第十一章 异方差
第十一章长面板与动态面板
在某些情况下，不同个体之间的扰动项可能存在组 间同期相关（也称空间相关（spatial correlation）或 截面相关（cross-sectional correlation）），比如对于 省际面板数据，相邻省份之间的同期经济活动可能 互相影响。
假设yit＝xit i＋it，其中i为第i个个体对应的系数。
此时，可以对每个个体方程进行分别回归。但如果 不同个体的扰动项相关，则分别回归效率不高，因 为它忽略了不同方程扰动项相关性的可用信息。有 效率的做法是，把所有个体回归方程叠放（stack）， 然后使用似不相关回归（SUR）对整个方程系统进 行系统估计（system estimation）。
Friedman检验，统计量服从2分布。后两个检验对
短面板也适合
三 、 变 系 数 模 型
对于长面板数据，由于样本容量大，除了可以让每 个个体拥有自己的截距项外，还可以允许每个个体 的回归方程斜率也不同，称为变系数模型。变系数 模型分为两大类，取决于将可变系数视为常数还是 随机变量
1 、 将 可 变 系 数 视 为 常 数
2 、 组 内 自 相 关 的 检 验
考虑一阶差分模型 yit＝xit＋it 在不存在组内 自相关的原假设下，扰动项it的方差与自协方差
（autocovariance）分别为Varit ＝Varit－i，t－1 ＝Varit ＋Vari，t－1＝22 Cov it，i，t－1 ＝Cov － ， － it i，t－1 i，t－1 i，t－2 ＝－Cov ， i，t－1 i，t－1 ＝－Var i，t－1 ＝－2
＝
i
i＝1，
，n ，则所有个体的扰动项都服从自
计量经济学-第11章 异方差性
White的一般异方差性检验
基本思想：
对于 Yi 1 2 X 2i 3 X 3i ui
(11.5.20)
看uˆi2与X
2i
,
X
3i
,
X
2 2i
,
X
2 3i
,
X
2i
X
3i
是否存在
回归关系.
对于 Yi 1 2 X 2i 3 X 3i ui
(11.5.20)
(11.2.2) 返回 (11.2.3) 返回
在经典模型的各种假定，包括同方差性假定在 内，全部成立的情形下，OLS估计量是BLUE
其他假定不变，同方差性假定不成立时，OLS 估计量不再是BLUE
OLS估计量仍然是线性的和无偏的，但是，不
再是“最优的”或“有效的”，即2 ，3
，， n
E (u i2
)
2 i
见P388 Fig. 11.2
(11.1.2)
异方差的理由
按照边错边改学习模型（error—learning models)， 人们的行为误差随时间而减少。见Fig. 11.3
随着收入的增长，人们在支出和储蓄中有更大的灵
活性。在做储蓄对收入的回归中，
2 i
与收入俱增
其中vi是变换后的干扰项，vi
ui Xi
。可以证明：
2
E(vi2 )
E
ui Xi
1
X
2 i
E(ui2 )
2 利用(11.6.5)
假定2.：
误差方差正比于X
：
i
E(ui2 ) 2 X i
深圳大学 计量经济学课程教学大纲
5.学分分配：3学分
（二）开设目的
《计量经济学》是教育部规定的经济类专业核心课程。是以揭示经济活动中客观存在的数量关系为内容的经济学分支学科。通过本课程教学，使学生达到：(1)了解现代经济学的特征，了解经济数量分析课程在经济课程体系中的地位，了解经济数量分析在经济学科的发展和实际经济工作中的作用；(2)掌握基本的经典计量经济学理论与方法，并对计量经济学理论与方法的扩展和新发展有概念性了解；(3)能够建立并应用简单的计量经济学模型，对现实经济现象中的数量关系进行实际分析；(4)具有进一步学习与应用计量经济学理论、方法与模型的基础和能力。
第九章包含虚拟变量的回归模型
教学目的
了解虚拟变量的含义，掌握虚拟变量在回归分析中的作用。
