第三章刚体力学(2)
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3章刚体力学2
m m 1 m r 2 1 2
当不计摩擦阻力矩即令M=0时，有
m1 g m2 m1 g a J 1 m2 m1 2 m2 m1 m r 2
2
m
同例一
当不计滑轮质量及摩擦阻力矩即令m=0、M=0时，有
2m1m2 T1 T2 g m2 m1
1 2 J ml 3
J
1 ml 2 12
l
5
J r 2m
6
球体
7
关于刚体定轴转动定理的几点讨论 M J 1、不仅适用于刚体定轴转动的情形；刚体关于 过质心轴的转动定律与定轴转动定律完全相同。 见第三章习题3.8。
2、M 是刚体所受的对转轴的合外力矩；
3、可以用来求刚体的角加速度、所受的外力 矩和刚体的转动惯量。
分析：
M J
1 2 s v0t at 2
a r
O r
m
17
解：设绳子对物体(或绳子对轮轴)的拉力为T， 受力分析如图： mgT＝ma （1） （2）
Tr J
r
T
T a
由运动学关系有：
mg
a r
解得 又根据已知条件
（3）
J＝m( g－a) r2 / a
（4）
将⑤式代入④式得：
m2 m1 g M r / r m2 m1 g M / r
J m2 m1 2 r
1 m2 2m1 m g＋M / r 2 T2 m1 g－a 1 m2 m1 m 2
13
a r
m2 m1 g M / r
m1 g T1 m1a1 T2 m2 g m2a2 a1 a2 a
当不计摩擦阻力矩即令M=0时，有
m1 g m2 m1 g a J 1 m2 m1 2 m2 m1 m r 2
2
m
同例一
当不计滑轮质量及摩擦阻力矩即令m=0、M=0时，有
2m1m2 T1 T2 g m2 m1
1 2 J ml 3
J
1 ml 2 12
l
5
J r 2m
6
球体
7
关于刚体定轴转动定理的几点讨论 M J 1、不仅适用于刚体定轴转动的情形；刚体关于 过质心轴的转动定律与定轴转动定律完全相同。 见第三章习题3.8。
2、M 是刚体所受的对转轴的合外力矩；
3、可以用来求刚体的角加速度、所受的外力 矩和刚体的转动惯量。
分析：
M J
1 2 s v0t at 2
a r
O r
m
17
解：设绳子对物体(或绳子对轮轴)的拉力为T， 受力分析如图： mgT＝ma （1） （2）
Tr J
r
T
T a
由运动学关系有：
mg
a r
解得 又根据已知条件
（3）
J＝m( g－a) r2 / a
（4）
将⑤式代入④式得：
m2 m1 g M r / r m2 m1 g M / r
J m2 m1 2 r
1 m2 2m1 m g＋M / r 2 T2 m1 g－a 1 m2 m1 m 2
13
a r
m2 m1 g M / r
m1 g T1 m1a1 T2 m2 g m2a2 a1 a2 a
第3章刚体力学
23
例8 ： 一质点的质量为m，位矢为：r =acost i+bsint j (式中a、b、 均为常量); 求质点的角动量及它所受的力矩。
dr 解： a sin ti b cos tj dt L r ( m ) 2 2 mab cos tk mab sin tk
mg
14
例6： 一根质量为m、长为l的均匀细棒AB，可绕一水平光滑 轴o在竖直平面内转动，o轴离A端的距离为 l/3。今使棒从静
止开始由水平位置绕o轴转动，求棒转过角 时的角加速度和
角速度。 解 细棒AB受的重力可集中在质心，故重力的力矩为
M o mg l cos
6
A
o C
1 l 2 1 2 2 I o ml m( ) ml 12 6 9
I V r dm
2
式中r为刚体上的质元dm到转轴的距离。 线状刚体： 面状刚体： 体状刚体：
dm dl dm dS dm dV
Io
o
d
Ic
C
2 (3)平行Biblioteka 定理： Io=Ic+MdM
Ic 通过刚体质心的轴的转动惯量;
