关于外接球的表面积与体积计算问题(二)

关于外接球的表面积与体积问题（二）一．选择题（共30小题）1．已知△EAB所在的平面与矩形ABCD所在的平面互相垂直，EA=EB=3，AD=2，∠AEB=60°，则多面体E﹣ABCD的外接球的表面积为（）A．4πB．9πC．12πD．16π2．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为，AB=2，则此球的体积等于（）A． B．C．D．3．三棱锥A﹣BCD中，△ABC为等边三角形，AB=2，∠BDC=90°，二面角A﹣BC﹣D的大小为150°，则三棱锥A﹣BCD的外接球的表面积为（）A．7πB．12π C．16πD．28π4．已知矩形ABCD中，AB=6，BC=4，E，F分别是AB，CD上两动点，且AE=DF，把四边形BCFE沿EF折起，使平面BCFE⊥平面ABCD，若折得的几何体的体积最大，则该几何体外接球的体积为（）A．28πB．C．32πD．5．已知三棱锥A﹣BCD中，，，且各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（）A．B．4πC．2πD．6．如图，将边长为2的正△ABC沿着高AD折起，使∠BDC=60°，若折起后A、B、C、D四点都在球O的表面上，则球O的表面积为（）A．B．C．D．7．设SA为球的直径，B、C、D三点在球面上，且SA⊥面BCD，三角形BCD 的面积为3，V S﹣BCD=3V A﹣BCD=3，则球的表面积为（）A．16πB．64π C．πD．32π8．已知四面体A﹣BCD中，△ABC和△BCD都是边长为6的正三角形，则当四面体的体积最大时，其外接球的表面积是（）A．60πB．30π C．20πD．15π9．在封闭直三棱柱ABC﹣A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB=15，BC=8，AA1=5，则V的最大值是（）A．B．C．D．36π10．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是线段A1C1的中点，若四面体M﹣ABD 的外接球的表面积为36π，则正方体棱长为（）A．2 B．3 C．4 D．511．三棱锥P﹣ABC中，PA、PB、PC互相垂直，PA=PB=1，M是线段BC上一动点，若直线AM与平面PBC所成角的正切的最大值是，则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积是（）A．2πB．4πC．8πD．16π12．如图某空间几何体的正视图和俯视图分别为边长为2的正方形和正三角形，则该空间几何体的外接球的表面积为（）A．B．C．16πD．21π13．已知P，A，B，C是球O球面上的四点，△ABC是正三角形，三棱锥P ﹣ABC的体积为，且∠APO=∠BPO=∠CPO=30°，则球O的表面积为（）A．4πB．πC．16πD．12π14．已知底面边长为的正三棱锥O﹣ABC的体积为，且A，B，C在球O上，则球的体积是（）A．B．8πC．20πD．15．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，侧面BCC1B1的面积为4，则直三棱柱ABC﹣A1B1C1外接球表面积的最小值为（）A．4πB．8πC．16πD．32π16．如图1，ABCD是边长为2的正方形，点E，F分别为BC，CD的中点，将△ABE，△ECF，△FDA分别沿AE，EF，FA折起，使B，C，D三点重合于点P，若四面体PAEF的四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积是（）A．B．6πC．D．12π17．将边长为的正方形ABCD沿对角线AC折成一个直二面角B﹣AC﹣D．则四面体ABCD的内切球的半径为（）A．1 B．C．D．18．三棱锥P﹣ABC三条侧棱两两垂直，三个侧面面积分别为，则该三棱锥的外接球表面积为（）A．4πB．6πC．8πD．10π19．在四面体S﹣ABC中，，二面角S﹣AC﹣B 的余弦值为，则该四面体外接球的表面积是（）A．B．C．24πD．6π20．如图，在三棱锥D﹣ABC中，，若该三棱锥的四个顶点均在同一球面上，则该球的体积为（）A．B．4πC．2πD．21．