(完整版)初二数学四边形难题(含答案)
人教版初二数学8年级下册 第18章(平行四边形)四边形几何专题回顾(含解析)
八年级数学四边形几何专题回顾一．三角形中位线定理（共4小题）1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为CA，CB的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，若，则DF的长为（ ）A．B．1C．D．22．如图，AD是△ABC的中线，E是AD的中点，F是BE延长线与AC的交点，若AC＝4，则AF＝（ ）A．B．C．1D．3．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD，AE分别是角平分线和中线，过点C作CF⊥AD于点F，连接EF，则线段EF的长为（ ）A．1B．2C．4D．4．如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝12，AD＝5，点M、N分别为线段BC、AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E、F分别为DM、MN的中点，则EF长度的可能为（ ）A．2B．5C．7D．9二．平行四边形的性质（共2小题）5．如图，在▱ABCD 中，BE 平分∠ABC 交AD 于点E ，CF 平分∠BCD 交AD 于点F ，若BE ＝4，CF ＝3，EF ＝1，求AB 为（ ）A ．3B ．2.5C ．3.5D ．46．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，AB ＝，∠AOB ＝60°，过点O 作OE ⊥AC ，交AD 于点E ，过点E 作EF ⊥BD ，垂足为F ，则OE +2EF 的值为（ ）A ．+1B ．C ．D ．三．菱形的性质（共2小题）7．如图，菱形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ，AC ＝8，BD ＝12，E 是OB 的中点，P 是CD 的中点，连接PE ，则线段PE 的长为（ ）A ．B ．C ．D ．8．在菱形ABCD 中，∠D ＝60°，CD ＝4，E 为菱形内部一点，且AE ＝2，连接CE ，点F 为CE 中点，连接BF ，取BF 中点G ，连接AG ，则AG 的最大值为 ．四．矩形的性质（共6小题）9．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，且AD ＝6，CD ＝8，P 是AB 上的动点，PM⊥AC于M，PN⊥BD于N，则PM+PN的值为（ ）A．4.8B．6.4C．9.6D．2.410．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P是AD边上的一个动点，过点P分别作PE ⊥AC于点E，PF⊥BD于点F．若AB＝6，BC＝8，则PE+PF的值为（ ）A．10B．9.6C．4.8D．2.411．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DF垂直平分OC，交AC于点E，交BC 于点F，连接AF，若AD＝3，则AF的长为（ ）A．B．C．2D．312．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，对角线AC，BD相交于点O，OE⊥AC交BC于点F，EF⊥BD于点F，则OE+EF的值为（ ）A．B．2C．D．213．如图，四边形ABCD是矩形，点E是边AB上的一动点，连接DE，点A与点P关于DE对称，连接EP、DP、BP，若AB＝3，AD＝5，则BP的最小值为 ．14．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝5，点P在边AD上，点Q在边BC上，且AP＝CQ，连接CP，QD，则PC+QD的最小值为 ．五．矩形的判定与性质（共1小题）15．如图，矩形ABCD中，AB＝，BC＝3，AE⊥BD于E，则EC＝（ ）A．B．C．D．六．正方形的性质（共4小题）16．如图，在正方形ABCD中，点E在对角线BD上，连接AE，EF⊥AE于点E，交DC于点F，连接AF，已知BC＝4，DE＝3，则△AEF的面积为（ ）A．4B．5C．10D．517．正方形ABCD的边长为4，点E、F分别是BC，CD上的一动点，且BE＝CF，连结AE，BF，两线交于点P，连接CP，则CP的最小值是（ ）A．B．C．D．18．如图，正方形ABCD的边长为10，AG＝CH＝8，BG＝DH＝6，则线段GH的长为（ ）A．B．C．D．19．如图所示，正方形ABCD中，AB＝4，点E为BC中点，BF⊥AE于点G，交CD边于点F，连接DG，则DG长为（ ）A．B．4C．D．七．翻折变换（折叠问题）（共3小题）20．如图，在△ABC中，AC＝BC＝2，AB＝1，将它沿AB翻折得到△ABD，则四边形ADBC的形状是 形，点P、E、F分别为线段AB、AD、DB的任意点，则PE+PF的最小值是 ．21．如图，在等腰△ABC中，AB＝BC＝4，把△ABC沿AC翻折得到△ADC．则（1）四边形ABCD是 形；（2）若∠B＝120°，点P、E、F分别为线段AC、AD、DC上的任意1点，则PE+PF的最小值为 ．22．如图，在△ABC中，AC＝BC＝5，AB＝6，将它沿AB翻折得到△ABD，点P、E、F分别为线段AB、AD、DB的任意点，则PE+PF的最小值是 ．八．旋转的性质（共3小题）23．如图，正方形ABCD绕点B逆时针旋转30°后得到正方形BEFG，EF与AD相交于点H，延长DA 交GF于点K．若正方形ABCD的边长为，则HD的长为（ ）A．﹣1B．﹣1C．1﹣D．1﹣24．如图，点E在正方形ABCD的边CD上，将△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，连接EF，过点A作EF的垂线，垂足为点H，与BC交于点G．若BG＝4，CG＝3，则CE的长为（ ）A．5B．5C．5D．25．如图，在边长为a正方形ABCD中，把边BC绕点B逆时针旋转60°，得到线段BM，连接AM 并延长交CD于N，连接MC，则△MNC的面积为（ ）A．B．C．D．九．旋转的性质（共1小题）26．如图，将边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AEFG的位置，则图中阴影部分的面积为（ ）A．B．C．D．参考答案与试题解析一．三角形中位线定理（共4小题）1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为CA，CB的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，若，则DF的长为（ ）A．B．1C．D．2【解答】解：在Rt△ABC中，AC＝2，BC＝4，由勾股定理得：AB＝＝6，∵BF平分∠ABC，∴∠ABF＝∠EBF，∵D，E分别为CA，CB的中点，∴DE∥AB，DE＝AB＝3，BE＝BC＝2，∴∠ABF＝∠EFB，∴∠EFB＝∠EBF，∴EF＝BE＝2，∴DF＝DE﹣EF＝1，故选：B．2．如图，AD是△ABC的中线，E是AD的中点，F是BE延长线与AC的交点，若AC＝4，则AF＝（ ）A．B．C．1D．【解答】解：取BF的中点H，连接DH，∵BD＝DC，BH＝HF，∴DH＝FC，DH∥AC，∴∠HDE＝∠FAE，在△AEF和△DEH中，，∴△AEF≌△DEH（ASA），∴AF＝DH，∴AF＝FC，∵AC＝4，∴AF＝，故选：B．3．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD，AE分别是角平分线和中线，过点C作CF⊥AD于点F，连接EF，则线段EF的长为（ ）A．1B．2C．4D．