球的表面积和体积计算公式
球的表面积和体积
球的表面积和体积1．球的表面积公式：S球面＝4πR2(R为球半径) 2．球的体积公式：V球＝43πR3(R为球半径)球的表面积和体积的计算过球的半径的中点，作一垂直于这条半径的截面，已知此截面的面积为12π cm2，试求此球的表面积．若截面不过球的半径的中点，而是过半径上与球心距离为1的点，且截面与此半径垂直，若此截面的面积为π，试求此球的表面积和体积．球的表面积及体积的应用一个倒立圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在此容器内注入水并且放入一个半径为r 的铁球，这时水面恰好和球面相切，问将球从圆锥内取出后，圆锥内水面的高是多少？圆柱形容器的内壁底面半径为5 cm，两个直径为5 cm的玻璃小球都浸没于容器的水中，若取出这两个小球，则容器的水面将下降多少？有关球的切、接问题求棱长为a的正四面体P—ABC的外接球，内切球的体积．有三个球，第一个球内切于正方体的六个面，第二个球与这个正方体各条棱都相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比．一个球内有相距9 cm的两个平行截面，面积分别为49π cm2和400π cm2，求球的表面积．基础训练1．若球的体积与其表面积数值相等，则球的半径等于( )A.12B．1C．2 D．32．用过球心的平面将一个球平均分成两个半球，则两个半球的表面积是原来整球表面积的________倍．3．过球的半径的中点，作一垂直于这条半径的截面，已知此截面的面积为48π cm 2，试求此球的表面积和体积．4．正方体的表面积与其外接球表面积的比为( )A ．3∶π B．2∶πC．1∶2π D．1∶3π5．(2013·温州高一检测)长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是( )A ．25π B．50πC．125π D．都不对4．把3个半径为R 的铁球熔成一个底面半径为R 的圆柱，则圆柱的高为( )A ．RB ．2RC ．3RD ．4R6．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A ．πa 2 B.73πa 2C.113πa 2 D ．5πa 2 7．圆柱形容器内盛有高度为8 cm 的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球，则球的半径是________cm.提高训练．1.一只小球放入一长方体容器内，且与共点的三个面相接触．若小球上一点到这三个面的距离分别为4、5、5，则这只小球的半径是 （ ）A ．3或8B ．8或11C ．5或8D ．3或112.已知A 、B 、C 是球O 的球面上三点，三棱锥O ABC -的高为22,且ABC ∠=60º ，AB =2， BC =4，则球O 的表面积为( )A ． 24π B.32π C. 48π D.192π3.一几何体的三视图如右图所示，若主视图和左视图都是等腰直角三角形，直角边长为1，则该几何体外接球的表面积为（ ）A ．4πB ．π3C ．π2D ．π4. 将半径都为１的四个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为 ( ) A.3263+ B. 2+263 C. 4+263 D. 43263+5. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的球面面积为（ ）A .5πB .12πC .20πD .8π6.【江西省抚州市临川一中2015届高三10月月考】已知一个空间几何体的三视图如图所示，其中俯视图是边长为6的正三角形，若这个空间几何体存在唯一的一个内切球（与该几何体各个面都相切），则这个几何体的全面积是（ ）A ． 18B ．36C ． 45D ． 547.【浙江省重点中学协作体2015届第一次适应性训练】一几何体的三视图如右图所示，若主视图和左视图都是等腰直角三角形，直角边长为1，则该几何体外接球的表面积为（ ）A ． 4πB ．π3C ．π2D ．π8.