刚体力学讲座2
合集下载
理论力学刚体运动
Ek ( t ) Ek ( t0 ) A外
§6.2 作用在刚体上的力系 一、力系
1、定义：同时作用在一个刚体的一组力称为力系。
2、分类： ①共面力系：所有的力位于同一平面内。 a) 共点力系（汇交力系）：所有力的作用线交 于一点的力系。 b) 平行力系：所有力互相平行或反平行。 ②异面力系：力的作用线不在一个平面内。
二、力系等效
1、等效力系的定义 如果在两个力系作用下，刚体的运动相同，则这 两个力系互为等效力系。
2、力系的等效条件：
F1i F2 j
r1i F1i r1 j F1 j
i j
i
j
3、零力系：力系力的矢量和为零，对固定参考点 的力矩和为零的力系。 说明：①所有的零力系都等效 ②任何力系加上零力系后与原力系等效 ③最简单的零力系是一对平衡力组成的力系
2
角动量定理： dL dt
M外
2、平衡条件： Fi 0,
i
且 Mi 0
i
(对任一定点成立)
例 质量为 m ，长为 a 的匀质杆 AB 由系于两端长是 a 的线悬于 O 点，在 B 端挂质量为 m 的重物。求平衡 时杆与水平方向的夹角θ及每根线中的张力 TA 和 TB 。
2、异面力系： 等效于一个单力与一个力偶
z -F3 A F1
F F3
O
x
B F2
y
§6.3 刚体的平衡
刚体运动 平动： 直线平动、曲线平动
转动： 定轴转动、一般转动 平动：运动过程中刚体任一直线的方向保持不变。
转动：刚体上一直线相对参考系的角度发生变化。
O
刚体的一般运动(n=6)
O
05.刚体力学
全加速度——即切向、法向加速度的矢量和. 全加速度——即切向、法向加速度的矢量和 ——即切向 矢量和
6.4 如图 已知某瞬时曲柄的角速度 ω = 4rad / s, 如图. 角加速度 ε = 2rad / s2 ；曲柄长为 r = 20cm 。 托架上重物重心G的轨迹 速度、加速度。 的轨迹、 求：托架上重物重心 的轨迹、速度、加速度。
F 1
z
F 2
r
dF t
dm
ω
ε
F n
F i
M z = I zε
—— 刚体定轴转动 刚体定轴转动 动力学基本方程 基本方程. 的动力学基本方程
作用在刚体上的所有外力对转轴之合力矩等于 作用在刚体上的所有外力对转轴之合力矩等于 刚体 刚体对于转轴的转动惯量与其角加速度的乘积。 刚体对于转轴的转动惯量与其角加速度的乘积。
ρ dm b C θx
（推导用图） 推导用图）
y
Iz = Ix + I
z r
——无限薄刚体板对任一垂直 无限薄刚体板 无限薄刚体 的转动惯量， 于它的坐标轴 z 的转动惯量， 等于该薄板 薄板刚体对另两坐标轴 等于该薄板刚体对另两坐标轴 的转动惯量之和。 的转动惯量之和。
x
y
x
y
（推导用图） 推导用图）
ω
B
如图: 曲柄作 平面运动. 连 如图: OA曲柄作定轴转动,也是平面运动.AB连 曲柄 定轴转动,也是平面运动 杆作平面运动 平面运动. 活塞作直线运动,也是平面运动 活塞作直线运动 平面运动. 杆作平面运动 B活塞作直线运动,也是平面运动
在刚体上有无限多 平面图形始终作平面 个平面图形始终作平面 运动, 这样的一个 一个平面 运动 这样的一个平面 图形的运动 的运动， 代表了 图形的运动，就代表了 平面运动。 整个刚体的平面运动 整个刚体的平面运动。 因此, 因此 只需研究其中的 一个平面图形的运动. 平面图形的运动 一个平面图形的运动 2. 平面运动的分解 平面运动的分解 将复杂的平面运动, 分解成简单的 平动” 成简单的“ --- 将复杂的平面运动, 分解成简单的“平动” 转动（定轴） 应用合成运动的概念, 合成运动的概念 与“转动（定轴）” ；应用合成运动的概念 求刚体上各点的速度 加速度. 速度和 求刚体上各点的速度和加速度 如上: 杆的运动可分解成“ 如上: AB杆的运动可分解成“平动” 与“转 杆的运动可分解成 平动” 动”.