【解答】解：延长CF交AB于G，∵AD为△ABC的角平分线，CG⊥AD，∴△ACG是等腰三角形，∴AG＝AC＝4，FG＝CF，∴BG＝AB﹣AG＝6﹣4＝2，∵AE为△ABC的中线，∴EF是△BCG的中位线，∴EF＝BG＝1，故选：A．4．如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝12，AD＝5，点M、N分别为线段BC、AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E、F分别为DM、MN的中点，则EF长度的可能为（ ）A．2B．5C．7D．9【解答】解：连接DN，∵ED＝EM，MF＝FN，∴EF＝DN，∴DN最大时，EF最大，DN最小时，EF最小，∵N与B重合时DN最大，此时DN＝DB＝＝＝13，∴EF的最大值为6.5．∵∠A＝90°，AD＝5，∴DN≥5，∴EF≥2.5，∴EF长度的可能为5；故选：B．二．平行四边形的性质（共2小题）5．如图，在▱ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E，CF平分∠BCD交AD于点F，若BE＝4，CF ＝3，EF＝1，求AB为（ ）A．3B．2.5C．3.5D．4【解答】解：如图，过点E作EG∥FC交BC延长线于点G，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠AEB＝∠EBC，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC，∴∠ABE＝∠AEB，∴AE＝AB，同理可证：DC＝DF，∵AB∥DC，∴∠ABC+∠DCB＝180°，∵BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，∴∠EBC+∠FCB＝×180°＝90°，∴BE⊥CF，∵EG∥FC，∴BE⊥EG，∵EF∥CG，∴四边形EFCG是平行四边形，∴EG＝FC，在△BEG中，BE＝4，EG＝CF＝3，根据勾股定理，得BG＝，∵AB＝AE＝CD＝DF，EF＝CG＝1，AD＝BC，∴BG＝BC+CG＝AE+DE+CG＝AE+DF﹣EF+EF＝2AB，∴5＝2AB，∴AB＝2.5．故选：B．6．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝，∠AOB＝60°，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+2EF的值为（ ）A．+1B．C．D．【解答】解：∵∠BAO＝90°，∠AOB＝60°，∴∠ABO＝30°，∴BO＝2AO，∵AB＝，∴AO＝1，BO＝2，∴S△ABO＝AO•AB＝，∵四边形ABCD为平行四边形，∴DO＝BO＝2，S△ADO＝S△ABO＝，∵OF⊥AO，EF⊥OD，∴S△ADO＝S△AEO+S△EDO＝＝＝，即OE+2EF＝．故选：B．三．菱形的性质（共2小题）7．如图，菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，AC＝8，BD＝12，E是OB的中点，P是CD 的中点，连接PE，则线段PE的长为（ ）A．B．C．D．【解答】解：如图，取OD的中点H，连接HP，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝CO＝4，OB＝OD＝6，∵点H是OD中点，点E是OB的中点，点P是CD的中点，∴OH＝3，OE＝3，HP＝OC＝2，HP∥AC，∴EH＝6，∠DOC＝90°，∴EP＝＝＝2，故选：A．8．在菱形ABCD中，∠D＝60°，CD＝4，E为菱形内部一点，且AE＝2，连接CE，点F为CE中点，连接BF，取BF中点G，连接AG，则AG的最大值为 ．【解答】解：如图所示：连接BD交AC于点O，连接FO，取OB的中点H，连接HG和AH，∵在菱形ABCD中，∴O为AC中点，∵F为CE中点，∴OF＝AE＝1，当C、F、E、A共线时，OF也为1，∵G为BF中点、H为OB中点，∴GH＝OF＝，∵在菱形ABCD中且∠D＝60°，∴∠ABO＝∠ABC＝∠ADC＝30°，∠BOA＝90°，∴OA＝AB＝2，，∴OB＝＝，∴OH＝，∴AH＝＝，∵AG≤AH+HG，∴AG≤，∴AG的最大值为．故答案为：．四．矩形的性质（共6小题）9．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AD＝6，CD＝8，P是AB上的动点，PM ⊥AC于M，PN⊥BD于N，则PM+PN的值为（ ）A．4.8B．6.4C．9.6D．2.4【解答】解：连接PO，∵在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，∴AD＝BC＝6，∠DAB＝90°，BO＝OD，由勾股定理得：BD＝＝＝10，∴BO＝DO＝5，∴S△DAB＝×AD×AB＝×8×6＝24，∴S△AOB＝S△DAB＝12，∴×AO×PM+×BO×PN＝12，∴PM+PN＝4.8．故选：A．10．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P是AD边上的一个动点，过点P分别作PE ⊥AC于点E，PF⊥BD于点F．若AB＝6，BC＝8，则PE+PF的值为（ ）A．10B．9.6C．4.8D．2.4【解答】解：连接OP，∵矩形ABCD的两边AB＝6，BC＝8，∴S矩形ABCD＝AB•BC＝48，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，AC＝＝10，∴S△AOD＝S矩形ABCD＝12，OA＝OD＝5，∴S△AOD＝S△AOP+S△DOP＝OA•PE+OD•PF＝OA（PE+PF）＝×5×（PE+PF）＝12，∴PE+PF＝＝4.8．故选：C．11．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DF垂直平分OC，交AC于点E，交BC 于点F，连接AF，若AD＝3，则AF的长为（ ）A．B．C．2D．3【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴BC＝AD＝3，OA＝OB＝OC＝OD，∵DF垂直平分OC，∴OD＝OC，∴△OCD是等边三角形，设CD＝x，则AC＝2x，在Rt△ACD中，由勾股定理得可知：AD2+CD2＝AC2，即32+x2＝（2x）2，解得x＝，∴，∴，∵△OCD是等边三角形，DF⊥OC，∴，设CF＝y，则DF＝2y，在Rt△CDF中，由勾股定理可知：CF2+CD2＝DF2，即，解得y＝1，∴CF＝1，BF＝2，在Rt△ABF中，由勾股定理可知：AB2+BF2＝AF2，即，∴，故选：B．12．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，对角线AC，BD相交于点O，OE⊥AC交BC于点F，EF⊥BD于点F，则OE+EF的值为（ ）A．B．2C．D．2【解答】解：∵AB＝2，BC＝4，∴矩形ABCD的面积为8，AC＝＝＝2，∴BO＝CO＝AC＝，∵对角线AC，BD交于点O，∴△BOC的面积为2，∵EO⊥AO，EF⊥DO，∴S△BOC＝S△BOE+S△COE，2＝CO×EO+BO×EF，∴2＝××EO+×EF，∴（EO+EF）＝4，∴EO+EF＝，故选：A．13．如图，四边形ABCD是矩形，点E是边AB上的一动点，连接DE，点A与点P关于DE对称，连接EP、DP、BP，若AB＝3，AD＝5，则BP的最小值为 ﹣5 ．【解答】解：如图，连接BD，AP，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，∵AB＝3，AD＝5，∴BD＝＝＝，∵点A与点P关于DE对称，∴DE垂直平分AP，∴PD＝AD＝5，∵BP+PD≥BD，∴BP+5≥，∴BP≥﹣5，∴BP的最小值为﹣5，故答案为：﹣5．14．