华工数学实验报告-线性相关性
向量组的线性相关性
a11x1 a12 x2 a21x1 a22 x2 am1x1 am2 x2
a1n xn 0 ， a2n xn 0 ，
amn xn 0
（2-3）
只有零解。考虑以向量组B：1 ，2 ， ，n 为系数列向量的齐次线
性方程组
a11x1 a12 x2 a1n xn 0 ，
经济数学
向量组的线性相关性
1
线性相关性及其判别法
2
3
向量组的等价
线性相关的几个重要定理
1.1 线性相关性及其判别法
定义1
对于向量组 1 ，2 ， ，n ，若存在不全为零的数 1 ，2 ， ，n ， 使得。
11 22 nn 0
（2-1）
成立，则称向量组1 ，2 ， ，n 线性相关。否则，即当且仅当 1 2 n 0 时式（2-1）成立，则称向量组1 ，2 ， ，n 线性无关。
的数 k1 ，k2 ， ，ks ，使得 k11 k22
kss 0
成立。那么，存在一组不全为零的数 k1 ，k2 ， ，ks ，0 ， ，0 ， 使得
k11 k22 kss 0 s1 0 n 0
所以向量组 1 ，2 ， ，s ，s1 ， ，n 线性相关。
推论 线性无关的向量组中的任一部分组必线性无关。
解得 1 2 0 ，故向量组 1 ，2 线性无关。
对向量组 1 ，2 ，3 ，设 11 22 33 0 ，即
1 1 1 0
1
0
2
2
3
2
0
1 2 4 0
可得
1 2 3 0， 22 23 0， 1 22 43 0，
解得
12
2c ， c ，
线性相关性：如何判断向量组是否线性相关及其应用
线性相关性：如何判断向量组是否线性相关及其应用线性相关性：如何判断向量组是否线性相关及其应用2023年，随着科技的不断发展，线性代数在各行各业中的应用不断扩展，尤其是在数据科学、机器学习和人工智能领域中。
而线性相关性作为线性代数中的一个重要概念，在这些领域中也得到了广泛应用。
本文将重点讨论线性相关性的概念、判断方法和应用，以帮助读者更好地理解和使用线性相关性。
一、概念线性相关性是指向量组中存在线性关系，即其中至少存在一个向量可以表示为其它向量的线性组合的形式，或者说存在一个向量可以由其它向量线性表示。
具体地，对于向量组$V={\mathbf{v_1},\mathbf{v_2},\cdots,\mathbf{v_n}}$，若存在一个非零向量$\mathbf{v}$，满足$\mathbf{v}=\sum\limits_{i=1}^n c_i\mathbf{v_i}$，其中$c_i$为任意实数，则称向量组$V$是线性相关的，否则称其线性无关。
二、判断方法下面介绍两种判断向量组线性相关的方法，分别为行列式法和向量空间法。
1.行列式法行列式法是最常用的判断向量组线性相关的方法，其基本思想是求出向量组的行列式，如果其值为0，则向量组线性相关，否则其线性无关。
具体地，对于向量组$V={\mathbf{v_1},\mathbf{v_2},\cdots,\mathbf{v_n}}$，可以将其写成矩阵形式，即：$$ A=\begin{bmatrix} v_{11}&v_{12}&\cdots&v_{1n}\\v_{21}&v_{22}&\cdots&v_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ v_{n1}&v_{n2}&\cdots&v_{nn} \end{bmatrix} $$然后求出其行列式$|A|$，若$|A|=0$，则向量组$V$是线性相关的，否则其线性无关。
4-2 向量的线性相关性
主要内容
线性相关与线性无关的定义 向量组线性相关的充要条件 向量组的线性相关性的判定定理
1
一 、线性相关与线性无关的定义
1. 定义 给定向量组 A: a1, a2, ... ,am , ,a
如果存在不全为零的实数 如果存在不全为零的实数 k1, k2, ..., km , 使
因为 λ1, ... , λm − 1, −1 这 m 个数不全为 0 (至少 −1 ≠ 0)，所以向量组线性相关 证毕 至少 ，所以向量组线性相关.
