理论力学第三章 刚体力学-2

⑵ 本体极迹：刚体运动时，瞬心在刚体内(运动坐 标系中)所描绘的轨迹。 潘索定理：如果本体极迹和空间极迹都是连续曲线， 则刚体在作平面运动时，本体极迹将沿空间极迹无 滑动地滚动着。
用瞬心求速度的公式
取瞬心c为基点，则
c r r
c. 速度投影定理
A B C B C A C B A
r P相对于基点A的向心加速度
2
【例5】 设椭圆规尺AB的端点A与B沿直线导槽ox及 oy滑动，B以匀速度c运动，求椭圆规尺上M点的速度、 本体极迹与空间极迹的方程式。
方法一：用瞬心法求速度。 C r r ①确定瞬心的位置C。 ②求AB杆绕Cz轴转动角速度。 B c CB (a b) sin
方法二：几何法
A、已知刚体中两点A、B速度方向 B、已知一点的速度及 A A 垂直向里 A AC
C

C、无滑动滚动(纯滚动）时的接触点即为转动瞬心
空间极迹，本体极迹
⑴ 空间极迹，刚体运动时，瞬心交替变换，瞬 心和固定平面相垂直的各点在固定平面上(固 定坐标系中)描绘的轨迹叫空间极迹。
a. 合成法
以基点为S´系原点，建立平面转动参照系，则任意一点 的速度：
v v A v vA r
y
S
y P S r r x
A rA
o
z
z
x
Oxyz ---固定坐标系 Axyz---刚联于刚体的动坐标系
A r
M CM ③求速度。
c a sin b cos (a b) sin c a 2 b 2 ctg 2 ab
2 2 2 2
d Mz dt
I zz M z
刚体定轴转动的转动定律
【例4】一复摆如图所示，物体在重力作用下绕过o点 的轴摆动，设刚体对oz轴的转动惯量为Izz, 质心为C, 对质心转动惯量Icz, OC l ,求复摆的周期。 解：刚体受重力和轴的支撑力作 支撑力通过转轴 用，重力对oz轴的力矩为：
刚体上任意两点的速度在两点连线上的投影相等。
其中， ⑵ 加速度 d A d dr d d A d a ( r ) r dt dt dt dt dt dt d aA r ( r ) dt 0 d 2 aA r ( r ) r dt d 2 aA r r dt aA 基点加速度 d r P相对于基点A的切向加速度 dt
n J o ri mii i 1
ri mi ( ri )
i 1 n
n
mi [ri ( ri )]
i 1
n J o mi [ri ( ri )] i 1
mi [ri ( ri )ri ]
x Ax y y Ay x
b. 瞬心法 转动瞬心：做平面平行运动刚体上瞬时速度为0的点
叫做转动瞬心，记为c。 因此刚体的平面平行运动，可以看成是在每个瞬时 绕瞬心轴的定轴转动，这个定轴不是真正的定轴。
说明： ①瞬心是唯一的，不同时刻有不同的瞬心；
3、动量矩
在普通物理力学中学过，刚体绕定轴转动的动量矩：
J z I zz
是沿转轴方向，为了进一步了解定轴转动的实质，并 同时向定点转动过渡，我们从普遍意义上导出定轴转 动刚体的动量矩。
设：刚体绕oz轴转动，则：
k
第i个质点的位矢： ri xi i yi j zi k 则刚体对点o的动量矩为：
y Ay ( x xA ) 0
Ay x xC xA y y y Ax C A
x Ax y 0 ( S系中) y Ay x 0 Ay x xC ( S 系中) y y Ax C


