定比分点公式的三大应用
定比点差法及其应用解说
定比点差法及其应用解说一、定比分点若，则称点为点、的定比分点．当时，点在线段上，称为内分点；当（）时，点在线段的延长线上，称为外分点．定比分点坐标公式：若点，，，则点的坐标为二、点差法点差法其实可以看作是方程的相减，是对方程的一个巧妙的处理。
若点在有心二次曲线上，则有两式作差得此即有心二次曲线的垂径定理，可以解决与弦的中点相关的问题．1、弦的中点点差法一个妙用：例1 已知椭圆，直线交椭圆于两点，为的中点，求证：为定值。
分析用常规方法设直线也可以解决，但是计算就很繁杂，在这里使用点差法。
解设，，在椭圆上：，作差得：即：，因为所以，为定值。
以上结论与弦的中点有关，也称为垂径定理。
考虑当椭圆为圆的时候，，则，，正好也符合圆的“垂径定理”。
在双曲线中同样有类似的结论，但定值为，在这里就不再推导了。
2、弦上的定比分点当弦上的点不再是中点时，就成了定比分点：设，，，则点坐标可以表示为：，证明设，，化简可得：，同理这时候就出现了这样形式的式子。
如果再凑出，可能大家就会有点感觉了：可以将椭圆的方程乘上一个再作差，得到这样的式子。
因此我们想到了“定比点差法”这样的技巧。
例2 已知椭圆，在椭圆外，过作直线交椭圆于两点，在线段上且满足：，求证：点在定直线上。
分析按照以上思路，要出现和这样的式子，很容易想到设的坐标，再表示出的坐标。
解设，，，则，结合图形得：则，在椭圆上：①，②得：即，所以在定直线上。
下面介绍定比点差法：若点在有心二次曲线上，则有两式作差得这样就得到了例7、过异于原点的点引椭圆的割线，其中点在椭圆上，点是割线上异于的一点，且满足．求证：点在直线上．证明：直接运用定比点差法即可．设，则有，设，则有又因为点在椭圆上，所以有两式作差得两边同除以，即可得到命题得证．例8、已知椭圆，过定点的直线与椭圆交于两点（可以重合），求的取值范围．解析：设，，则．于是，于是又因为点在椭圆上，所以有两式相减得将(1)代入(2)中得到由(1)(3)解得从而解得的取值范围为，于是的取值范围为．例9、设、为椭圆的左、右焦点，为椭圆上任意一点，直线分别交椭圆于异于的点、，若，，求证：．证明：设，，，则于是有又由点在椭圆上得到两式相减得从而有结合(4)式可解得同理可得结合(5)式得到于是有整理得，命题得证．例10、已知椭圆，点，过点作椭圆的割线，为关于轴的对称点．求证：直线恒过定点．解析：因为三点共线，三点也共线，且三点都在椭圆上，我们用定比点差法去解决这个问题．设，，则，设与轴的交点为，，，则于是有由点在椭圆上得两式相减得将(2)代入(3)得。
5-4新田中学-线段的定比分点与平移
π π ∴y－2＝sin[(x－4)＋4]－2， 化简，得 y＝sinx. ∴原来函数的解析式为 y＝sinx.
→，当P1Q＝－3P2Q即 λ＝3 时 xQ＝－1＋2λ＝5，yQ＝ → → 3P2 Q 4
1＋λ －5＋4λ 7 5 7 ＝4，∴Q 点坐标为(4，4)． 1＋λ → → 当P1Q＝3P2Q即 λ＝－3 时 －1＋2λ 7 －5＋4λ 17 xQ＝ ＝2，yQ＝ ＝2. 1＋λ 1＋λ 7 17 ∴Q 点坐标为(2， 2 )．
启示：函数与方程思想贯穿于整个中学数学， 则向量模的关系转化为解不等式，再由解不 等式探求不等式成立的条件，再由a·e＝1，
●回归教材 1．已知点 P 分有向线段P→ 2的比为 λ，则下列结论中正 1P 确的是 A．λ 可以是任意实数 B．λ 是不等于零的实数 C．当 λ＜－1 时，点 P 必在P→ 2的延长线上 1P D．当－1＜λ＜0 时，点 P 在P→ 2的延长线上 1P ( )
－5＋4λ1 解析：(1)由已知 1＝ 解得 λ1＝2， 1＋λ1 －1＋2λ1 x＝ ＝1. 1＋λ1 → ＝2PP2得P1P＝2(PP1＋P→ 2)整理得P→ 1 ＝－ 3 → → → (2)由P1P 1P 2P 2 → .∴λ2＝－3. P1P 2
→ → → → → → → (3)由P1Q∥P2Q且|P1Q|＝3|P2Q|知P1Q＝3P2Q或P1Q＝－
则点 P 分P→ 2所成的比是________． 1P → 2的延长线上，则P1P＝3. → 解题思路：如图，P 在P1P
三角形的定比分点公式及应用
三角形的定比分点公式及应用设在三角形ABC的边AB上，有两个点D和E，使得AD:DE:EB=m:n:p，其中m、n、p为正实数，且满足m+n+p=1、则称点D和点E是边AB上的定比分点。
应用：1.线段分点定比问题：已知两点A、B，找到两点之间的一个点P，使得AP:PB=m:n。
这个问题可以通过将线段AB看作三角形的一条边，然后应用定比分点公式来解答。
2.定比分点的证明：如果在三角形的边上有一个点是边的中点，则此点与边两端的点成1:1:1的定比分点。
证明如下：设在三角形ABC的边AB上有一点D是边AB的中点，即AD=BD，则AD:DE:EB=AD:AD:BD=1:1:1同理，三角形的另外两条边上也存在中点，可以利用定比分点公式得到其它的定比分点。
3.相似三角形的性质：如果在两个相似三角形的相应边上分别取定比分点，则这两个定比分点所确定的线段也是相似三角形的定比分点。
例如，在相似三角形ABC和DEF中，AB:DE=BC:EF=a，如果在边AB上取定比分点D和E，使得AD:DE:EB=m:n:p，则有BC:EF=AD:DE:EB=m:n:p=a。
即在三角形DEF中，BC是EF的定比分点。
4.解决长度比例问题：通过应用定比分点公式，可以解决与长度比例有关的数学问题。
