03第三章刚体力学
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第03章---刚体力学习题汇总
（A）匀角速转动； （B）匀角加速转动；
（D）
（C）角加速度越来越大的变加速运动；
（D）角加速度越来越小的变加速运动。
分析：当棒转到θ角位置时，棒所受 到的外力矩为:
θ
M 1 mgLcos 根据转动定律 M I ，有：
2
mg
1 mgL cos
可见角5
5. （a）（b）两图中的细棒和小球均相同，系统可绕o 轴在竖直面内自由转动系统从水平位置静止释放，转
(D)只有动量守恒
（C）
分析：
（A）错。非弹性碰撞，机械能不守恒。 （B）错。轴上有外力，动量不守恒。
（C）对。外力矩为零，角动量守恒。
2
2.一绕固定水平轴0匀速转动的转盘，沿图示的同一 水平直线从相反方向射入两颗质量相同、速率相等的 子弹并留在盘中，则子弹射入转盘后的角速度
(A)增大 (B)不变 分析：
边缘并粘在上面，则系统的角速度是
3v
。
分析：取如图的细长条面积：
4b
b
I r 2ds r 2adr
1 ab3 1 mb2
0
3
3
合外力矩为零，系统角动量守恒。
mvb (1 mb2 mb2 )
3
3v
4b
9
二、填空题
1.如图，半径为R，质量为M的飞轮，
可绕水平轴o在竖直面内自由转动（飞
R2
2 3
mgR
11
3.一飞轮的转动惯量为I，在t=0时角速度为 0 ， 此后
飞轮经历制动过程。阻力矩M的大小与角速度的平方
成正比，比例系数K>0。当 0 / 3 时，飞轮的角加
速度 = k02 9I ，从开始制动到 0 / 3所经过
第三章刚体力学基础
（1）轴通过棒的一端并与棒垂直轴。z
（2）轴通过棒的中心并与棒垂直；
dm
解：
J
r 2dm
dm dx m dx
o x dx
x
l
J l x2 m dx 1 m x3 l J 1 ml2
0l
3l 0
3
L
JC
2 L
x 2dx
mL2
/ 12
A
C
2
L/2
B
L/2
x
注：同一刚体，相对不同的转轴，转动惯量是不同的。
J ,r
质点A
T1 mg sin maA
质点B
mg T2 maB
滑轮（刚体） T2r T1r J
( T2 T2,T1 T1)
联系量 aA aB r
联立求解可得T1 、T2、 aA、 aB、
A
B
FN
T1 FR T1 mg T2
T2 m1g
为什么此时T1 ≠ T2 ？
mg
3、 平行轴定理与垂直轴定理
J11 J1 J2 2
ω
则B轮的转动惯量
J2
1 2 2
J1
n1 n2 n2
J1
20.0kg m2
(2)系统在啮合过程中机械能的变化为.
E
1 2
J1
J2
12
1 2
J112
1.32
104
J
质点的运动规律和刚体定轴转动规律的对比(一)
速度 加速度
质点v的运d动r
a
dt dv
dt
质量m, 力F
第一节 刚体运动的描述
一. 刚体
内部任意两点的距离在运动过程中始终保持不变的物 体，即运动过程中不发生形变的物体。
（2）轴通过棒的中心并与棒垂直；
dm
解：
J
r 2dm
dm dx m dx
o x dx
x
l
J l x2 m dx 1 m x3 l J 1 ml2
0l
3l 0
3
L
JC
2 L
x 2dx
mL2
/ 12
A
C
2
L/2
B
L/2
x
注：同一刚体，相对不同的转轴，转动惯量是不同的。
J ,r
质点A
T1 mg sin maA
质点B
mg T2 maB
滑轮（刚体） T2r T1r J
( T2 T2,T1 T1)
联系量 aA aB r
联立求解可得T1 、T2、 aA、 aB、
A
B
FN
T1 FR T1 mg T2
T2 m1g
为什么此时T1 ≠ T2 ？
mg
3、 平行轴定理与垂直轴定理
J11 J1 J2 2
ω
则B轮的转动惯量
J2
1 2 2
J1
n1 n2 n2
J1
20.0kg m2
(2)系统在啮合过程中机械能的变化为.