【山西省大同市2015届高三学情调研测试】设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）A.2a πB. 237a πC. 2311a π D. 25a π9.【四川省成都实验外国语高2015届高三11月月考】某四面体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形，则此四面体的外接球的表面积为( )A .3πB .π4C .π2D .π2510. 【全国高考新课标（I ）理】如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )A 、500π3cm 3 B 、866π3cm 3 C 、1372π3cm 3 D 、2048π3cm 311. 矩形ABCD 中，4,3,AB BC ==沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B AC D --,则四面体ABCD 的外接球的体积是( ) A.π12125 B.π9125 C.π6125 D.π3125 12.在半径为R 的球内放入大小相等的4个小球，则小球半径r 的最大值为（ ） A. (2－1)R B . (6－2)R C. 1 4R D. 1 3R13. 一个平面截一个球得到直径是6的圆面，球心到这个平面的距离是4，则该球的体积是 .14.三棱锥P ABC -的四个顶点均在同一球面上，其中ABC ∆是正三角形，PA ⊥平面ABC ，26PA AB ==，则该球的体积是 .15.一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是16. 四棱锥ABCD P -的五个顶点都在一个球面上，且底面ABCD 是边长为1的正方形，ABCD PA ⊥，2=PA ，则该球的体积为 _ ．17. 过球O 表面上一点A 引三条长度相等的弦AB 、AC 、AD ，且两两夹角都为︒60，若球半径为R ，求弦AB 的长度．19. 【改编自浙江高考题】已知球O 的面上四点A 、B 、C 、D ，DA ABC ⊥平面，AB BC ⊥，DA=AB=BC=3，求球O 的体积.20. 【改编自山东高考题】在等腰梯形ABCD 中，AB=2DC=2，0DAB=60∠，E 为AB 的中点，将ADE ∆与BEC ∆分布沿ED 、EC 向上折起，使A B 、重合于点P ，求三棱锥P-DCE 的外接球的体积.21. 一个正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为3，五个顶点都在同一个球面上，求此球的表面积.22. 球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的61，经过3个点的小圆的周长为π4，求这个球的半径．。
圆球的表面积和体积公式
圆球的表面积和体积公式
一、圆球表面积公式。
1. 公式内容。
- 圆球的表面积公式为S = 4π r^2，其中S表示圆球的表面积，r表示球的半径，π是圆周率，通常取3.14。
2. 公式推导（高中阶段了解）
- 可以通过对球的表面积元素进行积分得到。
将球看作是由无数个小的圆锥面组成，利用极限的思想，通过积分运算最终得出S = 4π r^2。
3. 示例。
- 已知一个球的半径r = 3，求其表面积。
- 根据公式S = 4π r^2，将r = 3代入，可得S=4×3.14×3^2=4×3.14×9 =
113.04。
二、圆球体积公式。
1. 公式内容。
- 圆球的体积公式为V=(4)/(3)π r^3，其中V表示圆球的体积，r为球的半径，π是圆周率（约为3.14）。
2. 公式推导（高中阶段了解）
- 可以使用祖暅原理（等积原理）来推导球的体积公式。
将一个半球与一个底面半径和高都等于球半径r的圆柱以及一个底面半径和高都等于球半径r的圆锥放在同一平面上，通过比较它们的截面面积关系，得出半球的体积，进而得到球的体积公式V=(4)/(3)π r^3。
3. 示例。
- 若球的半径r = 2，求球的体积。
- 由公式V=(4)/(3)π r^3，把r = 2代入，可得V=(4)/(3)×3.14×2^3=(4)/(3)×3.14×8=(100.48)/(3)≈33.49。
