济南市市中区中考二模数学试题及答案
济南二模数学试题及答案
济南二模数学试题及答案一、选择题（本题共8小题，每小题4分，共32分）1. 若函数f(x)=x^2-4x+3，则f(1)的值为：A. 0B. -1C. 2D. -2答案：B2. 已知向量a=(3,-2)，b=(1,2)，则向量a与向量b的数量积为：A. -1B. 1C. 5D. -5答案：A3. 若直线l的方程为y=2x+1，且点P(-2,3)在直线l上，则直线l的斜率为：A. 2B. -2C. -1D. 1答案：A4. 已知三角形ABC的三边长分别为a, b, c，且满足a^2+b^2=c^2，下列选项中正确的是：A. 三角形ABC是锐角三角形B. 三角形ABC是直角三角形C. 三角形ABC是钝角三角形D. 无法确定三角形ABC的类型答案：B5. 函数y=\sqrt{x}的定义域为：A. (0, +∞)B. [0, +∞)C. (-∞, 0)D. (-∞, +∞)答案：B6. 若复数z满足|z|=1，则z的共轭复数的模为：A. 1B. -1C. 0D. 2答案：A7. 已知等比数列{an}的首项a1=2，公比q=3，则该数列的第5项a5为：A. 486B. 162C. 81D. 54答案：C8. 函数y=x^3-3x^2+2在区间(0,1)上是：A. 增函数B. 减函数C. 先减后增D. 先增后减答案：B二、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分）9. 若函数f(x)=x^2-4x+3的顶点坐标为(m,n)，则m+n的值为______。
答案：-110. 已知圆的方程为(x-2)^2+(y-3)^2=9，圆心到直线l: x+y-5=0的距离为______。
答案：\sqrt{5}11. 若直线l1: 2x-y+1=0与直线l2: x+2y-4=0平行，则直线l1与l2之间的距离为______。
答案：\frac{3\sqrt{5}}{5}12. 已知等差数列{bn}的前n项和为S_n，且S_5=15，S_10=40，则b_6+b_7+b_8+b_9+b_10的值为______。
2020年山东省济南市市中区中考数学二模试卷 (含答案解析)
2020年山东省济南市市中区中考数学二模试卷一、选择题（本大题共12小题，共48.0分）1.−6的相反数是()B. −6C. 0.6D. 6A. −162.如图是由3个相同的正方体组成的一个立体图形，它的俯视图是()A.B.C.D.3.238万元用科学记数法表示为()A. 238×104B. 2.38×106C. 23.8×105D. 0.238×1074.将直尺和直角三角板按如图方式摆放，已知∠1=30°，则∠2的度数是()A. 30°B. 45°C. 60°D. 65°5.下列运算正确的是()A. (a2)3=a5B. a3⋅a=a4C. (3ab)2=6a2b2D. a6÷a3=a26.下列图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是()A. B.C. D.7.如图是两个可以自由转动的转盘，转盘各被等分成三个扇形，并分别标上1，2，3和6，7，8这6个数字，如果同时转动两个转盘各一次(指针落在等分线上重转)，转盘停止后，则指针指向的数字和为偶数的概率是()A. 12B. 29C. 49D. 138.化简4xx2−4−xx−2的结果是()A. −x2+2xB. −x2+6xC. −xx+2D. xx−29.关于x的一元二次方程(k+1)x2−2x+1=0有两个实数根，则k的取值范围是()A. k≥0B. k≤0C. k<0且k≠−1D. k≤0且k≠−110.如图，一颗大树被台风拦腰刮断，已知树根到折断点的距离AB是6米，折断的部分AC与地面成35°的夹角，则原来树的高度为()A. 6+6sin35∘米 B. 6+6cos35∘米 C. 6+6sin35∘米 D. 6+6cos35∘米11.如图，∠MON=90∘，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM、ON上，当点B在边ON上运动时，点A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，则运动过程中，线段OD长度的最大值为()A. √2+1B. √5C. √55D. 5212.若一次函数y=(m+1)x+m的图象过第一、三、四象限，则函数y=mx2−mx()A. 有最大值m4B. 有最小值m4C. 有最大值−m4D. 有最小值−m4二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）13.分解因式：x2+4x=______．14.如图的正方形地板，是由9块除颜色外完全相同的正方形地砖拼接而成的，其中黑色地砖5块，一个小球在这块地板上自由滚动，并随机地停在某块方砖上，它停留在黑色方砖上的概率为______．15.方程11−x =xx−1的解是______．16.如图，在△ABC中，∠ABC=45°，∠ACB=30°，AB=2，将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△CDE，则图中线段AB扫过的阴影部分的面积为________．17.甲、乙两人在一条直线道路上分别从相距1500米的A，B两点同时出发，相向而行，当两人相遇后，甲继续向点B前进(甲到达点B时停止运动)，乙也立即向B点返回．在整个运动过程中，甲、乙均保持匀速运动．甲、乙两人之间的距离y(米)与乙运动的时间x(秒)之间的关系如图所示．则甲到B点时，乙距B点的距离是______米．18.如图，在长方形ABCD中，AB=6，BC=5，点E是射线CD上的一个动点，把△BCE沿BE折叠，点C的对应点为F.若点F刚好落在线段AB的垂直平分线上时，则线段CE=__________．三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）19.计算：√8+(12)−1−4cos45°−(√3−π)0．四、解答题（本大题共8小题，共72.0分）20.解不等式组：{x+1≤2(x+1)1−2x4<1−x，并求出它的整数解．21.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O的直线分别交AD、BC于点E、F.求证：AE=CF．22.为纪念交通大学建校120周年进行宣传，附中中学某年级开展了主题为“交通大学历史知多少”的专题调查活动，采取随机抽样的方式进行问卷调查，问卷调查的结果分为“非常了解”、“比较了解”、“基本了解”、“不太了解”四个等级，整理调查数据制成了如图不完整的表格和扇形统计图．等级非常了解比较了解基本了解不太了解频数50m4020根据以上提供的信息解答下列问题：(1)本次问卷调查共抽取的学生数为______ 人，表中m的值为______ ．(2)计算等级为“非常了解”的频数在扇形统计图中对应的圆心角的度数．(3)若该校有学生1500人，请根据调查结果估计这些学生中“不太了解”交通大学历史的人数约为多少？23.如图，直线EF交⊙O于A、B两点，AC是⊙O直径，DE是⊙O的切线，且DE⊥EF，垂足为E．(1)求证：AD平分∠CAE；(2)若DE=4cm，AE=2cm，求⊙O的半径．24.某校七年级400名学生到郊外参加植树活动，已知用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生105人，用1辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人．(1)每辆小客车和每辆大客车各能坐多少名学生？(2)若计划租小客车m辆，大客车n辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满：请你设计出所有的租车方案．25.23.如图，已知矩形OABC的两边OA、OC分别落在x轴、y轴的正半轴上，顶点B的坐标是(6,4)，反比例函数y=(x>0)的图象经过矩形对角线的交点E，且与BC边交于点D．(1)①求反比例函数的解析式与点D的坐标；②直接写出△ODE的面积；(2)若P是OA上的动点，求使得“PD+PE之和最小”时的直线PE的解析式．26.如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=14√2.点D，E分别在边AB，BC上，将线段ED绕点E按逆时针方向旋转90°得到EF．(1)如图1，若AD=BD，点E与点C重合，AF与DC相交于点O，请直接写出BD与DO的数量关系．(2)已知点G为AF的中点．①如图2，若AD=BD，CE=2，求DG的长．②如图3，若DG//BC，EC=2，求AD的值．BDx2+bx+c与x轴交于点A、B(点A在点B 27.如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=14右侧)，与y轴交于点C(0,−3)，且OA=2OC．(1)求这条抛物线的表达式及顶点M的坐标；(2)求tan∠MAC的值；(3)如果点D在这条抛物线的对称轴上，且∠CAD=45°，求点D的坐标．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：【试题解析】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“−”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．相反数就是只有符号不同的两个数．解：根据概念，与−6只有符号不同的数是6.即−6的相反数是6．故选D．2.答案：B解析：解：它的俯视图如图所示：．故选：B．根据俯视图是从上边看得到的图形，可得答案．本题考查了简单组合体的三视图，俯视图是从上边看得到的图形．3.答案：B解析：本题考查了科学记数法，确定n的值是解题关键，n是整数数位减1，属于基础题．根据科学记数法的表示方法，可得答案．解：238万元即2380000元，用科学记数法表示为2.38×106，故选：B．4.答案：C解析：本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等．先根据两角互余的性质求出∠3的度数，再由平行线的性质即可得出结论．解：如图，∵∠1+∠3=90°，∠1=30°，∴∠3=60°．∵直尺的两边互相平行，∴∠2=∠3=60°．故选C．5.答案：B解析：解：A、原式=a6，不符合题意；B、原式=a4，符合题意；C、原式=9a2b2，不符合题意；D、原式=a3，不符合题意，故选：B．原式各项计算得到结果，即可作出判断．此题考查了同底数幂的乘除法则，以及幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键．6.答案：C解析：解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；C、既是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；故选：C．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．7.答案：C解析：此题考查了树状图法与列表法求概率．注意树状图法与列表法可以不重不漏的表示出所有的结果，然后根据概率公式求解即可．首先画树状图，根据树状图求得所有的等可能的结果与指针指向的数字和为偶数的情况，然后根据概率公式即可求得答案．解：画树状图得：∴一共有9种等可能的结果，指针指向的数字和为偶数的有4种情况，∴指针指向的数字和为偶数的概率是：49．故选C．8.答案：C解析：此题考查的是分式的加减运算，根据异分母分式的加减运算法则，先通分，化为同分母分式，再根据同分母分式的加减运算法则计算即可，注意结果一定化为最简分式或整式的形式．解：4xx2−4−xx−2=4x(x+2)(x−2)−x(x+2)(x+2)(x−2)=−x2+2x()()=−x(x−2)(x+2)(x−2)=−xx+2．9.答案：D解析：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ=b2−4ac，关键是掌握当Δ>0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ<0，方程没有实数根．根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k+1≠0，Δ=(−2)2−4(k+1)≥0，然后求出两个不等式的公共部分即可．解：根据题意得k+1≠0且Δ=(−2)2−4(k+1)≥0，解得k≤0且k≠−1．故选D．10.答案：A解析：此题主要考查的是解直角三角形的实际应用，能够熟练运用三角形边角关系进行求解是解答此类题的关键．原来树的长度是(AB+AC)的长．已知了AB的值，可在Rt△ABC中，根据∠ACB的度数，通过解直角三角形求出AC的长．解：Rt△ABC中，∠ACB=35°，AB=6米，(米)；∴AC=AB÷sin35°=6sin35°∴AB+AC=6+6(米)．sin35°故选A．11.答案：A本题考查了矩形的性质，三角形的三边关系，直角三角形的性质，勾股定理的有关知识.取AB的中点E，连接OE、DE、OD，根据三角形的任意两边之和大于第三边可知当O、D、E三点共线时，点D到点O的距离最大，再根据勾股定理列式求出DE的长，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出OE的长，两者相加即可得解．解：如图，取AB的中点E，连接OE、DE、OD，∵OD<OE+DE，∴当O、D、E三点共线时，点D到点O的距离最大，此时，∵AB=2，BC=1，AB=1，∴OE=AE=12DE=√12+12=√2，∴OD的最大值为：√2+1，故选A.12.答案：C解析：本题考查二次函数最大(小)值的求法．求二次函数的最大(小)值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．解：∵一次函数y=(m+1)x+m的图象过第一、三、四象限，∴m +1>0，m <0，即−1<m <0，∴函数y =mx 2−mx =m(x −12)2−m4有最大值，∴最大值为−m 4．故选C ．13.答案：x(x +4)解析：解：原式=x(x +4)．故答案为：x(x +4)．直接提取公因式x ，进而得出答案．此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．14.答案：59解析：解：随机地停在某块方砖上，它停留在黑色方砖上的概率=59．故答案为59．用黑色地砖的面积除以正方形地板的面积即可．本题考查了几何概率：概率=相应的面积与总面积之比． 15.答案：x =−1解析：解：去分母得：x =−1，经检验x =−1是分式方程的解，故答案为：x =−1分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解． 此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．16.答案：解析：.本题主要考查了扇形的面积的计算，解直角三角形的知识，旋转的性质.，割补法的知识．作AF⊥BC，垂足为F，先解直角三角形，求出AC，BC，再根据割补法求出阴影部分的面积．解：如图：作AF⊥BC，垂足为F，∵∠ABC=45°，AF⊥BC∴△ABF是等腰直角三角形∴AF=BF，∵AF2+BF2=AB2，AB=2，∴AF=BF=√2，∵∠ACF=30°∴AC=2AF=2√2∴CF=√AC2−AF2=√6，∴BC=√6+√2∵∠BCD=60°，．故答案为．17.答案：87.5解析：解：由题可得，甲从A到达B运动的时间为375秒，∴甲的速度为：1500÷375=4m/s，又∵甲乙两人从出发到相遇的时间为200秒，∴乙的速度为：1500÷200−4=3.5m/s，又∵甲从相遇的地点到达B的路程为：175×4=700米，乙在两人相遇后运动175秒的路程为：175×3.5=612.5米，∴甲到B点时，乙距B点的距离为：700−612.5=87.5米，故答案为：87.5本题主要考查了函数图象，解决问题的关键是在函数图象中获取关键的信息，解题时注意：点(200,0)的实际意义为当两人相遇时，所需的时间为200秒．18.答案：15或53解析：此题是四边形综合题，主要考查了翻折变换、矩形的性质、勾股定理、等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用构建方程的思想思考问题，属于中考压轴题.分两种情形求解：如图中，MN是线段AB的中垂线，设EF=CE=x.在Rt△EFN中，根据EF2=FN2+NE2，构建方程即可解决问题，当点E在CD的延长线上时，同法可求．解：如图，当点E在线段CD上时，MN是线段AB的中垂线，设EF=CE=x，在Rt△BFM中，∵∠BMF=90°，BM=3，BF=BC=5，∴MF=√BF2−BM2=√52−32=4，∵MN=BC=5，∴FN=MN−MF=5−4=1，EN=3−x，在Rt△EFN中，∵EF2=FN2+NE2，∴x2=12+(3−x)2，解得：x=53当点E在CD的延长线上时，同法可求CE=15，综上所述，CE的长为故答案为15或53．19.答案：解：原式=2√2+2−4×√22−1，=2√2+2−2√2−1，=1．解析：先根据二次根式的化简、负整数指数幂、特殊角的三角函数值及0指数幂把原式化简，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂及二次根式等考点的运算．20.答案：解：由(1)式得，x≥−1，由(2)式得，x<1.5．∴不等式组解为−1≤x<1.5．∴它的正整数解为：−1，0，1．解析：本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，再求出整数解．21.答案：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO，AD//BC，∴∠EAC=∠FCO，在△AOE和△COF中{∠EAO=∠FCO AO=OC∠AOE=∠COF，∴△AOE≌△COF(ASA)，∴AE=CF．解析：此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．利用平行四边形的性质得出AO=CO，AD//BC，进而得出∠EAC=∠FCO，再利用ASA求出△AOE≌△COF，即可得出答案．22.答案：(1)200；90(2)90°(3)150人。
山东省济南市2023年各地区中考数学模拟(二模)试题按题型难易度分层分类汇编(13套)-03解答题