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝5，点P在边AD上，点Q在边BC上，且AP＝CQ，连接CP，QD，则PC+QD的最小值为 13 ．【解答】解：如图，连接BP，在矩形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，∵AP＝CQ，∴AD﹣AP＝BC﹣CQ，∴DP＝QB，DP∥BQ，∴四边形DPBQ是平行四边形，∴PB∥DQ，PB＝DQ，则PC+QD＝PC+PB，则PC+QD的最小值转化为PC+PB的最小值，在BA的延长线上截取AE＝AB＝6，连接PE，∵PA⊥BE，∴PA是BE的垂直平分线，∴PB＝PE，∴PC+PB＝PC+PE，连接CE，则PC+QD＝PC+PB＝PC+PE≥CE，∵BE＝2AB＝12，BC＝AD＝5，∴CE＝＝13．∴PC+PB的最小值为13．故答案为：13．五．矩形的判定与性质（共1小题）15．如图，矩形ABCD中，AB＝，BC＝3，AE⊥BD于E，则EC＝（ ）A．B．C．D．【解答】解：作EF⊥BC于F，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝3，AB＝CD＝，∠BAD＝90°．∴tan∠ADB＝＝，∴∠ADB＝30°，∴∠ABE＝60°，∴在Rt△ABE中cos∠ABE＝＝＝，∴BE＝，∴在Rt△BEF中，cos∠FBE＝＝＝，∴BF＝，∴EF＝＝，∴CF＝3﹣＝，在Rt△CFE中，CE＝＝．故选：D．六．正方形的性质（共4小题）16．如图，在正方形ABCD中，点E在对角线BD上，连接AE，EF⊥AE于点E，交DC于点F，连接AF，已知BC＝4，DE＝3，则△AEF的面积为（ ）A．4B．5C．10D．5【解答】解：过E作GH∥AD交AB于G，交DC于H，如图：，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABD＝∠BDC＝45°，AB＝CD＝BC＝4，∴△BGE、△DHE是等腰直角三角形，BD＝BC＝4，∴EH＝DE＝×3＝3，BE＝BD﹣DE＝4﹣3＝，∴BG＝GE＝BE＝1，∴AG＝AB﹣BG＝3＝EH，∴AE＝＝＝，∵AE⊥EF，∴∠AEG＝90°﹣∠FEH＝∠EFH，又∠AGE＝∠EHF＝90°，∴△AGE≌△EHF（AAS），∴AE＝EF＝，∴△AEF的面积为AE•EF＝××＝5，故选：B．17．正方形ABCD的边长为4，点E、F分别是BC，CD上的一动点，且BE＝CF，连结AE，BF，两线交于点P，连接CP，则CP的最小值是（ ）A．B．C．D．【解答】解：在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠BCD，在△ABE和△BCF中，，∴△ABE≌△BCF（SAS），∴∠BAE＝∠CBF，∵∠CBF+∠ABF＝90°，∴∠BAE+∠ABF＝90°，∴∠APB＝90°，∴点P在以AB为直径的圆上，设AB的中点为G，当CPG在同一直线上时，CP有最小值，如图所示：∵正方形ABCD的边长为4，∴BC＝4，BG＝2，∴CG＝＝＝2，∵PG＝AG＝BG＝2，∴CP＝2﹣2，故选：A．18．如图，正方形ABCD的边长为10，AG＝CH＝8，BG＝DH＝6，则线段GH的长为（ ）A．B．C．D．【解答】解：如图，延长BG交CH于点E，∵AB＝CD＝10，BG＝DH＝6，AG＝CH＝8，∴AG2+BG2＝AB2，∴△ABG和△DCH是直角三角形，在△ABG和△CDH中，，∴△ABG≌△CDH（SSS），∴∠1＝∠5，∠2＝∠6，∴∠1+∠2＝90°，∠5+∠6＝90°，又∵∠2+∠3＝90°，∠4+∠5＝90°，∴∠1＝∠3＝∠5，∠2＝∠4＝∠6，在△ABG和△BCE中，，∴△ABG≌△BCE（ASA），∴BE＝AG＝8，CE＝BG＝6，∠BEC＝∠AGB＝90°，∴GE＝BE﹣BG＝8﹣6＝2，同理可得HE＝2，在Rt△GHE中，GH＝＝＝2，故选：A．19．如图所示，正方形ABCD中，AB＝4，点E为BC中点，BF⊥AE于点G，交CD边于点F，连接DG，则DG长为（ ）A．B．4C．D．【解答】解：如图，作DL⊥AE于点H，交AB于点L，∵BF⊥AE，∴DL∥BF，∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，AB＝BC＝CD，∠ABE＝∠C＝90°，∴BL∥DF，∴四边形BFDL是平行四边形，∵∠AGB＝90°，∠BAE＝90°﹣∠ABG＝∠CBF，在△ABE和△BCF中，，∴△ABE≌△BCF（ASA），∴BE＝CF，∵E为BC中点，∴BE＝CF＝BC＝CD，∴DF＝CF＝CD，∴BL＝DF＝CD＝AB，∴AL＝BL＝AB，∴＝＝1，∴AH＝GH，∵DA＝AB＝4，∴DG＝DA＝4，故选：B．七．翻折变换（折叠问题）（共3小题）20．如图，在△ABC中，AC＝BC＝2，AB＝1，将它沿AB翻折得到△ABD，则四边形ADBC的形状是 菱 形，点P、E、F分别为线段AB、AD、DB的任意点，则PE+PF的最小值是 ．【解答】解：∵△ABC沿AB翻折得到△ABD，∴AC＝AD，BC＝BD，∵AC＝BC，∴AC＝AD＝BC＝BD，∴四边形ADBC是菱形，故答案为菱；如图作出F关于AB的对称点M，再过M作ME⊥AD，交AB于点P，此时PE+PF最小，此时PE+PF ＝ME，过点A作AN⊥BC，∵AD∥BC，∴ME＝AN，作CH⊥AB，∵AC＝BC，∴AH＝，由勾股定理可得，CH＝，∵，可得，AN＝，∴ME＝AN＝，∴PE+PF最小为，故答案为．21．如图，在等腰△ABC中，AB＝BC＝4，把△ABC沿AC翻折得到△ADC．则（1）四边形ABCD是 菱 形；（2）若∠B＝120°，点P、E、F分别为线段AC、AD、DC上的任意1点，则PE+PF的最小值为 ．【解答】解：（1）∵AB＝BC，△ABC沿AC翻折得到△ADC，∴AB＝BC＝AD＝CD，∴四边形ABCD是菱形．故答案为菱．（2）作CM⊥AD交AD的延长线于M，连接PD．当PE⊥AD，PF⊥CD时，PE+PF最短，∵∠B＝∠ADC＝120°，∴∠CDM＝60°，∵CD＝AB＝4，∠CMD＝90°，∴sin60°＝，∴CM＝2，∵S△ADC＝S△ADP+S△CDP＝•AD•PE+•CD•PF＝•AD•CM，∴PE+PF＝CM＝2，∴PE+PF的最小值为2．故答案为2．22．如图，在△ABC中，AC＝BC＝5，AB＝6，将它沿AB翻折得到△ABD，点P、E、F分别为线段AB、AD、DB的任意点，则PE+PF的最小值是 ．【解答】解：作出F关于AB的对称点M，再过M作ME′⊥AD，交AB于点P′，此时P′E′+P ′F最小，此时P′E′+P′F＝ME′，过点A作AN⊥BC，CH⊥AB于H，∵△ABC沿AB翻折得到△ABD，∴AC＝AD，BC＝BD，∵AC＝BC，∴AC＝AD＝BC＝BD，∴四边形ADBC是菱形，∵AD∥BC，∴ME′＝AN，∵AC＝BC，∴AH＝AB＝3，由勾股定理可得，CH＝＝4，∵×AB×CH＝×BC×AN，可得，AN＝，∴ME′＝AN＝，∴PE+PF最小为，故答案为．八．旋转的性质（共3小题）23．如图，正方形ABCD绕点B逆时针旋转30°后得到正方形BEFG，EF与AD相交于点H，延长DA 交GF于点K．若正方形ABCD的边长为，则HD的长为（ ）A．﹣1B．﹣1C．1﹣D．1﹣【解答】解：连接BH，如图所示：∵四边形ABCD和四边形BEFG是正方形，∴∠BAH＝∠ABC＝∠BEH＝∠F＝90°，由旋转的性质得：AB＝EB，∠CBE＝30°，∴∠ABE＝60°，在Rt△ABH和Rt△EBH中，，∴Rt△ABH≌△Rt△EBH（HL），∴∠ABH＝∠EBH＝∠ABE＝30°，AH＝EH，∴AH＝AB•tan∠ABH＝×＝1，∴HD＝AD﹣AH＝﹣1．故选：A．24．如图，点E在正方形ABCD的边CD上，将△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，连接EF，过点A作EF的垂线，垂足为点H，与BC交于点G．