主要内容
第一节虚拟变量的性质
第二节包含一个虚拟变量，一个二分定性变量的回归模型
第三节虚拟变量有多种分类的情况
第四节包含一个定量变量，两个定性变量的回归模型
第五节回归模型的推广
第六节回归模型的结构稳定性：虚拟变量法
主要内容
第一节古典线性回归模型
第二节普通最小二乘估计量的方差与标准差
第三节普通最小二乘估计的性质
第四节OLS估普通最小二乘的抽样分布
第五节假设检验
第六节拟合优度的检验
第七节回归分析结果的报告
第八节正态性检验
第九节实例：回归分析的软件
第十节实例：美国进口支出
第十一节预测
第十二节实例
第十三节小结
教学要求
第一节统计推断的含义
第二节估计和假设检验：统计推断的两个孪生分支
第三节参数估计
第四节点估计量的性质
第五节统计推断Байду номын сангаас假设检验
异方差
注意： 辅助回归仍是检验与解释变量可能的组合的 显著性，因此，辅助回归方程中还可引入解释变 量的更高次方。 如果存在异方差性，则表明确与解释变量的 某种组合有显著的相关性，这时往往显示出有较 高的可决系数以及某一参数的t检验值较大。 当然，在多元回归中，由于辅助回归方程中 可能有太多解释变量，从而使自由度减少，有时 可去掉交叉项。
④在同方差性假定下，构造如下满足F分布的 统计量
~ 2 ( n c k 1) e2i 2 nc nc F ~ F( k 1, k 1) 2 2 ~ 2 ( n c k 1) e1i 2
⑤给定显著性水平，确定临界值F(v1,v2)， 若F> F(v1,v2)， 则拒绝同方差性假设， 表明存在异方差。 当然，还可根据两个残差平方和对应的 子样的顺序判断是递增型异方差还是递减异 型方差。
Example of Heteroskedasticity
f(y|x)
.
x1 x2 x3
.
.
E(y|x) = 0 + 1x
x
二、异方差的类型
同方差：i2 = 常数 f(Xi) 异方差： i2 = f(Xi)
异方差一般可归结为三种类型： (1)单调递增型： i2随X的增大而增大 (2)单调递减型： i2随X的增大而减小 (3)复 杂 型： i2与X的变化呈复杂形式
1
1 f ( X ji )
X 1i 2
1 f ( X ji )
X 2i
k
1 f ( X ji )
X ki
1 f ( X ji )
i
在该模型中，存在
1 Var ( i ) E( i ) E ( i ) 2 2 f ( X ji ) f ( X ji ) f ( X ji )
异方差
(*)
2011-1-24
中山大学南方学院经济系
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怀特检验的原假设： 怀特检验的原假设： H0: Var (ε i ) = σ 2 ,所有的方差都相同，不存在 异方差 备择假设： H1:方差不相同，存在异方差。
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判断方法： 判断方法：
所对应的p值 比较 n*R-squared所对应的 值，判断 所对应的 方法与t、 检验是一致的 检验是一致的。 方法与 、F检验是一致的。 P值小于允许的误差，则拒绝原假设，方程 存在异方差； P值大于允许的误差，则接受原假设，方程 不存在异方差。
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2、怀特（White）检验 怀特（ ）
怀特检验不需要排序，且适合任何形式的异方差 怀特检验的基本思想与步骤（以二元为例）： 怀特检验的基本思想与步骤 Yi = β 0 + β 1 X 1i + β 2 X 2i + µ i 然后做如下辅助回归