山东省济南市2023年各地区中考数学模拟（二模）试题按题型难易度分层分类汇编（13套）-03解答题（较难题）②一．反比例函数综合题（共3小题）1．（2023•市中区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y＝（x＞0）的图象与矩形OABC相交于D，E两点，点A，C分别在y轴和x轴的正半轴上，点B的纵坐标为6，点D的横坐标为2．连接DE，OB，DE与OB相交于点F．（1）求反比例函数的表达式；（2）求证：DF＝EF；（3）连接OD，当△ODF是直角三角形时，求此时OF的长．2．（2023•济南二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝x+b与x轴、y轴分别交于点A、B，与双曲线H：y＝交于点P（2，），直线x＝m分别与直线l和双曲线H 交于点E、D．（1）求k和b的值；（2）当点E在线段AB上时，如果ED＝BO，求m的值；（3）如果△BDE是以BE为腰的等腰三角形，求点E的坐标．3．（2023•商河县二模）如图，在矩形OABC中，OA＝4，OC＝6，分别以OA、OC所在直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，D是边CB上的一个动点（不与C、B重合），反比例函数的图象经过点D且与边BA交于点E，连接DE．（1）连接OE，若△EOA的面积为3，则k＝ ；（2）连接CA，DE与CA是否平行？请说明理由；（3）是否存在点D，使得点B关于DE的对称点在OC上？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．二．二次函数综合题（共5小题）4．（2023•市中区二模）如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0），点C的坐标为（0，3），点D为OC的中点，连接BD，点P在抛物线上．（1）求b，c的值；（2）若点P在第一象限，过点P作PH⊥x轴，垂足为H，PH与BC交于点M．是否存在这样的点P，使得PM＝MH？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P的横坐标小于3，过点P作PQ⊥BD，垂足为Q，直线PQ与x轴交于点R，且S△PQB＝S△QRB，求点P的横坐标．5．（2023•历下区二模）如图1，已知抛物线y＝ax2+bx﹣2经过点A（﹣1，0）和点B（4，0），与x轴交于点C，顶点是G，连接AC，BC．（1）求抛物线的表达式和顶点G的坐标；（2）如图2，若平移抛物线y＝ax2+bx﹣2，使其顶点M在直线AC上运动，平移后所得函数的图象与y轴的负半轴的交点为D，连接DG，CG，当时，求点M的坐标；（3）如图3，若将抛物线y＝ax2+bx﹣2进行适当的平移，当平移后的抛物线与直线BC 最多只有一个公共点时，请直接写出抛物线y＝ax2+bx﹣2平移的最短距离及此时抛物线的顶点坐标．6．（2023•历城区二模）如图1，在平面直角坐标系中．抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A （﹣4，0）和B（1，0），与y轴交于点C，连接AC，BC．（1）求该抛物线的解析式；（2）如图2，点M为直线AC上方的抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交AC 于点N，过点M作x轴的平行线，交直线AC于点Q，求△MNQ周长的最大值；（3）点P为抛物线上的一动点，且∠ACP＝45°﹣∠BAC，请直接写出满足条件的点P 的坐标．7．（2023•商河县二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于A（﹣2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C，且OC＝2OA．（1）试求抛物线的解析式；（2）直线y＝kx+1（k＞0）与y轴交于点D，与抛物线交于点P，与直线BC交于点M，记m＝，试求m的最大值及此时点P的坐标；（3）在（2）的条件下，m取最大值时，点Q是x轴上的一个动点，点N是坐标平面内的一点，是否存在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形？如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．8．（2023•长清区二模）如图，二次函数y＝ax2+bx+4与x轴交于点A（4，0），B（﹣1，0），与y轴交于点C．（1）求函数表达式及C坐标；（2）Q在抛物线的对称轴上，连接CQ、BQ，若△QBC为以BC为底的等腰三角形，求Q点坐标．（3）P在抛物线上且在第一象限内，过点P作PM⊥AC，PN⊥y轴，求的最大值并写出P点坐标．三．切线的性质（共1小题）9．（2023•市中区二模）如图，已知AB为⊙O的直径，过⊙O上点C的切线交AB的延长线于点E，AD⊥EC于点D．且交⊙O于点F，连接BC，CF，AC．（1）求证：BC＝CF；（2）若AD＝3，DE＝4，求BE的长．四．几何变换综合题（共5小题）10．（2023•市中区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC＝，BC＝2，D，E，F分别为AC，AB，BC的中点，连接DE，DF．（1）如图1，求证：DF＝DE；（2）如图2，将∠EDF绕点D顺时针旋转一定角度，得到∠PDQ，当射线DP交AB于点G，射线DQ交BC于点N时，连接FE并延长交射线DP于点M，判断FN与EM的数量关系，并说明理由；（3）如图3，在（2）的条件下，当DP⊥AB时，求DN的长．11．（2023•钢城区二模）在△ABC与△ADE中，连接DC，点M、N分别为DE和DC的中点，连接CE．（1）【观察猜想】如图①，若AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，MN与BD的数量关系是 ；（2）【类比探究】如图②，若AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，请写出MN与BD的数量关系并就图②的情形说明理由；（3）【解决问题】如图③，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ACB＝∠AED＝30°，3AD＝AB＝6，将△ADE绕点A进行旋转，当点D落在△ABC的边所在的直线上时，请求出MN的长．12．（2023•历下区二模）如图1，△ABC和△DEB都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠BDE＝90°，将△BDE绕点B逆时针旋转α（0＜α＜360），连接EC，取EC中点F，连接AF，DF．（1）如图1，当点D落在BC边上，点E落在AB边上时，线段AF和线段DF的位置关系是 ，数量关系是 ；（2）如图2，当点D落在△ABC内部时，（1）的结论是否仍然成立？如果成立，请写出证明过程；如果不成立，请说明理由．九年级一班数学兴趣小组的同学提出了三种思路：小聪：过点D作DM⊥BE交线段BE于点M，过点A作AN⊥BC交线段BC于点N……小明：延长ED至点G，使DG＝DE，延长CA至点H使AH＝AC，连接GB、BH……小智：延长DF至点P，使DF＝PF，连接PC，AD，AP……请你选择一种思路，完善证明过程；（3）若AB＝6，BD＝2，在△BDE旋转的过程中，当点E，D，F三点共线时，连接AD，请直接写出AD的长．13．（2023•商河县二模）在等腰△ABC中，∠B＝90°，AM是△ABC的角平分线，过点M 作MN⊥AC，垂足为N，∠EMF＝135°、将∠EMF绕点M旋转，使∠EMF的两边交直线AB于点E，交直线AC于点F，请解答下列问题：（1）当∠EMF绕点M旋转到如图①的位置时，求证：BE+CF＝BM；（2）当∠EMF绕点M旋转到如图②，图③的位置时，请分别写出线段BE，CF，BM之间的数量关系，不需要证明；（3）在（1）和（2）的条件下，tan∠BEM＝，AN＝2+2，求CF的长．旋转α（0°＜α＜360°），连接BD，AE，请完成如下问题：（1）如图1，若△ABC和△CDE均为等边三角形，线段BD与线段AE的数量关系是 ；类比探究：（2）如图2，若∠ABC＝∠EDC＝90°，∠ACB＝∠ECD＝60°，其他条件不变，请写出线段BD与线段AE的数量关系，并说明理由；（3）拓展应用：如图3，D是△ABC内一点，∠BAD＝∠CBD＝30°，∠BDC＝90°，AB＝4，，直接写出AD的长．山东省济南市2023年各地区中考数学模拟（二模）试题按题型难易度分层分类汇编（13套）-03解答题（较难题）②参考答案与试题解析一．反比例函数综合题（共3小题）1．（2023•市中区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y＝（x＞0）的图象与矩形OABC相交于D，E两点，点A，C分别在y轴和x轴的正半轴上，点B的纵坐标为6，点D的横坐标为2．连接DE，OB，DE与OB相交于点F．（1）求反比例函数的表达式；（2）求证：DF＝EF；（3）连接OD，当△ODF是直角三角形时，求此时OF的长．【答案】（1）y＝．（2）见解析；（3）OF的长为4或．【解答】（1）解：∵四边形OABC是矩形，点A，C分别在y轴和x轴的正半轴上，∴BC∥x轴，AB∥y轴，∵点B的纵坐标为6，点D的横坐标为2，∴D（2，6），∵反比例函数y＝的图象经过点D（2，6），∴k＝xy＝2×6＝12，∴反比例函数的表达式为y＝．（2）证明：设A（x，0）（x＞0），则E（x，），B（x，6），∴BD＝x﹣2，BE＝6﹣，如图1，∵＝＝1﹣，＝＝1﹣，∴，∵∠DBE＝∠OAB＝90°，∴△DBE∽△OAB，∴∠DEB＝∠OBA，∵∠EDB+∠DEB＝90°，∠OBD+∠OBA＝90°，∴∠EDB＝∠OBD，∴DF＝EF＝BF．（3）解：当△ODF是直角三角形，且∠OFD＝90°，如图2，∵DF＝EF，OB⊥DE，∴BD＝BE，∴x﹣2＝6﹣，解得x1＝6，x2＝2（不符合题意，舍去），∴AO＝AB＝6，BD＝BE＝6﹣2＝4，∴OB＝＝＝6，DE＝＝＝4，∴BF＝DE＝2，∴OF＝OB﹣BF＝6﹣2＝4；当△ODF是直角三角形，且∠ODF＝90°，如图3，∵∠DBE＝∠OCD＝90°，∴∠BDE＝∠COD＝90°﹣∠CDO，∴△BDE∽△COD，∴，∵CO＝AB＝6，CD＝2，∴BD＝•BE＝3BE，∴x﹣2＝3（6﹣），解得x1＝18，x2＝2（不符合题意，舍去），∴AO＝18，BE＝6﹣＝，BD＝18﹣2＝16，∴OB＝＝＝6，DE＝＝＝，∴BF＝DE＝，∴OF＝OB﹣BF＝6﹣＝，综上所述，OF的长为4或．2．（2023•济南二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝x+b与x轴、y轴分别交于点A、B，与双曲线H：y＝交于点P（2，），直线x＝m分别与直线l和双曲线H 交于点E、D．（1）求k和b的值；（2）当点E在线段AB上时，如果ED＝BO，求m的值；（3）如果△BDE是以BE为腰的等腰三角形，求点E的坐标．【答案】（1）k＝9，b＝3；（2）﹣2；（3）E（﹣3，）或（，）．【解答】解：（1）把点P（2，）代入y＝，得＝，解得k＝9，把点P（2，）代入y＝x+b，得+b＝，解得b＝3；（2）在直线y＝x+3中，令x＝0，得y＝3，∴B（0，3），∴OB＝3，令y＝0，得x+3＝0，解得x＝﹣4，∴A（﹣4，0），∵直线x＝m，分别与直线l和双曲线H交于点E、D，∴E（m，m+3），D（m，），∵点E在线段AB上，∴﹣4≤m≤0，∴ED＝m+3﹣，∵ED＝BO，∴m+3﹣＝3，解得m＝﹣2，m'＝2（不符合题意，舍去），∴m的值为﹣2；（3）如图，过点E作EF⊥y轴于点F，∵B（0，3），E（m，m+3），D（m，），∴F（0，m+3），∴BE＝＝＝＝|m|，又∵DE＝|m+3﹣|，△BDE是以BE为腰的等腰三角形，且点E在AB上，D点在双曲线上，∴只存在BE＝DE时，即|m|＝|m+3﹣|，解得m＝﹣3，m'＝，∴E（﹣3，）或（，）．3．（2023•商河县二模）如图，在矩形OABC中，OA＝4，OC＝6，分别以OA、OC所在直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，D是边CB上的一个动点（不与C、B重合），反比例函数的图象经过点D且与边BA交于点E，连接DE．（1）连接OE，若△EOA的面积为3，则k＝ 6 ；（2）连接CA，DE与CA是否平行？请说明理由；（3）是否存在点D，使得点B关于DE的对称点在OC上？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）6；（2）结论：DE∥AC．理由见解析部分；（3）D（，6）．【解答】解：（1）连接OE，如图1，∵Rt△AOE的面积为3，∴k＝2×3＝6．故答案为：6；（2）结论：DE∥AC．理由：连接AC，如图1，设D（x，6），E（4，x），则BD＝4﹣x，BE＝6﹣x，∴＝＝，∵＝＝，∴，又∵∠B＝∠B，∴△BDE∽△BCA，∴∠BED＝∠BAC，∴DE∥AC；（3）假设存在点D满足条件．设D（x，6），E（4，x），则CD＝x，BD＝4﹣x，BE＝6﹣x，AE＝x．作EF⊥OC，垂足为F，由△B′CD∽△EFB′，可得，∴＝，∴B′F＝x，由勾股定理得，CB′2+CD2＝B′D2，∴（6﹣3x）2+x2＝（4﹣x）2，解这个方程得，x1＝2（舍去），x2＝，∴满足条件的点D存在，D的坐标为D（，6）．二．二次函数综合题（共5小题）4．（2023•市中区二模）如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0），点C的坐标为（0，3），点D为OC的中点，连接BD，点P在抛物线上．（1）求b，c的值；（2）若点P在第一象限，过点P作PH⊥x轴，垂足为H，PH与BC交于点M．是否存在这样的点P，使得PM＝MH？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P的横坐标小于3，过点P作PQ⊥BD，垂足为Q，直线PQ与x轴交于点R，且S△PQB＝S△QRB，求点P的横坐标．【答案】（1）b＝2，c＝3；（2）P的坐标为（，），使得PM＝MH；（3）点P坐标为（1，4）．【解答】解：（1）∵二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0）、C（0，3），∴c＝3，∴﹣1﹣b+3＝0．解得：b＝2．故答案为：b＝2，c＝3．（2）存在满足条件呢的点P，使得PM＝MH．∵二次函数解析式为y＝﹣x2+2x+3，当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，设P（t，﹣t2+2t+3）（0＜t＜3），则M（t，﹣t+3），H（t，0），∴PM＝﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）＝﹣t2+3t，MH＝3﹣t，∵PM＝MH，解得：t1＝，t2＝3（舍去），∴P（，），∴P的坐标为（，），使得PM＝MH．（3）∵点D为OC的中点．OC＝3．∴点D的坐标为（0，），∴BD的解析式为：y＝﹣+，过点P作PF⊥x轴于F，交直线BD于E，∵OB＝3，OD＝，∠BOD＝90°，∴BD＝＝，∴cos∠OBD＝，∵PQ⊥BD于点Q，PF⊥x轴于点F，∴∠PQE＝∠BQR＝∠PFR＝90°，∴∠PRF+∠OBD＝∠PRF+∠EPQ＝90°，∴∠EPQ＝∠OBD，即cos∠EPQ＝cos∠OBD＝，在Rt△PQE中，cos∠EPQ＝，∴PQ＝PE，在Rt△PFR中，cos∠RPF＝，∴PR＝PF，∵S△PQB＝S△QRB，S△PQB＝BQ•PQ，S△QRB＝BQ•QR，∴PQ＝QR．设直线BD与抛物线交于点G，解得：x1＝3（即点B横坐标），x2＝﹣，∴点G横坐标为﹣，设P（t，﹣t2+2t+3）（t＜3），则E（t，﹣t+），∴PF＝|﹣t2+2t+3|，PE＝|﹣t2+2t+3﹣（﹣t+）|＝|﹣t2+t+|，①若﹣＜t＜3，则点P在直线BD上方，如图2，∴PF＝﹣t2+2t+3，PE＝﹣t2+t+，∵PQ＝QR，∴PQ＝PR．∴PE＝•PF，即4PE＝3PF，∴4（﹣t2+t+）＝3（﹣t2+2t+3），解得：t1＝1，t2＝3（舍去），∴P（1，4），②若﹣1＜t＜﹣，则点P在x轴上方、直线BD下方，如图3，此时，PQ＜QR，即S△PQB＝S△QRB不成立．③若t＜﹣1，则点P在x轴下方，如图4，∴PF＝﹣（﹣t2+2t+3）＝t2﹣2t﹣3，PE＝﹣t+﹣（﹣t2+2t+3）＝t2﹣t﹣，∵PQ＝2QR，∴PQ＝2PR，∴PE＝2•PF，即2PE＝5PF，∴2（t2﹣t﹣）＝5（t2﹣2t﹣3），解得：t1＝﹣（不在范围舍去），t2＝3（不在范围舍去），∴此种情况不存在符合条件的P点．综上所述，点P坐标为（1，4）．5．（2023•历下区二模）如图1，已知抛物线y＝ax2+bx﹣2经过点A（﹣1，0）和点B（4，0），与x轴交于点C，顶点是G，连接AC，BC．（1）求抛物线的表达式和顶点G的坐标；（2）如图2，若平移抛物线y＝ax2+bx﹣2，使其顶点M在直线AC上运动，平移后所得函数的图象与y轴的负半轴的交点为D，连接DG，CG，当时，求点M的坐标；（3）如图3，若将抛物线y＝ax2+bx﹣2进行适当的平移，当平移后的抛物线与直线BC 最多只有一个公共点时，请直接写出抛物线y＝ax2+bx﹣2平移的最短距离及此时抛物线的顶点坐标．【答案】（1）y＝x2﹣x﹣2，顶点G的坐标为（，﹣）；（2）M（2，﹣6）；（3）抛物线平移的最短距离为，此时顶点坐标为N（，﹣）．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣2经过点A（﹣1，0）和点B（4，0），∴，解得：，∴该抛物线的函数表达式为y＝x2﹣x﹣2，∵y＝x2﹣x﹣2＝（x﹣）2﹣，∴顶点G的坐标为（，﹣）；（2）由（1）知，G（，﹣），∵S△CDG＝CD•x G＝，∴CD＝＝＝2，由（1）知，抛物线的表达式为y＝x2﹣x﹣2，∴C（0，﹣2），∵点D在y轴负半轴上，∴D（0，﹣4），设直线AC的解析式为y＝kx+c，把A（﹣1，0）、C（0，﹣2）代入得：，解得：，∴直线AC的解析式为y＝﹣2x﹣2，∵平移后的抛物线的顶点M在直线AC上运动，∴设M（m，﹣2m﹣2），则平移后的抛物线解析式为y＝（x﹣m）2﹣2m﹣2，将点D（0，﹣4）代入得：m2﹣2m﹣2＝﹣4，解得：m1＝m2＝2，∴M（2，﹣6）；（3）解：过点G作BC的垂线，交BC于H，交y轴于点F，过点G作GE⊥y轴于点E，如图，当抛物线沿着直线GF的向上平移时，平移距离最短，设直线BC的解析式为y＝k1x+b1，则，解得：，∴直线BC的解析式为y＝x﹣2，∵G（，﹣），∴GE＝，OE＝，∵FH⊥BC，∴∠CFH+∠FCH＝∠OBC+∠FCH＝90°，∴∠CFH＝∠OBC，∴Rt△OCB∽Rt△EGF，∴，∵OC＝2，OB＝4，∴EF＝3，而EF＜OE，即点F在y轴负半轴上，∴OF＝OE﹣FE＝﹣3＝，∴F（0，﹣），设直线GF的解析式为y＝k2x+b2，则，解得：，∴直线GF的解析式为y＝﹣2x﹣，设平移后抛物线的顶点N坐标为（n，﹣2n﹣），则平移后抛物线解析式为y＝（x﹣n）2﹣2n﹣，∵抛物线y＝（x﹣n）2﹣2n﹣与直线BC恰有一个公共点，∴，整理得：4x2﹣（8n+4）x+4n2﹣16n+15＝0，∴Δ＝[﹣（8n+4）]2﹣4×4（4n2﹣16n+15）＝0，解得：n＝，此时平移后抛物线的顶点坐标为N（，﹣），而点G的坐标为（，﹣），∴GN＝＝，∴抛物线平移的最短距离为，此时顶点坐标为N（，﹣）．6．（2023•历城区二模）如图1，在平面直角坐标系中．抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A （﹣4，0）和B（1，0），与y轴交于点C，连接AC，BC．（1）求该抛物线的解析式；（2）如图2，点M为直线AC上方的抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交AC 于点N，过点M作x轴的平行线，交直线AC于点Q，求△MNQ周长的最大值；（3）点P为抛物线上的一动点，且∠ACP＝45°﹣∠BAC，请直接写出满足条件的点P 的坐标．【答案】（1）抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+2；（2）△MNQ周长最大值为6+2；（3）P的坐标为（﹣5，﹣3）或（﹣，）．【解答】解：（1）把A（﹣4，0）和B（1，0）代入y＝ax2+bx+2得：，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+2；（2）由y＝﹣x2﹣x+2可得C（0，2），设直线AC解析式为y＝kx+2，把A（﹣4，0）代入得：﹣4k+2＝0，解得k＝，∴直线AC解析式为y＝x+2，设M（x，﹣x2﹣x+2），则N（x，x+2），∴MN＝﹣x2﹣x+2﹣（x+2）＝﹣x2﹣2x，∵MQ∥x轴，MN∥y轴，∴∠MQN＝∠CAO，∠NMQ＝∠AOC＝90°，∴△QMN∽△AOC，∴＝＝，即＝＝，∴MQ＝2MN，NQ＝MN，∴△MNQ周长MN+MQ+NQ＝MN+2MN+MN＝（3+）MN＝（3+）×（﹣x2﹣2x）＝﹣（x+2）2+6+2，∵﹣＜0，∴当x＝﹣2时，△MNQ周长最大值为6+2；（3）在x轴负半轴上取D，使OC＝OD，连接CD交抛物线于P，如图：∴D（﹣2，0），∠CDO＝45°，此时∠ACP＝45°﹣∠BAC，P是满足条件的点，∵C（0，2），D（2，0），∴直线CD解析式为y＝x+2，由得或，∴P（﹣5，﹣3），作D关于直线AC的对称点E，连接CE并延长交抛物线于P'，由对称性知∠ACP'＝∠ACP，P'是满足条件的点，设E（m，n），根据AE＝AD，CE＝CD可得：，解得或，∴E（﹣，），由E（﹣，），C（0，2）可得直线CE解析式为：y＝x+2，解得或，∴P'（﹣，），综上所述，P的坐标为（﹣5，﹣3）或（﹣，）．7．（2023•商河县二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于A（﹣2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C，且OC＝2OA．（1）试求抛物线的解析式；（2）直线y＝kx+1（k＞0）与y轴交于点D，与抛物线交于点P，与直线BC交于点M，记m＝，试求m的最大值及此时点P的坐标；（3）在（2）的条件下，m取最大值时，点Q是x轴上的一个动点，点N是坐标平面内的一点，是否存在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形？如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）y＝﹣（x+2）（x﹣4）或y＝﹣x2+x+4或y＝﹣（x﹣1）2+；（2）当n＝2时，m有最大值，最大值为，此时P（2，4）；（3）N（，3）或（6，﹣3）．【解答】解：（1）因为抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣2，0）、B（4，0）两点，所以可以假设y＝a（x+2）（x﹣4），∵OC＝2OA，OA＝2，∴C（0，4），代入抛物线的解析式得到a＝﹣，∴y＝﹣（x+2）（x﹣4）或y＝﹣x2+x+4或y＝﹣（x﹣1）2+．（2）如图1中，由题意，点P在y轴的右侧，作PE⊥x轴于E，交BC于F．∵CD∥PE，∴△CMD∽△FMP，∴m＝＝，∵直线y＝kx+1（k＞0）与y轴交于点D，则D（0，1），∵BC的解析式为y＝﹣x+4，设P（n，﹣n2+n+4），则F（n，﹣n+4），∴PF＝﹣n2+n+4﹣（﹣n+4）＝﹣（n﹣2）2+2，∴m＝＝﹣（n﹣2）2+，∵﹣＜0，∴当n＝2时，m有最大值，最大值为，此时P（2，4）．