若BG＝4，CG＝3，则CE的长为（ ）A．5B．5C．5D．【解答】解：如图所示，连接EG，由旋转可得，△ADE≌△ABF，∴AE＝AF，DE＝BF，又∵AG⊥EF，∴H为EF的中点，∴AG垂直平分EF，∴EG＝FG，设CE＝x，则DE＝7﹣x＝BF，FG＝CF﹣CG＝11﹣x，∴EG＝11﹣x，∵∠C＝90°，∴Rt△CEG中，CE2+CG2＝EG2，即x2+32＝（11﹣x）2，解得x＝，∴CE的长为，故选：C．25．如图，在边长为a正方形ABCD中，把边BC绕点B逆时针旋转60°，得到线段BM，连接AM 并延长交CD于N，连接MC，则△MNC的面积为（ ）A．B．C．D．【解答】解：作MG⊥BC于G，MH⊥CD于H，则BG＝GC，AB∥MG∥CD，∴AM＝MN，∵MH⊥CD，∠D＝90°，∴MH∥AD，∴NH＝HD，由旋转变换的性质可知，△MBC是等边三角形，∴MC＝BC＝a，由题意得，∠MCD＝30°，∴MH＝MC＝a，CH＝a，∴DH＝a﹣a，∴CN＝CH﹣NH＝a﹣（a﹣a）＝（﹣1）a，∴△MNC的面积＝××（﹣1）a＝a2，故选：C．九．旋转的性质（共1小题）26．如图，将边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AEFG的位置，则图中阴影部分的面积为（ ）A．B．C．D．【解答】解：作MH⊥DE于H，如图，∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD＝1，∠B＝∠BAD＝∠ADC＝90°，∵正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AEFG的位置，∴AE＝AB＝1，∠1＝30°，∠AEF＝∠B＝90°，∴∠2＝60°，∴△AED为等边三角形，∴∠3＝∠4＝60°，DE＝AD＝1，∴∠5＝∠6＝30°，∴△MDE为等腰三角形，∴DH＝EH＝，在Rt△MDH中，MH＝DH＝×＝，∴S△MDE＝×1×＝．故选：D．。
初二数学经典四边形习题道(附标准答案)
初二数学经典四边形习题道(附答案)————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：1．已知：在矩形ABCD 中，AE ⊥BD 于E ， ∠DAE=3∠BAE ，求：∠EAC 的度数。
2．已知：直角梯形ABCD 中，BC=CD=a 且∠BCD=60︒，E 、F 分别为梯形的腰AB 、 DC 的中点，求：EF 的长。
3、已知：在等腰梯形ABCD 中，AB ∥DC ， AD=BC ，E 、F 分别为AD 、BC 的中点，BD 平分∠ABC 交EF 于G ，EG=18，GF=10 求：等腰梯形ABCD 的周长。
4、已知：梯形ABCD 中，AB ∥CD ，以AD ， AC 为邻边作平行四边形ACED ，DC 延长线 交BE 于F ，求证：F 是BE 的中点。
5、已知：梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AC ⊥CB ， AC 平分∠A ，又∠B=60︒，梯形的周长是 20cm, 求：AB 的长。
6、从平行四边形四边形ABCD 的各顶点作对角线的垂线AE 、BF 、CG 、DH ，垂足分别是E 、F 、G 、H ，求证：EF ∥GH 。
_O_A_ B_ D_C_ E_E_F_ A_B_D_ C_G _A _ B_D_ C_E _F _D _A _B _ C_E _F _A_B_D _C _O_D _C_F_E若在平行边的一边BC 的延长线上取一点F ， 使S ABC ∆=S EBF ∆，求证：DF ∥AC 。
8、在正方形ABCD 中，直线EF 平行于 对角线AC ，与边AB 、BC 的交点为E 、F ， 在DA 的延长线上取一点G ，使AG=AD ， 若EG 与DF 的交点为H ，求证：AH 与正方形的边长相等。
9、若以直角三角形ABC 的边AB 为边， 在三角形ABC 的外部作正方形ABDE ，AF 是BC 边的高，延长FA 使AG=BC ，求证：BG=CD 。
初二数学经典四边形习题50道(附答案)
1．已知：在矩形ABCD 中，AE BD 于E ， ∠DAE=3∠BAE ，求：∠EAC 的度数。
2．已知：直角梯形ABCD 中，BC=CD=a 且∠BCD=60，E 、F 分别为梯形的腰AB 、 DC 的中点，求：EF 的长。
3、已知：在等腰梯形ABCD 中，AB ∥DC ， AD=BC ，E 、F 分别为AD 、BC 的中点，BD 平分∠ABC 交EF 于G ，EG=18，GF=10 求：等腰梯形ABCD 的周长。
4、已知：梯形ABCD 中，AB ∥CD ，以AD ， AC 为邻边作平行四边形ACED ，DC 延长线 交BE 于F ，求证：F 是BE 的中点。
5、已知：梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AC CB ， AC 平分∠A ，又∠B=60，梯形的周长是 20cm, 求：AB 的长。
6、从平行四边形四边形ABCD 的各顶点作对角线的垂线AE 、BF 、CG 、DH ，垂足分别是E 、F 、G 、H ，求证：EF ∥GH 。
_O_A_D_C_E_F_B _D_C_G _A _B_D _C_E _F _D _A _B _C_E _F _A_B_D _C _O_D _C_H _F _G_E7、已知：梯形ABCD 的对角线的交点为E 若在平行边的一边BC 的延长线上取一点F ， 使S ABC ∆=S EBF ∆，求证：DF ∥AC 。
8、在正方形ABCD 中，直线EF 平行于 对角线AC ，与边AB 、BC 的交点为E 、F ， 在DA 的延长线上取一点G ，使AG=AD ， 若EG 与DF 的交点为H ，求证：AH 与正方形的边长相等。
9、若以直角三角形ABC 的边AB 为边， 在三角形ABC 的外部作正方形ABDE ，AF 是BC 边的高，延长FA 使AG=BC ，求证：BG=CD 。
10、正方形ABCD ，E 、F 分别是AB 、AD 延长线 上的一点，且AE=AF=AC ，EF 交BC 于G ，交AC 于K ，交CD 于H ，求证：EG=GC=CH=HF 。
(专题精选)初中数学四边形难题汇编附答案
（专题精选）初中数学四边形难题汇编附答案一、选择题1．一个多边形的每个内角均为108º，则这个多边形是（）A．七边形 B．六边形 C．五边形 D．四边形【答案】C【解析】试题分析：因为这个多边形的每个内角都为108°，所以它的每一个外角都为72°，所以它的边数=360÷72=5（边）.考点：⒈多边形的内角和；⒉多边形的外角和.2．如图，把矩形ABCD沿EF对折后使两部分重合，若150∠=o，则AEF∠=（）A．110°B．115°C．120°D．130°【答案】B【解析】【分析】根据翻折的性质可得∠2=∠3，再求出∠3，然后根据两直线平行，同旁内角互补列式计算即可得解．【详解】∵矩形ABCD沿EF对折后两部分重合，150∠=o，∴∠3=∠2=180-502︒︒=65°，∵矩形对边AD∥BC，∴∠AEF=180°-∠3=180°-65°=115°．故选：B．【点睛】本题考查了矩形中翻折的性质，两直线平行的性质，平角的定义，掌握翻折的性质是解题的关键．3．如图，在平行四边形ABCD 中，2=AD AB ，CE 平分BCD ∠交AD 于点E ，且8BC =，则AB 的长为（ ）A ．4B ．3C ．52D ．2【答案】A【解析】【分析】 利用平行四边形的对边相等且互相平行，进而得出AE=DE=AB 即可得出答案．【详解】∵CE 平分∠BCD 交AD 边于点E ，∴∠ECD=∠ECB ，∵在平行四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=CD ，∴∠DEC=∠ECB ，∠DEC=∠DCE ，∴DE=DC ，∵AD=2AB ，∴AD=2CD ，∴AE=DE=AB ．∵8AD BC ==，2=AD AB∴AB=4，故选：A ．