E
1 2
J1
J2
12
1 2
J112
1.32
104
J
质点的运动规律和刚体定轴转动规律的对比(一)
速度 加速度
质点v的运d动r
a
dt dv
dt
质量m, 力F
第一节 刚体运动的描述
一. 刚体
内部任意两点的距离在运动过程中始终保持不变的物 体，即运动过程中不发生形变的物体。
理论力学第三章刚体力学
d dt
线量和角量的对应
dr
dr v dt
d
d dt
dv a dt
d dt
6.欧勒角
1).欧勒角 章动 角 自转 角 Z轴位置由 θ，φ角决 定 进动 角
节线ON
0 0 2 0 2
2).欧勒运动学方程
在直角坐标系
x i y j z k
理 论 力 学
第三章 刚体运动
概述
1.刚体是一个理想模型，它可以看作是一种特
殊的质点组，这个质点组中任何两个质点之间
的距离不变.这使得问题大为简化，使我们能 更详细地研究它的运动性质，得到的结果对实 际问题很有用。 2.一般刚体的自由度为6.如果刚体运动受到约束, 自由度相应减少.
3.刚体的两种基本运动
刚体上任一点p的坐标分别为
v r ra a ra 而在系 a xy z r r ( r b a a b ra ) rb ra (rb ra )
得
r ra ra
2
drci (rci mi Jc ) dt i 1 n (e) (rci Fi ) Mc
n
i 1
简表为:
d Mc Jc dt
(6个方程正好确定刚体的6个独立变量)
刚体的动量矩 (角动量) n n ) 简表为: J J c J ci (ri mi vi ) rc mvc (rci mi vci
三.刚体的平衡
刚体平衡条件
(e) Fi 0
n i
n (e) Fi ) 0 (rci Mc i 1
线量和角量的对应
dr
dr v dt
d
d dt
dv a dt
d dt
6.欧勒角
1).欧勒角 章动 角 自转 角 Z轴位置由 θ，φ角决 定 进动 角
节线ON
0 0 2 0 2
2).欧勒运动学方程
在直角坐标系
x i y j z k
理 论 力 学
第三章 刚体运动
概述
1.刚体是一个理想模型，它可以看作是一种特
殊的质点组，这个质点组中任何两个质点之间
的距离不变.这使得问题大为简化，使我们能 更详细地研究它的运动性质，得到的结果对实 际问题很有用。 2.一般刚体的自由度为6.如果刚体运动受到约束, 自由度相应减少.
3.刚体的两种基本运动
刚体上任一点p的坐标分别为
v r ra a ra 而在系 a xy z r r ( r b a a b ra ) rb ra (rb ra )
得
r ra ra
2
drci (rci mi Jc ) dt i 1 n (e) (rci Fi ) Mc
n
i 1
简表为:
d Mc Jc dt
(6个方程正好确定刚体的6个独立变量)
刚体的动量矩 (角动量) n n ) 简表为: J J c J ci (ri mi vi ) rc mvc (rci mi vci
三.刚体的平衡
刚体平衡条件
(e) Fi 0
n i
n (e) Fi ) 0 (rci Mc i 1
第03章(刚体力学)习题答案
轮子的角速度由w ＝0 增大到w ＝10 rad/s，求摩擦力矩 Mr． [5.0 N·m]
解：摩擦力矩与外力矩均为恒力矩，所以刚体作匀角加速转动。其角加速度为：
b = w - w0 = 10 - 0 = 1rad / s2
Dt
10
合外力矩为： M合 = Jb = 15 ´1 = 15(N × m) = M - M r Þ M r = 5.0(N × m)
所以机械能也不守恒。
3-3 一圆盘绕过盘心且与盘面垂直的光滑固定轴 O 以角速度w按图示方向转动.若如图
所示的情况那样，将两个大小相等方向相反但不在同一条直线的力
F 沿盘面同时作用到圆盘上，则圆盘的角速度w 如何变化？
w
答：左边力的力矩比右边的大，所以刚体会被加速，其角加速
F
F
度增大。 3-4 刚体角动量守恒的充分而必要的条件是什么？ 答：刚体所受的合外力矩为零。
解：此过程角动量守恒
Jw0
=
1 3
Jw
Þ
w
=
3w0
3-10 一轴承光滑的定滑轮，质量为 M＝2.00 kg，半径为 R＝0.100 m，
一根不能伸长的轻绳，一端固定在定滑轮上，另一端系有一质量为 m＝5.00
kg 的物体，如图所示．已知定滑轮的转动惯量为 J＝ 1 MR 2 ，其初角速 2
w 0
R M
度w0 ＝10.0 rad/s，方向垂直纸面向里．求：
(1) 定滑轮的角加速度的大小和方向； (2) 定滑轮的角速度变化到w＝0 时，物体上升的高度；
m
习题 310 图
(3) 当物体回到原来位置时，定滑轮的角速度的大小和方向．
[ 81.7 rad/s2 ，垂直纸面向外； 6.12×10-2 m； w = 10.0 rad/s，垂直纸面向外]
