材料力学斜截面应力分析

面上正应力取极值，也即是说，主应力是正应力的极值。 可解得： tg 2α 0 = 2τ xy σx −σy
2α 0 = tg −1 令： R= ( σ x −σ y 2 ) 2 + τ xy =
2
2τ xy σ x −σ y
+ kπ
1 2 (σ x − σ y ) 2 + 4τ xy 2
对于上面的 2α 0 ，可求得： sin 2α 0 = τ xy R
dx = ds sin α ， 沿 y 轴 的 投 影 长 为 dy = ds cos α 。 设 斜 截 面 上 的 应 力 矢 量 为
v v v v v ，根据楔形体的平衡条件可 p = p x i + p y j （ i , j 分别为 x, y 轴方向的单位矢量） 得：
∑X ∑Y
化简得：
i
i
2 2 2
图 4 斜截面应力分量分析 斜面上的正应力 σ α 和切应力 τ α 可通过应力矢量的投影进行计算：沿斜面外 法线方向投影可得斜面上的正应力，沿斜面平行方向投影可得切应力。
σ α = p x cos α + p y sin α = (σ x cos α + τ yx sin α ) cos α + (σ y sin α + τ xy cos α ) sin α = σ x cos 2 α + σ y sin 2 α + 2τ xy sin α cos α 1 + cos 2α 1 − cos 2α +σ y × + τ xy sin 2α 2 2 σ x +σ y σ x −σ y cos 2α + τ xy sin 2α = + 2 2 =σx × τ α = − px sin α + p y cos α = −(σ x cos α + τ yx sin α ) sin α + (σ y sin α + τ xy cos α ) cos α = −σ x sin α cos α + σ y sin α cos α − τ yx sin 2 α + τ xy cos 2 α = −(σ x − σ y ) sin α cos α + τ xy (cos 2 α − sin 2 α ) =− σx −σ y sin 2α + τ xy cos 2α 2 σx +σ y σx −σ y + cos 2α + τ xy sin 2α 2 2 σ x −σ y 2 sin 2α + τ xy cos 2α
根据斜截面上切应力的计算公式，由τ α = 0 可得到主平面的计算方法，设主 平面外法线方向与 x 轴的夹角为 α 0 ，则有： τα = − σ x −σ y 2 sin 2α 0 + τ xy cos 2α 0 = 0
另外，由
σ x −σ y dσ α = 2(− sin 2α + τ xy cos 2α ) = 0 可看出，切应力为零的斜 dα 2
σx −σ y σ −σ y 2 cos 2α 0 = = x R 2R 上面两式可通过 α = α 0 时 τ α = 0 验证： τα = − σx −σ y sin 2α 0 + τ xy cos 2α 0 2 σx −σ y τ 2 = R(− sin 2α 0 + xy cos 2α 0 ) R R = R(− cos 2α 0 sin 2α 0 + sin 2α 0 cos 2α 0 ) =0 利用 α 0 ，任意斜截面上的应力分量还可进一步分析得： σα = σx +σ y σx −σ y + cos 2α + τ xy sin 2α 2 2 σx −σy σ +σy τ = x + R( 2 cos 2α + xy sin 2α ) 2 R R σ +σy = x + R(cos 2α 0 cos 2α + sin 2α 0 sin 2α ) 2 σ +σy = x + R cos(2α 0 − 2α ) 2 τα = − σx −σ y sin 2α + τ xy cos 2α 2 σx −σy τ 2 = R(− sin 2α + xy cos 2α ) R R = R(− cos 2α 0 sin 2α + sin 2α 0 cos 2α ) = R sin(2α 0 − 2α )
、 sin 2α 0 =
（3）法线 方向与 x 轴夹角为 α 的斜截面上的应力分量 (σ α ,τ α ) ， 在 应力 圆 上与 (σ x ,τ xy ) 的夹角为 2α ，两者的转向一致。 （4）存在两个主应力点： σ 1 = σx +σ y 2 + R 、σ 2 = σ x +σ y 2 − R ，两个面在应力
= 0 ： Px dsdz − σ x dydz − τ yx dxdz = 0 = 0 ： Py dsdz − σ y dxdz − τ xy dxdz = 0 Px − σ x cos α − τ yx sin α = 0 Py − σ y sin α − τ xy cos α = 0
即有： Px = σ x cos α + τ yx sin α Py = σ y sin α + τ xy cos α 表示为矩阵形式为： Px σ x τ yx cos α σ x τ xy cos α = = Py τ xy σ y sin α τ yx σ y sin α v 如果应力矢量 p 没有与斜面平行的分量（切应力） ，只有与斜面垂直的分量 （正应力） ，则该平面称为主平面，相应的正应力称为主应力。 v 则主平面上的应力矢量 p 可表示为： 对于主应力平面， 设主应力的大小为 p ， Px cos α = p sin α Py
上两式表明： (σ α ,τ α ) 位于下面圆（称为应力圆，也称莫尔圆）上： (σ α − σ x +σ y 2 )2 +τα = R2
2
为了使斜截面转向与应力圆上角度的转向一致，可采用下面的坐标系：
图 5 平面应力圆 从应力圆上可以看出： （1）圆心为 ( σ x +σ y 2 ,0) ，半径为 R = ( σ x −σ y 2 ) 2 + τ xy =
上面两式重新整理为： σα =
τα = − 也可表示为矩阵形式：
σ +σy σ α x cos 2α = 2 + − sin 2α τ α 0

σ −σy sin 2α x 2 cos 2α τ xy
材料力学应力分析
（王家林）
图 1 空间应力单元 当 σ z = τ zx = τ xz = τ zy = τ yz = 0 时，退化为平面应力状态，应力单元为：
图 2 平面应力单元
对于图 2 的平面应力单元， 截取出如图 3 的楔形体分析对象 （厚度设为 dz ） ：
图 3 斜截面应力分析 如图 3，设斜截面与 x 轴的夹角为 α 、斜面长为 ds ，则沿 x 轴的投影长为
Px σ x τ xy cos α 结合 = 有： Py τ yx σ y sin α σ x τ xy cos α cos α = p τ sin α yx σ y sin α σ x τ xy 上式表现为实对称矩阵 的特征值问题：主应力为特征值，主平面 τ yx σ y 的法线方向单位矢量为特征向量。 基于这个性质，可采用特征值问题解法去获取 主应力和主平面，且满足相应的性质。 如可根据特征多项式为零的条件求主应力： σx − p τ xy =0 τ yx σy − p (σ x − p )(σ y − p ) − τ xy = 0 p 2 − (σ x + σ y ) p + σ xσ y − τ xy = 0 p1, 2 = σ x +σ y 2 ± ( σ x −σ y 2 ) 2 + τ xy
2
1 2 (σ x − σ y ) 2 + 4τ xy 2
（2）(σ x ,τ xy ) 点和 (σ y ,−τ xy ) 点的连线为直径（可通过对顶角相等证明） ，与 σ α 轴 2τ xy σ x −σ y τ xy 、 cos 2α 0 = R σ x −σ y 2 R 。
的夹角满足 tg 2α 0 =
圆上的夹角为 180 0 ，在应力单元上两个主平面互相垂直。 （5）切应力有极大值和极小值，两者绝对值相等： τ max = R = σ1 − σ 2 2
（6）应力单元上，任意两个互相垂直的面上的正应力之和相等，即：
σ x + σ y = σ1 + σ 2 （7）整个应力圆表示一个点，圆上不同位置点表示一个截面，横坐标和纵坐标 分别表示该截面上的正应力和切应力。