（3）存在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形．①当DP是矩形的边时，有两种情形，a、如图2﹣1中，四边形DQNP是矩形时，由（2）可知P（2，4），代入y＝kx+1中，得到k＝，∴直线DP的解析式为y＝x+1，可得D（0，1），E（﹣，0），由△DOE∽△QOD可得＝，∴OD2＝OE•OQ，∴1＝•OQ，∴OQ＝，∴Q（，0）．根据矩形的性质，将点P向右平移个单位，向下平移1个单位得到点N，∴N（2+，4﹣1），即N（，3）b、如图2﹣2中，四边形PDNQ是矩形时，∵直线PD的解析式为y＝x+1，PQ⊥PD，∴直线PQ的解析式为y＝﹣x+，∴Q（8，0），根据矩形的性质可知，将点D向右平移6个单位，向下平移4个单位得到点N，∴N（0+6，1﹣4），即N（6，﹣3）．②当DP是对角线时，设Q（x，0），则QD2＝x2+1，QP2＝（x﹣2）2+42，PD2＝13，∵Q是直角顶点，∴QD2+QP2＝PD2，∴x2+1+（x﹣2）2+16＝13，整理得x2﹣2x+4＝0，方程无解，此种情形不存在，综上所述，满足条件的点N坐标为（，3）或（6，﹣3）．8．（2023•长清区二模）如图，二次函数y＝ax2+bx+4与x轴交于点A（4，0），B（﹣1，0），与y轴交于点C．（1）求函数表达式及C坐标；（2）Q在抛物线的对称轴上，连接CQ、BQ，若△QBC为以BC为底的等腰三角形，求Q点坐标．（3）P在抛物线上且在第一象限内，过点P作PM⊥AC，PN⊥y轴，求的最大值并写出P点坐标．【答案】（1）函数表达式为入y＝﹣x2+3x+4，C的坐标为（0，4）；（2）Q（，）；（3）的最大值是，P点坐标为（3，4）．【解答】解：（1）把A（4，0），B（﹣1，0）代入y＝ax2+bx+4得：，解得：，∴函数表达式为入y＝﹣x2+3x+4，令x＝0得y＝4，∴C的坐标为（0，4）；（2）∵y＝﹣x2+3x+4＝﹣（x﹣）2+，∴抛物线的对称轴为直线x＝，设Q（，m），∵△QBC为以BC为底的等腰三角形，∴BQ＝CQ，∵B（﹣1，0），C（0，4），∴+m2＝+（m﹣4）2，解得m＝，∴Q（，）；（3）过P作PH∥y轴交AC于H，过H作HK⊥y轴交于K，如图：∵A（4，0），C（0，4）∴直线AC解析式为y＝﹣x+4，∠ACO＝∠CAO＝45°，设P（t，﹣t2+3t+4），则H（t，﹣t+4），∴PN＝t，PH＝﹣t2+3t+4﹣（﹣t+4）＝﹣t2+4t，∵PH∥y轴，∴∠PHM＝∠ACO＝45°，∴△PHM是等腰直角三角形，∴PM＝MH＝PH＝﹣t2+2t，∵∠PNK＝∠NKH＝∠PHK＝90°，∴四边形PNKH是矩形，∴KH＝PN＝t，∵∠ACO＝45°，∠NKH＝90°，∴△CKH是等腰直角三角形，∴CH＝KH＝t，∴CM＝CH﹣MH＝t﹣（﹣t2+2t）＝t2﹣t，∴＝＝﹣t2+3t﹣4＝﹣（t﹣3）2+，∵﹣＜0，∴当t＝3时，取最大值，最大值为，此时P（3，4），∴的最大值是，P点坐标为（3，4）．三．切线的性质（共1小题）9．（2023•市中区二模）如图，已知AB为⊙O的直径，过⊙O上点C的切线交AB的延长线于点E，AD⊥EC于点D．且交⊙O于点F，连接BC，CF，AC．（1）求证：BC＝CF；（2）若AD＝3，DE＝4，求BE的长．【答案】（1）证明过程见解答；（2）BE的长为．【解答】（1）证明：如图，连接OC，∵ED切⊙O于点C，∴CO⊥ED，∵AD⊥EC，∴CO∥AD，∴∠OCA＝∠CAD，∵∠OCA＝∠OAC，∴∠OAC＝∠CAD，∴＝，∴BC＝CF；（2）解：在Rt△ADE中，∵AD＝3，DE＝4，根据勾股定理得AE＝5，∵CO∥AD，∴△EOC∽△EAD，∴＝，设⊙O的半径为r，∴OE＝5﹣r，∴＝，∴r＝，∴BE＝5﹣2r＝，答：BE的长为．四．几何变换综合题（共5小题）10．（2023•市中区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC＝，BC＝2，D，E，F分别为AC，AB，BC的中点，连接DE，DF．（1）如图1，求证：DF＝DE；（2）如图2，将∠EDF绕点D顺时针旋转一定角度，得到∠PDQ，当射线DP交AB于点G，射线DQ交BC于点N时，连接FE并延长交射线DP于点M，判断FN与EM的数量关系，并说明理由；（3）如图3，在（2）的条件下，当DP⊥AB时，求DN的长．【答案】（1）见解答；（2），理由见解答；（3）DN＝．【解答】（1）证明：如图1，连接AF，∵AB＝AC＝，BC＝2，D，E，F分别为AC，AB，BC的中点，∴DE＝BC＝1，AF⊥BC，∴DF＝AC＝∴；（2）解：，理由如下：连接AF，如图2，∵AB＝AC＝，BC＝2，E，F分别为AC，AB，BC的中点，∴，∴四边形CDEF是平行四边形，∴∠DEF＝∠C，∵，∴∠DFC＝∠C，∴∠DFC＝∠DEF，∴180°﹣∠DFC＝180°﹣∠DEF，∴∠DFN＝∠DEM，∵将∠EDF绕点D顺时针旋转一定角度，得到∠PDQ，∴∠EDF＝∠PDQ，∵∠FDN+∠NDE＝∠EDM+∠NDE，∴∠FDN＝∠EDM，∴△DNF∽△DME，∴，∴；（3）解：如图，连接AF，过点C作CH⊥AB于H，Rt△AFC中，FC＝BC＝1，∴AF＝＝2，∴S△ABC＝BC•AF＝AB•CH，∴HC＝＝＝，∵DP⊥AB，∴△AGD∽△AHC，∴，∴GD＝HC＝，Rt△GED中，GE＝＝＝，Rt△AGD中，AG＝＝，∴tan∠ADG＝＝，∵EF∥AD，∴∠EMG＝∠ADG，∴，∴MG＝GE＝×＝，∴MD＝MG+GD＝+＝，∵△DNF∽△DME，∴，∴DN＝DM＝×＝．11．（2023•钢城区二模）在△ABC与△ADE中，连接DC，点M、N分别为DE和DC的中点，连接CE．（1）【观察猜想】如图①，若AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，MN与BD的数量关系是 BD ＝2MN ；（2）【类比探究】如图②，若AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，请写出MN与BD的数量关系并就图②的情形说明理由；（3）【解决问题】如图③，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ACB＝∠AED＝30°，3AD＝AB＝6，将△ADE绕点A进行旋转，当点D落在△ABC的边所在的直线上时，请求出MN的长．【答案】（1）BD＝2MN，60；（2）BD＝2MN，∠BPM＝90°；（3）MN的长为或4或2．【解答】解：（1）连接CE，延长CE交AB于点Q，交直线BD于点G，∵点M、N分别为DE和DC的中点，∴MN∥CE，CE＝2MN，∴∠BPM＝∠QGB，∵∠BAC＝∠DAE＝60°，∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，即∠DAB＝∠EAC，∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ADB≌△AEC（SAS），∴∠DBA＝∠ECA，BD＝CE＝2MN．故答案为：BD＝2MN；（2）BD＝2MN．理由：连接CE，延长CE交AB于点Q，交直线BD于点G，∵点M、N分别为DE和DC的中点，∴MN∥CE，CE＝2MN，∴∠BPM＝∠QGB，∵∠BAC＝∠DAE＝60°，∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，即∠DAB＝∠EAC，∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ADB≌△AEC（SAS），∴∠DBA＝∠ECA，BD＝CE＝2MN；（3）连接BD，CE，则CE＝BD，同（2）可得MN＝EC，∴MN＝BD，∴点D在以A为圆心，AD长为半径的圆上，故分四种情况讨论：①当点D落在AC上时，∵3AD＝AB＝6，∴AD＝2；∴BD＝＝＝2，∴MN＝BD＝；②当点D落在BA的延长线上时，∴BD＝AB+AD＝8，∴MN＝BD＝4；③当点D落在CA的延长线上时，此时BD＝2，∴MN＝BD＝；④当点D落在边AB上时，∴BD＝AB﹣AD＝4，∴MN＝BD＝2，综上所述，MN的长为或4或2．12．（2023•历下区二模）如图1，△ABC和△DEB都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠BDE＝90°，将△BDE绕点B逆时针旋转α（0＜α＜360），连接EC，取EC中点F，连接AF，DF．（1）如图1，当点D落在BC边上，点E落在AB边上时，线段AF和线段DF的位置关系是 AF⊥DF ，数量关系是 AF＝DF ；（2）如图2，当点D落在△ABC内部时，（1）的结论是否仍然成立？如果成立，请写出证明过程；如果不成立，请说明理由．九年级一班数学兴趣小组的同学提出了三种思路：小聪：过点D作DM⊥BE交线段BE于点M，过点A作AN⊥BC交线段BC于点N……小明：延长ED至点G，使DG＝DE，延长CA至点H使AH＝AC，连接GB、BH……小智：延长DF至点P，使DF＝PF，连接PC，AD，AP……请你选择一种思路，完善证明过程；（3）若AB＝6，BD＝2，在△BDE旋转的过程中，当点E，D，F三点共线时，连接AD，请直接写出AD的长．【答案】（1）结论：AF⊥DF，AF＝DF．理由见解析部分；（2）结论成立，理由见解析部分；（3）AD＝﹣或+．【解答】解：（1）结论：AF⊥DF，AF＝DF．理由：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ACB＝45°，∵∠BDE＝90°，∴∠EDC＝90°，∵EF＝FC，∴AF＝EF＝CF＝DF，∴∠FAC＝∠FCA，∠FCD＝∠FDC，∵∠AFE＝∠FAC+∠FCA＝2∠FCA，∠EFD＝∠FDC+∠FCD＝2∠FCD，∴∠AFD＝∠AFE+∠EFD＝2（∠ACF+∠FCD）＝2∠ACB＝90°，∴AF⊥DF，AF＝DF．故答案为：AF⊥DF，AF＝DF；（2）结论成立．理由：延长DF到M，使得FM＝DF，连接AM，AD，CM，延长BD交CM的延长线于点J，AC交BJ于点O．∵FE＝FC，EFD＝CFM，FD＝FM，∴△EFD≌△CFM（SAS），∴DE＝CM，∠DEF＝∠FCM，∴DE∥CJ，∴∠EDJ＝∠J＝90°，∵∠BAO＝∠OJC＝90°，∴∠ABD＝∠ACM，∵BA＝CA，BD＝DE＝CM，∴△ABD≌△ACM（SAS），∴∠BAD＝∠CAM，AD＝AM，∴∠DAM＝∠BAC＝90°，∵DF＝FM，∴AF⊥FM，AF＝DF＝FM，即AF⊥DF，AF＝DF；（3）当点D在线段CE上时，∵AB＝AC＝6，∠BAC＝90°，∴BC＝＝＝6，∵∠BDC＝90°，BD＝2，∴CD＝＝＝2，∴EC＝DE+CD＝2+2，∴EF＝CF＝1+，∴AF＝DF＝1+﹣2＝﹣1，∴AD＝AF＝﹣，当点E在线段CD上时，同法可得AF＝DF＝+1，∴AD＝AF＝+．综上所述，AD＝﹣或+．13．（2023•商河县二模）在等腰△ABC中，∠B＝90°，AM是△ABC的角平分线，过点M作MN⊥AC，垂足为N，∠EMF＝135°、将∠EMF绕点M旋转，使∠EMF的两边交直线AB于点E，交直线AC于点F，请解答下列问题：（1）当∠EMF绕点M旋转到如图①的位置时，求证：BE+CF＝BM；（2）当∠EMF绕点M旋转到如图②，图③的位置时，请分别写出线段BE，CF，BM之间的数量关系，不需要证明；（3）在（1）和（2）的条件下，tan∠BEM＝，AN＝2+2，求CF的长．【答案】（1）证明过程见解答；（2）图②，BE﹣CF＝BM；图③，CF﹣BE＝BM；（3）2﹣或2+．【解答】（1）证明：如图①，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠BAC＝∠C＝45°，∵AM是∠BAC的平分线，MN⊥AC，∴BM＝MN，在四边形ABMN中，∠BMN＝360°﹣90°﹣90°﹣45°＝135°，∵∠EMF＝135°，∴∠BME＝∠NMF，∴△BME≌△NMF，∴BE＝NF，∵MN⊥AC，∠C＝45°，∴∠CMN＝∠C＝45°，∴NC＝NM＝BM，∵CN＝CF+NF，∴BE+CF＝BM；（2）如图②，同（1）的方法得，△BME≌△NMF，∴BE＝NF，∵MN⊥AC，∠C＝45°，∴∠CMN＝∠C＝45°，∴NC＝NM＝BM，∵NC＝NF﹣CF，∴BE﹣CF＝BM；如图③，同（1）的方法得，△BME≌△NMF，∴BE＝NF，∵MN⊥AC，∠C＝45°，∴∠CMN＝∠C＝45°，∴NC＝NM＝BM，∵NC＝CF﹣NF，∴CF﹣BE＝BM；（3）在Rt△ABM和Rt△ANM中，，∴Rt△ABM≌Rt△ANM（HL），∴AB＝AN＝2+2，在Rt△ABC中，BC＝AB＝2+2，∴AC＝AB＝4+2，∴CN＝AC﹣AN＝4+2﹣（2+2）＝2，在Rt△CMN中，CM＝CN＝2，∴BM＝BC﹣CM＝2+2﹣2＝2，在Rt△BME中，tan∠BEM＝＝＝，∴BE＝，∴①由（1）知，如图1，BE+CF＝BM，∴CF＝BM﹣BE＝2﹣．②由（2）知，如图2，由tan∠BEM＝，∴此种情况不成立；③由（2）知，如图3，CF﹣BE＝BM，∴CF＝BM+BE＝2+，综上所述，CF的长度为2﹣或2+．14．（2023•长清区二模）已知点C为△ABC和△CDE的公共顶点，将△CDE绕点C顺时针旋转α（0°＜α＜360°），连接BD，AE，请完成如下问题：（1）如图1，若△ABC和△CDE均为等边三角形，线段BD与线段AE的数量关系是 BD ＝AE ；类比探究：（2）如图2，若∠ABC＝∠EDC＝90°，∠ACB＝∠ECD＝60°，其他条件不变，请写出线段BD与线段AE的数量关系，并说明理由；（3）拓展应用：如图3，D是△ABC内一点，∠BAD＝∠CBD＝30°，∠BDC＝90°，AB＝4，，直接写出AD的长．【答案】（1）结论：BD＝AE．理由见解析部分；（2）结论：．理由见解析部分；（3）．【解答】解：（1）结论：BD＝AE．理由：∵△ABC和△CDE均为等边三角形，∴CB＝CA，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠BCD＝∠ACE，∴△BCD≌△ACE（SAS），∴BD＝AE；（2）结论：．理由：延长AE交BD的延长线于点F，AC交BF于点O．∵∠ABC＝∠EDC＝90°，∠ACB＝∠ECD＝60°，∴∠BAC＝∠DEC＝30°，∠ACB﹣∠ACD＝∠ECD﹣∠ACD，∴，∠BCD＝∠ECA，∴△BCD∽△ACE，∴，∴；（3）如图2，过点A作AB的垂线，过点D作AD的垂线，两垂线交于点M，连接BM，∵∠BAD＝30°，∴∠DAM＝60°，∴∠AMD＝30°，∴∠AMD＝∠DBC，又∵∠ADM＝∠BDC＝90°，∴△BDC∽△MDA，∴，又∵∠BDC＝∠ADM，∴∠BDC+∠CDM＝∠ADM+∠CDM，即∠BDM＝∠CDA，∴△BDM∽△CDA，∴，∵，∴，∴，∴．。
2023年山东省济南市中考数学模拟试卷(二)及答案解析
2023年山东省济南市中考数学模拟试卷（二）一、选择题（每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（4分）的倒数是（）A．2003B．﹣2003C．D．﹣2．（4分）如图所示的几何体，其俯视图是（）A．B．C．D．3．（4分）“神舟”五号飞船总重7990000克，用科学记数法表示为（）A．0.799×107克B．8×106克C．8.0×106克D．7.99×106克4．（4分）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．5．（4分）如图，将一块三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，当∠1＝55°时，∠2的度数为（）A．25°B．35°C．45°D．55°6．（4分）化简：的结果是（）A．﹣mn+m B．﹣m+1C．﹣m﹣1D．﹣mn﹣n 7．（4分）某企业1～5月份利润的变化情况图所示，以下说法与图中反映的信息相符的是（）A．1～2月份利润的增长快于2～3月份分利润的增长B．1～4月份利润的极差与1～5月份利润的极差不同C．1～5月份利润的众数是130万元D．1～5月份利润的中位数为120万元8．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E是BC的中点，连接AE，将△ABE 沿AE折叠，点B落在点F处，连接FC，则sin∠ECF＝（）A．B．C．D．9．（4分）如图，某建筑物的顶部有一块标识牌CD，小明在斜坡上B处测得标识牌顶部C 的仰角为45°，沿斜坡走下来在地面A处测得标识牌底部D的仰角为60°，已知斜坡AB的坡角为30°，AB＝AE＝10米．则标识牌CD的高度是（）米．A．15﹣5B．20﹣10C．10﹣5D．5﹣5 10．（4分）二次函数y＝﹣x2+mx的图象如图，对称轴为直线x＝2，若关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t＝0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，则t的取值范围是（）A．t＞﹣5B．﹣5＜t＜3C．3＜t≤4D．﹣5＜t≤4二、填空题（本大题共6个小题．每小题4分，共24分．把答案填在答题卡的横线上．）11．（4分）分解因式：xy2﹣4x＝．12．（4分）在一个不透明的箱子里装有红色、蓝色、黄色的球共20个，除颜色外，形状、大小、质地等完全相同，小明通过多次摸球试验后发现摸到红色、黄色球的频率分别稳定在10%和15%，则箱子里蓝色球的个数很可能是个．13．（4分）计算：＝．14．（4分）如图，已知AC为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，且BC＝AC，连接线段AB，与⊙O交于点D，若AC＝4cm，则阴影部分的面积为．15．（4分）如图，已知l1∥l2∥l3，相邻两条平行直线间的距离相等．若等腰直角三角形ABC 的直角顶点C在l1上，另两个顶点A、B分别在l3、l2上，则tanα的值是．16．（4分）如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，AE⊥EF．有下列结论：①∠BAE＝30°；②射线FE是∠AFC的角平分线；③CF＝CD；④AF＝AB+CF．其中正确结论的结论：（填序号）三、解答题（本大题共10个小题，共86分）17．（6分）计算：（）﹣1﹣（π﹣2）0+||+2sin60°．18．（6分）解不等式组：，并写出它的所有整数解．19．（6分）如图，在▱ABCD中，点E是AB边的中点，DE的延长线与CB的延长线交于点F．求证：BC＝BF．20．（8分）某校为组织代表队参加市“拜炎帝、诵经典”吟诵大赛．初赛后对选手成绩进行了整理，分成5个小组（x表示成绩，单位：分）A组：75≤x＜80；B组：80≤x＜85；C组：85≤x＜90；D组：90≤x＜95；E组：95≤x ＜100并绘制出如下两幅不完整的统计图，请根据图中信息，解答下列问题：（1）参加初赛的选手共有名；扇形统计图中，E组对应的圆心角是°；（2）现要从D组中的两名男生和两名女生中，随机选取两名选手进入代表队，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中一名男生和一名女生的概率．21．（8分）为提高数学学习的兴趣，某学校数学社团利用周日举行了测量旗杆高度的活动．已知旗杆的底座高1米，长8米，宽6米，旗杆位于底座中心．测量方法如下：在地面上找一点D，用测角仪测出看旗杆AB顶B的仰角为67.4°，沿DE方向走4.8米到达C地，再次测得看旗杆顶B的仰角为73.5°．（1）求旗杆的高度．（2）已知夏至日时该地的最大太阳高度角约为78°，试问夏至日旗杆的影子能不能落在台阶上？（太阳高度角是指某地太阳光线与地平线的夹角．结果精确到0.1m，参考数据：tan67.4°≈2.4，tan73.5°≈24/7，tan22.6°≈5/12，tan16.5°≈7/24，tan12°≈0.21）22．（8分）如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上一点，CD与⊙O相切于点C，过点A作AD⊥DC，连接AC，BC．（1）求证：AC是∠DAB的角平分线；（2）若AD＝2，AB＝3，求AC的长．23．（10分）“绿水青山就是金山银山”，某村为了绿化荒山，计划在植树节当天种植柏树和杉树．经调查，购买2棵柏树和3棵杉树共需850元；购买3棵柏树和2棵杉树共需900元．（1）求柏树和杉树的单价各是多少元；（2）本次绿化荒山，需购买柏树和杉树共80棵，且柏树的棵数不少于杉树的3倍，要使此次购树费用最少，柏树和杉树各需购买多少棵？24．（10分）如图，已知点A（5，0），B（0，5），把一个直角三角尺DEF放在△OAB内，使其斜边FD在线段AB上，三角尺可沿着线段AB上下滑动，其中∠EFD＝45°，ED＝2，点G为边FD的中点．（1）求直线AB的解析式；（2）如图1，当点D与点A重合时，求经过点G的反比例函数y＝（k≠0）的解析式；（3）在三角尺滑动的过程中，经过点G的反比例函数的图象能否同时经过点F？如果能，求出此时反比例函数的解析式，如果不能，说明理由．