一个直三棱柱的每条棱长都是4，且每个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（）A．84πB．96π C．112πD．144π22．三棱锥的棱长均为4，顶点在同一球面上，则该球的表面积为（）A．36πB．72π C．144πD．288π23．已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的六个顶点在球O1上，又知球O2与此正三棱柱的5个面都相切，求球O1与球O2的表面积之比（）A．5：1 B．2：1 C．4：1 D．：124．已知四面体ABCD的六条棱中，AC=BD=4，其余的四条棱的长都是3，则此四面体的外接球的表面积为（）A．43πB．17π C．34πD．25．若三棱锥P﹣ABC中，AB=AC=1，AB⊥AC，PA⊥平面ABC，且直线PA 与平面PBC所成角的正切值为，则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为（）A．4πB．8πC．16πD．32π26．若三棱锥P﹣ABC中，AB=AC=1，AB⊥AC，PA⊥平面ABC，且直线PA 与平面PBC所成角的正切值为，则三棱锥P﹣ABC的外接球的体积为（）A．B．C．D．27．已知正四棱锥P﹣ABCD的底面边长为，体积为，则此棱锥的内切球与外接球的半径之比为（）A．1：2 B．2：5 C．1：3 D．4：528．球O与锐二面角α﹣l﹣β的两半平面相切，两切点间的距离为，O点到交线l的距离为2，则球O的表面积为（）A．B．4πC．12πD．36π29．四面体ABCD的四个顶点都在球O的表面上，AB⊥平面BCD，△BCD是边长为3的等边三角形．若AB=2，则球O的表面积为（）A．8πB．12π C．16πD．32π30．已知在三棱锥P﹣ABC中，V P﹣ABC=，∠APC=，∠BPC=，PA ⊥AC，PB⊥BC，且平面PAC⊥平面PBC，那么三棱锥P﹣ABC外接球的体积为（）A．B．C．D．关于外接球的表面积与体积问题（二）参考答案与试题解析一．选择题（共30小题）1．（2017•全国模拟）已知△EAB所在的平面与矩形ABCD所在的平面互相垂直，EA=EB=3，AD=2，∠AEB=60°，则多面体E﹣ABCD的外接球的表面积为（）A．4πB．9πC．12πD．16π【分析】设球心到平面ABCD的距离为d，利用△EAB所在的平面与矩形ABCD 所在的平面互相垂直，EA=EB=3，∠AEB=60°，可得E到平面ABCD的距离为，从而R2=（）2+d2=12+（﹣d）2，求出R2=4，即可求出多面体E﹣ABCD的外接球的表面积．【解答】解：设球心到平面ABCD的距离为d，则∵△EAB所在的平面与矩形ABCD所在的平面互相垂直，EA=EB=3，∠AEB=60°，∴E到平面ABCD的距离为，∴R2=（）2+d2=12+（﹣d）2，∴d=，R2=4，∴多面体E﹣ABCD的外接球的表面积为4πR2=16π．故选D．【点评】本题考查多面体E﹣ABCD的外接球的表面积，考查学生的计算能力，正确求出多面体E﹣ABCD的外接球的半径是关键．2．（2017•大理州二模）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为，AB=2，则此球的体积等于（）A． B．C．D．【分析】画出球的内接三棱柱ABC﹣A1B1C1，作出球的半径，然后可求球的表面积．【解答】解：设AA1=h，则∵棱柱的体积为，AB=2，∴∴h=1，∵AB=2，∴BC==，如图，连接上下底面外心，O为PQ的中点，OP⊥平面ABC，AP==则球的半径为OA，由题意OP=，∴OA==，所以球的体积为：πR3=π故选B．【点评】本题是基础题，解题思路是：先求底面外接圆的半径，转化为直角三角形，求出球的半径，这是三棱柱外接球的常用方法；本题考查空间想象能力，计算能力．3．（2017•福州一模）三棱锥A﹣BCD中，△ABC为等边三角形，AB=2，∠BDC=90°，二面角A﹣BC﹣D的大小为150°，则三棱锥A﹣BCD的外接球的表面积为（）A．7πB．12π C．16πD．28π【分析】由题意画出图形，通过求解直角三角形可得三棱锥A﹣BCD的外接球的半径，代入球的表面积公式得答案．