八年级下册数学《二次根式》复习学案
《二次根式》复习学案
一、基础知识：
1．一个正数有 个平方根，它们互为 ；0的平方根是 ；在实数范围内， 没有平方根；因此，开方时，被开方数只能是 和 ，即是 数。
2．形如 的式子叫做二次根式。
被开方数a 可以是数，也可以是代数式，但值必须是 数。
3．a a =2)(
，叫做双重 性。
4．==a a
2
(
5．实例分析：
（1）下列式子是二次根式的有 （填序号）：
)0(,
)(,
1),2
1(21,12,1,
1,9,
2,82
2
2
2
2
2
3
≤--+〉
-++---x x a x a a x x a
x a 。
（2）当x 时，二次根式x 2-有意义；当x 时，二次根式
x
x --21有意义。
（3）代数式
x
x --52中，x 的取值范围是 。
（4）使式子x x -=-3)3(2成立的x 的取值范围是 。
（5）若032=-+
-b a ，则=-b a 22。
（6）实数b a 、在数轴上的对应位置如图，则=--2
a
b a 。
6．满足①被开方数不含 ②被开方数中不含能开得尽方的 叫做最简二次根式。
如： c ab 3
8 最简二次根式；
7．二次根式的乘除运算法则： （1）=∙
b a )0,0(≥≥b a ；反之 。
（2）=b
a )0,0(〉≥
b a ；反之 。
8．二次根式的运算结果要求： （1）分母中不含有 ；（2）二次根式必须是 。
9．分母有理化：（1）形如
a
1的分母有理化，是将分子、分母分别乘以 ；形如
2
31+
的分
母有理化，是将分子、分母分别乘以 ，利用了乘法公式的 。
实例分析：化简或计算：
（1）=32b a ；（2）
=54
3 ；
（3）=+
+
++
+
+2010
201112
311
21 。
10．二次根式的加减：
（1）二次根式的合并：几个二次根式化成 后，如果 相同，则可以合并；合并时，是把它们的 相加减， 不变。
（2）二次根式的加减，应先将二次根式化成 二次根式，再将 相同的二次根式进行合并。
如：=-
+
-+)455112()3
127(
二、典例分析： 1.如果x
--
35是二次根式，那么x 应适合的条件是（ ）
A 、x ≥3
B 、x ≤3
C 、x ＞3
D 、x ＜3
2.
化简：21a -+的结果为（ ） A 、4—2a B 、0 C 、2a —4 D 、4 3.如图，在线段长x 、y 、z 、w 、p 中，是无理数的有（ ） A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个 4. 化简200320022323)()(+∙-的结果为（ ） A 、 –1 B 、23- C 、23+ D 、 23--
5.在直角坐标系内，点P （-2，
= 。
6.若代数式
()()2
2
42-+
-a a 的值是常数2，则a 的取值范围是___________。
7．计算：（1）)483
1()15(202
3-
∙-∙； （2）2
)352()352)(352(+
--
+
8.如图，公路MN 和公路PQ 在点P 处交汇，且∠QPN=30°，A 处有一所中学，AP=160米，假设拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN 上沿PN 方向行驶时，学校是否会受到噪音的影响？并说明理由；如果受到影响，已知拖拉机的速度为18千米、时，那么学校受影响的时间为多少秒？
课后练习
一、选择题：
1．下列式子中二次根式的个数有（ ） ⑴
3
1；⑵3-；⑶
12
+x ；⑷38；⑸2
3
1)
(-
；⑹)(11>-x x ；⑺122++x x .
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个 2.下列计算正确的是（ ）
A
、4=±
B
、1= C
4= D 、
263
2=⋅
3.下列各式中一定成立的是（ ）
A
2= B
2= C
2x =- D
=4.若
01=++
-y x x ，则2005
2006
y
x
+的值为（ ）
A ）0
B ）1
C ） -1
D ） 2
5. 化简
2
53+
，甲、乙两同学的解法如下：甲：
乙
对于他们的解法,正确的判断是( ).