M 刚体系统的总质量; d 两平行轴(o,c)间的距离。
动力学规律可以推广应用到刚体。
2
二 . 刚体定轴转动的描述
刚体在作定轴转动时，刚体上所以质点都作圆周运动且角 速度相同，所以用角量描述最为方便。
d , dt
线量与角量的关系：
d dt
r a r a r 2 n
o
r
P
x
刚体作匀速、匀变速定轴转动时，各角参量之间的关系 与质点作匀速、匀变速圆周运动时所满足的关系一样。
例8 ： 一质点的质量为m，位矢为：r =acost i+bsint j (式中a、b、 均为常量); 求质点的角动量及它所受的力矩。
dr 解： a sin ti b cos tj dt L r ( m ) 2 2 mab cos tk mab sin tk
mg
14
例6： 一根质量为m、长为l的均匀细棒AB，可绕一水平光滑 轴o在竖直平面内转动，o轴离A端的距离为 l/3。今使棒从静
止开始由水平位置绕o轴转动，求棒转过角 时的角加速度和
角速度。 解 细棒AB受的重力可集中在质心，故重力的力矩为
M o mg l cos
6
A
o C
1 l 2 1 2 2 I o ml m( ) ml 12 6 9
I V r dm
2
式中r为刚体上的质元dm到转轴的距离。 线状刚体： 面状刚体： 体状刚体：
dm dl dm dS dm dV
Io
o
d
Ic
C
2 (3)平行Biblioteka 定理： Io=Ic+MdM
Ic 通过刚体质心的轴的转动惯量;
M 刚体系统的总质量; d 两平行轴(o,c)间的距离。
动力学规律可以推广应用到刚体。
2
二 . 刚体定轴转动的描述
刚体在作定轴转动时，刚体上所以质点都作圆周运动且角 速度相同，所以用角量描述最为方便。
d , dt
线量与角量的关系：
d dt
r a r a r 2 n
o
r
P
x
刚体作匀速、匀变速定轴转动时，各角参量之间的关系 与质点作匀速、匀变速圆周运动时所满足的关系一样。
理论力学第三章刚体力学
d dt
线量和角量的对应
dr
dr v dt
d
d dt
dv a dt
d dt
6.欧勒角
1).欧勒角 章动 角 自转 角 Z轴位置由 θ，φ角决 定 进动 角
节线ON
0 0 2 0 2
2).欧勒运动学方程
在直角坐标系
x i y j z k
理 论 力 学
第三章 刚体运动
概述
1.刚体是一个理想模型，它可以看作是一种特
殊的质点组，这个质点组中任何两个质点之间
的距离不变.这使得问题大为简化，使我们能 更详细地研究它的运动性质，得到的结果对实 际问题很有用。 2.一般刚体的自由度为6.如果刚体运动受到约束, 自由度相应减少.
3.刚体的两种基本运动
刚体上任一点p的坐标分别为
v r ra a ra 而在系 a xy z r r ( r b a a b ra ) rb ra (rb ra )
得
r ra ra
2
drci (rci mi Jc ) dt i 1 n (e) (rci Fi ) Mc
n
i 1
简表为:
d Mc Jc dt
(6个方程正好确定刚体的6个独立变量)
刚体的动量矩 (角动量) n n ) 简表为: J J c J ci (ri mi vi ) rc mvc (rci mi vci
三.刚体的平衡
刚体平衡条件
(e) Fi 0
n i
n (e) Fi ) 0 (rci Mc i 1
线量和角量的对应
dr
dr v dt
d
d dt
dv a dt
d dt
6.欧勒角
1).欧勒角 章动 角 自转 角 Z轴位置由 θ，φ角决 定 进动 角
节线ON
0 0 2 0 2
2).欧勒运动学方程
在直角坐标系
x i y j z k
理 论 力 学
第三章 刚体运动
概述
1.刚体是一个理想模型，它可以看作是一种特
殊的质点组，这个质点组中任何两个质点之间
的距离不变.这使得问题大为简化，使我们能 更详细地研究它的运动性质，得到的结果对实 际问题很有用。 2.一般刚体的自由度为6.如果刚体运动受到约束, 自由度相应减少.