【解答】解：设球心为M，BC的中点为P，∵三角形BDC满足∠BDC=90°，∴P为三角形BDC的外心，设△ABC的外心为O，∵△ABC为等边三角形，∴MO⊥平面ABC，MP⊥平面BDC，∵二面角A﹣BC﹣D的大小为150°，∴∠OPM=60°，在等边三角形ABC中，由AB=2，得AP=3，∴OP=1，在Rt△MOP中，可得MO=，在Rt△MOA中，得MA=．∴三棱锥A﹣BCD的外接球的表面积为．故选：D．【点评】本题考查球的表面积与体积，考查空间想象能力和思维能力，属中档题．4．（2017•香坊区校级一模）已知矩形ABCD中，AB=6，BC=4，E，F分别是AB，CD上两动点，且AE=DF，把四边形BCFE沿EF折起，使平面BCFE⊥平面ABCD，若折得的几何体的体积最大，则该几何体外接球的体积为（）A．28πB．C．32πD．【分析】三棱柱ABE﹣DCF的底面积最大时，其体积最大．设FC=x，DCF=6﹣x，s△DCF===．令f（x）=36x2﹣12x3，f′（x）=72x﹣36x2，令f（x）=0，可得x=2，即当x=2时，s△DCF最大，此时CF，CD，CB两两垂直，可以把此三棱柱补成长方体，外接球的半径为长方体对角线长的一半，得球半径R即可．【解答】解：将矩形ABCD沿EF折起，使得平面ABCD⊥平面BCFE，可得直三棱柱ABE﹣DCF，（如图）三棱柱ABE﹣DCF的底面△DCF，△ABE是直角△，AB⊥BE，FC⊥CD三棱柱ABE﹣DCF的底面积最大时，其体积最大．设FC=x，DCF=6﹣x，s△===．DCF令f（x）=36x2﹣12x3，f′（x）=72x﹣36x2，令f（x）=0，可得x=2∴当x=2时，s△DCF最大此时CF，CD，CB两两垂直，可以把此三棱柱补成长方体，外接球的半径为长方体对角线长的一半球半径R=，∴几何体外接球的体积为，故选：D．【点评】本题考查了折叠问题，及三棱柱的外接球，属于中档题．5．（2017•贵州模拟）已知三棱锥A﹣BCD中，，，且各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（）A．B．4πC．2πD．【分析】由三棱锥的对边相等可得三棱锥A﹣BCD为某一长方体的对角线组成的三棱锥，求出长方体的棱长即可得出外接球的半径，从而计算出外接球的体积．【解答】解：补体为底面边长为1，高为的长方体，外接球的球心为长方体体对角线中点，所以球的半径r=1，球的体积，故选D．【点评】本题考查了棱锥与外接球的位置关系，棱锥的体积计算，转化思想，属于中档题．6．（2017•临川区校级模拟）如图，将边长为2的正△ABC沿着高AD折起，使∠BDC=60°，若折起后A、B、C、D四点都在球O的表面上，则球O的表面积为（）A．B．C．D．【分析】通过底面三角形BCD求出底面圆的半径DM，判断球心到底面圆的距离OD，求出球O的半径，即可求解球O的表面积．【解答】解：△BCD中，BD=1，CD=1，∠BDC=60°，底面三角形的底面圆半径为：DM=CM=，AD是球的弦，DA=，∴OM=，∴球的半径OD==．该球的表面积为：4π×OD2=π；故选：B．【点评】本题考查球的表面积的求法，球的内接体，考查空间想象能力以及计算能力．7．（2017•贵阳一模）设SA为球的直径，B、C、D三点在球面上，且SA⊥面BCD，三角形BCD的面积为3，V S﹣BCD=3V A﹣BCD=3，则球的表面积为（）A．16πB．64π C．πD．32π【分析】利用SA⊥面BCD，三角形BCD的面积为3，V S﹣BCD=3V A﹣BCD=3，求出球的直径，即可得出结论．【解答】解：设三棱锥A﹣BCD的高为h，则三棱锥S﹣BCD的高为3h，球的直径为2R，∵三角形BCD的面积为3，V A﹣BCD=1，∴=1，∴h=1，∴R=2，∴球的表面积为4π•22=16π，故选A．【点评】本题考查球的表面积，考查三棱锥体积的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．8．（2017•南岗区一模）已知四面体A﹣BCD中，△ABC和△BCD都是边长为6的正三角形，则当四面体的体积最大时，其外接球的表面积是（）A．60πB．30π C．20πD．15π【分析】当四面体的体积最大时，平面ABC⊥平面BCD，取AD，BC中点分别为E，F，连接EF，AF，DF，求出EF，判断三棱锥的外接球球心O在线段EF 上，连接OA，OC，求出半径，然后求解三棱锥的外接球的表面积．