《球的表面积和体积》
《球的表面积和体积》
提出问题
怎样求球的表面积和体积？ 球既没有底面，也无法象柱、锥、台体一样展成 平面图形，怎样求球的表面积和体积呢？
实验方法
实验：排液法测小球的体积
h
实验方法
实验：排液法测小球的体积
它
H h
排 开 液 体 的 体
等 于
小 球 的 体 积
积
曹冲称象
温故知新
回顾圆面积公式的推导
n=6
O
假设将圆n等分，则
S＝12×4π×12＋6×22－π×12＝24＋π.
该几何体的表面积是为 24+
反思与感悟
1.由三视图求球与其他几何体的简单组合 体的表面积和体积，关键要弄清组合体的 结构特征和三视图中数据的含义. 2.求解表面积和体积时要避免重叠和交叉.
随堂练习
(1)若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的 2 倍.
AA1
3 AA1 2
在ABC中由余弦定理得BC2 AB2 AC2 2AB AC cos 60 3
BC 3 设ABC的外接圆的半径为r，
则 BC 2r 2 r 1 sin 60
外接球的半径R= （ AA1 ）2 +r2 = 12 +12 = 2 2
A
R2 r2 d 2
例7.已知过球面上三点A、B、C的截面到球心O的 距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=２cm， 求球的体积，表面积．
解：在RtOOA中,OA2 OO2 OA2 ,
R2 (R )2 (2 3 )2 ,
2
3
R 4. 3
V 4 R3 4 ( 4 )3 256 ;
一、直接法
正方体与球
球的体积与表面积
例2：圆柱的底面直径与高都等于球的直径。求 ：圆柱的底面直径与高都等于球的直径。 ：（1）球的表面积等于圆柱的侧面积； 证：（ ）球的表面积等于圆柱的侧面积； （2）球的表面积等于圆柱全面积的三分之二。 ）球的表面积等于圆柱全面积的三分之二。
R O A
一个几何体的各面与另一个几何体的 各面都相切，称这两个几何体相切。 各面都相切，称这两个几何体相切。
例2.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,它的各 2.如图，正方体ABCD的棱长为a,它的各 如图 ABCD a, 个顶点都在球O的球面上，问球O的表面积。 个顶点都在球O的球面上，问球O的表面积。
分析：正方体内接于球， 分析：正方体内接于球，则由球和正方 体都是中心对称图形可知， 体都是中心对称图形可知，它们中心重 则正方体对角线与球的直径相等。 合，则正方体对角线与球的直径相等。
O A
O′
R ∵O′O = , ∆ABC是正三角形， 是正三角形， 2
则O′落在∆ABC的中心
C
∴ O′A =
2 2 3 •高 = 3 3
B
已知过球面上三点A、 、 的截面到球心 的截面到球心O的距离 例３:已知过球面上三点 、B、C的截面到球心 的距离 已知过球面上三点 等于球半径的一半， 等于球半径的一半，且AB=BC=CA=２cm，求球的体积， ２ ，求球的体积， 表面积． 表面积．
2
B
正 正方体与球 方 问题： 的接切问题： 体 设正方体棱长为a， 设正方体棱长为 ， 的 外 球的半径为Ｒ。 球的半径为Ｒ。 接 球
D1 C1 B1
•
D1 A1
•O1
C1 B1
D A B
C
D1B = 2 R =
3a
球的体积与表面积
三、有关几何体的外接球与内切球
与球有关的组合体问题,一种是内切,一
种是外接,解题时要明确切点和接点的位
置,确定有关元素间的数量关系,并作出
过球心的截面图.
1.若一正方体边长为a,则该正方体的外接球 半径与a有什么关系?
思考：若一长方体边长分别为a,b,c则该正 方体的外接球半径与a，b,c有什么关系?
【例2】 已知球的两平行截面的面积为5π 和8π,它们位于球心的同一侧,且相距为1,求
这个球的表面积和体积.