3.刚体的两种基本运动
刚体上任一点p的坐标分别为
v r ra a ra 而在系 a xy z r r ( r b a a b ra ) rb ra (rb ra )
得
r ra ra
2
drci (rci mi Jc ) dt i 1 n (e) (rci Fi ) Mc
n
i 1
简表为:
d Mc Jc dt
(6个方程正好确定刚体的6个独立变量)
刚体的动量矩 (角动量) n n ) 简表为: J J c J ci (ri mi vi ) rc mvc (rci mi vci
三.刚体的平衡
刚体平衡条件
(e) Fi 0
n i
n (e) Fi ) 0 (rci Mc i 1
第三章-刚体力学基础
薄板对Z轴的转动惯量 J Z ＝
对X轴的转动惯量 J X
对Y轴的转动惯量 JY
Z
垂直轴定理
JZ JX JY
O
yi
Y
xi
ri
X
JZ miri2 mi xi2 mi yi2 Jx J y
五 刚体定轴转动的转动定律的应用
例１、一个质量为Ｍ、半径为Ｒ的定
滑轮（当作均匀圆盘）上面绕有细绳， 绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂
分析： 由 每分钟150转 可知
0
t
2 150
60
5
rad
/ s
而已知 r=0.2m t=30s ω=0
可由公式求相应的物理量
解: (1) 0 0 5 (rad / s2 )
t
30
6
负号表示角加速度方向与角速度方向相反
（飞轮做匀减速转动）
2 02 2
(5 )2 2 ( )
末位置：
Ek
1 2
J 2
l
由刚体定轴转动的动能定理
1 mgl sin 1 J 2 0
2
2
mgl sin 3g sin
J
l
M
1 mgl cos
2
3g cos
J
1 ml2
2l
3
dm dl
gdm
（用机械能守恒定律解） 假设棒在水平位置时的重力势能为零势能
0 1 J2 (mg l sin ) O
动。最初棒静止在水平位置，求它由此下摆角时的
角加速度和角速度。（分别用动能定理和机械能守
恒定律求解）
解： （用动能定理解）
重力对轴的力矩为
M 1 mgl cos（M
O
大学物理第三章刚体力学
薄板的正交轴定理：
Jz Jx J y
o x
y
X,Y 轴在薄板面上，Z轴与薄板垂直。
例3、质量m，长为l 的四根均匀细棒， O 组成一正方形框架，绕过其一顶点O 并与框架垂直的轴转动，求转动惯量。 解：由平行轴定理，先求出一根棒 对框架质心C的转动惯量：
C
m, l
1 l 2 1 2 2 J ml m( ) ml 12 2 3
M F2 d F2 r sin
若F位于转动平面内，则上式简化为
M Fd Fr sin
力矩是矢量，在定轴转动中， 力矩的方向沿着转轴，其指向 可按右手螺旋法则确定：右手 四指由矢径r的方向经小于的 角度转向力F方向时，大拇指的 指向就是力矩的方向。根据矢 量的矢积定义，力矩可表示为：
例9 行星运动的开普勒第二运动定律：行星对太阳 的位矢在相等的时间内扫过相等的面积。 解：行星在太阳引力（有心 力）作用下沿椭圆轨道运动， 因而行星在运行过程中，它 对太阳的角动量守恒不变。
L rmvsin 常量
因而掠面速度：
dS dt
r dr sin 2dt
1 rv sin 常量 2
Fi fi Δmi ai
切向的分量式为
Fi sin i f i sin i mi ri