A 、 甲、乙的解法都正确
B 、 甲的解法正确，乙的解法不正确
C 、 乙的解法正确，甲的解法不正确
D 、 甲、乙的解法都不正确 6．如果
)6(6-=
-∙
x x x x ，那么（ ）
A ．x ≥0
B ．x ≥6
C ．0≤x ≤6
D ．x 为一切实数
7．下列计算正确的是 （ ）
①69494=-⋅
-=
--))((； ②
69494=⋅
=
--))((；
③14545452
2=-⋅+=
-； ④145452
2
2
2
=-=-；
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
8.已知2x <, ）
A 、2x -
B 、2x +
C 、2x --
D 、2x -
二、填空题：
1．当x___________时，x 31-在实数范围内有意义．
2.二次根式2
12--x x 有意义时的x 的范围是＿＿＿＿＿＿
3． 化简：（1；（2）1127⨯=_____________；（3）
2
23⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=______________；2
5)
25)(
25(
)25(32
53-=-
+
-=
+
2
5)
25(
)
25)(25(2
53-=+
-+
=
+
（4
）；（5）2
)21(-= ；
（6。
4.比较大小：23-______52-。
5.写出一个无理数，使它与2的积为有理数： 。
6
1n n ===≥ 当时，第个表达式为 。
7.若x 、y 都为实数，且152********+-+-=x x y ，则y x +2
=________。
8.若实数a 、b 、c 在数轴上的位置如图则化简
=-+-++-||||)(2
2
a c c
b b a a。
三、解答题：
1．化简与计算：：
（1）2
1437⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛- （2）2
224
25- (3)))((36163--⋅
-
(4) )102
1(325
31-
⨯⨯ (5) 2484554+-+ （6）
27464834÷⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+
-
（7）()()()
2
123523527---+ （8）)455
112()3
127(+-
-+
2.已知的值。
求：2
2
,32,32y xy x y x +++
=-=
3.（6分）已知
，
的值。
4．先化简，再求值：x
x x x x 31)3
11(2
--÷
-++，其中13+=x
5.设75+的小数部分是a ，75-的小数部分是b ，求b ab 5+。
6.水库大坝截面的迎水坡坡比（DE 与AE 的长度之比）为1：0.6，背水坡坡比为1：2，大坝高DE=30米，坝顶宽CD=10米，求大坝的截面的周长。
※探究题：在数学课上，李老师出了一道题目：化简并求值：2
)10(1-+-x x ，其中9=x 。
同学小明是这样计算的： 解：112101)
10(12
-=-+-=-+
-x x x x x ，当x=9时，原式71192=-⨯=。
同学小荣是这样计算的： 解：9101)
10(12
=-+-=-+
-x x x x 。
请同学们想一想，谁的计算结果是正确的呢？错误的地方在哪里？你受到了什么启发？
A
C B
E D F。
人教版初中数学八年级下册《二次根式复习课》PPT课件
┃ 知识归类
3．二次根式的运算
a· b＝ ab
(a≥0，b≥0)；
a＝ b
a b (a≥0，
b>0)．
二次根式加减时，可以先将二次根式化成 最简二次根式 ，
再将
被开方数相同 的二次根式进行合并．
分母 开得尽方
课标（RJ）
考易点混攻辨略析: a2 与 a2的区别：(1)表示的意义不同. a2 表示非负实数 a 的
二次根式复习课
知识归类
┃知识归纳┃
1．二次根式的概念
一般地，形如 a (a≥0)的式子叫做二次根式；
注意： a (a≥0)是非负数，即 a≥0.(双重非负性) [易错点] (1)二次根式中，被开方数一定是非负数，否则就没有 意义； (2) 9是二次根式，虽然 9＝3，但 3 不是二次根式．因此二次 根式指的是某种式子的“外在形态”．
算术平方根的平方； a2表示实数 a 的平方的算术平方根．(2)运算 的顺序不同. a2 是先求非负实数 a 的算术平方根，然后再进行平 方运算；而 a2则是先求实数 a 的平方，再求 a2 的算术平方根．(3) 取值范围不同．在 a2 中，a 只能取非负实数，即 a≥0；而在 a2中， a 可以取一切实数．
课标（RJ）
考点攻略
┃考点攻略┃
► 考点一 二次根式的概念
课标（RJ）
┃ 知识归类
2．二次根式的性质
( a)2＝ a
(a≥0)
a a>0， ； a2＝a＝ 0 a＝0，
-a a<0.
化简二次根式时注意: ab＝ a· b (a≥0，b≥0)
ab＝
a b
(a≥0，b>0)
课标（RJ）
┃ ►考点考攻点略二 二次根式性质的运用
八年级数学下册 16 二次根式复习学案1(新版)新人教版