6
向量组的线性相关与线性无关的概念也 可移用于线性方程组. 可移用于线性方程组 当方程组中有某个方程是其余方程的线性组合时, 当方程组中有某个方程是其余方程的线性组合时 这个方程就是多余的, 方程组(各个方程)是线性相关的; 这个方程就是多余的 称方程组(各个方程)是线性相关的 当方程组中没有多余的方程, 当方程组中没有多余的方程 称该方程组 (各个方程)线性无关(或线性独立). 各个方程)线性无关(或线性独立)
12
证法二 利用方程组有解的条件
把已知的三个向量等式写成一个矩阵等式
1 0 1 (b1 , b2 , b3 ) = (a1 , a 2 , a 3 ) 1 1 0 , 记作 B = AK . 0 1 1 设 Bx = 0，以 B = AK 代入得 A(Kx) = 0 . ，
8
1 0 0 0 1 0 例 4 n 维向量组 e1 = , e2 = , L, en = M M M 0 0 1
称为n维单位坐标向量组,试讨论它的线性相关性 试讨论它的线性相关性. 称为n维单位坐标向量组 试讨论它的线性相关性
3.3 向量组的线性相关性
~ ~ (a1, a2, a3) 111
0 2 5
742
r
100
0 2 5
522
r
100
0 2 0
022
可见r(a1 a2 a3)2< 3 r(a1 a2)2 故向量组a1 a2 a3线性相关 向量组a1 a2线性无关.
n个 n维向量a1 a2 an线性相关｜a1 a2 an｜＝０； n个 n维向量a1 a2 an线性无关｜a1 a2 an｜≠０.
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二 、线性相关性的判定
定理3.1 向量组A a1 a2 am(m2)线性相关 向量组A中至少有一个向量能由其余m1个向量线性表示.
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向量组a1 a2 am线性无关r(a1 a2 am)m. n维单位坐标向量组e1 e2 en是线性无关的.
例3.2 已知
a1(1 1 1)T a2(0 2 5)T a3(2 4 7)T 试讨论向量组a1 a2 a3及向量组a1 a2的线性相关性.
不妨设k10 于是 a1(1/k1)(k2a2 kmam)
即a1能由a2 am线性表示.
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二 、线性相关性的判定
定理3.1 向量组A a1 a2 am(m2)线性相关 向量组A中至少有一个向量能由其余m1个向量线性表示.
证 充分性
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例3.3 已知向量组a1 a2 a3线性无关 b1a1a2 b2a2a3
b3a3a1 试讨论向量组b1 b2 b3线性相关性.
证
由于此方程组的系数行
设有x1 x2 x3使 x1b1x2b2x3b30
向量组的线性相关性
向量组的线性相关性
令向量组的线性组合为零（零向量），研究系数的取值情况，线性组合为零当且仅当系数皆为零，则该向量组线性无关；若存在不全为零的系数，使得线性组合为零，则该向量组线性相关。
向量组的相关性质
（1）当向量组所含向量的个数与向量的维数相等时，该向量组构成的行列式不为零的充分必要条件是该向量组线性无关；
（2）当向量组所含向量的个数多于向量的维数时，该向量组一定线性相关；
（3）通过向量组的正交性研究向量组的相关性；
（4）通过向量组构成的齐次线性方程组解的情况判断向量组的线性相关性；线性方程组有非零解向量组就线性相关，反之，线性无关。
（5）通过向量组的秩研究向量组的相关性。
若向量组的秩等于向量的个数，则该向量组是线性无关的；若向量组的秩小于向量的个数，则该向量组是线性相关的。
向量组线性相关性
向量组线性相关性
向量组线性相关性是指向量组之间的关系，它可以用来度量两个
或多个随机向量之间的相似程度。
它是将某种矩阵投射到更高维空间
中进行分析所必需的一种工具。
对于定量分析，它是一种快速而有效
的方法，可以帮助研究人员快速识别观察值之间的特征，如：相关性、回归和分类等。
此外，线性相关性也与潜在因素有关。
线性相关性可用于发现隐
藏的潜在变量，同时，当没有显式的潜在变量可以使用时，它也可以
用作预测。
例如，如果一个研究者想要预测一组观察值的趋势或变化，他/她可以使用线性相关性来找出隐藏的关系，从而建立一个有效的模