Fi sin i f i sin i mi ri
两边同乘ri，得
Fi ri sin i fi ri sin i mi ri2
上式左边第一项为外力Fi对转轴的力矩，而第二项是 内力fi 对转轴的力矩。对刚体的所有质点都可写出类 似上式的方程，求和得
质点的角动量一质量为m的质点以速度v运动相对于坐标原点o的位置矢量为r定义质点对坐标原点o的角动量为sinrmv282质点的角动量定理质点所受的合外力对某一参考点的力矩等于质点对该点的角动量对时间的变化率角动量定理
第三章 刚体力学分析
连续分布
J r 2 dm
J S r 2 dS
J V r 2 dV
2
J l r dl
【例】如图所示，在不计质量的细杆组成的正三角形的顶 角上，各固定一个质量为m的小球，三角形边长为l。求： ⑴系统对过C点，且与三角形平面垂直轴的转动惯量； ⑵系统对过A点，且与三角形平面垂直轴的转动惯量； ⑶若A处质点也固定在B处，⑵的结果如何？ m
h
代入数据，得
F 5.91×1010 N
2018/11/1
【例】 有一圆盘质量为m，均匀分布，圆盘半径为R 可绕过盘中心的光滑竖直轴在水平桌面上转动，圆 盘与桌面间的滑动摩擦系数为μ，求圆盘转动后受的 摩擦力矩。 解：摩擦力距在圆盘的不同 R部位是不相同的，在圆盘 上取一半径r—r+dr的圆环 圆环质量： r dr
T' T
o
r
T T
m
m g T m a Tr J
a r
2 gt 2 J mr ( 1) 2S
1 2 S at 2
mg
【思考】组合轮可以绕通过其中心且垂直于盘面的光滑水 平固定轴o转动，对o轴的转动惯量J=9mr2/2 。两圆盘边缘 上分别绕有轻质细绳，细绳下端各悬挂质量为m的物体A和 B，这一系统从静止开始运动,绳与盘无相对滑动且长度不 变。已知小圆盘的半径为r，质量为m；大圆盘的半径 r’=2r，质量m’ = 2m 。 求：组合轮的角加速度的大小。
与质点匀变速直线运动公式相对应.
0 t
(6) 角量与线量的关系
线量——质点做圆周运动的v、a 角量——描述刚体转动整体运动的 ，， 弧长 线速度 切向加速度
s r
y
第03章(刚体力学)习题答案
内力做功，机械能守恒，动量守恒的条件为合外力为零，转轴不属于系统，转轴与盘之间有
作用力，动量不守恒。
3-2 如图所示，一匀质细杆可绕通过上端与杆垂直的水平光滑
O
固定轴 O 旋转，初始状态为静止悬挂．现有一个小球自左方水平打
击细杆．设小球与细杆之间为非弹性碰撞，则在碰撞过程中对细杆
与小球这一系统的哪种物理量守恒？ 答：在碰撞时，小球重力过转轴，杆的重力也过轴，外力矩为
思考题 32 图
零，所以角动量守恒。因碰撞时转轴与杆之间有作用力，所以动量不守恒。碰撞是非弹性的，
所以机械能也不守恒。
3-3 一圆盘绕过盘心且与盘面垂直的光滑固定轴 O 以角速度w按图示方向转动.若如图
所示的情况那样，将两个大小相等方向相反但不在同一条直线的力
F 沿盘面同时作用到圆盘上，则圆盘的角速度w 如何变化？
解：此过程角动量守恒
Jw0
=
1 3
Jw
Þ
w
=
3w0
3-10 一轴承光滑的定滑轮，质量为 M＝2.00 kg，半径为 R＝0.100 m，
一根不能伸长的轻绳，一端固定在定滑轮上，另一端系有一质量为 m＝5.00
kg 的物体，如图所示．已知定滑轮的转动惯量为 J＝ 1 MR 2 ，其初角速 2
w 0
R M
解：（1）设在任意时刻定滑轮的角速度为w，物体的速度大小为 v，则有 v=Rw.