例如，在已知等腰直角三角形ABC中，如果AD是边AC上的定比分点，即AD:DC=m:n，则可以根据定比分点公式求出在边AC上的偏距AD和线段AB、BC的长度。
5.解决面积比例问题：通过应用定比分点公式，可以解决与面积比例有关的数学问题。
例如，已知三角形ABC中，面积为S，若点D是边AB 上的定比分点，即AD:DB=m:n，则可以根据定比分点公式求出三角形ABD 和三角形ACD的面积，并据此计算出三角形ABC的面积。
总结起来，三角形的定比分点公式是一个重要的几何定理，它可以在解决线段或面积比例问题中起到重要的作用，能够推导出一些三角形的性质和关系。
2.3.3线段的定比分点
(
x1
2
x2
,
y1
2
y2
)
C
CG 2 CG 2GD
O
x
GD
由定比分点坐标公式可得G点坐标为：
5.5 线段的定比分点
解：∵D是AB的中点
∴点D的坐标为
(
x1
2
x2
,
y1
2
y2
)
CG 2 CG 2GD
B
GD
由定比分点坐标公式可得G点坐标为：
x
x3
2
x1
2
x2
x1Βιβλιοθήκη x2x32
2
y P2
P P1
所以，点P的坐标为
(
x1
2
x2
,
y1
2
y2
)
O
x
(1)
例3.设点P是线段P1P2上的一点，P1、P2的坐标分别是
(x1, y1), (x2 , y2 ) 。
（1）当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标；
（2）当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标。
y P2
y P2
段P1P2 所成的比．
能根据P点的三种不同的位置和实数与向量的积的向量 方向确定λ的取值范围吗？
思考： 可以为-1与0吗？
5.5 线段的定比分点
设 P1( x1, y1 )，P2( x2 , y2 ) ，P分P1P2 所成的比为 ，如何
求P点的坐标呢？
P1P ( x x1, y y1 )
y
y1 y2 1
有向线段 P1 P2的中点坐标公式
x x1 x2 x y y1
y2 y
x
x1
定比分点坐标公式在解题中的应用
定比分点坐标公式在解题中的应用河北 陈庆新许多同窗可能已经能够熟练地应用有向线段的定比分点坐标公式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=λλλλ112121y y y x x x 及定比的坐标公式λ＝x －x 1x 2－x ，求解有向线段的定比分点坐标及定点分有向线段所成的比了．事实上用这两个公式，还可巧妙地用于解决其它一些问题．如用得好，会使解题进程显得别具一格，简捷明快，充分展现咱们思维的独创性．下面举例说明其解题中的应用． 一、在几何问题中的应用（一）关于公式的正用例1． 证明：三角形内角平分线分其对边之比等于夹那个角的两边长度之比．证明：以ΔOAB 的极点O 为原点，∠AOB 的平分线OC 因此直线为x 轴，成立平面直角坐标系如下图，设|OA|＝m ，|OB|＝n ，∠AOC ＝∠COB ＝θ，那么A(m cos θ，m sin θ)，B(n cos θ，－nsin θ)，设C 点分−→−AB 的所成的比为λ，由定比分点的坐标公式：m sin θ－λn sin θ1＋λ＝0，解之得，λ＝m n ，即|AC||CB|＝|OA||OB|．点评：本例的结论在解题中有着很多的应用。
请看下面的例子。
例2．已知△ABC 三个极点的坐标别离为A(－1，1)，B(3，1)，C(2，5)，角A 的内角平分线交对边于D ，那么向量AD −−→的坐标为 ．解析：容易计算|AB −−→|＝4，|AC −−→|＝5。
依照三角形内角平分线的性质知：ABAC＝BD DC ，于是可知点D 分有向线段BC −−→所成的比为45，从而由定比分点坐标公式可求得点D 的坐标（239，259），于是AD −−→＝（329，169）．例3．已知三点A(1，2)、B(4，1)、C(3，4)，在线段AB 上取一点P ，使过P 且平行于BC 的直线把△ABC 的面积分成4∶5两部份，求点P 的坐标．A C OBx y解析：由题意得：ABCAPQ S S ∆∆＝2⎪⎭⎫ ⎝⎛AB AP ＝49．因此AP AB ＝23，即−→−AP ＝2−→−PB ，λ＝2，设P(x ，y )，那么x ＝1＋2×41＋2＝3，y ＝2＋2×11＋2＝43．因此P 点的坐标为(3，43)．例4．已知在△ABC 中，BC ＝a ，CA ＝b ，AB ＝c ，且A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)、C(x 3，y 3)，求△ABC 的内心坐标．解析：设I 为△ABC 的内心，AD 为∠A 的平分线，那么AB AC ＝BD DC ＝cb ，∴点D 分−→−BC 所成的比为cb ，∴由定比分点的坐标公式可求得D 点的坐标：x D ＝x 2＋c b ×x 31＋c b＝bx 2＋cx 3b ＋c，y D ＝by 2＋cy 3b ＋c．又AI ID ＝AB BD ＝AC CD ，∴AI ID ＝AB ＋AC BD ＋CD＝b ＋ca ，即点I 分−→−AD 所成的比b ＋c a ． ∴xI＝acb c b cx bx a c b x ++++⋅++1321＝ax 1＋bx 2＋cx 3a ＋b ＋c ，同理yI＝ay 1＋by 2＋cy 3a ＋b ＋c ．∴△ABC 的内心坐标为(ax 1＋bx 2＋cx 3a ＋b ＋c ，ay 1＋by 2＋cy 3a ＋b ＋c)．（二）公式的逆用例5．