大学物理第三章刚体力学
薄板的正交轴定理：
Jz Jx J y
o x
y
X,Y 轴在薄板面上，Z轴与薄板垂直。
例3、质量m，长为l 的四根均匀细棒， O 组成一正方形框架，绕过其一顶点O 并与框架垂直的轴转动，求转动惯量。 解：由平行轴定理，先求出一根棒 对框架质心C的转动惯量：
C
m, l
1 l 2 1 2 2 J ml m( ) ml 12 2 3
M F2 d F2 r sin
若F位于转动平面内，则上式简化为
M Fd Fr sin
力矩是矢量，在定轴转动中， 力矩的方向沿着转轴，其指向 可按右手螺旋法则确定：右手 四指由矢径r的方向经小于的 角度转向力F方向时，大拇指的 指向就是力矩的方向。根据矢 量的矢积定义，力矩可表示为：
例9 行星运动的开普勒第二运动定律：行星对太阳 的位矢在相等的时间内扫过相等的面积。 解：行星在太阳引力（有心 力）作用下沿椭圆轨道运动， 因而行星在运行过程中，它 对太阳的角动量守恒不变。
L rmvsin 常量
因而掠面速度：
dS dt
r dr sin 2dt
1 rv sin 常量 2
Fi fi Δmi ai
切向的分量式为
Fi sin i f i sin i mi ri
Fi sin i f i sin i mi ri
两边同乘ri，得
Fi ri sin i fi ri sin i mi ri2
上式左边第一项为外力Fi对转轴的力矩，而第二项是 内力fi 对转轴的力矩。对刚体的所有质点都可写出类 似上式的方程，求和得
质点的角动量一质量为m的质点以速度v运动相对于坐标原点o的位置矢量为r定义质点对坐标原点o的角动量为sinrmv282质点的角动量定理质点所受的合外力对某一参考点的力矩等于质点对该点的角动量对时间的变化率角动量定理
刚体力学基础第三章
二、转动惯量J
对分立的质点系： J miri2
i
对刚体： 质量是连续分布
J r2dm
r 2dl 线分布，为线密度
J r 2ds 面分布，为面密度 r 2 dV 体分布，为体密度
z
dm
r
讨论
J r2dm
（1）转动惯量的物理意义：J表示刚体转动时惯性的大小
（2）转动惯量J的大小决定于
r 3dr
1 2
mR2
m
R 2
J
常 见 刚 体 的 转 动 惯 量
§3 刚体定轴转动定律
一、 力矩
使物体转动，必须给定一 个作用力，另外考虑转动与力 的作用点以及作用力的方向有 关，因此在研究物体转动中引
入力矩这一物理量。 （1）若刚体所受力 F在转动平面内
z
Od r
F
F
P
力臂：rsin = d 表示转轴到力作用线的垂直距离。
m
2(2
m
1
+
m
2
m 1+m 2
+
m
2
)g
T1
a m1 m1g T2 a m2 m2g
§4 力矩的功 动能定理
一、力矩的功
刚体在合外力矩作用下绕定轴转动而发生角位移时
d，A则力F矩 d对r刚体F作d了r功co。s F cos(900 )ds
F sin rd
Md
z
O d
dr
F
r P
元功：力矩对质点(或刚体)所作的 元功等于力矩和角位移的乘积
盘）。如A下降，B与水平桌面间的滑动摩擦系数为μ，
绳与滑轮之间无相对滑动，试求系统的加速度及绳中的
张力FT1和FT2。 受力分析 FT1
第三章 刚体力学分析
连续分布
J r 2 dm
J S r 2 dS
J V r 2 dV
2
J l r dl
【例】如图所示，在不计质量的细杆组成的正三角形的顶 角上，各固定一个质量为m的小球，三角形边长为l。求： ⑴系统对过C点，且与三角形平面垂直轴的转动惯量； ⑵系统对过A点，且与三角形平面垂直轴的转动惯量； ⑶若A处质点也固定在B处，⑵的结果如何？ m
h
代入数据，得
F 5.91×1010 N
2018/11/1
【例】 有一圆盘质量为m，均匀分布，圆盘半径为R 可绕过盘中心的光滑竖直轴在水平桌面上转动，圆 盘与桌面间的滑动摩擦系数为μ，求圆盘转动后受的 摩擦力矩。 解：摩擦力距在圆盘的不同 R部位是不相同的，在圆盘 上取一半径r—r+dr的圆环 圆环质量： r dr
T' T
o
r
T T
m
m g T m a Tr J
a r
2 gt 2 J mr ( 1) 2S
1 2 S at 2
mg
【思考】组合轮可以绕通过其中心且垂直于盘面的光滑水 平固定轴o转动，对o轴的转动惯量J=9mr2/2 。两圆盘边缘 上分别绕有轻质细绳，细绳下端各悬挂质量为m的物体A和 B，这一系统从静止开始运动,绳与盘无相对滑动且长度不 变。已知小圆盘的半径为r，质量为m；大圆盘的半径 r’=2r，质量m’ = 2m 。 求：组合轮的角加速度的大小。
与质点匀变速直线运动公式相对应.
0 t
(6) 角量与线量的关系