则物体与定滑轮的总角动量为： L = Jw + mvR = Jw + mR2w
根据角动量定理，刚体系统所受的合外力矩等于系统角动量对时间的变化率：
M = dL ,该系统所受的合外力矩即物体的重力矩:M=mgR dt
所以： b
理论力学周衍柏第三章
一、基础知识 1. 力系：作用于刚体上里的集合. 平衡系：使静止刚体不产生任何运动的力系. 等效系：二力系对刚体产生的运动效果相同. 二、公理： 1）二力平衡原理：自由刚体在等大、反向、共线二力作 用下必呈平衡。 2）加减平衡力学原理：任意力系加减平衡体系,不改变原 力系的运动效应。 3）力的可传性原理：力沿作用线滑移，幵不改变其作用 效果，F与F’等效。 注：1）以上公理适用于刚体, 2) 力的作用线不可随便平移
(e) dT Fi dri
(e) 若 Fi dri dV 则 T V E
为辅助方程，可代替上述6个方程中任何一个
§3.5 转动惯量
一、刚体的动量矩 1. 某时刻刚体绕瞬轴OO’转动,则pi点的速度为
vi rii
动量矩为 2. 坐标表示
R Fi Fi 0 M M i ri Fi 0
2. 几种特例 1）汇交力系（力的作用线汇交于一点）：取汇交点为 简化中心，则
Fix 0 R Fi 0 Fiy 0 Fiz 0
三、力偶力偶矩 1. 力偶：等大、反向、不共线的两个力组成的利系。
力 偶 所在平面角力偶面. 2. 力偶矩: 对任意一点O M rA F rB F (rA rB ) F r F M Fd
方向 : 右手法则 上式表明:
J z x mi zi xi y mi zi yi z mi ( xi2 yi2 )
I yy mi ( zi2 源自xi2 ) I zy mi zi yi I yz mi yi zi I xz mi xi zi
I zz mi ( xi2 yi2 )
(e) dT Fi dri
(e) 若 Fi dri dV 则 T V E
为辅助方程，可代替上述6个方程中任何一个
§3.5 转动惯量
一、刚体的动量矩 1. 某时刻刚体绕瞬轴OO’转动,则pi点的速度为
vi rii
动量矩为 2. 坐标表示
R Fi Fi 0 M M i ri Fi 0
2. 几种特例 1）汇交力系（力的作用线汇交于一点）：取汇交点为 简化中心，则
Fix 0 R Fi 0 Fiy 0 Fiz 0
三、力偶力偶矩 1. 力偶：等大、反向、不共线的两个力组成的利系。
力 偶 所在平面角力偶面. 2. 力偶矩: 对任意一点O M rA F rB F (rA rB ) F r F M Fd
方向 : 右手法则 上式表明:
J z x mi zi xi y mi zi yi z mi ( xi2 yi2 )
I yy mi ( zi2 源自xi2 ) I zy mi zi yi I yz mi yi zi I xz mi xi zi
I zz mi ( xi2 yi2 )
刚体动力学2
令
J = ∑ mi ri 2
转动惯量
转动定律
M = Jβ
刚体是特殊质点系，转动定律和质心运 动定律非常相似：
G G M = Jβ
G G F = mac
4
§3.3 转动惯量
一、转动惯量的物理意义 转动惯量特点
J = ∑ mi ri = ∑ J i
2
第 第三 三章 章
转动惯量是转 动惯性的量度
质量是平动 惯性的量度
桌面支持力对轴不产生力矩，摩 擦力矩使圆盘转动停止。 设转动方向为正，转动定律
o
ω0
R
dω −M f = J β = J dt
14
第三 三章 章 设圆盘的体密度 ρ ，厚度 l，在圆盘上 第 半径r处，取宽为dr的细圆环为质元。 质量dm=ρdV=2πrlρdr ，摩擦力df=μN=μgdm G G G 2 d M = 2 πμρ glr dr 力矩 dM f = r × df 大小 f
转 动 定 律
第 第三 三章 章
o x 1 2 M = Fy = J β = ml β 3 y F = F = ma x方向上的质心运动定理 ∑ x cx c
【解】只有F的力矩引起转动，转动定律
线量和角量关系，细杆的质心在l/2处
F y
