圆锥曲线的定义及其应用(精)
圆锥曲线定义的应用精选教学PPT课件
左支上的一点，P 到左准线的距离为d.
是否存在P 点使d 、|P F1 |、 |P F2|成等比数
列若存在，求双曲线的离心率e 的取值范围，
并求出P点坐标；若不存在，说明理由.
例7、 如图, 已知梯形ABCD中,|AB|=2|CD| 点E分有向线段AC所成的比为λ,双曲线过 C,D,E三点,且以A,B为焦点. 当时,求双曲线 离心率e 的范围.
点M、N ,F 为焦点且︱MF︱, 4 , ︱NF︱
成等差数列又线段MN 的中垂线恒通过定 点Q(6,0) . (1)求抛物线的方程; (2)在抛物线上求一点P ,使得以F , A(3,4)为
焦(3)点求且经M过Q点NP的的面椭积圆的的最长大轴值最. 短.
例5、在双曲线 x2 y2 1 的一支上有不同 13 12
2
（1）PA PF2 取得最小值;
（2）PA 2 PF1 取得最小值.
P
y AP
F1 o F2
x
5、 已知双曲线 x 2 y 2 1 F1，F2
4
为左、右焦点，点A(3,-1)，在双曲线上 求一点P，使
（1） PA PF2 取得最小值;
（2）5 PA 2 5 PF2 取得最小值.
y P
F1
o
P
F2
x
A P
6、若点A 的坐标为（3，2），F 为抛
物线 y2 2x 的焦点，点M 在抛物线上移
动时，求|MA|+|MF |的最小值，并求这时
M 的坐标.
y
l
dM
A
N
1 2
o
F
x
7、已知双曲线
x2 y2 a2 b2 1,
过左焦点F1 作一弦与左支相交于A,B
圆锥曲线所有知识点和二级结论
圆锥曲线是解析几何学中的重要内容，它包括椭圆、双曲线和抛物线三种基本形式。
它们在数学、物理、工程等领域均有重要应用，具有广泛的研究价值。
下面将从几何、代数、物理等多个角度对圆锥曲线进行系统介绍和分析。
一、圆锥曲线的概念圆锥曲线的定义：在平面上依旧定点F到平面上所有定点P的距离的比值（|PF|/|PM|）为常数e（e>1）的动点M所得的轨迹即为双曲线。
在平面上的直线l与定点F的距离与到定点P的距离的比值始终为常数e（0<e<1）时，动点P所得的轨迹即为椭圆。
在平面上的直线上的所有点P到定点F的距离与到直线l的距离的差始终为常数e时，点P的轨迹即为抛物线。
二、椭圆的知识点1. 定义及表示：椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的所有点P的集合。
2. 几何性质：椭圆有等轴对称性、焦点F1和F2为椭圆的两个焦点、平行于长轴或短轴的弦都过椭圆的焦点、焦距等于长轴长度、离心率等于c/a（c为焦距，a为长轴半径）等。
3. 参数方程：椭圆的参数方程为x = a*cos(t), y = b*sin(t)，其中t为参数。
4. 离心率：离心率e的定义，离心率与长短轴的关系。
三、双曲线的知识点1. 定义及表示：双曲线是平面上到两个定点F1和F2的距离之差等于常数2a的点P的集合。
2. 几何性质：双曲线有两条渐近线、两个焦点F1和F2、两个顶点、离心率等于c/a（c为焦距，a为顶点到中心的距离）等。