八年级数学下册 16 二次根式复习学案1（新版）新人教版本章学习要点：1、会根据二次根式的意义求被开方数中参数的取值范围；2、能正确、熟练地进行简单的二次根式的加、减、乘、除运算、本章学习关键：能正确熟练地将二次根式化为最简二次根式、【学前准备】一、本章知识结构和知识疏理二次根式的概念（）→ （）和的化简→最简二次根式→二次根式的加减乘除运算、1、形如（）的式子叫做二次根式；注意：表示非负数的、（1）二次根式中的取值范围是；（2）当时，二次根式有意义、2、二次根式的性质（）；（）、计算：（1）；（2）；（3）；（4）、3、二次根式的乘、除运算二次根式的乘法法则：（，），反过来：（，）、二次根式的除法法则：（，），反过来：（，）、计算：（1）= ；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）、4、二次根式的加、减运算一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化成，再将被开方数相同的二次根式、计算：（1）；（2）；（3）；教师二次备课备课教师：5、思考：解决上述问题需要注意什么呢？6、最简二次根式有何特征？（1）被开方数（2）被开方数7、分母有理化、计算：（1）；（2）；（3）；（4）、二、巩固练习：1、要使有意义，则（）A、B、C、D、2、下列计算正确的是（）A、B、C、D、3、若，则的值为、4、计算：（1）；（2） = ；（3）＝；（4）＝；（5）＝；（6）＝；5、计算下列各题：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）、课后作业1607－－二次根式（课时7）1、若直角三角形两条直角边的边长分别为cm和cm，那么此直角三角形斜边长是（）A、3cmB、3cmC、9cmD、27cm2、下列各等式成立的是（）、A、42=8B、54=20C、43=7D、54=203、当时，二次根式有意义：当时，二次根式有意义、4、计算：，，，，，，，，、5、化为最简二次根式：； = ； = 、6、若，则的值为、7、计算：(1)；（2）；（3）；（4））；（5））；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）、8、把下列各式的分母有理化：（1）；（2）；（3）；（4）、9、已知，求的近似值（结果保留小数点后两位）、*10、若整数满足且，求的值、【教学反思】。
人教版八年级数学下册教学设计《二次根式》复习
（二）讲授新知
1.教学内容：教师详细讲解二次根式的定义、性质、化简与运算规则。
（1）二次根式的定义：形如√a（a≥0）的式子，称为二次根式。
（2）二次根式的性质：a≥0时，√a为非负数；√(ab)=√a·√b；√(a/b)=√a/√b（a、b均为非负数）。
（3）二次根式的化简与运算规则：合并同类项、乘除运算、有理化等。
2.教学方法：采用讲解、举例、示范等方式，让学生掌握二次根式的相关知识。
（三）学生小组讨论
1.教学活动设计：教师提出讨论问题，学生分组讨论，共同探究二次根式的性质和运算规则。
讨论问题：“请举例说明二次根式的性质和运算规则，并尝试解决实际问题。”
1.注重激发学生的学习兴趣，通过实际例子引入二次根式的概念，使学生感受到数学的实用性和趣味性。
2.着重培养学生的逻辑思维和抽象思维能力，引导学生发现二次根式的性质和运算规律，提高学生的自学能力。
3.针对学生存在的问题，进行有针对性的教学，关注学生的个别差异，给予每个学生足够的关注和指导。
4.鼓励学生积极参与课堂讨论，培养学生的合作意识和沟通能力，使学生在互动交流中提高自己的数学素养。
4.创新思维：第六题是一道拓展题，鼓励学生运用所学知识进行创新思考，如探索二次根式的有理化方法，或寻找二次根式运算的新规律。
5.总结反思：要求学生撰写学习心得，总结自己在学习二次根式过程中的收获和遇到的困难，以及对未来学习的规划。
作业布置要求：
1.作业量适中，保证学生在课后有足够的时间进行复习和思考。
2.学生讨论：学生通过小组讨论，共同解决教师提出的问题，加深对二次根式知识的理解。
3.教师指导：教师巡回指导，关注学生的讨论过程，及时解答学生的疑问。
初中数学八年级下册《二次根式复习课》优秀教学设计
二次根式复习课教学目标1．使学生进一步理解二次根式的意义及基本性质，并能熟练地化简含二次根式的式子；2．熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算．教学重点和难点重点：含二次根式的式子的混合运算．难点：综合运用二次根式的性质及运算法则化简和计算含二次根式的式子．教学过程设计一、复习1．请同学回忆二次根式有哪些基本性质？用式子表示出来，并说明各式成立的条件．指出：二次根式的这些基本性质都是在一定条件下才成立的，主要应用于化简二次根式．2．二次根式的乘法及除法的法则是什么？用式子表示出来．指出：二次根式的乘、除法则也是在一定条件下成立的．把两个二次根式相除，计算结果要把分母有理化．3．在二次根式的化简或计算中，还常用到以下两个二次根式的关系式：4．在含有二次根式的式子的化简及求值等问题中，常运用三个可逆的式子：二、例题例1 x取什么值时，下列各式在实数范围内有意义：分析：(1)题是两个二次根式的和，x的取值必须使两个二次根式都有意义；(3)题是两个二次根式的和，x的取值必须使两个二次根式都有意义；(4)题的分子是二次根式，分母是含x的单项式，因此x的取值必须使二次根式有意义，同时使分母的值不等于零．x≥-2且x≠0．解因为n2-9≥0，9-n2≥0，且n-3≠0，所以n2=9且n≠3，所以例3分析：第一个二次根式的被开方数的分子与分母都可以分解因式．把它们分别分解因式后，再利用二次根式的基本性质把式子化简，化简中应注意利用题中的隐含条件3-a≥0和1-a＞0．解：因为1-a＞0，3-a≥0，所以a＜1，|a-2|＝2-a．(a-1)(a-3)=[-(1-a)][-(3-a)]=(1-a)(3-a)≥0．