辅导班立体几何练习含答案
高中数学立体几何专项练习题及答案
高中数学立体几何专项练习题及答案一、选择题1. 下面哪个选项不是描述柱体的特点？A. 体积恒定B. 底面形状不限C. 侧面是矩形D. 顶面和底面平行答案：A2. 如果一个四面体的一个顶点的对边垂直于底面，那么这个四面体是什么类型？A. 正方形四面体B. 倒立四面体C. 锥体D. 正方锥体答案：C3. 以下哪个选项正确描述了一个正方体的特点？A. 全部面都是正方形B. 12 条棱长度相同C. 8 个顶点D. 6 个面都是正方形答案：D4. 若长方体的高度是 6cm，底面积是 5cm²，底面对角线长为 a cm，那么 a 的值为多少？A. √11B. √29C. √31D. √41答案：C二、填空题1. 一个正方体的棱长为 4cm，它的体积是多少？答案：64cm³2. 一个球的表面积是100π cm²，那么它的半径是多少？答案：5cm3. 一个圆柱体的底面半径为 3cm，高度为 8cm，它的体积是多少？答案：72π cm³4. 一个圆锥的底面半径为 6cm，高度为 10cm，它的体积是多少？答案：120π cm³三、计算题1. 一个四棱锥的底面是边长为 5cm 的正方形，高度为 8cm，它的体积是多少？答案：单位为 cm³，计算过程如下：首先计算底面积：5cm * 5cm = 25cm²再计算体积：25cm² * 8cm / 3 = 200cm³2. 一个圆柱体的底面直径为 12cm，高度为 15cm，它的体积是多少？答案：单位为 cm³，计算过程如下：首先计算底面半径：12cm / 2 = 6cm再计算底面积：π * 6cm * 6cm = 36π cm²最后计算体积：36π cm² * 15cm = 540π cm³3. 一个球的直径为 8cm，它的体积是多少？答案：单位为 cm³，计算过程如下：首先计算半径：8cm / 2 = 4cm再计算体积：4/3 * π * 4cm * 4cm * 4cm = 268.08π cm³4. 一个圆锥的底面半径为 10cm，高度为 20cm，它的体积是多少？答案：单位为 cm³，计算过程如下：首先计算底面积：π * 10cm * 10cm = 100π cm²最后计算体积：100π cm² * 20cm / 3 = 2000π cm³四、解答题1. 若一个长方体的长度、宽度、高度分别为 a、b、c，它的表面积为多少？答案：单位为 cm²，计算过程如下：首先计算侧面积：2 * (a * b + a * c + b * c)再计算底面积：a * b最后计算表面积：2 * (a * b + a * c + b * c) + a * b2. 一个四棱锥的底面为边长为 a 的正三角形，高度为 h，求这个四棱锥的体积。
高三数学立体几何练习题及答案
高三数学立体几何练习题及答案第一题：已知一个长方体的长、宽、高分别为3cm、4cm、5cm，求该长方体的体积和表面积。
解答：长方体的体积可以通过公式V = lwh 计算，其中l、w、h分别为长、宽、高。
根据题目给出的数据，代入公式可得 V = 3cm × 4cm × 5cm = 60cm³。
因此，该长方体的体积为60立方厘米。
长方体的表面积可以通过公式 S = 2lw + 2lh + 2wh 计算。
根据题目给出的数据，代入公式可得 S = 2 × 3cm × 4cm + 2 × 3cm ×5cm + 2 × 4cm × 5cm = 94cm²。
因此，该长方体的表面积为94平方厘米。
答案：体积：60立方厘米表面积：94平方厘米第二题：一个正方体的棱长为a，求该正方体所有顶点到一个固定点之间的最短距离之和。
解答：正方体的每个顶点到固定点的最短距离为正方体的对角线长。
对于正方体而言，其对角线的长度可以通过勾股定理求解。
设每个边长为a，则对角线长d满足 d² = a² + a² + a² = 3a²。
因此，每个顶点到固定点的最短距离之和为 8 × 3a² = 24a²。
答案：每个顶点到固定点的最短距离之和为24a²。
第三题：一个球体的直径为10cm，求该球体的体积和表面积（结果保留π）。
解答：球体的体积可以通过公式V = 4/3πr³ 计算，其中r为球体的半径。
根据题目给出的数据，直径d为10cm，因此半径r = d/2 = 5cm。
代入公式可得V = 4/3 × π × (5cm)³ ≈ 523.6cm³。
因此，该球体的体积约为523.6立方厘米。
球体的表面积可以通过公式S = 4πr² 计算，其中r为球体的半径。
立体几何复习题及答案
立体几何复习题及答案1. 判断题：若直线a与平面α平行，则直线a与平面α内的任意直线都平行。
答案：错误。
直线a与平面α平行，并不意味着直线a与平面α内的任意直线都平行，它们可能是异面直线。
2. 选择题：下列关于空间直角坐标系的描述中，正确的是：A. 空间直角坐标系中，三个坐标平面互相垂直。
B. 空间直角坐标系中，三个坐标平面互相平行。
C. 空间直角坐标系中，三个坐标轴互相平行。
D. 空间直角坐标系中，三个坐标轴互相垂直。
答案：A、D。
空间直角坐标系中，三个坐标平面互相垂直，三个坐标轴互相垂直。