如何计算球的体积和表面积
如何计算球的体积和表面积计算球的体积和表面积球是数学中一个常见的几何体，它在现实生活中也有很多应用。
无论是在数学课上还是在实际问题中，计算球的体积和表面积都是必不可少的。
下面将分别介绍如何计算球的体积和表面积。
一、计算球的体积球的体积是指球内所有点所组成的空间，通常用单位体积所包含的球半径为1的球数量来表示。
计算球的体积的公式如下：V = (4/3)πr³其中，V表示球的体积，π表示圆周率（取近似值3.14159），r表示球的半径。
例如，如果球的半径为5米，那么可以按照上述公式进行计算：V = (4/3)π(5²) = (4/3)π(25) ≈ 523.6因此，球的体积约为523.6立方米。
二、计算球的表面积球的表面积是指球球面的总面积。
球的表面积计算公式如下：S = 4πr²其中，S表示球的表面积，π表示圆周率（取近似值3.14159），r 表示球的半径。
以球的半径为5米为例，可以按照上述公式进行计算：S = 4π(5²) = 4π(25) ≈ 314.16因此，球的表面积约为314.16平方米。
总结：计算球的体积和表面积是常见的数学问题。
通过上述计算公式，可以得到准确的结果。
需要注意的是，在实际问题中，可能会有其他要求和约束，需要根据具体情况进行相应的计算。
在应用中，还可以使用数值计算工具或计算器来进行球的体积和表面积的计算，以提高效率和准确性。
结论通过以上的介绍，我们可以了解如何计算球的体积和表面积。
对于数学学科来说，掌握如何计算球的体积和表面积是基础的知识点，也是应用数学的实际需求。
无论是在学术研究中还是在实际工作中，了解和应用这些计算方法都是非常重要的。
希望通过本文的介绍，读者能够掌握如何进行球的体积和表面积的计算。
球的体积和表面积
球的体积和表面积球是一种立体几何体，具有特殊的性质。
在数学中，球的体积和表面积是球的基本属性，也是许多实际应用中需要计算的重要参数。
球的体积球的体积是指球所占据的空间大小。
我们可以使用以下公式来计算球的体积：V = (4/3) * π * r³其中，V代表球的体积，π是一个常数，约等于3.14159，r代表球的半径。
通过这个公式，我们可以根据给定的半径，准确地计算出球的体积。
需要注意的是，球的半径必须为正数，否则计算结果将没有实际意义。
球的表面积球的表面积是指球的外表面积大小。
我们可以使用以下公式来计算球的表面积：A = 4 * π * r²其中，A代表球的表面积，π是一个常数，约等于3.14159，r代表球的半径。
与计算球的体积类似，根据给定的半径，我们可以准确地计算出球的表面积。
同样，球的半径必须为正数，否则计算结果将失去实际意义。
数值计算示例为了更好地理解球的体积和表面积的计算方法，这里给出一个数值计算示例。
假设球的半径为5cm，我们可以使用上述公式来计算球的体积和表面积。
首先计算球的体积：V = (4/3) * π * (5)^3 ≈ 523.6cm³接下来计算球的表面积：A = 4 * π * (5)^2 ≈ 314.2cm²因此，对于半径为5cm的球，它的体积约为523.6cm³，表面积约为314.2cm²。
应用举例球的体积和表面积在实际应用中具有广泛的应用。
下面列举几个常见的应用举例。
1.工程建设：在建筑和土木工程中，球的体积和表面积的计算可以用于设计和规划工程中的圆形结构，例如球形储罐或建筑物的圆顶。
2.3D建模：在计算机图形学和动画领域，球的体积和表面积的计算可以用于生成和渲染球形对象，例如球体模型或球形特效。
3.物体密度计算：球的体积可以用于计算物体的密度。
通过测量物体的质量和体积，可以计算物体的密度，进而了解物体的物理性质。
球体的表面积和体积
球体的表面积和体积
1.球的表面积公式
半径是R的球的表面积计算公式是：S=4πR^2（4倍的π乘以R 的二次方）
球的表面积计算公式推导过程：把一个半径为R的球的上半球横向切成n份，每份等高，并且把每份看成一个类似圆台，其中半径等于该类似圆台顶面圆半径，则从下到上第k个类似圆台的侧面积：S（k）=2πr（k）×h，其中r（k）=√[R^2-（kh）^2]，S （k）=2πr（k）h=（2πR^2）/n，则S=S（1）+S（2）+S（n）=2πR^2；乘以2就是整个球的表面积4πR^2.