已知一次函数y ＝－mx －2图象与线段AB 有交点，假设A(－2，3)、B(3，2)，求实数m 的取值范围．解析：设一次函数的图象直线l 交AB 于点P(x ，y )且−→−AP ＝λ−→−PB (λ≥0)，当λ＝0时，直线过A 点，那么由定比分点坐标公式知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++-=λλλλ123132y x ，又因P 在直线l 上，故m ·－2＋3λ1＋λ＋3＋2λ1＋λ＋2＝0，解得：λ＝2m －53m ＋4≥0，从而m ≥52或mACBDI＜－43．又当点P 与点B 重合时符合题意，因此将B(3，2)代入直线l 的方程，求得m ＝－43．故m 的取值范围为m ≥52或m ≤－43．本例能够推行为：已知定点P 1（x 1，y 1）、P 2(x 2，y 2)及直线l ：A x ＋B y ＋C=0，设直线l 与直线P 1P 2相交于点P ，求证：点P 分有向线段12P P −−→所成的比λ＝－A x 1+B y 1+CA x 2+B y 2+C．略解：设点P 分有向线段12P P −−→所成的比λ，由定比分点坐标公式可求得点P的坐标为：121211x x x y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，将点P 的坐标代入直线l 的方程：A 121x x λλ++＋B 121y y λλ++＋C=0，整理得：（A x 1＋B y 1＋C ）＋λ(A x 2＋B y 2＋C)=0，解之得：λ＝－A x 1+B y 1+CA x 2+B y 2+C ．点评：假设利用那个结论来解答一下例5，就显得超级简捷：设点P(x ，y )分有向线段AB −−→所成的比为λ，则λ＝－A x 1+B y 1+CA x 2+B y 2+C ＝－－2m ＋3＋23m ＋2＋2＝2m －53m ＋4，因为P 为内分点，因此λ＝2m －53m ＋4≥0，解之得：m ≥52或 m ＜－43，当直线l 过点B时，有m ＝－43．综上知：m ≥52或m ≤－43． 二、在代数问题中的应用 （一）、解不等式例6．解不等式2－x1＋3x≥1．解析：令y ＝2－x 1＋3x －1≥0，那么x ＝1－y 4＋3y＝14＋3y 4×(－13)1＋3y 4，且y ≥0，于是此问题可转化为：数轴上以P 1(14)为起点，P 2(－13)为终点，定比λ＝34y ≥0时，求分点P 的坐标x 的范围问题．由λ＝34y ≥0知点P 为有向线段−→−21P P 的内分点，或与点P 1重合，故应有－13＜x ≤14．例7． 解不等式1＜x 2－2x －1x 2－2x －2＜2．解析：在数轴上取P 1，P ，P 2点依次表示1，x 2－2x －1x 2－2x －2，2，由−→−P P 1＝λ−→−2PP 得λ＝1x 2－2x －3，因为P 内分有向线段−→−21P P ，因此λ＞0，即x 2－2x －3＞0，解之即得原不等式的解集为：{x |x ＜－1或x ＞}3． （二）、求函数的值域例8． 求函数y ＝1＋3x ＋11－x ＋1的值域．解析：令λ＝－x ＋1，那么λ≤0，依题意有y ＝－1＋λ(－3)1＋λ，依照上式可知λ为点P(y )分有向线段−→−21P P 所成的比，其中P 1(1)、P 2(－3)，于是函数y 为分点P 的坐标，由定比的坐标公式：λ＝x －x 1x 2－x ＝y －1－3－y≤0，解之得y ＜－3或y ≥1．即原函数的值域为(－∞，－3)∪[1，＋)∞．例9．求函数y ＝e x －1e x ＋1的反函数的概念域．解析：问题等价于求原函数的值域．令λ＝e x ＞0，P 1(－1)，P(y )，P 2(1)，那么y ＝e x －1e x ＋1＝－1＋e x ·11＋e x ＝－1＋λ1＋λ，∵λ＞0，∴P 为有向线段−→−21P P 的内分点，∴－1＜y ＜1，故原函数的值域为(－1，1)，即其反函数的概念域为(－1，1)．例10．求函数y ＝x 2－x ＋1x 2＋x ＋1(1＜x ＜)3的值域．解析：将原函数式变形为：y ＝x 2－x ＋1x 2＋x ＋1＝－1＋(x ＋1x )·11＋(x ＋1x )，设P 1(－1，0)、P 2(1，0)，λ＝x ＋1x ，其中1＜x ＜3．由函数λ＝x ＋1x 的单调性可求得，2＜λ＜103．又当λ＝2时，y ＝13；λ＝103时，y ＝713，因此所求函数的值域为(13，713)． （三）、求函数的解析式例11．二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图像通过点(－1，0)且x ≤f (x )≤12(x 2＋1)，对一切实数x 都成立，求f (x )．解析：因为当x ∈R ，总有x ≤f (x )≤12(x 2＋1)，为此不妨设P 1(x )、P[f (x )]、P 2(x 2＋12)为数轴上三点，那么−→−P P 1＝λ−→−2PP ，其中λ≥0，于是由定比分点坐标公式得： f (x )＝ x ＋λ·x 2＋121＋λ，又因为y ＝ f (x )通过点(－1，0)，代入上式得，0＝－1＋λ1＋λ，解得λ＝1，再将λ＝1代入f (x )＝ x ＋λ·x 2＋121＋λ得，f (x )＝ 14x 2＋12x ＋14．（四）、用于处置三角问题例12． 证明：y ＝2sin x ＋12sin x －1的值不在区间(13，3)内．