这些性质化简含二次根式的式子时，要注意上述条件，并要阐述清楚是怎样满足这些条件的．问：上面的代数式中的两个二次根式的被开方数的式子如何化为完全平方式？分析：先把第二个式子化简，再把两个式子进行通分，然后进行计算．解注意：所以在化简过程中，例6：分析：如果把两个式子通分，或把每一个式子的分母有理化再进行计算，这两种方法的运算量都较大，根据式子的结构特点，分别把两个式子的分母看作一个整体，用换元法把式子变形，就可以使运算变为简捷．a+b＝2(n+2)，ab=(n+2)2-(n2-4)＝4(n+2)，三、课堂练习1．选择题：A．a≤2B．a≥2C．a≠2D．a＜2A．x+2 B．-x-2C．-x+2D．x-2A．2x B．2a C．-2x D．-2a2．填空题：4．计算：四、小结1．本节课复习的五个基本问题是“二次根式”这一章的主要基础知识，同学们要深刻理解并牢固掌握．2．在一次根式的化简、计算及求值的过程中，应注意利用题中的使二次根式有意义的条件(或题中的隐含条件)，即被开方数为非负数，以确定被开方数中的字母或式子的取值范围．3．运用二次根式的四个基本性质进行二次根式的运算时，一定要注意论述每一个性质中字母的取值范围的条件．4．通过例题的讨论，要学会综合、灵活运用二次根式的意义、基本性质和法则以及有关多项式的因式分解，解答有关含二次根式的式子的化简、计算及求值等问题．五、作业1．x是什么值时，下列各式在实数范围内有意义？2．把下列各式化成最简二次根式：。
(完整版)人教版八年级下册数学(新)第十六章《二次根式》复习教案
二次根式复习课教学目标1．使学生进一步理解二次根式的意义及基本性质，并能熟练地化简含二次根式的式子；2．熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算．教学重点和难点重点：含二次根式的式子的混合运算．难点：综合运用二次根式的性质及运算法则化简和计算含二次根式的式子．教学过程设计一、复习1．请同学回忆二次根式有哪些基本性质？用式子表示出来，并说明各式成立的条件．指出：二次根式的这些基本性质都是在一定条件下才成立的，主要应用于化简二次根式．2．二次根式的乘法及除法的法则是什么？用式子表示出来．指出：二次根式的乘、除法则也是在一定条件下成立的．把两个二次根式相除，计算结果要把分母有理化．3．在二次根式的化简或计算中，还常用到以下两个二次根式的关系式：4．在含有二次根式的式子的化简及求值等问题中，常运用三个可逆的式子：二、例题例1 x取什么值时，下列各式在实数范围内有意义：分析：(1)题是两个二次根式的和，x的取值必须使两个二次根式都有意义；(3)题是两个二次根式的和，x的取值必须使两个二次根式都有意义；(4)题的分子是二次根式，分母是含x的单项式，因此x的取值必须使二次根式有意义，同时使分母的值不等于零．x≥-2且x≠0．解因为n2-9≥0，9-n2≥0，且n-3≠0，所以n2=9且n≠3，所以例3分析：第一个二次根式的被开方数的分子与分母都可以分解因式．把它们分别分解因式后，再利用二次根式的基本性质把式子化简，化简中应注意利用题中的隐含条件3-a≥0和1-a＞0．解：因为1-a＞0，3-a≥0，所以a＜1，|a-2|＝2-a．(a-1)(a-3)=[-(1-a)][-(3-a)]=(1-a)(3-a)≥0．这些性质化简含二次根式的式子时，要注意上述条件，并要阐述清楚是怎样满足这些条件的．问：上面的代数式中的两个二次根式的被开方数的式子如何化为完全平方式？分析：先把第二个式子化简，再把两个式子进行通分，然后进行计算．注意：所以在化简过程中，例6：分析：如果把两个式子通分，或把每一个式子的分母有理化再进行计算，这两种方法的运算量都较大，根据式子的结构特点，分别把两个式子的分母看作一个整体，用换元法把式子变形，就可以使运算变为简捷．a+b＝2(n+2)，ab=(n+2)2-(n2-4)＝4(n+2)，三、课堂练习1．选择题：A．a≤2B．a≥2C．a≠2D．a＜2A．x+2 B．-x-2C．-x+2D．x-2A．2x B．2a C．-2x D．-2a2．填空题：4．计算：四、小结1．本节课复习的五个基本问题是“二次根式”这一章的主要基础知识，同学们要深刻理解并牢固掌握．2．在一次根式的化简、计算及求值的过程中，应注意利用题中的使二次根式有意义的条件(或题中的隐含条件)，即被开方数为非负数，以确定被开方数中的字母或式子的取值范围．3．运用二次根式的四个基本性质进行二次根式的运算时，一定要注意论述每一个性质中字母的取值范围的条件．4．通过例题的讨论，要学会综合、灵活运用二次根式的意义、基本性质和法则以及有关多项式的因式分解，解答有关含二次根式的式子的化简、计算及求值等问题．五、作业1．x是什么值时，下列各式在实数范围内有意义？2．把下列各式化成最简二次根式：。
人教版数学八年级下册 16.4 二次根式 复习导学案
二次根式复习一、学习目标1、知识目标：了解二次根式的定义||，掌握二次根式有意义的条件和性质||，熟练进行二次根式的乘除法运算||，理解同类二次根式的定义||，熟练进行二次根式的加减法运算了解最简二次根式的定义||，能运用相关性质进行化简二次根式||。
||，2、能力目标：着重培养学生的理解能力和计算化简能力||。
3、情感态度与价值观：使学生能在学习过程中总结经验||，解决更多的实际问题||。
二、学习重点、难点重点：二次根式的计算和化简||。
难点：二次根式的混合运算||，正确依据相关性质化简二次根式||。
三、学习过程（一）自学导航（课前预习）1．若a ＞0||，a 的平方根可表示为___________||，a 的算术平方根可表示________2．当a ______时||有意义||，当a ______时||没有意义||。