2.球的体积公式
球体体积公式是V=（4/3）πr^3，一个半圆绕直径所在直线旋转一周所成的空间几何体叫做球体，简称球，半圆的半径即是球的半径，球体有且只有一个连续曲面的立体图形。
球的体积公式推导过程：欲证v=4/3×πr^3，可证1/2v=2/3×πr^3.做一个半球h=r，做一个圆柱h=r。
V柱-V锥=π×r^3-π×r^3/3=2/3π×r^3.。
球体表面积和体积公式
球体表面积和体积公式球体是一个非常常见的几何形状，它具有许多独特的性质和特征。
在这篇文章中，我们将重点介绍球体的表面积和体积公式，以及它们的应用。
一、球体的表面积公式球体的表面积是指球体外部所有点的集合所形成的曲面的总面积。
球体表面积的计算公式如下：S = 4πr^2其中，S表示球体的表面积，π是一个数学常数，约等于3.14159，r是球体的半径。
这个公式的推导可以通过将球体划分为无数个微小的表面元素，并对每个表面元素的面积进行累加得到。
然而，在这里我们不会对公式的推导过程进行详细讲解。
二、球体的体积公式球体的体积是指球体内部所有点的集合所形成的空间的总体积。
球体体积的计算公式如下：V = (4/3)πr^3其中，V表示球体的体积，π是一个数学常数，约等于3.14159，r 是球体的半径。
这个公式的推导可以通过将球体划分为无数个微小的体积元素，并对每个体积元素的体积进行累加得到。
同样，在这里我们不会对公式的推导过程进行详细讲解。
三、球体表面积和体积的应用球体的表面积和体积公式在许多领域都有着广泛的应用。
1. 建筑工程：在建筑设计中，球体的表面积公式可以用于计算建筑物的外墙面积，从而确定建筑材料的使用量。
而球体的体积公式则可以用于计算建筑物内部空间的容积，从而确定建筑物的可使用面积。
2. 包装设计：在包装设计中，球体的表面积公式可以用于计算圆形容器的外表面积，从而确定包装纸的大小。
而球体的体积公式则可以用于计算圆形容器的容积，从而确定包装物的容量。
3. 天文学：在天文学中，球体的表面积公式可以用于计算恒星的表面积，从而确定恒星的辐射能力。
而球体的体积公式则可以用于计算行星的体积，从而确定行星的质量。
4. 地理学：在地理学中，球体的表面积公式可以用于计算地球的表面积，从而确定地球的大小。
而球体的体积公式则可以用于计算地球的体积，从而确定地球的体积。
除了上述应用领域，球体的表面积和体积公式还可以在数学、物理、化学等学科中找到许多其他的应用。
球的表面积和体积
球的表面积和体积1．球的表面积公式：S球面＝4πR2(R为球半径) 2．球的体积公式：V球＝43πR3(R为球半径)球的表面积和体积的计算过球的半径的中点，作一垂直于这条半径的截面，已知此截面的面积为12π cm2，试求此球的表面积．若截面不过球的半径的中点，而是过半径上与球心距离为1的点，且截面与此半径垂直，若此截面的面积为π，试求此球的表面积和体积．球的表面积及体积的应用一个倒立圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在此容器内注入水并且放入一个半径为r的铁球，这时水面恰好和球面相切，问将球从圆锥内取出后，圆锥内水面的高是多少？圆柱形容器的内壁底面半径为5 cm，两个直径为5 cm的玻璃小球都浸没于容器的水中，若取出这两个小球，则容器的水面将下降多少？有关球的切、接问题求棱长为a的正四面体P—ABC的外接球，内切球的体积．有三个球，第一个球内切于正方体的六个面，第二个球与这个正方体各条棱都相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比．一个球内有相距9 cm的两个平行截面，面积分别为49π cm2和400π cm2，求球的表面积．基础训练1．若球的体积与其表面积数值相等，则球的半径等于( )A.12B ．1C ．2D ．3 2．用过球心的平面将一个球平均分成两个半球，则两个半球的表面积是原来整球表面积的________倍．3．过球的半径的中点，作一垂直于这条半径的截面，已知此截面的面积为48π cm 2，试求此球的表面积和体积．4．正方体的表面积与其外接球表面积的比为( )A ．3∶π B．2∶πC．1∶2π D．1∶3π5．(2013·温州高一检测)长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是( )A ．25π B．50πC．125π D．都不对4．把3个半径为R 的铁球熔成一个底面半径为R 的圆柱，则圆柱的高为( )A ．RB ．2RC ．3RD ．4R6．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A ．πa 2B.73πa 2C.113πa 2 D ．5πa 2 7．圆柱形容器内盛有高度为8 cm 的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球，则球的半径是________cm.提高训练．1.一只小球放入一长方体容器内，且与共点的三个面相接触．若小球上一点到这三个面的距离分别为4、5、5，则这只小球的半径是 （ ）A ．3或8B ．8或11C ．5或8D ．3或112.已知A 、B 、C 是球O 的球面上三点，三棱锥O ABC -的高为22,且ABC ∠=60º ，AB =2， BC =4，则球O 的表面积为( )A ． 24π B.32π C. 48π D.192π3.一几何体的三视图如右图所示，若主视图和左视图都是等腰直角三角形，直角边长为1，则该几何体外接球的表面积为（ ）A ．4πB ．π3C ．π2D ．π4. 