思路分析:利用截面圆的半径、球的半径以
及球心与截面圆心的连线构成的直角三角形
求解.
变式训练 已知过球面上三点A,B,C的C=6,求球的
表面积与球的体积.
2.三个球的半径比是1∶2∶3,那么最大球的体 A.1倍 B.2倍 C.3倍 D.8倍
二、球的截面问题 球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆, 被不经过球心的平面截得的圆叫做小圆,如
图.设小圆圆心为O1,半径为r,球的球心为O,
半径为R,则有: (1)OO1⊥平面☉O1; (2)R2=r2+d2,其中d为两圆的圆心距.
【例 1】 (1)已知球的直径为 8 cm,求它的表面积 和体积; (2)已知球的表面积为 144π,求它的体积; (3)已知球的体积为
������������������ ������
π,求它的表面积.
1.两个球的体积之比为1∶27,那么两个球的表
面积之比为( A ) A.1∶9 B.1∶27 C.1∶3 积是其余两球体积和的( C) D.1∶1
������ 圆锥侧 ������ 球 3 3
=
2 5πℎ 2 4πℎ 2
=
5 2
.④
2.若一正方体边长为a,则该正方体的内切 球半径与a有什么关系?
球的表面积和体积
课堂练习
练习二
2 倍. 1.若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的___
1: 2 2 2.若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是______.
, 15 3.长方体的共顶点的三个侧面积分别为 3 , 5 ， 9 则它的外接球的表面积为_____. 4.将半径为1和2的两个铅球，熔成一个大铅球， 3 12 3 那么这个大铅球的表面积是______.
O
OO O A OA
'2 ' 2
2
A
O’
例题讲解
例1.钢球直径是5cm,求它的体积.
4 4 5 3 125 3 3 V R ( ) cm 3 3 2 6
例题讲解
(变式1)一种空心钢球的质量是142g,外径是5cm, 求它的内径.(钢的密度是7.9g/cm2) 解:设空心钢球的内径为2xcm,则钢球的质量是 4 5 3 4 7.9 [ ( ) x 3 ] 142 3 2 3 5 3 142 3 3 x ( ) 11.3 2 7.9 4
R OO , ABC 是正三角形， 2 2 3 2 3 OA AB r 3 2 3
O A
O
在Rt OOA中, OA2 OO 2 OA2 ,
C
R 2 2 3 2 R 4 . R ( ) ( ) , 3 2 3
2
B
4 4 4 3 256 3 V R ( ) ; 3 3 3 81
课堂小结
熟练掌握球的体积、表面积公式：
4 3 ①V R 3 2 ②S 4R
课堂作业
P28,练习：1.2.3 P29,B组，第1题
由计算器算得:
x 2.24
2 x 4.5
球的表面积和体积
课后：
➢ 1、复习整理本节课内容和练习，熟记公式； ➢ 2、并完成 课后练习p35-37
A组 1、2、5、7、9、10 B组 2、4
例1:(2010·广州模拟)已知某个几何体的三视图如图(主视图 中的弧线是半圆),根据图中标出的尺寸(单位:cm),可得这个 几何体的体积是________cm3.
视图是圆及其圆心，那么这个几何体的表面
积为( B ) A．
2
B．
C． 3
2
D． 2
主视图
左视图
俯视图
巩固练习：
1.一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长
是4cm，求这个球队体积. 14π
点2.解∴一上球析个的的:设长表三球方面条的积体棱半S的的径=4各为长 πrr顶2,分则=1点别(42π均r为).2=在11､22同+､23一2,+则3球2此,∴的球球r的2 面表1上44面,.且积一为个__顶_ . 3.长方体的共顶点的三个侧面面积分别为 3，5，15， 求它的外接球表面积.
A.8 C.12
B.8 2
3
D.12 2
3
1．(2010年湖南卷)下图中的三个直角三角形是一个体积
为20 cm3的几何体的三视图，则h＝___4_____cm.