【点睛】此题考查了平行四边形的性质，得出∠DEC=∠DCE 是解题关键．4．如图，在菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，1AB =，点P 是这个菱形内部或边上的一点，若以点P ，B ，C 为顶点的三角形是等腰三角形，则P ，D （P ，D 两点不重合）两点间的最短距离为（ ）A ．12B ．1C ．3D ．31-【答案】D【解析】【分析】分三种情形讨论①若以边BC 为底．②若以边PC 为底．③若以边PB 为底．分别求出PD 的最小值，即可判断．【详解】解：在菱形ABCD 中，∵∠ABC=60°，AB=1，∴△ABC ，△ACD 都是等边三角形，①若以边BC 为底，则BC 垂直平分线上（在菱形的边及其内部）的点满足题意，此时就转化为了“直线外一点与直线上所有点连线的线段中垂线段最短“，即当点P 与点A 重合时，PD 值最小，最小值为1；②若以边PC 为底，∠PBC 为顶角时，以点B 为圆心，BC 长为半径作圆，与BD 相交于一点，则弧AC （除点C 外）上的所有点都满足△PBC 是等腰三角形，当点P 在BD 上时，PD 最小，最小值为31-③若以边PB 为底，∠PCB 为顶角，以点C 为圆心，BC 为半径作圆，则弧BD 上的点A 与点D 均满足△PBC 为等腰三角形，当点P 与点D 重合时，PD 最小，显然不满足题意，故此种情况不存在；上所述，PD 的最小值为 31-故选D ．【点睛】本题考查菱形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．5．如图，在矩形ABCD 中， 4,6,AB BC ==点E 是AD 的中点，点F 在DC 上，且1,CF =若在此矩形上存在一点P ，使得PEF V 是等腰三角形，则点P 的个数是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】D【解析】【分析】根据等腰三角形的定义，分三种情况讨论：①当EF 为腰，E 为顶角顶点时，②当EF 为腰，F 为顶角顶点时，③当EF 为底，P 为顶角顶点时，分别确定点P 的位置，即可得到答案．【详解】∵在矩形ABCD 中，461AB BC CF ===，，，点E 是AD 的中点， 32184EF ∴==>．∴PEF V 是等腰三角形，存在三种情况：①当EF 为腰，E 为顶角顶点时，根据矩形的轴对称性，可知：在BC 上存在两个点P ，在AB 上存在一个点P ，共3个，使PEF V 是等腰三角形；②当EF 为腰，F 为顶角顶点时，186,<Q∴在BC 上存在一个点P ，使PEF V 是等腰三角形；③当EF 为底，P 为顶角顶点时，点P 一定在EF 的垂直平分线上，∴EF 的垂直平分线与矩形的交点，即为点P ，存在两个点．综上所述，满足题意的点P 的个数是6．故选D ．【点睛】本题主要考查等腰三角形的定义，矩形的性质，熟练掌握等腰三角形的定义和矩形的性质，学会分类讨论思想，是解题的关键．6．如图，四边形ABCD 和四边形AEFG 均为正方形，连接CF ，DG ，则DG CF=（ ）A ．23B ．22C 3D 3【答案】B【解析】【分析】连接AC 和AF ，证明△DAG ∽△CAF 可得DG CF的值． 【详解】连接AC 和AF ，则2 AD AGAC AF==，∵∠DAG=45°-∠GAC，∠CAF=45°-GAC，∴∠DAG=∠CAF．∴△DAG∽△CAF．∴22 DG ADCF AC==．故答案为：B.【点睛】本题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质，解题的关键是构造相似三角形．7．如图，在平行四边形ABCD中，AC=4，BD=6，P是BD上的任一点，过点P作EF∥AC，与平行四边形的两条边分别交于点E、F，设BP=x，EF=y，则能反映y与x之间关系的图象是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】【详解】图象是函数关系的直观表现，因此须先求出函数关系式．分两段求：当P在BO上和P在OD上，分别求出两函数解析式，根据函数解析式的性质即可得出函数图象．解：设AC与BD交于O点，当P在BO上时，∵EF∥AC，∴EF BPAC BO=即43y x=，∴43y x =；当P在OD上时，有643 DP EF y x DO AC-==即，∴y=48 3x-+．故选C．8．如图，菱形ABCD中，点P是CD的中点，∠BCD=60°，射线AP交BC的延长线于点E，射线BP交DE于点K，点O是线段BK的中点，作BM⊥AE于点M，作KN⊥AE于点N，连结MO、NO，以下四个结论：①△OMN是等腰三角形；②tan∠OMN=3；③BP=4PK；④PM•PA=3PD2，其中正确的是（）A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④【答案】B【解析】【分析】 根据菱形的性质得到AD ∥BC ，根据平行线的性质得到对应角相等，根据全等三角形的判定定理△ADP ≌△ECP ，由相似三角形的性质得到AD=CE ，作PI ∥CE 交DE 于I ，根据点P 是CD 的中点证明CE=2PI ，BE=4PI ，根据相似三角形的性质得到1=4KP PI KB BE =，得到BP=3PK ，故③错误；作OG ⊥AE 于G ，根据平行线等分线段定理得到MG=NG ，又OG ⊥MN ，证明△MON 是等腰三角形，故①正确；根据直角三角形的性质和锐角三角函数求出∠②正确；然后根据射影定理和三角函数即可得到PM•PA=3PD 2，故④正确．【详解】解：作PI ∥CE 交DE 于I ，∵四边形ABCD 为菱形，∴AD ∥BC ，∴∠DAP=∠CEP ，∠ADP=∠ECP ，在△ADP 和△ECP 中， DAP CEP ADP ECP DP CP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADP ≌△ECP ，∴AD=CE ， 则PI PD CE DC =，又点P 是CD 的中点， ∴1=2PI CE ， ∵AD=CE ， ∴1=4KP PI KB BE =， ∴BP=3PK ，故③错误；作OG ⊥AE 于G ， ∵BM 丄AE 于M ，KN 丄AE 于N ，∴BM ∥OG ∥KN ，∵点O 是线段BK 的中点，∴MG=NG ，又OG ⊥MN ，∴OM=ON ，即△MON是等腰三角形，故①正确；由题意得，△BPC，△AMB，△ABP为直角三角形，设BC=2，则CP=1，由勾股定理得，BP=3，则AP=7，根据三角形面积公式，BM=2217，∵点O是线段BK的中点，∴PB=3PO，∴OG=13BM=22121，MG=23MP=27，tan∠OMN=3=OGMG，故②正确；∵∠ABP=90°，BM⊥AP，∴PB2=PM•PA，∵∠BCD=60°，∴∠ABC=120°，∴∠PBC=30°，∴∠BPC=90°，∴PB=3PC，∵PD=PC，∴PB2=3PD，∴PM•PA=3PD2，故④正确．故选B．【点睛】本题考查相似形综合题．9．如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH,若BE:EC=2：1，则线段CH的长是（）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B【解析】 试题分析：设CH ＝x ， 因为BE ：EC ＝2：1，BC ＝9，所以，EC ＝3， 由折叠知，EH ＝DH ＝9－x ，在Rt △ECH 中，由勾股定理，得：222(9)3x x -=+，解得：x ＝4，即CH=4考点：（1）图形的折叠；（2）勾股定理10．如图，在边长为8的菱形ABCD 中，∠DAB =60°，以点D 为圆心，菱形的高DF 为半径画弧，交AD 于点E ，交CD 于点G ，则图中阴影部分的面积是 （ ）A ．183π-B ．183πC ．32316πD ．