【解答】解：当四面体的体积最大时，平面ABC⊥平面BCD，取AD，BC中点分别为E，F，连接EF，AF，DF，由题意知AF⊥DF，AF=CF=3，∴EF=AD=，易知三棱锥的外接球球心O在线段EF上，连接OA，OC，有R2=AE2+OE2，R2=DF2+OF2，∴R2=（）2+OE2，R2=32+（﹣OE）2，∴R=，∴三棱锥的外接球的表面积为4πR2=60π．故选A．【点评】本小题主要考查球的内接几何体的相关计算问题，对考生的空间想象能力与运算求解能力以及数形结合思想都提出很高要求，本题是一道综合题．9．（2017•呼和浩特二模）在封闭直三棱柱ABC﹣A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB=15，BC=8，AA1=5，则V的最大值是（）A．B．C．D．36π【分析】要使球的体积V最大，必须使球的半径R最大．因为△ABC内切圆的半径为2，所以由题意易知球与直三棱柱的上、下底面都相切时，球的半径取得最大值，求出三棱柱ABC﹣A1B1C1内切球半径即可【解答】解：要使球的体积V最大，必须使球的半径R最大．Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=15，BC=8，∴AC=12，△ABC内切圆的半径为r=3，所以由题意易知球与直三棱柱的上、下底面都相切时，球的半径取得最大值为．此时球的体积为πR3=，故选：B．【点评】本题考查了棱柱的内切球的体积，解题关键在于确定球何时半径最大，属于基础题．10．（2017•大东区一模）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是线段A1C1的中点，若四面体M﹣ABD的外接球的表面积为36π，则正方体棱长为（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】设BD的中点O′，则球心O在MO′上，利用四面体M﹣ABD的外接球表面积为36π，求出球的半径，利用勾股定理建立方程，求出正方体棱长．【解答】解：设BD的中点O′，则球心O在MO′上，∵四面体M﹣ABD的外接球表面积为36π，∴4πR2=36π，∴R=3，设正方体棱长为2a，则O′A=a，由勾股定理可得32=（）2+（2a﹣3）2，∴a=2，∴正方体棱长为2a=4．故选C．【点评】本题考查正方体棱长，考查四面体M﹣ABD的外接球表面积，确定球心的位置是关键．11．（2017•绵阳模拟）三棱锥P﹣ABC中，PA、PB、PC互相垂直，PA=PB=1，M是线段BC上一动点，若直线AM与平面PBC所成角的正切的最大值是，则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积是（）A．2πB．4πC．8πD．16π【分析】PA、PB、PC互相垂直，PA=PB=1，M是线段BC上一动点，当PM 最短时，即PM⊥BC时直线AM与平面PBC所成角的正切的最大，最大值是，求出PC=，三棱锥P﹣ABC扩充为长方体，则长方体的对角线长为三棱锥P﹣ABC的外接球的直径，即可得出结论．【解答】解：M是线段BC上一动点，连接PM，∵PA、PB、PC互相垂直，∴∠AMP就是直线AM与平面PBC所成角，当PM最短时，即PM⊥BC时直线AM与平面PBC所成角的正切的最大．此时，PM=，在Rt△PBC中，PB•PC=BC•PM⇒PC=⇒PC=．三棱锥P﹣ABC扩充为长方体，则长方体的对角线长为，∴三棱锥P﹣ABC的外接球的半径为R=1，∴三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为4πR2=4π．故选：B．【点评】题考查三棱锥P﹣ABC的外接球的体积，考查线面垂直，线面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题12．（2017•湖北模拟）如图某空间几何体的正视图和俯视图分别为边长为2的正方形和正三角形，则该空间几何体的外接球的表面积为（）A．B．C．16πD．21π【分析】由几何体的三视图知该几何体是四棱锥S﹣ABCD，其中ABCD是边长为2的正主形，△SBC是边长为2 的等边三角形，AB⊥平面SBC，由此能求出该空间几何体的外接球的表面积．