型来描述观察值之间的关系。
由于它可以用于识别数据之间的关系，因此，线性相关性在机器
学习任务中也是一种有用的工具，它可以帮助研究人员构建有效的模型，并用于预测新的数据。
例如，在机器学习领域中，线性回归就是
一种线性相关性模型，可以用于分析和预测数据集中观察值之间的关系。
因此，线性相关性是一个非常有用的工具，可用于大量因素和研
究设计中，从而帮助研究人员发现观察值之间的关系，有助于他们建
立有效的模型，并可以用于预测分析和推断。
判断线性相关的方法
判断线性相关的方法
有几种方法可以判断一组向量是否线性相关：
1. 行列式方法：将向量放在矩阵的列中，计算矩阵的行列式。
如果行列式的值为0，则向量线性相关；如果行列式的值不为0，则向量线性无关。
2. 高斯消元法：将向量放在一个矩阵中，应用高斯消元法将矩阵转化为行阶梯形式。
如果出现了全零行，且该行对应的向量不全为零向量，则向量线性相关；如果没有出现全零行，则向量线性无关。
3. 向量的线性表示方法：对于向量v，假设存在实数c1、c2、...、cn，使得
c1v1+c2v2+...+cnvn = 0，其中v1、v2、...、vn为一组向量。
如果只有c1、c2、...、cn全为零，则向量线性无关；如果存在至少一个ci不为零，则向量线性相关。
这些方法可以单独使用，也可以结合使用，以判断一组向量的线性相关性。
线性相关性
1 4 2 0
x1
2
3
x
2
5
6
x3
1
0
0
0
即
x14x22x30 2x15x2x30 3x16x2 0
方程组有无非零解?
1 4 2 1 4 2 1 4 2
A(123)
2
3
5
6
1
0
0
0
3 6
3 6
0
0
1
0
1
0
R(A) 2 3 , Ax 0 有非零解
两个向量线性相关性的几何意义
线性相关(共线或平行)
线性无关(不共线不平行)
1 4 2
例3
1
2,2
5,3
1
3
6
0
(1)判断1,2,3 是否线性相关 (2)可能的话,求1出,2,3 的一个线性关系式.
解: 是否存在不全为x01的, x2 , x3 , 使 x 1 1 x2 2 x3 3 0 ,
线性相关(共线或平行)
矩阵A的列线性无关
增加向量后仍线性相关.
例4 用观察法判断下列向量组是否线性相关
2 3
(3)
4 6
,
6 9
,
10
15
解: 两个向量不是倍数关系, 线性无关.
0 1 4
例5
A
1
2
1
,
5 8 1 2
判断A的列是否线性相关.
0 1 4 1 2 1
例2
(两个向量的线性相关性)
判断下列向量组是否线性相关
3 6
(1)
1
,
2
2 4
3 6
(2)
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华工数学实验报告-线性相关性
《数学实验》报告
学 院： 电子信息学院
专业班级： 信息工程电联班
学 号：
姓 名：
实验名称： 线性相关性
实验日期： 2016/05/17
1． 实验目的
理解向量、向量组的线性组合与线性表示、向量组的线性相关与
无关、最大线性无关组的概念；
掌握向量组线性相关和无关的有关性质及判别法；
掌握向量组的最大线性无关组和秩的性质和求法；
通过调味品配制问题理解上述知识在实际中的应用
2． 实验任务
P98 2. 某中药厂用 9 种中草药A-I，根据不同的比例配制成
了7种特效药，各用量成分见表6-3（单位：克）。
试解答：
（1）某医院要购买这7 种特效药，但
药厂的第3 号药和第6 号药已经卖完，
请问能否用其他特效药配制出这两种
脱销的药品。
（2）现在该医院想用这7 种草药配制
三种新的特效药，表6-4 给出了三种新
的特效药的成分，请问能否配制？如何
配制？
3． 实验过程
3.1实验原理
1、线性相关和线性无关
2、最大线性无关组
3、rref命令
3.2算法与编程
Medicine算法代码：
a1 = [10;12;5;7;0;25;9;6;8];
a2 = [2;0;3;9;1;5;4;5;2];
a3 = [14;12;11;25;2;35;17;16;12];
a4 = [12;25;0;5;25;5;25;10;0];
a5 = [20;35;5;15;5;35;2;10;2];
a6 = [38;60;14;47;33;55;39;35;6];
a7 = [100;55;0;35;6;50;25;10;20];
A = [a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7];