将半径都为１的四个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为 ( ) A.3263+ B. 2+263 C. 4+263 D. 43263+5. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的球面面积为（ ）A .5πB .12πC .20πD .8π6.【江西省抚州市临川一中2015届高三10月月考】已知一个空间几何体的三视图如图所示，其中俯视图是边长为6的正三角形，若这个空间几何体存在唯一的一个内切球（与该几何体各个面都相切），则这个几何体的全面积是（ ）A ． 18B ．36C ． 45D ． 547.【浙江省重点中学协作体2015届第一次适应性训练】一几何体的三视图如右图所示，若主视图和左视图都是等腰直角三角形，直角边长为1，则该几何体外接球的表面积为（ ）A ． 4πB ．π3C ．π2D ．π8.【山西省大同市2015届高三学情调研测试】设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）A.2a πB.237a π C. 2311a π D. 25a π9.【四川省成都实验外国语高2015届高三11月月考】某四面体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形，则此四面体的外接球的表面积为( ) A .3π B .π4 C .π2 D .π2510. 【全国高考新课标（I ）理】如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )A 、500π3cm 3 B 、866π3cm 3 C 、1372π3cm 3 D 、2048π3cm 311. 矩形ABCD 中，4,3,AB BC ==沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B AC D --,则四面体ABCD 的外接球的体积是( ) A.π12125 B.π9125 C.π6125 D.π3125 12.在半径为R 的球内放入大小相等的4个小球，则小球半径r 的最大值为（ ） A. (2－1)R B . (6－2)R C. 1 4R D. 1 3R13. 一个平面截一个球得到直径是6的圆面，球心到这个平面的距离是4，则该球的体积是 .14.三棱锥P ABC -的四个顶点均在同一球面上，其中ABC ∆是正三角形，PA ⊥平面ABC ，26PA AB ==，则该球的体积是 .15.一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是16. 四棱锥ABCD P -的五个顶点都在一个球面上，且底面ABCD 是边长为1的正方形，ABCD PA ⊥，2=PA ，则该球的体积为 _ ．17. 过球O 表面上一点A 引三条长度相等的弦AB 、AC 、AD ，且两两夹角都为︒60，若球半径为R ，求弦AB 的长度．19. 【改编自浙江高考题】已知球O 的面上四点A 、B 、C 、D ，DA ABC ⊥平面，AB BC ⊥，DA=AB=BC=3，求球O 的体积.20. 【改编自山东高考题】在等腰梯形ABCD 中，AB=2DC=2，0DAB=60∠，E 为AB 的中点，将ADE ∆与BEC ∆分布沿ED 、EC 向上折起，使A B 、重合于点P ，求三棱锥P-DCE 的外接球的体积.21. 一个正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为3，五个顶点都在同一个球面上，求此球的表面积.22. 球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的61，经过3个点的小圆的周长为π4，求这个球的半径．。
球面积和体积计算公式
球面积和体积计算公式一、球的表面积公式。
1. 公式。
- 球的表面积S = 4π r^2，其中r为球的半径，π为圆周率，通常取3.14。
2. 推导（简单介绍，人教版高中阶段不要求掌握严格推导过程）- 可以利用极限思想，将球看作是由无数个小棱锥组成，这些小棱锥的底面近似为球的表面的一部分，高近似为球的半径。
根据棱锥的体积公式V=(1)/(3)Sh（S为底面积，h为高），再结合球的体积公式，通过一定的数学变换可以推导出球的表面积公式，但这一推导过程较为复杂。
3. 示例。
- 已知一个球的半径r = 5厘米，求这个球的表面积。
- 解：根据球的表面积公式S = 4π r^2，将r = 5代入公式可得：- S=4×3.14×5^2- =4×3.14×25- =314（平方厘米）二、球的体积公式。
1. 公式。
- 球的体积V=(4)/(3)π r^3，其中r为球的半径，π为圆周率，通常取3.14。
2. 推导（人教版高中阶段用祖暅原理推导）- 祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”。
意思是夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。
- 我们可以利用祖暅原理，将半球与一个底面半径和高都为r的圆柱挖去一个底面半径为r，高为r的圆锥进行对比，通过计算截面面积相等，得出半球的体积，进而得到球的体积公式。
3. 示例。
- 已知球的半径r = 3厘米，求球的体积。
- 解：根据球的体积公式V=(4)/(3)π r^3，将r = 3代入公式可得：- V=(4)/(3)×3.14×3^3- =(4)/(3)×3.14×27- = 113.04（立方厘米）。