l acx = ac = β 2
解得
2 y= l 3
17
【例】 如图所示，两物体的质量
J = ∑ mi ri
2
2
J = ∫r dm
质量体分布 dm ρ= dV J = ∫V r 2 ρ d V
6
一些常见刚体的转动惯量 一些常见刚体的转动惯量
第 第三 三章 章
细杆
1 2 J = ml 12
J = ∑ mi ri 2
转动惯量
转动定律
M = Jβ
刚体是特殊质点系，转动定律和质心运 动定律非常相似：
G G M = Jβ
G G F = mac
4
§3.3 转动惯量
一、转动惯量的物理意义 转动惯量特点
J = ∑ mi ri = ∑ J i
2
第 第三 三章 章
转动惯量是转 动惯性的量度
质量是平动 惯性的量度
桌面支持力对轴不产生力矩，摩 擦力矩使圆盘转动停止。 设转动方向为正，转动定律
o
ω0
R
dω −M f = J β = J dt
14
第三 三章 章 设圆盘的体密度 ρ ，厚度 l，在圆盘上 第 半径r处，取宽为dr的细圆环为质元。 质量dm=ρdV=2πrlρdr ，摩擦力df=μN=μgdm G G G 2 d M = 2 πμρ glr dr 力矩 dM f = r × df 大小 f
转 动 定 律
第 第三 三章 章
o x 1 2 M = Fy = J β = ml β 3 y F = F = ma x方向上的质心运动定理 ∑ x cx c
【解】只有F的力矩引起转动，转动定律
线量和角量关系，细杆的质心在l/2处
F y
l acx = ac = β 2
解得
2 y= l 3
17
【例】 如图所示，两物体的质量
J = ∑ mi ri
2
2
J = ∫r dm
质量体分布 dm ρ= dV J = ∫V r 2 ρ d V
6
一些常见刚体的转动惯量 一些常见刚体的转动惯量
第 第三 三章 章
细杆
1 2 J = ml 12
大学物理(机械工业出版社)第三章课后答案
第三章 刚体力学#3－1 一通风机的转动部分以初角速度ω0绕其轴转动，空气的阻力矩与角速度成正比，比例系数C 为一常量。
若转动部分对其轴的转动惯量为J ，问：（1）经过多少时间后其转动角速度减少为初角速度的一半？（2）在此时间内共转过多少转？ 解：（1）由题可知：阻力矩ωC M -=，又因为转动定理 dtd JJ M ωβ== dtd JC ωω=-∴ dt JC d t ⎰⎰-=∴00ωωωω t JC-=0lnωω t JCe-=0ωω当021ωω=时，2ln CJt =。
（2）角位移⎰=tdt 0ωθ⎰-=2ln 00C Jt JC dt eωCJ 021ω=，所以，此时间内转过的圈数为CJ n πωπθ420==。
3－2 质量为M ，半径为R 的均匀圆柱体放在粗糙的斜面上，斜面倾角为α ，圆柱体的外面绕有轻绳，绳子跨过一个很轻的滑轮，且圆柱体和滑轮间的绳子与斜面平行，如本题图所示，求被悬挂物体的加速度及绳中张力解：由牛顿第二定律和转动定律得ma T mg =- ααJ R Mg TR =-.sin 2由平行轴定理 223MR J =联立解得 g m M M m a 83sin 48+-=αmg mM MT 83)sin 43(++=α3－3 一平板质量M 1，受水平力F 的作用，沿水平面运动，如本题图所示，板与平面间的摩擦系数为μ，在板上放一质量为M 2的实心圆柱体，此圆柱体在板上只滚动而不滑动，求板的加速度。
解：设平板的加速度为a 。
该平板水平方向受到拉力F 、平面施加的摩擦力1f 和圆柱体施加的摩擦力2f ，根据牛顿定律有，a M f f F 121=--。
m g设圆柱体的质心加速度为C a ，则C a M f 22=遵守转动定理，ββ22221R M J R f ==又因为圆柱体无滑滚动 βR a a C += 且 g M M f )(211+=μ解以上各方程得 212131)(M M gM M F a ++-=μ3－4 质量面密度为σ的均匀矩形板，试证其对与板面垂直的，通过几何中心的轴线的转动惯量为)(1222b a ab J +σ=。