3. 填空题：若直线l与平面α所成的角为θ，则直线l与平面α的法线所成的角为____。
答案：90°-θ。
根据直线与平面所成角的定义，直线与平面的法线所成角等于90°减去直线与平面所成的角。
4. 计算题：已知空间四边形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=5，DA=6，且AB⊥BC，CD⊥DA，求对角线AC的长度。
答案：根据勾股定理，AC的长度可以通过计算AB、BC、CD、DA构成的直角三角形的斜边得到。
首先计算AC在AB、BC所构成平面上的投影长度，即\(\sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5\)。
同理，计算AC在CD、DA所构成平面上的投影长度，即\(\sqrt{CD^2 + DA^2} = \sqrt{5^2 + 6^2} = \sqrt{61}\)。
最后，由于AB⊥BC，CD⊥DA，所以这两个投影互相垂直，因此AC的长度为\(\sqrt{5^2 + 61} = \sqrt{86}\)。
5. 证明题：证明若直线a与直线b异面，则存在平面α，使得直线a 在平面α内，直线b与平面α平行。
答案：假设直线a与直线b异面，我们可以在直线a上取一点P，过点P作直线b的平行线c。
由于直线a与直线c相交，根据平面的基本性质，存在一个平面α使得直线a和直线c都在平面α内。
立体几何复习练习及答案
立体几何复习练习及答案立体几何复习练习班次_____姓名_________学号______一选择题：1. 设γβα、、为平面。
l n m 、、为直线，则β⊥m 的一个充分条件是 ( )A l m l ⊥=?⊥,,βαβαB γβγαγα⊥⊥=?,,mC αγβγα⊥⊥⊥m ,,D αβα⊥⊥⊥m n n ,,2.对于不重合的两个平面α、β，给定下列条件：①存在平面γ，使得α、β都垂直于γ；②存在平面γ，使得α、β都平行于γ；③存在直线α?l ，直线β?m ，使得m l //；④存在异面直线l 、m ，使得.//,//,//,//βαβαm m l l 其中，可以判定α与β 平行的命题有几个（） A ．1个 B.2个C ．3个D ．4个3.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，直线A 1B 与平面ABC 1D 1所成的角为（）A ．6π B ．4π C ．3πD ．125π4．关于直线,m n 与平面,αβ，有以下四个命题：①若//,//m n αβ且//αβ，则//m n ；②若,m n αβ⊥⊥且αβ⊥，则m n ⊥；③若,//m n αβ⊥且//αβ，则m n ⊥；④若//,m n αβ⊥且αβ⊥，则//m n ；其中真命题的序号是（）A ．①②B ．③④C ．①④D ．②③5.已知二面角l αβ--的大小为060，,m n 为异面直线，且βα⊥⊥n m ,，则,m n 所成的角为（）A.030 B.060 C.090 D.0120 6．正三棱锥ABC P -内接于球O ，球心O 在底面ABC 上,且3=AB ，则球的表面积为（） A ．πB ．π2C ．π4D ．π97．已知正方体外接球的体积是π332，那么正方体的棱长等于（）A.22B.332 C.324 D.3348.如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下4个命题中，假命题．．．是（）Ａ．等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等图1示Ｂ．等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补Ｃ．等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆Ｄ．等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上9.已知球O 的半径是1，A 、B 、C 三点都在球面上，A 、B 两点和A 、C 两点的球面距离都是4π，B 、C 两点的球面距离是3π，则二面角B O A C --的大小是（）A4πB3πC2πD23π10.棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上,若过该球球心的一个截面如图1,则图中三角形(正四面体的截面) 的面积是 ( )A.22二填空题：11.四面体P A B C -中，三条侧棱两两垂直，M 是面ABC 内一点，且点M 到三个面,,PAB PAC PBC 的距离分别是2,3,6，则M 到顶点P 的距离是_____ .12. (1)在直三棱柱111ABC A B C -中，1AA AB AC ==，90BAC ∠= ，M 是1C C 的中点，Q 是B C 的中点，P 在11A B 上，则直线PQ 与直线A M 所成的角为 ;(2)在正方体1111ABC D A B C D -中，O 为A C 与B D 的交点，则1C O 与1A D 所成的角为________ (表示为反余弦).13.A B C ?