NO23利用定义求圆锥曲线轨迹方程
圆锥曲线题型训练-轨迹方程的求法
圆锥曲线题型训练轨迹方程的求法总论 (2)1 直接法 (3)练习1 (4)2 定义法 (5)练习2 (7)3 代入法 (9)练习3 (11)4、交轨法 (11)练习4 (13)5参数法 (14)练习5 (18)6、练习题答案 (20)练习1答案 (20)练习2答案 (23)练习3答案 (28)练习4答案 (29)练习5答案 (34)总论轨迹:是指一个动点按某种特点来运动，运动构成的曲线，可以是，直线，线段，圆，或椭圆，双曲线等等，我们这里把“曲线”也叫做“轨迹”；求动点轨迹方程:即已知动点的运动规律，我们来求满足此条件的动点的坐标),(y x 满足的方程（即等式）0),( y x f ；这个过程要求我们善于将几何图形中点、线之间的关系转化为代数形式，比如，长度，距离，向量的关系式等等，将条件坐标化，注意分析运动过程中不变的等量关系，将“不变的关系”化为“等式”，即达到了求轨迹方程的目的。
可能用到的公式： 两点间距离： 点到直线的距离： 两条平行新间的距离： 平面向量的数量积的坐标形式： 平面向量数乘的坐标形式：1 直接法本着“求谁设谁”的原则，将所求轨迹的动点的坐标设为),(y x ,根据其运动特点列等式,利用解析几何有关公式（两点距离公式、点到直线距离公式等）进行整理、化简，把运动特点“翻译”成含,x y 的等式就得到曲线的轨迹方程0),(=y x f 。
例 一条线段AB 的长等于2a ,两个端点,A B 分别在x 轴和y 轴上滑动，求AB 中点M 的轨迹方程？解：设),(y x M ，则)0,2(),2,0(x B y A ，由a AB 2||=得a y x 24422=+，化简得222a y x =+变式：若21=MABM，则点M 的轨迹方程是什么？ 例 已知点(3,0),(3,0)A B -，动点P 满足||2||PA PB =，求动点P 的轨迹方程 解：因为2222||(3),||(3)PA x y PB x y =++=-+代入||2||PA PB =，得222222224)3(4)3(2)3()3(y x y x y x y x +-=++⇒=+-++化简得22(5)16x y -+=，说明轨迹是以（5，0）为圆心，4为半径的圆. 说明：由此题可以得到一个推论：已知平面上两点A 、B ，则所有满足(1)PAk k PB=≠的点P 的轨迹是一个圆（阿氏圆） 例2 （2009海南20）已知椭圆C 的中心为直角坐标系xOy 的原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若P 为椭圆C 上的动点，M 为过P 且垂直于x 轴的直线上的点，OPOM=λ，求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。
利用定义求圆锥曲线轨迹方程
2
2
Q
信息1 : F2 M 2a
信息2 : P为F1的中点
F1
P M
O
F2
x
例 3．如图，已知 N( 5，0)，P 是圆 M： (x＋ 5)2＋y2＝ 36(M 为圆心) 上一动点 ,线段 PN 的垂直平分线 l 交 PM 于 Q 点， (1)求点 Q 的轨迹 C 的方程； (2)若直线 y＝ x＋m 与曲线 C 相交于 A，B 两点，求 △AOB 面积的最大值．
在平面内 ,讨论：
(1)已知A(2,3)且 PA 3, 则点P的轨迹是什么？
圆
(2)已知ABC的一边BC的长为3, 周长为8, 则顶点A的 轨迹是什么？ 椭圆
除去长轴两端点
( 3)若A(1,0), B(5,0), 且 MA MB 4, 则点M的轨迹是 什么？
双曲线的右支
(4)过点(2,0)且与y轴相切的圆的圆心的轨 迹是什么？
又 M(－ 5， 0)， N( 5， 0)， |MN|＝ 2 5<6， ∴点 Q 在以 M、 N 为焦点的椭圆上 , 且 2c＝ 2 5,2a＝ 6， ∴ a＝ 3， c＝ 5， b2＝ 4， x2 y2 ∴点 Q 的轨迹 C 的方程为 ＋ ＝ 1. 9 4
解 (1)连结 QN，由题意知： |PQ|＝|QN|，|QM|＋|QP|＝|MP|， ∴|QM|＋|QN|＝|MP|， ∴|MP|＝6，∴|QM|＋|QN|＝6，
y
M
Q
信息1 : F1 M 2a
P F2 x
信息2 : P为MF2的中点
F1
O
x y 变题2 :已知双曲线的方程为 2 2 1(a 0, a b b 0), F1 , F2分别为左右焦点 , Q是双曲线上任意 一点, 从左焦点F1作F1QF2平分线的垂线, 垂足 为P , 求点P的轨迹方程.
