圆锥曲线的定义及其应用(精)

圆锥曲线的定义及其应用

教学目标：

1.进一步明确圆锥曲线定义，并用定义解决有关问题；

2.通过发散思维和创新思维的训练，培养学生的探究能力；

3.培养学生用运动变化的观点分析和解决问题。 教学重点、难点：圆锥曲线定义的灵活应用。 教学方法：教师引导启发与学生自主探索相结合。 教学过程： 一.引入： 问题1：到定点12(2,0),(2,0)

F F -的距离之和为8的点P 的轨迹是什么？

121284

PF PF F F +=>=

∴P 的轨迹是以12(2,0),(2,0)F F -为焦点的椭圆，方程是22

11614x y +=

问：（1）若到两定点距离之和为改为4，则点P 的轨迹是什么？ （ 以

12

,F F 为端点的线段）

（2）若改为到两定点距离之差为2，则P 点的轨迹是什么？ （以

12

,F F 为焦点的双曲线的一支）

（3）若改为到两定点距离之差为4，则P 点的轨迹是什么？ （以

12

,F F 为端点的射线）

（通过提问，让学生对圆锥曲线的第一定义进行回顾，并且进一步明确定义中所含的限制条件）

由学生总结椭圆和双曲线的定义（打出幻灯片）

问题2：已知定点F （1，2），定直线:210l x y +-=，设一动点P 到直线l 的距离为d ，若有PF d

=，则P 点

的轨迹是什么？

（

F l ∉，∴P 点的轨迹是以F （1，2）为焦点，以直线:210l x y +-=的抛物线。）

问：（1）若点F 改为（3，－1），则点P 的轨迹是什么？

（2）当PF

d 为何值时，所求轨迹是椭圆？ （3）当PF

d 为何值时，所求轨迹是双曲线？

(通过提问，让学生对圆锥曲线的统一定义进行回顾和巩固，注意圆锥曲线第二定义的联系和区别) 由学生总结圆锥曲线的统一定义，打出幻灯片。 二.圆锥曲线定义的应用

（一）利用圆锥曲线定义求轨迹

例1.设动圆M 过定点A （－3，0），并且在定圆B ：22

(3)64x y -+=的内部与其内切，试求动圆圆心M 的轨迹方程。

（轨迹为椭圆：22

1

167x y +=）

探究1：对已知作怎样的改动，所求圆心的轨迹将和双曲线有关？ 由学生探究，可能会有多种方法。 方法一：将A 点改为（－8，0），则有811

MB MA AB -=<=,所以P 点的轨迹是以A,B 为焦点的双曲线左支。

方法二：将圆的半径改为2，则有

26

MB MA AB -=<=

探究2：再作怎样的改动，所求圆心的轨迹是双曲线，而不是只是一支呢？ （建议学生课后自己研究）

（通过学生的探究可以进一步熟练利用圆锥曲线在求轨迹中的应用，并且培养学生的探究与联想能力）

（引导学生小结：例1是圆锥曲线的第一定义的应用在求轨迹方程时先利用定义判断曲线形状可避免繁琐的计算，但需注意范围）.

（二）利用圆锥曲线定义求最值

例2.已知椭圆22

143x y +=，定点A （1，1），12,F F 是其左右焦点，P 是椭圆上一点。

求：（1）1PF PA

+的最大值及最小值； （2）

2

2PA PF +的最小值。

分析：（1）

1PF PA

+＝4－

2

PF ＋

PA

＝4＋

2()

PA PF -

24AF ≤+＝5 1PF PA

+＝4－

2

PF ＋

PA

＝4－2()

PF PA -

3≥

（2）设P 点到右准线的距离为d ，21

2PF e d ==22d PF

⇒=， 22PA PF PA d ∴+=+2

A

a x c ≥-=3

问：（1）若将椭圆改为双曲线：22

143x y -=，则上题第二问中应改为求_______的最大值？

（

227

7PA +

）

（2）若将椭圆改为抛物线呢？（

2

PA PF +）

y

O

•••1

F 2

F A

P

例3.线段

3

AB =,其两端点在抛物线

2y x =上，求AB 中点M 到y 轴的最短距离。 分析：设

1122(,),(,),(,)A x y B x y M x y 1212

,22x x y y x y ++=

=

则M 到y 轴的距离为x ，

11124p AF x x =+

=+，221

24p BF x x =+=+

121

2AF BF x x +=++

，AF BF AB +≥，

可得到：

12132x x ++

≥12524x x +∴≥54x ∴≥，所以当AB 过焦点F 时中点M 到y 轴的距离最短为54。

小结：在求最值时注意圆锥曲线定义的化归。一般来说，涉及到圆锥曲线的焦点、离心率、准线及焦半径等问题

时，应优先考虑用定义解题。

课堂小结：

1.正确理解圆锥曲线的定义，注意定义中的限制条件；

2.在求轨迹时先利用圆锥曲线定义判断曲线形状可避免繁琐的计算；

3.利用圆锥曲线的定义求最值问题时，注意圆锥曲线定义的化归；

4.涉及焦点，准线，离心率上的点的问题，常用统一定义解决。 作业：

研究圆锥曲线定义在解决有关焦半径，焦点弦等问题中的应用。

设椭圆22

221(0)x y a b a b +=>>，12,F F 是其左，右焦点，00(,)P x y 是椭圆上任一点，设其离心率为e 。

（1）过

1

F 的直线与椭圆交于A,B 两点，求A,B 与

2

F 构成的

2

ABF ∆的周长；

（2）写出12

,PF PF 的表达式；

（3）求1PF ,

12

PF PF ⋅的最大值，最小值及对应的点P 的位置；

（4）

111222333(,),(,),(,)P x y P x y P x y 是椭圆上三点，且

123

,,x x x 成等差，判断

112131

,,PF P F P F 的关系；（成等差）

（5）若12F PF θ

∠=，求

12

PF F ∆的面积；（

2tan

2S b θ

=）

（6）当

2,3a b ==时，定点A （1，1）

，求1PF PA +的最大值和最小值及22PA PF +的最小值。

（7）判断以

1

PF 为直径的圆与椭圆长轴为直径的圆的位置关系。

探究：若把椭圆改为双曲线，抛物线，那么得到哪些相关结论呢？

⋅

x

A

B

y

O F

M