的顶点B 在平面α内，A 、C 在α的同一侧，A B 、BC 与α所成的角分别是30和45．若3,5AB BC AC ===，则A C 与α所成的角为______ _.14.（1）如图1，正方体1111ABC D A B C D -的棱长为1,O 是底面1111A B C D 的中心，则O 到平面11ABC D 的距离为_______ _;（2）如图2，正方体的棱长为1，C 、D 分别是两条棱的中点，A 、B 、M 是顶点，那么点M 到截面A B C D 的距离是.15．棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，若E 、G 分别为C 1D 1、BB 1的中点，F 是正方形ADD 1A 1的中心，则空间四边形BGEF 在正方体的六个面内射影图形的面积的最大值为 .图216．如图，ABCD 为矩形，AB=3，BC=1，EF//BC 且AE=2EB ，G 为BC 中点，K 为△ADF的外心。
立体几何大题训练题(含答案)
立体几何大题训练题一、解答题（共17题；共150分）1.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，在四边形ABCD中，∠ABC= ，AB=4，BC=3，CD= ，AD=2 ，PA=4.（1）证明：CD⊥平面PAD；（2）求二面角B-PC-D的余弦值..2.如图，在四棱锥中，平面，在四边形中，，，，，，.（1）证明：平面；（2）求B点到平面的距离3.如图，在四棱锥中，底面为长方形，底面，，，为的中点，F 为线段上靠近B 点的三等分点.（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成二面角的正弦值.4.如图，四边形为正方形，分别为的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且.（1）证明：平面平面;（2）求与平面所成角的正弦值.5.如图，在三角锥中，, , 为的中点.（1）证明：平面;（2）若点在棱上，且MC=2MB，求点C到平面POM的距离.6.如图，在三角锥中，, , 为的中点.（1）证明：平面;（2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值. 7.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°．（12分）（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．8.如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.（1）证明：BE⊥平面EB1C1；（2）若AE=A1E，求二面角B–EC–C1的正弦值.9.如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点（1）证明：MN∥平面C1DE；（2）求二面角A-MA1-N的正弦值。
10.已知三棱柱，底面三角形为正三角形，侧棱底面，，为的中点，为中点.（1）求证：直线平面；（2）求平面和平面所成的锐二面角的余弦值.11.如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1，平面A1AC1C⊥平面ABC，∠ABC=90°.∠BAC=30°，A1A=A1C=AC，E，F 分别是AC，A1B1的中点（1）证明：EF⊥BC（2）求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值.12.如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．（Ⅰ）证明：平面ACD⊥平面ABC；（Ⅱ）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D﹣AE﹣C 的余弦值．13.如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC= AD，∠BAD=∠ABC=90°，E是PD的中点．（Ⅰ）证明：直线CE∥平面PAB；（Ⅱ）点M在棱PC 上，且直线BM与底面ABCD所成角为45°，求二面角M﹣AB﹣D的余弦值．14.如图，已知多面体ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC=120°，A1A=4，C1C=1，AB=BC=B1B=2．（Ⅰ）证明：AB1⊥平面A1B1C1；（Ⅱ）求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值．15.如图所示多面体中，AD⊥平面PDC，四边形ABCD为平行四边形，点E，F分别为AD，BP的中点，AD ＝3，AP＝3 ，PC ．（1）求证：EF//平面PDC；（2）若∠CDP＝120°，求二面角E﹣CP﹣D的平面角的余弦值．