线量——质点做圆周运动的v、a 角量——描述刚体转动整体运动的 ，， 弧长 线速度 切向加速度
s r
y
理论力学周衍柏第三章
一、基础知识 1. 力系：作用于刚体上里的集合. 平衡系：使静止刚体不产生任何运动的力系. 等效系：二力系对刚体产生的运动效果相同. 二、公理： 1）二力平衡原理：自由刚体在等大、反向、共线二力作 用下必呈平衡。 2）加减平衡力学原理：任意力系加减平衡体系,不改变原 力系的运动效应。 3）力的可传性原理：力沿作用线滑移，幵不改变其作用 效果，F与F’等效。 注：1）以上公理适用于刚体, 2) 力的作用线不可随便平移
(e) dT Fi dri
(e) 若 Fi dri dV 则 T V E
为辅助方程，可代替上述6个方程中任何一个
§3.5 转动惯量
一、刚体的动量矩 1. 某时刻刚体绕瞬轴OO’转动,则pi点的速度为
vi rii
动量矩为 2. 坐标表示
R Fi Fi 0 M M i ri Fi 0
2. 几种特例 1）汇交力系（力的作用线汇交于一点）：取汇交点为 简化中心，则
Fix 0 R Fi 0 Fiy 0 Fiz 0
三、力偶力偶矩 1. 力偶：等大、反向、不共线的两个力组成的利系。
力 偶 所在平面角力偶面. 2. 力偶矩: 对任意一点O M rA F rB F (rA rB ) F r F M Fd
方向 : 右手法则 上式表明:
J z x mi zi xi y mi zi yi z mi ( xi2 yi2 )
I yy mi ( zi2 源自xi2 ) I zy mi zi yi I yz mi yi zi I xz mi xi zi
I zz mi ( xi2 yi2 )
(e) dT Fi dri
(e) 若 Fi dri dV 则 T V E
为辅助方程，可代替上述6个方程中任何一个
§3.5 转动惯量
一、刚体的动量矩 1. 某时刻刚体绕瞬轴OO’转动,则pi点的速度为
vi rii
动量矩为 2. 坐标表示
R Fi Fi 0 M M i ri Fi 0
2. 几种特例 1）汇交力系（力的作用线汇交于一点）：取汇交点为 简化中心，则
Fix 0 R Fi 0 Fiy 0 Fiz 0
三、力偶力偶矩 1. 力偶：等大、反向、不共线的两个力组成的利系。
力 偶 所在平面角力偶面. 2. 力偶矩: 对任意一点O M rA F rB F (rA rB ) F r F M Fd
方向 : 右手法则 上式表明:
J z x mi zi xi y mi zi yi z mi ( xi2 yi2 )
I yy mi ( zi2 源自xi2 ) I zy mi zi yi I yz mi yi zi I xz mi xi zi
I zz mi ( xi2 yi2 )
第3章刚体力学基础
将圆盘视为一个系统，破裂后其受合 外力矩为零，所以其角动量守恒。
§3-3 刚体的能量
一、力矩的功
α
二、力矩的功率
说明：1、变力矩情况
2、此式的简单应用 三、转动动能 对刚体上任一质点mi, ri Vi ω 和质点的动能形式进行比较。
四、动能定理
意义：合外力矩对定轴转动的刚体所作的功， 等于刚体转动动能的增量。
第三章 刚体力学基础
§3-1 刚体运动的描述 一、刚体（rigid body） 刚体:在任何外力作用下，其形状和大小均不发生 改变的物体。 说明：
1）理想模型。
2）在外力的作用下，物体的形状和大小的变化很小 ,可以忽略不计,该物体仍可视为刚体。
二、刚体的运动 1、平动（translation）
刚体内任意两点的连线在
由平行轴定理
6g sinq 由(1)、(2)得： w = 2 7l v v v + mg = ma c 应用质心运动定理： N
(3) (4)
7 = ml 48
2
(2)
l = w2 a cl 4 6 = g sin q 7 l a = ct 4
(5)
由 (3)(4)(5)(6) 可解得：
l l 4 mg cos q = 4 J o 3 g cos q = (6) 7 13 N = mg sin q , l 7
解得:
应用型问题研究时以ω 绕轴旋转，在Δt 时间内其 角速度变为零。 d X C 碰撞过程中受力图为： ω Nx L/2 在图示坐标中， NY 依角动量定理： Z Y F
∵X方向无运动,∴NX = 0 结论：门碰装在离轴2/3处，开门时对轴的冲击力最小。
3）刚体匀变速转动公式
同匀变速直线运动公式。
3-第3章 刚体力学基础
大学物理学（第5版）
二、定轴转动定律
把刚体看作一个质点系
Fi
f i Δ m i a i
ri Fi ri f i Δ m i ri a i
加速度： a i a i a in
§3-2力矩 刚体定轴转动的转动定律
Mi
z M iz
Fi
Fi //
ri
mi Fi