25．（12分）已知△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB上的一点，过点A作AE⊥AB，过点C作CE⊥CD，且AE与CE相交于点E．（1）如图1，当∠ABC＝45°，试猜想CE与CD的数量关系：；（2）如图2，当∠ABC＝30°，点D在BA的延长线上，连接DE，请探究以下问题：①CD与CE的数量关系是否发生变化？如无变化，请给予证明；如有变化，先猜想CD与CE的数量关系，再给予证明；②若AC＝2，四边形ACED的面积为3，试求BD的值．26．（12分）如图，抛物线y＝x2﹣bx+c过点B（3，0），C（0，﹣3），D为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式以及顶点坐标；（2）点C关于抛物线y＝x2﹣bx+c对称轴的对称点为E点，连接BC，BE，求∠CBE的正切值；（3）在（2）的条件下，点M是抛物线对称轴上且在CE上方的一点，是否存在点M使△DMB和△BCE相似？若存在，求点M坐标；若不存在，请说明理由．2023年山东省济南市中考数学模拟试卷（二）参考答案与试题解析一、选择题（每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．【分析】乘积是1的两数互为倒数，由此即可得到答案．【解答】解：的倒数是2003．故选：A．【点评】本题考查倒数，关键是掌握倒数的定义．2．【分析】根据简单组合体的三视图的画法画出它的俯视图即可．【解答】解：这个组合体的俯视图为：故选：D．【点评】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的定义，掌握简单组合体的三视图的画法和形状是正确解答的前提．3．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：将7990000用科学记数法表示为7.99×106．故选：D．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可．【解答】解：A、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故A不符合题意；B、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故B符合题意；C、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C不符合题意；D、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故不D符合题意．故选：B．【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．5．【分析】先根据余角的定义求出∠3的度数，再由平行线的性质即可得出结论．【解答】解：∵∠1＝55°，∴∠3＝90°﹣55°＝35°．∵直尺的两边互相平行，∴∠2＝∠3＝35°．故选：B．【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．6．【分析】原式利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分即可得到结果．【解答】解：原式＝﹣•＝﹣（m+1）＝﹣m﹣1．故选：C．【点评】此题考查了分式的混合运算，分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式．7．【分析】解决本题需要从统计图获取信息，再对选项一一分析，选择正确结果．【解答】解：A、1～2月份利润的增长为10万元，2～3月份利润的增长为20万元，慢于2～3月，故选项错误；B、1～4月份利润的极差为130﹣100＝30万元，1～5月份利润的极差为130﹣100＝30万元，极差相同，故选项错误；C、1～5月份利润，数据130出现2次，次数最多，所以众数是130万元，故选项正确；D、1～5月份利润，数据按从小到大排列为100，110，115，130，130，中位数为115万元，故选项错误．故选：C．【点评】本题考查折线统计图的运用，折线统计图表示的是事物的变化情况．8．【分析】过E作EH⊥CF于H，由折叠的性质得BE＝EF，∠BEA＝∠FEA，由点E是BC 的中点，得到CE＝BE，得到△EFC是等腰三角形，根据等腰三角形的性质得到∠FEH ＝∠CEH，推出△ABE∽△EHC，求得EH＝，结果可求sin∠ECF＝＝．【解答】解：过E作EH⊥CF于H，由折叠的性质得：BE＝EF，∠BEA＝∠FEA，∵点E是BC的中点，∴CE＝BE，∴EF＝CE，∴∠FEH＝∠CEH，∴∠AEB+∠CEH＝90°，在矩形ABCD中，∵∠B＝90°，∴∠BAE+∠BEA＝90°，∴∠BAE＝∠CEH，∠B＝∠EHC，∴△ABE∽△EHC，∴，∵AE＝＝5，∴EH＝，∴sin∠ECF＝sin∠ECH＝＝，（方法二，可以证明∠AEB＝∠ECF，求出AE＝10，sin∠ECF＝sin∠AEB＝）故选：D．【点评】本题考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等．也考查了矩形的性质以及勾股定理．9．【分析】过点B作BM⊥EA的延长线于点M，过点B作BN⊥CE于点N，通过解直角三角形可求出BM，AM，CN，DE的长，再结合CD＝CN+EN﹣DE即可求出结论．【解答】解：过点B作BM⊥EA的延长线于点M，过点B作BN⊥CE于点N，如图所示．在Rt△ABM中，AB＝10米，∠BAM＝30°，∴AM＝AB•cos∠BAM＝5米，BM＝AB•sin∠BAM＝5米．在Rt△ADE中，AE＝10米，∠DAE＝60°，∴DE＝AE•tan∠DAE＝10米．在Rt△BCN中，BN＝AE+AM＝（10+5）米，∠CBN＝45°，∴CN＝BN•tan∠CBN＝（10+5）米，∴CD＝CN+EN﹣DE＝10+5+5﹣10＝（15﹣5）米．故选：A．【点评】本题考查了解直角三角形﹣仰角俯角问题及解直角三角形﹣坡度坡脚问题，通过解直角三角形求出BM，AM，CN，DE的长是解题的关键．10．【分析】如图，关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t＝0的解就是抛物线y＝﹣x2+mx与直线y＝t的交点的横坐标，利用图象法即可解决问题．【解答】解：如图，关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t＝0的解就是抛物线y＝﹣x2+mx 与直线y＝t的交点的横坐标，由题意可知：m＝4，当x＝1时，y＝3，当x＝5时，y＝﹣5，由图象可知关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t＝0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，直线y＝t在直线y＝﹣5和直线y＝4之间包括直线y＝4，∴﹣5＜t≤4．故选：D．【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、一元二次方程等知识，解题的关键是学会利用图象法解决问题，画出图象是解决问题的关键，属于中考选择题中的压轴题．二、填空题（本大题共6个小题．每小题4分，共24分．把答案填在答题卡的横线上．）11．【分析】原式提取x，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式＝x（y2﹣4）＝x（y+2）（y﹣2），故答案为：x（y+2）（y﹣2）【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．12．【分析】利用频率估计概率，可得到摸到红色、黄色球的概率为10%和15%，则摸到蓝球的概率为75%，然后根据概率公式可计算出箱子中蓝色球的个数．【解答】解：根据题意得摸到红色、黄色球的概率为10%和15%，所以摸到蓝球的概率为75%，因为20×75%＝15（个），所以可估计箱子中蓝色球的个数为15个．故答案为15．【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．13．【分析】首先找到最简公分母把式子通分，然后进行加减运算．【解答】解：＝＝．故答案为．【点评】本题考查了分式的加减运算．解决本题首先应通分，最后要注意将结果化为最简分式．14．【分析】由切线的性质和圆周角定理可得∠ACB＝90°，∠ADC＝90°，由等腰直角三角形的性质可得AD＝DB＝CD，AO＝CO＝DO，AC⊥OD，由面积和差关系可求解．【解答】解：如图，连接OD，CD，∵BC为⊙O的切线，AC为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∠ADC＝90°，又∵AC＝BC，∴AD＝DB＝CD，∵AO＝CO＝2cm，∴AC⊥OD，OD＝AO＝CO＝2cm，∴∠COD＝90°，∴S阴影＝S△ACB﹣S△AOD﹣S扇形COD＝×4×4﹣×2×2﹣＝（6﹣π）cm2，故答案为：（6﹣π）cm2．【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，扇形的面积公式等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．15．【分析】过点A作AD⊥l1于D，过点B作BE⊥l1于E，根据同角的余角相等求出∠CAD＝∠BCE，然后利用“角角边”证明△ACD和△CBE全等，根据全等三角形对应边相等可得CD＝BE，然后利用勾股定理列式求出AC，然后利用锐角的正切等于对边比邻边列式计算即可得解．【解答】解：如图，过点A作AD⊥l1于D，过点B作BE⊥l1于E，设l1，l2，l3间的距离为1，∵∠CAD+∠ACD＝90°，∠BCE+∠ACD＝90°，∴∠CAD＝∠BCE，在等腰直角△ABC中，AC＝BC，在△ACD和△CBE中，，∴△ACD≌△CBE（AAS），∴CD＝BE＝1，∴DE＝3，∴tan∠α＝．故答案为：．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，锐角三角函数的定义，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．16．【分析】①根据题目中的条件和正方形的性质，利用锐角三角函数可以得到∠BAE是否等于30°；②根据题目中的条件，可以求得∠AEB和∠CFE的正切值，从而可以得到射线FE是否为∠AFC的角平分线；③根据正方形的性质和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论；④根据题目中的条件和全等三角形的判定与性质，可以得到AF＝AB+CF是否成立．【解答】解：在正方形ABCD中，E是BC的中点，∴AB＝BC，BE＝AB，∴tan A＝＝，∵tan30°＝，∴∠BAE≠30°，故①错误；∵∠B＝∠C＝90°，AE⊥EF，∴∠BAE+∠BEA＝90°，∠BEA+∠CEF＝90°，∴∠BAE＝∠CEF，∴△ABE∽△ECF，∵AB＝2BE＝2CE，∴EC＝2CF，设CF＝a，则EC＝BE＝2a，AB＝4a，∴AE＝2a，EF＝a，tan∠CFE＝2，∴tan∠AFE＝＝2，∴∠AFE＝∠CFE，即射线FE是∠AFC的角平分线，故②正确；∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠C＝90°，AB＝BC＝CD，∵AE⊥EF，∴∠AEF＝∠B＝90°，∴∠BAE+∠AEB＝90°，∠AEB+FEC＝90°，∴∠BAE＝∠CEF，在△BAE和△CEF中，，∴△BAE∽△CEF，∴，∴BE＝CE＝2CF，∵BE＝CF＝BC＝CD，即2CF＝CD，∴CF＝CD，故③选项的结论是错误；过点E作AF的垂线于点G，在△ABE和△AGE中，，∴△ABE≌△AGE（AAS），∴AG＝AB，GE＝BE＝CE，在Rt△EFG和Rt△EFC中，，∴Rt△EFG≌Rt△EFC（HL），∴GF＝CF，∴AB+CF＝AG+GF＝AF，故④选项的结论是正确．故答案为：②④．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质以及正方形的性质．熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．三、解答题（本大题共10个小题，共86分）17．【分析】直接利用负指数幂的性质以及绝对值的性质和特殊角的三角函数值分别化简得出答案．【解答】解：原式＝2﹣1+2﹣+2×＝3．【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．18．【分析】分别求解两个不等式，得到不等式组的解集，写出整数解即可．【解答】解：解不等式①得：x＜3，解不等式②得：x≥1，∴原不等式组的解集为：1≤x＜3，∴整数解为1，2．【点评】本题考查了一元一次不等式组的整数解，解一元一次不等式组，掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到是解题的关键．19．【分析】首先由平行四边形的性质可得AD＝BC，再由全等三角形的判定定理AAS可证明△ADE≌△BFE由此可得AD＝BF，进而可证明BC＝BF．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，又∵点F在CB的延长线上，∴AD∥CF，∴∠1＝∠2．∵点E是AB边的中点，∴AE＝BE．∵在△ADE与△BFE中，，∴△ADE≌△BFE（AAS），∴AD＝BF，∴BC＝BF．【点评】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边、对顶角以及公共角．20．【分析】（1）用组类的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数；然后用360°乘以E 组所占的百分比得到扇形统计图中“E”所在扇形圆心角的度数；（2）通过树状图展示12种等可能的结果数，找出恰好选中一名男生和一名女生的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：（1）参加初赛的选手的人数为8÷20%＝40（人）；扇形统计图中，E组对应的圆心角＝360°×＝54°；故答案为40，54；（2）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中恰好选中一名男生和一名女生的结果数为8，所以恰好选中一名男生和一名女生的概率＝＝．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．21．【分析】（1）设旗杆的高度为x米，则EB＝（x+1）米，利用锐角三角函数列式计算即可；（2）设夏至日旗杆的影长为y米，根据锐角三角函数解得y的值，然后根据旗杆的底座长8米，旗杆位于底座中心．根据8÷2＝4，比较y与4的大小，进而可以解决问题．【解答】解：（1）设旗杆的高度为x米，则EB＝（x+1）米，根据题意可知：∠BDE＝67.4°，∠BCE＝73.5°．DC＝4.8米，∴tan∠BDE＝＝≈2.4，tan∠BCE＝＝≈，∴≈2.4，解得x＝37.4，∴旗杆的高度为37.4米；（2）∵旗杆的高度为37.4米，则BE＝38.4米，设夏至日旗杆的影长为y米，∵tan12°＝y÷BE≈0.21，解得y＝0.21×38.4≈8.1，∵旗杆的底座长8米，宽6米，∴底座的对角线是10米，∴8.1＞5，∴夏至日旗杆的影子不能落在台阶上．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题、平行投影、三角函数；借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解决问题的关键．22．【分析】（1）连接OC，根据切线的性质可得∠OCD＝90°，再根据AD⊥DC，和半径线段即可证明AC是∠DAB的角平分线；（2）利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，再证明Rt△ADC∽Rt△ACB，对应边成比例即可求出AC的长．【解答】解：（1）证明：连接OC，如图，∵CD与⊙O相切于点C，∴∠OCD＝90°，∴∠ACD+∠ACO＝90°，∵AD⊥DC，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD+∠DAC＝90°，∴∠ACO＝∠DAC，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∴∠DAC＝∠OAC，∴AC是∠DAB的角平分线；（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠D＝∠ACB＝90°，∵∠DAC＝∠BAC，∴Rt△ADC∽Rt△ACB，∴＝，∴AC2＝AD•AB＝2×3＝6，∴AC＝．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆周角定理．23．【分析】（1）设柏树的单价为x元/棵，杉树的单价是y元/棵，根据“购买2棵柏树和3棵杉树共需850元；购买3棵柏树和2棵杉树共需900元”列出二元一次方程组，求解即可；（2）设购买柏树a棵，则杉树为（80﹣a）棵，购树总费用为w元，根据题意求出w与a的函数关系式，然后根据总费用和两种树的棵数关系列出不等式组，求出a的取值范围，再根据a是正整数确定出购买方案．【解答】解：（1）设柏树的单价为x元/棵，杉树的单价是y元/棵，根据题意得：，解得，答：柏树的单价为200元/棵，杉树的单价是150元/棵；（2）设购买柏树a棵，则杉树为（80﹣a）棵，购树总费用为w元，根据题意：a≥3（80﹣a），解得a≥60，w＝200a+150（80﹣a）＝50a+12000，∵50＞0，∴w随a的增大而增大，又∵a为整数，∴当a＝60时，w＝15000，最小此时，80﹣a＝20，即购买柏树60棵，杉树20棵时，总费用最小为15000元．【点评】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系．24．【分析】（1）由A、B点的坐标，利用待定系数法可求得直线AB的解析式；（2）由条件可求得E点坐标，则可求得F点的坐标，利用三角形中位线定理可求得G 点坐标，则可求得反比例函数解析式；（3）可设出F点坐标，则可表示出G点坐标，代入反比例函数解析式进行判断即可．【解答】解：（1）设直线AB的解析式为y＝ax+b，把A、B坐标代入可得，解得，∴直线AB的解析式为y＝﹣x+5；（2）∵A（5，0），∴OA＝5，当D与A重合时，则OE＝OD﹣DE＝5﹣2＝3，∵∠EFD＝45°，∴EF＝DE＝2，∵F（3，2），D（5，0），∵G为DF的中点，∴G（4，1），∴k＝4×1＝4，∴经过点G的反比例函数的解析式为y＝；（3）设F（t，﹣t+5），则D点横坐标为t+2，代入直线AB解析式可得y＝﹣（t+2）+5＝﹣t+3，∴D（t+2，﹣t+3），∵G为DF中点，∴G（t+1，﹣t+4），若反比例函数同时过G、F点，则可得t（﹣t+5）＝（t+1）（﹣t+4），解得t＝2，此时F点坐标为（2，3），设过F、G的反比例函数解析式为y＝，则s＝2×3＝6，∴经过点G的反比例函数的图象能同时经过点F，其函数解析式为y＝．【点评】本题为反比例函数的综合应用，涉及待定系数法、等腰直角三角形的性质、三角形中位线定理等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中求得G点坐标是解题的关键，注意中点坐标的求法，在（3）中用t分别表示出F、G的坐标是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．25．【分析】（1）结论：CE＝CD．证明△BCD≌△ACE（ASA）可得结论．（2）①结论有变化．CD＝CE．证明△BCD∽△ACE可得结论．②如图2中，过点C作CH⊥AB于H．设EC＝a，则CD＝a，根据四边形ACED的面积为3，构建方程求出a即可解决问题．【解答】解：（1）结论：CE＝CD．理由：如图1中，∵∠ACB＝90°，∠B＝45°，∴∠B＝∠CAB＝45°，∴CA＝CB，∵AE⊥BA，CE⊥CD，∴∠ACB＝∠ECD＝∠BAE＝90°，∴∠BCD＝∠ACE，∠CAE＝∠B＝45°，∴△BCD≌△ACE（ASA），∴CD＝CE．故答案为CE＝CD．（2）①结论有变化．CD＝CE．理由：如图2中，∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴∠BAC＝60°，BC＝AC，∵AE⊥BA，CE⊥CD，∴∠ACB＝∠ECD＝∠BAE＝90°，∴∠BCD＝∠ACE，∠CAE＝∠B＝30°，∴△BCD∽△ACE，∴＝＝，∴CD＝CE．②如图2中，过点C作CH⊥AB于H．设EC＝a，则CD＝a，∵AC＝2，∠ACH＝30°，∠CHA＝90°，∴AH＝AC＝1，CH＝AH＝，∴DH＝＝，∴AD＝﹣1，＝3，∵S四边形ACED+S△ECD＝3，∴S△ACD∴×（﹣1）•+•a•a＝3，整理得：a4﹣17a2+52＝0，∴a2＝4或13（舍弃），∵a＞0，∴a＝2，∴DH＝3，∵BH＝CH＝3，∴BD＝BH+DH＝6．【点评】本题属于四边形综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．26．【分析】（1）设抛物线的解析式为y＝（x+3）（x+n），将点C的坐标代入可求得n的值，则可得到抛物线的解析式，然后利用配方法可求得抛物线的顶点坐标；（2）过点E作ED⊥BC，垂足为D．由题意可得到△OBC和△CDE均为等腰直角三角形，然后求得CE、BC、DE的长，最后利用锐角三角函数的定义求解即可；（3）先证明tan∠FDB＝tan∠CBE，从而得到∠FDB＝∠CBE，当＝或当∠BMD ＝∠BCE＝45°时，△DMB和△BCE相似．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝（x+3）（x+n），将点C的坐标代入得：3n＝﹣3，解得n＝﹣1．∴抛物线的解析式为y＝（x+3）（x﹣1）即y＝x2﹣2x﹣3．∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴D（1，﹣4）．（2）如图1所示：过点E作ED⊥BC，垂足为D．∵B（3，0），C（0，﹣3），∴OC＝OB＝3．∴∠OCB＝∠OBC＝45°，BC＝3∵点E与点C关于抛物线的对称轴对称，∴CE⊥OC，∴∠DCE＝45°．∵ED⊥CD，∴△DEB为等腰直角三角形．∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线的对称轴为x＝1．∴CE＝2．∴CD＝ED＝．∴BD＝BC﹣CD＝2．∴tan∠CBE＝＝．（3）如图2所示：∵B（3，0），D（1，﹣4），∴A（﹣1，0），F（1，0）．∴FB＝2，DF＝4．∴tan ∠FDB ＝．∴tan ∠FDB ＝tan ∠CBE ．∴∠FDB ＝∠CBE ．∴当＝时，△BCE ∽△DBM ．∴＝，解得：MD ＝．∴点M 的纵坐标＝﹣4+＝﹣．∴M （1，﹣）．如图3所示：∵∠FDB ＝∠CBE ，∴当∠BMD ＝∠BCE ＝45°时，△DMB ∽△BCE ．∴FM ＝FB ＝2．∴M （1，2）．综上所述，当点M 的坐标为（1，﹣）或（1，2）时，△DMB 和△BCE 相似．【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、等腰直角三角形的判定和性质、相似三角形的判定，找出△DMB 和△BCE 相似的条件是解答本题的关键。