巩固练习：
2.一空间几何体的三视图如图所 示，则该几何体的体积为( )
A．2π＋2 3 B．4π＋2 3 C．2π＋ 2 3
球的表面积 S球面=4πR 2
即球面面积等于它的
O
大圆面积的4倍。
球的体积
V球
4
3
R3
例4．已知圆柱的底面直径与高都等于球的直径。
求证：⑴球的体积等于圆柱体积的 2 。
球的体积与表面积
在光学中，光线在真空中传播时是沿直线传播的，但在通过透镜等光学元件时，光线会发 生折射和反射。透镜的形状通常为球体的一部分，因此了解球体的光学性质对于光学设计 和研究非常重要。
数学物理方程
在数学物理方程中，球对称解是指解函数与球坐标系中的角度变量无关的解。在求解某些 偏微分方程时，如果解函数具有球对称性，则可以大大简化求解过程。
球体与多面体的关系
多面体是指具有多于3个面和顶点的几何体。当多面体的所有面都是三角形时，称为正多面体。正多 面体的每个面都是一个等边三角形，且所有面都是全等的。正多面体的每个顶点都是三条边的交点， 且所有顶点都是全等的。
球体在物理学中的应用
地球物理学
地球是一个近似于球体的天体，其表面积和体积的计算对于地球物理学的研究非常重要。 地球的赤道半径约为6378公里，地球的极半径约为6357公里，地球的平均半径约为6371 公里。
05
球的体积与表面积的实例 分析
地球的半径与表面积
总结词
地球是一个近似于球体的天体，其半径约为6371公里， 表面积约为5.1亿平方公里。
详细描述
地球的半径是通过大地测量和卫星轨道测量相结合的方 法得出的，而地球的表面积则是由球体的表面积公式计 算得出。地球的表面积包括了陆地和水域，是地球表面 各种自然和人文地理现象的重要基础数据。
球表面积的应用
总结词
球表面积的应用非常广泛，包括计算球的表面积、设计球形物体、研究球形物体的物理 特性等。
详细描述
在物理学、工程学、天文学等领域，经常需要计算球体的表面积。例如，在研究地球的 表面温度分布、设计球形建筑或容器等方面，都需要用到球表面积的计算公式。此外， 在研究球形物体的物理特性时，如球的滚动摩擦力、空气阻力等，也需要用到球表面积
球的表面积和体积
1 A.6π cm3 4 C.3π cm3
[答案] A
6.一个长、宽、高分别为 2,1,2 的长方体，则它的外接球的表面 积为________，体积为________．
9 [答案] 9π， π. 2
7.若棱长为 3 的正方体的顶点都在同一球面上， 则该球的表面 积为________．
正方体都是中心对称图形可 知，它们中心重合，则正方体对角线与球的直径相等。
D A O D1 A1 B
C A
D B O D1 A1
C
略解：
RtDB1 D1 D中 : B1 D 2 R，B1 D 2a 3 a 2
C1 B1
C1 B1
(2 R ) 2 a 2 ( 2a ) 2 , 得：R \ S 4R 2 3a 2
略解： Rt D B 1 D 1 D 中 : ( 2 R ) 2 3 2 42+5 2R= 5 2 \ S 4 R 50
2 2
D A D1 A1 D A O B O B
C
C1 B1 C
D1
A1 B1
C1
2.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,它的各个顶 点都在球O的球面上，问球O的表面积。
a2 变题1.如果球O和这个正方体的六个面都相切，则有S=——。
2 2 a 变题2.如果球O和这个正方体的各条棱都相切，则有S=——。
关键： 找正方体的棱长a与球半径R之间的关系
球与正方体的“接切”问题
典型：有三个球,一球切于正方体的各面,一球切 于正方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点,求 这三个球的体积之比.
问题2：把直线换成平面，圆换成球，即用一个平 面去截球，情况又怎样呢？
提示：圆面.