(ri Fi ) (ri fi ) Δmi ri ai Δmi ri ai Δmi ri ain
§3-2力矩 刚体定轴转动的转动定律
M外z Miz ( mi ri 2 ) ( mi ri 2 )
i
i
i
若令
J z (mi ri 2 )
i
M 外z J z
绕定轴转动的刚体的角加速度与作用于刚体上的合外力矩成正比，与刚体的转
动惯量成反比。
注意：
——刚体定轴转动中的转动定律
（1）M和J均对于同一转轴而言；
1
2
合外力矩对定轴转动刚体所做的功等于刚体转动动能的增量。 ——刚体定轴转动时的动能定理
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“十二五”普通高等教育本科国家级规划教材
大学物理学（第5版）
§3-3 刚体定轴转动的动能定理
四、机械能守恒定律
1、刚体的势能
EP mghc
m为刚体的总质量； hc为刚体质心的高度。
dm dx m dx O
r2 x2
l
dm x dx
l
x
J l x2 m dx 1 m x3 l
J 1 ml 2
J=
0
1 ml 2 3
l
1 12
3l
ml 2 m
0
l2 4
二、定轴转动定律
把刚体看作一个质点系
Fi
f i Δ m i a i
ri Fi ri f i Δ m i ri a i
加速度： a i a i a in
§3-2力矩 刚体定轴转动的转动定律
Mi
z M iz
Fi
Fi //
ri
mi Fi
(ri Fi ) (ri fi ) Δmi ri ai Δmi ri ai Δmi ri ain
§3-2力矩 刚体定轴转动的转动定律
M外z Miz ( mi ri 2 ) ( mi ri 2 )
i
i
i
若令
J z (mi ri 2 )
i
M 外z J z
绕定轴转动的刚体的角加速度与作用于刚体上的合外力矩成正比，与刚体的转
动惯量成反比。
注意：
——刚体定轴转动中的转动定律
（1）M和J均对于同一转轴而言；
1
2
合外力矩对定轴转动刚体所做的功等于刚体转动动能的增量。 ——刚体定轴转动时的动能定理
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“十二五”普通高等教育本科国家级规划教材
大学物理学（第5版）
§3-3 刚体定轴转动的动能定理
四、机械能守恒定律
1、刚体的势能
EP mghc
m为刚体的总质量； hc为刚体质心的高度。
dm dx m dx O
r2 x2
l
dm x dx
l
x
J l x2 m dx 1 m x3 l
J 1 ml 2
J=
0
1 ml 2 3
l
1 12
3l
ml 2 m
0
l2 4
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单位：N·m
F
r
dP
精品课件
第二节 刚体定轴转动定律
1、如果力的方向不在转动平面 内，可以沿两个方向分解。 力矩方向沿定轴，可用正、负 表示方向。
M
z
F
F r
//
F
2、一对相互作用力对同一转轴的力距之和为零。
3、几个力同时作用在刚体上，它们的合力矩就是各力的力矩 的矢量和或代数和。
精品课件
第二节 刚体定轴转动定律
大学物理
学
College Physics 陈 曙 韩永胜 杜锦丽 何正大 蒋岩玲
李亚玲 马 军 杨宏新 杨闽南
精品课件
2011年02月
大学物理学 College Physics
第三章 刚体力学
Chapter 03 Rigid Body Mechanics
精品课件
第三章 刚体力学
本章要 点
➢ 刚体运动的描述 ➢ 定轴转动定律 ➢转动动能 力矩的功 ➢ 角动量守恒定律
精品课件
第一节 刚体运动的描述
二、描述定轴转动的物理量
定轴(fixed-axis)转动：转轴固定不动的转动
用角量来描写转动：
z
定轴处O点与刚体上任一点
P之间的位置矢量 O P 处于
处，经过t时间后，该矢
径转过 角度：
O P Q
x
角坐标 , 角位移
精品课件
第一节 刚体运动的描述
角速度(Angular Velocity)
0l
3l 0
J 1 ml2 3
精品课件
第二节 刚体定轴转动定律
例例3 一质量为 m ，半径为 R 的均匀圆盘，求通过盘中心并
与盘面垂直的轴的转动惯量。
解 dm2rdr
J r2dm 2r3dr J 2 Rr3dr
0
R4 1 mR2
22
r dr
Ro
精品课件
第二节 刚体定轴转动定律
例例4 质量 m = 16 kg 、半径为 R = 0.15 m 的实心滑轮,一
可以用质点动力学的方法来处理刚体的平动问题。
精品课件
第一节 刚体运动的描述
转动(rotation)： 刚体上所有质点都绕同一直 线作圆周运动。这种运动称 为刚体的转动。这条直线称 为转轴。转动又分定轴转动 和非定轴转动。 刚体的平面运动