轨迹方程求解常用方法
圆锥曲线补充（1） 轨迹方程求解常用方法一．定义法如果动点P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。
熟悉一些基本曲线的定义是用定义法求曲线方程的关键。
（1） 椭圆：到两定点的距离之和为常数（大于两定点的距离）（2） 双曲线：到两定点距离之差的绝对值为常数（小于两定点的距离） （3） 抛物线：到定点与定直线距离相等。
例1一动圆与圆O ：122=+y x 外切，而与圆C ：08622=+-+x y x 内切，那么动圆的圆心M 的轨迹是：A ：抛物线B ：圆C ：椭圆D ：双曲线一支 【解答】令动圆半径为R ，则有⎩⎨⎧-=+=1||1||R MC R MO ，则|MO|-|MC|=2，满足双曲线定义。
故选D 。
例 2 已知ABC ∆的顶点A ，B 的坐标分别为（-4，0），（4，0），C 为动点，且满足,sin 45sin sin C A B =+求点C 的轨迹。
【解析】由,sin 45sin sin C A B =+可知1045==+c a b ，即10||||=+BC AC ，满足椭圆的定义。
令椭圆方程为12'22'2=+by ax ，则34,5'''=⇒==b c a ，则轨迹方程为192522=+y x （)5±≠x ，图形为椭圆（不含左，右顶点）。
练习：1. 点M 到点F （4，0）的距离比它到直线的距离小1，则点M 的轨迹方程为____________。
【解答】：依题意，点M 到点F （4，0）的距离与它到直线的距离相等。
则点M 的轨迹是以F （4，0）为焦点、为准线的抛物线。
故所求轨迹方程为。
2.已知ABC ∆中，A ∠、B ∠、C ∠的对边分别为a 、b 、c ，若b c a ,,依次构成等差数列，且b c a >>，2=AB ，求顶点C 的轨迹方程.解：如右图，以直线AB 为x 轴，线段AB 的中点为原 点建立直角坐标系. 由题意，b c a ,,构成等差数列，∴b a c +=2，即4||2||||==+AB CB CA ，又CA CB >，∴C 的轨迹为椭圆的左半部分.在此椭圆中，1,2='='c a ，3='b ，故C 的轨迹方程为)2,0(13422-≠<=+x x y x.二．直接法如果动点P 的运动规律满足的等量关系易于建立，则可以用点P 的坐标（x ，y ）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。
圆锥曲线中的轨迹方程(带答案)
第六讲 求轨迹方程的六种常用技法1．直接法根据已知条件及一些基本公式如两点间距离公式，点到直线的距离公式，直线的斜率公式等，直接列出动点满足的等量关系式，从而求得轨迹方程。
例1．已知线段6=AB ，直线BM AM ,相交于M ，且它们的斜率之积是49，求点M 的轨迹方程。
练习：1．平面内动点P 到点(10,0)F 的距离与到直线4x =的距离之比为2，则点P 的轨迹方程是 。
2．设动直线l 垂直于x 轴，且与椭圆2224x y +=交于A 、B 两点，P 是l 上满足1PA PB ⋅=的点，求点P 的轨迹方程。
3. 到两互相垂直的异面直线的距离相等的点,在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是 （ ） A ．直线 B ．椭圆 C ．抛物线 D ．双曲线 2．定义法通过图形的几何性质判断动点的轨迹是何种图形，再求其轨迹方程，这种方法叫做定义法，运用定义法，求其轨迹，一要熟练掌握常用轨迹的定义，如线段的垂直平分线，圆、椭圆、双曲线、抛物线等，二是熟练掌握平面几何的一些性质定理。
例2．若(8,0),(8,0)B C -为ABC ∆的两顶点，AC 和AB 两边上的中线长之和是30，则ABC ∆的重心轨迹方程是_______________。