16.如图，四棱锥中，侧棱垂直于底面，，，为的中点，平行于，平行于面，.（1）求的长；（2）求二面角的余弦值.17.如图，在斜三棱柱中，侧面，，，，．（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）若为中点，求二面角的正切值．答案解析部分一、解答题1.【答案】（1）解：连接，由∠ABC= ，AB=4，BC=3，则，又因为CD= ，AD=2 ，所以，即，因为PA⊥平面ABCD，平面ABCD，所以，因为，所以CD⊥平面PAD；（2）解：以点D为坐标原点，的延长线为x，为y轴，过点D与平行线为z轴，建立空间直角坐标系，如图：作交与点G，，即，所以，，所以，所以，，，，则，，，设平面的一个法向量为，则，即，令，则，，即，设平面的一个法向量为，则，即，令，则，，即，由，所以二面角B-PC-D的余弦值为.【解析】【分析】（1）连接，证出，利用线面垂直的性质定理可得，再利用线面垂直的判定定理即可证出.（2）以点D为坐标原点，的延长线为x，为y轴，过点D与平行线为轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面的一个法向量与平面的一个法向量，利用向量的数量积即可求解.2.【答案】（1）解：在平面中，，，，则，又，∴，即，又平面，则，又，∴平面.（2）解：在平面中，过A作BC的平行线交CD的延长线于M，因为，，，则,又因为，,所以.所以又，则，所以,在中，.因为,则面,所以由可知：，,所以，则，因此P点到平面的距离为.【解析】【分析】(1)在三角形中，由勾股定理可证得，由平面，可得，根据线面垂直的判定定理即可证得结论；(2) 在平面中，过A作BC的平行线交CD 的延长线于M，因为利用等体积转换即可求得距离.3.【答案】（1）证明：，为线段中点，.平面，平面，.又底面是长方形，.又，平面.平面，. 又，平面.（2）解：由题意，以为轴建立空间直角坐标系，则，，，，，.所以, ，，，设平面的法向量，则，即，令，则，，，同理可求平面的法向量，，，即平面与平面所成角的正弦值为.【解析】【分析】（1）通过，可证明平面，进而可得，结合证明线面垂直.（2）以为轴建立空间直角坐标系，可求出平面的法向量，平面的法向量，则可求出两向量夹角的余弦值，从而可求二面角的正弦值.4.【答案】（1）解：由已知可得，BF⊥PF，BF⊥EF，又，∴BF⊥平面PEF.∴又平面ABFD，平面PEF⊥平面ABFD.（2）解：作PH⊥EF，垂足为H.由（1）得，PH⊥平面ABFD.以H为坐标原点，的方向为y轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系H−xyz.由（1）可得，DE⊥PE.又DP=2，DE=1，所以PE= .又PF=1，EF=2，故PE⊥PF.可得.则为平面ABFD的法向量. 设DP与平面ABFD所成角为，则.∴DP与平面ABFD所成角的正弦值为.【解析】【分析】(1)在翻折过程中,作于H,由得到,从而得到面面垂直;(2)DP与平面所成的角就是,在三角形中求其正弦值.5.【答案】（1）∵PA=PC=AC=4 且O是AC的中点∴PO⊥AC∵AB=BC=2 ，AC=4,∴∴∠ABC=90°连接BO则OB=OC∴PO2+BO2=PB2PO⊥OB，PO⊥OCOB∩OC=O∴PO⊥平面ABC（2）过点C作CH⊥OM交OM于点H又∵PO⊥平面ABC∴∴CH的长度为点C到平面POM的距离在△COM中，CM= ，OC=2，∠OCM=45°∴∴OM=∴【解析】【分析】（1）由线面垂直的判定定理易得；（2）由线面垂直可得面面垂直，易找点面距，可求.6.【答案】（1）PA=PC=AC=4 且O是AC的中点PO⊥AC∵AB=BC=2 ，AC=4,∴∴∠ABC=90°连接BO则OB=OC∴PO2+BO2=PB2PO⊥OB，PO⊥OCOB∩OC=O∴PO⊥平面ABC（2）∵PO⊥平面ABC，∴PO⊥OB∴AB=BC=2 O是AC的中点∴OB⊥AC OB⊥平面PAC如图所示以O为坐标原点，为x轴正方向建立如图所示的直角坐标系O-xyz则P（0,0，）A（,0，-2,0），C（0,2,0），B（2,0,0）平面PAC法向量为=（1,0,0）设M（x，2-x，0）平面PAC法向量为=（1，λ，μ），=（0，2，）, = （x，4-x，0）则即即得到，∴x=-4（舍），x=即M∴PAM的法向量记PC与平面PAM所成的角为θ∴即PC与平面PAM所成的角为的正弦值为.【解析】【分析】（1）由线面垂直的判定定理易得；（2）先由条件建系，找到点M的位置，再用公式求线面角.7.【答案】（1）证明：∵∠BAP=∠CDP=90°，∴PA⊥AB，PD⊥CD，∵AB∥CD，∴AB⊥PD，又∵PA∩PD=P，且PA⊂平面PAD，PD⊂平面PAD，∴AB⊥平面PAD，又AB⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD；（2）解：∵AB∥CD，AB=CD，∴四边形ABCD为平行四边形，由（1）知AB⊥平面PAD，∴AB⊥AD，则四边形ABCD为矩形，在△APD中，由PA=PD，∠APD=90°，可得△PAD为等腰直角三角形，设PA=AB=2a，则AD= ．