精品课件
第一节 刚体运动的描述
刚体的一般运动：质心的平动+绕质心转动
精品课件
第二节 刚体定轴转动定律
r iF isini r ifisini m iri2
质点mi的外力矩
质点mi所受内力矩
对所有质点求和，可以得到：
riF isini rifisini m iri2
i1
i1
i1
合内力矩 ri fi sini 为零，则：
riFi sini miri2
T
m
mg
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第三节 定轴转动的动能定理
一、力矩的功
d dA F cos dr
F cos rd F sin rd Md
i1
i1
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第二节 刚体定轴转动定律
riFi sini miri2
i1
i1
刚体的合外力矩
miri2=J，J 为转动惯量
转动定律： M J
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第二节 刚体定轴转动定律
三、转动惯量(moment of inertia)
Jmiri2
通常刚体均为连续体，则：
J r2dm m
J 的单位：kg·m2。
根细绳绕在其上，绳端挂一质量为 m 的物体。求
（1）由静止开始 1 秒钟后，物体下降的距离。 （2）绳子的张力。
解
m
mgTma
R
TRJ1mR2
T'
2
T
a R
m
mg
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第二节 刚体定轴转动定律
a mg 8105ms-2 mM2 88
h1at215122.5m 22
T116540N 2
m R
T'
二、转动定律
把刚体看作一个质点系，对其上P处的 第 i 个质点mi，分析其受力：
Fi fi miai
切线方向分量为：
o fi
ri
F is ini fis ini m ir i
两边同时乘以ri：
r iF isini r ifisini m iri2
i i
P
Fisini
Fi fisini
at r 15.7(m/s2) an r2 5.55104(m/ s2)
a at2 an2 5.55104(m/s2)
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第二节 刚体定轴转动定律
要改变刚体的转动状态，不仅要有力，而且与力的大小、方向 和作用点都有关。
一、力矩(moment offorce)
MFdFrsin
M
力矩是矢量 MrF
解 （1）由匀变速转动运动方程：
1 0 1 0 0 5 0 5 (ra d /s2)
t
1 0
（2）10s内，飞轮的角位移：
0t
1t2
2
750(rad)
N/2 375(r)
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第一节 刚体运动的描述
（3）t = 5s时，0t75
飞轮边缘上一点P的速度大小：
vr235.6(m /s)
该点的切向加速度和法向加速度
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第一节 刚体运动的描述
刚体(rigid body)： 在运动过程中形状和大小都不变的物体。 研究刚体的运动，可以将刚体看成在运动过程中， 任意两质点之间的相对位置保持不变的质点系。
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第一节 刚体运动的描述
一、平动和转动 平动(translation)： 刚体在运动过程中，其 上任意两点的连线始终 保持平行。
它与刚体对给定转轴的质量分布有关。 特别要注意： 转动惯量与转轴的位置有关。
转动惯量具有可相加性。
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第二节 刚体定轴转动定律
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第二节 刚体定轴转动定律
例例2 计算质量为 m ，长为 l 的细棒绕通过其端点的垂直轴
的转动惯量。
解
z
J r2dm
dm
dmdx mdx
l
o x dx
x
J lx2mdx1mx3l
对于定轴转动：
at r an r 2
刚体作匀变速转动时，有以下的运动方程：
0 t
0 0t
1 2
t2
2
2 0
2
0
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第一节 刚体运动的描述