第3章刚体力学
23
例8 ： 一质点的质量为m，位矢为：r =acost i+bsint j (式中a、b、 均为常量); 求质点的角动量及它所受的力矩。
dr 解： a sin ti b cos tj dt L r ( m ) 2 2 mab cos tk mab sin tk
mg
14
例6： 一根质量为m、长为l的均匀细棒AB，可绕一水平光滑 轴o在竖直平面内转动，o轴离A端的距离为 l/3。今使棒从静
止开始由水平位置绕o轴转动，求棒转过角 时的角加速度和
角速度。 解 细棒AB受的重力可集中在质心，故重力的力矩为
M o mg l cos
6
A
o C
1 l 2 1 2 2 I o ml m( ) ml 12 6 9
I V r dm
2
式中r为刚体上的质元dm到转轴的距离。 线状刚体： 面状刚体： 体状刚体：
dm dl dm dS dm dV
Io
o
d
Ic
C
2 (3)平行Biblioteka 定理： Io=Ic+MdM
Ic 通过刚体质心的轴的转动惯量;
M 刚体系统的总质量; d 两平行轴(o,c)间的距离。
动力学规律可以推广应用到刚体。
2
二 . 刚体定轴转动的描述
刚体在作定轴转动时，刚体上所以质点都作圆周运动且角 速度相同，所以用角量描述最为方便。
d , dt
线量与角量的关系：
d dt
r a r a r 2 n
o
r
P
x
刚体作匀速、匀变速定轴转动时，各角参量之间的关系 与质点作匀速、匀变速圆周运动时所满足的关系一样。
例8 ： 一质点的质量为m，位矢为：r =acost i+bsint j (式中a、b、 均为常量); 求质点的角动量及它所受的力矩。
dr 解： a sin ti b cos tj dt L r ( m ) 2 2 mab cos tk mab sin tk
mg
14
例6： 一根质量为m、长为l的均匀细棒AB，可绕一水平光滑 轴o在竖直平面内转动，o轴离A端的距离为 l/3。今使棒从静
止开始由水平位置绕o轴转动，求棒转过角 时的角加速度和
角速度。 解 细棒AB受的重力可集中在质心，故重力的力矩为
M o mg l cos
6
A
o C
1 l 2 1 2 2 I o ml m( ) ml 12 6 9
I V r dm
2
式中r为刚体上的质元dm到转轴的距离。 线状刚体： 面状刚体： 体状刚体：
dm dl dm dS dm dV
Io
o
d
Ic
C
2 (3)平行Biblioteka 定理： Io=Ic+MdM
Ic 通过刚体质心的轴的转动惯量;
M 刚体系统的总质量; d 两平行轴(o,c)间的距离。
动力学规律可以推广应用到刚体。
2
二 . 刚体定轴转动的描述
刚体在作定轴转动时，刚体上所以质点都作圆周运动且角 速度相同，所以用角量描述最为方便。
d , dt
线量与角量的关系：
d dt
r a r a r 2 n
o
r
P
x
刚体作匀速、匀变速定轴转动时，各角参量之间的关系 与质点作匀速、匀变速圆周运动时所满足的关系一样。
理论力学课件-刚体平面运动
作速度 vA、vB的垂线，交点P即为该瞬时的
速度瞬心。
③ 已知某瞬时图形上两点A 、B 的速度 vA vB且 ⊥连线 AB， 则连线 AB与速度矢 vA、vB 端点连线的交点P即速度瞬心。 (a)
vA vB (a) 若vA 与vB 同向，则 AB
v A vB (b) 若v A 与vB 反向, 则 AB
但各点的加速度并不相等。 设匀角速度为，则 aB aB n AB 2 () 而 ac 的方向沿AC，故