取AD中点O，BC中点E，连接PO、OE，以O为坐标原点，分别以OA、OE、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则：D（），B（），P（0，0，），C（）．，，．设平面PBC的一个法向量为，由，得，取y=1，得．∵AB⊥平面PAD，AD⊂平面PAD，∴AB⊥AD，又PD⊥PA，PA∩AB=A，∴PD⊥平面PAB，则为平面PAB的一个法向量，．∴cos＜＞= = ．由图可知，二面角A﹣PB﹣C为钝角，∴二面角A﹣PB﹣C的余弦值为．【解析】【分析】（1.）由已知可得PA⊥AB，PD⊥CD，再由AB∥CD，得AB⊥PD，利用线面垂直的判定可得AB⊥平面PAD，进一步得到平面PAB⊥平面PAD；（2.）由已知可得四边形ABCD为平行四边形，由（1）知AB⊥平面PAD，得到AB⊥AD，则四边形ABCD 为矩形，设PA=AB=2a，则AD= ．取AD中点O，BC中点E，连接PO、OE，以O为坐标原点，分别以OA、OE、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，求出平面PBC的一个法向量，再证明PD⊥平面PAB，得为平面PAB的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角A﹣PB﹣C的余弦值．8.【答案】（1）解：由已知得，平面，平面，故．又，所以平面．（2）由（1）知．由题设知，所以，故，．以为坐标原点，的方向为x轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，则C（0，1，0），B（1，1，0），（0，1，2），E（1，0，1），，．设平面EBC的法向量为=（x，y，x），则即所以可取= .设平面的法向量为=（x，y，z），则即所以可取=（1，1，0）．于是．所以，二面角的正弦值为．【解析】【分析】（1）根据题意由线面垂直的性质得出线线垂直，再由线线垂直的判定定理出线面垂直。
立体几何练习题(答案).docx
立体几何练习题一、选择题1.一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是A、球B、三棱柱C、正方形D、圆柱2.已知直线/丄平面a,直线/nu平面0 ,则下列四个命题：①a//0o/丄加；②a丄J3=>l//m；®lHm^a丄0；④/丄/n=>a〃0.其中正确的是（）.A、①②B、③④C、②④D、①③3.-个棱柱为正四棱柱的条件是（）A.底面是正方形，有两个侧面垂直于底面B.底面是正方形，有两个侧面是矩形C.底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直D.每个底面是全等的矩形4.已知加，"为两条不同的直线，a, 0为两个不同的平面，则下列命题是真命题的是（）A . ma,ncz a, m II （3 ,n 11 （3 => a 11 （3 B. a 11 队m u a ,n u /3 => nt 11 nC. 加丄a,加丄n n n 11 aD. mH n,n丄a二> 肌丄a5.空间三个平面如果每两个都相交，那么它们的交线有A. 1条B. 2条C. 3条D. 1条或3条6.下列命题中，正确的个数是①空间三点确定…个平面；②经过空间三点有一个平面；③经过圆上三点有且只有一个平面；④两条直线确定一个平面。
A. 1B. 2C. 3D. 1 或37.有一个几何体的三视图及其尺寸如图（单位cm）,则该几何体的表面积及体积为（）A. 24-7icm2,127icm3B. 15^cm2,12^cm3C. 2^7icm2,367Tcm3D.以上都不正确8.若某几何体的三视图如图所示，则这个几何曲舸!图可岁是正视图flNsetwBCDWEA B9顾9.如图，在正方体ABCD-A.B^D,中，M、N分别是BC】、CD】的中点，则下列判断镜谡的是（）A. MN与CG垂直B. MN与4C垂直C. MN与BD平行D. MN与出坊平行10.如图，网格纸的小正方形的边长是1,在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为_______ .A. 2A /3B. 2V2C. V5D. 311加右图一在正方体ABCD-A A C \D I 中，P 为DC 的中点, 则与“Ci 所在直线所成角的余弦值等于()4y/w_ 1 A /5 A. 5 B. 5 C. 2 D. 1012. 如图，三棱^ ABC-^Q 中，侧棱勒丄底面,底面三角形是正三角形，E 是BC 中点，则下列叙述正 确的是() A. oq 与BE 是异面直线B. 4C 丄平面ABBA c. AE , 为异面直线，且4E 丄D . 46〃面胡E二、填空题13. 若一个圆锥的侧面展开图是面积为2兀的半圆面，则该圆锥体积为 _________ •14. 已知直线Q , b , c 中，若a //b , bile,则。