例例1 某发动机飞轮半径为1m，在10s内由1500r/min增加到
3000r/min。假设转动是匀加速转动，求（1）角加速度大小。 （2）在此时间内，飞轮转了多少转。（3） t = 5s时，飞轮边 缘上一点的速度与加速度。
角速度的大小： lim d
t0 t dt
角速度的方向：由右手螺旋法则确定。 右手弯曲的四指沿转动方向，伸直的 大拇指即为角速度的方向。
zk,
d k dt
P点线速度与角速度的关系：
P
O
x
v r
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第一节 刚体运动的描述
刚体各质元的角量相同，线量一般不同。 对刚体的运动描述，要注意角量、线量的特点。
F
r
dP
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第二节 刚体定轴转动定律
1、如果力的方向不在转动平面 内，可以沿两个方向分解。 力矩方向沿定轴，可用正、负 表示方向。
M
z
F
F r
//
F
2、一对相互作用力对同一转轴的力距之和为零。
3、几个力同时作用在刚体上，它们的合力矩就是各力的力矩 的矢量和或代数和。
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第二节 刚体定轴转动定律
大学物理
学
College Physics 陈 曙 韩永胜 杜锦丽 何正大 蒋岩玲
李亚玲 马 军 杨宏新 杨闽南
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2011年02月
大学物理学 College Physics
第三章 刚体力学
Chapter 03 Rigid Body Mechanics
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第三章 刚体力学
本章要 点
➢ 刚体运动的描述 ➢ 定轴转动定律 ➢转动动能 力矩的功 ➢ 角动量守恒定律
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第一节 刚体运动的描述
二、描述定轴转动的物理量
定轴(fixed-axis)转动：转轴固定不动的转动
用角量来描写转动：
z
定轴处O点与刚体上任一点
P之间的位置矢量 O P 处于
处，经过t时间后，该矢
径转过 角度：
O P Q
x
角坐标 , 角位移
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第一节 刚体运动的描述
角速度(Angular Velocity)
0l
3l 0
J 1 ml2 3
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第二节 刚体定轴转动定律
例例3 一质量为 m ，半径为 R 的均匀圆盘，求通过盘中心并
与盘面垂直的轴的转动惯量。
解 dm2rdr
J r2dm 2r3dr J 2 Rr3dr
0
R4 1 mR2
22
r dr
Ro
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第二节 刚体定轴转动定律
例例4 质量 m = 16 kg 、半径为 R = 0.15 m 的实心滑轮,一
可以用质点动力学的方法来处理刚体的平动问题。
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第一节 刚体运动的描述
转动(rotation)： 刚体上所有质点都绕同一直 线作圆周运动。这种运动称 为刚体的转动。这条直线称 为转轴。转动又分定轴转动 和非定轴转动。 刚体的平面运动
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第一节 刚体运动的描述
刚体的一般运动：质心的平动+绕质心转动
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第二节 刚体定轴转动定律
r iF isini r ifisini m iri2
质点mi的外力矩
质点mi所受内力矩
对所有质点求和，可以得到：
riF isini rifisini m iri2
i1
i1
i1
合内力矩 ri fi sini 为零，则：
riFi sini miri2
T
m
mg
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第三节 定轴转动的动能定理
一、力矩的功
d dA F cos dr
F cos rd F sin rd Md
i1
i1