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J 00 ( J 0 mR )
2
J 00 ( J 0 0)
0
J 00 J 0 mR2
R
O’ Cபைடு நூலகம்
B
（2） 球与环及地球为系统，机械能守恒
势能零点
1 1 2 1 2 2 J 00 mg 2 R mv J 00 2 2 2
v 2 gR
环上C点处对惯性系的速度为零
d A M d
1 2 Ek J 2
A Md
1
2
定轴转动动能定理 势能 刚体的机械能
1 1 2 A J 2 J 12 2 2
E p mghc
1 2 E E p Ek mghc J 2 A外 A非保 E
A外+A非保=0 ΔE=0
*
机械能守恒
三、定轴转动定理定律 力矩 角动量
M r F
L J L J z
dLz M z J dt
定轴转动定律
分析问题：对刚体列出定轴转动定律方程
对质点列出牛顿定律方程 线量与角量的关系 M = 0 L = 常量——角动量守恒 J = 常量
力（力矩）对刚体的功 定轴转动动能
各质点的位置和速度 某点的位矢 = 质心的位矢 + 该质点相对质心的位矢 某点的速度 = 质心的平动速度 + 该质点相对质心的速度
y
ri rc ri
vi vc vi vc ri
mi
ri
ri′ rc
x
质心系
ω是该质点相对质心做转动时的角速度
O
八．细杆长l,质量m.从水平位置释放后与物 体碰撞,物体质量m,与地面摩擦系数u，撞后 滑行S停止,求碰后杆质心C上升的最大高度. 解: 分三阶段考虑 杆机械能守恒
C 势能零点
m
l 1 2 1 1 2 2 mg J ( ml ) 2 2 2 3
1 1 2 碰撞过程,角动量守恒 ( ml ) mvl ( ml 2 ) 3 3
质心
轨道动能
1 2
mi ri
2
2
1 J c 2 2
1 2 1 Ek mvc J c 2 2 2
归纳
刚体的复合运动可视为质心的平动与通 过质心并垂直平面之轴的转动的叠加
质心系角动量定理 （质心轴转动定理） 任一质点相对惯性系的位矢
dLc M c J c dt
ri rc ri
方向转动起来，说明原因。
作业8.6 半径R的空心圆环可绕光滑竖直轴自由转动，转动惯量为J0， 初始角速度为ω0，质量为m的小球在环内A点由静止开始下滑。 求（1）当小球分别到达B点和C点时环的角速度；（2）小球 运动到C点时相对环的速度大小（环内壁光滑）。 O
A
（1） A-B点 A-C点
球与环为系统，角动量守恒
mg
dL L sin d J sin d
dL 因为 M dt
则进动角速度为
Mdt J sin d
d M dt J sin
刚体定轴转动知识点
一．刚体的转动运动学方程
d dt
角量与线量的关系
d d 2 2 dt dt
S=r
v
O
v
A. 增大; B. 减小; C.不变; D.无法确定. 角动量守恒.
J J
所以角速度减小（B）
rmv rmv J0 J ' '
二、下列说法是否正确，说明理由
x √
x x
1.内力矩会改变刚体对某定轴的角动量
2.作用力反作用力对同一定轴的力矩之和为零 3.角速度方向与外力矩方向一定相同
Ｆ ac
F f mac
Fl fR J c
又
f
柱对质心轴的转动定律
纯滚动: 轮每滚过一周，质心前进距离必等于其周长 所以有 联合求解得
ac R
2F ( R l ) ac 3mR
1 J c mR2 2
R 2l f F 3R
2F ( R l ) ac 3mR
O
A
A.角速度从小到大,角加速度从大到小,
O
B.角速度从小到大,角加速度从小到大,
θ
C.角速度从大到小,角加速度从大到小,
D.角速度从大到小,角加速度从小到大,
β
mg
M z J
L M mgr sin mg cos 2
六.一轻绳绕过一半径为R,质量为m/4的滑 轮。质量为m的人抓住绳子一端，在绳的另 端系一质量m/2的重物。求当人相对绳匀速 上爬时，重物上升的加速度是多少？
m
0
Mi 0
第i个质点所受惯性 力对质心轴的力矩
i