aB ac ，瞬时平动与平动不同。
４. 速度瞬心法 利用速度瞬心求平面图形上点的速度的方法，称速度瞬心法。 平面图形任一瞬时的运动可以视为绕速度瞬心的瞬时转动， 故速度瞬心又称为平面图形的瞬时转动中心。 若P点为速度瞬心，则任意一点A的速度大小为 vA AP ， 方向 AP，指向与 一致。 5. 注意的问题 ① 速度瞬心在平面图形上的位置不是固定的，而是随时间 不断变化的。在任一瞬时是唯一存在的。 ② 速度瞬心处速度为零,但加速度不一定为零，不同于定轴 转动。 ③ 刚体作瞬时平动时，虽然各点速度相同，但各点加速度 不一定相同，不同于刚体作平动。
vB v A / sin
在Ｂ点做 速度平行四边形，如图示。
l / sin 45 2l ()
vBA vActg l ctg45 l
AB vBA / AB l / l （
）
根据速度投影定理 vB AB vA AB vB sin vA vB vA / sin
n 其中 aa aB , ae aA , ar aBA aBA aBA
于是
aB a A aBA aBA
n
aB a A aBA aBA n 其中：aBA AB ，方向 AB，指向与 一致； aBA n AB 2，方向沿AB，指向A点。
第三章-刚体力学基础
薄板对Z轴的转动惯量 J Z ＝
对X轴的转动惯量 J X
对Y轴的转动惯量 JY
Z
垂直轴定理
JZ JX JY
O
yi
Y
xi
ri
X
JZ miri2 mi xi2 mi yi2 Jx J y
五 刚体定轴转动的转动定律的应用
例１、一个质量为Ｍ、半径为Ｒ的定
滑轮（当作均匀圆盘）上面绕有细绳， 绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂
分析： 由 每分钟150转 可知
0
t
2 150
60
5
rad
/ s
而已知 r=0.2m t=30s ω=0
可由公式求相应的物理量
解: (1) 0 0 5 (rad / s2 )
t
30
6
负号表示角加速度方向与角速度方向相反
（飞轮做匀减速转动）
2 02 2
(5 )2 2 ( )
末位置：
Ek
1 2
J 2
l
由刚体定轴转动的动能定理
1 mgl sin 1 J 2 0
2
2
mgl sin 3g sin
J
l
M
1 mgl cos
2
3g cos
J
1 ml2
2l
3
dm dl
gdm
（用机械能守恒定律解） 假设棒在水平位置时的重力势能为零势能
0 1 J2 (mg l sin ) O
动。最初棒静止在水平位置，求它由此下摆角时的
角加速度和角速度。（分别用动能定理和机械能守
恒定律求解）
解： （用动能定理解）
重力对轴的力矩为
M 1 mgl cos（M
O
第四章 刚体力学
r F 1
转动 平面
r F
r F 2
r r
（2 ）
MZ = rF sin = F d 2 2
d = r sin是转轴到力作
用线的距离，称为力臂 用线的距离，称为力臂。
r F 1
r F
r F 2
r （3） F 对转轴的力矩为零， 1 对转轴的力矩为零，
在定轴转动中不予考虑。 在定轴转动中不予考虑。
转动 平面
用 r 乘以上式左右两端： i 乘以上式左右两端：
Fri sini + fi ri sinθi = mri α i i
2
设刚体由N 个点构成， 设刚体由 个点构成，对每个质点可写出上述 类似方程， 类似方程，将N 个方程左右相加，得： 个方程左右相加，