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第二节 刚体定轴转动定律
riFi sini miri2
i1
i1
刚体的合外力矩
miri2=J，J 为转动惯量
转动定律： M J
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第二节 刚体定轴转动定律
三、转动惯量(moment of inertia)
Jmiri2
通常刚体均为连续体，则：
J r2dm m
J 的单位：kg·m2。
根细绳绕在其上，绳端挂一质量为 m 的物体。求
（1）由静止开始 1 秒钟后，物体下降的距离。 （2）绳子的张力。
解
m
mgTma
R
TRJ1mR2
T'
2
T
a R
m
mg
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第二节 刚体定轴转动定律
a mg 8105ms-2 mM2 88
h1at215122.5m 22
T116540N 2
m R
T'
二、转动定律
把刚体看作一个质点系，对其上P处的 第 i 个质点mi，分析其受力：
Fi fi miai
切线方向分量为：
o fi
ri
F is ini fis ini m ir i
两边同时乘以ri：
r iF isini r ifisini m iri2
i i
P
Fisini
Fi fisini
at r 15.7(m/s2) an r2 5.55104(m/ s2)
a at2 an2 5.55104(m/s2)
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第二节 刚体定轴转动定律
要改变刚体的转动状态，不仅要有力，而且与力的大小、方向 和作用点都有关。
一、力矩(moment offorce)
MFdFrsin
M
力矩是矢量 MrF
解 （1）由匀变速转动运动方程：
1 0 1 0 0 5 0 5 (ra d /s2)
t
1 0
（2）10s内，飞轮的角位移：
0t
1t2
2
750(rad)
N/2 375(r)
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第一节 刚体运动的描述
（3）t = 5s时，0t75
飞轮边缘上一点P的速度大小：
vr235.6(m /s)
该点的切向加速度和法向加速度
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第一节 刚体运动的描述
刚体(rigid body)： 在运动过程中形状和大小都不变的物体。 研究刚体的运动，可以将刚体看成在运动过程中， 任意两质点之间的相对位置保持不变的质点系。
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第一节 刚体运动的描述
一、平动和转动 平动(translation)： 刚体在运动过程中，其 上任意两点的连线始终 保持平行。
它与刚体对给定转轴的质量分布有关。 特别要注意： 转动惯量与转轴的位置有关。
转动惯量具有可相加性。
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第二节 刚体定轴转动定律
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第二节 刚体定轴转动定律
例例2 计算质量为 m ，长为 l 的细棒绕通过其端点的垂直轴
的转动惯量。
解
z
J r2dm
dm
dmdx mdx
l
o x dx
x
J lx2mdx1mx3l
对于定轴转动：
at r an r 2
刚体作匀变速转动时，有以下的运动方程：
0 t
0 0t
1 2
t2
2
2 0
2
0
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第一节 刚体运动的描述
例例1 某发动机飞轮半径为1m，在10s内由1500r/min增加到
3000r/min。假设转动是匀加速转动，求（1）角加速度大小。 （2）在此时间内，飞轮转了多少转。（3） t = 5s时，飞轮边 缘上一点的速度与加速度。
角速度的大小： lim d
t0 t dt
角速度的方向：由右手螺旋法则确定。 右手弯曲的四指沿转动方向，伸直的 大拇指即为角速度的方向。
zk,
d k dt
P点线速度与角速度的关系：
P
O
x
v r
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第一节 刚体运动的描述
刚体各质元的角量相同，线量一般不同。 对刚体的运动描述，要注意角量、线量的特点。