【解答】解：如图，由几何体的三视图知该几何体是四棱锥S﹣ABCD，其中ABCD是边长为2的正方形，△SBC是边长为2 的等边三角形，AB⊥平面SBC，取BC中点F，AD中点E，连结SF，EF，取EF中点M，则MF=1，SF=，设该几何体外接球的球心为O，则OM⊥面ABCD，设OM=x，过O作OH⊥SF，交SF于H，则SH=，OH=MF=1，∴OD2=OS2=R2，即（）2+x2=12+（）2，解得x=，∴R==，∴该空间几何体的外接球的表面积S==．故选：B．【点评】本题考查空间几何体的外接球的表面积的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意三视图的性质的合理运用．13．（2017•楚雄州一模）已知P，A，B，C是球O球面上的四点，△ABC是正三角形，三棱锥P﹣ABC的体积为，且∠APO=∠BPO=∠CPO=30°，则球O的表面积为（）A．4πB．πC．16πD．12π【分析】设△ABC的中心为S，球O的半径为R，△ABC的边长为2a，由已知条件推导出a=R，再由三棱锥P﹣ABC的体积为，求出R=2，由此能求出球O的表面积．【解答】解：如图，P，A，B，C是球O球面上四点，△ABC是正三角形，设△ABC的中心为S，球O的半径为R，△ABC的边长为2a，∵∠APO=∠BPO=∠CPO=30°，OB=OP=R，∴OS=，BS=R，∴=R，解得a=R，2a=R，∵三棱锥P﹣ABC的体积为，∴×××R×Rsin60°×R=，解得R=2，∴球O的表面积S=4πR2=16π．故选：C．【点评】本题考查球的表面积的求法，是中档题，解题时确定球O的半径是关键．14．（2017•临翔区校级一模）已知底面边长为的正三棱锥O﹣ABC的体积为，且A，B，C在球O上，则球的体积是（）A．B．8πC．20πD．【分析】正三棱锥的顶点正好是球心，底面为一个小圆，求出小圆半径、三棱锥的高，可得球的半径，即可求出球的体积．【解答】解：正三棱锥的顶点正好是球心，底面为一个小圆，因正△ABC的边长为，所以小圆半径r=2，又因，所以三棱锥的高h=1，设球半径为R，则，，故选A．【点评】本题考查球的体积，考查学生的计算能力，求出球的半径是关键．15．（2017•灵丘县校级三模）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，侧面BCC1B1的面积为4，则直三棱柱ABC﹣A1B1C1外接球表面积的最小值为（）A．4πB．8πC．16πD．32π【分析】设BC=2x，BB1=2y，则4xy=2，利用直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，可得直三棱柱ABC﹣A 1B1C1外接球的半径为≥=，即可求出三棱柱ABC﹣A1B1C1外接球表面积的最小值．【解答】解：设BC=2x，BB1=2y，则4xy=4，∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，∴直三棱柱ABC﹣A 1B1C1外接球的半径为≥=，∴直三棱柱ABC﹣A1B1C1外接球表面积的最小值为4π×2=8π．故选：B．【点评】本题考查三棱柱ABC﹣A1B确定1C1外接球表面积的最小值，考查基本不等式的运用，确定直三棱柱ABC﹣A1B1C1外接球的半径的最小值是关键．16．（2017•广安模拟）如图1，ABCD是边长为2的正方形，点E，F分别为BC，CD的中点，将△ABE，△ECF，△FDA分别沿AE，EF，FA折起，使B，C，D三点重合于点P，若四面体PAEF的四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积是（）A．B．6πC．D．12π【分析】由已知得PA、PF、PE两两垂直，且PA=2，PE=PF=1，以PA、PE、PF为棱构造一个长方体，则四面体PAEF的四个顶点在这个长方体的外接球上，由此能求出该球的表面积．【解答】解：∵ABCD是边长为2的正方形，点E，F分别为BC，CD的中点，将△ABE，△ECF，△FDA分别沿AE，EF，FA折起，使B，C，D三点重合于点P，∴PA、PF、PE两两垂直，且PA=2，PE=PF=1，以PA、PE、PF为棱构造一个长方体，则四面体PAEF的四个顶点在这个长方体的外接球上，∴这个球的半径为R==，∴该球的表面积是S=4πR2=4π×=6π．