质心系角动量定理 Mc、Jc、和α分别是刚体受到的总 rc是质心在质心系中的位置矢量，而质心 dLc M c J c 力矩、转动惯量和角加速度，它们 在质心系中位于原点处，即 rc 0 dt 都是对通过质心转轴而言的。 另证明见P43---44
L J
方向转动，而是出现进动
进动的角速度 ω:陀螺自转角速度； ：进动角速度
L sin
z
d
d ：自转轴dt内绕oz轴转过的角度
ω远大于
ω
dL L+dL
陀螺对O点的角动量等于 L 对本身对称轴的角动量
θ
O
L J
t时刻角动量为L，t+dt时为L+dL 在dt内，角动量增量dL很小，有
4.质量等，形状和大小不同的两物体， 在相同力矩作用下，其加速度一定相同
三、两个同样大小的轮子,质量也相同.A轮的质量均匀分 布,B轮的质量主要集中在轮缘.问: 1.如果作用在它们上面的外力矩相同,哪个轮 转动的角加速度较大? 2.如果它们的角加速度相同,作用在哪个轮上 的力矩较大? 3.如果它们的角动量相等,哪个轮子转的快 1.A
四. 刚体的复合运动
刚体的复合运动可视为质心平动与绕质心转动的叠加 对质心轴的转动定律
M c J c
动能
1 2 1 2 1 Ek mi vi mvc J 2 2 2 2
刚体的全部动能等于质心的平动动 能与刚体对质心的转动动能之和
刚体力学习题讨论
一.对绕固定水平轴O匀速转动的转盘, 沿同一水平线同时从相反方向射入两 颗质量同、速率等的子弹,并留在盘内, 子弹射入后盘的角速度应如何变化
1 rc mi ri 0 m
柯尼西定理
刚体的动能=质心的平动动能+绕 质心轴的转动动能之和
内动能
刚体的总动能
1 2 1 1 2 2 2 mv m v Ek mi vc vi c i i 2 2 2
1 2 2mi vi
ri ri′ rc
vi vc vi vc ri
1 2 1 2 Ek mvc J 2 2
任一质点相对惯性系的速度
刚体的总动能
质量为m、半径为R 的匀质圆柱，在水平外力F作用下，在 粗糙的水平面上作纯滚动，力的作用线与圆柱中心轴线的 垂直距离为l．求质心的加速度和圆柱所受静摩擦力． 解：设静摩擦力方向如图 质心运动方程 l
3.3 刚体的复合运动（平面平行运动）
平面平行运动：刚体上各点在运动中始终平行某一平面运动
y a' θ c a O b x
刚体的复合运动可视为质
心的平动与通过质心并垂 直平面之轴的转动的叠加
θ c' b'
刚体的复合运动可视为平动与转动的叠加
不同的叠加方式中，转动的角位移动是一 样的，相应的平动位移不同，所以在研究 刚体的平面运动中，一般选质心为基点
2.B
3.A
四.当刚体作定轴匀变速转动时角加速度α不变,
刚体上任一点是否有切向加速度?是否一定有法 向加速度?二者大小是否变化?
at=rα 所以一定有切向加速度,其大小不变.
an=rω2 所以一定有法向加速度,大小变化
五.均匀细棒OA可绕通过其一端O而与 棒垂直的水平固定光滑轴转动.今使棒 从水平位置由静止下落,则棒在下摆过 程中 A
v=rω
2
an r
dv d at r r dt dt
0 t
角加速度不变
2 2 0 2
1 0 0t t 2 2
二.转动惯量
2 m r i i （分立）
J
（连续） r dm
2
J与物体的总质量、质量分布 转轴的位置、方向有关。 与刚体是否转动、是否受力和力矩无关。 相同质量的刚体，质量分布离轴越远，转动惯量越大
刚体的复合运动可视为质心的平动与通 过质心并垂直平面之轴的转动的叠加
一.质心系角动量定理
dL M z J dt
要使定轴定律适用于通过加速度为ac 的质心的转轴， 应在作用于刚体的力矩中加上惯性力矩
M c M i J c
惯性力对质 心轴的力矩
rc
mi ric
M i ric mi ac ac mi ric
边缘处系统角动量 盘心处系统角动量
L ( J mR2 )
L L
mR J ' J
2
L' ( J 0) '
系统动能变化
mR2 ' J
2 1 1 ( J R ) 2 2 2 2 2 Ek J ( J mR ) mR 2 2 2J
杆上升过程
碰后滑行过程
mg ma
2
1 1 2 2 mgh ( ml ) 2 3