3________=______=4．________1872_______;4814=÷=⨯5．_______20125_______;2712=-=+（二）合作交流（小组互助）1、式子5454--=--x x x x 成立的条件是什么?2、计算： (1) 25341122÷⨯3．(1) - (2) 2(-（三）展示提升（质疑点拨）在二次根式的计算、化简及求值等问题中||，常运用以下几个式子：（1）22(0)(0)a a a a =≥=≥与（30,0)0,0)a b a b =≥≥=≥≥（2）⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==00002a a a a a a a （40,0)0,0)a b a b =≥>=≥> （5）22222()2()()a b a ab b a b a b a b ±=±++-=-与达标检测（1）化简()25-的结果是（ ） A 、5 B 、-5 C 、士5 D 、25 （2）代数式24-+x x 中||，x 的取值范围是（ ） A 4-≥x B 2>x C 24≠-≥x x 且 D 24≠->x x 且（3）下列各运算||，正确的是（ ）A 、565352=⋅B 、532592519==⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯- C 、()12551255-⨯-=-⨯- D 、y x y x y x +=+=+2222 （40)y >是二次根式||，化为最简二次根式是（ ）A0)y >B 、0)y > C0)y > D 、以上都不对 （5）化简2723-的结果是（）.33A B C D - - （6）55,51==b a ||，则（ ） A a ||，b 互为相反数 B a||，b 互为倒数 C 5=ab D a =b2、计算． (1)453227+-(3)2)(4)23)。
八年级数学下册 16 二次根式复习学案2(新版)新人教版
八年级数学下册 16 二次根式复习学案2（新
版）新人教版
【复习回顾】
1、下列计算正确的是（）
A、；
B、；
C、；
D、、2、计算：
（1）；（2）；（3）；（4）；
3、计算：（1）；（2）；（3）；（4）、
4、计算：（1）；（2）；（3）；（4）
5、正方形的边长为，它的面积与长为
96、宽为12的长方形的面积相等、求的值、6、已知，求的值、（提示：利用与之间的关系、）
7、在下列各方程后面的括号内分别给出了一组数，从中找出方程的解：
（1），（，，，）；（2），（，，，）、8、已知，，求下列各式的值：
（1）；（2）、9、当是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？（1）；（2）；（3）；（4）课后作业1608－－二次根式（课时8）班级：
座号：
姓名：
1、化简：（1）= ；（2）= ；（3）= ；（4）= ；
（5）= ；（6）= 、2、计算：（1）；（2）；（3）；
（4）；（5）；（6）
3、已知，求代数式的值、已知，求代数式的值、5、电流通过导线时会产生热量，电流（单位：）、导线电阻（单位：）、通电时间（单位：）与产生的热量（单位：）满足、已知导线的电阻为5，1时间导线产生30的热量，求电流的值（结果保留小数点后两位）、6、已知是正整数，是整数，求的最小值、7、（1）把一个圆心为点，半径为的圆的面积四等分、请你尽可能多地设想各种分割方法、（2）如图，以点为圆心的三个同心圆把以为半径的大圆的面积四等分、求这三个圆的半径，，的长、8、判断下列各式是否成立：；；类比上述式子，再写出几个同类型的式子，你能看出其中的规律吗？用字母表示这一规律，并给出证明、。
(完整word版)数学八年级下《二次根式》复习教学案
二次根式复习课【知识点汇总】知识点一：二次根式的概念形如（）的式子叫做二次根式。
注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。
知识点二：取值范围1.二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。
2.二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，没有意义。
知识点三：二次根式（）的非负性（）表示a的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0（）。
注：因为二次根式（）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。
这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0。
知识点四：二次根式（）的性质（）文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。
注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。
上面的公式也可以反过来应用：若，则，如：，.知识点五：二次根式的性质文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。
注：1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0，则等于a本身，即；若a是负数，则等于a的相反数-a,即；2、中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，一定有意义；3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。