1839π-【答案】C【解析】【分析】 由菱形的性质得出AD=AB=8，∠ADC=120°，由三角函数求出菱形的高DF ，图中阴影部分的面积=菱形ABCD 的面积-扇形DEFG 的面积，根据面积公式计算即可．【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，∠DAB=60°，∴AD=AB=8，∠ADC=180°-60°=120°，∵DF 是菱形的高，∴DF ⊥AB ，∴DF=AD •sin60°=3832⨯=∴图中阴影部分的面积=菱形ABCD 的面积-扇形DEFG 的面积 =2120(43)84332316ππ⨯⨯-=-． 故选：C.【点睛】本题考查了菱形的性质、三角函数、菱形和扇形面积的计算；由三角函数求出菱形的高是解决问题的关键．11．如图，ABC V 中，5AB AC ==，AE 平分BAC ∠交BC 于点E ，点D 为AB 的中点，连接DE ，则DE 的长为（ ）A ．2B ．2.5C ．3D 5【答案】B【解析】【分析】 根据等腰三角形三线合一可得AE ⊥BC ，再根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半即可求得DE 的长度．【详解】解：∵5AB AC ==，AE 平分BAC ∠，∴AE ⊥BC ，又∵点D 为AB 的中点，∴1 2.52DE AB ==， 故选：B ．【点睛】 本题考查等腰三角形三线合一和直角三角形斜边上的中线．熟练掌握相关定理，并能正确识图，得出线段之间的关系是解题关键．12．如图，菱形ABCD 中，对角线BD 与AC 交于点O ， BD =8cm ，AC =6cm ，过点O 作OH⊥CB 于点H ，则OH 的长为( )A ．5cmB ．52cmC ．125cmD ．245cm 【答案】C【解析】【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分求出OB 、OC ，再利用勾股定理列式求出BC ，然后根据△BOC 的面积列式计算即可得解．【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，111163,842222OC AC OB BD ==⨯===⨯= 在Rt △BOC 中，由勾股定理得，2222345BC OB OC =+=+=∵OH ⊥BC ，1122BOC S OC OB CB OH ∴=⋅=⋅V ∴1143522OH ⨯⨯=⨯ ∴125OH =故选C ．【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，三角形的面积，熟记性质是解题的关键，难点在于利用两种方法表示△BOC 的面积列出方程．13．四边形ABCD 是菱形，对角线AC ，BD 相交于点O ，DH ⊥AB 于H ，连接OH ，∠DHO ＝20°，则∠CAD 的度数是（）.A ．25°B ．20°C ．30°D ．40°【答案】B【解析】 ∵四边形ABCD 是菱形，∴OB=OD ，AC ⊥BD ，∵DH ⊥AB ，∴OH=OB=12BD ， ∵∠DHO=20°， ∴∠OHB=90°-∠DHO=70°，∴∠ABD=∠OHB=70°，∴∠CAD=∠CAB=90°-∠ABD=20°．故选A ．14．如图，在□ABCD 中，E 、F 分别是边BC 、CD 的中点，AE 、AF 分别交BD 于点G 、H ，则图中阴影部分图形的面积与□ABCD 的面积之比为（ ）A ．7 : 12B ．7 : 24C ．13 : 36D ．13 : 72 【答案】B【解析】【分析】 根据已知条件想办法证明BG=GH=DH ，即可解决问题；【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，AD ∥BC ，AB=CD ，AD=BC ，∵DF=CF ，BE=CE ，∴12DH DF HB AB ==，12BG BE DG AD ==， ∴13DH BG BD BD ==， ∴BG=GH=DH ，∴S △ABG =S △AGH =S △ADH ，∴S 平行四边形ABCD =6 S △AGH ，∴S △AGH ：ABCD S 平行四边形=1：6，∵E 、F 分别是边BC 、CD 的中点,∴12 EFBD=,∴14EFCBCDDSS=VV,∴18EFCABCDSS=V四边形,∴1176824AGH EFCABCDS SS+=+=V V四边形=7∶24,故选B.【点睛】本题考查了平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理、等底同高的三角形面积性质，题目的综合性很强，难度中等．15．已知ABCDY(AB BC>)，用尺规在ABCD内作菱形，下列作法错误的是()A．如图1所示，作对角线AC的垂直平分线EF，则四边形AECF为所求B．如图2所示，在AB DC，上截取AE AD DF DA==，，则四边形AEFD为所求C．如图3所示，作ADC ABC∠∠、的平分线DE BF，，则四边形DEBF为所求D．如图4所示，作BDE BDC DBF DBA∠=∠∠=∠，，则四边形DEBF为所求【答案】C【解析】【分析】根据平行四边形的性质及判定、菱形的判定逐个判断即可．【详解】解：A、根据线段的垂直平分线的性质可知AB＝AD，一组邻边相等的平行四边形是菱形；符合题意；B、根据四条边相等的四边形是菱形，符合题意；C、根据两组对边分别平行四边形是平行四边形，不符合题意；D、根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，符合题意．故选：C．【点睛】本题考查了复杂作图，解决本题的关键是利用平行四边形的性质及判定、菱形的判定．16．如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB，CD交于点E，F，连结BF，交AC于点M，连结DE，BO．若∠BOC=60°，FO=FC，则下列结论：①AE=CF；②BF 垂直平分线段OC；③△EOB≌△CMB；④四边形是BFDE菱形．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】【分析】利用ASA定理证明△AOE≌△COF，从而判断①；利用线段垂直平分线的性质的逆定理可得结论②；在△EOB和△CMB中，对应直角边不相等，则两三角形不全等，从而判断③；连接BD，先证得BO=DO， OE=OF，进而证得OB⊥EF，因为BD、EF互相垂直平分，即可证得四边形EBFD是菱形，从而判断④．【详解】解：∵矩形ABCD中，O为AC中点∴∠DCA=∠BAC，OA=OC，∠AOE=∠COF∴△AOE≌△COF∴AE=CF，故①正确∵矩形ABCD中，O为AC中点，∴OB=OC，∵∠COB=60°，∴△OBC是等边三角形，∴OB=BC，∵FO=FC，∴FB垂直平分OC，故②正确；∵△BOC为等边三角形，FO=FC，∴BO⊥EF，BF⊥OC，∴∠CMB=∠EOB=90°，∴BO≠BM，∴△EOB与△CMB不全等；故③错误；连接BD，∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，AC、BD互相平分，∵O为AC中点，∴BD也过O点，且BO=DO由①可知△AOE≌△COF，∴OE=OF∴四边形EBFD是平行四边形由②可知，OB=CB，OF=FC又∵BF=BF∴△OBF≌△OCF∴BD⊥EF∴平行四边形EBFD是菱形，故④正确所以其中正确结论的个数为3个；故选：C．【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质以及三角函数等的知识．17．如图，在ABCD中，CD=2AD，BE⊥AD于点E，F为DC的中点，连结EF、BF，下列结论：①∠ABC=2∠ABF；②EF=BF；③S四边形DEBC=2S△EFB；④∠CFE=3∠DEF,其中正确结论的个数共有（）.A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【解析】分析：如图延长EF交BC的延长线于G，取AB的中点H连接FH．