故选：B．【点评】本题考查球的表面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意球、四面体的性质及构造法的合理应用．17．（2017•郴州二模）将边长为的正方形ABCD沿对角线AC折成一个直二面角B﹣AC﹣D．则四面体ABCD的内切球的半径为（）A．1 B．C．D．【分析】先求出V D﹣ABC，再求出四面体ABCD的表面积S=S△ADC+S△ABC+S△ABD+S，由四面体ABCD的内切球的半径r=，能求出结果．△BCD【解答】解：∵边长为的正方形ABCD沿对角线AC折成一个直二面角B﹣AC﹣D，∴=1，AC=2，取AC中点O，连结DO，BO，则DO=BO==1，且DO⊥平面ABC，∴V D﹣ABC==，BD==，AB=BC=AD=DC=，∴=，=1，∴四面体ABCD的表面积S=S△ADC+S△ABC+S△ABD+S△BCD=2+，∴四面体ABCD的内切球的半径r===2﹣．故选：D．【点评】本题考查四面体的内切球半径的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意四面体内切球半径与其体积和表面积的关系式的合理应用．18．（2017春•简阳市期末）三棱锥P﹣ABC三条侧棱两两垂直，三个侧面面积分别为，则该三棱锥的外接球表面积为（）A．4πB．6πC．8πD．10π【分析】三棱锥P﹣ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，它的外接球就是它扩展为长方体的外接球，求出长方体的对角线的长，就是球的直径，然后求球的表面积．【解答】解：三棱锥P﹣ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，它的外接球就是它扩展为长方体的外接球，设PA=a，PB=b，PC=c，则ab=，bc=，ca=，解得，a=，b=1，c=．则长方体的对角线的长为=．所以球的直径是，半径长R=，则球的表面积S=4πR2=6π故选B．【点评】本题考查球的表面积，几何体的外接球，考查空间想象能力，计算能力，是基础题．将三棱锥扩展为长方体是本题的关键．19．（2016秋•晋中期末）在四面体S﹣ABC中，，二面角S﹣AC﹣B的余弦值为，则该四面体外接球的表面积是（）A．B．C．24πD．6π【分析】取AC中点D，连接SD，BD，由题意可得∠SDB为二面角S﹣AC﹣B，取等边△SAC的中心E，找出O点为四面体的外接球球心．【解答】解：取AC中点D，连接SD，BD，因为AB=BC=，所以BD⊥AC，因为SA=SC=2，所以SD⊥AC，AC⊥平面SDB．所以∠SDB为二面角S﹣AC﹣B．在△ABC中，AB⊥BC，AB=BC=，所以AC=2．取等边△SAC的中心E，作EO⊥平面SAC，过D作DO⊥平面ABC，O为外接球球心，所以ED=，二面角S﹣AC﹣B的余弦值是﹣，所以cos∠EDO=，OD=，所以BO==OA=OS=OC所以O点为四面体的外接球球心，其半径为，表面积为6π．故选：D．【点评】解决此类问题的关键是熟悉几何体的结构特征，利用已知条件求出线段长度，进而确定圆心的位置即可求出圆的半径．20．（2017春•陆川县校级期中）如图，在三棱锥D﹣ABC中，，若该三棱锥的四个顶点均在同一球面上，则该球的体积为（）A．B．4πC．2πD．【分析】利用已知条件说明三棱锥是长方体的一个角，扩展几何体为长方体，求出外接球的半径，然后求解球的体积．【解答】解：在三棱锥D﹣ABC中，，可得AC⊥BC，AC⊥CD，CD⊥CB，则C﹣ABD三棱锥看作是长方体的一个角，三棱锥的外接球计算长方体的外接球，外接球的半径为：=1．外接球的体积为：=．故选：D．【点评】本题考查三棱锥的外接球的体积的求法，考查空间想象能力以及最后思想计算能力．21．（2017春•山西月考）一个直三棱柱的每条棱长都是4，且每个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（）A．84πB．96π C．112πD．144π【分析】设此直三棱柱两底面的中心分别为O1，O2，则球O的球心O为线段O1O2的中点，设球O的半径为R，利用勾股定理求出R2，由此能求出球O的表面积．