知识点六：与的异同点1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平方，而表示一个实数a的平方的算术平方根；在中，而中a 可以是正实数，0，负实数。
但与都是非负数，即，。
因而它的运算的结果是有差别的，，而2、相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而.【历年考点例析】 考点1、无理数 知识回顾：无限不循环的小数，叫做无理数。
(新人教版)数学八年级下册 第十六章 二次根式 单元复习讲义学案
人教版初中数学八年级下册第十六章二次根式章节复习教学设计一、教学目标2l.掌握二次根式的概念和性质；2理解最简二次根式的概念；3.掌握二次根式的四则运算；4.利用二次根式解决一些综合性的数学问题．二、教学重、难点：重点z掌握二次根式的概念和性质；掌握二次根式的四则运算．难点z利用二次根式解决一些综合性的数学问题三、教学过程＝知识网络满足下列两个条件的二次根式．叫做最简二次极式.(I）被开方数不合②__J坦立一；（2）被开方数中不含③能开得尽方的因数或因式．最简二次根式--·[QH式子①J盯住0) 叫做二次根式｜二次根式的乘法法则Ja (a;;,,,O）是一个非负数(J古）'=a（α；；，，：Q)A 口(a;;,,,O.b;;,,,O)�的二次板式的加；成法则Jai=lal5百＝Ja·JF(a;;,,,O, b;;,,,O)／� =g(a剖，b>O),./ b .!Ti二次根式加；成时，可以先将二次根式化成最简二次被式，再将被开方数相同的二次被式进行合并．知识梳理一、二次根式的概念一般地，我们把形如J-;;(a�O）的式子叫做二次根式，“f”称为二次根号l.表示a的算术平方根；2.a可以是数，也可以是式；3.形式上含有二次根号＂；4. a�O,fa 注0（双重非负性）；5.既可表示开方运算，也司表示运算的结果．二、二次根式的有意义的条件l.单个二次根式如./A 有意义的条件：A �O2.多个二次根式相1m 如./A+JB+... +.J 万有意义的条件：A 二吉O;B�O;N 三主o:3二次阳为分式的分母如去或在有意义的条件：川4二次根式与分式的和如王或./A ＋立有意义的条件：启0且B 手。
B B三、二次根式的性厨性质－：一般地，（-,Ja,)1=a (a�O)即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身．注意：不要忽略a注。
这一限制条件．这是使二次根式Fa 有意义的前提条件．性质二z一般地，根据算术平方根的意义，布言＝a (a二三0），占言＝－a (a<O)即任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值占2= I aIep：任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值．p •!al·{四、代数式及其写法回顾我们学过的式子，如5,a, a+b, -ab，立，－x 3./3 ,-la (a法0），它们都是用基本运算符号（基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方）把数或表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式．代数式书写格式注意事项z1.表示数的字母相乘时，可用“·”代替乘号或省略不写．如：a×b通常写作a•b或ab.2.数和字母相乘时，数字应写在字母前面如：a×2通常写作2a.3.带分数与字母栩乘时，应把带分数化成假分数．如：3主×a通常写作旦a.4.含有字母的除式中用分数线代替除号．如：3÷y通常写作：三5.最后一步是加、减运算时，如果有单位，要用括号把代数式括起来．如：、温度由2℃上升t℃后是（2+t）℃．六、二次根式的乘法l.二次根式的乘法法则：J;;• .[!; ＝� (a二三0,b;::O)即：二次根式相乘，不变，相乘．语言表述：算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根．2.积的算术平方根的性质：Jab= .fa . .Jb Ca刻，白O)语言表述：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积．应用范围：我们可以运用它来进行二次根式的解题和化简．七、二次根式的除法l二次根式的除法法则：Ii＝五（训，b>O)、lb vb即：二次根式相除，不变，相除．语言表述：算术平方根的商等于被开方数商的算术平方根．当二次根式根号外的因数（式）不为1时，同类比单项式除以单项式法则，易得--;;:/& ＝刊Tαc...v,v � v, fl -r-v}.m.,Ja m Ja，、白，n A、2.二次根式的商的算术平方根的性质：悍＝主（α＜：：0,b>O).飞lb Jij语言表述：商的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的商．我们可以运用它来进行二次根式的解题和化简．八、最简二次根式(1)被开方数不含分母；(2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式．九、二次根式的加减1.