∑Fr sin + ∑ f r sinθ = ∑(mr )α
2. 刚体定轴转动定律
对刚体中任一质量元 m i
O’
ω
r ri
mi
O
r 外力 Fi -外力
r fi
r fi -内力
θi i
r F i
应用牛顿第二定律，可得： 应用牛顿第二定律，可得：
r r r Fi + fi = mai i
采用自然坐标系，上式切向分量式为： 采用自然坐标系，上式切向分量式为：
F sini + fi sinθi = maiτ = mriα i i i
dω M = Jα = J dt
α 转动惯量是转动 （1） M 一定，J ） 一定， 惯性大小的量度； 惯性大小的量度； （2) 刚体产生角加速度 α 原因是受外力矩 M 作用。 M 与 α
是投影量（代数量）， 同正负。
（3） M 与J是对同一转轴而言的，J是大于零的。 和转轴有关， 和质量分布有关； （4）J 和转轴有关，J 和质量分布有关；同一个物体 对不同转轴的转动惯量不同。 对不同转轴的转动惯量不同。
理论力学第章刚体的平面运动
E
30
B vB
A vA
vD
vB CD CB
3vB
0.693
m s－1
vE60
CO
ω
轮E沿水平面滚动，轮心E的速度 水平，由速度投影定理，D，E 两
点的速度关系为
vE cos 30 vD
求得 vE 0.8 m s－1
§9.3 求平面图形内各点速度的瞬心法
一、问题的提出
B
vA vA
C
vD vA vDA
A Ⅱ
由于齿轮Ⅰ固定不动，接触点D不滑动，所以
ωO O
D
vDA ωⅡ
vD=0 ，因而有 vDA v A O r1 r2
Ⅰ
vDA为D点绕基点A的转动速度，应有
vDA Ⅱ DA
因此
Ⅱ
vDA DA
O (r1
r2
r2 )
（逆时针）
y
SM
O
o
x
§9.1 刚体平面运动的概述和运动分解
刚体平面运动方程
xo xo (t )
yo
yo (t )
(t)
刚体的平面运动可以看成是平动和转动的合成运动。
四、刚体的平面运动分解为平动和转动
刚体平面运动可以分解为随同基点的平动和绕基点
的转动，平面图形随同基点平动的速度和加速度与基点 的选取的有关。绕基点转动的角速度和角加速度则与基 点的选择无关。
动画
刚体平面运动分解
动画
平面运动
动画
平面运动
动画
平面运动分解
动画
平面运动
动画
理论力学教案2
本次讲稿第二章刚体静力学基础第一节静力学基本概念静力学是研究物体的平衡问题的科学。
主要讨论作用在物体上的力系的简化和平衡两大问题。
所谓平衡，在工程上是指物体相对于地球保持静止或匀速直线运动状态，它是物体机械运动的一种特殊形式。
一、刚体的概念工程实际中的许多物体，在力的作用下，它们的变形一般很微小，对平衡问题影响也很小，为了简化分析，我们把物体视为刚体。
所谓刚体，是指在任何外力的作用下，物体的大小和形状始终保持不变的物体。
静力学的研究对象仅限于刚体，所以又称之为刚体静力学。
二、力的概念力的概念是人们在长期的生产劳动和生活实践中逐步形成的，通过归纳、概括和科学的抽象而建立的。
力是物体之间相互的机械作用，这种作用使物体的机械运动状态发生改变，或使物体产生变形。
力使物体的运动状态发生改变的效应称为外效应，而使物体发生变形的效应称为内效应。
刚体只考虑外效应；变形固体还要研究内效应。
经验表明力对物体作用的效应完全决定于以下力的三要素：（1）力的大小是物体相互作用的强弱程度。
在国际单位制中，力的单位用牛顿（N）或千牛顿（kN），1kN=103N。
（2）力的方向包含力的方位和指向两方面的涵义。