3. 参数方程：双曲线的参数方程为x = a * cosh(t), y = b * sinh(t)，其中t为参数。
4. 离心率：离心率e的定义，离心率与距离关系。
四、抛物线的知识点1. 定义及表示：抛物线是平面上到定点F和直线l的距离相等的点P 的集合。
2. 几何性质：抛物线有顶点、准直线、对称轴、离心率等。
3. 参数方程：抛物线的参数方程为x = a * t^2, y = 2*a*t，其中t为参数。
圆锥曲线的光学性质及其应用
圆锥曲线的光学性质及其应用圆锥曲线是平面几何中的重要概念，它具有许多独特的光学性质和应用。
在本文中，我们将探讨圆锥曲线的光学性质以及其在现实生活中的应用。
一、圆锥曲线的基本概念圆锥曲线是由平面上的一根直线和一个点所决定的曲线。
根据直线和点的位置关系，圆锥曲线可以分为椭圆、双曲线和抛物线三种类型。
椭圆是一种闭合曲线，它的定义是到两个定点的距离之和等于常数的点的集合。
双曲线是一种开放曲线，它的定义是到两个定点的距离之差等于常数的点的集合。
而抛物线是一种开放曲线，它的定义是到一个定点的距离等于到一条直线的距离的点的集合。
二、圆锥曲线的光学性质1.焦点和直径椭圆和双曲线都有焦点和直径的概念。
焦点是曲线上所有点到定点的距离之和等于常数的点的集合，而直径则是通过焦点的直线段。
焦点和直径是圆锥曲线的重要特征，它们在光学系统中有着重要的作用。
2.反射性质圆锥曲线具有良好的反射性质，它们可以将光线聚焦或者发散。
椭圆和双曲线可以将平行光线聚焦到焦点上，这种性质被应用在椭圆和双曲线反射镜中。
而抛物线则具有将入射光线聚焦到焦点上的性质，这种性质在抛物面反射镜中有着广泛的应用。
3.折射性质圆锥曲线也具有良好的折射性质，它们可以将光线聚焦或者发散。
这种性质被应用在折射镜和透镜中，可以用来调节光线的聚焦和散射。
4.散焦性质圆锥曲线还具有散焦性质，这种性质在光学系统中有着重要的应用。
椭圆和双曲线反射镜可以将平行光线聚焦到焦点上，这种性质被应用在望远镜和激光器中。
而抛物线反射镜可以将平行光线聚焦到焦点上，并使其散开成平行光线，这种性质被应用在卫星天线和抛物面反射镜中。
三、圆锥曲线在现实生活中的应用1.光学系统圆锥曲线在许多光学系统中有着重要的应用，例如望远镜、显微镜、相机镜头等。
这些光学系统都利用了圆锥曲线的焦距和聚焦性质，来实现光线的聚焦和成像。
2.通讯设备圆锥曲线也被广泛应用在通讯设备中，例如卫星天线和天线反射器。
这些设备利用了抛物线反射镜的散焦性质，来实现对信号的接收和发送。
高考数学中的圆锥曲线知识
高考数学中的圆锥曲线知识高考数学中的圆锥曲线是一道重要的考题，也是很多学生容易失分的一道难题。
圆锥曲线是指平面上坐标系中的一种特殊的曲线，也是数学的重要分支之一。
本文将介绍圆锥曲线的基本概念，分类和应用，希望能对广大考生有所帮助。
一、圆锥曲线的基本概念1.圆锥圆锥是一个由一个圆绕着它的直径周而复始地旋转而成的立体物体，其中：该直径是铅锤线，圆锥的底面是这个圆，圆锥的顶点是铅锤线的另一端。