罔类二次根式：化成最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式，叫做同类二次根式．2二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式（同类二次根式）进行合并．加减法的运算步骤：(1）化一将非最简二次根式的二次根式化简：(2）找一找出被开方数相同的二次根式：(3）并一把被开方数相同的二次根式合并－4一化简二判断三合并”十、二次根式的混合运算l.二次根式的混合运算：二次根式的混合运算的顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加诚，有括号先算括号里面的．2.二次根式与乘法公式的综合运用：二次根式中单乘多、多乘多、多除单与整式乘法非常相似，均可以运用整式乘法法则与整式乘法公式进行计算．运用的乘法公式主要是：平方差公式与完全平方公式．考点梳理考点1：二次根式的相提橄禽Z贺定义的条件寺点5：二次根式中的现悻佳J司题考点解析考点1：二次根式的相关概念有意义的条件例1.下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？(I）在川伪月份G 闷；（5)Jr （白布：（x,y 异号）；(7）而可1;cs ）掂；(9) fr.分析：. 是｜槌开方歌是，是否舍二拔尘-tSl 弓，←......：：1’ ｜司负融｜本是平时｜二次根式有：（1)(4) (5) (7) (9)1乓.. 以｜例2.当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？(I ）�；.Jx －飞(2)1¥!-.x-1解(I ）由题意得x-1>O,二x>l.(2)·：被开方数诺大于或等于霉，二3+x二主o.:.x 注－3.·．·分母不能等于莓，：.x-1:;z:O,:.x:;z:l.:.x法－3且x手l.【点睛】妥使二次根式在实数范围内有意义，即需满足袱开方数�o，列不等式求解即可若二次根式为分母或二次根式为分式的分母时应同时考虑分母不为零．例3.己知y＝..｛；才＋�＋8，求3x+2y的算术平方根．r x-3注0.解：由题意得J，[ 3-x;?:0,:.x=3, y=8,:. 3x+2y=25.·: 25的算术平方根为5,:. 3x+2y的算术平方根为5.【点睛】若y=.Ja+.J二a+b，则根据被开方数大于等于0，可得a=O.E迁移应用】【1-1］下赋于：叫：②口：町：④师：巾，口…（）A.①③⑤B.①③ c.①②③D.①②③⑤、／2-x【1-2］使式于毛�＋在有有意义的x的取值范围在数轴上表示为（’ ．!..- B.-3 -2 -1 0 1 2 -3 -2 -1 0 1 2 c.」．’ 、 C. D.丁．-3 -2 -1 0 1 2 -3 -2 -1 0 1 2[1-3】己知a,b为等腰三角形的两条边长，，目a,b满足b= ._f3-:a +�石＋4，求此三角形的周长．[3-a注0.解：由题意得J午，[2α－6�0.:.a=3,:. b=4.当a为腰长时，三角形的周长为3+3+4=10;当b为腰长时，三角形的周长为4+4+3=11.考点2：二次根式的性质及其应用例4.若｜α斗＋�＋（c-4)2=0，求的＋c的值解：因为｜α－半O，�刊，（c－扩划，由题意可知a-2=0,b-3=0,c-4=0,解得a=2,b=3, c=4.所以a-b+c=2-3+4=3.【点睛】多个非负数的和为：本则可得每个非负数均为零．初中阶段学过的非负数主妥有绝对值、偶次采及二次根式例5.己知实数a、b在数轴上的对应点如图所示，化简币言＋♂zτ百言＋况百丁苟言b 。
(完整版)人教版八年级下册数学(新)第十六章《二次根式》复习教案
二次根式复习课教学目标1 •使学生进一步理解二次根式的意义及基本性质，并能熟练地化简含二次根式的式子；2 •熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算.教学重点和难点重点：含二次根式的式子的混合运算.难点：综合运用二次根式的性质及运算法则化简和计算含二次根式的式子.教学过程设计一、复习1 •请同学回忆二次根式有哪些基本性质？用式子表示出来，并说明各式成立的条件.指出：二次根式的这些基本性质都是在一定条件下才成立的，主要应用于化简二次根式. 2•二次根式的乘法及除法的法则是什么？用式子表示出来.指出：二次根式的乘、除法则也是在一定条件下成立的•把两个二次根式相除，先写威分式形式，即—备再运用二次根式的除法法则进行计算，计算, 计算结果要把分母有理化.3. 在二次根式的化简或计算中，还常用到以下两个二次根式的关系式：⑴了揖『（鼻g（2）国匸・4. 在含有二次根式的式子的化简及求值等问题中，常运用三个可逆的式子：⑴（石尸二已（社》0）与耳壬（石）'（可⑵騙厂Q b>0）与石亠7b - b>Q）i⑶卜#Qm b>0）与护叔4, 5）.例如，化简乡.可以用3种方法：⑴直粥分咅-字-血|⑵分母有理化帶席虫⑶看作二次根式的除法万==、打.5. 总不一定能化咸（掐巴当4时,如（屈'屈■（嶄*（而）?=仲■丽茂此臥二G即;当《时gp■厲=（爲卩,但石3无惫乂所以J（4）%丘几此臥只尹（77）“.二、例题例1x取什么值时，下列各式在实数范围内有意义：(1)V3- x + Js - 2i2H⑵一炉__ |'~（⑦、陋十J-H ; （4）七分析：（1）题是两个二次根式的和，X的取值必须使两个二次根式都有意义;（2）题中'式子的分母不能为零，即皐不能职使1启F的值$（3）题是两个二次根式的和，x的取值必须使两个二次根式都有意义；（4）题的分子是二次根式，分母是含x的单项式，因此x的取值必须使二次根式有意义，同时使分母的值不等于零.