如重力的方向是“竖直向下”。
“竖直”是力作用线的方位，“向下”是力的指向。
（3）力的作用位置是指物体上承受力的部位。
一般来说是一块面积或体积，称为分布力；而有些分布力分布的面积很小，可以近似看作一个点时，这样的力称为集中力。
如果改变了力的三要素中的任一要素，也就改变了力对物体的作用效应。
既然力是有大小和方向的量，所以力是矢量。
可以用一带箭头的线段来表示，如图2-1所示，线段AB长度按一定的比例尺表示力F的大小，线段的方位和箭头的指向表示力的方向。
线段的起点A或终点B表示力的作用点。
线段AB的延长线（图中虚线）表示力的作用线。
图2－1本教材中，用黑体字母表示矢量，用对应字母表示矢量的大小。
黑龙江水利专科学校建工系力学教研室一般来说，作用在刚体上的力不止一个，我们把作用于物体上的一群力称为力系。
刚体力学
讨论：ｉ）当ｍ2R2 <ｍ1R1时，α <0，则表明圆 柱体实际转动方向与所设方向相反，即ｍ2上升 ，而ｍ1下降。 ｉｉ）当ｍ2R2 ＝ｍ1R1时，α ＝0，此时圆柱 体不转动或匀速转动，ｍ2、ｍ1不运动或匀速 直线运动。
25
4.定轴转动的动能定理和机械能守恒定律 一. 力矩的功
ｄ A ＝ F ｄ r ＝ FC ｏ ｓ ｄ ｓ ＝ FS ｉ ｎ ｒ ｄ ＝ M Zｄ
刚体力学
主要内容： 1.刚体定轴转动的描述 2.力矩、刚体定轴转动定律、转动惯量
3.刚体定轴转动的动能定理和机械能守恒定律
*4.刚体定轴转动的角动量定理、角动量守恒定律
1
1. 刚体的平动、转动和定轴转动 一.刚体
1.定义：在任何条件下大小和形状都不发 生变化的物体称为刚体。 2.说明：刚体与质点、理想气体、点电荷等一样是
m
J
2
2
m 2 R d mR 2
2
15
例2.3 试计算质量均匀分布的薄圆盘的垂直于盘面
的中心轴的转动惯量。设圆盘质量为ｍ，半径为R。
解：
J ＝∫ ｒ ｄ ｍ
２
ｄ ｍ ＝ •2ｒ ｄ ｒ
J＝ ∫
R 0
2 ｒｄ ｒ
３ 4
R 1 2 ＝ ＝ ｍR 2 2
16
例2.4
在质量为 M ，半径为 R 的匀质
例3.3 在倾角为θ 的斜面顶端固定一滑轮，用一根绳子 缠绕数圈后引出与M连接，M与斜面摩擦系数为μ （如图）， 设滑轮质量为ｍ，半径为R，轴处无摩擦。试分析M作加速 运动的条件。 Ｎ‘
解: 由牛顿第二定律
Ｏ ｍｇ ｆ
Ｔ
Ｎ
M ｇ s in θ － T － μ N ＝ M a
25
4.定轴转动的动能定理和机械能守恒定律 一. 力矩的功
ｄ A ＝ F ｄ r ＝ FC ｏ ｓ ｄ ｓ ＝ FS ｉ ｎ ｒ ｄ ＝ M Zｄ
刚体力学
主要内容： 1.刚体定轴转动的描述 2.力矩、刚体定轴转动定律、转动惯量
3.刚体定轴转动的动能定理和机械能守恒定律
*4.刚体定轴转动的角动量定理、角动量守恒定律
1
1. 刚体的平动、转动和定轴转动 一.刚体
1.定义：在任何条件下大小和形状都不发 生变化的物体称为刚体。 2.说明：刚体与质点、理想气体、点电荷等一样是
m
J
2
2
m 2 R d mR 2
2
15
例2.3 试计算质量均匀分布的薄圆盘的垂直于盘面
的中心轴的转动惯量。设圆盘质量为ｍ，半径为R。
解：
J ＝∫ ｒ ｄ ｍ
２
ｄ ｍ ＝ •2ｒ ｄ ｒ
J＝ ∫
R 0
2 ｒｄ ｒ
３ 4
R 1 2 ＝ ＝ ｍR 2 2
16
例2.4
在质量为 M ，半径为 R 的匀质
例3.3 在倾角为θ 的斜面顶端固定一滑轮，用一根绳子 缠绕数圈后引出与M连接，M与斜面摩擦系数为μ （如图）， 设滑轮质量为ｍ，半径为R，轴处无摩擦。试分析M作加速 运动的条件。 Ｎ‘