2.圆锥曲线的概念在平面直角坐标系中，将一个固定的点F（称为焦点）与一个固定的直线L（称为直角准线）连接。
在平面上，连结点P到直线L的距离为PF和P到点F的距离的比等于定值e（e>0）。
这样得到的曲线称为圆锥曲线。
圆锥曲线分为三种情况：椭圆、双曲线和抛物线。
二、圆锥曲线的分类1.椭圆椭圆是平面上与两个焦点F1，F2的距离之和等于定值2a（a>0）的点P的轨迹。
椭圆是圆锥曲线中最简单的一种形式。
椭圆可以通过平移、伸缩、旋转对平面上的圆形进行简单的变换。
2. 双曲线双曲线是平面上与两个焦点F1，F2的距离之差等于定值2a （a>0）的点P的轨迹。
双曲线有两条渐进线，即切射线和渐进线。
3. 抛物线抛物线是平面上焦点F到直线L的距离等于点P到焦点F的距离的平方与定值a（a>0）成正比例的点P的轨迹。
抛物线的形状像一个平翻的碗，有上凸抛物和下凸抛物两种。
三、圆锥曲线的应用1. 物理学圆锥曲线在物理学中得到广泛的应用。
例如，在宇宙空间中，行星的轨迹可以用椭圆来描述。
在天体力学中，利用双曲线描绘有关天体的相对运动情况。
抛物线则可用于描述抛体的轨迹。
2. 工程学圆锥曲线在工程学中也有重要的应用，特别是在光学的设计中。
例如，望远镜的光学系统用到的镜面都是椭圆形的；飞机的机翼、车轮和机器的轮子都是利用圆锥的形状进行设计的。
3. 数学研究圆锥曲线在数学研究中的应用也是相当广泛的，例如，利用双曲线求解微积分中的积分问题；还可以用抛物线中的特殊几何性质证明三次方程有一个实根。
圆锥曲线定义的应用共18页文档
两点，若|AB|=m ,求ΔF2 AB 的周长 .
y
A
F1 o
F2 x
B
三、规律总结
1、在求轨迹方程时先利用定义判断曲线 形状可避免繁琐的计算. 2、涉及椭圆双曲线上的点与两个焦点构 成的三角形问题，常用第一定义结合正、 余弦定理来解决. 3、涉及焦点、准线、离心率、圆锥曲线上 的点中的三者，常用统一定义解决问题.
DG
C
EF
A
NH
B M
例8、已知椭圆方程为
x424yt22 1,t0,F1,F2为椭圆的两个
焦点，M为椭圆上任一点，且M不与长轴
两端点重合，设 M 1 F 2 F , M 2 F 1 yF ,
若
13tg2
tg2
1, 2
M
F1
F2
o
x
求椭圆离心率的取值范围.
； zcaijing/kxianmrxt/ k线图的102个买入形态 hmq601dfk
三点 A x 1 , y 1 , B 2 , 6 , C 6 x 2 , y 2 与焦点
F(0,5)的距离成等差数列. (1) 求y1+y2的值. (2) 求证:线段AC的中垂线恒过一定点， 并求该点的坐标.
3、利用定义求解参数问题
例6、已知双曲线
x2 a2
y2 b2
1a0,b0
点M、N ,F 为焦点且︱MF︱, 4 , ︱NF︱
成等差数列又线段MN 的中垂线恒通过定 点Q(6,0) . (1)求抛物线的方程; (2)在抛物线上求一点P ,使得以F , A(3,4)为
焦(3)点求且经M过Q点NP的的面椭积圆的的最长大轴值最. 短.