2024年济南市中区九年级中考数学二模考试试题(含答案)
九年级学业水平质量检测市中区教研室编著数学试题第I卷（选择题共40分）一．选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.如图是某几何体的三视图，该几何体是（）2．中国信通院预计未来2~3年内将实现5G的个人终端应用和数字内容的创新突破，预计2025年全球5G移动用户数将突破57亿户，数据57亿用科学记数法表示为（）A.0.57x1010B.5.7x1010C.5.7x109D.57x1093.将含45°角的直角三角板按如图所示摆放，直角顶点在直线m上，其中一个锐角顶点在直线n上．若m∥n，∠1=30°，则∠2的度数为（）A.45°B.60°C.75°D.90°（第3题图）（第4题图）4.如图，数轴上的点A和点B分别在原点的左侧和右侧，点A、B对应的实数分别是a、b，下列结论一定成立的是（）A.a+b<0B.b-a<0C.3a>3bD.a+3<6+35.剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一．为弘扬优秀传统文化，某中学开展了"剪纸进校园，文化共传承"的项目式学习，下列剪纸作品的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )6.下列计算正确的是( )A.(3a³)2=9a6B.a3+a2=a5C.a3·a2=a6D.a8÷a2=a4(k≠0)的图象可能是( )7.在同一平面直角坐标系中，函数y=kx+1(k≠0)和y=kx8.五一期间，学校准备从甲、乙、丙、丁四位同学中随机选择两位同学参加假期实践活动，则选择的两位同学中恰好有甲同学的概率是（）A.16B.13C.12D.239.如图，在△ ABC 中，以点B为圆心，以适当长为半径作弧，分别与AB、BC交于M和N两点；分别以M、N为圆心，以大于12MN的长为半径作弧，两弧交于点D，作射线BD，BD与AC交于点E。
2024年山东省济南市中考数学二诊试卷及答案解析
2024年山东省济南市中考数学二诊试卷一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项符合题目要求．1．（4分）鲁班锁，民间也称作孔明锁、八针锁，相传由春秋时代鲁国工匠鲁班所创，如图是鲁班锁的其中一个部件，它的主视图是（）A．B．C．D．2．（4分）芯片是由很多晶体管组成的，而芯片技术追求体积更小的晶体管，以便获得更小的芯片和更低的电力功耗．目前，某品牌手机自主研发了最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为0.000000007毫米，将数据0.000000007用科学记数法表示为（）A．7×10﹣8B．7×10﹣9C．0.7×10﹣8D．0.7×10﹣93．（4分）如图所示，直线EF∥GH，射线AC分别交直线EF、GH于点B和点C，AD⊥EF于点D，如果∠A＝40°，则∠ACH＝（）A．50°B．110°C．40°D．160°4．（4分）实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（）A．b﹣c＞0B．ac＞0C．b+c＜0D．ab＜15．（4分）下列图书馆标志图形中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．6．（4分）下列运算中，正确的是（）A．a2+a2＝a4B．a3•a2＝a6C．a8÷a4＝a4D．（2a2）3＝6a67．（4分）函数y＝﹣（k≠0，k为常数）的图象上有三点（﹣3，y1），（﹣2，y2），（4，y3），则函数值的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y2＜y3＜y1D．y3＜y1＜y28．（4分）某校为了解学生在校一周体育锻炼时间，随机调查了40名学生，调查结果列表如下：锻炼时间/h5678人数913126则这40名学生在校一周体育锻炼时间的中位数为（）A．5h B．6h C．7h D．8h9．（4分）如图，在△ABC中，分别以点A，B为圆心，以大于的线段长为半径画弧，两弧分别相交于AB两侧的M，N两点，直线MN交AB于点D，交BC于点E，连接AE，AE平分∠BAC．若AC＝7，DE＝4，则△AEC的面积为（）A．7B．8C．14D．2810．（4分）对于二次函数y＝ax2+bx+c，规定函数y＝是它的相关函数．已知点M，N的坐标分别为（﹣，1），（，1），连接MN，若线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象有两个公共点，则n的取值范围为（）A．﹣3＜n≤﹣1或B．﹣3＜n＜﹣1或C．n≤﹣1或D．﹣3＜n＜﹣1或n≥1二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分．请直接写答案．11．（4分）因式分解3x（x﹣2）+2（x﹣2）＝．12．（4分）在一个不透明的袋子中放有10个白球，若干个红球，这些球除颜色外完全相同．每次把球充分揽匀后，任意摸出一个球记下颜色，再放回袋中．通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在0.25左右，则红球约有个．13．（4分）若关于x的方程x2﹣2x+m＝0有实数根，且m为正整数，则m的值是．14．（4分）如图，正六边形ABCDEF的边长为2，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为．15．（4分）现有甲、乙两个长方体蓄水池，将甲池中的水匀速注入乙池，甲、乙两个蓄水池中水的深度y （米）与注水时间x（时）之间的函数图象如图所示，当甲、乙两池中水的深度相同时，注水时间为________时．16．（4分）如图，在矩形ABCD中，，点E，F分别在边AD，BC上．将矩形ABCD沿EF折叠，使点B的对应点B′落在CD边上，得到四边形A′B′FE．若EF＝8，则B′D的长为．三、解答题：本题共10小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（6分）计算：．18．（6分）解不等式组：，把解集在数轴上表示出来，并写出不等式组的整数解．19．（6分）如图，BD是▱ABCD的对角线，点E，F在BD上，连接AE，CF，BE＝DF．求证：AE∥CF．20．（8分）随着城镇化建设的加快，高层建筑逐渐增多了，为防患于未然，更快更有效预防火灾，开辟新的救援通道，某城市消防中队新增添一台高空消防救援车．图1是高空救援消防车实物图，图2是其侧面示意图，点O，A，C在同一直线上，CO可绕着点O旋转，AB为云梯的液压杆，点O，B，D在同一水平线上，其中AC可伸缩，已知套管OA＝4米，且套管OA的长度不变，现对高空救援消防车进行调试，测得∠ABD＝53°，∠COD＝37°．（1）求此时液压杆AB的长度；（2）若消防人员在云梯末端工作台点C处高空救援时，将AC伸长到最大长度，云梯CO绕着点O逆时针旋转27°，即∠COC′＝27°，过点C′作∠C′G⊥OD，垂足为G，过点C作CE⊥OD，垂足为E，CH⊥C′G，垂足为H．如图3，测得铅直高度升高了3米（即C′H＝3米），求AC伸长到的最大长度．（参考数据：，，，，sin64°≈0.90，cos64°≈0.44）21．（8分）为了提高师生们的安全意识，使青少年学生安全、健康成长，某校组织学生防火、防食物中毒、防交通事故等一系列演练活动，并组织了一次“安全知识答题”活动．该校随机抽取部分学生的答题成绩进行统计，将成绩分为四个等级：A（90≤x≤100），B（80≤x＜90），C（60≤x＜80），D（0＜x＜60），并根据结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中所给信息解答下列问题：（1）这次抽样调查共抽取人；条形统计图中的m＝．（2）将条形统计图补充完整；在扇形统计图中，求C等级所在扇形圆心角的度数；（3）如果80分及以上成绩为“优秀”，该校共有2000名学生，估计该校学生答题成绩为“优秀”的共有多少人；（4）已知甲、乙、丙、丁四名学生的答题成绩均为A等级，并且他们又有较强的表达能力，学校决定从他们四人中随机抽出两名学生去做“安全知识宣传员”，请用列表或画树状图的方法，求甲、乙两名同学恰好能被同时选中的概率．22．（8分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为斜边中线，以CD为直径作⊙O交BC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为点F．（1）求证：EF为⊙O的切线；（2）若AB＝13，AC＝5，求EF的长．23．（10分）暖暖花城攀枝花，不仅阳光充沛，特色水果更是闻名全国，某经销商计划购进A、B两种水果．已知购进A种水果2件，B种水果3件，共需690元；购进A种水果1件，B种水果4件，共需720元．（1）A、B两种水果每件的价格分别是多少元？（2）该经销商计划用不超过5400元购进A、B两种水果共40件，且A种水果的件数不超过B种水果件数的3倍，共有多少种进货方案？如果该经销商将购进的水果按照A种每件160元，B种每件200元的价格全部售出，那么哪种进货方案获利最多？24．（10分）阅读材料：“三等分角”是数学史上一个著名问题．今天人们已经知道，仅用圆规和直尺是不可能作出的．在研究这个问题的过程中，数学家帕普斯借助函数给出了一种“三等分锐角”的方法，如图1，步骤如下：①建立直角坐标系，将已知锐角∠AOB的顶点与原点O重合，角的一边OB与x轴正方向重合；②在直角坐标系中，绘制函数的图象，图象与已知角的另一边OA交于点P；③以P为圆心、以2OP为半径作弧，交函数的图象于点R；④分别过点P和R作x轴和y轴的平行线，分别交于点M，点Q；⑤连接OM，得到∠MOB．则．思考问题：（1）设，，求直线OM的函数解析式（用含a，b的代数式表示），并说明Q点在直线OM上；（2）证明：．（3）如图2，若直线y＝x与反比例函数交于点C，D为反比例函数第一象限上的一个动点，使得∠COD＝30°．求用材料中的方法求出满足条件D点坐标．25．（12分）综合与探究如图，抛物线与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，1）．抛物线的对称轴交x轴于点D，过点B作直线l⊥x轴，连接CD，过点D作DE⊥CD，交直线l于点E，作直线CE．（1）求抛物线的函数表达式并直接写出直线CE的函数表达式；（2）如图，点P为抛物线上第二象限内的点，设点P的横坐标为m，连接BP与CE交于点Q，当点Q 为线段BP的中点时，求m；（3）若点M为x轴上一个动点，点N为抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点D，E，M，N为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．26．（12分）在△ABC中，D为直线AC上一动点，连接BD，将BD绕点B逆时针旋转90°，得到BE，连接DE与AB相交于点F．（1）如图1，若D为AC的中点，∠BAC＝90°，AC＝4，BD＝，连接AE，求线段AE的长；（2）如图2，G是线段BA延长线上一点，D在线段AC上，连接DG，EC，若∠BAC＜90°，EC⊥BG，∠ADE＝∠DBC，∠DBC+∠G＝∠EBF，证明BC＝2AD+DC；（3）如图3，若△ABC为等边三角形，AB＝6，点M为线段AC上一点，且2CM＝AM，点P是直线BC上的动点，连接EP，MP，EM，请直接写出当EP+MP最小时△EPM的面积．2024年山东省济南市中考数学二诊试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项符合题目要求．1．【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．【解答】解：它的主视图是：．故选：C．【点评】此题主要考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．2．【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：0.000000007＝7×10﹣9．故选：B．【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．3．【分析】利用三角形的内角和定理，由AD⊥EF，∠A＝40°可得∠ABD＝50°，由平行线的性质定理可得∠ACH．【解答】解：∵AD⊥EF，∠A＝40°，∴∠ABD＝180°﹣∠A﹣∠ADB＝180°﹣40°﹣90°＝50°，∵EF∥GH，∴∠ACH＝∠ABD＝50°．故选：A．【点评】本题主要考查了三角形的内角和定理和平行线的性质定理，掌握平行线的性质是关键．4．【分析】根据数轴可知：﹣3＜a＜﹣2＜b＜﹣1＜0＜c＜1，由此逐一判断各选项即可．【解答】解：由数轴可知：﹣3＜a＜﹣2＜b＜﹣1＜0＜c＜1，A、∵﹣2＜b＜﹣1，0＜c＜1，∴b﹣c＜0，故选项A不符合题意；B、∵﹣3＜a＜﹣2，0＜c＜1，∴ac＜0，故选项B不符合题意；C、∵﹣2＜b＜﹣1，0＜c＜1，∴b+c＜0，故选项C符合题意；D、∵﹣3＜a＜﹣2＜b＜﹣1，∴ab＞1，故选项D不符合题意；故选：C．【点评】本题考查的是实数与数轴，熟悉数轴上各点的分布特点是解题的关键．5．【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，由此即可判断．【解答】解：A、图形是轴对称图形，故A符合题意．B、C、D中的图形不是轴对称图形，故BCD不符合题意．故选：A．【点评】本题考查轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义．6．【分析】利用合并同类项法则，同底数幂乘法及除法法则，积的乘方法则逐项判断即可．【解答】解：a2+a2＝2a2，则A不符合题意；a3•a2＝a5，则B不符合题意；a8÷a4＝a4，则C符合题意；（2a2）3＝8a6，则D不符合题意；故选：C．【点评】本题考查整式的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．7．【分析】分析题意，由﹣|k|＜0可知函数图象为二、四象限，根据图象在第二象限时，y值随x的增大而增大即可判断出y1，y2的大小关系；图象在第四象限时，所有的y值都小于0，据此可得y3＜0．【解答】解：因为﹣|k|＜0，所以函数y＝﹣图象在第二、四象限．由于在第二象限，y值随x的增大而增大，（﹣3，y1），（﹣2，y2）在第二象限的双曲线的分支上，因为﹣3＜﹣2，所以y1＜y2，且y1，y2都是正数．在第四象限双曲线中的点，对应的y值小于0，而点（4，y3）在第四象限的双曲线的分支上，则y3＜0，所以大小关系是y3＜y1＜y2．故选：D．【点评】本题主要考查了反比例函数的相关知识，解题的关键是熟记反比例函数的图象与性质．8．【分析】根据中位数的意义得出中位数是排列后的第20和21个数据，再求出平均数即可．【解答】解：40÷2＝20，∴中位数是＝6（h），故选：B．【点评】本题主要考查中位数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．9．【分析】过E作EF⊥AC于F，由作图知，DE⊥AB，根据角平分线的性质得到EF＝DE＝4，根据三角形的面积公式即可得到结论．【解答】解：过E作EF⊥AC于F，由作图知，DE⊥AB，∵AE平分∠BAC．∴EF＝DE＝4，∵AC＝7，∴△AEC的面积＝＝，故选：C．【点评】本题考查了作图﹣基本作图，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．10．【分析】首先确定出二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数与线段MN恰好有1个交点、2个交点、3个交点时n的值，然后结合函数图象可确定出n的取值范围．【解答】解：如图1所示：线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有1个公共点．所以当x＝2时，y＝1，即﹣4+8+n＝1，解得n＝﹣3．如图2所示：线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点．∵抛物线y＝x2﹣4x﹣n与y轴交点纵坐标为1，∴﹣n＝1，解得：n＝﹣1．∴当﹣3＜n≤﹣1时，线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点．如图3所示：线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点．∵抛物线y＝﹣x2+4x+n经过点（0，1），∴n＝1．如图4所示：线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点．∵抛物线y＝x2﹣4x﹣n经过点M（﹣，1），∴1＜n≤时，线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点．综上所述，n的取值范围是﹣3＜n≤﹣1或1＜n≤，故选：A．【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了二次函数的图象和性质、函数图象上点的坐标与函数解析式的关系，求得二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数与线段MN恰好有1个交点、2个交点、3个交点时n的值是解题的关键．二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分．请直接写答案．11．【分析】提取公因式即可求得．【解答】解：原式＝（x﹣2）（3x+2）．【点评】本题主要考查提取公因式法，熟练掌握提取公因式法进行因式分解是解题的关键．12．【分析】根据用频率估计概率可知：摸到白球的概率为0.25，根据概率公式即可求出小球的总数，从而求出红球的个数．【解答】解：∵通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在0.25左右，∴摸到白球的概率为0.25，∴小球的总数约为：10÷0.25＝40（个），则红球的个数为：40﹣10＝30（个）．故答案为：30．【点评】本题考查的是用频率估计概率，正确记忆概率公式是解题关键．13．【分析】根据Δ≥0，求出m的取值范围，可得结论．【解答】解：∵方程x2﹣2x+m＝0有实数根，∴Δ≥0，∴4﹣4m≥0，∴m≤1，∵m为正整数，∴m＝1．故答案为：1．