练习：4．方程|2|x y ++表示的曲线是 （ ） A ．椭圆 B ．双曲线 C ．线段 D ．抛物线3．点差法圆锥曲线中与弦的中点有关的问题可用点差法，其基本方法是把弦的两端点1122(,),(,)A x y B x y 的坐标代入圆锥曲线方程，然而相减，利用平方差公式可得12x x +，12y y +，12x x -，12y y -等关系式，由于弦AB 的中点(,)P x y 的坐标满足122x x x =+，122y y y =+且直线AB 的斜率为2121y y x x --，由此可求得弦AB 中点的轨迹方程。
例3．椭圆22142x y +=中,过(1,1)P 的弦恰被P 点平分,则该弦所在直线方程为_________________。
运用圆锥曲线的定义法求轨迹方程教案
运用圆锥曲线的定义求轨迹方程【学习目标】1、进一步理解圆锥曲线定义的内涵，加深对圆锥曲线本质特征的理解和认识。
学会运用定义判断动点的轨迹并求动点的轨迹方程。
2、在应用圆锥曲线定义解决问题的过程中，体验运用定义法解决问题时的特点，提高快速、准确、灵活的解题的能力。
3、进一步培养自我批判的思维品质，质疑求真的科学态度。
【教学重点】（1）圆锥曲线定义的再认识；（2）圆锥曲线定义在解题中的运用。
【教学难点】如何运用圆锥曲线定义解决相关问题。
【课前导学】1、圆锥曲线的定义（用数学符号表示）椭圆的定义 双曲线的定义 抛物线的定义2、解答下列各题（1）过点(1,0)A 且与直线l ：1-=x 相切的动圆M 的圆心M 的轨迹方程为（2）在ABC ∆中，已知)0,1(),0,1(C A -，若sin sin 2sin A C B +=，则定点B 的轨迹方程为（3）设向量i 、j 为直角坐标系的x 轴、y 轴正方向上的单位向量，向量(3)a x i y j =+⋅+⋅，(3)b x i y j =-⋅+⋅ ， 若且||||2a b -=，则满足上述条件的点(,)P x y 的轨迹方程 是（4）方程|2|21)1()1(22-+=+++y x y x 表示的曲线是 （ ）A 、 椭圆B 、双曲线C 、抛物线D 、不能确定【课堂学习】[例题1] 一动圆与圆1O ：4)3(22=++y x 外切，同时与圆2O ：100)3(22=+-y x 内切，求动圆圆心P 的轨迹方程。
[思考1] 一动圆与圆1O ：4)3(22=++y x 外切，圆2O ：9)3(22=+-y x 中的一个内切一个外切，求动圆圆心P 的轨迹方程。
（同时相切呢？）[思考2] 已知圆1O ：4)2(22=+-y x ，动圆M 与圆1O 外切，且与y 轴相切，求动圆圆心M 的轨迹。
[例题2]已知圆22:(3)100M x y ++=和点(3,0)N ，P 为圆M 上任一点，线段NP 的的垂直平分线交直线MP 于Q ，当点P 在圆M 上运动时，问：点Q 的轨迹是什么？并求其轨迹方程。
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专题圆锥曲线(求轨迹方程)求轨迹方程的常用方法(1) 直接法：直接利用条件建立x, y之间的关系或F(x, y) = 0;(2) 定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；(3) 代入转移法(相关点法)：动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x o, y o)的变化而变化，并且Q(x o，y o)又在某已知曲线上，贝U可先用x，y的代数式表示x o，y o，再将x o，y o代入已知曲线得要求的轨迹方程.1. 一个区别一一“轨迹方程”与“轨迹”“求动点的轨迹方程”和“求动点的轨迹”是不同的.前者只须求出轨迹的方程，标出变量x，y 的范围；后者除求出方程外，还应指出方程的曲线的图形，并说明图形的形状、位置、大小等有关的数据.2. 双向检验一一求轨迹方程的注意点求轨迹方程，要注意曲线上的点与方程的解是一一对应关系，检验应从两个方面进行：一是方程的化简是否是同解变形；二是是否符合实际意义，注意轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响.考向一直接法求轨迹方程【例1】已知动点P(x, y)与两定点M(—1,0), N(1,o)连线的斜率之积等于常数g0).