高考理科数学《数列》题型归纳与训练

1 高考理科数学《数列》题型归纳与训练 【题型归纳】 等差数列、等比数列的基本运算 题组一 等差数列基本量的计算 例1 设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1=1，公差d=2，Sn＋2−Sn=36，则n=

A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D

【解析】解法一：由题知21(1)21nSnadnnnnnn，Sn＋2=(n＋2)2，由Sn＋2−Sn=36得，(n＋

2)2−n2=4n＋4=36，所以n=8. 解法二：Sn＋2−Sn=an＋1＋an＋2=2a1＋(2n＋1)d=2＋2(2n＋1)=36，解得n=8.所以选D．

【易错点】对Sn＋2−Sn=36，解析为an＋2，

发生错误。

题组二 等比数列基本量的计算 例2 在各项均为正数的等比数列{an}中，若28641,2aaaa，则a6的值是________．

【答案】4 【解析】设公比为q(q≠0)，∵a2=1，则由8642aaa得6422qqq，即4220qq，解得q2=2，

∴4624aaq. 【易错点】忘了条件中的正数的等比数列. 【思维点拨】 等差（比）数列基本量的计算是解决等差（比）数列题型时的基础方法，在高考中常有所体现，多以选择题或填空题的形式呈现，有时也会出现在解答题的第一问中，属基础题.等差(比)数列基本运算的解题思路： (1)设基本量a1和公差d(公比q)． (2)列、解方程组：把条件转化为关于a1和d(q)的方程(组)，然后求解，注意整体计算，以减少运算量． 2

等差数列、等比数列的判定与证明 题组一 等差数列的判定与证明 例1设数列{an}的各项都为正数，其前n项和为Sn，已知对任意n∈N*，Sn是a2n和an的等差中项．

(1)证明：数列{an}为等差数列； (2)若bn=−n＋5，求{an·bn}的最大项的值并求出取最大值时n的值． 【答案】(1)见解析；(2) 当n=2或n=3时，{an·bn}的最大项的值为6.

【解析】(1)由已知可得2Sn=a2n＋an，且an>0，

当n=1时，2a1=a21＋a1，解得a1=1；

当n≥2时，有2Sn−1=a2n－1＋an−1，

所以2an=2Sn−2Sn−1=a2n−a2n－1＋an−an−1，

所以a2n−a2n－1=an＋an−1，即(an＋an−1)(an−an−1)=an＋an−1，

因为an＋an−1>0，

所以an−an−1=1(n≥2)．

故数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列．

(2)由(1)可知an=n，

设cn=an·bn，则cn=n(−n＋5)=−n2＋5n=−n－522＋254， 因为n∈N*， 所以当n=2或n=3时，{an·bn}的最大项的值为6.

【易错点】Sn是a2n和an的等差中项，无法构建一个等式去求解出an。

【思维点拨】

等差数列的判定与证明的方法： ①定义法：1()nnaadn*N或1(2,)nnaadnn*Nna是等差数列；

②定义变形法：验证是否满足11(2,)nnnnaaaann*N；

③等差中项法：122()nnnnaaana*N为等差数列；

④通项公式法：通项公式形如(,napnqpq为常数)na为等差数列；

⑤前n项和公式法：2(,nSpnqnpq为常数)na为等差数列．

注意： 3

（1）若判断一个数列不是等差数列，只需找出三项12,,nnnaaa，使得122nnnaaa即可； （2）如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法． 题组二 等比数列的判定与证明 例2设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=1，Sn＋1=4an＋2.

(1)设bn=an＋1−2an，证明：数列{bn}是等比数列； (2)求数列{an}的通项公式． 【答案】(1)见解析；(2) an=(3n−1)·2n−2.

【解析】(1)由a1=1及Sn＋1=4an＋2，得a1＋a2=S2=4a1＋2.

∴a2=5，

∴b1=a2−2a1=3.

又 Sn＋1＝4an＋2， ①Sn＝4an－1＋2， ② ①−②，得an＋1=4an−4an−1，

∴an＋1−2an=2(an−2an−1)．

∵bn=an＋1−2an，

∴bn=2bn−1，

故{bn}是首项b1=3，公比为2的等比数列.