证明：①当sin x ＝1时，y ＝3∉(13，3)； ②当sin x ＝－1时，y ＝－1∉(13，3)；③当sin x ≠±1时，将P(y )视为数轴上的点A(13)与B(3)的分点，由定比的坐标公式：λ＝x －x 1x 2－x ，得λ＝y －133－y ＝sin x ＋13(sin x －1)＜0，即点P(y )为有向线段−→−AB 的外分点，故有y ∉(13，3)． 综上可知，y ＝2sin x ＋12sin x －1的值不在区间(13，3)内．（六）、用于解决数列问题数列是概念在正整数集上的特殊函数．而等差数列的通项公式为：a n ＝a 1＋(n －1)d ＝dn ＋(a 1－d )为变量n 的一次函数(d ≠0)，其图象为直线．故而有A(m ，a m )、B(n ，a n )、C(p ，a p )三点共线(其中a m 、a n 、a p 别离为项数是m 、n 、p 的数列中的项)．为此咱们把C 视为−→−AB 的一个定比分点，那么有λ＝p －mn －p，a p＝a m ＋λa n 1＋λ．例13 ．在3与19之间插入31个数，使它们成等差数列，求通项公式． 解析：设通项为a n ，令点P(n ，a n )分A(1，a 1)，B(33，a 33)两点连成的线段所成的比为λ，那么有λ＝n －133－n ，又由题意，a 1＝3，a 33＝19，于是有a n ＝a 1＋λa 331＋λ＝3＋n －133－n ×191＋n －133－n ＝12n ＋52． 即通项a n ＝12n ＋52．命题2． 设数列{ a n }是等差数列，S n 是数列的前n 项和，其中S P 、S m 、S n 知足λ＝p －m n －p (λ≠－1)，那么S m m ＝S p p＋λS n n1＋λ．例14． 设S n 是等差数列的前n 项和，已知S 10＝100，S 100＝10，求S 110． 解析：取λ＝110－10100－110＝－10，那么S 110110＝S 1010＋λS 1001001＋λ ＝10010＋(－10)101001＋(－10) ＝－1，因此S 110＝－110．。
高一数学第五章(第8课时)线段的定比分点
课 题：线段的定比分点教学目的： 1掌握线段的定比分点坐标公式及线段的中点坐标公式； 2熟练运用线段的定比分点坐标公式及中点坐标公式； 3理解点P 分有向线段21P P 所成比λ的含义； 4明确点P 的位置及λ范围的关系教学重点：线段的定比分点和中点坐标公式的应用教学难点：用线段的定比分点坐标公式解题时区分λ＞0还是λ＜０授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法向量加法的三角形法则和平行四边形法则2．向量加法的交换律：a +b =b +a3．向量加法的结合律：(a +b ) +c =a + (b +c )4．向量的减法向量a 加上的b 相反向量，叫做a 与b的差即：a - b = a + (-b )5．差向量的意义： OA = a , OB = b , 则BA = a - b即a - b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量6．实数与向量的积：实数λ与向量a ρ的积是一个向量，记作：λa ρ（1）|λa ρ|=|λ||a ρ|；（2）λ>0时λa ρ与a ρ方向相同；λ<0时λa ρ与a ρ方向相反；λ=0时λa ρ=0 7．运算定律 λ(μa ρ)=(λμ)a ρ，(λ+μ)a ρ=λa ρ+μa ρ，λ(a ρ+b ρ)=λa ρ+λb ρ8． 向量共线定理 向量b ρ与非零向量a ρ共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b ρ=λa ρ9．平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ρ，有且只有一对实数λ1，λ2使a ρ=λ11e +λ22e (1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不惟一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；(4)基底给定时，分解形式惟一 λ1，λ2是被a ρ，1e ，2e 唯一确定的数量 10．平面向量的坐标表示分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得yj xi a +=把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作),(y x a =其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标， 特别地，)0,1(=i ，)1,0(=j ，)0,0(0=11．平面向量的坐标运算若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --=，),(y x a λλλ=若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --=12．a ρ∥b ρ (b ρ≠0)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=0二、讲解新课：1．