(1) 求动点P的轨迹C的方程；(2) 试根据入的取值情况讨论轨迹C的形状.［解］(1)由题意可知，直线PM与PN的斜率均存在且均不为零, 所以k PM k PNy . y x+1 x—1考向三 代入法(相关点法)求轨迹方程【例3】如图8-8-2所示，设P 是圆x 2 + y 2= 25上的动点，4点D 是P 在x 轴上的投影，M 为PD 上一点，且|MD|= 5(1)当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程；当 心0且 存1时，是椭圆的轨迹方程; 当 X 0时，是双曲线的轨迹方程； 当 A 0时，是直线的轨迹方程. 综上，方程不表示抛物线的方程. 【答案】 C 考向二定义法求轨迹方程 【例2】已知两个定圆01和02,它们的半径分别是1和2,且|0102匸4.动圆M 与圆01内切, 又与圆02外切，建立适当的坐标系，求动圆圆心 M 的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线. 【解】 如图所示，以0102的中点0为原点，0102所在直线为x 轴建立平面直角坐标系. 由 0102匸4,得 01( — 2,0), 02(2,0). 设动圆M 的半径为r ，则由动圆M 与圆01内切，有|M01|= r — 由动圆 M 与圆 02外切，有 |M02|= r + 2./.|M02—|M01|= 3. •••点M 的轨迹是以01, 02为焦点，实轴长为3的双曲线的左支. 3 2 2 ・£ = 2， c = 2,「・b =_c —a ~9 —'•••点M 的轨迹方程为 1X W-3 7 —1 2 . 2=7.1；64【对点练习2】如图8-8-1所示，已知圆A : (x + 2)2+ — 1与点B(2,0) 分别求出满足下列条件的动点 P 的轨迹方程. ("△ PAB 的周长为10; (2) 圆P 与圆A 外切，且过B 点(P 为动圆圆心);(3) 圆P 与圆A 外切，且与直线x = 1相切(P 为动圆圆心). y【解】 ⑴根据题意，知 |FA|+ |PB|+ |AB| = 10，即 |PA|+|PB 匸 6> 4= |AB|, 故P 点轨迹是椭圆，且 2a =6,2c = 4,即a = 3，c = 2，b = ,5. X 2 y 2因此其轨迹方程为9 + y = 1(尸0). (2)设圆 P 的半径为 r ，则 |FA|= r + 1，|PB|= r ，因此 |PA|-|PB|= 1. 图 8-8-1由双曲线的定义知, 1a = 2，c = 2,b =因此其轨迹方程为 ⑶依题意，知动点 开口向左，p = 4.因此其轨迹方程为yP 点的轨迹为双曲线的右支，且2a = 1,2c = 4,即 2 4 2 1 4x -神二 1 x > 2. P 到定点A 的距离等于到定直线x = 2的距离，故其轨迹为抛物线，且2=- 8x.4（2）求过点（3,0）且斜率为4的直线被C 所截线段的长度.【解】（1）设M 的坐标为（x , y ）, P 的坐标为（X P , y r ），由已知得'■'P 在圆上，••• x 2+ 4$ 2= 25,即 C 的方程为 25+16=1.44（2）过点（3,0）且斜率为5的直线方程为y = 5（x - 3），设直线与3—何 3 +回 • .x 1 2 , x 2 2y 2），将直线方程y =詼―3）代入C 的方程，得£+x - 3 2 25即 x 2— 3x — 8=0.X P = x ,5 y p =4y.C 的交点为 A(x i , y i ), B(X 2,•线段 AB 的长度为 |AB|=" ： x 1 — X 22+ y 1 — y 2 2=1+ 26 X 1— X 22 =2541 41 25X 41=寸【对点练习2】（2014合肥模拟）如图8-8-5所示，以原点O 为圆心的两个 同心圆的半径分别为3和1,过原点O 的射线交大圆于点P ,交小圆于 点Q , P 在y 轴上的射影为 M.动点N 满足PM = ?PN 且PM QN = 0.（1）求点N 的轨迹方程；⑵过点A （0,3）作斜率分别为k 1, k 2的直线|1, |2与点N 的轨迹分别 交于E , F 两点，k 1 k 2= — 9.