例5、在双曲线 x2 y2 1 的一支上有不同 13 12
圆锥曲线知识点总结
圆锥曲线知识点总结圆锥曲线，是由平面上一个动点到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹。
圆锥曲线是解析几何的重要内容，广泛应用于数学、物理、工程等领域。
本文将对圆锥曲线的相关知识进行总结，帮助读者更好地理解和掌握这一概念。
一、基本概念1. 定义：圆锥曲线是平面上一个动点到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹。
2. 定点：圆锥曲线的两个定点分别称为焦点。
3. 对称轴：通过两个焦点并垂直于准线的直线称为对称轴。
4. 准线：通过两个焦点的直线段称为准线。
二、椭圆1. 定义：椭圆是圆锥曲线的一种，其离心率小于1，且焦点不重合的曲线。
2. 方程：椭圆的标准方程为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，其中a和b分别是椭圆的半长轴和半短轴。
3. 性质：椭圆具有对称性、渐近线和切线性质等。
4. 应用：椭圆在天文学、建筑学和电子等领域应用广泛。
三、双曲线1. 定义：双曲线是圆锥曲线的一种，其离心率大于1的曲线。
2. 方程：双曲线的标准方程为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1，其中a和b分别是双曲线的半长轴和半短轴。
3. 性质：双曲线具有渐近线和切线性质，且有两个分支。
4. 应用：双曲线在物理学、天文学和通信等领域有重要应用。
四、抛物线1. 定义：抛物线是圆锥曲线的一种，其离心率等于1的曲线。
2. 方程：抛物线的标准方程为y^2 = 4ax，其中a是抛物线的焦点到准线的距离。
3. 性质：抛物线具有对称性、渐近线和切线性质等。
4. 应用：抛物线在物理学、工程学和天文学等领域有广泛应用。
五、圆1. 定义：圆是圆锥曲线的一种，其离心率等于0的曲线。
2. 方程：圆的标准方程为(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2，其中(h, k)是圆心的坐标，r是半径长度。
3. 性质：圆具有对称性、切线性质和切圆定理等。
4. 应用：圆在几何学、物理学和工程学等领域有广泛应用。
总结：圆锥曲线是解析几何的重要内容，包括椭圆、双曲线、抛物线和圆。
圆锥曲线知识点全归纳(完整精华版)
圆锥曲线知识点全归纳（精华版）圆锥曲线包括椭圆，双曲线，抛物线。
其统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比e 是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。
当0<e<1时为椭圆：当e=1时为抛物线；当e>1时为双曲线。
一、圆锥曲线的方程和性质：1）椭圆文字语言定义：平面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离之比是一个小于1的正常数e。
定点是椭圆的焦点，定直线是椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率。
标准方程：1.中心在原点，焦点在x轴上的椭圆标准方程：(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1其中a>b>0，c>0，c^2=a^2-b^2.2.中心在原点，焦点在y轴上的椭圆标准方程：(x^2/b^2)+(y^2/a^2)=1其中a>b>0，c>0，c^2=a^2-b^2.参数方程：X=acosθY=bsinθ(θ为参数，设横坐标为acosθ，是由于圆锥曲线的考虑，椭圆伸缩变换后可为圆此时c=0，圆的acosθ=r)2）双曲线文字语言定义：平面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离之比是一个大于1的常数e。
定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线,常数e是双曲线的离心率。
标准方程：1.中心在原点,焦点在x轴上的双曲线标准方程：(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1其中a>0,b>0,c^2=a^2+b^2.2.中心在原点,焦点在y轴上的双曲线标准方程：(y^2/a^2)-(x^2/b^2)=1.其中a>0,b>0,c^2=a^2+b^2.参数方程：x=asecθy=btanθ(θ为参数 )3）抛物线标准方程：1.顶点在原点,焦点在x轴上开口向右的抛物线标准方程：y^2=2px 其中 p>02.顶点在原点,焦点在x轴上开口向左的抛物线标准方程：y^2=-2px 其中 p>03.顶点在原点,焦点在y轴上开口向上的抛物线标准方程：x^2=2py 其中 p>04.顶点在原点,焦点在y轴上开口向下的抛物线标准方程：x^2=-2py 其中 p>0参数方程x=2pt^2 y=2pt (t为参数) t=1/tanθ(tanθ为曲线上点与坐标原点确定直线的斜率）特别地，t 可等于0直角坐标y=ax^2+bx+c (开口方向为y轴, a<>0 ） x=ay^2+by+c （开口方向为x轴, a<>0 )圆锥曲线（二次非圆曲线）的统一极坐标方程为ρ=ep/(1-e×cosθ)其中e表示离心率，p为焦点到准线的距离。