线段的定比分点及λP 1, P 2是直线l 上的两点，P 是l 上不同于P 1, P 2的任一点，存在实数λ，使 P P 1=λ2PP ，λ叫做点P 分21P P 所成的比，有三种情况：λ>0(内分) (外分) λ<0 (λ<-1) ( 外分)λ<0 (-1<λ<0)2定比分点坐标公式：若点P １(x 1,y 1) ，Ｐ２(x 2,y 2)，λ为实数，且P P 1＝λ2PP，则点P 的坐标为（λλλλ++++1,12121y y x x ），我们称λ为点P 分21P P 所成的比 设P 1=λ2PP点P 1, P, P 2坐标为(x 1,y 1) (x,y) (x 2,y 2)，由向量的坐标运算 P 1=(x-x 1,y-y 1) ，2PP=( x 2-x, y 2-y) ∵P 1=λ2PP∴ (x-x 1,y-y 1) =λ( x 2-x, y 2-y) ∴⎩⎨⎧-=--=-)()(2121y y y y x x x x λλ ⎪⎩⎪⎨⎧++=++=⇒λλλλ112121y y y x x x 定比分点坐标公式(1-≠λ) 点P 分12P 所成的比与点P 分21P P 所成的比是两个不同的比，要注意方向 3P 的位置与λ的范围的关系：①当λ＞０时，P P 1与2PP 同向共线，这时称点P 为21P P 的内分点特别地，当λ＝１时，有P 1＝2PP，即点P 是线段Ｐ１Ｐ２之中点，其坐标为（2,22121y y x x ++） ②当λ＜０(1-≠λ)时，P 1与2PP 反向共线，这时称点P 为21P P 的外分点 探究：若Ｐ１、Ｐ２是直线l 上的两点，点P 是l 上不同于Ｐ１、Ｐ２的任意一点，则存在一个实数λ，使P P 1＝λ2PP ，λ叫做P 分有向线段21P P 所成的比而且，当点P 在线段Ｐ１Ｐ２上时，λ＞０；当点P 在线段Ｐ１Ｐ２或Ｐ2Ｐ1的延长线上时，λ＜０对于上述内容，逆过来是否还成立呢?(1)若λ＞０，则点P 为线段Ｐ１Ｐ２的内分点；(2)若λ＜０，则点P 为线段Ｐ１Ｐ２的外分点一般来说，(1)是正确的，而(2)却不一定正确这是因为，当λ＝－１时，定比分点的坐标公式ｘ＝λλ++121x x 和ｙ＝λλ++121y y 显然都无意义，也就是说，当λ＝－１时，定比分点不存在由此可见，当点P 为线段Ｐ１Ｐ２的外分点时，应有λ＜０且λ≠－１ 4线段定比分点坐标公式的向量形式： 在平面内任取一点O ，设1OP ＝ａ，2OP ＝ｂ， 由于P P 1＝OP －1OP ＝OP －ａ，2PP ＝2OP －OP ＝ｂ－OP 且有21P P ＝λ2PP，所以OP -a =λ(b -OP )即可得 OP =b a b a λλλλλ+++=++1111 这一结论在几何问题的证明过程中应注意应用三、讲解范例：例1已知A (1，3)，B (－２，０)，Ｃ（２，１）为三角形的三个顶点，L 、M 、N 分别是BC 、CA 、AB 上的点，满足BL ∶BC ＝CM ∶CA ＝NA ∶AB＝１∶３，求L 、M 、N 三点的坐标分析：所给线段长度的比，实为相应向量模的比，故可转换所给比值为点L 、M 、N 分向量BC 、CA 、AB 所成的比，由定比分点坐标公式求三个点的坐标另外，要求L 、M 、N 的坐标，即求OL 、OM 、ON 的坐标(这里O 为坐标原点)，为此，我们可借用定比分点的向量形式下面给出第二种解法解：∵Ａ（１，３），Ｂ（－２，０），Ｃ（２，１），∴OA ＝（１，３），OB ＝（－２，０），OC ＝（２，１）又∵ＢＬ∶ＢＣ＝ＣＭ∶ＣＡ＝ＡＮ∶ＡＢ＝１∶３∴可得：L 分CB ，M 分AC ，N 分BA 所成的比均为λ＝２∴OL ＝λ+11OC ＋λ+11OB ＝31（２，１）＋32（-2，0）=（-32，31） OM =λ+11OA +λλ+1OC =31 (1,3)+ 32（２，１）＝（35，35） ON ＝λ+11OB ＋λλ+1OA ＝31（－２，０）＋32（１，３）＝（０，２） ∴Ｌ（－32，31）、Ｍ（35，35）、Ｎ（０，２）为所求 上述两种解题思路，各有特色，各有侧重，望同学们比较选择，灵活应用例2已知三点A (0，8)，B (－４，０)，Ｃ（５，－３），Ｄ点内分AB 的比为１∶３，E 点在BC 边上，且使△BDE 的面积是△ABC 面积的一半，求DE 中点的坐标 分析：要求DE 中点的坐标，只要求得点D 、E 的坐标即可，又由于点E 在BC 上，△BDE 与△ABC 有公共顶点B ，所以它们的面积表达式选定一公用角可建立比例关系求解解：由已知有AD ＝31DB ，则得AB DB＝34又21=∆∆ABC BDES S ，而Ｓ△ＢＤＥ＝21｜DB ｜·｜BE ｜·sin ∠DBE ，Ｓ△ＡＢＣ＝21｜AB ｜·｜BC ｜sin ∠ABC ，且∠DBE ＝∠ABC∴21=⋅⋅BC AB BEDB ，即得：32=BCBE又点E 在边BC 上，所以2=BCBE，∴点E 分BC 成比λ＝２由定比分点坐标公式有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-⨯+==+⨯+-=221)3(20221524E E y x ,即Ｅ（２，－２），又由⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+=-=+-⨯+=631181311)4(310D D y x ,有D （－１，６）记线段DE 的中点为M (x ,y ),则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-==-+=2262212)1(2y x ,即M （21，２）为所求 四、课堂练习： 1．已知点A (－２，-３)，点Ｂ（４，１），延长AB 到P ，使｜AP ｜＝３｜PB ｜，求点P 的坐标解：因为点P 在AB 上的延长线上，P 为AB 的外分点，所以，AP ＝λPB ，λ＜０，又根据｜AP ｜＝３｜PB ｜，可知λ＝－３，由分点坐标公式易得P 点的坐标为（７，３）．