求证：直线EF 过定点.【解】（1 ）由PM = ?PN 且PM （QN = 0可知N , P , M 三点共线且PMQN.过点Q 作QN 丄PM ，垂足为N ，设N(x , y), v|OP|= 3, |OQ|= 1,由相似可知P(3x , y).2 2••P 在圆 x 2 + y 2 = 9 上, (3x)2 + y 2 = 9,即£ + x 2= 1.所以点 N 的轨迹方程为 £+ x 2= 1.y = k 1x + 3,(2)证明：设 E(X E , y E ), F(X F , y F )，依题意，由y 29+ x= 1 (k 1 + 9)x 2 + 6k 1x = 0,①解得x = 0或x = —6k 1 k 2+ 9所以X E = —6k 1 k 1+ 9,6k 127— 3k 1yE=k1-k ?+9+ 3=2+9，6k 1 27 - 3k1 Ek 1+ 9， k 1 + 999vk1k 2=- 9,Ak 2=- ■.用 k 2=-话替代①中的 k 1,同理可得F6k 1k 1+ 9, 3k 2- 27k 2+ 9显然E , F 关于原点对称，•直线EF 必过原点O.一、选择题1.若M , N 为两个定点,【达标训练】且|MN|= 6,动点P满足PM PN = 0,则P点的轨迹是（A •圆B •椭圆C .双曲线D •抛物线1 12. 已知点F 4，0，直线I : x = — 4,点B 是I 上的动点•若过B 垂直于y 轴的直线与线段BF 的垂直平分线交于点M ，则点M 的轨迹是()A .双曲线B .椭圆C .圆D .抛物线3.(2014天津模拟)平面直角坐标系中，已知两点A(3,1), B( —1,3),若点C 满足OC = 2iOA +來金(0为原点)，其中21,位€ R ,且刀+龙=1,则点C 的轨迹是()A .直线B .椭圆C .圆D .双曲线4.(2014合肥模拟)如图8-8-4所示，A 是圆0内一定点，B 是圆周上 一个动点，AB 的中垂线CD 与OB 交于E ,则点E 的轨迹是()A .圆B .椭圆C .双曲线D .抛物线5. 设过点P(x , y)的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于 A , B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称, 且OQ AB = 1,则点P 的轨迹方程是(A.3x 2 +1(x >0, y >0)C . 3x 2 — 2v 2= 1(x >0, y >0)6•已知动点P 在曲线2x 2 — y = 0上移动，则点A(0, — 1)与点P 连线中点的轨迹方程是()7. 平面上有三个点 A( — 2, y), B 0, 2 , C(x , y),若AB 丄BC ,则动点C 的轨迹方程是8. 动圆与。
利用圆锥曲线的定义求轨迹方程教学设计文稿
利用圆锥曲线的定义求轨迹方程教学设计文稿一、教学内容分析本课选自《普通高中课程标准实验教科书（选修2-1）》(人教版A)，第二章（圆锥曲线方程复习课）圆锥曲线的定义反映了圆锥曲线的本质属性,它是无数次实践后的高度抽象.恰当地利用定义解题,许多时候能以简驭繁.因此,在学习了椭圆、双曲线、抛物线的定义及标准方程、几何性质后,我认为有必要再一次回到定义,熟悉“利用圆锥曲线定义解题”这一重要的解题策略.二、学生学习情况分析我所任教班级的学生实验班的学生，这届学生的特点是：参与课堂教学活动的积极性更强，思维敏捷，敢于在课堂上发表与众不同的见解，但计算能力较差，字母推理能力较弱，使用数学语言的表达能力也略显不足。
三、设计思想由于这部分知识较为抽象,难以理解.如果离开感性认识,容易使学生陷入困境,降低学习热情.在教学时, 针对学生练习中产生的问题,进行点评,强调“双主作用”的发挥.借助多媒体动画,引导学生主动发现问题、解决问题,主动参与教学,在轻松愉快的环境中发现、获取新知,提高教学效率.四、教学目标1.深刻理解并熟练掌握圆锥曲线的定义，能灵活应用定义解决问题；熟练掌握焦点坐标、顶点坐标、焦距、离心率、准线方程、渐近线、焦半径等概念和求法；能结合平面几何的基本知识求解圆锥曲线的方程。