【点评】本题考查根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根．14．【分析】利用扇形的面积公式求解即可．【解答】解：由题意，∠FAB＝120°，AF＝AB＝2，＝＝，∴S阴故答案为：．【点评】本题考查正多边形与圆，扇形的面积等知识，解题的关键是记住扇形的面积S＝．15．【分析】根据函数图象中的数据可以求得相应的函数解析式；联立两个函数解析式，解方程组求出x 即可．【解答】解：设y1为甲池中的水深度与注水时间x之间的函数表达式是y1＝k1x+b1，∴，解得，即y1＝﹣4x+4（0≤x≤1），设y2乙池中的水深度与注水时间x之间的函数表达式是y2＝k2x+b2，∴，解得，即y2＝6x+2（0≤x≤1）；令y1＝y2，则﹣4x+4＝6x+2，解得：x＝，∴当甲、乙两池中水的深度相同时，则注水时间为小时．故答案为：．【点评】本题考查一次函数的应用，涉及待定系数法求一次函数表达式，一次函数的交点问题等内容；解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用一次函数的性质解答．16．【分析】如图所示，过点A作AG∥EF交BC于G，连接BB′交AG于H，设A′B′、AD交于M，可证明四边形AEFG是平行四边形，得到AG＝EF，由折叠的性质可得B′F＝BF，BB′⊥EF，∠A′＝∠BAD＝90°，∠A'B'F＝∠ABF＝90°，证明△GAB∽B′BC，推出BB'＝AG＝EF＝；再证明∠CFB′＝∠A′ED，得到cos∠CFB'＝cos∠AED＝＝，设B′F＝BF＝5m，则CF＝4m，则B'C＝＝3m，BC＝CF+BF＝9m，在Rt△BCB′中，由勾股定理得＝（3m）2+（9m）2，解方程求出BC＝36，B′C＝12，则CD＝AB＝BC＝24，即可得到B′D＝12．【解答】解：如图所示，过点A作AG∥EF交BC于G，连接BB′交AG于H，设A′B′、AD交于M，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠BAD＝∠C＝90°，BC＝AD，BC∥AD，∵AG∥EF，∴四边形AEFG是平行四边形，∴AG＝EF，由折叠的性质得B′F＝BF，BB′⊥EF，∠A′＝∠BAD＝90°，∠A′B'F＝∠ABF＝90°，∴AG⊥BB′，∴∠HAB+∠HBA＝90°＝∠HBA+∠CBB'，∴∠HAB＝∠CBB′，∴△GAB∽△B′BC，∴＝＝＝，∴BB'＝AG＝EF＝12，∵∠A′ED+∠A′ME＝90°，∠DMB'+∠DB′M＝90°＝∠DB'M+∠CB'F，∠A′ME＝∠DMB′，∠CB'F+∠CFB'＝90°，∴∠CFB′＝∠A′ED，∴cos∠CFB′＝cos∠A′ED＝＝，设B′F＝BF＝5m，则CF＝4m，∴B'C＝＝3m，BC＝CF+BF＝9m，在Rt△BCB′中，由勾股定理得B'B2＝BC2+B'C2，∴＝（3m）2+（9m）2，∴m＝4，m＝﹣4（舍去），∴BC＝36，B′C＝12，∴CD＝AB＝BC＝24，∴B′D＝12，故答案为：12．【点评】本题主要考查了矩形与折叠问题，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，平行四边形的判定与性质等，通过证明＝＝＝是解题的关键．三、解答题：本题共10小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【分析】根据整数指数幂的性质、绝对值的性质和特殊角的三角函数值进行计算即可．【解答】解：原式＝＝＝﹣1+1＝0．【点评】本题主要考查了实数的有关运算，解题关键是熟练掌握整数指数幂的性质、绝对值的性质和特殊角的三角函数值．18．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解答】解：，解不等式①得x＜1，解不等式②得x≥﹣2，故原不等式组的解集为﹣2≤x＜1．把解集在数轴上表示为：则不等式组的整数解为﹣2，﹣1，0．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．19．【分析】先证明∠ABE＝∠CDF，再证明△ABE≌△CDF（AAS），可得∠AEB＝∠CFD，可得∠AED＝∠CFB，从而可得结论．【解答】证明：在▱ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，∴∠ABE＝∠CDF，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（SAS），∴∠AEB＝∠CFD，∵∠AEB+∠AED＝180°，∠CFD+∠CFB＝180°，∴∠AED＝∠CFB，∴AE∥CF．【点评】本题考查的是平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．20．【分析】（1）过点A作AE⊥BD，分别解直角三角形AOE和直角三角形ABE，进行求解即可；（2）易得GH＝CE，旋转得到OC′＝OC，解直角三角形得到GH＝CE＝0.6OC米，C′G＝OC′•sin64°≈0.9OC′米，利用C′H＝C′G﹣GH＝0.9OC′﹣0.6OC＝0.3OC＝3米，求出OC的长，再减去OA 的长即可得出结果．【解答】解：（1）过点A作AE⊥BD，在Rt△AEO中，OA＝4米，∠COD＝37°，∴（米），在Rt△AEB中，∠ABD＝53°，∴（米）；（2）由题意，得：GH＝CE，在Rt△COE中，∠COD＝37°，∴米，∴GH＝CE＝0.6OC米，∵OC′＝OC，∠COC′＝27°，∴∠C′OG＝37°+27°＝64°，在Rt△C′OG中，∠C′OG＝64°，∴C′G＝OC′•sin64°≈0.9OC′米，∵C′H＝C′G﹣GH＝0.9OC′﹣0.6OC＝0.3OC＝3米，∴OC＝10米，∴AC＝OC﹣OA＝6米，故：AC伸长到的最大长度为6米．【点评】本题考查解直角三角形的应用，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．21．【分析】（1）用A等级的人数除以所占的比例求出总人数，用总人数乘以D等级的比例，求出m的值；（2）求出C等级的人数，补全条形图，用360度乘以C等级所占的比例，求出圆心角的度数；（3）利用样本估计总体的思想进行求解即可；（4）画出树状图，利用概率公式进行计算即可．【解答】解：（1）48÷24%＝200（人）；m＝200×14%＝28（人）；故答案为：200，28；（2）C等级的人数为200﹣48﹣64﹣28＝60（人），补全条形图如图：C等级的圆心角度数为：；（3）（人）；（4）列出树状图如图：共12种等可能的结果，其中甲、乙两名同学恰好能被同时选中的结果有2种，∴．【点评】本题考查条形图和扇形图的综合应用，树状图法求概率，会画条形图和扇形图是解题的关键．22．【分析】（1）连接OE，则OC＝OE，由已知直角三角形斜边中线等于斜边一半可得CD＝BD，可以证得∠B＝∠CEO，OE∥BD，则∠OEF＝∠EFB＝90°，即可得到EF为⊙O的切线．（2）连接ED，则∠CED＝90°，则DE∥AC，可得△BDE∽△BAC，进而求得BE的长度，再利用三角函数即可求得EF的长度．【解答】（1）证明：连接OE，∴OC＝OE，∴∠OCE＝∠OEC，∵∠ACB＝90°，CD为斜边中线，∴，∴∠OCE＝∠OEC＝∠B，∴OE∥BD，∵EF⊥AB，∴∠OEF＝90°，∴EF为⊙O的切线．（2）解：连接DE，∵∠ACB＝90°，AB＝13，AC＝5，∴，，∵CD是直径，∴∠CED＝90°，∴DE∥AC，∴△BDE∽△BAC，∴，∴，∴，∴．【点评】本题考查了圆的相关性质，切线的判定，勾股定理，三角函数，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识点，正确作出辅助线是解题的关键．23．【分析】（1）设A种水果每件的价格是x元，B种水果每件的价格是y元，由购进A种水果2件，B 种水果3件，共需690元；购进A种水果1件，B种水果4件，共需720元．列出方程组，可求解；（2）设A种水果有x件，则B水果有（40﹣x）件，由经销商计划用不超过5400元购进A、B两种水果共40件，且A种水果的件数不超过B种水果件数的3倍，列出不等式组，即可求解．【解答】解：（1）设A种水果每件的价格是x元，B种水果每件的价格是y元，根据题意得：，解得：．答：A种水果每件的价格是120元，B种水果每件的价格是150元；（2）设A种水果有x件，则B水果有（40﹣x）件，由题意可得：，解得：20≤x≤30，∵x为正整数，∴共有11种方案，∵获利＝（160﹣120）x+（200﹣150）（40﹣x）＝40x+2000﹣50x＝﹣10x+2000，∴当x＝20时，获利最多，∴购进A种水果20件，B种水果20件时，获利最多．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．24．【分析】（1）由PM∥x轴，MR∥y轴，，，即可得出M点的坐标，即可，再将点Q的坐标代入解析式即可判断点Q是否在直线OM上；（2）连接PR，交OM于点S，由矩形的性质和平行线的性质即可得到结论；（3）先求出点C（2，2），可得，然后分两种情况讨论：当D点在OC下方时，当D点在OC 上方时，即可求解．【解答】（1）解：设直线OM的函数表达式为y＝kx，由题意得：∠PQR＝∠QRM＝∠PQR＝90°，∴四边形PQRM为矩形，∵，，∴，，把点代入y＝kx得：，∴直线OM的函数表达式为，∵Q的坐标满足，∴点Q在直线OM上；（2）证明：连接PR，交OM于点S，如图1，由题意得四边形PQRM是矩形，∴PR＝QM，，，∴SP＝SM，∴∠1＝∠2，∴∠3＝∠1+∠2＝2∠2∵PR＝2PO，∴PS＝PO．∴∠4＝∠3＝2∠2，∵PM∥x轴，∴∠2＝∠5，∴∠AOB＝∠4+∠5＝3∠5，即．（3）解：∵直线y＝x与反比例函数交于点C，∴，解得：x＝2或﹣2（舍去），∴C（2，2），∴，当D点在OC下方时，如图2，以C为圆心，2OC为半径画弧，交反比例函数于点E，作EF∥y轴，作CF∥x轴，连接OF并延长交反比例与点F，作CG∥EF，连接EG，CE与OF交于点H，∠COD＝30°，，，∴∠CHF＝∠GHE＝30°，作GI⊥EC于I，在Rt△GIH中，GI＝GH＝，HI＝﹣，∴，∴，则，，即，∴G（4+2，2），设OG的解析式为y＝kx，代入得：2＝（4+2）k，解得：k＝.2﹣，∴OG的解析式为：y＝（2﹣）x，联立得：，解得：，∴D点坐标为（+，﹣）；同理，当D点在OC上方时，有G（4﹣2，2），OG的解析式为：y＝（2+）x，联立得：，解得：，∴D点坐标为（﹣，+）；综上，点D的坐标为（+，﹣）或（﹣，+）．【点评】此题属于反比例函数综合题，综合考查了待定系数法求函数解析式的方法、矩形的性质以及三角形外角的性质等，解答本题的关键是熟练掌握反比例函数的性质．25．【分析】（1）由待定系数法即可求解；（2）设点P（m，m2﹣m+1），由中点坐标公式得：点Q（，m2﹣m+），将点Q的坐标代入直线CE的表达式得：m2﹣m+＝+1，即可求解；（3）当DE为对角线时，中点坐标公式列出方程组，即可求解；当EN或EM为对角线时，同理可解．【解答】解：（1）由题意得：，解得：，则抛物线的表达式为：y＝x2﹣x+1，则抛物线的对称轴为直线x＝3，即点D（3，0），令y＝x2﹣x+1＝0，则x＝1或5，即点B（5，0），则BD＝2，OD＝2，OC＝1，∵∠CDO+∠EDB＝90°，∠EDB+∠DEB＝90°，∴∠CDO＝∠DEB，∴tan∠CDO＝tan∠DEB，即，即，解得：BE＝6，则点E（5，6），由点C、E的坐标得，直线CE的表达式为：y＝x+1；（2）设点P（m，m2﹣m+1），而点B（5，0），∵点Q为线段BP的中点，由中点坐标公式得：点Q（，m2﹣m+），将点Q的坐标代入直线CE的表达式得：m2﹣m+＝+1，解得：m＝（不合题意的值已舍去）；（3）存在，理由：设点N（m，m2﹣m+1），点M（x，0），当DE为对角线时，中点坐标公式得：，解得：，即点M的坐标为：（5+，0）或（5，0）；当EN或EM为对角线时，同理可得：或，解得：x＝1±，即点M的坐标为：（1+，0）或（1﹣，0）；综上，点M的坐标为：（1+，0）或（1﹣，0）或：（5+，0）或（5，0）．【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题．26．【分析】（1）根据题意由勾股定理可得AB长度，作EG⊥AB，交AB于G，利用旋转及互余可证得△ABD≌△GEB（AAS），则得EG＝AB，BG＝AD，可求出AG，再由勾股定理可得AE的长度；（2）由旋转可知，△BDE为等腰直角三角形，根据其性质再利用互余可证得△EBC≌△BDG（AAS），则有BD＝DG，∠EBC＝∠BDG，由∠ADE＝∠DBC，可证∠ADG＝45°，由∠ADE＝∠DBC，利用三角形内角和定理可得∠ACB＝45°，作BH⊥BC，交CA延长线于H，连接HG，易知，△BCH为等腰直角三角形，可得∠BHC＝45°，BH＝BC＝DG，，易得BH∥DG，可证四边形BDGH是平行四边形，即HD＝2AD，利用CH＝HD+CD可得证结论；（3）作BH⊥AC，交AC于H，将BC绕点B逆时针旋转90°，证明△BGE≌△BCD（SAS），进而证得EG∥BH，作点M关于BC的对称点N，连接PN，CN，由对称易知CM＝CN，易知当EP+MP最小时，即EP+PN最小，亦即N、P、E在同一直线，且NE⊥EG，如图，作BT⊥GE，交GE于T，易知四边形BQET是矩形，证得△PMC是等边三角形，求出，△EPM的高，根据可得答案．【解答】（1）解：∵D为AC的中点，AC＝4，，∠BAC＝90°，∴，则由勾股定理，可得：，作EG⊥AB，交AB于G，如图1，由题意可知，∠DBE＝90°，BE＝BD，∴∠1+∠2＝90°，∠2+∠3＝90°，∴∠1＝∠3，又∵∠EGB＝∠BAC＝90°，∴△ABD≌△GEB（AAS），∴EG＝AB＝5，BG＝AD＝2，则AG＝AB﹣BG＝3，由勾股定理可得：AE＝＝；（2）证明：由旋转可知，△BDE为等腰直角三角形，∴∠7＝45°，∠EBD＝90°，BE＝BD，∵EC⊥BG，∴∠3+∠EBF＝90°，又∵∠4+∠EBF＝90°，∠3+∠1＝90°，∴∠3＝∠4，∠1＝∠EBF＝∠2+∠DBC，又∵∠DBC+∠G＝∠EBF，∴∠2＝∠G，在△EBC和△BDG中，，∴△EBC≌△BDG（AAS），∴BD＝DG，∠EBC＝∠BDG，则：∠EBD+∠DBC＝∠7+∠ADE+ADG，∵∠ADE＝∠DBC，∴∠EBD＝∠7+ADG，即：90°＝45°+∠ADG，∴∠ADG＝45°，又∵∠ADE＝∠DBC＝∠5+∠6，由三角形内角和定理可得：∠DBC+∠2＝∠6+∠7，即：∠6+∠5+∠2＝∠6+∠7，∴∠ACB＝∠5+∠2＝∠7＝45°，作BH⊥BC，交CA延长线于H，连接HG，如图2，∴△BCH为等腰直角三角形，∴∠BHC＝45°，BH＝BC＝DG，，∵∠ADG＝45°，∴BH∥DG，∴四边形BDGH是平行四边形，∴AH＝AD，即HD＝2AD，∴；（3）解：作BH⊥AC，交AC于H，∵△ABC是等边三角形，∴，∠DBE＝∠ABC＝60°，BH平分∠ABC，则∠ABH＝∠CBH＝30°，将BC绕点B逆时针旋转90°，则，∠DBE＝∠CBG＝90°，∴∠EBG＝∠DBC，∠GBH＝∠CBG﹣∠CBH＝60°，∴△BGE≌△BCD（SAS），∴∠BGE＝∠BCD＝60°，∴EG⊥BH，作点M关于BC的对称点N，连接PN，CN，如图3，由对称易知CM＝CN，∠BCN＝∠ACB＝60°，PM＝PN，∴EP+MP＝EP+PN，当EP+MP最小时，即EP+PN最小，亦即N、P、E在同一直线，且NE⊥EG，如图4：作BT⊥GE，交GE于T，则∠BGT＝60°，∠TBG＝30°，∴，，∵EG∥BH，BH⊥AC，NE⊥EG，∴BH⊥NP，NE∥AC，四边形BQET是矩形，则∠ACB＝∠NPC＝∠BPQ＝60°，EQ＝BT＝3，即∠MPE＝60°，由轴对称可知，∠CPM＝∠NPC＝60°，∴△PMC是等边三角形，则：PM＝CM＝CP，∵2CM＝AM，∴，，∠ABH＝∠CBH＝30°，∴，，则由勾股定理可得：，，∵NE∥AC，BH⊥NP，则QH为NE，AC之间的距离，∴，即△EPM的高，∴，∴．【点评】本题属于几何综合题，考查了全等三角形的判定及性质，等腰直角三角形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，第（2）问证明∠ACB＝45°，∠ADG＝45°解决问题的关键，第（3）问弄清E 的运动轨迹是解决问题的关键。
2022年山东省济南市市中区中考数学二模试卷
2022年山东省济南市市中区中考数学二模试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4分）国家主席习近平在2022年新年贺词中说道：“安得广厦千万间，大庇天下寒士俱欢颜！2022年我国3400000贫困人口实现易地扶贫搬迁、有了温暖的新家．”其中3400000用科学记数法表示为（）A．×107B．×106 C．×105 D．34×1052．（4分）如图是某零件的直观图，则它的主视图为（）A．B．C．D．3．（4分）如图，已知AB∥CD，DE⊥AC，垂足为E，∠A=120°，则∠D的度数为（）A．30°B．60°C．50°D．40°4．（4分）下列计算正确的是（）A．a4÷a3=1 B．a4a3=a7C．（2a3）4=8a12 D．a4•a3=a75．（4分）如图，△ABC内接于⊙O，连接OA，OB，∠C=40°，则∠OBA的度数是（）A．60°B．50°C．45°D．40°6．（4分）下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．7．（4分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A ．B ．C ．D ．8．（4分）初三体育素质测试，某小组5名同学成绩如下所示，有两个数据被遮盖，如图：编号12345方差平均成绩得分3834■374■37那么被遮盖的两个数据依次是（）A．35，2 B．36，4 C．35，3 D．36，39．（4分）济南大明湖畔的“超然楼”被称作“江北第一楼”，某校数学社团的同学对超然楼的高度进行了测量，如图，他们在A 处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往楼的方向前进60m 至B 处，测得仰角为60°，若学生的身高忽略不计，≈，结果精确到1m ，则该楼的高度CD 为（ ） A ．47m B ．51m C ．53m D ．54m10．（4分）如果关于的方程（m ﹣1）21=0有实数根，那么m 的取值范围是（ ）A ．B ．且m ≠1C ．D ．且m ≠111．（4分）如图，把矩形纸片OABC 放入平面直角坐标系中，使OA 、OC 分别落在轴，y 轴上，连OB ，将纸片OABC 沿OB 折叠，使点A 落在A′的位置，若OB=，tan ∠BOC=，则点A′的坐标（ ）A ．（﹣，）B ．（﹣，）C ．（﹣，）D ．（﹣，）12．（4分）如图，在平面直角坐标系中2条直线为l 1：y=﹣33，l 2：y=﹣39，直线l 1交轴于点A ，交y 轴于点B ，直线l 2交轴于点D ，过点B 作轴的平行线交l 2于点C ，点A 、E 关于y轴对称，抛物线y=a2bc过E、B、C三点，下列判断中：①a﹣bc=0；②2abc=5；③抛物线关于直线=1对称；④抛物=5，线过点（b，c）；⑤S四边形ABCD其中正确的个数有（）A．5 B．4 C．3 D．2二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）13．（4分）分解因式：2a2﹣8a8= ．14．（4分）不透明的袋子里装有2个红球和1个白球，这些球除了颜色外都相同，从中任意摸出一个，放回摇匀，再从中摸一个，则两次摸到球的颜色相同的概率是．15．（4分）已知方程组，则y的值为．16．（4分）如图所示，扇形AOB的圆心角为120°，半径为2，则图中阴影部分的面积为．17．（4分）如图，△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（2，5），C（6，1）．若函数y=在第一象限内的图象与△ABC有交点，则的取值范围是．18．（4分）如图，M、N是正方形ABCD的边CD上的两个动点，满足AM=BN，连接AC交BN于点E，连接DE交AM于点F，连接CF，若正方形的边长为4，则线段CF的最小值是．三、解答题（本大题共9小题，共计78分。
真题解析：2022年山东省济南市中考数学第二次模拟试题(含详解)