证明△DFE≌△FCG 得EF=FG，BE⊥BG，四边形BCFH是菱形即可解决问题；详解：如图延长EF交BC的延长线于G，取AB的中点H连接FH．∵CD=2AD，DF=FC，∴CF=CB，∴∠CFB=∠CBF，∵CD∥AB，∴∠CFB=∠FBH，∴∠CBF=∠FBH，∴∠ABC=2∠ABF．故①正确，∵DE∥CG，∴∠D=∠FCG，∵DF=FC，∠DFE=∠CFG，∴△DFE≌△FCG，∴FE=FG，∵BE⊥AD，∴∠AEB=90°，∵AD∥BC，∴∠AEB=∠EBG=90°，∴BF=EF=FG，故②正确，∵S△DFE=S△CFG，∴S四边形DEBC=S△EBG=2S△BEF，故③正确，∵AH=HB，DF=CF，AB=CD，∴CF=BH，∵CF∥BH，∴四边形BCFH是平行四边形，∵CF=BC，∴四边形BCFH是菱形，∴∠BFC=∠BFH，∵FE=FB，FH∥AD，BE⊥AD，∴FH⊥BE，∴∠BFH=∠EFH=∠DEF，∴∠EFC=3∠DEF，故④正确，故选D．点睛：本题考查平行四边形的性质和判定、菱形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．18．下列结论正确的是（）A．平行四边形是轴对称图形B．平行四边形的对角线相等C．平行四边形的对边平行且相等D．平行四边形的对角互补，邻角相等【答案】C【解析】【分析】分别利用平行四边形的性质和判定逐项判断即可．【详解】A、平行四边形不一定是轴对称图形，故A错误；B、平行四边形的对角线不相等，故B错误；C、平行四边形的对边平行且相等，故C正确；D、平行四边形的对角相等，邻角互补，故D错误．故选：C．【点睛】此题考查平行四边形的性质，掌握特殊平行四边形与一般平行四边形的区别是解题的关键．19．如图，在□ABCD中，延长CD到E，使DE＝CD，连接BE交AD于点F，交AC于点G．下列结论中：①DE＝DF；②AG＝GF；③AF＝DF；④BG＝GC；⑤BF＝EF，其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】【分析】由AAS证明△ABF≌△DEF，得出对应边相等AF=DF，BF=EF，即可得出结论，对于①②④不一定正确．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，即AB∥CE，∴∠ABF=∠E，∵DE=CD，∴AB=DE，在△ABF和△DEF中，∵===ABF EAFB DFE AB DE∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，∴△ABF≌△DEF（AAS），∴AF=DF，BF=EF；可得③⑤正确，故选：B．【点睛】此题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键．20．一个多边形的每一个外角都是72°，那么这个多边形的内角和为( )A．540°B．720°C．900°D．1080°【答案】A【解析】【详解】解：∵多边形的每一个外角都是72°，∴多边形的边数为：3605 72=，∴该多边形的内角和为：（5-2）×180°=540°．故选A．【点睛】外角和是360°，除以一个外角度数即为多边形的边数．根据多边形的内角和公式可求得该多边形的内角和．。
(完整版)初二数学经典难题(带答案及解析)
初二数学经典难题、解答题（共 10 小题，满分 100 分）2．（10分）已知：如图，在四边形 ABCD 中， AD=BC ，M 、N 分别是 AB 、CD 的中点， AD 、BC 的延长线交 MN 于 E 、 F ．求证： ∠DEN= ∠F ．3．（ 10分）如图，分别以 △ABC 的边 AC 、BC 为一边，在 △ABC 外作正方形 ACDE 和CBFG ，点 P 是EF 的中点，4．（10 分）设 P 是平行四边形 ABCD 内部的一点，且 ∠PBA=∠PDA ． 求证： ∠PAB= ∠PCB ．5．（10 分） P 为正方形 ABCD 内的一点，并且 PA=a ， PB=2a ， PC=3a ，求正方形的边长．P 是正方形 ABCD 内点 ∠PAD=∠PDA=15 °．求证： △ PBC 是正三角形． 初二） 10 分）已知：如图，求证：点 P 到 AB 的距离是 AB 的一半．6．（10 分）一个圆柱形容器的容积为V 立方米，开始用一根小水管向容器内注水，水面高度达到容器高度一半后，改用一根口径为小水管 2 倍的大水管注水．向容器中注满水的全过程共用时间t 分．求两根水管各自注水的速度．7．（10分）（2009?郴州）如图1，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点M（﹣2，﹣1），且P（﹣1，﹣2）为双曲线上的一点，Q 为坐标平面上一动点，PA 垂直于x 轴，QB 垂直于y 轴，垂足分别是A、B．（1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；（2）当点Q在直线MO 上运动时，直线MO 上是否存在这样的点Q，使得△ OBQ 与△OAP面积相等？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由；8．（10分）（2008?海南）如图，P是边长为1的正方形ABCD 对角线AC 上一动点（P与A、C 不重合），点E在线段BC 上，且PE=PB ．（1）求证：① PE=PD ；② PE⊥PD；（2）设AP=x ，△ PBE 的面积为y．① 求出y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；② 当x 取何值时，y 取得最大值，并求出这个最大值．9．（10分）（2010?河南）如图，直线y=k 1x+b 与反比例函数（x>0）的图象交于A（1，6），B（a，3）两点．（1）求k1、k2 的值．2）直接写出 时 x 的取值范围；3）如图，等腰梯形 OBCD 中，BC ∥OD ，OB=CD ，OD 边在 x 轴上，过点 C 作 CE ⊥OD 于点函数的图象交于点 P ，当梯形 OBCD 的面积为 12 时，请判断 PC 和 PE 的大小关系，并说明理由．E ，CE 和反比例10．（10 分）（ 2007?福州）如图，已知直线与双曲线交于 A ， B 两点，且点 A 的横坐标为 4．1）求 k 的值； 2）若双曲线上一点 C 的纵坐标为 8，求 △AOC 的面积；3）过原点 O 的另一条直线 l 交双曲线 于 P ，Q 两点（ P 点在第一象限） ，若由点A ，B ，P ，Q 为P 的坐标．求点初二数学经典难题参考答案与试题解析、解答题（共 10 小题，满分 100 分）考点 ： 正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；等边三角形的判定。
(完整版)初二数学四边形难题(含答案)
初二数学四边形难题(含答案)1．已知：在矩形ABCD 中，AE ⊥BD 于E ， ∠DAE=3∠BAE ，求：∠EAC 的度数。
2．已知：直角梯形ABCD 中，BC=CD=a 且∠BCD=60︒，E 、F 分别为梯形的腰AB 、 DC 的中点，求：EF 的长。
3、已知：在等腰梯形ABCD 中，AB ∥DC ， AD=BC ，E 、F 分别为AD 、BC 的中点，BD 平分∠ABC 交EF 于G ，EG=18，GF=10 求：等腰梯形ABCD 的周长。
4、已知：梯形ABCD 中，AB ∥CD ，以AD ， AC 为邻边作平行四边形ACED ，DC 延长线 交BE 于F ，求证：F 是BE 的中点。
5、已知：梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AC ⊥CB ， AC 平分∠A ，又∠B=60︒，梯形的周长是 20cm, 求：AB 的长。
6、从平行四边形四边形ABCD 的各顶点作对角线的垂线AE 、BF 、CG 、DH ，垂足分别是E 、F 、G 、H ，求证：EF ∥GH 。
