初二数学经典难题及答案

初二数学经典题型1．已知：如图，P是正方形ABCD内点，∠PAD＝∠PDA＝150．求证：△PBC是正三角形．
证明如下。

首先，PA=PD，∠PAD=∠PDA=（180°-150°）÷2=15°，∠
PAB=90°-15°=75°。

在正方形ABCD之外以AD为底边作正三角形ADQ，连接PQ，则
∠PDQ=60°+15°=75°，同样∠PAQ=75°，又AQ=DQ,，PA=PD，所以△PAQ≌△PDQ，那么∠PQA=∠PQD=60°÷2=30°，在△PQA中，
∠APQ=180°-30°-75°=75°=∠PAQ=∠PAB，于是PQ=AQ=AB，
显然△PAQ≌△PAB，得∠PBA=∠PQA=30°，
PB=PQ=AB=BC，∠PBC=90°-30°=60°，所以△ABC是正三角形。

2.已知：如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，M、N分别是AB、
延长线交MN于E、F．求证：∠DEN＝∠F．
证明:连接AC,并取AC的中点G,连接GF,GM.
又点N为CD的中点,则GN=AD/2;GN∥AD,∠GNM=∠DEM;(1)
同理:GM=BC/2;GM∥BC,∠GMN=∠CFN;(2)
又AD=BC,则:GN=GM,∠GNM=∠GMN.故:∠DEM=∠CFN.
3、如图，分别以△ABC的AC和BC为一边，在△ABC的外侧作正方形ACDE和正方形
CBFG，点P是EF的中点．求证：点P到边AB的距离等于AB的一半．
证明：分别过E、C、F作直线AB的垂线，垂足分别为M、O、N，
在梯形MEFN中，WE平行NF
因为P为EF中点，PQ平行于两底
所以PQ为梯形MEFN中位线，
所以PQ＝（ME＋NF）/2
又因为，角0CB＋角OBC＝90°＝角NBF＋角CBO
所以角OCB=角NBF
而角C0B＝角Rt＝角BNF
CB=BF
所以△OCB全等于△NBF
△MEA全等于△OAC（同理）
所以EM＝AO，0B＝NF
所以PQ=AB/2.
4、设P 是平行四边形ABCD 内部的一点，且∠PBA ＝∠PDA ．求证：∠PAB ＝∠PCB ． 过点P 作DA 的平行线，过点A 作DP 的平行线，两者相交于点E ；连接BE
因为DP2a3a 个圆柱形容器的容积为V 立方米，
注满水的全过程共用时间t 解：设小水管进水速度为x ，则大水管进水速度为4x 。