2 ~ ei 2 = α 0 + α 1 X 1i + α 2 X 2i + α 3 X 12i + α 4 X 2i + α 5 X 1i X 2i + ε i
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五、异方差性的检验
检验思路： 检验思路：
由于异方差性就是相对于不同的解释变 由于异方差性就是相对于不同的解释变 异方差性 量观测值，随机误差项具有不同的方差。 量观测值，随机误差项具有不同的方差。那 么： 检验异方差性，也就是检验随机误差项 检验异方差性， 的方差与解释变量观测值之间的相关性及其 相关的“形式” 相关的“形式”。
异方差
低估 真 实方 差
⇒
ˆ Var ( β 1 ) 被低估
⇒
ˆ Se ( β 1 ) 被低估
ˆ t 检验 显 著性 t 检验 β1 ⇒ t1 = 被高 估 ⇒ ⇒ ˆ) 被 夸大 失效 Se ( β 1
§3
异方差的判断
直观判断―― ――残差的图形检验 一、直观判断――残差的图形检验
用 ei2 对 X 作 图 ei2 与 X 之 间 存 在 有 规 律 的 变 化 － － － 异 方 差 2 ei 与 X 之 间 不 存 在 有 规 律 的 变 化 － － 同 方 差
第六章
异方差
§1 异方差的含义 一、异方差的定义
二、异方差的两种常见模式 ⒈方差随着某个解释变量的增加而增加 ⒉方差随着某个解释变量的增加而下降 §2 异方差的产生原因和后果
一、异方差的产生原因 设定偏误——解释变量的缺失，函数形式不 解释变量的缺失， （一）设定偏误 解释变量的缺失 正确
三、异方差的影响（以一元线性回归为例） 异方差的影响（以一元线性回归为例） （一）参数估计量仍然是线性无偏的 参数估计量不再具有最小方差性（ （二）参数估计量不再具有最小方差性（OLS 低估真实方差） 低估真实方差
第十一章 长面板与动态面板
对于动态面板数据，即使组内估计量（FE）也是不 一致的。比如，假设yit＝＋ yi,t-1＋u i＋（t=2， ，T） it
则其离差形式为yit－yi＝ yi,t-1－Lyi ＋ it－ i （t=2， ，T） 1 T 1 T 1 T 其中，yi＝ Ly yit， i＝ T-1 yi，t－1， i＝ T-1 it T-1 t=2 t=2 t=2 为时间平均值。
2、随机系数模型（Random Coefficient Model）
回归系数反映的是经济变量间的一种关系。这种关 系可能随时间而变，故可以看作是受随机因素的影 响。如果将系数i视为随机变量（好像是从某个总 体中抽取的样本），可以假设i＝＋vi，其中 为 常数向量，而vi为随机向量，且满足条件期望 E vi x i ＝（故影响斜率的随机因素vi与解释变量x i 0
对于z 2i，则可以使用x1作为工具变量，即用随时间 变化的外生变量的平均值作为不随时间变化的内生 变量的工具变量。一般来说，z 2i 会与x1相关（二者 同为yi的解释变量）；另一方面，根据定义， Cov x1i，u i ＝0。因此，x1为有效工具变量。
显然，为了使用工具变量法，必须要求x1i中所包含 的外生变量个数比z 2i中所包含的内生变量个数更多 使用以上工具变量进行2SLS估计，就得到 豪斯曼－泰勒估计量。有人提出将 x1，i1－x1，i ， x1，i2－x1，i ， ，x1，iT－x1，i 也作为工具变量使用， 以增加估计的效率。
四、豪斯曼－泰勒估计量
固定效应模型的主要缺点是无法估计不随时间而变 的变量系数。而这些不随时间变化的变量可能恰恰 是我们感兴趣的，比如性别、受教育程度对工资的 作用等。如果有足够的工具变量，可以对方程 yit＝x ＋z ＋u i＋（i=1， ，n；t=1,，T）直接 it i it 用工具变量法进行估计，即需要找到与内生解释变 量相关，但与个体效应u i无关的有效工具变量。