2．已知两点P １（３，２），Ｐ２（－８，３），求点P (21，ｙ)分21P P 所成的比λ及ｙ的值解：由线段的定比分点坐标公式得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+⨯+=+-+=λλλλ1321)8(321y ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2249175y λ 五、小结六、课后作业：1已知点A 分有向线段BC 的比为2，则在下列结论中错误的是（ ）A 点C 分AB 的比是-31B 点C 分BA 的比是-3 C 点C 分AC 的比是-32D 点A 分CB 的比是22已知两点P １（－１，－６）、Ｐ２（３，０），点P （－37，ｙ）分有向线段21P P 所成的比为λ，则λ、ｙ的值为（ ）A －41，８B 41，－８C －41，－８D ４，81 3ABC 的两个顶点A (3，7)和B (-2，5)，若AC 的中点在x 轴上，BC 的中点在y 轴上，则顶点C 的坐标是（ ） A (2，-7) B (-7，2) C (-3，-5) D (-5，-3)4已知点A (x ,2),B (5,1),C (-4,2x )在同一条直线上，那么x =5△ABC 的顶点A (2，3)，B (-4，-2)和重心G (2，-1)，则C 点坐标为 6已知M 为△ABC 边AB 上的一点，且Ｓ△ＡＭＣ＝81Ｓ△ＡＢＣ，则M 分AB 所成的比为7已知点A (-1,-4)、B (5,2)，线段AB 上的三等分点依次为P １、Ｐ２，求Ｐ１、Ｐ２点的坐标以及A 、B 分21P P 所成的比λ．8过P １（１，３）、Ｐ２（７，２）的直线与一次函数5852+=x y 的图象交于点P ，求P 分21P P 所成的比值9已知平行四边形ABCD 一个顶点坐标为A (-2,1)，一组对边AB 、CD 的中点分别为M (3，0)、N (-1，-2)，求平行四边形的各个顶点坐标参考答案：1D 2C 3A 42或27 5(8,-4) 6 71 7P 1(1,-2),P 2(3,0),A 、B 分21p p 所成的比λ1、λ2分别为-21,-2 8 125 9Ｂ（８，－１），Ｃ（４，－３），Ｄ（－６，－１） 七、板书设计（略）八、课后记：。
高一数学;线段的定比分点
教学目标1．理解点P分有向线段所成的比λ的含义，能确定λ的正负号；2．掌握有向线段的定比分点和中点的坐标公式，并能熟练运用这两个公式解决实际问题；3．向学生渗透数形结合的思想，培养学生的思维能力，发现事物间的变化规律.教学建议知识结构重点难点分析本节重点线段的定比分点和中点坐标公式的应用．线段的定比分点和中点的坐标公式，在向量运算以及解析几何中会经常用到，因此首先要学生掌握它们的应用．其中对λ值的确定是正确运用定比分点公式的关键，尤其符号的确定．本节难点是利用线段定比分点坐标公式解题时确定λ的值．由于是有向线段的比，涉及到方向问题，要通过λ的正负来确定，学生求λ值时经常出现错误，要讲清确定λ的方法，先确定有向线段的起点、分点、终点，在确定比值和正负（即方向问题）．教法建议1．本节课通过共线向量引入来介绍，一点分一条有向线段所成比的概念，结合图形讲清λ的符号情况，让学生理解符号正负的确定是由方向确定的，另外要注意比值的顺序始点、分点、终点，λ值是求解线段定比分点坐标的关键．2．本节是运用已有知识推导出新的结论，因此可以以学生推导、分析、总结为主，培养学生运用数学概念分析问题、解决问题的能力．对“数形结合”这一数学思想的渗透贯穿于本节课的始终，作为本节课的一条主线．3．通过具体例题及练习让学生掌握公式的应用，尤其是λ值的确定．让学生通过例题练习归纳总结规律．教学设计示例一．教学目标1．理解点P分有向线段所成的比λ的含义，能确定λ的正负号；2．掌握有向线段的定比分点和中点的坐标公式，并能熟练运用这两个公式解决实际问题；3．向学生渗透数形结合的思想，培养学生的思维能力，发现事物间的变化规律.二．教学重点线段的定比分点和终点的坐标公式的应用．教学难点用线段的定比分点坐标公式解题时区分λ＞0还时λ＜0．三．教学具准备投影仪，直尺．四．教学过程1．设置情境已知线段的两个端点、，为线段所在直线上任一点，由共线向量知识，必有．我们能否解决这样的问题，（1）已知及、，求P点坐标；（2）已知、及，求值．本节课就来讨论上述两个问题，（板书课题——线段的定比分点）2．探索研究（1）师：请同学们回忆叙述向量的加、减、实数与向量的积的坐标运算法则．生：两个向量的和（差）的坐标，等于这两个向量的相应的坐标的和（差）；实数与向量的积的坐标，等于这个实数与这个向量的相应坐标的积．师：已知直线l上两点、，在直线l上取不同于、的任一点P，则P点的位置有哪几种情形？生：有三种情形，P在之间；P在的延长线上，P在的延长线上．师：请得很好，下面我们就P在直线上的三种情况给出定义：设、是直线l上的两点，点P是l上不同于、的任意一点，若存在一个实数使，则叫做点P分有向线段所成的比．你能根据P点的三种不同的位置和实数与向量的积的向量方向确定的取值范围吗？（启发学生从向量的方向上考虑）生：当P在之间时，与方向相同，所以；当点P在的延长线上时，；若点P在的延长线上时，同理可得．下面我们利用平面向量的坐标运算推导定比分点坐标公式师：设，，P分所成的比为，如何求P点的坐标呢？（按以下思路引导学生进行思考）师：设，你能用坐标表示等式吗？生：师：由两个向量相等的条件，可以得出什么结论呢？生：师：对！