_ D_ C_ B _ C_ A _ B_ A _ B_ E _A_ B7、已知：梯形ABCD 的对角线的交点为E 若在平行边的一边BC 的延长线上取一点F ， 使S ABC ∆=S EBF ∆，求证：DF ∥AC 。
8、在正方形ABCD 中，直线EF 平行于 对角线AC ，与边AB 、BC 的交点为E 、F ， 在DA 的延长线上取一点G ，使AG=AD ， 若EG 与DF 的交点为H ，求证：AH 与正方形的边长相等。
9、若以直角三角形ABC 的边AB 为边， 在三角形ABC 的外部作正方形ABDE ， AF 是BC 边的高，延长FA 使AG=BC ，求证：BG=CD 。
10、正方形ABCD ，E 、F 分别是AB 、AD 延长线上的一点，且AE=AF=AC ，EF 交BC 于G ，交AC 于K ，交CD 于H ，求证：EG=GC=CH=HF 。
(完整版)初中数学经典难题(含答案)
经典难题（一）1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ． 求证：CD ＝GF ．（初二）2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内点，∠PAD ＝∠PDA ＝150． 求证：△PBC 是正三角形．（初二）3、如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形，A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、CC 1、DD 1的中点．求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正方形．（初二）4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC的延长线交MN 于E 、F ．求证：∠DEN ＝∠F ．A P C DB A F G CE BO D D 2 C 2B 2 A 2D 1 C 1 B 1C B DA A 1 A N FE CDMBP CG FB QA D E1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O （1）求证：AH ＝2OM ； （2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二）2、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 及D 、E ，直线EB 及CD 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二）3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ，设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二）4、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG ，点P 是EF 的中点．求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半．（初二）· A D HE M C B O · GAO D B EC Q P NM · O Q PB DEC N M · A1、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与CD 相交于F ．求证：CE ＝CF ．（初二）2、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，且CE ＝CA ，直线EC 交DA 延长线于F ．求证：AE ＝AF ．（初二）3、设P 是正方形ABCD 一边BC 上的任一点，PF ⊥AP ，CF 平分∠DCE ．求证：PA ＝PF ．（初二）4、如图，PC 切圆O 于C ，AC 为圆的直径，PEF 为圆的割线，AE 、AF 与直线PO 相交于B 、D ．求证：AB ＝DC ，BC ＝AD ．（初三）D AF D E C B E DA CB F A E PC B A OD BFAECP1、已知：△ABC 是正三角形，P 是三角形内一点，PA ＝3，PB ＝4，PC ＝5．求：∠APB 的度数．（初二）2、设P 是平行四边形ABCD 内部的一点，且∠PBA ＝∠PDA ． 求证：∠PAB ＝∠PCB ．（初二）3、Ptolemy （托勒密）定理：设ABCD 为圆内接凸四边形，求证：AB ·CD ＋AD ·BC ＝AC ·BD ． （初三）4、平行四边形ABCD 中，设E 、F 分别是BC 、AB 上的一点，AE 与CF 相交于P ，且 AE ＝CF ．求证：∠DPA ＝∠DPC ．（初二）AP C B P A D CB C B DAF PD E C B A1、设P 是边长为1的正△ABC 内任一点，l ＝PA ＋PB ＋PC ，求证：3≤L ＜2．2、已知：P 是边长为1的正方形ABCD 内的一点，求PA ＋PB ＋PC 的最小值．3、P 为正方形ABCD 内的一点，并且PA ＝a ，PB ＝2a ，PC ＝3a ，求正方形的边长．4、如图，△ABC 中，∠ABC ＝∠ACB ＝800，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，∠DCA ＝300，∠EBA ＝200，求∠BED 的度数．APCBACBPDEDCB AA CBPD经典难题（一）1、2、3、4、经典难题（二）1、2、4、经典难题（三）1、3、4、1、2、3、4、证明：过D 作DQ ⊥AE ，DG ⊥CF,并连接DF 和DE ，如右图所示 则S △ADE =21S ABCD =S △DFC ∴21 AE ﹒DQ = 21 DG ﹒FC 又∵AE=FC,∴DQ=DG,∴PD 为∠APC 的角平分线，∴∠DPA=∠DPC1、2、3、3、4、。
初二数学经典四边形习题50道(附答案)
初二数学经典四边形习题50道(附答案)1.在矩形ABCD中，已知AE垂直于BD于点E，且角DAE是角BAE的三倍。
求角EAC的度数。
2.在直角梯形ABCD中，BC=CD=a，且角BCD为60度。
点E和F分别为梯形的腰AB和DC的中点。
求EF的长度。
3.在等腰梯形ABCD中，AB平行于DC，AD=BC，E和F分别为AD和BC的中点。
BD平分角ABC，与EF交于点G，且EG=18，GF=10.求等腰梯形ABCD的周长。
4.在梯形ABCD中，AB平行于CD，以AD和EAC为邻边作平行四边形ACED。
DC的延长线交于BE于点F。
证明：F是BE的中点。
5.在梯形ABCD中，AB平行于CD，AC垂直于CB，AC平分角A，且角B为60度。
已知梯形的周长为20厘米。
求AB的长度。
6.从平行四边形ABCD的各顶点作对角线的垂线AE、BF、CG、DH，垂足分别是E、F、G、H。
证明：EF平行于GH。
7.在梯形ABCD中，对角线交点为E。
在平行边的一边BC的延长线上取一点F，使得三角形ABC和三角形EBF的面积相等。
证明：DF平行于AC。
8.在正方形ABCD中，直线EF平行于对角线AC，与边AB和BC相交于点E和F。
在DA的延长线上取一点G，使AG等于AD。
若EG与DF相交于点H，证明：AH等于正方形的边长。
9.以直角三角形ABC的边AB为边，在三角形ABC的外部作正方形ABDE。
AF是BC边的高，延长FA使AG等于BC。
证明：BG等于CD。
10.在正方形ABCD中，E和F分别是AB和AD延长线上的一点，且AE、AF和AC相等。
EF交BC于点G，交AC于点K，交CD于点H。
证明：EG等于GC等于CH等于HF。
11.在正方形ABCD的对角线BD上，取BE等于AB。
过点E作BD的垂线EF，与CD相交于点F。
证明：CF等于ED。
12.在平行四边形ABCD中，角A和角D的平分线相交于点XXX与DC和AB的延长线交于点G和F。