第十一章向量自回归VAR模型和向量误差修正VEC模型
当AIC与SC的最小值对应不同的p值时，只能用LR 检验法。
12
（2）用似然比统计量LR选择p值。LR定义为 ：
LR 2ln l( p) ln l( p i) 2( f ) (11.2)
21
三、约翰森（Jonhamson）协整检验
Jonhamson（1995）协整检验是基于VAR模 型的一种检验方法，但也可直接用于多变量间的协 整检验。
11
的自相关。但p值又不能太大。p值过大，待估参数多, 自由度降低严重，直接影响模型参数估计的有效性。 这里介绍两种常用的确定p值的方法。
（1）用赤池信息准则（AIC）和施瓦茨（SC）准 则确定p值。确定p值的方法与原则是在增加p值的过程 中，使AIC和 SC值同时最小。
具体做法是：对年度、季度数据，一般比较到P=4
9
（2）VAR模型对参数不施加零约束 （如t检 验）；
（3）VAR模型的解释变量中不含t期变量，所 有与联立方程组模型有关的问题均不存在；
（4）VAR模型需估计的参数较多。如VAR模型 含3个变量（N=3），最大滞后期为p=2，则有 PN2=2×32=18个参数需要估计；
（5）当样本容量较小时，多数参数估计的精 度较差，故需大样本，一般n>50。
8
所以, VAR模型既可用于预测,又可用于结构 分析。近年又提出了结构VAR模型（SVAR： Structural VAR）。 有取代结构联立方程组模 型的趋势。由VAR模型又发展了VEC模型。
2. VAR模型的特点
VAR模型较联立方程组模型有如下特点： （1）VAR模型不以严格的经济理论为依据。 在建模过程中只需明确两件事：第一，哪些变量 应进入模型（要求变量间具有相关关系——格兰 杰因果关系 ）；第二，滞后阶数p的确定（保证 残差刚好不存在自相关）；
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第十一章异方差δ；如果方差古典线性回归模型的一个重要假设是的随机扰动项ui具有相同的方差2δ，就是异方差性。
随观察值不同而异，也即ui的方差为2i本章主要讨论下列问题：(1) 异方差的性质是什么？(2) 异方差的后果是什么？(3) 如何检验异方差的存在？(4) 如果存在异方差，有哪些补救措施？11.1 异方差的性质一个简单的双变量线性回归模型：应变量Y是个人储蓄，解释变量X是个人可支配收入。
图11-1(a)表明，随着个人可支配收入的增加，储蓄的平均水平也增加，但是储蓄的方差在所有可支配收入水平上保持不变，即同方差。
图11-1(b)所示，尽管随着个人可支配收入的增加，平均储蓄水平也增加，但在各个收入水平上，储蓄的方差并非保持不变，而是随着个人可支配收入的上升而增加，即异方差。
图11-1(b)表明，平均而言高收入者比低收入者储蓄得多，但高收入者的储蓄变动也较大。
因此，在收入对储蓄的回归分析中，对高收入家庭有关的预期误差比与低收入家庭的误差要大一些。
异方差问题多存在于横截面数据中而非时间序列数据。
在横截面数据中，通常处理的是一定时间点上总体单位，例如个别消费者，或公司、行业，或者区域上分区、县、市等。
例11.1 美国工业的研究与发展费用支出、销售和利润。
表11-2所给美国18个行业1988年的销售、利润及研究与发展(R&D)支出数据。
由于每个行业包括若干不同子类，各子类所包括公司的规模又各不相同，如果作研究和发展支出对销售量和利润的回归，很难保证同方差假定。
考虑如下模型：R&Di = B1 + B2销售额I + ui (11-2)先验地，预期两个变量呈正相关关系，图11-3为散点图。
利用普通最小二乘法，得到回归结果如下：R&Di = 192.99 + 0.0319销售额i (11-3)se=(990.99) (0.0083)t =(0.1948) (3.8434)r2=0.4783从图11-3可以看出：平均而言，R&D支出费用随着销售额的增加而增加。
