐标平面内的一个图形，将图上的所有 点按照同一方向移动同样长度，得到图形F’， 我们把这一过程叫做图形的平移。
（2）平移公式
设P(x,y)是图形F上任意一点，它在平移后图形上的
起来，用极低的声音问：“老师，我可以带馒头吗？”一阵其实并没有恶意的笑声刺激着女孩，她的脸通红通红的，低着头默默地坐下，眼泪沿着脸颊流了下来。李老师走过去，抚摸着她的头说：“你放心，可以带馒头的。” ③出发的前一天，女孩子拿着饭票在学校食堂买了六个馒头，