高考数学圆锥曲线的定义及应用
圆锥曲线的定义及应用一、圆锥曲线的定义1. 椭圆：到两个定点的距离之和等于定长（定长大于两个定点间的距离）的动点的轨迹叫做椭圆。
即：{P| |PF1|+|PF2|=2a, (2a>|F1F2|)}。
2. 双曲线：到两个定点的距离的差的绝对值为定值（定值小于两个定点的距离）的动点轨迹叫做双曲线。
即{P|||PF1|-|PF2||=2a, (2a<|F1F2|)}。
3. 圆锥曲线的统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。
当0<e<1时为椭圆：当e=1时为抛物线；当e>1时为双曲线。
二、圆锥曲线的方程。
1.椭圆：+=1（a>b>0）或+=1（a>b>0）（其中，a2=b2+c2）2.双曲线：-=1（a>0, b>0）或-=1（a>0, b>0）（其中，c2=a2+b2）3.抛物线：y2=±2px（p>0），x2=±2py（p>0）三、圆锥曲线的性质1.椭圆：+=1（a>b>0）（1）X围：|x|≤a，|y|≤b（2）顶点：(±a,0)，(0,±b)（3）焦点：(±c,0)（4）离心率：e=∈(0,1)（5）准线：x=±2.双曲线：-=1（a>0, b>0）（1）X围：|x|≥a, y∈R（2）顶点：(±a,0)（3）焦点：(±c,0)（4）离心率：e=∈(1,+∞)（5）准线：x=±（6）渐近线：y=±x3.抛物线：y2=2px(p>0)（1）X围：x≥0, y∈R（2）顶点：（0,0）（3）焦点：（,0）（4）离心率：e=1（5）准线：x=-四、例题选讲：例1.椭圆短轴长为2，长轴是短轴的2倍，则椭圆中心到准线的距离是__________。
解：由题：2b=2，b=1，a=2，c==，则椭圆中心到准线的距离：==。
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圆锥曲线的定义及其应用
教学目标：
1.进一步明确圆锥曲线定义，并用定义解决有关问题；
2.通过发散思维和创新思维的训练，培养学生的探究能力；
3.培养学生用运动变化的观点分析和解决问题。
教学重点、难点：圆锥曲线定义的灵活应用。
教学方法：教师引导启发与学生自主探索相结合。
教学过程： 一.引入： 问题1：到定点12(2,0),(2,0)
F F -的距离之和为8的点P 的轨迹是什么？
121284
PF PF F F +=>=
∴P 的轨迹是以12(2,0),(2,0)F F -为焦点的椭圆，方程是22
11614x y +=
问：（1）若到两定点距离之和为改为4，则点P 的轨迹是什么？ （ 以
12
,F F 为端点的线段）
（2）若改为到两定点距离之差为2，则P 点的轨迹是什么？ （以
12
,F F 为焦点的双曲线的一支）
（3）若改为到两定点距离之差为4，则P 点的轨迹是什么？ （以
12
,F F 为端点的射线）
（通过提问，让学生对圆锥曲线的第一定义进行回顾，并且进一步明确定义中所含的限制条件）
由学生总结椭圆和双曲线的定义（打出幻灯片）
问题2：已知定点F （1，2），定直线:210l x y +-=，设一动点P 到直线l 的距离为d ，若有PF d
=，则P 点
的轨迹是什么？
（
F l ∉，∴P 点的轨迹是以F （1，2）为焦点，以直线:210l x y +-=的抛物线。
）
问：（1）若点F 改为（3，－1），则点P 的轨迹是什么？
（2）当PF
d 为何值时，所求轨迹是椭圆？ （3）当PF
d 为何值时，所求轨迹是双曲线？
(通过提问，让学生对圆锥曲线的统一定义进行回顾和巩固，注意圆锥曲线第二定义的联系和区别) 由学生总结圆锥曲线的统一定义，打出幻灯片。
二.圆锥曲线定义的应用
（一）利用圆锥曲线定义求轨迹
例1.设动圆M 过定点A （－3，0），并且在定圆B ：22
(3)64x y -+=的内部与其内切，试求动圆圆心M 的轨迹方程。
（轨迹为椭圆：22
1
167x y +=）
探究1：对已知作怎样的改动，所求圆心的轨迹将和双曲线有关？ 由学生探究，可能会有多种方法。
方法一：将A 点改为（－8，0），则有811
MB MA AB -=<=,所以P 点的轨迹是以A,B 为焦点的双曲线左支。
方法二：将圆的半径改为2，则有
26
MB MA AB -=<=
探究2：再作怎样的改动，所求圆心的轨迹是双曲线，而不是只是一支呢？ （建议学生课后自己研究）
（通过学生的探究可以进一步熟练利用圆锥曲线在求轨迹中的应用，并且培养学生的探究与联想能力）
（引导学生小结：例1是圆锥曲线的第一定义的应用在求轨迹方程时先利用定义判断曲线形状可避免繁琐的计算，但需注意范围）.