[A0,jb] = rref(A) % A的行最简形和一组最大无关组
r = length(jb) % A的秩
% 问题 1 的求解
B = [a1 a2 a4 a5 a7];
x3 = B\a3 % 求 a3 在 a1 a2 a4 a5 a7下的线性
表达系数 x3
x6 = B\a6 % 求 a6 在 a1 a2 a4 a5 a7 下的线
性表达系数 x6
% 问题 2 的求解
% 找出矩阵A的所有最大线性无关组
t = 0;
[m,n]= size(A);
p = (combntns([1:1:n],r))';
qq = [];
for k=1: nchoosek(n,r)
q = A(:, p(:,k))';
if rank(q) == r
t = t+1;
qq = [qq; p(:,k)'];
end
end
qq % 所有的最大无关组：每行为一最大无关对应的
序号
t % 最大无关组的个数
c=[a1 a2 a4 a5 a6 a7];
c1=[a1 a2 a4 a5 a6 a7];
c2=[a1 a3 a4 a5 a6 a7];
c3=[a2 a3 a4 a5 a6 a7];
belta1=[40;62;14;44;53;50;71;41;14];
belta2=[162;141;27;102;60;155;118;68;52;];
belta3=[88;67;8;51;7;80;38;21;30];
x11 = c1\belta1
x12 = c2\belta1
x13 = c3\belta1
x21 = c1\belta2
x22 = c2\belta2
x23 = c3\belta2
x31 = c1\belta3
x32 = c2\belta3
x33 = c3\belta3
3.3计算结果或图形
>> medicine
A0 =
1 0 1 0 0 0 0
0 1 2 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0
jb =
1 2 4 5 6 7
r =
6
x3 =
1.0000
2.0000
-0.0000
0.0000
-0.0000
x6 =
-0.0690
3.0192
1.0025
1.0403
-0.0044
qq =
1 2 4 5 6 7
1 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7
t =
3
x11 =
1.0000
3.0000
2.0000
-0.0000
0.0000
-0.0000
x12 =
-0.5000
1.5000
2.0000
-0.0000
0.0000
-0.0000
x13 =
1.0000
1.0000
2.0000
-0.0000
0.0000
-0.0000
x21 =
3.0000
4.0000
2.0000
0.0000
0.0000
1.0000
x22 =
1.0000
2.0000
2.0000
-0.0000
0.0000
1.0000
x23 =
-2.0000
3.0000
2.0000
-0.0000
0.0000
1.0000
x31 =
1.1322
7.4379
2.1718
2.3827
-2.0645
0.6844
x32 =
-2.5867
3.7189
2.1718
2.3827
-2.0645
0.6844
x33 =
5.1734
1.1322
2.1718
2.3827
-2.0645
0.6844
结果分析
（1）利用一份第1号成药和两份第2号成药就可以配制出一份第
3号药；
无法配置出第6号药。
（2）可以配制出1号新药：一份一号成药，三份二号成药，两份
四号成药；或者一份二号成药，一份三号成药，两份四号成药。
可以配制出2号新药：三份一号成药，四份二号成药，两份
四号成药，一份七号成药；或者一份一号成药，两份三号成药，
两份四号，一份七号成药。
不可以配制出3号新药。
4. 实验总结和实验感悟
通过本次实验，我了解了在matlab里面向量、向量组的线性
组合与线性表示、向量组的线性相关与无关、最大线性无关组的
概念，并且掌握向量组线性相关和无关的有关性质及判别法，还
掌握向量组的最大线性无关组和秩的性质和求法，可谓收获颇
丰。通过这次实验，我还认识到在求解现实问题的可能性，若是
线性问题，在matlab中使用矩阵的性质，利用它本身的秩等其他
特性，可以非常便利地解决问题。