2.通过对练习,强化对圆锥曲线定义的理解，培养思维的深刻性、创造性、科学性和批判性,提高空间想象力及分析、解决问题的能力；通过对问题的不断引申,精心设问,引导学生学习解题的一般方法及联想、类比、猜测、证明等合情推理方法.3．借助多媒体辅助教学,激发学习数学的兴趣.在民主、开放的课堂氛围中,培养学生敢想、敢说、勇于探索、发现、创新的精神.五、教学重点与难点:教学重点1.对圆锥曲线定义的理解2.“定义法”求轨迹方程教学难点:对圆锥曲线定义的理解六、教学过程设计以及师生互动由于这是一堂习题课, 又是实验班的理科生，学生有较好的数学基础，学习积极性较高，领悟能力较好，所以在教学中,我拟采用师生共同参与的谈话法：由教师提出问题，激发学生积极思考，引导他们运用已有的知识经验，利用合情推理来自行获取新知识。
圆锥曲线的标准方程推导
圆锥曲线的标准方程推导圆锥曲线是平面上各点与一个定点（称为焦点）和一个定直线（称为准线）的距离之比为定值的点的轨迹。
根据圆锥曲线的形状不同，可以分为椭圆、双曲线和抛物线三类。
本文将以直角坐标系下的圆锥曲线为例进行推导。
设圆锥的焦点为F(x₁, y₁)，准线为直线l，该直线与坐标轴交于原点O，与x轴正方向的交点为A，与y轴正方向的交点为B。
设坐标系上的任意一点P(x, y)，我们将推导出圆锥曲线的标准方程。
首先，假设P与焦点F的距离为r，与直线l的距离为d。
根据定义，我们可以得到以下两个关系式：1. 根据焦准定理，有：r/d = e （1）其中，e为圆锥曲线的离心率，满足0 < e < 1（对应椭圆），e = 1（对应抛物线），e > 1（对应双曲线）。
2. 根据直角三角形AOB，可得：r² = x² + y²（2）由式（1）和式（2）可得：(x² + y²) / d² = e²（3）接下来，我们将推导出不同类型圆锥曲线的标准方程。
一、椭圆：当0 < e < 1时，圆锥曲线为椭圆。
将式（2）带入式（3）中得：x² + y² = e²d²（4）由于直线l与x轴正方向相交于点A，所以直线l的方程为y = kx，其中k为直线l的斜率。
将y = kx代入式（4）中并整理得：x² + (kx)² = e²d²（5）化简式（5）得：1 + k² = e²（6）将方程（6）代入方程（5）得：x² + (kx)² = (1 + k²)d²（7）将方程（7）除以d²并整理得：(x²/d²) + (k²x²/d²) = 1 （8）令a² = 1/d²，b² = k²/d²，则方程（8）可以进一步简化为：(x²/a²) + (y²/b²) = 1 （9）方程（9）即为椭圆的标准方程。
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2a < F1F2
______ 抛物线:平面内与一定点 F和一条定直线的距离 相等 的点的轨迹 .
PF = d p→l
不在l上 （点F不在 上） 不在
讨论： 在平面内 ,讨论：
(1)已知 A( 2,3 )且 PA = 3, 则点 P的轨迹是什么？ 的轨迹是什么？
圆
( 2 )已知 ∆ ABC 的一边 BC 的长为 3, 周长为8, 则顶点 A的 轨迹是什么？ 轨迹是什么？
从一道例题引发的思考: 从一道例题引发的思考:
外切， 例2．求和圆 ．求和圆O:x2+y2=1外切，且和直线 外切 且和直线x=-1相切的动圆 相切的动圆 圆心C的轨迹方程。 圆心 的轨迹方程。 的轨迹方程 解： 动圆圆心C（ 设：动圆圆心 （x,y)，半径为 。 ，半径为r。 则有|OC|=r+1 而r=|x+1| 。y C O x
PO1 = 2 + R
y
PO2 = 10 − R
PO1 + PO2 = 12 > O1O2 = 6
P
O1
O2
所以，动圆心的轨迹是以 所以，动圆心的轨迹是以 为焦点， 的 x O1、O2为焦点，2a=12的 椭圆
四 定 范 围
三 定 方 程
二 定 位
一 定 型
: 椭圆 平面内与两定点 F1 , F2的 ________ 等于 _________ 距离和 常数2a
的点的轨迹 .