2022年山东省济南市中考数学第二次模拟试题考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意： 1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟 2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、在平面直角坐标系xOy 中，点A （2，1）与点B （0，1）关于某条直线成轴对称，这条直线是（ ）A ．x 轴B ．y 轴C ．直线1x =（直线上各点横坐标均为1）D ．直线1y =（直线上各点纵坐标均为1）2、下列判断错误的是（ ） A ．若a b =，则33a b -=- B ．若a bc c=，则a b = C ．若2x =，则22x x = D ．若22ac bc =，则a b =3、已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 的部分图象如图，则关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c ＝0的解为（ ）·线○封○密○外A．x1＝﹣4，x2＝2 B．x1＝﹣3，x2＝﹣1C．x1＝﹣4，x2＝﹣2 D．x1＝﹣2，x2＝24、点P（4，﹣3）关于原点对称的点的坐标是（）A．（3，﹣4）B．（﹣4，3）C．（﹣4，﹣3）D．（4，3）5、二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（﹣2，﹣9a），下列结论：①4a+2b+c＞0；②5a﹣b+c＝0；③若关于x 的方程ax2+bx+c＝1 有两个根，则这两个根的和为﹣4；④若关于 x 的方程a（x+5）（x﹣1）=﹣1 有两个根x1和x2，且x1＜x2，则﹣5＜x1＜x2＜1．其中正确的结论有（）A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个6、已知一个圆锥的高为3，母线长为5，则圆锥的侧面积是（）A．10πB．12πC．16πD．20π7、如图，已知△A′B′C′与△ABC是位似图形，点O是位似中心，若A′是OA的中点，则△A′B'C′与△ABC的面积比是（）A ．1：4B ．1：2C ．2：1D ．4：18、在以下实数中：-227，0.8，2π-） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个9、深圳湾“春笋”大楼的顶部如图所示，则该几何体的主视图是（ ）A ．B ．C ．D ．10、为庆祝中国共产党成立100周年，某学校开展学习“四史”（《党史》、《新中国史》、《改革开放史》、《社会主义发展史》）交流活动，小亮从这四本书中随机选择1本进行学习心得体会分享，则他恰好选到《新中国史》这本书的概率为（ ）A ．14B ．13C ．12D ．1第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分） 1、如图，将一副直角三角板叠放在一起，使直角顶点重合于点，若∠COB ＝50°，则∠AOD ＝_______ ·线○封○密○外2、等边ABC 的边长为2，P ，Q 分别是边AB ，BC 上的点，连结AQ ，CP 交于点O ．以下结论：①若AP BQ =，则60AOP ∠=︒；②若AQ CP =，则120AOC ∠=︒；③若点P 和点Q 分别从点A 和点C 同时出发，以相同的速度向点B 运动（到达点B 就停止），则点O ______（序号）．3、已知一个角等于70°，则这个角的补角等于___________4、方程（2x ﹣1）2＝25的解是 ___；5、近几年，就业形式严峻，考研人数持续增加，官方统计显示2022年考研报名人数为4570000人，创下了历史新高，将数据“4570000”用科学记数法表示为______． 三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、规定：A ，B ，C 是数轴上的三个点，当CA =3CB 时我们称C 为[A ，B ]的“三倍距点”，当CB =3CA 时，我们称C 为[B ，A ]的“三倍距点”．点A 所表示的数为a ，点B 所表示的数为b 且a ，b 满足(a +3)2+|b −5|=0．（1） a =__________，b =__________；（2）若点C 在线段AB 上，且为[A ，B ]的“三倍距点”，则点C 所表示的数为______；（3）点M 从点A 出发，同时点N 从点B 出发，沿数轴分别以每秒3个单位长度和每秒1个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t 秒．当点B 为M ，N 两点的“三倍距点”时，求t 的值． 2、如图，在ABCD 中，对角线AC 的垂直平分线分别交AD ，BC 于点E ，F ，EF 与AC 相交于点O ，连接AF ，CE ．（1）求证：四边形AECF 是菱形；（2）已知sin ACF ∠=5CF =，6AB =，请你写出sin B 的值．3、一副三角板按如图1方式拼接在一起，其中边OA、OC与直线EF重合，∠AOB＝45°，∠COD＝60°．（1）求图1中∠BOD的度数．（2）如图2，三角板COD固定不动，将三角板AOB绕点O按顺时针方向旋转一个角度α（即∠AOE＝α），在转动过程中两个三角板一直处于直线EF的上方．①当OB平分OA、OC、OD其中的两边组成的角时，求满足要求的所有旋转角度α的值；②在转动过程中是否存在∠BOC＝2∠AOD？若存在，求此时α的值；若不存在，请说明理由．4、已知：如图，在ABC中，AD是边BC边上的高，CE是中线，F是CE的中点，DF CE⊥．求证：12CD AB=．·线○封○密○外5、如图，四边形ABCD内接⊙O，∠C＝∠B．（1）如图1，求证：AB＝CD；（2）如图2，连接BO并延长分别交⊙O和CD于点F、E，若CD＝EB，CD⊥EB，求tan∠CBF；（3）如图3，在（2）的条件下，在BF上取点G，连接CG并延长交⊙O于点I，交AB于H，EF∶BG ＝1∶3，EG＝2，求GH的长．-参考答案-一、单选题1、C【分析】利用成轴对称的两个点的坐标的特征，即可解题．【详解】根据A 点和B 点的纵坐标相等，即可知它们的对称轴为20122A B x x x ++===． 故选：C ． 【点睛】 本题考查坐标与图形变化—轴对称，掌握成轴对称的两个点的坐标的特点是解答本题的关键． 2、D 【分析】根据等式的性质解答． 【详解】解：A . 若a b =，则33a b -=-，故该项不符合题意；B. 若abc c =，则a b =，故该项不符合题意； C . 若2x =，则22x x =，故该项不符合题意； D . 若22ac bc =，则a b =（20c ≠），故该项符合题意； 故选：D ． 【点睛】 此题考查了等式的性质：等式两边同时加上或减去同一个整式，等式仍然成立；等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立． 3、A 【分析】关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根即为二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图象与x轴的交点的横坐标． 【详解】 解：根据图象知，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）与x 轴的一个交点是（2，0），对称轴是直线x ＝−1．·线○封○密·○外设该抛物线与x 轴的另一个交点是（x ，0）． 则212x +=-， 解得，x ＝－4 ，即该抛物线与x 轴的另一个交点是（－4，0）．所以关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根为x 1＝−4，x 2＝2． 故选：A ． 【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点．解题时，注意抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）与关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）间的转换． 4、B 【分析】根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，进而得出答案． 【详解】解：点P （4，-3）关于原点对称的点的坐标是（-4，3）， 故选：B ． 【点睛】此题主要考查了关于原点对称点的性质，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．5、C 【分析】 222494baac b a a⎧-=-⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩求解,,a b c 的数量关系；将2x =代入①式中求解判断正误；②将45b a c a ==-，代入，·线○合并同类项判断正负即可；③中方程的根关于对称轴对称，1222+=-x x 求解判断正误；④中求出二次函数与x 轴的交点坐标，然后观察方程的解的取值即可判断正误． 【详解】解：由顶点坐标知222494b aac b a a⎧-=-⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩ 解得45b a c a ==-， ∵0a >∴当2x =时，4248570a b c a a a a ++=+-=>，故①正确，符合题意； 554540a b c a a a a -+=--=-<，故②错误，不符合题意；方程的根为2y ax bx c =++的图象与直线1y =的交点的横坐标，即12x x ，关于直线2x =-对称，故有1222+=-x x ，即124x x +=-，故③正确，符合题意； ()()()224551y ax bx c a x x a x x =++=+-=+-，与x 轴的交点坐标为()()5,01,0-，，方程()()511a x x +-=-的根为二次函数图象与直线1y =-的交点的横坐标，故可知1251x x -<<<，故④正确，符合题意； 故选C ． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与二次方程等知识．解题的关键与难点在于从图象中提取信息，并且熟练掌握二次函数与二次方程的关系． 6、D 【分析】首先利用勾股定理求得底面半径的长，然后根据扇形的面积公式即可求解． 【详解】4，则底面周长是：8π，则圆锥的侧面积是：185202ππ⨯⨯=．故选：D ． 【点睛】本题主要考查三视图的知识和圆锥侧面面积的计算，解题的关键是由三视图得到立体图形，及记住圆锥的侧面面积公式． 7、A 【分析】根据位似图形的概念得到△A ′B ′C ′∽△ABC ，A ′B ′∥AB ，根据△OA ′B ′∽△OAB ，求出A B AB''，根据相似三角形的性质计算，得到答案． 【详解】解：∵△A ′B ′C ′与△ABC 是位似图形， ∴△A ′B ′C ′∽△ABC ，A ′B ′∥AB ， ∴△OA ′B ′∽△OAB ， ∴12A B OA AB OA '''==， ∴△A ′B 'C ′与△ABC 的面积比为1：4， 故选：A ．【点睛】 本题考查的是位似变换的概念、相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 8、C 【分析】 ·线无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．据此解答即可．【详解】解：无理数有-0.202002π-4个． 故选：C ．【点睛】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.2020020002…，等有这样规律的数．解题的关键是理解无理数的定义．9、A【分析】根据简单几何体的三视图的意义，得出从正面看所得到的图形即可．【详解】解：从正面看深圳湾“春笋”大楼所得到的图形如下：故选：A ．【点睛】本题考查简单几何体的三视图，理解视图的意义，掌握简单几何体三视图的画法是正确解答的关键．10、A【分析】直接根据概率公式求解即可．【详解】解：由题意得，他恰好选到《新中国史》这本书的概率为14， 故选：A ．【点睛】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．二、填空题1、130°130度【分析】先计算出AOC ∠，再根据AOD AOC COD ∠=∠+∠可求出结论．【详解】解：∵90AOB ∠=︒，50COB ∠=︒∴905040AOC AOB COB ∠=∠-∠=︒-︒=︒∵90COD ∠=︒∴4090130AOD AOC COD ∠=∠+∠=︒+︒=︒故答案为：130°【点睛】本题考查了角的计算及余角的计算，熟悉图形是解题的关键．2、①③【分析】①根据全等三角形的性质可得∠BAQ ＝∠ACP ，再由三角形的外角性质即可求解；第②结论有两种情况，准确画出图之后再来计算和判断；③要先判断判断轨迹（通过对称性或者全等）在来计算路径长． 【详解】解：∵ABC 为等边三角形，·线∴,60AB AC ABC CAB =∠=∠=︒ ，∵AP BQ =，∴ABQ CAP ≅ ，∴BAQ ACP ∠=∠ ，∵60BAQ CAQ BAC ∠+∠=∠=︒ ，∴60ACP CAQ ∠+∠=︒ ，∴60AOP ACP CAQ ∠=∠+∠=︒ ，故①正确；当AQ CP =时可分两种情况，第一种，如①所证时，AQ CP =且AP BQ = 时，∵60AOP ∠=︒，∴180120AOC AOP ∠=︒-∠=︒ ，第二种如图，AQ CP =时，若AP BQ ≠ 时，则AOC ∠大小无法确定，故②错误；由题意知AP CQ = ,∵ABC 为等边三角形，∴,AC BC BAC BCA =∠=∠ ，∴PAC QCA ≅ ，∴点O 运动轨迹为AC 边上中线，∵ABC 的边长为2，∴AC ，∴点O故③正确；故答案为：①③．【点睛】此题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质等知识的综合应用．本题综合性强，熟练掌握等边三角形的性质是解题关键． 3、110︒度 【分析】根据补角的定义：若两角相加等于180︒，则两角互补，求出答案即可．【详解】∵一个角等于70°， ∴这个角的补角为：18070110︒-︒=︒． 故答案为：110︒． 【点睛】 本题考查补角的定义，掌握两角互补，则两角相加为180︒是解题的关键． 4、x 1=3，x 2=-2 【分析】 通过直接开平方求得2x -1=±5，然后通过移项、合并同类项，化未知数系数为1解方程． 【详解】 解：由原方程开平方，得 2x -1=±5， 则x =152±， 解得，x 1=3，x 2=-2．故答案是：x 1=3，x 2=-2．【点睛】·线○封○密·○外本题考查了解一元二次方程--直接开平方法．（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a （a≥0）；ax2=b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．（2）运用整体思想，会把被开方数看成整体．（3）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．5、4.57×106【分析】将一个数表示成a×10n，1≤a＜10，n是正整数的形式，叫做科学记数法，根据此定义即可得出答案．【详解】解：根据科学记数法的定义，4570000=4.57×106，故答案为：4.57×106．【点睛】本题主要考查科学记数法的概念，关键是要牢记科学记数法的形式．三、解答题1、（1）-3，5（2）3（3）当t为125或t=3或43秒时，点B为M，N两点的“三倍距点”．【分析】（1）根据非负数的性质，即可求得a，b的值；（2）根据“三倍距点”的定义即可求解；（3）分点B为[M，N]的“三倍距点”和点B为[N，M]的“三倍距点”两种情况讨论即可求解．（1）解：∵(a +3)2+|b −5|=0，∴a +3=0，b −5=0，∴a =-3，b =5，故答案为：-3，5；（2）解：∵点A 所表示的数为-3，点B 所表示的数为5，∴AB =5-(-3)=8，∵点C 为[A ，B ]的“三倍距点”，点C 在线段AB 上，∴CA =3CB ，且CA +CB =AB =8， ∴CB =2， ∴点C 所表示的数为5-2=3， 故答案为：3； （3） 解：根据题意知：点M 所表示的数为3t -3，点N 所表示的数为t +5， ∴BM =()53383t t --=-，BN =55t t +-=，(t >0)， 当点B 为[M ，N ]的“三倍距点”时，即BM =3BN ， ∴833t t -=， ∴833t t -=或833t t -=-， 解833t t -=得：43t =， 而方程833t t -=-，无解； 当点B 为[N ，M ]的“三倍距点” 时，即3BM =BN ， ·线○封○密○外∴383t t -=，∴249t t -=或249t t -=-， 解得：125t =或t =3； 综上，当t 为125或t =3或43秒时，点B 为M ，N 两点的“三倍距点”． 【点睛】 本题考查了非负数的性质，一元一次方程的应用、数轴以及绝对值，熟练掌握“三倍距点”的定义是解题的关键．2、（1）见解析；（2）23【分析】（1）方法一：先证明ΔAOE ≌ΔCOF ，可得OE OF =，再证明四边形AECF 是平行四边形，结合EA EC =，从而可得结论；方法二：先证明ΔAOE ≌ΔCOF ，可得OE OF =，再证明四边形AECF 是平行四边形，结合EF AC ⊥，从而可得结论；方法三：证明EA EC FC FA ===，从而可得结论；（2）如图，过A 作AH BC ⊥于,H 利用菱形的性质结合三角函数先求解菱形的对角线的长及菱形的面积，再利用1,2AC EF CF AH 求解,AH 从而可得答案.【详解】（1）方法一：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD BC ∥∴,.EAC ACF AEF CFE ∠=∠∠=∠又∵EF 垂直平分AC ，∴OA OC =．EA EC =． ∴ΔAOE ≌ΔCOF ． ∴OE OF =．·线∴四边形AECF 是平行四边形．∵EA EC =∴四边形AECF 是菱形．方法二：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD BC ∥．∴,.EAC ACF AEF CFE ∠=∠∠=∠又∵EF 垂直平分AC ，∴OA OC =．EF AC ⊥．∴ΔAOE ≌ΔCOF ．∴OE OF =．∴四边形AECF 是平行四边形．∵EF AC ⊥，∴四边形AECF 是菱形．方法三：∵EF 垂直平分AC ，∴OA OC =，,.EA EC FA FC ==∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD BC ∥．∴,.EAC ACF AEF CFE ∠=∠∠=∠∴ΔAOE ≌ΔCOF ．∴AE CF =．∴.EA EC FC FA ===∴四边形AECF 是菱形．（2）如图，过A 作AH BC 于,H四边形AECF 是菱形．,,,AC EF OE OF OA OC 55,sin ,5CFACF 5,5OFCF 则5,25,OF EF 25cos 525,45,5OC CF ACF AC1,2AC EF CF AH 204,5AH 42sin .63AHBAB 【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，菱形的判定，菱形的性质，锐角三角函数的应用，掌握“选择合适的判定方法判断菱形及利用等面积法求解菱形的高”是解本题的关键.3、（1）75（2）①旋转角α的值为30°，90°，105°；②当α=105°或125°时，存在∠BOC =2∠AOD ． 【分析】 （1）根据平平角的定义即可得到结论；·线（2）①根据已知条件和角平分线的定义即可得到结论；②当OA在OD的左侧时，当OA在OD的右侧时，列方程即可得到结论．（1）解：∵∠AOB=45°，∠COD=60°，∴∠BOD=180°-∠AOB-∠COD=75°，故答案为：75；（2）解：①当OB平分∠AOD时，∵∠AOE=α，∠COD=60°，∴∠AOD=180°-∠AOE-∠COD=120°-α，∴∠AOB=12∠AOD=60°-12α=45°，∴α=30°，当OB平分∠AOC时，∵∠AOC=180°-α，∴∠AOB=90°-12α=45°，∴α=90°；当OB平分∠DOC时，∵∠DOC=60°，∴∠BOC=30°，∴α=180°-45°-30°=105°，综上所述，旋转角度α的值为30°，90°，105°；②当OA在OD的左侧时，则∠AOD=120°-α，∠BOC=135°-α，∵∠BOC=2∠AOD，∴135°-α=2（120°-α），∴α=105°；当OA在OD的右侧时，则∠AOD=α-120°，∠BOC=135°-α，∵∠BOC=2∠AOD，∴135°-α=2（α-120°），∴α=125°，综上所述，当α=105°或125°时，存在∠BOC=2∠AOD．【点睛】本题考查了角的计算，特殊角，角平分线的定义，正确的理解题意是解题的关键．4、见详解．【分析】连接DE，由中垂线的性质可得DE=DC，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到DE=BE，进而得到CD12AB．【详解】证明：如图，连接DE，∵F是CE的中点，DF⊥CE，∴DF垂直平分CE，∴DE=DC∵AD⊥BC，CE是边AB上的中线，∴DE是Rt△ABD斜边上的中线，即DE=BE=12AB，·线∴CD =DE =12AB ．【点睛】本题考查了中垂线的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，推出DE =CD 是解决本题的关键．