【解答】解：∵一个直三棱柱的每条棱长都是4，且每个顶点都在球O的球面上，∴设此直三棱柱两底面的中心分别为O1，O2，则球O的球心O为线段O1O2的中点，设球O的半径为R，则R2=（）2+（）2=28，∴球O的表面积S=4πR2=112π．故选：C．【点评】本题球的表面积的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力，考查转化化归思想、数形结合思想、方程思想、整体思想，是中档题．22．（2017春•顺庆区校级月考）三棱锥的棱长均为4，顶点在同一球面上，则该球的表面积为（）A．36πB．72π C．144πD．288π【分析】正四面体补成正方体，通过正方体的对角线与球的半径关系，求解即可．【解答】解：如图，将正四面体补形成一个正方体，正四面体的外接球与正方体的外接球相同．∵三棱锥的棱长均为4，∴正方体的棱长是4，又∵球的直径是正方体的对角线，设球半径是R，∴2R=12，∴R=6，球的表面积为4π×62=144π．故选：C．【点评】巧妙构造正方体，利用正方体的外接球的直径为正方体的对角线，从而将问题巧妙转化．若已知正四面体V﹣ABC的棱长为a，求外接球的半径，可以构造出一个球的内接正方体，再应用对角线长等于球的直径可求得．23．（2017春•东湖区校级月考）已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的六个顶点在球O1上，又知球O2与此正三棱柱的5个面都相切，求球O1与球O2的表面积之比（）A．5：1 B．2：1 C．4：1 D．：1【分析】由题意得两球心是重合的，设球O1的半径为R，球O2的半径为r，则正三棱柱的高为2r，AB=2r，正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球O1的球心，则（2r）2+r2=R2，即5r2=R2【解答】解：设球O2的为r，球O1的半径为R∵三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直，三棱柱的六个顶点都在球O1的球面上，∴三棱柱的高（侧棱长）为2r．正三棱柱ABC﹣A 1B1C1的底面与球O1的大圆截面如图（1）所示：可得AB=2r，BO1=2r正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球O1的球心，∴（2r）2+r2=R2，∴5r2=R2，∴球O1与球O2的表面积之比为5：1．故选：A【点评】本题考查了球与三棱柱的组合体，根据几何体的性质，找到球心，求出半径是解题关键，属于中档题．24．（2017春•奉新县月考）已知四面体ABCD的六条棱中，AC=BD=4，其余的四条棱的长都是3，则此四面体的外接球的表面积为（）A．43πB．17π C．34πD．【分析】由题意可采用割补法，考虑到四面体ABCD的四个面为全等的三角形，所以可在其每个面补上一个以3，4，3为三边的三角形作为底面，且以分别为x，y，z，长、两两垂直的侧棱的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为x，y，z的长方体，由此能求出球的半径，进而求出球的表面积．【解答】解：由题意可采用割补法，考虑到四面体ABCD的四个面为全等的三角形，所以可在其每个面补上一个以3，4，3为三边的三角形作为底面，且以分别为x，y，z，长、两两垂直的侧棱的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为x，y，z的长方体，并且x2+y2=9，x2+z2=16，y2+z2=9，设球半径为R，则有（2R）2=x2+y2+z2=17，∴4R2=17，∴球的表面积为S=4πR2=17π．故选B．【点评】本题考查球的表面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．25．（2017春•高平市校级月考）若三棱锥P﹣ABC中，AB=AC=1，AB⊥AC，PA⊥平面ABC，且直线PA与平面PBC所成角的正切值为，则三棱锥P﹣ABC 的外接球的表面积为（）A．4πB．8πC．16πD．32π【分析】如图，取BC中点D，连结AD、PD，过A作AH⊥PD于D，易知AH ⊥面PBC，即∠APD就是直线PA与平面PBC所成角，由tan∠APD=，得AP以AB，AC，AP为棱的长方体的外接球就是三棱锥P﹣ABC的外接球，即可求出半径．