但是，随着销售的增加，R&D支出费用的变动幅度也增大了，即存在异方差。
如果把从回归方程中得到的残差对各个观察值作图(图11-4)，可以更明显地看到这一点。
是不是基于同方差假定所得到的式(11-3)回归结果毫无用处呢？11.2 异方差的后果在古典线性回归模型的假设下，普通最小二乘法估计量是最优线性无偏估计量，即在众多线性无偏估计量中，最小二乘估计量方差最小。
如解除同方差假定，但其他假定保持不变，会产生下面后果。
(1) OLS估计量仍然是线性的。
(2) OLS估计量也是无偏的。
(3) 但不再具有最小方差性，不再是最优的，即使对大样本也如此。
简言之，OLS估计量都不再是最优线性无偏估计量。
(4) OLS估计量的方差通常是有偏的。
(5) OLS估计量方差有偏产生的原因是由于2ˆδ（2..eid f∑，）不再是真实2δ的无偏估计量。
（d.f.为自由度）。
（注：用此方法计算OLS估计量的方差，前提条件就是ui具有同方差性）(6)相应地，建立在t分布（ˆ/k kb B t δ-=，）和F 分布（23232()/2/..t t t t b y x b y x F ei d f +∑∑=∑，两个解释变量的情况）之上的置信区间和假设检验是不可靠的。
回到模型(11-3)的R&D 回归结果，如果存在着异方差的可能，那么在解释回归结果时必须非常小心。
虽然销售变量的系数显著不为零，因为其t 值为3.84，在1%的显著水平下是“显著地”的。
（对于自由度为16，在0.01显著水平下，单边t 临界值为2.921)。
但如果确实存在异方差，那么就不能相信估计得到的标准差，0.0083，因而也就不能相信计算的t 值。
为什么在异方差的情形下OLS 估计量是无效？ 考虑双变量回归模型。
在运用普通最小二乘法的过程中我们要使残差平方和(RSS)最小：22(12)ei Yi b b xi =--∑∑现在考虑图11-4图形描绘了某一假设总体Y 对变量X 之间的关系。
图中可以看出，给定X ，对应每一(子)总体Y 的方差是不同的，这表明存在异方差。
假设对应每一个X 值随机地选取一个Y 值。
根据普通最小二乘法可知，每一个2ei 都有同样的权重，无论它是来自于一个较大方差的总体还是来自于一个较小方差的总体(比较点Yn 和点Y1)。
一个更合理的方法是，应该给那些取自较小方差总体的观察值以更大的权重，而给那些取自较大方差总体的观察值以更小的权重。
这能够更为精确地估计总体回归函数，这就是加权最小二乘法，稍后讨论。
11.3 如何知道存在异方差问题检验异方差较为困难。
因为只有拥有与所选X 相对应的整个Y 总体时，才能知道2i δ。
然而，通常很少能够得知整个总体，一般仅仅知道一个样本。
典型情况是，我们仅有与给定X 值相对应的单独的一个Y 值，根据单独的Y 值根本无法确定其条件分布方差。
看表11-2给出的R&D 数据。
对每一个行业，只有一个R&D 数据，仅从这个R&D 数据，根本无法求出该行业的R&D 的方差2i δ。
而回归方程(11-3)是基于假设—表11-2中每个观察值都相同。
与多重共线性的情形相同，并没有单一的规则用来检验异方差。
11.3.1 根据问题性质所考察问题的性质往往提供是否存在异方差的信息。
例如，在涉及不均匀单位的横截面数据中，异方差可能是常有的情况而不是例外。
在与销售、利率、成本等相关的投资支出的横截面数据分析中，如果把小、中和大型的公司聚集在一起加以抽样，就很可能存在异方差。
11.3.2 残差的图形检验见图11-4，残差的(绝对)值随销售量的增加而增加，表明或许数据中存在着异方差。
有时不是将残差对销售描图，而是将残差平方对销售描图。
尽管2i e 与2i μ不同，经常可以用来替代2i μ。