这就是线段的定比分点P的坐标公式，特别地，当时，得中点P的坐标公式：（2）例题分析【例1】已知两点，，求点分所成的比及y的值．解：由线段的定比分点坐标公式得【例2】如图所示，的三个顶点的坐标分别为，，，D是边AB的中点，G是CD上的一点，且，求点G的坐标．解：∵D是AB的中点∴点D的坐标为∵∴由定比分点坐标公式可得G点坐标为：即点G的坐标为，也就是的重心的坐标公式．3．演练反馈（投影）（1）如图所示，点B分有向线段的比为，点C分有向线段的比为，点A分有向线段的比为．（2）连结A（4，1）和B（－2，4）两点的直线，和x 轴交点的坐标是，和y轴交点的坐标是．（3）如图所示，中，AB的中点是D（－2，1），AC的中点是E（2，3），重心是G（0，1），求A、B、C的坐标．参考答案：（1）；（2）（6，0）、（0，3）；（3）用三角形基法作图得：A（0，5），B（－4，－3），C（4，1）4．总结提炼（1）定比分点的几种表达方式：……向量式……坐标式……公式形式（2）中点公式，重心公式要熟记．（3）定比分点公式也是判定或证明两向量是否共线、平行的有效方法．五．板书设计1．定比分点的定义（1）内分点3．例1（2）外分点a．b．2．分点坐标公式4．演练反馈a．5．总结提炼b．典型例题例1．已知，，且，，求点、的坐标.分析：借助线段的定比分点式求解.解：设， .由，可得，即， .运用定比点公式可知仿上可求得，综上可知，欲求、两点坐标为， .小结：对于本题欲求点的坐标时，也可以由，得到，从而由定比公点公有得，. 同理，也可以由求得点坐标，这表明，我们在利用定点比分点公式时，既要注意使用公式的前提，同时也要注意灵活地使用公式。
定比分点公式的三大应用
定比分点公式的应用线段的定比分点坐标公式：设P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2）是平面内两个定点，点P 0（x 0，y 0）分有向线段12PP u u u u r所成的比为λ，则有 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=λλλλ11210210y y y x x x （λ≠－1） 而 01012020x x y y x x y y λ--==--特别地，当点P 0为内分点或者与点P 1重合时，恒有λ≥0，当点P 为外分点时，恒有λ＜0（λ≠－1）。
定比分点公式揭示了直线上点的位置与数量变化之间的转化关系。
灵活应用这个公式，可使解题过程简洁明快，充分展现思维的独创性。
下面举例说明它在解题中的应用。
一、用于求解数值的范围例2.已知,0,1,a b c c <<≠-a+bcx=且1+c求证：[,]x a b ∉。
证明：设(),(),()A a B b P x 是数轴上的三点，P u u r是AB 的定比分点，则定比P ∴u u r是AB 的外分点，则 [,]x a b ∉。
二、用于解决不等式问题 例1.已知1,1a b <<，求证：11a bab+<+。
证明：设(1),(1),()1a bA B P ab+-+是数轴上的三点，P λu u r 分AB 的比是，则1,10,a b P λ<<∴>Q 是u u rAB 的内分点，1a bab+∴+在-1与1之间，即11a b ab +<+。
定比分点公式的类比推理从定比分点公式的结构形式来看，它与平面几何中的平行于梯形、三角形底边的截线问题，立体几何中的平行于柱、锥、台底面的截面问题以及数列中的通项公式、前n 项和与项数n 的关系等问题，具有很明显的相似之处。
1．平面几何中的定比分点：命题1：设梯形ABCD 的上、下底边长分别为l 1、l 2 若平行于底边的截线EF 把梯形的腰（高）分成上、下两部分之比为λ（λ≠-1），则EF 的长l=λλ++121l l (λ≥0)。
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定比分点公式的应用
线段的定比分点坐标公式：设P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2）是平面内两个定点，点P 0（x 0，y 0）分有向线段12
PP 所成的比为λ，则
有 ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧++=++=λλλλ112
10210y y y x x x （λ≠－1） 而 0
101
2020
x
x y y x x y y λ--==-- 特别地，当点P 0为内分点或者与点P 1重合时，恒有λ≥0，当点P 为外分点时，恒有λ＜0（λ≠－1）。
定比分点公式揭示了直线上点的位置与数量变化之间的转化关系。
灵活应用这个公式，可使解题过程简洁明快，充分展现思维的独创性。
下面举例说明它在解题中的应用。
一、用于求解数值的范围 例2.已知,0,1,a b c c <<≠-a+bc
x=
且1+c
求证：[,]x a b ∉。
证明：设(),(),()A a B b P x 是数轴上的三点，P 是AB 的定比分点，则定比
101a bc
a
x a c c a bc b x b c
λ+--+===<+--
+
P ∴是AB 的外分点，则 [,]x a b ∉。
二、用于解决不等式问题 例1.已知1,1a b <<，求证：
11a b
ab
+<+。
证明：设(1),(1),()1a b
A B P ab
+-+是数轴上的三点，P λ分AB 的比是，则
111a b ab λ
λ+-+=
++ (1)