解: 由牛顿第二定律
Ｏ ｍｇ ｆ
Ｔ
Ｎ
M ｇ s in θ － T － μ N ＝ M a
第四章 刚体力学基础
l
l
O
x x dx x
J
JC
• 平行轴定理
刚体绕平行于质 心轴的转动惯量J，等 于绕质心轴的转动惯 量 JC 加上刚体质量与 两轴间的距离平方的 乘积。
d
C
m
J J c md
2
Example 3 一质量为 m ，半径为 R 的均匀圆盘， 求通过盘中心并与盘面垂直的z轴的转动惯量。
y
Solution
z
ri
vi
mi
二、刚体重力势能
Gravitational potential energy of a rigid body
E pi mi gzi
E p ( mi zi )g
z
zc
mi zi i m
x
i
m i
y
E p mgzc
一个不太大的刚体的重力势 能和它的全部质量集中于质 心时的重力势能一样。
J o J c md
2
A
2
C
O
B
1 l 1 2 2 J O ml m ml 12 6 9
（1）水平 0 0 l 1 2 mg ml 6 9
3g 2l
（2）垂直
M 0
0
A
C
O
B
选杆与地球为系统，机 械能守恒， 选O为势能零点
1 l 11 2 2 l 2 J 0 mg ml mg 0 2 6 29 6
讨论：当 M=0时
m1m2 g T1 T2 m1 m2
§3 刚体定轴转动的功和能
一、刚体的转动动能
rotational kinetic energy of a rigid body 刚体作定轴转动时，刚 体上任意一质元的动能为： 1 1 2 2 2 Eki mi vi mi ri 2 2 1 则 Ek Eki ( mi ri 2 ) 2 2 i i 1 Ek J 2 ——刚体定轴转动动能 2
l
O
x x dx x
J
JC
• 平行轴定理
刚体绕平行于质 心轴的转动惯量J，等 于绕质心轴的转动惯 量 JC 加上刚体质量与 两轴间的距离平方的 乘积。
d
C
m
J J c md
2
Example 3 一质量为 m ，半径为 R 的均匀圆盘， 求通过盘中心并与盘面垂直的z轴的转动惯量。
y
Solution
z
ri
vi
mi
二、刚体重力势能
Gravitational potential energy of a rigid body
E pi mi gzi
E p ( mi zi )g
z
zc
mi zi i m
x
i
m i
y
E p mgzc
一个不太大的刚体的重力势 能和它的全部质量集中于质 心时的重力势能一样。
J o J c md
2
A
2
C
O
B
1 l 1 2 2 J O ml m ml 12 6 9
（1）水平 0 0 l 1 2 mg ml 6 9
3g 2l
（2）垂直
M 0
0
A
C
O
B
选杆与地球为系统，机 械能守恒， 选O为势能零点
1 l 11 2 2 l 2 J 0 mg ml mg 0 2 6 29 6
讨论：当 M=0时
m1m2 g T1 T2 m1 m2
§3 刚体定轴转动的功和能
一、刚体的转动动能
rotational kinetic energy of a rigid body 刚体作定轴转动时，刚 体上任意一质元的动能为： 1 1 2 2 2 Eki mi vi mi ri 2 2 1 则 Ek Eki ( mi ri 2 ) 2 2 i i 1 Ek J 2 ——刚体定轴转动动能 2