球的表面积和体积
球的表面积和体积1．球的表面积公式：S球面＝4πR2(R为球半径) 2．球的体积公式：V球＝43πR3(R为球半径)球的表面积和体积的计算过球的半径的中点，作一垂直于这条半径的截面，已知此截面的面积为12π cm2，试求此球的表面积．若截面不过球的半径的中点，而是过半径上与球心距离为1的点，且截面与此半径垂直，若此截面的面积为π，试求此球的表面积和体积．球的表面积及体积的应用一个倒立圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在此容器内注入水并且放入一个半径为r的铁球，这时水面恰好和球面相切，问将球从圆锥内取出后，圆锥内水面的高是多少？圆柱形容器的内壁底面半径为5 cm，两个直径为5 cm的玻璃小球都浸没于容器的水中，若取出这两个小球，则容器的水面将下降多少？有关球的切、接问题求棱长为a的正四面体P—ABC的外接球，内切球的体积．有三个球，第一个球内切于正方体的六个面，第二个球与这个正方体各条棱都相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比．一个球内有相距9 cm的两个平行截面，面积分别为49π cm2和400π cm2，求球的表面积．基础训练1．若球的体积与其表面积数值相等，则球的半径等于( )A.12B ．1C ．2D ．3 2．用过球心的平面将一个球平均分成两个半球，则两个半球的表面积是原来整球表面积的________倍．3．过球的半径的中点，作一垂直于这条半径的截面，已知此截面的面积为48π cm 2，试求此球的表面积和体积．4．正方体的表面积与其外接球表面积的比为( )A ．3∶π B．2∶πC．1∶2π D．1∶3π5．(2013·温州高一检测)长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是( )A ．25π B．50πC．125π D．都不对4．把3个半径为R 的铁球熔成一个底面半径为R 的圆柱，则圆柱的高为( )A ．RB ．2RC ．3RD ．4R6．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A ．πa 2B.73πa 2C.113πa 2 D ．5πa 2 7．圆柱形容器内盛有高度为8 cm 的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球，则球的半径是________cm.提高训练．1.一只小球放入一长方体容器内，且与共点的三个面相接触．若小球上一点到这三个面的距离分别为4、5、5，则这只小球的半径是 （ ）A ．3或8B ．8或11C ．5或8D ．3或112.已知A 、B 、C 是球O 的球面上三点，三棱锥O ABC -的高为22,且ABC ∠=60º ，AB =2， BC =4，则球O 的表面积为( )A ． 24π B.32π C. 48π D.192π3.一几何体的三视图如右图所示，若主视图和左视图都是等腰直角三角形，直角边长为1，则该几何体外接球的表面积为（ ）A ．4πB ．π3C ．π2D ．π4. 将半径都为１的四个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为 ( ) A.3263+ B. 2+263 C. 4+263 D. 43263+5. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的球面面积为（ ）A .5πB .12πC .20πD .8π6.【江西省抚州市临川一中2015届高三10月月考】已知一个空间几何体的三视图如图所示，其中俯视图是边长为6的正三角形，若这个空间几何体存在唯一的一个内切球（与该几何体各个面都相切），则这个几何体的全面积是（ ）A ． 18B ．36C ． 45D ． 547.【浙江省重点中学协作体2015届第一次适应性训练】一几何体的三视图如右图所示，若主视图和左视图都是等腰直角三角形，直角边长为1，则该几何体外接球的表面积为（ ）A ． 4πB ．π3C ．π2D ．π8.【山西省大同市2015届高三学情调研测试】设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）A.2a πB.237a π C. 2311a π D. 25a π9.【四川省成都实验外国语高2015届高三11月月考】某四面体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形，则此四面体的外接球的表面积为( ) A .3π B .