利用二次函数思路巧解不等式问题

直线与抛物线联立的方程组，当判别式大于 0，直线与
抛物线有两个交点；当判别式等于 0，直线与抛物线只有一
个交点；判别式小于 0，则直线与抛物线无交点。
2）一次函数，y=kx+b(k≠0)的图像是一条直线。
当 k>0 时，若 x k<0 时，x1≤x≤x2，则有 kx2+b≤y≤kx1+b；
Solving Quadratic Inequality Problem Function Ideas // Ren Zhongzhang Abstract Learning, we often encounter the problem of solving equations and inequalities, obtained by conventional methods difficult to analyze the results, but thinking through the use of a quadratic function of the problem can be solved. Key words number and shape;function image; intersection image Author's address Chang'an NO.8 Middle School,710116, Xi'an,Shaanxi,China
研究的两个主要方面，它们之间有密切的关系，在一定条件
下它们之间可以相互转化、相互渗透。
在初中数学中，函数是一个难点，尤其是二次函数的问
题中，由于其综合性较强，更使部分同学觉得这部分内容太
难了。其实，只要掌握了正确的方法，解决问题便会事半功
倍。而解决二次函数问题时，数形结合便是一种重要方法。
我们可以把方程问题、不等式问题看做函数的特殊情
2 x
，y2＝x- 1，求出其交点。
标分别为 A(- 1,- 2)和 B(2,1),通过图像观察可得
当 0<x<2 或 x<－1 时。y1> y2 即不等式解集为 0<x<2 或 x<－1
3y 2
f(x)=1/x f(x)=x- 2
y 4
1
-3
-2
-1
-1
x
1
2
3
2
-4 -2 -2
x
2
4
-2
-4
-3
编辑 黄严磊
若 k>0 时，当 x>-
b k
时，y>0；当 x=-
b k
时，y＝0；当 x<-
b 时，y<0。 k
3）函数图像上两点，点越高，函数值越大。
例 1：解不等式，2 x
>x- 1。
（1）方法一：代数法
讨论 x 的正负： ①当 x >0 时，不等式两边都乘 x 得 2>x2- x
解得(x- 2)(x+1)<0，- 1<x<2 因：x>0，所以 0<x<2
系，构造函数关系，使原问题在函数关系中实现转化，再借
助函数的图像与性质，就能化难为易，从而解决问题。
在初中数学学习中，二次函数是中考的必考内容，但由
于其综合性较强，使得学生难以理解和掌握。数学家华罗庚
说得好：“数缺形时少直观，形少数时难入微。”可见数形结
合是数学中的重要思想方法。数量关系和空间图形是数学
的横坐标分别为－1,
3 2
,
当－1<x<
3 2
时，y=x2
的值小于函数
y=
1 2
x+
3 2
的值，
即
y=
1 2
x+
3 2
的值，即
x2<
1 2
x+
3 2
所以，当
-
1<x<
3 2
时，x2-
1 2
x-
3 2
<0
通过函数图像可以直观地理解函数，对一些解不等式
的问题很有帮助。
参考文献 [1] 马小成.中学数学解题方法. [2] 陈兆镇.中学数学复习指导.
例1
例2
代数法能充分体现数学思维的严谨性，函数图像却能
很直观让人理解和接受，体现函数思想在解题中的应用。
例
2：已知
2x3
1
≥x-
5- 3x 5
，求 |x- 1|- |x+3| 的最大值和
最小值。
解不等式得
x≤
13 11
≤（x- 1）-（x- 3）- 4，当 x>1 时
|x- 1|－|x＋3|= 1- x-（x- 3）=- 2x-2,当 - 3≤x≤1 时
８４
②当 x <0 时，不等式两边都乘 x 得 2>x2- x
解得(x- 2)(x+1)>0，x<- 1 或 x>2
因 x<0 所以 x <- 1
综合①②得，不等式解集为 0<x<2 或 x<- 1
（2）方法 2：图像法
设
y1＝
2 x
y2＝x- 1，画出 y1 ，y2 在同一平面直角坐标系
内的图像。联系方程：y1＝
例 3 二次三项式 x2-
1 2
x-
3 2
求：当 x 为何值时，x2-
1 2
x-
3 2
<0
分析：x2-
1 2
x-
3 2
<0，可得
x2<
1 2
x+
3 2
，所以可以考虑画出函数
y=x2
和
y=
1 2
x+
3 2
的图像，通过图像比较得出 x 的取值范围。
解：设
y=x2,y=
1 2
x+
3 2
从图像联系方程组后可得，A、B
1- x+（x- 3）≤4,当 x<-3 时
当 - 3≤x≤1 时，－2x- 2 的值随 x 增大而减小。
所以当 x＝1 时，－2x- 2 达到最小值 - 4；当 x=- 3 时，
- 2x- 2 最大值为 4，再结合 x>1 和 x<- 3 时 的 情 况 ，得：
|x- 1|- |x＋3| 最大值为 4，最小值为 - 4。
理工
2 0 1 1. 0 4 （ 下 旬 刊）
利用二次函数思路巧解不等式问题
中图分类号：G633.6
任仲章
（长安八中 陕西·西安 ７１０１１６）
文献标识码：A
文章编号：1672- 7894（2011）12- 084- 02
摘 要 在学习中，我们常常会遇到解方程及不等式问题， 按常规方法很难分析得出结果， 但是利用二次函数思想经 过分析，问题就可以迎刃而解了。 关键词 数形结合 函数图像 交点图像
况，借助函数图像问题很容易解决。
相关的数学基本模型：
1）抛物线与 X 轴交点问题判定：
Y=ax2+bx+c(a≠0),b2- 4ac>0 时，抛物线与 X 轴有两个交
点；当 b2- 4ac＝0 时，抛物线与 X 轴有一个交点；b2- 4ac<0
时，抛物线与 X 轴无交点。
直线与抛物线交点问题的判定：
数学思想是数学的基本观点，是对数学概念、数学方法
和数学发现的本质认识。在初中阶段，基本的数学思想有多
种，函数思想则是重要的数学思想之一。
函数知识揭示了运动与变化过程中，量与量之间存在
的一般性规律。研究函数的性质与图像就是用运动、变化的
观点，来观察分析问题，因此，如果我们能够运用函数的观
点、方法去考虑分析问题，根据问题的条件及所给数量关