PF1 + PF2 = 2a (2a > F1F2 )
常数2a 等于 __________ 的点的轨迹 . __________的点的轨迹
2a > F1F2
__________________ 双曲线: 平面内与两定点 F1 , F2的 距离的差的绝对值
PF1 − PF2 = 2a (2a < F1F2 )
椭圆
除去长轴两端点
( 3)若A(1,0), B(5,0), 且 MA − MB = 4, 则点M的轨迹是 什么？ 什么？
双曲线的右支 抛物线
( 4 )过点( 2,0)且与 y轴相切的圆的圆心的轨 迹是什么？ 迹是什么？
(2002年 全 国 ） 年 例2：已 知 椭 圆 的 焦 点 是 F、 F， P是 椭 圆 上 的 、 2， 是 1 = 一 个 动 点 ， 如 果 延 长 FP到 Q， 使 得 | PQ | | PF2 | ， 到 ， 1 那 么 动 点 Q的 轨 迹 是 （ A ） 的 （ A） 圆 （ B） 椭 圆 （ C） 双 曲 线 的 一 支 （ D） 抛 物 线 ） ） ） ） Q y
又 M(－ 5，0)，N( 5，0)，|MN|＝2 5<6， － ， ， ， ， ＝ ， ∴点 Q 在以 M、N 为焦点的椭圆上 、 为焦点的椭圆上, 且 2c＝2 5,2a＝6， ＝ ＝ ， ∴a＝3，c＝ 5，b2＝ 4， ＝ ， ＝ ， ， x2 y2 ∴点 Q 的轨迹 C 的方程为 ＋ ＝ 1. 9 4
解 (1)连结 QN，由题意知： |PQ|＝|QN|，|QM|＋|QP|＝|MP|， ∴|QM|＋|QN|＝|MP|，
而|MP|为圆(x＋ 5)2＋y2＝36 的半径， ∴|MP|＝6，∴|QM|＋|QN|＝6，
小结
射线
椭圆 双曲线
一定型
抛物线
二定位 定义法求轨迹
圆
三定方程 四定范围
作业布置： 作业布置：
y
2
2
M
1 信息 : F1M = 2a
Q
P
F 信息2 : P为M 2的中点
x
F1
O
F2
x y 变题 2 :已知双曲线的方程为 2 − 2 = 1( a > 0, a b b > 0 ), F1 , F2 分别为左右焦点 , Q 是双曲线上任意 一点 , 从左焦点 F1 作 ∠ F1QF 2 平分线的垂线 , 垂足 为 P , 求点 P 的轨迹方程 .
P
1 信息 : PQ = PF2 2 信息 : PF + PF2 = 2a 1
F2 x
F1
O
x y 变题1 :已知椭圆的方程为 2 + 2 = 1( a > b > 0), a b F1 , F2分别为左右焦点 , Q是椭圆上任意一点 , 从 右焦点 F2作 ∠ F1QF2外角平分线的垂线 , 垂足为 P ,求点 P的轨迹方程 .
1. 例题2变式（1）、（2）、例题（3）、 同步P56 1、 3（做作业本上）
y
Q
2
2
信息 : F2 M = Байду номын сангаасa 1
2 F 信息 : P为M 1的中点
F1
O
F2
x
P
M
例 3．如图，已知 N( 5，0)，P 是圆 ．如图， ， ， M：(x＋ 5)2＋y2＝ 36(M 为圆心 ： ＋ 为圆心) 上一动点,线段 上一动点 线段 PN 的垂直平分线 l 交 PM 于 Q 点， (1)求点 Q 的轨迹 C 的方程； 的方程； 求点 (2)若直线 y＝x＋m 与曲线 C 相交于 A，B 两点，求 若直线 ＝ ＋ ， 两点， 面积的最大值． △ AOB 面积的最大值．
从而得|OC|=|x+1|+1 化简得：当x>-1时，y2=4(x+1) 当x<-1时，y=0 想没想过考虑直线l:x=-2 ? 想没想过考虑直线
易得：OC |= dC −l |
NO23圆锥曲线专题复习 圆锥曲线专题复习1 圆锥曲线专题复习
“定义法”求轨迹方程
例1.一动圆与圆 O1 : ( x + 3) 2 + y 2 = 4外 切,同时与圆 O2 : ( x − 3) 2 + y 2 = 100 求动圆圆心的轨迹。 内切,求动圆圆心的轨迹。