1(1)(1)
11(1)(1)11a b
a b ab a b ab a b ab a b a b ab
λ+--++++++∴===
+--+---
+ 1,10,a b P λ<<∴>是AB 的内分点，
1a b
ab
+∴
+在-1与1之间，即
11a b ab +<+。
定比分点公式的类比推理
从定比分点公式的结构形式来看，它与平面几何中的平行于梯形、三角形底边的截线问题，立体几何中的平行于柱、锥、台底面的截面问题以及数列中的通项公式、前n 项和与项数n 的关系等问题，具有很明显的相似之处。
1．平面几何中的定比分点：
命题1：设梯形ABCD 的上、下底边长分别为l 1、l 2 若平行于底边的截线EF 把梯形的腰（高）分成上、下两部分之比为λ（λ≠-1），则EF 的长l=
λ
λ++12
1l l (λ≥0)。
特别地，（1）当l 1=l 2时，条件为一平行四边形，结论仍成立；
（2）当l 1=0时，条件为一三角形，结论仍成立； （3）当λ＝1时，即可得到梯形的中位线公式。
证明：设BA 的延长线与CD 的延长线交于O ，由三角形相似可得
11
2
(1)
1(2)
l AO l AO AB l AO AO AB l λ
λ⎧
=⎪+⎪+⎨
⎪=⎪
+⎩
由（1）（2）可得λ
λ++=
12
1l l l 。
依照命题1的推导方法，不难证明出以下命题：
命题1’：设梯形ABCD 的上，下底边长分别为l 1,l 2，若平行于底边的截线EF
把梯形的面积分成上下两部分之比为λ，则有==2
2
l EF λ
λ++12221l l （特别当
l 1=0梯形退化为一个三角形时，结论为2
l =λ
λ+12
2l 仍成立。
）
2、立体几何中的定比分点：
命题 2 ：设棱台的上、下底面积分别为S 1、S 2，平行于底面的截面的面积为S 0，此截面到上底面距离与它到下底面距离的比为λ，则有：
λ
λ++1210S S S ＝。
特别地，当λ＝1
时，=。
证明：将棱台补成棱锥，设所补的小棱锥的高为x ，截面到上、下底面的距离分别为λh 和h ，则由截面性质定理可得：
x h x h h S S x h x S S +++=+=
λλλ020
1,
h h x λλ=+ …………
(1) h
h x
λ=
+…………(2), 由(1) ÷ (2)
得λ．
即：λ
λ１＋Ｓ＋Ｓ＝Ｓ２１０
．
依照公式2的推导方法，不难证明出以下两公式：
命题2’:设棱台的上、下底面积分别为S 1、S 2，平行于底面的截面的面积为
S 0，若此截面将棱台的侧面分成的上、下两部分的面积之比为λ，则有
λ
λ++=
1)()()(2
2212
0S S S
命题2”: 设棱台的上、下底面积分别是S 1、S 2，平行于底面的面积为S 0．若此截面将棱台分成的上、下两部分的体积比为λ，则有
λ
λ++=
1)()()(3
2313
0S S S
注：以上三个公式，对于圆台也同样成立．上述三个“定比分点”公式，形式整齐，结构对称，富有美感，便于记忆；而且在求解立体几何的有关问题时，有着广泛的应用。
3．数列中的定比分点：
命题3：设{}n a 是等差数列，其中a p 、a m 、a n ，满足,n
m m
p --=
λ则)1(1-≠++=
λλ
λn p m a a a 。
证明：a p =a 1+(p-1)d ， a m =a 1+(m-1)d ， a n =a 1+(n-1)d
（其中a 1、d 分别是等差数列{}n a 的首项与公差）
将a p 、a m 、a n 代入 n
m m
p --=λ 中可得 λλ++=1n p m a a a
命题3’:设{}n a 是等差数列，Ｓn 是数列{}n a 的前n 项和，其中Ｓp 、Ｓm 、Ｓn
满足p m
m n
λ-=
-（1-≠λ），则λλ
++=
1n
S p S m S n
p
m 。
证明：因为d n n na S n 2)1(1-+
= =n d a n d )2
(212-+⋅ 那么S n =An 2+Bn ，即
B An n S n +=，所以数列⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧n S n 是等差数列，
由命题3，即有
λ
λ
++=1n
S p
S m S n
p
m 。
三、用于求函数的解析式
对于函数y=f(x),如果能够化为)1)(()
(1)
(-≠+⨯+=
x t x t x t n m y ，就与
λ
λ++=
12
1y y y 的形式完全相同（只须把t(x)看成λ），用数轴上两点P 1、P 2分别表示m 、n ，不妨设m<n ，P 点表示y ，且
)(2
1x t PP P
P =，则当t(x)>0时，m<y<n;当t(x)=0时，y=m;当t(x)<0时，y<m 或y>m 。
例 3.已知二次函数f(x)满足条件：(1) f(-1)=0；(2)对一切x ∈R ，都有
2
1)(2
x x f x +≤≤成立，求f(x)的解析式。
本题如果应用函数、根的判别式、基本不等式等知识来解题的话,过程比较繁琐，有些学生因为综合能力差，听完讲解后仍然似懂非懂，但如果运用定比分点公式解题则非常简单：
解：由2
1)(,2
x x f x R x +≤≤∈,可设数轴上的点P 1(x,0)、P(f(x),0)，
)021(2
2，x P +,且λ=21PP P P ， 则f(x)=λ
λ+++1)
21(2
x x ，因为f(－1)=0 ,所以
01)
21
1(1=+++-λ
λ,解得 λ＝1， 所以412141)(2++=x x x f 。
四、。