参见图11-6在图11-6a中，变量X与之间没有可观察到的系统模式，表明数据中可能不存在异方差。
另一方面，从图11-6b到e可以看出残差平方与解释变量X之间的系统关系；例如，图11-6c 表明，两者之间存在着线性关系。
而图11-6d和e则表明存在着四次方关系。
注意，上述散点图只不过是一个检测工具，一旦怀疑存在异方差，再继续分析时应该更为谨慎。
如果解释变量过多怎么办？最直观的方法是将2ie对每个变量描图，但也可以直接对Y的估计均值ˆiY描图，因为ˆiY是X S的线性组合。
2i对ˆiY的散点图可能会呈现出图11-6(b到e)某种模式，表明数据中可能存在异方差。
11.3.3 帕克检验(Park test)如果存在着异方差，方差2iδ可能与一个或者多个解释变量系统相关，可以作2iδ对一个或者多个解释变量的回归。
例如：ln2iδ=B1+B2lnXi+vi (11-4)所选择的特殊函数形式(11-4)是为了方便起见. 其中，vi 是残差项。
但是并不知道异方差方差，用2i e 来代替（可从原始回归方程中获得2i e 的值）。
ln2i e =B1+B2lnXi+vi (11-5)如果是检验是显著的，则存在异方差。
注意:(1)结果只是建议性的。
(2)帕克检验存在一个比较严重的问题，在回归方程(11-5)中，误差项vi 本身可能存在着异方差！我们又回到问题起点。
11.3.4 Glejser 检验Glejser 检验与帕克检验很相似,从原始模型中获得残差ei 之后，作|ei|对X 的回归。
Glejser 建议的一些函数形式如下：12112////1//i i i i i i iie B B X v e B B v e B B v X =++=+=++与帕克检验一样，在Glejser 所建议的回归方程中，误差项本身可能就存在异方差问题。
11.3.5 Gold-Quandt 检验(P85，实验) 11.3.6 White 检验(P86)11.4 异方差补救措施 11.4.1 加权最小二乘法(WLS)考虑一元回归总体回归函数：12i i iY B B X u =++ （11-18）设Y 是R&D 支出，X 是销售量，现在假设2i δ是已知的。
对模型作如下变换：121()()iiiiiiY u XB B σσσσ=++令ii iu V σ=，称作“变换后的误差项”。
现证明该误差项同方差性（证明其为常量）：因为222i i iu V σ=22222222()()1=() 1=()1i i ii i ii iu E V E E u σσσσσ==因为已知显然是一个常量，因此变换后的误差项vi 是同方差的，我们可以用常规的OLS 方法加以估计。
由此获得的B1、B2称为加权最小二乘估计量；Y 和X 的每个观察值都以其(异方差的)标准差为权数。
11.4.2 2i σ为未知直观上看加权二乘法很简单，但是如何知道或者如何找出真实的误差项方差2i σ？现实中有关误差方差的信息是极少的，需要对未知的误差项方差做假设，一下为两种简单的情形：情形1：误差与Xi 成比例：平方根变换将回归所得的残差对解释变量X 做散点图，如果观察到图案与图11-8相似，则表明误差与解释变量X 线性相关。
即22()i i E u X σ=常数2σ(注意其没有下标)是比例因子。
将模型(11-18)作如下变换：12)=iXB BBB V++方程完成平方根变换，根据前面的思路容易证明回归方程的误差方差vi是同方差的，因此可以应用OLS法来估计方程。
情形2：误差方差2iX与成比例如果所估计的残差呈现如图11-9所示的模式，则表明误差项方差随X的平方按比例增加。
即，222()i iE u Xσ=将模型(11-18)作如下变换：12121()1=()i ii i iiiY uB BX X XB B VX=++++也很容易证明回归方程的误差方差vi是同方差的。