解（1〕要倩-甌龍艮爛“沁即& 第「/U韻义必知2沁即Q厶所以使式子J了-議+ d2有意义的就£为2W 了.⑵因为「播'二1七|,当x二土1时，1-国二$備式没有意义’所凹当声土1时’2盟式子1 - 有J* + J-歆有意义的逋为签=0,⑶因为便后有惫义的临那沏使彳-2盟有意义的諏值为曲山所以便屈(4)因为便如2有意义的st取值加+ 2沁即区》-2|而分母時①即详0・所以便式子竽<意义的諏值为5x x>2且x工0例2己知弧口为实数,且满足斫1求呦亠的值・n - 5分加先讎己縣傅堀昂的值,Mfw-w. -mJ?7? 环匸?有意加綿训岳-9刘妙『沁从啊嫦M,从而錠点优解因为n2-9>0 9-n2>Q且n-3M Q所以n2=9且n^3所以- 9 + \/s — ri2十4 4 2 "7 ”----------------- ---- -------- =寸・丁6m - 3n = 6 X - 3(-3) = 5.指出；例1和例2主要复习二次根式的意义，即当40晒二次根式需有意义.计算"分析：第一个二次根式的被开方数的分子与分母都可以分解因式. 把它们分别分解因式后，再利用二次根式的基本性质把式子化简，化简中应注意利用题中的隐含条件3-a>0和1-a>0.解：因为1-a>0, 3-a>0 所以a v 1, |a-2|= 2-a.(a-1)(a-3)=[-(1-a)][-(3-a)]=(1-a)(3- a) >.0故a - ■ ■■' v 1 - a T?7! i-- 十~厂日一2 71 - afa -21 . • J3 -日斗1J(a -l)(a -3Ja~ 2 Vl- a 2 -a - a1 Jl - a * V3 ~ d 富_ 2- a1 1—二— r 1 「Vi ■ a Ji -盘=0*指出；由于二决很式的基本性质戸二罔要由日的取值范围确定，即而屈=石*时£ = #麻立的条件是Q0及b 》0 &沁b 》0) I 因此在运用这些性质化简含二次根式的式子时， 要注意上述条件，并要阐述清楚是怎样满足 这些条件的.例°己*池・求石齐-仁厂爲值问：如何确定白+2及渎丄的值是正值还是负值？ a a—=+ J2,知玄—>0. a直答：可由已知条件 问：上面的代数式中的两个二次根式的被开方数的式子如何化为完全平方式?= (73-72)-(73 + 72)=-2^2<0,当且二更1馬吋,原式=2皈=2〔苗=2厲-2血.|分析：先把第二个式子化简，再把两个式子进行通分，然后进行计算.I. 因为第二个式子中的分母7W-i+x^o f因此X尹1・所以在化简过程中，分子与分母可以同除以尼£2. 例5中运了二次根式的性质诚=Q石魚沁利关系式円遍*(认)进行二则賦的混谨辜上丄苜11 + 2十后T ”仇卡2 ■> Jt? 7例6: n + 2 ™ Vn2 m4 n + 2 + \!n1 - 4分析：如果把两个式子通分，或把每一个式子的分母有理化再进行计算，这两种方法的运算量都较大，根据式子的结构特点，分别把两个式子的分母看作一个整体，用换元法把式子变形，就可以使运算变为简捷.解设玄二11 + 2 +時n+ 2-Jr? 4 那么&+b= 2(n+2), ab=(n+2)2-(n2-4)=4(n+2)，rs -t*' 錘I a J + li3+ b)J - 2ah (x + B)J4(n + 2)2F7P C I>Idb db所以愿戏祐十訂—=—^4令出■七―三、课堂练习1 •选择题：(l)7(a _2)2=2 -a,且的取値范围是A. a W2B. a》2C. a^2D. a v2⑵工<J时，J(x十丹等于[](4诺叫恤* 2n 与躺是同类最简二也很朮MlJn =(5) 化简^Q, b<Q) =(◎若DO, b<0? J!lJ|a|-Jb T = ____________(7) 若|乳-纠十J2运+ y 十6 = 0，则茏十歹-1 = (8) 若l<x<2s 则- 2萨-& 1 -孑= ______________ ；(幻化简 V (^a - y a )(H* - y*)(32>y>0)= ；(10) (m -n) J ―；——(ni 〉ii 〉0, a<0)=洁Im -a -----------3. 求也匸匚』1石+ 2002的值.4. 计算：5^2+273 3 ■击 4-2^2B . -x-2C . -x+2D . x-2⑶化简/卜血勾等于 []A . 2xB . 2aC . -2xD . -2a(4)把根号外面的因式移入根号内,①若0<£<血+ 1,贝!||乂 + 片J (囂-J 尸等于 []A.-1B.氏一1D 272-12. 填空题:⑴若如二有意关，则点J 取值范围足X —---------------------创 仏 1-V2心2k l1 + V2 - y= 2I-◎求I 2 J2+町的值.四、小结1本节课复习的五个基本问题是 二次根式”这一章的主要基础知识，同学们 要深刻理解并牢固掌握.2. 在一次根式的化简、计算及求值的过程中，应注意利用题中的使二次根式 有意义的条件（或题中的隐含条件），即被开方数为非负数，以确定被开方数中的 字母或式子的取值范围.3. 运用二次根式的四个基本性质进行二次根式的运算时，一定要注意论述每 一个性质中字母的取值范围的条件.4. 通过例题的讨论，要学会综合、灵活运用二次根式的意义、基本性质和法 则以及有关多项式的因式分解，解答有关含二次根式的式子的化简、 计算及求值 等问题. 五、作业1. x 是什么值时，下列各式在实数范围内有意义？f 11⑴⑵心r（习（1》顾 ⑵I X]护_3.1 yf *(3) I _ 屈；& J 札2.把下列各式化成最简二次根式：⑶厉’（4）产耳〉y ）.。