【解答】解：如图，取BC中点D，连结AD、PD，∵AB=AC，∴AD⊥BC，由因为PA⊥面ABC，∴BC⊥面PAD，过A作AH⊥PD于D，易知AH⊥面PBC，∴∠APD就是直线PA与平面PBC所成角，∴tan∠APD=，∵AD=，∴．∵AB，AC，AP相互垂直，∴以AB，AC，AP为棱的长方体的外接球就是三棱锥P﹣ABC的外接球，∴三棱锥P﹣ABC的外接球的半径R=，三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为4πR2=4π；故选：A．【点评】本题考查了三棱锥的外接球，转化已知求出球的半径是关键，属于中档题．26．（2017春•高平市校级月考）若三棱锥P﹣ABC中，AB=AC=1，AB⊥AC，PA⊥平面ABC，且直线PA与平面PBC所成角的正切值为，则三棱锥P﹣ABC 的外接球的体积为（）A．B．C．D．【分析】利用AB=AC=1，AB⊥AC，PA⊥平面ABC，且直线PA与平面PBC 所成角的正切值为，求出PA=，三棱锥P﹣ABC扩充为长方体，则长方体的对角线长为=2，可得三棱锥P﹣ABC的外接球的半径为1，即可得出结论．【解答】解：∵AB=AC=1，AB⊥AC，PA⊥平面ABC，且直线PA与平面PBC 所成角的正切值为，∴PA=，三棱锥P﹣ABC扩充为长方体，则长方体的对角线长为=2，∴三棱锥P﹣ABC的外接球的半径为1，∴三棱锥P﹣ABC的外接球的体积为，故选A．【点评】本题考查三棱锥P﹣ABC的外接球的体积，考查线面垂直，线面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．27．（2017春•惠安县校级月考）已知正四棱锥P﹣ABCD的底面边长为，体积为，则此棱锥的内切球与外接球的半径之比为（）A．1：2 B．2：5 C．1：3 D．4：5【分析】取BC中点E，求出PE，HP，可得四棱锥P﹣ABCD的表面积、体积，进而求出内切球的半径，利用勾股定理求出外接球的半径，即可求出四棱锥P﹣ABCD的内切球与外接球的半径之比．【解答】解：取BC中点E，由题意，正四棱锥P﹣ABCD的底面边长为，体积为，∴PE=，HP=2，从而四棱锥P﹣ABCD的表面积为S=+=8，V==，∴内切球的半径为r=．设四棱锥P﹣ABCD外接球的球心为O，外接球的半径为R，则OP=OA，∴（2﹣R）2+12=R2，∴R=，∴棱锥的内切球与外接球的半径之比为2：5．故选B．【点评】本题考查四棱锥P﹣ABCD的内切球与外接球的半径之比，考查四棱锥P﹣ABCD的表面积、体积，考查学生的计算能力，属于中档题．28．（2017春•建始县校级月考）球O与锐二面角α﹣l﹣β的两半平面相切，两切点间的距离为，O点到交线l的距离为2，则球O的表面积为（）A．B．4πC．12πD．36π【分析】设球O与平面α，β分别切于点P，Q，过点O作OR⊥l于低能R，连接PR，QR，PQ，设PQ与OR相交于点S，其抽象图如下图所示，则有PO ⊥PR，OQ⊥QR，故P，O，Q，R四点共圆，此圆的直径为2，利用三角函数、平面几何知识求解．【解答】解：设球O与平面α，β分别切于点P，Q，过点O作OR⊥l于低能R，连接PR，QR，PQ，设PQ与OR相交于点S，其抽象图如下图所示，则有PO⊥PR，OQ⊥QR，故P，O，Q，R四点共圆，此圆的直径为2，由正弦定理得，∴，又二面角α﹣l﹣β为锐二面角，所以∠PRQ=60°，∠PRO=30°，∴OP=1，即球的半径为1，球O的表面积为S=4πR2=4π，故选B．【点评】本题考查了球的性质，空间问题转化为平面问题是解题的关键，属于中档题．29．（2016•衡水万卷模拟）四面体ABCD的四个顶点都在球O的表面上，AB ⊥平面BCD，△BCD是边长为3的等边三角形．若AB=2，则球O的表面积为（）A．8πB．12π C．16πD．32π【分析】取CD的中点E，连结AE，BE，作出外接球的球心，求出半径，即可求出表面积．【解答】解：取CD的中点E，连结AE，BE，∵在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，△BCD是边长为3的等边三角形．∴Rt△ABC≌Rt△ABD，△ACD是等腰三角形，△BCD的中心为G，作OG∥AB交AB的中垂线HO于O，O为外接球的中心，BE=，BG=，。