(2)由(1)知bn=an＋1−2an=3·2n−1

，

∴an＋12n＋1−an2n=34， 故an2n是首项为12，公差为34的等差数列． ∴an2n=12＋(n−1)·34=3n－14， 故an=(3n−1)·2n−2.

【易错点】对于bn=an＋1−2an，

在条件中无法构造出来，等比数列的判定与证明常用的方法不清楚.

【思维点拨】 等比数列的判定与证明常用的方法：

（1）定义法：1nnaqa(q为常数且0)q数列{}na是等比数列． （2）等比中项法：212(,0)nnnnaaana*N数列{}na是等比数列． 4

（3）通项公式法：(0,)nnatqtqn*N数列{}na是等比数列． （4）前n项和公式法：若数列的前n项和nnSAqA(0,0,1)Aqq，则该数列是等比数列． 其中前两种方法是证明等比数列的常用方法，而后两种方法一般用于选择题、填空题中． 注意： （1）若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可． （2）只满足10nnaqaq的数列未必是等比数列，要使其成为等比数列还需要1

0a.

等差数列、等比数列的性质 题组一 等差数列性质的应用 例1若{an}是等差数列，首项a1>0，a2 016＋a2 017>0，a2 016·a2 017<0，则使前n项和Sn>0成立的最大正整数n

是 A．2 016 B．2 017 C．4 032 D．4 033 【答案】C 【解析】因为a1>0，a2 016＋a2 017>0，a2 016·a2 017<0，所以d<0，a2 016>0，a2 017<0，

所以14032201620174 0324032()4032()022aaaaS，140334 03320174033()403302aaSa，所以使前n项和Sn>0成立的最大正整数n是4 032.

【易错点】等差数列的求和与等差数列的某一项有关系。 题组二 等比数列性质的应用 例2已知数列{an}是等比数列，Sn为其前n项和，若a1＋a2＋a3=4，a4＋a5＋a6=8，则S12=

A．40 B．60 C．32 D．50 【答案】B 【解析】由等比数列的性质可知，数列S3，S6−S3，S9−S6，S12−S9是等比数列，即数列4,8，S9−S6，S12−S9

是等比数列，因此S12=4＋8＋16＋32=60，选B．

【易错点】21nnnSqS，等式不会转化. 【思维点拨】 等差（比）数列的性质是每年高考的热点之一，利用等差（比）数列的性质进行求解可使题目减少运 5

算量，题型以选择题或填空题为主，难度不大，属中低档题. 应用等差数列性质的注意点： （1）熟练掌握等差数列性质的实质 等差数列的性质是等差数列的定义、通项公式以及前n项和公式等基础知识的推广与变形，熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等差数列问题. （2）应用等差数列的性质解答问题的关键 寻找项数之间的关系，但要注意性质运用的条件，如若mnpq，则qpnm

aaaa(,mn,p,

)q*N，需要当序号之和相等、项数相同时才成立，再比如只有当等差数列{a

n}的前n项和Sn中的n为奇

数时，才有Sn=na中成立. 应用等比数列性质时的注意点： （1）在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m＋n=p＋q，则am·an=ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度． （2）在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用. 等差数列与等比数列的综合 例1 已知{an}是等差数列，公差d不为零，前n项和是Sn.若a3，a4，a8成等比数列，则

A．a1d>0，dS4>0 B．a1d<0，dS4<0 C．a1d>0，dS4<0 D．a1d<0，dS4>0 【答案】B 【解析】由a24=a3a8，得(a1＋2d)(a1＋7d)=(a1＋3d)2，整理得d(5d＋3a1)=0，又d≠0，∴a1=−53d，则a1d=−53d2<0，

又∵S4=4a1＋6d=−23d，∴dS4=−23d2<0，故选B．

【易错点】对三项成等差数列的中项性质应用. 例2 已知数列{an}满足：an＋1−an=d(n∈N*)，前n项和记为Sn，a1=4，S3=21.

(1)求数列{an}的通项公式； (2)设数列{bn}满足b1=167，12nannbb＋，求数列{bn}的通项公式． 【答案】(1) an=3n＋1；(2) bn=17×23n＋1.

【解析】(1)由已知数列{an}为等差数列，公差为d，则S3=3×4＋3×22d=21，解得d=3，