y
r xi yj
z
S
y P S r r x
A rA
x Ax ( y y A ) y Ay ( x x A )
o
z
x
在动系 Ax y 中（向S´系投影）： A Axi Ay j r k ( xi yj ) x j yi
④直线在平面内的任意运动，可分解为平动和转动。
A A A
A
结论：刚体的平面平行运动可以分解为以基点为代 表的平动和绕基点的转动，其中平动位移与基点 选择有关，而转动角位移与基点的选择无关。
注意：所谓绕基点的转动是指绕过基点且垂直于平 面图形的轴的转动，该轴不是固定轴，而是定向转 轴。
3、运动学方程
振动周期为
I zz T 2 m gl
2
分析： 单摆小角度运动微分方程：
g 0 L
yห้องสมุดไป่ตู้
其解为 :
g A0cos( t 0 ) L I zz mgl g 令: , 得L I zz L ml
O
OO L
由平行轴定理：
I zz Icz ml , 代入上式
②瞬心的速度为零
③瞬心可以在刚体上、也可以在刚体外。 ④对瞬心而言，刚体上任一点P的速度都垂直 于瞬心c与该点p的连线CP。
P
p
C
瞬心的求法
方法一：由刚体上任一点速度公式求。
x Ax ( y y A ) 0 A r
由以上运动分析可知，运动学方程可由基点的运动 方程和绕基点定向转轴转动方程组成，即：
x A x A (t ) y A y A (t ) (t )
4、速度、加速度
⑴ 速度 由运动分析可知，做平面平行运动刚体上任意一点P 的速度等于基点的速度+该点绕基点转动的速度之和。
y
M z mglsin
根据定轴转动的转动定律
M z mglsin I zz
很小，从而 sin ，得 对微小振动，
m gl 0 I zz
复摆作简谐振动
运动学方程为
m gl A0 cos I t 0 zz
2 i 1 n
n
mi [(x y z )k zi ( xi i yi j zi k )]
i 1 n 2 i 2 i 2 i
2 2 mi [ xi zii yi zij ( xi yi )k ]
i 1
其中，
A B C B C A C B A
m gy
i
i
mgy c
（刚体的势能等于质心的势能） ③若作用在刚体上的外力均为保守力，或有非保守 力但不做功，则机械能守恒
1 I zz 2 V E 2
5 、运动微分方程
dJ z d ( I zz ) Mz Mz dt dt
而为 I zz 常量，有 I zz 即：
其中: 是角加速度
定义：
ai ri Ri
切向加速度 法向加速度
其中，
ain ( ri ) Ri
2

2 i
Ri
i
A B C B C A C B A
e Fi mrc
二、 刚体定轴转动
1、运动分析 ①一个自由度，用角坐标 描述刚体位置很方便。 ②刚体上每一点都在与转轴的垂直平面内做圆周运动。 ③每个质点的线位移、线速度和线加速度不同， 但有相同的角位移、角速度和角加速度。
2、速度，加速度
①速度： i ri
n J ox mi xi zi i 1 n J oy mi yi zi i 1 n 2 2 J m ( x y oz i i i ) I zz i 1
J z Jo k
结论：刚体对转轴上o点的动量矩一般并不沿转轴方向， J z I zz 仅为 J o 在转轴方向的分量。

动坐标系oxyz
i ri sin i Ri
②加速度 d dri di d ai ( ri ) ri dt dt dt dt ri i ri ( ri )
第三章 刚体力学
• 刚体运动方程与平衡方程 • 刚体的定轴转动 • 刚体的平面平行运动
• 刚体的定点转动
§3.3 刚体的平动与绕固定轴的转动
一、 刚体的平动 运动分析：各点运动情况相同，自由度为3。 平动
z
转动
o y
z
x
z
o x
z
y
xo y
xo y
结论：由于各质点运动情况相同(位移、速度和加速度)， 所以可用一点（常用质心）的运动代表刚体的整 体运动，由质心运动定理(固定坐标系中)
1、什么叫平面平行运动
运动刚体上任意一点的轨迹始终在和某一固定平面 平行的平面内，称刚体的这种运动叫平面平行运动。
A A A
A
纯平动
纯转动
2、运动分析
①做平面平行运动的刚体上与固定平面相平行的所 有平面的运动规律是相同的，取任意一个平行截面 就可以代表刚体的运动，因此可以把刚体做平面平 行运动的问题，简化为一个平面图形做平面平行运 动的问题。 ②一平面图形在某一固定平面内的位置可由该平面 图形上一直线表示，因此，平面图形做平面运动的 问题可简化为一直线段做平面运动的问题。 ③s=3（在平面内确定一直线段需三个独立坐标）