π4 C .π2 D .π2510. 【全国高考新课标（I ）理】如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )A 、500π3cm 3 B 、866π3cm 3 C 、1372π3cm 3 D 、2048π3cm 311. 矩形ABCD 中，4,3,AB BC ==沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B AC D --,则四面体ABCD 的外接球的体积是( ) A.π12125 B.π9125 C.π6125 D.π3125 12.在半径为R 的球内放入大小相等的4个小球，则小球半径r 的最大值为（ ） A. (2－1)R B . (6－2)R C. 1 4R D. 1 3R13. 一个平面截一个球得到直径是6的圆面，球心到这个平面的距离是4，则该球的体积是 .14.三棱锥P ABC -的四个顶点均在同一球面上，其中ABC ∆是正三角形，PA ⊥平面ABC ，26PA AB ==，则该球的体积是 .15.一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是16. 四棱锥ABCD P -的五个顶点都在一个球面上，且底面ABCD 是边长为1的正方形，ABCD PA ⊥，2=PA ，则该球的体积为 _ ．17. 过球O 表面上一点A 引三条长度相等的弦AB 、AC 、AD ，且两两夹角都为︒60，若球半径为R ，求弦AB 的长度．19. 【改编自浙江高考题】已知球O 的面上四点A 、B 、C 、D ，DA ABC ⊥平面，AB BC ⊥，DA=AB=BC=3，求球O 的体积.20. 【改编自山东高考题】在等腰梯形ABCD 中，AB=2DC=2，0DAB=60∠，E 为AB 的中点，将ADE ∆与BEC ∆分布沿ED 、EC 向上折起，使A B 、重合于点P ，求三棱锥P-DCE 的外接球的体积.21. 一个正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为3，五个顶点都在同一个球面上，求此球的表面积.22. 球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的61，经过3个点的小圆的周长为π4，求这个球的半径．。
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解： S 4R2 4 52 100cm2
V 4 R3 4 53 500 cm3
3
3
3
答：球的表面积和体积分别为 100cm2 ，500cm3
3
例2 （1）已知一个球的表面积为100 ，求此球的
半径R.
(2)已知一个球的体积为36 ，求此球的半径R。
一、复习回顾，引入新课
请同学们根据下面的问题，回顾前面学习的 内容，然后找同学黑板展示。
问题：柱体、锥体、台体的体积公式分别是 什么？圆柱、圆锥、圆台的表面积公式分别是 什么？
球是一个旋转体，它也有体积和表面积， 怎样求一个球的体积和表面积？这就是我们今 天一起学习的内容---球的体积和表面积。
二、自主合作 探索规律
❖ 3把半径分别为3，4，5的三个铁球，熔成一个大球，
求大球的半径。
底面直径与高都等于球的直径. 求证：(1) 球的体积等于圆柱体积的
(2) 球的表面积等于圆柱的侧面2积
3
证明:(1) 设球的半径为R,则圆柱的
底面半径为R,高为2R.
因为 V球 所以,
4 3
V球
R3
2 3
, V圆柱
V圆柱 .
R2
2R
2 R3.
(2) 因为 S球 4 R2
S圆柱侧 2 R 2R 4 R2
所以, S球 S圆柱侧
作业: P28练习:1，2，3.
解:（1）
R
S 100 5
4 4
（2）
R 3 3V 3 3 36 3
4
4
三、迁移深化 学以致用
❖ 请同学们独立完成下列题目，自主回答。
❖ 1 已知球的直径为4，则它的表面积为__1_6__，体积
为___3_2__.
3
❖ 2球的半径伸长为原来的2倍,表面积变为原来的 ___4__倍，体积变为原来的___8__倍.如果半径变为 原来的3倍，4倍呢？能否总结出规律？
请同学们阅读课本27页，回答以下几个问题。
思考1:从球的结构特征分析，球的大小由哪个量
所确定？
R
思考2:半径为R的球的体积和表面积如何表示？
V 4 R3
3
S 4R2
思考3：已知体积V，怎么表示半径R？已知表
面积S，如何表示半径R?
3V R3
4
R S
4
请同学们先独立思考，然后在练习本上写出解 答过程，同桌互改。