由题意得：
t x v
x v =+82 解之得：t
v x 85=
经检验得：t
v
x 85=
是原方程解。

∴小口径水管速度为
t v 85，大口径水管速度为t
v 25。

7．如图11，已知正比例函数和反比例函数的图像都经过点M （－2，1），且P （1，－2）为双曲线上的一点，Q 为坐标平面上一动点，PA 垂直于x 轴，QB 垂直于y 轴，垂足分别是A 、B ．
（1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；
（2）当点Q 在直线MO 上运动时，直线MO 上是否存在这样的点Q ，使得△OBQ 与△
OAP 面积相等如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由；
（3）如图12，当点Q 在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP 、OQ 为邻边的平行
四边形OPCQ ，求平行四边形OPCQ 周长的最小值．
y kx =，将点M （2-，22
x 2y x
（2）当点Q 在直线DO 上运动时， 设点Q 的坐标为1()2
Q m m ，， 于是2
1
11
12224
OBQ S OB BQ m m m △， 而1
(1)(2)12OAP
S △， 所以有，2114
m ，解得2m =±
所以点Q 的坐标为1(21)Q ，
和2(21)Q ， （3）因为四边形OPCQ 是平行四边形，所以OP ＝CQ ，OQ ＝PC ，
而点P （1-，2-）是定点，所以OP 的长也是定长，所以要求平行四边形OPCQ 周长的最小值就只需求OQ 的最小值．
因为点Q 在第一象限中双曲线上，所以可设点Q 的坐标为2()Q n n
，， 由勾股定理可得2
2
22
4
2()4OQ n n
n n
，
所以当22()0n
n
即20n
n
时，2OQ 有最小值4，
又因为OQ 为正值，所以OQ 与2OQ 同时取得最小值， 所以OQ 有最小值2．
由勾股定理得OP OPCQ 周长的最小值是
8.如图，P 是边长为1的正方形ABCD 对角线AC 上一动点（P 与A 、C 不重合），点E
在射线BC 上，且PE=PB .
（1）求证：① PE=PD ； ② PE ⊥PD ； （2）设AP =x , △PBE 的面积为y .
① 求出y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围； ② 当x 取何值时，y 取得最大值，并求出这个最大值. 解：（1）证法一：
① ∵ 四边形ABCD 是正方形，AC 为对角线， ∴ BC=DC , ∠BCP =∠DCP=45°. ∵ PC =PC ，
∴ △PBC ≌△PDC （SAS ）.
∴ PB = PD ， ∠PBC =∠PDC .
又∵PB= PE ，
∴PE=PD.
②（i）当点E在线段BC上(E与B、C不重合)时，
∵ PB=PE，
∴∠PBE=∠PEB，
∴∠PEB=∠PDC，
∴∠PEB+∠PEC=∠PDC+∠PEC=180°，
∴∠DPE=360°-(∠BCD+∠PDC+∠PEC)=90°，
∴PE⊥PD. ）
（ii）当点E与点C重合时，点P恰好在AC中点处，此时，PE⊥PD. （iii）当点E在BC的延长线上时，如图.
∵∠PEC=∠PDC，∠1=∠2，
∴∠DPE=∠DCE=90°，
∴PE⊥PD.
综合（i）（ii）（iii）, PE⊥PD.
（2）①过点P作PF⊥BC，垂足为F，则BF=FE.
∵ AP =x ，AC =2，
∴ PC =2- x ，PF =FC =x x 2
21)2(2
2-=-.
BF =FE =1-FC =1-(x 2
21-)=x 2
2.
∴ S △PBE =BF ·PF =x 2
2(x 2
21-)x x 2
2212+-=.
即 x x y 2
22
12+-= (0＜x ＜2).
② 4
1)2
2(2
12
22
122+--=+-=x x x y .
∵ 2
1-=a ＜0，
∴ 当2
2=x 时，y 最大值4
1=.
（1）证法二：① 过点P 作GF ∥AB ，分别交AD 、BC 于G 、F . 如图所示. ∵ 四边形ABCD 是正方形，
∴ 四边形ABFG 和四边形GFCD 都是矩形，
△AGP 和△PFC 都是等腰直角三角形.
∴ GD=FC =FP ，GP=AG =BF ，∠PGD =∠PFE =90°. 又∵ PB =PE ， ∴ BF =FE ， ∴ GP =FE ，
∴ △EFP ≌△PGD （SAS ）. ∴ PE =PD . ② ∴ ∠1=∠2.
∴ ∠1+∠3=∠2+∠3=90°. ∴ ∠DPE =90°.
∴ PE ⊥PD . （2）①∵ AP =x ，
∴ BF =PG =x 2
2，PF =1-x 2
2.
∴ S △PBE =BF ·PF =x 2
2(x 2
21-)x x 2
2212+-=.
即 x x y 2
22
12+-= (0＜x ＜2).
② 4
1)2
2(2
12
22
122+--=+-=x x x y .
∵ 2
1-=a ＜0，
∴ 当2
2=x 时，y 最大值4
1=.
9、如图，直线y=k 1x+b 与反比例函数 y=k2x 的图象交于A （1，6），B （a ，3）两点． （1）求k 1、k 2的值．
（2）直接写出 k1x+b-k2x ＞0时x 的取值范围；
（3）如图，等腰梯形OBCD 中，BC ∥OD ，OB=CD ，OD 边在x 轴上，过点C 作CE ⊥OD 于点E ，CE 和反比例函数的图象交于点P ，当梯形OBCD 的面积为12时，请判断PC 和PE 的大小关系，并说明理由．
10、如图12，已知直线12
y x =与双曲线(0)k y k x
=>交于A B ，两点，且点A 的横坐标为4．
（1）求k 的值；
（2）若双曲线(0)k y k x
=>上一点C 的纵坐标为8，求AOC △的面积； （3）过原点O 的另一条直线l 交双曲线(0)k
y k x
=>于P Q ，两点（P 点在第一象限），若由点A B P Q ，，，为顶点组成的四边形面积为24，求点P 的坐标．。