5、（1）见解析；（2）12；（3【分析】（1）过点D 作DE ∥AB 交BC 于E ，由圆内接四边形对角互补可以推出∠B +∠A =180°，证得AD ∥BC ，则四边形ABED 是平行四边形，即可得到AB =DE ，∠DEC =∠B =∠C ，这DE =CD =AB ；（2）连接OC ，FC ，设BE =CD =2x ，OB =OC =OF =r ，则OE =BE -BO =2x -r ，EF =BF -BE =2r -2x ，由垂径定理可得1=2CE DE CD x ==，∠CEB =∠CEF =∠FCB =90°，则∠FBC +∠F =∠FCE +∠F =90°，可得∠FBC =∠FCE ；由勾股定理得222OC OE CE =+，则()2222r x r x =-+， 解得54r x =，则522212tan =tan ==2x x EF r x CBF FCE CE x x --==∠∠； （3）EF ：BG =1：3，即()13EF BE GE -=：：则()()222213r x x --=：： 解得4x =，则=5r ，8BE CD AB ===，6BG =，如图所示，以B 为圆心，以BC 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，分别过点A 作AM ⊥BC 与M ，过点G 作GN ⊥BC 与N ，连接FC ，分别求出G点坐标为⎝⎭，C 点坐标为()；A点坐标为⎝⎭ 然后求出直线CG的解析式为34y x =-+AB 的解析式为2y x =，即可得到H的坐标为），则GH==．【详解】解：（1）如图所示，过点D作DE∥AB交BC于E，∵四边形ABCD是圆O的圆内接四边形，∴∠A+∠C=180°，∵∠B=∠C，∴∠B+∠A=180°，∴AD∥BC，∴四边形ABED是平行四边形，∴AB=DE，∠DEC=∠B=∠C，∴DE=CD=AB；（2）如图所示，连接OC，FC，设BE=CD=2x，OB=OC=OF=r，则OE=BE-BO=2x-r，EF=BF-BE=2r-2x∵CD⊥EB，BF是圆O的直径，∴1=2CE DE CD x==，∠CEB=∠CEF=∠FCB=90°，∴∠FBC+∠F=∠FCE+∠F=90°，·线∴∠FBC =∠FCE ；∵222OC OE CE =+，∴()2222r x r x =-+，∴222244r x r r x =-++， 解得54r x =， ∴522212tan =tan ==2x x EF r x CBF FCE CE x x --==∠∠；（3）∵EF ：BG =1：3，即()13EF BE GE -=：： ∴()()222213r x x --=：： ，即()122132x x -=：： ∴3222x x =-， 解得4x =，∴=5r ，∴8BE CD AB ===，6BG =，如图所示，以B 为圆心，以BC 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，分别过点A 作AM ⊥BC 与M ，过点G 作GN ⊥BC 与N ，连接FC ， ∴1tan ===2GN FC CBF BN BC ∠，∴2BN GN =，2BC FC =，∵222BG GN BN =+，222BF BC FC =+∴225GN BG =,225FC BF =，∴GN ==,FC ==∴BN =BC =∴G ，C 点坐标为（0）； ∵1tan ==2CE CBF BE ∠， ∴tan 2BE BCE CE ∠==， ∵∠ABC =∠ECB ， ∴tan 2AM ABM BM∠==， ∴2AM BM =，∵222AB AM BM =+，∴225BM AB =，∴BM AB ==∴AM =，∴A 设直线CG 的解析式为y kx b =+，直线AB 的解析式为1y k x =，∴0b b ⎧+=+=1=∴34k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，12k =， ∴直线CG的解析式为34y x =-+AB 的解析式为2y x =，联立342y x y x ⎧=-+⎪⎨⎪=⎩解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴H，∴GH ==． 【点睛】 本题主要考查了圆内接四边形的性质，平行四边形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，解直角三角形，一次函数与几何综合，垂径定理，勾股定理，两点距离公式，解题的关键在于能够正确作出·线○封○密○外辅助线，利用数形结合的思想求解．。
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2013年初三年级学业水平考试数 学 模 拟 二注意事项：1．本试题分第I 卷和第II 卷两部分．第I 卷满分45分；第II 卷满分75分．本试题共10页，满分120分，考试时间为120分钟．2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上，并同时将考点、姓名、准考证号、座号填写在试卷的密封线内．3．第Ⅰ卷为选择题，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案写在试卷上无效．4．考试期间，一律不得使用计算器；考试结束，应将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题 共45分）一、选择题（本大题共15个小题．每小题3分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 下面的数中，与2-的和为0的是 （ ）A.2B.2-C.21D. 21- 2．据2013年4月1日《CCTV —10讲述》栏目报道，2012年7月11日，一位26岁的北京小伙樊蒙，推着坐在轮椅上的母亲，开始从北京到西双版纳的徒步旅行，圆了母亲的旅游梦，历时93天，行程3 359公里．请把3 359用科学记数法表示应为（ ）A ．233.5910⨯ B ．43.35910⨯ C ．33.35910⨯ D ．433.5910⨯ 3．下面四个几何体中，俯视图为四边形的是（ ）4.一次函数23y x =+的图象交y 轴于点A ，则点A 的坐标为（ ）A ．（0，3）B ．（3，0）C ．（1，5）D ．（-1.5，0） 5. 下列运算正确的是（ ）A ．328-= B ．()23-=9- C ．42= D ．020=6．从下列不等式中选择一个与x ＋1≥2组成不等式组，若要使该不等式组的解集为x ≥1，则可以选择的不等式是 A ．x ＞0 B ．x ＞2 C ．x ＜0D ．x ＜27．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．8．一次数学测试后，随机抽取九年级某班5名学生的成绩如下：91，78，98，85， 98．关于这组数据说法错误．．A B C DA CBDO的是（ ） A ．平均数是91B ．极差是20C ．中位数是91D ．众数是989．如图，把一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．若∠1=15°，则∠2的度数是（ ）A. 25°B. 30°C. 60°D. 65°10．已知两个变量x 和y ，它们之间的3组对应值如下表所示：x －1 0 1 y－113则y 与x 之间的函数关系式可能是（ ）A ．y=xB ．y=x 2+x +1C ．y= 3xD ．y=2x +111．如图O ⊙是ABC △的外接圆，AD 是O ⊙的直径，O ⊙半径为32，2AC =，则sin B （ ）A ．23B ．32C ．34D ．4312．面积为0.8 m 2的正方形地砖，它的边长介于( )A ．90 cm 与100 cm 之间B ．80 cm 与90cm 之间C ．70 cm 与80 cm 之间D ．60 cm 与70 cm 之间13．如图所示，平面直角坐标系中，已知三点A （－1，0），B （2，0），C （0，1），若以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是平行四边形，则D 点的坐标不可能是（ ）A.（3，1）B.（－3，1）C.（1，3）D.（1，－1）14．如图为二次函数2y ax bx c =++的图象，则下列说法中 错误的是( )A ．ac <0B ．2a ＋b ＝0C ．a ＋b ＋c >0D ．对于任意x 均有ax 2＋bx ≥a ＋b15．在直角梯形ABCD 中，AD BC ∥，90ABC AB BC E ∠==°，，为AB 边上一点，15BCE ∠=°，且AE AD =．连接DE 交对角线AC 于H ，连接BH ．下列结论：①ACD ACE △≌△； ②CDE △为等边三角形； ③2EH BE=； ④EBC EHC S AH S CH ∆∆=． 其中结论正确的是（ ）A ．只有①②B ．只有①②④C ．只有③④D ．①②③④2013年初三年级学业水平考试数 学 模 拟 二注意事项：1．第Ⅱ卷共6页．用蓝、黑钢笔或圆珠笔直接答在考试卷上．2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．考试期间，一律不得使用计算器．第II 卷（非选择题 共72分）二、填空题（本大题共6个小题．每小题3分，共18分．把答案填在题中横线上） 16．因式分解：2x 2－8= .17．随机掷一枚均匀的硬币两次，两次都是正面的概率是 .18．已知函数xx f -=22)(，那么=-)1(f . 19．如图，扇形的半径为6，圆心角θ为120︒，用这个扇形围成一个圆锥的侧面，所得圆锥的底面半径 为 ．20．反比例函数y 1＝x 4、y 2＝xk（0≠k ）在第一象限的图象如图，过y 1上的任意一点A ，作x 轴的平行线交y 2于B ，交y 轴于C ．若S △AOB ＝1，则k ＝ ．21．如图，边长为1的菱形ABCD 中，60DAB ∠=°，连结 对角线AC ，以AC 为边作第二个菱形11ACC D ，使160D AC ∠=°；连结1AC ，再以1AC 为边作第三个菱形122AC C D ，使2160D AC ∠=°；……，按此规律所作 的第n 个菱形的面积为___________．三、解答题（本大题共7个小题．共57分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）22. （本题满分7分）(1) 18 －6cos45°－( 3 －1)0(2)先化简，再求值：()()2a b a b b +-+，其中a =2，1b =.得 分 评卷人得 分 评卷人C 1D 1D 2C 2DCA B图23．（本题满分7分）(1)如图所示，当一热气球在点A 处时，其探测器显示，从热气球看高楼顶部点B 的仰角为45°，看高楼底部点C 的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为60米，那么这栋楼高是多少米？（结果保留根号）。
(2)如图，已知E ，F 是四边形ABCD 对角线AC 上的两点，AE=CF ，BE=FD ，BE ∥FD ．求证：四边形ABCD 是平行四边形．24. （本题满分8分）“PM2.5”是指大气中危害健康的直径小于2.5微米的颗粒物，它造成的雾霾天气对人体健康的危害甚至要比沙尘暴更大.环境检测中心在京津冀、长三角、珠三角等城市群以及直辖市和省EFABCD(第2题)会城市进行PM2.5检测，某日随机抽取25个监测点的研究性数据，并绘制成统计表和扇形统计图如下：类别组别PM2.5日平均浓度值（微克/立方米）频数频率A 1 15～30 2 0.082 30～453 0.12B 3 45～60 a b4 60～75 5 0.20C 5 75～90 6 cD 6 90～105 4 0.16合计以上分组均含最小值，不含最大值25 1.00根据图表中提供的信息解答下列问题：（1）统计表中的a=，b= ，c=；（2）在扇形统计图中，A类所对应的圆心角是度；（3）我国PM2.5安全值的标准采用世卫组织（WHO）设定的最宽限值：日平均浓度小于75微克/立方米．请你估计当日环保监测中心在检测100个城市中，PM2.5日平均浓度值符合安全值的城市约有多少个？25. （本题满分8分）为奖励在演讲比赛中获奖的同学，班主任派学习委员小明为获奖同学买奖品，要求每人一件．小明到文具店看了商品后，决定奖品在钢笔和笔记本中选择．如果买4个笔记本和2支钢笔，则需86元；如果买3个笔记本和1支钢笔，则需57元．（1）求购买每个笔记本和钢笔分别为多少元？（2）如果小明买了10个笔记本和6支钢笔,那么需要花多少元钱.26．（本题满分9分）如图，已知双曲线kyx经过点D（6，1），点C是双曲线第三象限分支上的动点，过C作CA⊥x轴，过D得分评卷人得分评卷人作DB ⊥y 轴，垂足分别为A ，B ，连接AB ，BC .（1）求k 的值；（2）若△BCD 的面积为12，求直线CD（3）判断AB 与CD27．（本题满分9分）如图1，在Rt ABC △中，90A ∠=o，AB AC =，BC =DEFG （GF DE ∥）的底边DE 与BC 重合，两腰分别落在AB 、AC 上，且G 、F 分别是AB 、AC 的中点．（1）直接写出△AGF 与△ABC 的面积的比值；（2）操作：固定ABC △，将等腰梯形DEFG 以每秒1个单位的速度沿BC 方向向右运动，直到点D 与点C 重合时停止．设运动时间为x 秒，运动后的等腰梯形为DEF G ''（如图2）．①探究1：在运动过程中，四边形F F CE '能否是菱形？若能，请求出此时x 的值；若不能，请说明理由． ②探究2：设在运动过程中ABC △与等腰梯形DEFG 重叠部分的面积为y ，求y 与x 的函数关系式．28．（本题满分9分）如图，抛物线22y ax bx =++交x 轴于A （﹣1，0），B （4，0）两点，交y 轴于点C ，与过点C 且平行于x 轴的直线交于另一点D ，（1）求抛物线解析式及点D 坐标；AFG(D )BC (E )图1F GAF 'G 'BDCE图2（2）点M是抛物线上一动点,点E在x轴上，若以A，E，D，M为顶点的四边形是平行四边形，求此时点M的坐标；（3）点P是抛物线上一动点,当P点在y轴右侧时，过点P作直线CD的垂线，垂足为Q，若将△CPQ沿CP翻折，点Q的对应点为Q′．是否存在点P，使Q′恰好落在x轴上？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，说明理由．2013年学业水平考试模拟二答案一．选择题1.A2.C3.D 4．A 5.C 6.A 7.C8.A 9．C 10.D 11. A 12.B 13.C 14. D 15. B二．填空题16. 2(x －2)(x+2) 17． 1/4 18．3219.2 20． 6 21.21(3)2n -三．解答题22.(1)解：18 －6 2 －(3 －1)0=32－32－1………………………………………2分=－1………………………………………………3分 (2)解：（1）()()()322484a b a b ab a b ab +-+-÷=2222a b b ab -+-………………………………………………5分 =22a ab -…………………………………………………………6分 当2a =，1b =时，原式=22221-⨯⨯ =44-=0…………………………………………………7分23.(1)解：距离为43.9米……………3分(2)证明：∵BE ∥FD∴∠BEF ＝∠DFE∴∠BEA ＝∠DFC ………4分 ∵AE=CF ，BE=FD∴△ABE ≌△CDF(SAS) ………5分 ∴∠BAE ＝∠DCF, AB=CD ∴AB ∥CD…………………………6分∴四边形ABCD 是平行四边形．…………7分24．解：（1）a=5，b=0.2，c=0.24……………………………………3分 （2）72…………………………………………………………6分 （3）1525×100=60（个） 答：PM2.5日平均浓度值符合安全值的城市约有60个. …………8分 25．（1）解：设每个笔记本x 元，每支钢笔y 元．…………………1分4286357.x y x y +=⎧⎨+=⎩，…………………………3分 解得1415.x y =⎧⎨=⎩，……………………………………5分答：每个笔记本14元，每支钢笔15元．………………………6分EFABCD(第2题)（2）10×14+6×15=230(元答: 如果小明买了10个笔记本和6支钢笔,26．解：（1）∵D （6，1）在双曲线上∴k =xy=6×1=6…………………1分（2）如图1，延长CA 与DB 的延长线相交于点P设C （x ，6x ），则CP =1－6x∴12×6×（1－6x）=12 解得x =－2………………2分 经检验x =－2是原方程的根 ∴6x=－3 ∴C （－2，－3）……………3分 设直线CD 的解析式为y =ax+b ，则2361a b a b -+=-⎧⎨+=⎩………………………………………4分 解得122a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩ ∴122y x =-……………………………5分（3）AB ∥CD ……………………………………6分解法一：理由：设点C （m ，6m） ∴P A =1，PB ＝－m ， PC =61m -=6m m-，PD ∴6PA m PC m =-，6PB mPD m =- ∴PA PBPC PD=…………………7分 又∵∠APB =∠CPD∴△APB ∽△CPD …………………8分 ∴∠ABP =∠CDP∴AB ∥CD ……………………………9分 解法二：理由：如图2，作CE ⊥y 轴，DF ⊥x 轴， 垂足分别为E ，F ，则S 矩形OBDF =S 矩形OACE =6 ∴S 矩形APDF =S 矩形BPCE ∴PA PD PB PC ⋅=⋅∴PA PBPC PD=…………7分 又∵∠APB =∠CPD∴△APB ∽△CPD …………………8分 ∴∠ABP =∠CDP∴AB ∥CD …………………………9分27.解：（1）△AGF 与△ABC 的面积比是1：4．………………………2分 （2）①能为菱形．……………………3分由于FC ∥F E '，CE ∥F F '，∴四边形F F CE '是平行四边形．当221===AC CF CE 时，四边形F F CE '为菱形， 此时可求得2x =．∴当2x =秒时，四边形F F CE '为………… 6分②分两种情况：①当0x <≤如图3过点G 作GM BC ⊥于M ．AB AC =Q ，90BAC ∠=o，BC =G 为AB 中点，GM ∴=又G F Q ，分别为AB AC ，的中点，12GF BC ∴==…………………… 7分 方法一：162DEFG S ∴==梯形∴等腰梯形DEFG 的面积为6．GM =QBDG G S '∴=Y ∴重叠部分的面积为：6y =．∴当0x <≤y 与x的函数关系式为6y =-．……8分方法二：FG x '=Q，DC x =，GM = ∴重叠部分的面积为：6y ==-．∴当0x <≤y 与x的函数关系式为6y =-．②当x ≤ 设FC 与DG '交于点P ， 则45PDC PCD ∠=∠=o．F GAF 'G ' B CE图4Q D P AFG(D )BC (E )图3M90CPD ∴∠=o ，PC PD =，作PQ DC ⊥于Q ，则．1(42)2PQ DQ QC x ===- ∴重叠部分的面积为：221111(42)(42)(42)2282244y x x x x x =-⨯-=-=-+．……………9分综上，当022x <≤时，y 与x 的函数关系式为62y x =-；当2242x ≤≤时，822412+-=x x y28.解：（1）∵抛物线y=ax 2+bx+2经过A （﹣1，0），B （4，0）两点，∴，解得：∴y=﹣x 2+x+2；当y=2时，﹣x 2+x+2=2，解得：x 1=3，x 2=0（舍），即：点D 坐标为（3，2）．（2）A ，E 两点都在x 轴上，AE 有两种可能： ①当AE 为一边时，AE ∥M D ，∴M 1（0，2），②当AE 为对角线时，根据平行四边形对顶点到另一条对角线距离相等， 可知M 点、D 点到直线AE （即x 轴）的距离相等， ∴P 点的纵坐标为﹣2，代入抛物线的解析式：﹣x 2+x+2=﹣2 解得：x 1=，x 2=， ∴P 点的坐标为（，﹣2），（，﹣2）综上：M 1（0，2）；M 2（，﹣2）；M 3（，﹣2）．（3）存在满足条件的点P ，显然点P 在直线CD 下方，设直线PQ 交x 轴于F ，点P 为（a ，﹣a 2+a+2），①当P 点在y 轴右侧时（如图1），CQ=a ， PQ=2﹣（﹣a 2+a+2）=a 2﹣a ，又∵∠CQ′O+∠FQ′P=90°，∠COQ′=∠Q′FP=90°，∴∠FQ′P=∠OCQ′，∴△COQ′～△Q′FP，，，∴Q′F=a﹣3，∴OQ′=OF﹣Q′F=a﹣（a﹣3）=3，CQ=CQ′==，此时a=，点P的坐标为（，），②当P点在y轴左侧时（如图2）此时a＜0，，﹣a2+a+2＜0，CQ=﹣a，PQ=2﹣（﹣a2+a+2）=a2﹣a，又∵∠CQ′O+∠FQ′P=90°，∠CQ′O+∠OCQ′=90°，∴∠FQ′P=∠OCQ′，∠COQ′=∠Q′FP=90°，∴△COQ′～△Q′FP，，，Q′F=3﹣a，∴OQ′=3，CQ=CQ′=，此时a=﹣，点P的坐标为（﹣，）．综上所述，满足条件的点P坐标为（，），（﹣，）．。