（二）利用圆锥曲线定义求最值
例2.已知椭圆22
143x y +=，定点A （1，1），12,F F 是其左右焦点，P 是椭圆上一点。
求：（1）1PF PA
+的最大值及最小值； （2）
2
2PA PF +的最小值。
分析：（1）
1PF PA
+＝4－
2
PF ＋
PA
＝4＋
2()
PA PF -
24AF ≤+＝5 1PF PA
+＝4－
2
PF ＋
PA
＝4－2()
PF PA -
3≥
（2）设P 点到右准线的距离为d ，21
2PF e d ==22d PF
⇒=， 22PA PF PA d ∴+=+2
A
a x c ≥-=3
问：（1）若将椭圆改为双曲线：22
143x y -=，则上题第二问中应改为求_______的最大值？
（
227
7PA +
）
（2）若将椭圆改为抛物线呢？（
2
PA PF +）
y
O
•••1
F 2
F A
P
例3.线段
3
AB =,其两端点在抛物线
2y x =上，求AB 中点M 到y 轴的最短距离。
分析：设
1122(,),(,),(,)A x y B x y M x y 1212
,22x x y y x y ++=
=
则M 到y 轴的距离为x ，
11124p AF x x =+
=+，221
24p BF x x =+=+
121
2AF BF x x +=++
，AF BF AB +≥，
可得到：
12132x x ++
≥12524x x +∴≥54x ∴≥，所以当AB 过焦点F 时中点M 到y 轴的距离最短为54。
小结：在求最值时注意圆锥曲线定义的化归。
一般来说，涉及到圆锥曲线的焦点、离心率、准线及焦半径等问题
时，应优先考虑用定义解题。
课堂小结：
1.正确理解圆锥曲线的定义，注意定义中的限制条件；
2.在求轨迹时先利用圆锥曲线定义判断曲线形状可避免繁琐的计算；
3.利用圆锥曲线的定义求最值问题时，注意圆锥曲线定义的化归；
4.涉及焦点，准线，离心率上的点的问题，常用统一定义解决。
作业：
研究圆锥曲线定义在解决有关焦半径，焦点弦等问题中的应用。
设椭圆22
221(0)x y a b a b +=>>，12,F F 是其左，右焦点，00(,)P x y 是椭圆上任一点，设其离心率为e 。
（1）过
1
F 的直线与椭圆交于A,B 两点，求A,B 与
2
F 构成的
2
ABF ∆的周长；
（2）写出12
,PF PF 的表达式；
（3）求1PF ,
12
PF PF ⋅的最大值，最小值及对应的点P 的位置；
（4）
111222333(,),(,),(,)P x y P x y P x y 是椭圆上三点，且
123
,,x x x 成等差，判断
112131
,,PF P F P F 的关系；（成等差）
（5）若12F PF θ
∠=，求
12
PF F ∆的面积；（
2tan
2S b θ
=）
（6）当
2,3a b ==时，定点A （1，1）
，求1PF PA +的最大值和最小值及22PA PF +的最小值。
（7）判断以
1
PF 为直径的圆与椭圆长轴为直径的圆的位置关系。
探究：若把椭圆改为双曲线，抛物线，那么得到哪些相关结论呢？
⋅
x
A
B
y
O F
M。